三角形中位线定理的运用

八年级下册数学《第十八章 平行四边形》专题 三角形中位线定理的运用【例题1】（2022秋•长沙期中）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，F ，G 分别是AD ，AE 的中点，且FG ＝2cm ，则BC 的长度是（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【变式1-1】（2022秋•海淀区期中）如图，BD 是△ABC 的中线，E ，F 分别是BD ，BC 的中点，连接EF ．若AD ＝4，则EF 的长为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．4【变式1-2】（2022秋•莲池区校级期末）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，BD =√6，若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（ ）A ．√2B ．√62C ．√63D ．√3【变式1-3】（2022春•巨野县校级月考）如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，AE 平分∠CAD ，AE ⊥CD 于点E ，点F 是BC 的中点，若AB ＝10，AC ＝6，则EF 的长为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【变式1-4】（2022秋•南关区校级期末）如图，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝12，AD ＝5，点M 、N 分别为线段BC 、AB 上的动点，点E 、F 分别为DM 、MN 的中点，则EF 长度的可能为（ ）A ．2B ．2.3C ．4D ．7【变式1-5】如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为．【变式1-6】（2022春•海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D和点E分别是AB，AC的中点，点F和点G分别在BA和CA的延长线上，若BC＝10，GF＝6，EF＝4，则GD的长为．【变式1-7】（2022春•本溪期末）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC 的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，顺次连接EM，MF，FN，NE，若AB＝CD＝2，则四边形ENFM的周长是．【变式1-8】（2022春•雁塔区校级期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C 作CF ∥BE ，交DE 的延长线于点F ，若EF ＝3，求DE 的长．【变式1-9】如图，在△ABC 中，AB ＝12cm ，AC ＝8cm ，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于点F ，交AB 于点G ，连接EF ，求线段EF 的长．【例题2】（2022秋•安岳县期末）如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，若∠CFE ＝55°，则∠ADE 的度数为（ ）A ．65°B ．60°C ．55°D ．50°【变式2-1】（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，点M ，N 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，若∠A ＝60°，∠B＝75°，则∠ANM＝．【变式2-2】（2022•永安市模拟）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，若∠DFB ＝32°，∠A＝75°，则∠AED＝．【变式2-3】（2022春•顺德区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度数．【变式2-4】（2022•九江二模）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，AB ＝CD，∠EGF＝144°，则∠GEF的度数为．【变式2-5】（2022秋•新泰市期末）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，DC，AC 的中点．若∠ACB＝64°，∠DAC＝22°，则∠EFG的度数为．【变式2-6】（2022春•鼓楼区期中）如图所示，在△ABC中，∠A＝40°，D，E分别在AB，AC上，BD ＝CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求∠APQ的度数．【例题3】（2021秋•杜尔伯特县期末）如图，已知△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足是E，F是BC的中点．求证：BD＝2EF．【变式3-1】（2021春•秦都区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC上的点，连接BE、DE，∠ADE＝∠AED，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．求证：FG＝FH．【变式3-2】（2021秋•互助县期中）如图，已知AB＝AC，BD＝CD，DB⊥AB，DC⊥AC，且E、F、G、H分别为AB、AC、CD、BD的中点，求证：EH＝FG．【变式3-3】已知：如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE分别交BC、BD 于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：AB＝2OF．【变式3-4】（2021春•崇川区校级月考）已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：（1）DE∥FG；（2）DG和EF互相平分．【变式3-5】（2022春•富平县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H，取BC边的中点M，连接EM、FM．求证：（1）△MEF是等腰三角形；（2）OG＝OH．【变式3-6】（2022春•瑶海区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点（1）若DE＝2，则BC＝；若∠ACB＝70°，则∠AED＝°；（2）连接CD和BE交于点O，求证：CO＝2DO．【变式3-7】（2022春•虎丘区校级期中）如图，线段AM是∠CAB的角平分线，取BC中点N，连接AN，过点C作AM的垂线段CE垂足为E．（1）求证：EN∥AB．（2）若AC＝13，AB＝37，求EN的长度．【例题4】（2021春•莆田期末）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E 、F 分别是边DC 、AB 的中点，FE 的延长线分别AD 、BC 的延长线交于点H 、G ，求证：∠AHF ＝∠BGF ．【变式4-1】（2022春•西峰区校级月考）如图，四边形ABCD 中，AD ＝BC ，P 是对角线BD 的中点，N 、M 分别是AB 、CD 的中点，求证：∠PMN ＝∠PNM ．【变式4-2】（2021春•歙县期中）如图，CD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥CD 于E ，F 是AC 的中点，（1）求证：EF ∥BC ；（2）猜想：∠B 、∠DAE 、∠EAC 三个角之间的关系，并加以证明．【变式4-3】如图，△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且BD ＝CE ，M 、N 分别是BE 、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，求证：∠QP A＝∠PQA．【变式4-4】一个对角线相等的四边形ABCD，E、F分别为AB，CD的中点，EF分别交对角线BD，AC 于M，N，求证：∠OMN＝∠ONM．【变式4-5】（2022春•船营区校级月考）如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题．如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证：∠PMN＝∠PNM（1）在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F，如图②，请先完成图①的证明，再继续证明∠AEN＝∠F．（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为．【例题5】（2022秋•任城区期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则EF的长为（）A．2B．3C．4D．5【变式5-1】（2022春•綦江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD＝16，AC＝30，E，F 分别为AB，CD的中点，则EF＝（）A．15B．.16C．17D．8【变式5-2】（2021春•沈北新区期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=12CF．【变式5-3】如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为．【变式5-4】（2021•罗湖区校级模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝．【变式5-5】（2022春•香坊区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，AB＝20，CD＝12，∠B+∠C＝120°，则EF的长为．【变式5-6】（2022秋•张店区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝AC，E、F、G 分别是BC、AD、CD的中点，EF、CA的延长线相交于点H．求证：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）AH＝AF．【变式5-7】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF=12（AC﹣AB）；（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系．【变式5-8】（1）如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．求证：FG=12（AB+BC+AC）．[提示：分别延长AF、AG与直线BC相交]（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．【变式5-9】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不必证明）（温馨提示：在图（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE．HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME＝∠CNE）（1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF，分别交CD．BA于点M．N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．（2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD形状并证明．。

中位线及其应用知识定位中位线在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识是今后我们学习综合题目或者三角形综合的重要基础。

中位线的证明性质以及应用，必须熟练掌握。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中中位线相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、三角形中位线定义（1）三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线与三角形的中线区分：三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。

（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则DE 为ABC ∆的中位线。

几何语言描述：因为D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，所以DE//BC,且DE=12BC提示 a ：“平行且等于第三边的一半”，具体应用时要根据题目的要求灵活进行选择，并 不一定要把两个结论都写出来。

b ：一个三角形有三条中位线。

c ：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线，必平分第三边，这是一种重要 的作辅助线的方法。

2、三角形中位线的性质（1）三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

（2）中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。

（3）运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。

（4）中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。

它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰补充：有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

三角形中位线定理和证明方法
三角形中位线定理是三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。

三角形中位线定理及证明
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。

证明：已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。

求证DE平行于BC且等于BC/2
过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。

∵CG∥AD
∴∠A=∠ACG
∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号）
∴△ADE≌△CGE （A.S.A)
∴AD=CG(全等三角形对应边相等)
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
又∵BD∥CG
∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DG∥BC且DG=BC
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位线定理成立
逆定理
逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

效果分析
从整个课堂教学来看，这节课始终围绕教学目标展开，层次比较清楚，环节紧凑，并注意引导学生通过观察、分析、动手实践、自主探索、合作交流等活动，突出体现了学生对知识的获取和能力的培养。

1、通过前置作业“将一个三角形分成面积相等的四部分”，根据学生的分法引出三角形的中位线的定义，从而顺势进入本节课探究的内容。

我想通过一些问题的有效设问，不断激起学生的认知冲突，使新课知识的探索自然而然的发生，使学生从“感兴趣”自然进入数学知识的探究，达到培养思维能力的效果。

2、在认识了三角形中位线的概念之后，教师不是直接提出三角形中位线定理后再证明，而是先让学生猜测，再通过动画演示，让学生从动态中去观察、探索、归纳知识，形成自己的经验、猜想，产生对结论的感知，让学生学会学习，学会探索问题的方法，培养学生的能力。

3、在学习了三角形的中位线之后，让学生和以前学过的三角形的中线作比较，从而弄清楚知识间的联系和区别。

三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好这部分内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习．它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系．就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系．我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用．一、证明问题1、证明角相等关系例1、如图、四边ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证：∠AEF =∠DFE分析：欲证：∠AEF =∠DFE ．由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN =∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有12GM AB∥，12GN CD ∥，由于AB =CD ，进而有GM =GN ，∠GMN =∠GNM 然后再转化∠EPN =∠Q ，从而证出结论．证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ，取BD 的中点G ，连结GM 、GN ．∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴12GM AB ∥．同理可证：12GN AB∥，又∵AB =CD ，∴GM =GN ，∴∠GMN =∠GNM ，∵GM //AB ，GN =CD ，∴∠GMN =∠EPN ，∠GNM =∠Q ，∴∠EPN =∠Q ，又 EF ⊥MN ，∴∠AEF =∠DFE （等角的余角相等）说明：添辅助线是证明几何题的难点．若要添多条辅助线，更为困难，掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是分析中自由添加辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何的证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结．2、证明线段的倍分以及相等关系例2.如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连线EF ，交BD 于M 点．求证：（1）BM =14BD （2）ME =MF 分析：欲证问题（1）由E 、F 分别为AB 、BC 中点想到连结AC ，由平行线等分线段定理可证得BM =MO ．又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO =OD ，即BM =41BD ．欲证问题(2)，由问题(1)中的辅助线，即连结AC ，由三角形中位线定理可得EM =12AO ，MF =12OC ，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论．证明：（1）连结AC ，交BD 于O 点，∵E 、F 分别为AB 、BC 中点，∴EF ∥AC ，∴BM =MO =12BO （平行线等分线段定理） 又∵四边形ABCD 是平行四边形∴BO =OD =12BD ，AO =OC =12AC ， ∴BM =1124BO BD ，即BM =14BD（2）∵M 是BO 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 中的中点．∴12ME AD =，12MF OC =，又∵AO ＝OC ，∴ME ＝MF 小结：问题（1）看起来似乎与三角形中位线定理无关，其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系．3、证明线段平行关系例3.如图，自△ABC 的顶点A ，向∠B 和∠C 的平分线作垂线，重足分别为D 、E ．求证：DE ∥BC 分析：欲证ED //BC 我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD 、AE ，交BC 与CB 的延长线于G 与H ，通过证明△ABD 与△GBD 全等易证D 是AG 中点，同理E 为AH 的中点，故，ED 是△AEG 的中位线，当然有DE ∥BC ．证明：延长AD 、AE 交BC 、CB 的延长线于G 、H ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，又∵BD ⊥AD ，∴∠ADB =∠BDG =900． 在△ABD 与△GBD 中12BD BDBDG BDA⎧⎪⎨⎪⎩=== ∠∠∠∠，∴△ABD ≌△GBD (A S A ) ∴AD =DG ，同理可证，AE =GE ，∴D ，E 分别为AG ，AH 的中点， ∴ED ∥BC小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行．二、比较大小1、比较线段大小 例4.如图，M 、N 是四边形ABCD 的边 BC 、AD 的中点，且AB 与CD 不平行．求证：MN ＜12(AB ＋CD ). 分析：欲证MN ＜12(AB ＋CD )，我们从表面上看这个问题比较复杂，但由M 、N 分别为BC 、AD 中点我们可以联想到如何构造三角形中位线来证明问题，通过连结BD ，并取BD 中点P ，连结NP 、MP 这时分别为△DAB 、△DCB 的中位线,这时三条线段NP 、MP 、MN 都在一个三角形里，问题就迎刃而解了．证明：连结BD 并取BD 中点P ，连结NP ，MP . ∵N 为AD 中点，P 为BD 中点.∴NP 为△DAB 的中位线，∴NP ＝12AB ，同理可得MP ＝12CD ．∵AB 与CD 不平行，∴P 点不在MN 上．在△PMN 中，由于两边之和大于第三边，∴MN ＜PM +PN ＝12(AB +CD )小结：此类题型通过转化,把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中,再应用三角形的有关知识，如：三角形中位线及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等知识，即可得出证明．2、比较角的大小例5、如图：AD 是△ABC 的中线，如果AB >AC ，那么∠BAD <∠CAD ． 分析：因为D 为BC 中点联想到，过点D 作中位线DE ，因为DE ∥AB 即△ABC 得到∠1=∠3，由AB >AC , 有12AB ＞12AC ，所以就有∠3＜∠2，即∠BAD <∠CAD证明：过点D 作DE ∥AB 交AC 于E ，∴DE ∥AB 且 DE =12AB ，E 为AC 中点．∴∠1=∠3，∵AB >AC ，∴12AB >12AC ，即在△AED 中，DE >AE ，∴∠3<∠2，∴∠1<∠2，即∠BAD <∠CAD小结：本题证角不相等，因为要证的两个角不在同一个三角形中，如果这两个角在同一个三角形中能应用：在同一个三角形中，大边对大角原理这时就考虑到如何将这两个角放在一个三角形中，通过观察只要过D 作DE ∥AB 就可解决求证问题．三、求值问题例6. 如图，正方形ABCD 两对角线相交于点E ，∠CAB 的平分线交BE 于G ，交BC 于F ，若GE ＝24 求FC 的长．分析：求FC 的长，因为E 为对角线交点，就是AC 中点所以作辅助线PE ∥BC 就有PE ∥FC 且有PE =21FC 所以只要能求出PE 的长即可，而PE 的长可由∠3＝∠4求出，因为∠3为△APE 的外角所以有∠3=∠2+∠5同理有∠4=∠1+∠7因为AF 为∠BAC 的平分线所以∠1=∠2又因为所以∠5=∠6,而∠6=∠7所以有∠3=∠4即PE =GE =12FC ,这样问题就解决了． 解：过点E ，作EP ∥BC ，交AF 于点P ，则P 为AF 中点，∵∠3＝∠2＋∠5＝∠2＋∠6，∠4＝∠1＋∠7，又∵AF 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2，又∵∠6＝∠7，∴∠3＝∠4，∴EP ＝EG ，∵PE 是△AFC 的中位线，∴PE ＝12FC =EG ，即FC =2EG =2PE =2×24=48小结：求值问题，主要是如何添加辅助线，将比较难的问题转为容易的问题．总之，三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线对每个学生来说是一个重点也是一个难点．要求学生要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理．一条或一组合理地利用了题目条件的辅助线常见有一箭双雕甚至一箭多雕的效益，准确而理想的图形能有效地帮助我们迅速地捕捉到题意预定的目标．。

2017-2018下学期八数专题复习 二：三角形中位线定理的运用例谈 第 1页（共 8页） 第 2页 （共 8页）2017—2018下学期八年级数学专题复习 二:三角形中位线定理的运用例谈赵化中学 郑宗平三角形的中位线定理在平面几何中比较特殊，它既反映三角形的中位线与三角形边的位置关系，又有与三角形边的数量关系的规律性结论；在一些所谓的几何难题中常见它的身影，而三角形的中位线往往能起牵线搭桥甚至是关键性的作用;下面我精选一部分“含"三角形的中位线的几何解答题，让我们共同来探究、解析、训练.知识要点:三角形的中位线平行于三角形第三边,并且等于第三边的一半.1。

三角形三条中位线围成的三角形与原三角形在某些数量上的关系⑴.周长关系如图点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，请探究⊿DEF 的周长 ⊿ABC 的周长的关系？分析: 点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、,,,111EF BC DE AB DF AC 222=== ∴()12EF DE DF BC AC AB ++=++所以三角形的三条中位线围成的三角形的周长是原三角形的周长的一半。

追踪练习：以上面的图为例，若⊿DEF 的周长为23cm ，则⊿ABC 的周长为 . ⑵。

面积关系如图点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，请探究⊿DEF 的面积与⊿ABC 的面积关系？ 略析：根据三角形中位线定理可以得出,,,,111EF BC DF AC DE AB EF BC DF AC DE AB 222===；,再利用线段中点的定义、平行线性质、平行四边形的性质等可以进一步推出DEF 、AFE 、FBD 、DEC是全等的，故它们的面积是相等的,则S ⊿ABC =4S ⊿DEF .所以三角形的三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的面积的14. 说明：今后我们学习了相似三角形的性质后，这个结论的推导就简单多了。

三角形中位线定理的妙用三角形中位线定理是三角形相关章节中一个十分重要的定理,其特点是在同一个题设下,有两个结论:一个是表明位置的平行关系,另一个是表明数量的倍分关系。

《数学课程标准》明确要求“探索并掌握三角形的中位线定理。

”下面本文就三角形中位线定理的运用我谈一点自己的体会。

一、当题目中只有两边中点时,连接这两点或作第三边,构造三角形的中位线例1:(如图1)在四边形ABCD中,点E为AB边上的一点,⊿ADE和⊿BCE都是等边三角形,点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点.求证:四边形MNPQ是菱形.证明:连接AC、BD.易证: ⊿AEC≌⊿DEB.∴AC=BD.可证MN=PQ= AC,MQ=NP= BD.∴MN=NP=PQ=QM.故四边形MNPQ是菱形.点评:直接利用三角形的中位线定理证明.练习1:如图2,⊿ABC的中线BE和CF相交于点O,点M、N分别是OB、OC 的中点.试判断四边形MNEF的形状.二、当已知条件中只有一边中点时,可取另一边的中点,构造三角形的中位线例2:(如图3)在⊿ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,BD=CE,点G、H分别是BE、CD的中点,直线GH交AB于M,交AC于N.求证:AM=AN.证明:取BC的中点P,连接PG、PH,则PG、PH分别是⊿BCE和⊿BCD的中位线.∴PGCE, PHBD.∴∠PGN=∠ANM, ∠PHM=∠AMN.又∵BD=CE.∴PH=PG.∴∠PGN =∠PHM.∴∠ANM =∠AMN.故AM=AN.点评:BC在这里起了桥梁的作用,构造了两条中位线.练习2:如图4,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,AC=BD,点E、F、G 分别是AB、CD、BC的中点,EF交BD于M,交AC于N.求证:OM=ON.三、当已知条件中只有一边中点时,可作另一边并取其中点,构造三角形的中位线例3:(如图5)在四边形ABCD中,AB=CD,点M、N分别是BC、AD的中点,延长BA、CD分别交MN的延长线于G、H.若∠BGM=30°.试求∠H的度数.解:连接AC,并取AC的中点O,再连接OM、ON.则OMAB , ONCD.∴∠BGM= ∠OMH,∠H= ∠ONM.∵AB=CD.∴OM=ON.∴∠ONM=∠OMN.∴∠BGM =∠H.又∵∠BGM=30°.∴∠H=30°.点评:其突破口就在构造三角形的中位线时先要连接AC,构造出两个三角形.在连接AC之后,其难易程度就和例2一样了。

三角形中位线定理的应用
1、已知正方形ABCD中，AC、BD交于O点，AE平分∠BAC，
分别交BC、BO于点E、F，求证：OF=CE．
分析：
1、从已知条件中你可以得到什么？
易得：(1)、正方形的四条边相等，对角线相等且互相平分。

(2)、∠1=∠2
2、要证的是一条线段的长等于另一条线段的一半，你会想到以前学过的那些定理和这个很类似？
：三角形的中位线定理。

3、题目中的线段OF是三角形的中位线吗？
：不是。

4、根据已知条件能在图形中做出一条三角形的中位线吗？
：注意到图形中点O是AC的中点，因此取AE的中点G．联结OG，则OG= CE，故只须证明OG=OF即可。

点拨：
平面几何中的常用辅助线可以创造出中位线，这就是把未知问题
转化为已知问题的一种途径．
证明：
取AE的中点G，联结OG，则OG是△AEC的中位线．由中位线定理，得
OG//CE，OG=CE．
∴∠3=∠4．
∵∠OFG=∠1＋∠5，
∠OGF=∠2＋∠3=∠2＋∠4，
∠1=∠2，∠4=∠5=45°，
∴∠OFG=∠OGF，
∴OG=OF，
∴OF=CE．。

三角形中位线定理证明方法三角形中位线定理：在一个三角形中，任一边的中点到另外两边的距离要等于这两条边的一半。

(一) 三角形中位线定理的原理三角形的中位线定理的基本原理可以总结如下：任意一条边的中点都到另外两条边的中点之间的线段，称为该边的中位线。

而三角形中位线定理规定，在三角形中，任何一条边的中位线等于另外两边的一半。

原因很简单，因为只有三角形三边的长度均相等时，其三条边的中位线才能够平分整个三角形。

也就是说，只有三角形的三条边都是同长时，三角形中任意一边的中位线才会等于另外两条边的一半。

(二) 三角形中位线定理的证明证明三角形中位线定理，可以有数学证明和几何证明两种方法：1. 数学证明法：首先，画出有三角形ABC的一般坐标系，数组表示为：A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，此时，三角形ABC这个直角坐标系的坐标可分别写为：A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。

再根据直角三角形的定义，可以得出：2(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2 = (x2 - x3)^2 + (y2 -y3)^2。

将其中的模的平方表达式代入，可以得出：[AB + BC] / [2 * AB] = AC / AB，即：AB中点到BC的距离等于AB的一半，即三角形中位线定理成立。

2. 几何证明法：首先, 在三角形ABC中，将边AB上的点E和边BC上的点F垂直地连起来，则构成一个矩形EFGH，由于矩形EFGH四边相等，故EF=FG=GH，且EF=AC/2.再根据三角形中位线原理，AB中点到BC的距离应等于AB的一半，即EF=AB/2，由前面所得到的EF=AC/2，以及前面的EF=AB/2可知AB=AC，即AB中点到BC的距离等于AB的一半，即三角形中位线定理成立。

(三) 三角形中位线定理的意义1. 三角形中位线定理是几何学中一个基本定理，所以它对后续学习几何形状有很重要的作用。

三角形中位线的定理
三角形中位线的定理
引言
三角形是初中数学学习中的重要内容，而在三角形的研究中，中位线是一个重要的概念。

本文将介绍三角形中位线的定理，包括定义、性质和证明等方面。

第一部分：定义
1. 什么是中位线？
在三角形ABC中，连接AB的中点D和连接AC的中点E所组成的线段DE叫做三角形ABC的中位线。

2. 中位线有哪些基本性质？
（1）一个三角形有三条中位线；
（2）每条中位线都平分对边；
（3）每条中位线与对边垂直。

第二部分：定理及证明
3. 什么是三角形中位线定理？
在任意一种平面几何图形当中，如果两个向量之和等于另一个向量，那么这两个向量所对应的两个边平行。

4. 证明：
（1）首先，连接BD和CE，则由定义可知BD和CE都是ABC的半径。

（2）因为BD = AD 和 CE = AE, 所以 BD = CE.
（3）作DE交BC于F，则由割圆法可知DF = FB 和 EF = FC.
（4）因为DF + EF = DE, 所以 FB + FC = BC.
（5）由（4）可知，FB和FC所对应的两个边平行，即BD || CE.
（6）同理可证出其他两条中位线所对应的两个边也平行。

5. 总结
三角形中位线定理是初中数学学习中的重要内容，通过本文的介绍，我们了解了中位线的定义、性质和定理，并且掌握了证明方法。

在实际问题中，我们可以利用这一定理来解决一些与三角形相关的问题。

三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

运用这个定理，可以证明线与线的平行关系；证明线段之间的相等或倍分关系；还可将分散的已知条件集中起来发挥作用。

例1：如图P3-3，已知△ABC中，D是AB中点，O是CD中点，BO延长后交AC于E．证明：取AE中点F，连结DF．∵D是AB中点，∵O是CD中点，例2：已知：如图P3-4，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、DC的中点，延长AD、MN交于E，延长BC、MN交于F．求证：∠AEM=∠BFM．证明：连BD，取中点O，连ON、OM，在△ABD与△BDC中，M、O为AB、BD边中点；N、O为DB、DC边中点．∵AD=BC．∴OM＝ON．∴∠1＝∠2．而∠1=∠BFM，∠2=∠AEM，∴∠AEM＝∠BFM．例3：选择题：(1)一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，则这个三角形是 [ ](A)锐角三角形 (B)钝角三角形(C)直角三角形 (D)无法确定解：(C)．设三个内角的度数分别为k、2k、3k，24根据三角形内角和定理，有k+2k+3k＝180°解得 k=30°．∴三角形的三个内角分别为30°、60°、90°．故选(C)．(2)如果等腰三角形的顶角为40°，那么其中一个底角的度数为[ ](A)50° (B)70°(C)100° (D)140°解：(B)．(3)钝角三角形的三条高 [ ](A)相交于三角形内部的一点(B)相交于大边上的一点(C)相交于三角形外部的一点(D)不能相交于一点解：(C)．(4)在△ABC中，AB＞BC＞CA，那么在①∠C=60°，②∠B=60°，③∠A=60°中，可能成立的是 [ ](A)③ (B)②(C)②③ (D) ①③解：(A)．在△ABC中，∵ AB＞BC＞CA，∴∠C＞∠A＞∠B．若∠C=60°，则∠A与∠B的均小于60°，这与三角形内角和等于180°矛盾．若∠B=60°，则∠C和∠A均大于60°，这也与三角形内角和等于180°矛盾．∴∠A=60°，应选(A)．(5)顺次连结周长为a的三角形三边中点所得三角形的周长为 [ ]解：(D)．(6)在△ABC中，∠B、∠C的外角平分线相交于D，那么∠BDC等于 [ ]解：(C)．如图P3-5，∵∠EBC＋∠FCB=(180°-∠ABC)＋(180°-∠ACB)=360°-(∠ABC＋∠ACB)．又∵∠A=180°-(∠ABC＋∠ACB)，∴∠ABC＋∠ACB＝180°-∠A．∴∠EBC＋∠FCB＝360°-180°+∠A=180°+∠A．∵BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB，∴∠BDC=180°-(∠1+∠2)(7)下列命题中的假命题是 [ ]（A)有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形（B)等边三角形是等腰三角形（C（D）等腰三角形是锐角三角形解：(D)．例4：已知：如图P3-6，AB∥CD。

三角形中位线定理的活用
三角形中位线定理是一种算术定理，它将三角形的一边长于两外边
之和这一定理推广到三条边的总长上：在三角形的任何一边上，到另
外两边的中点的距离相等。

这个定理可以用来解决各种问题。

1. 求出某边的一般位置：首先，在三角形的三条边上分别找出第三边
的两个中点，然后连接两个中点，其中所得的线段就是第三边对应的
一般位置；
2. 求出某边到另外两边中点的距离：以某边为基准，将其分隔成等份，计算出每一等分时距离中点的距离就可以得到。

3. 验证某个三角形是否符合三角形中位线定理：将每一条边分隔成两半，分别计算出部分到另外两顶点的距离，如果计算出的距离都相等，则可以证明该三角形符合三角形中位线定理。

证明三角形中位线的三种方法三角形中位线是数学中常见的概念，它是一种非常重要的结构元素，被广泛的用于几何学的研究。

虽然它的运用非常广泛，但是它的证明却不是非常容易，这也是很多学生学习数学时感到困惑的原因之一。

本文将从三方面介绍三角形中位线的证明：利用数学计算证明、利用角平分线证明和利用勾股定理证明。

首先，我们从数学计算证明中位线开始讨论。

首先，证明所用的基本元素是三角形，任意三角形有三个顶点，三条边，三个内角，三角形中位线是一条连接三角形的顶点的线段，是三角形的一条中线，它将三角形平分成两部分。

若三角形ABC的顶点A、B、C的坐标为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则中位线的斜率可由以下等式来计算：Δ = (y2-y3)*(x3-x1) + (y3-y1)*(x2-x1)若Δ 0，则三角形ABC的中位线斜率是：K = (y2-y1)*(x3-x1) + (y3-y1)*(x2-x1) / (y2-y3)*(x3-x1) + (y3-y1)*(x2-x1)若Δ = 0，则表明三角形ABC的中位线是水平线或者垂直线，可以根据实际情况来求出斜率的表达式，而无需求取斜率的精确值。

其次，我们从角平分线证明三角形中位线开始讨论。

在三角形中，任意一条边都可以以角平分线的形式进行证明，即让一条线段以角平分线的形式分割三角形的四个内角，则该线段必然为中位线。

这是由于任意一条边的两个内角之和必然等于改边的夹角，而角平分线的两个角相等，因此其夹角也就是改边的夹角，进而也就是两个内角之和，因此该线段必然是三角形的中位线。

最后，我们从勾股定理证明三角形中位线开始讨论。

勾股定理是数学中非常重要的定理，也是高数中最重要的定理之一。

它定义了一个三角形的两条斜边之间的关系，即任意一个有向三角形中，两条斜边的平方和等于其余一边的平方，即：a2+b2=c2所以，如果已经知道三角形中任意两条斜边的长度，则可以通过勾股定理计算该三角形的另一条斜边，从而知道三角形的中位线的情况。

任意三角形中位线定理1.引言1.1 概述概述三角形是几何学中的重要概念，它由三条边和三个顶点组成。

我们可以根据角度和边的长度来分类不同类型的三角形，例如等边三角形、等腰三角形和一般三角形等。

在本篇长文中，我们将重点讨论任意三角形中的中位线定理。

中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。

我们将介绍中位线的定义和性质，并详细阐述中位线定理的表述、证明和应用。

中位线定理是关于三角形中位线的一个重要定理。

它揭示了三角形中位线和三角形边的关系，并且具有很多重要的应用。

在本文中，我们将探索中位线定理的证明过程，并讨论它在几何学和实际问题中的应用。

通过研究和理解中位线定理，我们可以深入了解三角形的性质和特点。

这对于几何学的学习和问题解决都具有重要意义。

我们将从基础的定义和性质开始，逐步引入中位线定理的概念和应用，希望读者能够通过本文更好地理解和运用中位线定理。

接下来，我们将在正文部分详细介绍任意三角形的定义和中位线的定义和性质，以便为后续的中位线定理的讨论做好准备。

通过系统而全面的阐述，我们希望读者能够对中位线定理有一个清晰的认识，并能够灵活运用它解决相关问题。

在结论部分，我们将对中位线定理进行准确的表述，并给出具体的证明和应用示例。

这将进一步巩固读者对中位线定理的理解和运用能力。

总之，本文将从引言、正文和结论三个部分系统地介绍任意三角形中位线定理。

通过详细的讲解和实例的引导，我们旨在帮助读者更好地理解和应用这一定理，进一步提升几何学的学习和问题解决能力。

1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：文章结构的设计旨在使读者能够清晰地理解任意三角形中位线定理的内容。

本文分为引言、正文和结论三个部分，下面对各个部分进行简要说明。

引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个子部分。

在概述中，将简要介绍任意三角形中位线定理的背景和重要性。

通过引入这个概念，读者可以对该定理的应用和实际意义有一个初步的了解。

在文章结构中，将对整篇文章的结构进行总体的安排和描述，使读者能够预期文章的组织方式和内容概况。

三角中位线定理的应用中位线的性质：平行与第三边，并且等于第三边的一半。

三角形有三条中位线，最终将三角形分成四个全等三角形。

能够造出三个平行四边形，其中平行四边形的周长恰好等于三角形长两边之和。

中位线与第三边上的中线互相平分。

利用的是平行四边形的对角线互相平分。

三角形的中位线围成的三角形跟原三角形形状一样，周长是原来的一半，面积是原来的1/4，中位线的应用测距，中位线的定义，经过三角形两边中点的连线。

中线指的是一顶点与对边中点的连线。

中线性质，中线将三角形分成面积相等的两部分（等底同高面积相等）知识要点：三角形的中位线平行于三角形第三边，并且等于第三边的一半.1.三角形三条中位线围成的三角形与原三角形在某些数量上的关系（形状一样/相似）⑴.周长关系三角形的三条中位线围成的三角形的周长是原三角形的周长的一半.⑵.三角形的三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的面积的41.2.中点四边顺次连结四边形四边中点所构成的四边形，我们把它简称为中点四边形.中点四边形的特殊性主要是看原四边形的对角线的特征，分为下面几种情况：任意四边形的中点四边形是平行四边形。

对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线垂直的四边形的中点四边形的是矩形；对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形。

中位线与第三边上的中线互相平分。

利用的是平行四边形的对角线互相平分。

1、已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形， 再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（）2、如图所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减少C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长不能确定3、如图ABC 中，EF 为三角形的中位线，AD 是BC 边上的中点，点O 为EF 和AD 的交点.求证：EF 和AD 互相平分.4、如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．四边形EGFH 是平行四边形吗？请证明你的结论．5、如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点．四边形EGFH 是平行四边形吗？请证明你的结论．6、如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，（1）∠PEF＝35°，则∠PFE的度数．（2）∠CBD=20°，∠ADB=100°，则∠PFE的度数．7、已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H．求证：（1）OG＝OH．（2）∠ONM＝∠OMN.8、如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E，F分别为AD，BC的中点，延长BA，CD，分别交射线FE于P，Q两点．求证：∠P＝∠CQF..９、点M为△ABC的边BC的中点，AB＝12，AC＝18，BD⊥AD于点D，连DM.(1)如图1，若AD为∠BAC的平分线，则MD＝；（1）DM∥AC；DM＝21（AC﹣AB）．(2)如图2，若AD为∠BAC的外角平分线，则MD＝．．【变式】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点，使∠DAC＝∠BAC，E为BD的中点．若∠ABC＝60°，则∠ACE＝.１０、如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，线段EF与DG之间有什么关系？为什么？１１、如图，点E F G H、、、分别是CD BC AB DA、、、的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形１２、如图，已知在□ABCD中，EF∥BC,分别交AB CD、于E F、两点，DE AF、交于M,CE BF、交于N．求证:1MN AB2=.１３、已知：E为ABCD的边DC的延长线上的一点，且CE DC=,连结AE分别交BC BD、于F G、，对角线AC BD、交于点O.求证：AB2OF=。

3角形中位线定理三角形中位线定理，是在三角形中，与三条相邻边的中点相连的线段，它们构成的三个交点都在同一点上。

本文将从定理的证明、推广应用、例题等三个方面进行阐述。

一、定理的证明证明思路：设三角形ABC的三边分别为a、b、c，D为BC的中点，E为AC的中点，F 为AB的中点，则连接AD、BE、CF的交点为G。

则需证明AD、BE、CF三条线段的交点G是一个固定点。

证明：由于D、E、F都是各边中点，可得：∵ D是BC的中点，∴ BD = DC；又∵ G是AD与BE的交点，故可以得出：∵ D、E分别为BC和AC的中点，∴ DE // AC，同时AE = EC，∴ △AED与△CEB 相似。

$\frac{GA}{BD}=\frac{GC}{CE}$又 $\because BD=DC$ ， $\therefore GA=GC$同理可得：于是，我们得到了两个相等的值：GA=GC，GB=GC。

由此，可知三角形GAC是一个等腰三角形，且AG与CF之间的线段垂直于CF，同理可得：因为三角形GAC、GBA、CBG均拥有最长边CG，所以它们就构成了一个共同的圆，而这个圆的中心就是点G。

因此可以得知：三角形ABC的三边中位线的交点G是一个固定点。

二、推广应用利用中位线定理，我们可以推导容易证明的三条定理和一个相关问题：中位线长定值定理、七分线长定值定理、以及在四边形中应用中位线定理、解决中位线问题。

1. 中位线长定值定理在三角形中，如果其中一条中位线相等，那么这个三角形就是等边三角形。

设△ABC为等边三角形，则BD、AE、CF三条中位线的长度均为$\frac{1}{2}$边长，又 $\because BD=AE=CF$ ，所以可以得到：BD=AE=CF=$\frac{1}{2}$a=a，同理可得：b=c=a。

在三角形中，三条中位线可将它们所在线段的长分为1:2:3的比例。

首先，由于三角形的三角形内部对角线互不交于同一点，那么三角形内部的线段AB、AC、BC是不会共线的。