2018-2019版高中数学人教版A版选修1-1课件：1.3 简单的逻辑联结词

[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P14～P17的内容，回答下列问题．(1)教材P14“思考”中的命题(3)与命题(1)、(2)之间有什么关系？提示：命题(3)是由命题(1)(2)使用联结词“且”联结得到的新命题．(2)教材P15“思考”中的命题(3)与命题(1)、(2)之间有什么关系？提示：命题(3)是由命题(1)(2)用联结词“或”联结得到的新命题．(3)教材P16“思考”中的命题(2)与命题(1)之间有什么关系？提示：命题(2)是命题(1)的否定．2．归纳总结，核心必记(1)用逻辑联结词“或”“且”“非”构成新命题①用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p 且q”．②用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p 或q”．③对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作，读作“非p”或“p的否定”．(2)含有逻辑联结词的命题的真假判断(1)“平面向量既有大小，又有方向”使用的逻辑联结词是什么？提示：且．(2)“a≥b”使用的逻辑联结词是什么？提示：或．(3)“方程x2－3＝0没有有理根”使用的逻辑联结词是什么？提示：非．(4)“p∨q”为真是“p∧q”为真的什么条件？(充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要)．提示：必要不充分．(5)命题的否定与否命题有什么不同？提示：命题的否定只否定命题的结论，而否命题，既否定命题的条件，又否定命题的结论．[课前反思](1)用逻辑联结词“且”、“或”、“非”构成的命题各是什么？其记法和读法各是什么？；(2)含逻辑联结词的命题的真假性有什么特点？；(3)“命题的否定”与“否命题”有什么不同？．讲一讲1．指出下列命题的形式及构成它的命题．(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)集合A⊆(A∪B);(4)正弦函数y＝sin x(x∈R)是奇函数并且是周期函数．[尝试解答](1)是“p∧q”形式的命题．其中p：向量有大小，q：向量有方向．(2)是“p∨q”形式的命题．其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．(3)是“”形式的命题．其中p：A⊆(A∪B)．(4)是“p∧q”形式的命题．其中p：正弦函数y＝sin x(x∈R)是奇函数，q：正弦函数y＝sin x(x∈R)是周期函数．正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解决这类问题的关键，有些命题中并不一定包含这些联结词，这时要结合命题的具体含义分析这些命题的构成．练一练1．指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题．(1)李明是男生且是高一学生．(2)方程2x2＋1＝0没有实根．(3)12能被3或4整除．解：(1)是“p且q”形式．其中p：李明是男生；q：李明是高一学生．(2)是“非p”形式，其中p：方程2x2＋1＝0有实根．(3)是“p或q”形式．其中p：12能被3整除；q：12能被4整除．[思考1]若p为真命题，q为假命题，则p∨q，p∧q，的真假性是什么？名师指津：p∨q为真，p∧q为假，为假．[思考2]若p∧q为真命题，那么p∨q一定是真命题吗？反之，若p∨q为真命题，那么p∧q一定是真命题吗？名师指津：若p∧q为真，则p∨q一定为真；若p∨q为真，则p∧q的真假性不能确定．[思考3]p与綈p的真假性一定相反吗？名师指津：若p是真命题，则一定是假命题；若p是假命题，则一定是真命题．讲一讲2．分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“”形成的命题，并判断其真假．(1)p：等腰梯形的对角线相等，q：等腰梯形的对角线互相平分；(2)p：函数y＝x2－2x＋2没有零点，q：不等式x2－2x＋1>0恒成立．[尝试解答](1)p∨q：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题．p∧q：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题．：等腰梯形的对角线不相等，假命题．(2)p∨q：函数y＝x2－2x＋2没有零点或不等式x2－2x＋1>0恒成立，真命题．p∧q：函数y＝x2－2x＋2没有零点且不等式x2－2x＋1>0恒成立，假命题．：函数y＝x2－2x＋2有零点，假命题．(1)命题结构的两种类型及判断方法①从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断．②若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断．(2)判断命题真假的三个步骤①明确命题的结构，即命题是“p∧q”“p∨q”还是“”；②对命题p和q的真假作出判断；③由“p∧q”“p∨q”“”的真假判断方法给出结论．练一练2．分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假．(1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边；(2)1或－1是方程x2＋3x＋2＝0的根；(3)(A∩B)⊆B.解：(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真，q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p ∨q ”的形式，其中p ：1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，q ：－1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，因为p 假，q 真，则“p ∨q ”真，所以该命题是真命题．(3)这个命题是“”的形式，其中p ：(A ∩B )⊆B ，因为p 真，则“”假，所以该命题是假命题.讲一讲3．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．若使p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数m 的取值范围．[尝试解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4>0，x 1＋x 2＝－2m >0，得m <－1，所以p ：m <－1.由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)<0，知－2<m <3. 所以q ：－2<m <3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p ，q 一真一假，①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2，②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2<m <3，此时－1≤m <3.综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1，3)．解决由含有逻辑联结词的三种命题的真假求参数的取值范围问题时，(1)由命题p ∧q ，p ∨q ，非p 的真假确定命题p 、q 可能的真假情况，依次讨论求解；(2)注意补集思想的应用，当“p 假”不易求解时改为求“p 真”时参数的取值范围构成的集合的补集．练一练3．设命题p ：“方程x 2＋mx ＋1＝0有两个实根”，命题q ：“方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根”，若p ∧q 为假，为假，求实数m 的取值范围．解：若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个实根， 则Δ1＝m 2－4≥0，解得m ≤－2或m ≥2， 即p ：m ≤－2或m ≥2.若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 则Δ2＝16(m －2)2－16<0， 解得1<m <3， 即q ：1<m <3. 由于p ∧q 为假，则p ，q 至少有一个为假； 又为假，则q 真，所以p 为假，即p 假q 真，从而有⎩⎪⎨⎪⎧－2<m <2，1<m <3，解得1<m <2，所以，实数m 的取值范围是(1，2)．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是含逻辑联结词的命题的真假判断，难点是根据含逻辑联结词的命题的真假性求参数的取值范围．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断含逻辑联结词的命题真假的方法，见讲2. (2)根据含逻辑联结词命题的真假求参数的方法，见讲3. 3．注意以下三个等价关系 (1)p ∧q 为真⇔p 和q 同时为真； (2)p ∨q 为真⇔p 和q 中至少有一个为真； (3)p 为真⇔为假．课时达标训练（四）[即时达标对点练]题组1含逻辑联结词的命题的构成1．已知p：x∈A∩B，则綈p是()A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B解析：选B p等价于x∈A且x∈B，所以为x∉A或x∉B.2．命题：“菱形对角线互相垂直平分”，使用的逻辑联结词的情况是()A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“非”解析：选B菱形的对角线互相垂直且互相平分，∴使用了逻辑联结词“且”．3．命题p：方向相同的两个向量共线，命题q：方向相反的两个向量共线．则命题：“p∨q”为___________________________________________________．答案：方向相同或相反的两个向量共线4．命题“若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为零”的否定为：________，否命题为：________．解析：否定形式：若abc＝0，则a、b、c全不为零．否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为零．答案：若abc＝0，则a、b、c全不为零若abc≠0，则a、b、c全不为零题组2含逻辑联结词的命题的真假判断5．若命题“p且q”为假，且为假，则()A．p或q为假B．q假C．q真D．p假解析：选B为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．6．已知命题p：x2＋y2＝0，则x，y都为0；命题q：若a2>b2，则a>b.给出下列命题：①p且q；②p或q；③；④.其中为真命题的是()A．①②B．①③C．②③D．②④解析：选D易知，p真，q假，所以p且q假，p或q真，假，真，即真命题是②④，故选D.7．由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“”形式的命题中，“p∨q”为真，“p ∧q”为假，“”为真的是()A．p：3为偶数，q：4是奇数B．p：3＋2＝6，q：5>3C．p：a∈{a，b}；q：{a}{a，b}D．p：Q R；q：N＝N解析：选B由已知得p为假命题，q为真命题，只有B符合．8．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a ∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是()A．p∨q B．p∧qC．()∧() D．p∨()解析：选A法一：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题．a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝x b，由b∥c知b＝y c，∴a＝xy c，∴a∥c，∴q是真命题．综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题．又∵为真命题，为假命题，∴()∧()，p∨()都是假命题．法二：由于a，b，c都是非零向量，∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴是真命题．命题q中，a∥b，则a与b 方向相同或相反；b ∥c ，则b 与c 方向相同或相反．故a 与c 方向相同或相反，∴a ∥c ，即q 是真命题，则是假命题．故p ∨q 是真命题，p ∧q ，()∧()，p ∨()都是假命题．题组3 利用三种命题的真假求参数范围 9．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z .若“p ∧q ”“”都是假命题，则x 的值组成的集合为________．解析：因为“p ∧q ”为假，“”为假，所以q 为真，p 为假．故⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3，x ∈Z .因此，x 的值可以是－1，0，1，2. 答案：{－1，0，1，2}10．设p ：不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅；q ：函数f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．解：对于p ，因为不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅， 所以Δ＝[－(a ＋1)]2－4＜0. 解这个不等式得，－3<a <1.对于q ：f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数， 则有a ＋1>1，所以a >0.又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题， 所以p 、q 必是一真一假．当p 真q 假时有－3<a ≤0，当p 假q 真时有a ≥1. 综上所述，a 的取值范围是(－3，0]∪[1，＋∞)．[能力提升综合练]1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．()∨()B ．p ∨()C ．()∧() D ．p ∨q解析：选A “至少有一位学员没有降落在指定范围”是指“甲没降落在指定范围”或“乙没降落在指定范围”，应表示为()∨()．2．已知命题p ：设x ∈R ，若|x |＝x ，则x >0，命题q ：设x ∈R ，若x 2＝3，则x ＝3，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．()∧q D ．()∨q解析：选D 由|x |＝x 应得x ≥0而不是x >0，故p 为假命题；由x 2＝3应得x ＝±3，而不只有x ＝3，故q 为假命题．因此为真命题，从而()∨q 也为真命题．3．下列各组命题中满足：“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，“”为真命题的是( )A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．在△ABC 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B ；q ：y ＝sin x 在第一象限内是增函数 C ．p ：若a >b ，则1a <1b；q ：不等式|x |>x 的解集为(－∞，0)D ．p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：若a ·b <0，则a 与b 的夹角不一定是钝角解析：选C 选项A 中，命题p 假，q 假，所以不满足题意；选项B 中，命题p 真，q 假，为假命题，也不满足题意；选项C 中，命题p 假，q 真，p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，为真命题，满足题意；选项D 中，p ，q 都是真命题，不符合题目要求．4．若命题为真命题，则p ，q 的真假情况为( )A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假 解析：选C 若为真命题，则p ∨()是假命题，故p 和都是假命题，即p 假q 真．5．命题p ：不等式ax ＋3>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－3a ，命题q ：在等差数列{a n }中，若a 1<a 2，则数列{a n }是递增数列，则“p ∧q ”“p ∨()”“()∧q ”中是真命题的是________． 解析：易知p 为假命题，q 为真命题，故只有()∧q 为真命题．答案：()∧q6．已知条件p ：(x ＋1)2>4，条件q ：x >a ，且綈p 是的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：由是的充分不必要条件，可知⇒; 但，又一个命题与它的逆否命题等价，可知q ⇒p 但p q ，又p ：x >1或x <－3，可知{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，所以a ≥1.答案：[1，＋∞)7．分别写出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的新命题，并判断其真假．(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；(2)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同，q：方程x2＋x－1＝0的两实根绝对值相等；(3)p：π是有理数，q：π是无理数．解：(1)p或q：3是9的约数或是18的约数，真；p且q：3是9的约数且是18的约数，真；非p：3不是9的约数，假．(2)p或q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等，假；p且q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同且绝对值相等，假；非p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不同，真．(3)p或q：π是有理数或是无理数，真；p且q：π是有理数且是无理数，假；非p：π不是有理数，真．8．命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅；命题q：函数y＝(2a2－a)x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．(1)p，q至少有一个是真命题；(2)p或q是真命题且p且q是假命题．解：因为关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，，所以Δ＝(a－1)2－4a2<0，即a<－1或a>13，所以p为真时a<－1或a>13为真时－1≤a≤13.因为函数y＝(2a2－a)x为增函数，所以2a2－a>1，或a>1，即a<－12所以q为真时a<－1或a>1.2为真时－12≤a ≤1. (1)若()∧()为真，则－12≤a ≤13， 所以p ，q 至少有一个是真时a <－12或a >13. 即此时a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞. (2)因为p ∨q 是真命题且p ∧q 是假命题， 所以p ，q 一真一假，所以()∧q 为真时⎩⎨⎧－1≤a ≤13，a <－12或a >1，即－1≤a <－12； p ∧()为真时⎩⎨⎧a <－1或a >13，－12≤a ≤1.即13<a ≤1. 所以p ∨q 是真命题且p ∧q 是假命题时，－1≤a <－12或13<a ≤1. 即此时a ∈⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤13，1.。