协方差·与·相关系数

( 2) 求 X 与 Z 的相关系数 . ( 3) 问 X 与 Z 是否相互独立 ? 为什么?
这个例子展现了一个思想，即：我们可以从一个随 机X出发，加入另外的随机变量，结果却能得到和这个随 机变量X互相独立的一个随机变量（组合）。 这个思想在对冲基金里面被广泛地应用。
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2 2 相关系数的意义 2.2
3
3. 计算协方差的一个简单公式 计算协方差的 个简单公式
由协方差的定义及期望的性质 可得 由协方差的定义及期望的性质，可得
Cov(X,Y) )=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)
即
Cov(X,Y) )=E(XY) -E(X)E(Y)
解得 这样求出的 最佳逼近为
Cov ( X , Y ) b0 D( X )
L(X)=a0+b0X
a0 E(Y ) b0 E( X )
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这样求出的最佳逼近为L(X)= ) a0+b0X 这 逼近的剩余是 这一逼近的剩余是
2 D(Y)( )(1- )
E[(Y-L(X))2] ]=
可见, 若 1, 若
故 ρXY Cov( X , Z ) ( D( X ) D( Z ) ) 0.
( 3) 由二维正态随机变量相 由 维正态随机变量相 关系数为零和相互独
立两者是等价的结论 , 可知 :X与Z是相 是相互独立的 独 的.
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已知随机变量 已知随机变量 X ,Y分别服从 N (1,3 2 ), ) N (0,4 2 ), ) 例3 ρ XY 1 2 , 设 Z X 3 Y 2 . (1) 求 Z 的数学期望和方差 .
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2 2 例2 设( X ,Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ 1 ,σ2 , ρ), 试求 X 与 Y 的
相关系数 . 解 由 f ( x, y )
1 2πσ1σ2 1 ρ2
1 ( x μ1 )2 ( x μ1 )( y μ2 ) ( y μ2 )2 exp p 2ρ 2 2 2 σ1σ2 σ2 2(1 ρ ) σ1
可见，若X 与 Y 独立， Cov(X,Y) )= 0 .
4
特别地
Cov ( X , X ) E ( X 2 ) E ( X ) 2 D ( X )
4. 随机变量和的方差与协方差的关系 D(X±Y) )= D(X)+D(Y) ± 2Cov(X,Y)
5
协方差的大小在 定程度上反映了X和Y相互 协方差的大小在一定程度上反映了 间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如： Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引 入了相关系数
若(X,Y)服从二维正态分布，则 X与Y独立

X与Y不相关
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三 课堂练习 三、课堂练习
1、设随机变量（X，Y）具有概率密度 1 ( x y ) 0 x 2,0 y 2 f ( x, y ) 8 其它 0
求E ( X ), E (Y ), Cov( X , Y ), D( X Y )。
但由 0
9
例1 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布 , 而Y=cos X, ， 不难求得 Cov(X,Y)=0， 事实上，X的密度函数
1 1 x 1 f ( x) 2 2 0 其它
E ( XY ) E ( X cos X )
1 2 1 2
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解 (1)由E ( X ) 1, D( X ) 9, E (Y ) 0, D(Y ) 16.
得
X Y 1 1 1 E ( Z ) E ( ) E ( X ) E (Y ) . 3 2 3 3 2 X Y X Y D( Z ) D( ) D( ) 2 Cov( , ) 3 2 3 2 1 1 1 D( X ) D(Y ) Cov( X ,Y ) 9 4 3 1 1 1 D( X ) D(Y ) ρXY D( X ) D(Y ) 9 4 3
D(Y )[1 2 ]
由于方差D(Y)是正的,故必有 1 1- ≥ 0, 0 所以 | |≤1。
2
8
2. X和Y独立时， =0，但其逆不真. 由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0. 故

Cov ( X , Y ) =0 D ( X ) D (Y )
并不一定能推出X和Y 独立.
Cov ( Z1 , Z 2 ) Cov (X Y ,X Y )
2Cov( X , X ) 2Cov(Y , Y ) 2 D( X ) 2 D(Y )
( 2 2 ) 2
Z Z
1
2
Cov ( Z1 , Z 2 ) 2 2 2 2 D( Z1 ) D ( Z 2 )
可得E ( X ) 0
x cos xf ( x)dx 0

Cov ( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) 0
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因而 =0， 即X和Y不相关 . 但Y与X有严格的函数关系，即X和Y不独立 .
3. 1
存在常数 a,b(b≠0)，使 使 P{Y= a + b X}=1，即 X 和 Y 以概率 1 线性相关
1 f X ( x) e 2 πσ1 1 fY ( y ) e 2 πσ 2
( x μ1 )2 2 2 σ1 ( y μ2 ) 2 2 2σ2
, x , , y .
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2 2 E ( X ) μ1 , E (Y ) μ2 , D( X ) σ1 , D(Y ) σ 2 .
相关系数刻划 X和Y间“线性相关”的程度。 相关系数刻划了 间 线性相关 的 度 考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y，以均方误差
e =E{[Y-(a+bX)]2}
来衡量以 a +b X 近似表示Y 的好坏程度 :
e 值越小表示 a +b X 与 Y 的近似程度越好
用微积分中求极值的方法，求出使e 达到最小时的 a,b
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已知随机变量 已知随机变量 X ,Y分别服从 N (1,3 2 ), N (0,4 2 ), 例3 ρ XY 1 2 , 设 Z X 3 Y 2 . (1) 求 Z 的数学期望和方差 .
( 2) 求 X 与 Z 的相关系数 . ( 3) 问 X 与 Z 是否相互独立 ? 为什么?
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e =E{[Y-(a+bX)]2 } =E(Y2)+b2E(X2)+a2- 2bE(XY)+2abE(X) - 2aE(Y)
e a 2a 2bE( X ) 2E(Y ) 0 e 2bE( X 2 ) 2E( XY) 2aE( X ) 0 b
而 Cov( X ,Y ) e
协方差的标准定义
( x μ1 )( y μ2 ) f ( x , y ) d x d y 1
2


2 πσ1σ 2 1 ρ e
( x μ1 )( y μ2 )
2

( x μ1 )2 y μ2 1 x μ1 ρ 2 σ1 2 σ1 2 ( 1 ρ 2 ) σ 2
1 4 2 3.
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X Y ( 2) Cov( C ( X , Z ) Cov( C (X, ) 3 2 1 1 Cov( C ( X , X ) Cov( C ( X ,Y ) 3 2 1 1 D( X ) ρXY D( X ) D(Y ) 3 3 0. 3 2
Y与X有严格线性关系;
=0， Y 与 X 无线性关系;
若0<| |<1, | |的值越接近于1, 1 Y 与 X 的线性相关程度越高; | |的值越接近于0, 0 Y与X的线性相关程度越弱
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前面，我们已经看到： 若 X 与 Y 独立，则X与Y不相关， 但由 由X与Y不相关，不一定能推出 相关 定能推 X与Y独立. 但对下述情形 独立与不相关等价 但对下述情形，独立与不相关等价
d y d x.
x μ1 x μ1 1 y μ2 , , u 令t ρ 2 σ1 σ1 1 ρ σ2
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Cov( X ,Y ) 1 2 2 ( σ σ 1 ρ tu ρσ σ u )e dtdu 1 2 1 2 2π 2 2 u t ρσ1σ 2 2 2 2 u e d u e d t 2π 2 u2 t 2 σ 1σ 2 1 ρ 2 2 u e d u t e d t 2π ρσ1σ 2 2 2 , 2
设X ~ N ( , 2 ),Y ~ N ( , 2 )，且设X，Y相互独立 2、
试求Z1 X Y和Z 2 X Y的相关系数(其中， 是不全为零的常数） 是不全为零的常数）。
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7 1 5 1、解 E ( X ) E (Y ) , Cov ( X , Y ) , D ( X Y ) 9 6 36 2、解 D( X ) D (Y ) 2 D( Z1 ) D (X Y ) 2 D( X ) 2 D(Y ) ( 2 2 ) 2 D( Z 2 ) D(X Y ) 2 D( X ) 2 D(Y ) ( 2 2 ) 2
第三节
1. 协方差 2. 相关系数 3. 课堂练习 4 小结 4.
协方差及相关系数
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