2018_2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程教案2(新版)新人教版

21.2.3解一元二次方程-公式法学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共12小题）1．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3=5x，下列叙述正确的是（）A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣32．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（）A．y=B．y=C．y=D．y=3．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣3＜a＜﹣4 D．4＜a＜54．若一元二次方程x2+x﹣1=0的较大根是m，则（）A．m＞2 B．m＜﹣1 C．1＜m＜2 D．0＜m＜15．方程x2﹣3|x|﹣2=0的最小一个根的负倒数是（）A．B．C．D．6．一元二次方程2x2﹣2x﹣1=0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间（）A．4，3 B．3，2 C．2，1 D．1，07．一元二次方程x2﹣4x+3=0的解是（）A．x=1 B．x1=﹣1，x2=﹣3 C．x=3 D．x1=1，x2=38．以x=为根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c=0 B．x2+bx﹣c=0 C．x2﹣bx+c=0 D．x2﹣bx﹣c=09．用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（）A．﹣1，3，﹣1 B．1，﹣3，﹣1 C．﹣1，﹣3，﹣1 D．﹣1，3，110．方程2x2﹣6x+3=0较小的根为p，方程2x2﹣2x﹣1=0较大的根为q，则p+q等于（）A．3 B．2 C．1 D．11．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根中较大的根是（）A．1+B．C．D．12．关于x的方程x（x+6）=16解为（）A．x1=2，x2=2 B．x1=8，x2=﹣4 C．x1=﹣8，x2=2 D．x1=8，x2=﹣2二．填空题（共6小题）13．方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式是，求根公式是．14．小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac ＞0的情况，他是这样做的：小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是．15．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为．16．已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x= ．17．利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为，确定的值，当时，把a，b，c的值代入公式，x1，x2= 求得方程的解．18．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为．三．解答题（共5小题）19．（1）用配方法解方程：3x2﹣12x+9=0．（2）用公式法解方程：3x2﹣9x+4=0．20．x2﹣2x﹣15=0．（公式法）21．用适当的方法解方程：（1）（5x+3）2﹣4=0；（2）2x2﹣4x+1=0．22．（1）解一元二次方程：x2﹣3x=1（2）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，求四边形ABFD 的周长．23．〔1〕若，则x的取值范围是；〔2〕在〔1〕的条件下，试求方程x2+|x﹣1|﹣3=0的解．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：∵﹣4x2+3=5x∴﹣4x2﹣5x+3=0，或4x2+5x﹣3=0∴a=﹣4，b=﹣5，c=3或a=4，b=5，c=﹣3．故选：B．2．解：∵4y2=12y+3∴4y2﹣12y﹣3=0∴a=4，b=﹣12，c=﹣3∴b2﹣4ac=192∴y==．故选C．3．解：一元二次方程x2﹣3x﹣5=0，∵a=1，b=﹣3，c=﹣5，∴△=9+20=29，∴x=，则较小的根a=，即﹣2＜a＜﹣1，故选：A．4．解：∵a=1，b=1，c=﹣1，∴△=1﹣4×1×（﹣1）=5＞0，则x=，∴方程的较大根m=，∵2＜＜3，∴＜＜1，故选：D．5．解：设|x|=y此方程变形为y2﹣3y﹣2=0，解得：y=，∴|x|=或|x|=＜0（舍），则x=或x=﹣，∴最小的根为﹣，它的负倒数是=，故选：A．6．解：解方程2x2﹣2x﹣1=0得：x=1±，设a是方程2x2﹣2x﹣1=0较大的根，∴a=，∵1＜＜2，∴2＜1+＜3，即1＜a＜．故选：C．7．解：a=1，b=﹣4，c=3△=16﹣12=4＞0x=解得：x1=3，x2=1；故选D．8．解：根据求根公式知，﹣b是一次项系数，二次项系数是1或﹣1，常数项是﹣c或c．所以，符合题意的只有D选项．故选：D．9．解：方程﹣x2+3x=1整理得：﹣x2+3x﹣1=0，则a，b，c依次为﹣1；3；﹣1．故选：A．10．解：2x2﹣6x+3=0，这里a=2，b=﹣6，c=3，∵△=36﹣24=12，∴x==，即p=；2x2﹣2x﹣1=0，这里a=2，b=﹣2，c=﹣1，∵△=4+8=12，∴x==，即q=，则p+q=+==2．故选：B．11．解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1=0中，a=1，b=﹣1，c=﹣1，∴x==，∴一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根中较大的根是．故选：B．12．解：原方程变形为：x2+6x﹣16=0，x==∴x1=﹣8，x2=2，故选：C．二．填空题（共6小题）13．解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式是b2﹣4ac，求根公式为．14．解：小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义；故答案为四；平方根的定义．15．解：∵x=（b2﹣4c＞0），∴x2+bx+c=（）2+b+c=++c===0．故答案为：0．16．解：根据题意得：7x（x+5）+10+9x﹣9=0，整理得：7x2+44x+1=0，这里a=7，b=44，c=1，∵△=442﹣28=1908，∴x==．故答案为：．17．解：利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为一般式方程，确定a，b，c的值，当△＞0时，把a，b，c的值代入公式，x1，x2=求得方程的解．故答案是：一般式方程；a，b，c；△＞0；．18．解：方程x2﹣12x+31=0，变形得：x2﹣12x=﹣31，配方得：x2﹣12x+36=5，即（x﹣6）2=5，开方得：x﹣6=±，解得：x=6+或x=6﹣，当x=6﹣时，2x=12﹣2＜20﹣12+2，不能构成三角形，舍去，则方程x2﹣12x+31=0的根为6+．故答案为：6+三．解答题（共5小题）19．解：（1）两边同除以3，得x2﹣4x+3=0，移项，得x2﹣4x=﹣3，配方，得x2﹣4x+4=﹣3+4，（x﹣2）2=1，x﹣2=±1，x1=3，x2=1；（2）∵a=3，b=﹣9，c=4，∴△=b2﹣4a c=（﹣9）2﹣4×3×4=33＞0，∴方程有两个不相等的实数根为x=，x1=，x2=．20．解：∵x2﹣2x﹣15=0．∴a=1，b=﹣2，c=﹣15，∴b2﹣4ac=4+60=64＞0，∴x=，∴x=5或﹣3．21．解：（1）方程整理得：（5x+3）2=4，开方得：5x+3=2或5x+3=﹣2，解得：x1=﹣，x2=﹣1；（2）这里a=2，b=﹣4，c=1，学习K12教育资料学习K12教育资料 ∵△=16﹣8=8，∴x==．22．解：（1）这里a=1，b=3，c=﹣1， ∵△=9+4=13，∴x=．（2）∵△ABC 沿BC 方向平移2cm 得到△DEF ， ∴CF=AD=2cm ，AC=DF ，∵△ABC 的周长为16cm ，∴AB+BC+AC=16cm ，∴四边形ABFD 的周长=AB+BC+CF+DF+AD =AB+BC+AC+CF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm ．23．解：（1）∵=|x ﹣1|=1﹣x ， ∴x ﹣1≤0，即x ≤1．故答案为x ≤1．（2）由x ≤1，方程化为：x 2﹣x ﹣2=0， 则（x ﹣2）（x+1）=0，∴x ﹣2=0或x+1=0，∴x 1=2，x 2=﹣1．。

第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程知识点1.只含有 个未知数，并且未知数的 方程叫一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是 ，其中二次项为 ，一次项 ，常数项 ，二次项系数 ，一次项系数 .3.使一元二次方程左右两边 叫一元二次方程的解。

一．选择题1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．x-2=0B ．x 2-4x-1=0C ．x 2-2x-3D ．xy+1=02．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．5x+3=0B ．x 2-x （x+1）=0C ．4x 2=9D ．x 2-x 3+4=03．关于x 的方程013)2(22=--+-x x a a 是一元二次方程，则a 的值是（ ）A ．a=±2B ．a=-2C ．a=2D ．a 为任意实数4．把一元二次方程4)3()1(2+-=-x x x 化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（ ）A ．2，-3B ．-2，-3C ．2，-3xD ．-2，-3x5．若关于x 的一元二次方程x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或-1D ．06．把方程2（x 2+1）=5x 化成一般形式ax 2+bx+c=0后，a+b+c 的值是（ ）A ．8B ．9C ．-2D ．-17．（2013•安顺）已知关于x 的方程x 2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-28．（2013•牡丹江）若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0（a ≠0）的解是x=1，则2013-a-b 的值是（ ）A ．2018B ．2008C ．2014D ．2012二．填空题9.当m= 时，关于x 的方程5)3(72=---x x m m 是一元二次方程；10．若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是 .11．方程5)1)(13(=+-x x 的一次项系数是 .12．（2012•柳州）一元二次方程3x 2+2x-5=0的一次项系数是 .13．关于x 的一元二次方程3x （x-2）=4的一般形式是 .14．（2005•武汉）方程3x 2=5x+2的二次项系数为 ，一次项系数为 .15．（2007•白银）已知x=-1是方程x 2+mx+1=0的一个根，则m= .16．（2010•河北）已知x=1是一元二次方程x 2+mx+n=0的一个根，则m 2+2mn+n 2的值为 ．17．（2013•宝山区一模）若关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+x+m 2-4=0的一个根为0，则m 值是 .18．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有一个根为1，一个根为-1，则a+b+c= ，a-b+c= ．三．解答题19．若（m+1）x |m|+1+6-2=0是关于x 的一元二次方程，求m 的值．20．（2013•沁阳市一模）关于x 的方程（m 2-8m+19）x 2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．2１．一元二次方程0)1()1(2=++++c x b x a 化为一般式后为01232=-+x x ，试求0222=-+c b a 的值的算术平方根．21.1 一元二次方程知识点1.一，最高次数是2的整式。

21.3 实际问题与一元二次方程第1课时用一元二次方程解决传播问题01 教学目标1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．2．通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．02 预习反馈阅读教材P19“探究1”，完成下面的探究内容．问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了x人，第一轮后共有(x＋1)人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，第二轮后共有1＋x＋x(1＋x)人患了流感．则列方程1＋x＋x(1＋x)＝121，解得x＝10或x＝－12(舍)，即平均一个人传染了10个人．再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？03 新课讲授类型1 利用一元二次方程解决传播问题例1(教材P19探究1的变式题)某种电脑病毒的传播速度非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【思路点拨】设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑，用含有x的代数式表示出经过两轮感染后被感染的电脑的台数，从而可列出方程．【解答】设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑．列方程，得1＋x＋x(1＋x)＝81.解得x1＝8，x2＝－10(舍去)．∴第三轮被感染的电脑为：81＋81×8＝729(台)．∵729＞700，∴3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，三轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【方法归纳】传播类问题规律：(1)设开始数量为1，每轮感染的数量为x，经n轮感染后的数量为b，则所列方程为(1＋x)n＝b；(2)设开始数量为a，每轮感染的数量为x，经n轮感染后的数量为b，则所列方程为a(1＋x)n＝b.【跟踪训练1】某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总数达24 000个．其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？解：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意，得60(1＋x)2＝24 000.解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)．答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌．类型2 利用一元二次方程解决握手问题例2 (教材补充例题)在李老师所教的班级中，两个学生都握手一次，全班学生一共握手780次，那么你知道李老师所教班共有多少名学生吗？【思路点拨】 设李老师所教班共有x 名学生，每个人都要和其他(x －1)个人握手一次，共握手x (x －1)次，但每两个人握手一次，则全班学生一共握手12x (x －1)次． 【解答】 设李老师所教班共有x 名学生，依题意有12x (x －1)＝780， 即(x －40)(x ＋39)＝0，解得x ＝40或x ＝－39(舍去)．答：李老师所教班共有40名学生．【跟踪训练2】 某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，∴共7×4＝28场比赛．设比赛组织者应邀请x 队参赛，则由题意可列方程为x （x －1）2＝28. 解得x 1＝8，x 2＝－7(舍去)．答：比赛组织者应邀请8队参赛．类型3 利用一元二次方程解决数字问题例3 (教材补充例题)一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．【思路点拨】 设这个数的个位数字为x ，则根据“十位数字比个位数字小2”可以表示出十位上的数字．再根据等量关系“一个两位数等于其各位数字之积的3倍”列出方程．【解答】 设这个数的个位数为x ，则十位数字为(x －2)．由题意，得10(x －2)＋x ＝3(x －2)x .解得x 1＝53，x 2＝4. 答：两位数为24.【方法归纳】 数字问题常用解题技巧：(1)三个连续偶数(奇数)：若设中间的一个数为x ，则另两个数分别为x －2，x ＋2.(2)两位数的表示方法：若十位、个位上的数字分别为a ，b ，则这个两位数可表示为10a ＋b .(3)三位数的表示方法：若百位、十位、个位上的数字分别是a ，b ，c ，则这个三位数可表示100a ＋10b ＋c .【跟踪训练3】 一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1 008，求这个两位数．解：设原两位数的个位数字为x ，十位数字为(6－x)．根据题意，得[10(6－x)＋x][10x ＋(6－x)]＝1 008，即x 2－6x ＋8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4，∴6－x ＝4，或6－x ＝2，∴10(6－x)＋x ＝42或10(6－x)＋x ＝24，答：这个两位数是42或24.04 巩固训练1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，则每轮传染中，平均一个人传染的人数为(C ) A ．11人 B ．10人 C ．9人 D ．8人2．两个相邻正整数的平方和比这两个数中较小的数的2倍大51，则这两个数是5，6.3．某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向9个人发送短信．4．(21.3第1课时习题)某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，求每个枝干长出多少小分支？解：设每个枝干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91，即x2＋x－90＝0.解得x1＝9，x2＝－10(舍去)．答：每个枝干长出9个小分支．05 课堂小结列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“设”，即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(2)“列”，即根据题中的等量关系列方程；(3)“解”，即求出所列方程的根；(4)“检验”，即验证是否符合题意；(5)“答”，即回答题目中要解决的问题．。

2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版的全部内容。

21.2.2 公式法※教学目标※【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程．2。

能利用公式法求一元二次方程的解．【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力．【情感态度】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严禁认真的科学态度．【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】一元二次方程求根公式的推导．※教学过程※一、复习导入1.前面我们学习过直接开平方法解一元二次方程，比如，方程24x，227x：提问1 这种解法的（理论）依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么?（只对那种“平方式等于非负数"的特殊的一元二次方程有效，不能实施于一般形式的一元二次方程）2.面对这种局限性，我们该怎么办？（使用配方法,把一般形式的一元二次方程化为能够直接开平方的形式）（学生活动) 用配方法解方程:2x x．237总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结,老师点评）（1）先将已知方程化为一般形式； （2）二次项系数化为1； （3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一般的平方，使左边配成一个完全平方式; （5）变形为2x np 的形式，如果0p ，就可以直接开平方求出方程的解，如果0p ，则一元二次方程无解．二、探索新知能否用上面配方法的步骤求出一元二次方程200ax bx c a 的两根？移项，得2ax bxc ．二次项系数化为1,得2b cx xa a． 配方，得22222b b c b xx a aaa，即222424b b ac x aa ．此时，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：（1）两边能直接开平方吗？为什么？ （2）你认为下一步该怎么办？师生共同完善认知：(1）当b 2—4ac ＞0时，两边可直接开平方，得242b b ac x a，∴2142bb ac x a，2242bb ac x a;（2)当b 2—4ac =0时，有202b x a 。

第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）21.2解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=± m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。

这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。

1.转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）2.系数化1：将二次项系数化为13.移项：将常数项移到等号右侧4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式6.开方：左右同时开平方7.求解：整理即可得到原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

21.3 实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．。

人教版九年级数学上册知识点总结第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

典型例题：1、已知关于x的方程（）x21m-+（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。

21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a-.（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

21．2.3 因式分解法01 教学目标1．会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程．2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．02 预习反馈1．因式分解：x 2－x ＝x(x －1)．方程x 2－x ＝0变形为x(x －1)＝0，所以x ＝0或x －1＝0，所以原方程的解为x 1＝0，x 2＝1．2．因式分解：(x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝(x ＋1)(x －3)．解一元二次方程(x ＋1)(x －1)＝2(x ＋1)，移项得(x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝0，左边因式分解得(x ＋1)(x －3)＝0，所以x ＋1＝0或x －3＝0，所以原方程的解为x 1＝－1，x 2＝3．03 新课讲授类型1 用因式分解法解一元二次方程例1 (教材P14例3)解下列方程：(1)x (x －2)＋x －2＝0；(2)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34. 【解答】 (1)因式分解，得(x －2)(x ＋1)＝0.于是得x －2＝0，或x ＋1＝0. x 1＝2，x 2＝－1.(2)移项、合并同类项，得4x 2－1＝0.因式分解，得(2x ＋1)(2x －1)＝0.于是得2x ＋1＝0，或2x －1＝0， x 1＝－12，x 2＝12.【方法归纳】 利用因式分解法解一元二次方程的步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边进行因式分解；③令每个因式为0，得到两个一元一次方程；④解一元一次方程，得到方程的解．【跟踪训练1】 用因式分解法解下列方程：(1)(2＋x)2－9＝0； (2)3x(x －2)＝2(x －2)．解：(1)(x ＋5)(x －1)＝0，x 1＝－5，x 2＝1.(2)原方程变形为3x(x －2)－2(x －2)＝0，即(3x －2)(x －2)＝0，解得x 1＝23，x 2＝2.类型2 用合适的方法解一元二次方程例2 (教材补充例题)选择合适的方法解一元二次方程：(1)4(x －5)2＝16；(2)3x 2＋2x －3＝0；(3)x 2＋2x ＋3(x ＋2)＝0.【思路点拨】 根据方程的不同特点选取最简便的方法．(1)可以用直接开平方法；(2)可以用公式法；(3)可以用因式分解法．【解答】 (1)(x －5)2＝4，∴x －5＝±2，∴x 1＝7，x 2＝3.(2)∵b 2－4ac ＝22－4×3×(－3)＝4＋36＝40，∴x ＝－2±402×3，∴x 1＝－1＋103，x 2＝－1－103. (3)原式可化为(x ＋2)(x ＋3)＝0，∴x ＋2＝0或x ＋3＝0，∴x 1＝－2，x 2＝－ 3.【方法归纳】 解一元二次方程的方法主要有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，其中直接开平方法和因式分解法较为简便，但是不适用于所有方程，配方法和公式法可适用于所有方程，所以先考虑直接开平方法和因式分解法，再考虑配方法和公式法．【跟踪训练2】 用合适的方法解下列方程：(1)5x 2－4x －1＝0；(2)x 2＋2x －3＝0.解：(1)x 1＝1，x 2＝－15.(2)x 1＝1，x 2＝－3.04 巩固训练1．方程x(x －1)＝x 的根是(D ) A ．x ＝2 B ．x ＝－2C ．x 1＝－2，x 2＝0D ．x 1＝2，x 2＝02．一元二次方程(x －2)2＝x －2的解是x 1＝2，x 2＝3．3．(21.2.3习题)用适当的方法解下列方程：(1)2(x ＋1)2＝4.5；解：(x ＋1)2＝2.25. x ＋1＝±1.5.∴x 1＝0.5，x 2＝－2.5.(2)x 2＋4x －1＝0；解：(x ＋2)2＝5. x ＋2＝± 5.∴x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5. (3)3x 2＝5x ； 解：3x 2－5x ＝0. x (3x －5)＝0.x ＝0或3x －5＝0.∴x 1＝0，x 2＝533. (4)4x 2＋3x －2＝0.解：a ＝4，b ＝3，c ＝－2.b 2－4ac ＝32－4×4×(－2)＝41>0.∴x ＝－3±412×4＝－3±418. ∴x 1＝－3＋418，x 2＝－3－418.05 课堂小结1．用因式分解法解一元二次方程的步骤．2．选择合适的方法解一元二次方程．。

新课标人教版九年级上册数学全册教案第二十一章 一元二次方程21. 1 一元二次方程教学目标1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2.了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 重点难点重点：通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点：一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项系数的识别． 教学过程活动一：创设情境1．什么是方程？什么是一元一次方程？2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别是什么方程？(1)3x ＋4＝1；(2)6x －5y ＝7；(3)3x 4－y 5＝0；(4)51y ＝5；(5)x 2－70x ＋825＝0；(6)7＋y －23＝4；(7)x(x ＋5)＝150；(8)54x －3y ＝0.3．什么是“元”？什么是“次”？活动二：一元二次方程及其相关概念的学习自学教材第2～3页，思考教师所提下列问题：1．问题1中列方程的等量关系是________，所列方程为________，化简后为________．2．问题2中列方程的等量关系是________，为什么要乘21？所列方程为________，化简后为________．3．观察上面化简后的方程，会发现：等号两边都是________，只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的方程，叫做一元二次方程．4．任何一个方程都要化成它的一般形式，一元二次方程的一般形式为________(a ≠________)．为什么？5．说出一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项，在确定各个系数时要注意什么？设计意图：通过设问的方式来加深学生对一元二次方程的理解，排除学生对一元二次方程及其相关概念理解的障碍，让学生体会到一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型，同时，通过设问也给学生学习探究搭建了交流平台．活动三：尝试练习1．判断下列方程是否为一元二次方程．(1)3x＋2＝5y－3；(2)x2＝4；(3)3x2－x5＝0；(4)x2－4＝(x＋2)2；(5)ax2＋bx＋c＝0.2．方程2x2＝3(x－6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为( )A．2，3，－6 B．2，－3，18 C．2，－3，6 D．2，3，6(答案：1.略；2.B.)活动四：知识拓展例关于x的方程(m＋1)x|m|＋1＋3x＝6，当m＝________时，该方程是一元二次方程．分析：要使(m＋1)x|m|＋1＋3x＝6为一元二次方程，除了考虑未知数的最高次数为2，还要想到m＋1≠0.解题过程略．活动五：课堂小结和作业布置课堂小结：1．一元二次方程的概念是什么？一个一元二次方程必须同时满足三个要素：(1)整式；(2)方程整理后含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是二次．2．一元二次方程的一般形式是什么？二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项的概念分别是什么？作业布置：1．教材第4页练习第1～2题．2．若x2－2x m－1＋3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值．21. 2 解一元二次方程21. 2. 1 配方法(2课时)第1课时配方法的基本形式教学目标1．理解一元二次方程降次的转化思想．2．会利用直接开平方法对形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程进行求解．重点难点重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．教学过程活动一：情境引入印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽叽喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起．”大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的81的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？(多媒体展示问题．学生互相讨论、分析理解．教师点拨、启发、引导学生分析解题．)设计意图：寓教于乐，可激发学生的探索欲望．活动二：探索发现1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点P从点B开始，沿BA边向点A以1 cm/s 的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果AB ＝6 cm，BC＝12 cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8 cm2?2．能否求下列方程的解？(1)(2t＋1)2＝8；(2)4(x－3)2＝225；(3)9x2－6x＋1＝0；(4)x2＋4x＋4＝1.(教师引导学生观察、分析、探索．学生小组内交流、探讨知识的发展变化，找出规律，升华为理论知识．)设计意图：通过该活动引导学生探究、发现解一元二次方程的解法．通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．活动三：归纳总结——由感性到理性问题1：你能和同伴交流吗？降次的实质：____________________.降次的方法：____________________.降次体现了________思想．2．如果方程能化成x2＝p或(nx＋m)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝________，或nx＋m＝________.(学生与同伴交流后将其发现告诉教师并共同探索．)设计意图：进一步体验充满探索与创造的数学活动，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．活动四：巩固练习1．教材第6页练习．2．你学会了吗？解下列方程：(1)(21x－2)2＝3；(2)2x2－98＝0；(3)x2－6x＋9＝2；(4)10(1＋x)2＝14.4；(5)(1＋x＋21)2＝2.56；(6)x4－6x2＋9＝0；(7)41(3x＋1)2－15＝0.(教师引导，组织学生练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，对学生存在的共性问题做好补教．强调该方法的依据是平方根的意义．学生独立思考解决问题．)设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握开平方法的应用，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．活动五：师生小结1．本节课你感受到了什么？2．根据本节课解方程的方法，你能谈谈你的收获吗？3．你认为应该注意什么？4．本节课你的困惑是什么？5．你认为最让你费解的地方在哪里？(教师启发学生回忆．学生可以与同伴交流，也可以请教老师．)设计意图：创造一个平等民主的学习氛围，尽可能地让学生把自己的所思所想表达出来，以期共同提高．活动六：布置作业教材第16页习题21.2第1题．(教师布置作业，学生按要求课外完成．)21. 2 解一元二次方程21. 2. 1 配方法(2课时)第2课时配方法的灵活应用教学目标1．理解配方法．2．会利用配方法熟练、灵活地解二次项系数为1的一元二次方程．重点难点重点：用配方法熟练地解二次项系数为1的一元二次方程．难点：灵活地运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．教学过程活动一：复习引入问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽应各是多少？(1)如何设未知数？根据题目的等量关系如何列出方程？(2)所列方程和之前我们学习的方程x2＋6x＋9＝2有何联系与区别？(3)你能由方程①x2＋6x＋9＝2的解法联想到怎样解方程②x2＋6x－16＝0吗？(学生完成问题(1)，列出方程．如何解这个方程呢？学生观察问题(2)，找到联系与区别，教师可点拨启发．问题(3)，学生思考、讨论．) 设计意图：问题(1)益于培养学生的应用意识，可激发学生的探究欲．问题(2)激起学生学习的欲望．活动二：实验发现我们研究方程x2＋6x＋7＝0的解法：将方程视为x2＋2·x·3＝－7，配方，得x2＋2·x·3＋32＝32－7，即(x＋3)2＝2，由此可得x＋3＝±，所以x1＝－3＋，x2＝－3－.这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解．总结发现：用配方法解一元二次方程的步骤．①把原方程化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．(教师引导学生观察、分析、发现和提出问题．让学生用自己的方法探究一元二次方程的解法．)设计意图：通过引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．培养学生善于总结思考的能力．活动三：用配方法解决问题例解下列方程：(1)x2－2x－35＝0；(2)2x2－4x－1＝0.分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．解：(1)x2－2x＝35.x2－2x＋12＝35＋12.(x－1)2＝36，x－1＝±6，x－1＝6，x－1＝－6，x 1＝7，x2＝－5.可以验证x1＝7，x2＝－5都是方程x2－2x－35＝0的根．(2)x2－2x－21＝0，x2－2x＝21，x2－2x＋12＝21＋12，(x－1)2＝23，x－1＝±26，即x－1＝26，x－1＝－26，x 1＝1＋26，x2＝1－26.可以验证x1＝1＋26，x2＝1－26都是方程2x2－4x－1＝0的根．(可以让两位学生演示．可给学生提示两边同时除以二次项的系数．验证不可少，但可写也可不写．)设计意图：通过练习，使学生认识到：配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方(二次项系数必须为1)．培养学生做事严谨周密的习惯．活动四：巩固练习1．填空：(1)x2＋10x＋( )＝( )2；(2)x2－8x＋( )＝(x－ )2；(3)x2＋x＋( )＝(x＋ )2；(4)4x2－6x＋( )＝4(x－ )2＋( )．2．用配方法解方程：(1)x2＋8x－2＝0；(2)x2－5x－6＝0；(3)x2＋7＝6x.(教师引导，组织学生练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，共性问题做好补教．学生独立思考解决问题．)设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握方法的应用，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．活动五：师生小结1．小结：应用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的要点是：(1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；(3)方程两边各加上一次项系数一半的平方．2．布置作业：教材第17页习题21.2第2，3题．(教师发动学生共同参与，语言切忌主观，站在学生的角度看待每一点．教师布置作业，分层次提出要求．)设计意图：梳理学习内容、方法、思路，养成系统整理知识的习惯，形成知识体系．加深认识，深化提高，形成知识体系．21. 2. 2 公式法教学目标1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．2．会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程．重点难点重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．教学过程活动一：复习引入用配方法解下列方程：(1)6x2－7x＋1＝0；(2)4x2－3x＝52.总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，教师点评)．(1)移项；(2)化二次项系数为1；(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方；(4)原方程变形为(x＋m)2＝n的形式；(5)如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解；如果右边是负数，则一元二次方程无解．(安排两名学生板书．教师引导学生回忆用配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤．)设计意图：通过复习引入，让学生回忆配方法的解题思路，并通过两道练习题巩固所学知识，同时为本节课的学习做好铺垫．活动二：实验发现如果一个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的两根？请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且b2－4ac≥0，试推导它的两个根x1＝2ab2－4ac，x 2＝2ab2－4ac.分析：因为前面具体数字已做得很多了，我们现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤可以一直推导下去．解：移项，得ax2＋bx＝－c，二次项系数化为1，得x2＋a b x＝－a c，配方，得x2＋a b x＋(2a b)2＝－a c ＋(2a b)2， 即(x ＋2a b)2＝4a2b2－4ac①.因为a ≠0，所以4a 2>0，式子b 2－4ac 的值有以下三种情况： (1)当b 2－4ac>0时，4a2b2－4ac>0. 由①直接开平方，得 x ＋2a b＝ ±2a b2－4ac， 即x ＝2a b2－4ac ， ∴x 1＝2a b2－4ac ， x 2＝2a b2－4ac.(2)当b 2－4ac ＝0时，4a2b2－4ac＝0，由①可知，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2a b.(3)当b 2－4ac<0时，4a2b2－4ac<0，由①可知(x ＋2a b)2<0，因此方程无实数根． 由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)根的判别式，通常用希腊字母Δ表示它，即Δ＝b 2－4ac ，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当Δ≥0时，将a ，b ，c 的值代入式子x ＝2a b2－4ac 就能得到方程的根；当Δ<0时就能得到方程无实数根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式． (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．(教师引导、启发学生探索求根公式并得出公式法的概念．也可课件演示推导过程．引导学生做完题后总结．)设计意图：让学生亲自动手实验，探究结论，激发兴趣．培养学生爱动脑思考的好习惯．活动三：利用公式解决问题教材第11页例2.(找四位学生板书，教师巡视及时发现错误及时纠正，对于部分学生给予适当鼓励．)设计意图：加深对所学知识的理解．活动四：巩固练习1．解下列方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－7x＝4；(3)2x2－3x＋1＝0.2．应用题：有一长方形的桌子，长为3 m，宽为2 m，一长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，且将桌布铺到桌面上时各边垂下的长度相同，则桌布长为________，宽为长度相同，则桌布长为________．(教师引导，组织练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，共性问题做好补教．学生独立思考解决问题．)设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握公式法，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．活动五：师生小结1．本节课你有什么困惑，请你大声地告诉老师．2．本节课你有何感想，请你畅所欲言．3．本节课你有何收获，请你与同伴分享．布置作业：教材第17页习题21.2第4，5题．21. 2. 3 因式分解法教学目标1．了解因式分解法的概念．2．会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程．重点难点重点：应用因式分解法解一元二次方程．难点：将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式进行因式分解．教学过程活动一：复习引入问题(学生活动)解下列方程．(1)2x2＋x＝0(用配方法)．(2)3x2＋6x＝0(用公式法)．(3)要使一块矩形场地的长比宽多3 m，并且面积为28 m2，场地的长和宽应各是多少？(4)如何设未知数并根据题目的等量关系列出方程？(5)所列方程和以前我们学习的方程x2＋6x＋9＝2有何联系与区别？(6)你能由方程x2＋6x＋9＝2的解法联想到怎样解方程x2＋3x－28＝0吗？(鼓励学生自主探究、小组合作交流．)设计意图：通过复习引入，让学生回忆配方法和公式法的解题思路，并通过两道练习题巩固所学知识，同时为本节课的学习做好铺垫．活动二：实验发现思考：(1)x(2x＋1)＝0；(2)3x(x＋2)＝0.问题：(1)你能观察出这两题的特点吗？(2)你知道方程的解吗？说说你的理由．因式分解法的理论根据是：两个因式的积等于零，那么这两个因式的值就至少有一个等于零．即：若ab＝0，则a＝0或b＝0.由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积而另一边等于0时，即可解之．这种方法叫做因式分解法．(3)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解．(教师展示练习．对于一部分学生老师可给予一定的帮助，也可以鼓励同学之间互相帮助．)设计意图：让学生亲自动手实验、探究结论、激发兴趣．活动三：用因式分解法解决问题教材第14页例3.补充例题：解方程．(1)3x2＝8x，(2)(x－4)2＝3x－12.分析：(1)移项提取公因式x；(2)等号右侧移项到左侧得－3x＋12，提取因式－3，即－3(x－4)，再提取公因式x－4，便可达到分解因式的目的，一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式．解：(1)移项，得3x2－8x＝0，因式分解，得x(3x－8)＝0，于是，得x＝0或3x－8＝0，x 1＝0，x2＝38.(2)移项，得(x－4)2－3x＋12＝0，(x－4)2－3(x－4)＝0，因式分解，得(x－4)(x－4－3)＝0，整理，得(x－4)(x－7)＝0，于是，得x－4＝0或x－7＝0.x 1＝4，x2＝7.(找两位同学板书，教师巡视及时发现错误及时纠正，对于部分学生给予适当鼓励．)设计意图：加深对所学知识的理解．活动四：巩固练习1．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x＋8＝0的解，则这个三角形的周长是( )A．8 B．8或10 C．10 D．8和10 2．用因式分解法解方程4(x＋1)－3x(x＋1)＝0，可把其化为两个一元一次方程________、________求解．3．方程(x＋1)(x－2)＝0的根是( )A．x＝－1 B．x＝2 C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝－1，x2＝24．解下列方程：(1)x2－3x－10＝0；(2)(x＋3)(x－1)＝5.(教师引导，组织练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，共性问题做好补教．学生独立思考解决问题．)设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握一元二次方程的解法，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．活动五：师生小结(1)用因式分解法，即用提取公因式法、平方差公式、完全平方公式等解一元二次方程．(2)三种方法(配方法、公式法、因式分解法)的联系与区别：联系：①降次，它们的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．区别：①配方法要先配方，再开方求根．②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使每个一次因式等于0.布置作业：教材第17页习题21.2第6题．*21. 2. 4 一元二次方程的根与系数的关系教学目标1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．2．灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题．3．提高学生综合运用基础知识分析解决复杂问题的能力．重点难点重点：一元二次方程的根与系数的关系．难点：对根与系数的关系的理解和推导．教学过程活动一：引入新课我们知道，方程的根是由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的各项系数a，b，c决定的．我们还知道根是由b2－4ac决定其情况的．今天我们来研究方程的两根的和及两根的积与a，b，c有怎样的关系？(教师出示问题，学生初步了解本节课的学习内容．教师引出新课并板书课题．)设计意图：开门见山，引入新课．活动二：思考与归纳从下表中找出两根之和x1＋x2与两根之积x1x2和a，b，c的关系：归纳：(1)形如x 2＋px ＋q ＝0的一元二次方程两根的和、积分别与系数有如下关系：x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q.(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一元二次方程的两根的和、积分别与系数有如下关系：x 1＋x 2＝－a b，x 1x 2＝a c.(教师引导学生先观察表格中前三行，看有什么共同规律？再观察后三行．学生观察、思考、归纳、总结．)设计意图：通过几个具体的方程，经过观察、归纳得出一般规律． 活动三：推理验证验证ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与a ，b ，c 的关系． 设ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2. 则x 1＝2a b2－4ac，x 2＝2a b2－4ac， 由此可知x 1＋x 2＝2a b2－4ac＋2a b2－4ac＝2a －2b＝－a b ， x 1x 2＝2a b2－4ac·2a b2－4ac＝4a2（－b ）2－（b2－4ac ）＝a c.(教师让学生通过推导证明前面的结论．教师引导：由求根公式求出x 1＋x 2，x 1x 2.)设计意图：通过推导证明渗透由特殊到一般的认知规律． 活动四：巩固练习 1．应用例4 教材第16页．补充例题：不解方程，若知道5x 2＋kx ＋12＝0的一个根为4，你能求出方程的另一个根吗？2．巩固练习教材第16页练习．(教师让学生尝试独立解决，师生共议．学生独立完成后，小组交流．教师引导：方法一，利用根与系数的关系，由两根之积和一个根，求出另一个根；方法二，把已知的一根4，代入原方程求出k，再把k值代入原方程，再利用两根之和与系数的关系求出另一根．教师巡视，学生独立完成．)设计意图：巩固根与系数的关系(韦达定理)的同时，增强学生的应用意识．巩固所学知识，培养学习能力．活动五：师生小结1．一元二次方程的根与系数有怎样的关系？2．对本节课你还有什么困惑？3．布置作业：教材第17页第7题．《实际问题与一元二次方程——几何动点问题》教学目标1.能根据问题中数量关系列一元二次方程，体会数学建模的优越性.2.使学生进一步掌握利用一元二次方程解决几何中的动点问题，体会几何问题代数化.3.进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生主动探索事物之间内在联系的学习习惯。

21. 1一元二次方程一、预习目标及范围：1.理解一元二次方程的概念；2.知道一元二次方程的一般形式，会把一个一元二次方程化为一般形式；3.会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项；4.理解一元二次方程根的概念．二、预习要点1．一元二次方程的概念等号两边都是，只含有一个（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程．概念解读：（1）等号两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是三个条件缺一不可.2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．概念解读：（1）“a≠0”是一元二次方程一般形式的重要组成部分. 如果明确了ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件；（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，各项的系数包括它前面的符号．3．一元二次方程的根的概念使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.．概念解读：（1）一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解；（2）可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解．三、预习检测1.下列方程那些是一元二次方程？(1).5x-2=x+1 (2).7x2+6=2x(3x+1)(3). 1/2 x2=7 (4). 6x2=x(5) . 2x2=5y (6). -x2=02.一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？我的疑惑在预习过程中的存在哪些困惑与建议填写在下面,并与同学交流。

___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________参考答案预习要点：整式未知数 2ax2 a bx b c预习检测：1. (2)(3) (4) (5) (6)2．ax=b (a≠0） ; ax2+bx+c=0 (a≠0）整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是1 ; 未知数最高次数是2。

第2课时用配方法解一元二次方程※教学目标※【知识与技能】会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程.【过程与方法】1.理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法.2.了解用配方法解一元二次方程的基本步骤.【情感态度】1.通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力，激发学生的学习兴趣．2.能根据具体问题的实际意义，验证结果的合理性．【教学重点】用配方法解一元二次方程．【教学难点】理解配方法的基本过程．※教学过程※一、问题导入问题1下列各题中的括号内应填入怎样的数？谈谈你的看法.（1（2二、探索新知探究问题怎样解方程26160x x+-=？对比这个方程与2692x x++=可以发现，方程2692x x++=的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程26160x x+-=不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项，得2616x x+=.两边都加上 9 ，即262骣琪琪桫，使左边配成222x bx b++的形式，得26x x++9=16+9.左边写成平方形式，得()2325x+=. 开平方，得35x+=?（降次）.即35x +=或35x +=-.解一元一次方程，得1x = 2 ，2x = -8 .可以验证，2和-8是方程26160x x +-=的两根，但是场地的宽不能是负值，所以场地的宽是2米，长是8米.学生思考1.以上解法中，为什么在方程26160x x +-=两边加9？其他数可以吗？2.如果某个一元二次方程的二次项系数不是1，还能用配方法解这个一元二次方程吗？谈谈你的看法，并尝试解方程21302x x +-=. 归纳总结通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方是为了降次，把一个一元二次方程转化程两个一元一次方程来解.三、掌握新知例 解下列方程：（1）2810x x -+=；（2）2213x x +=；（3）23640x x -+=.分析：对于（2）、（3）中的方程，可先将未知数的项放在等号左边，常数项移至等号的右边后，再根据等式性质将二次项系数化为1，从而转化为形如2x mx n +=的方程，利用配方法可求出方程的解.解：（1）移项，得281x x -=-．配方，得2228414x x -+=-+，()2415x -=.由此可得4x -=?1244x x ==- （2）移项，得2231x x -=-.二次项系数化为1，得23122x x -=-．配方，得22233132424x x 骣骣琪琪-+=-+琪琪桫桫，231416x 骣琪-=琪桫.由此可得3144x -=?，1211,2x x ==. （3）移项，得2364x x -=-.二次项系数化为1，得2423x x -=-.配方，得22242113x x -+=-+，()2113x -=-.因为实数的平方根不会是负数，所以x 取任何实数时， ()21x -都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根.归纳总结一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成()2x n p +=（Ⅱ）的形式，那么就有：（1）当p >0时，方程（Ⅱ）有两个不相等的实数根1x n =--2x n =- （2）当p =0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根12x x n ==-；（3）当p <0时，因为对任意实数x ，都有()20x n +?，所以方程（Ⅱ）无实数根. 试一试 师生共同完成教材第9页练习.四、巩固练习1.将二次三项式241x x -+配方后得（ ）A.()223x -+B.()223x --C.()223x ++D.()223x +-2.已知28150x x -+=，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）A.()228431x x -+-=B.()22841x x -+-=C.22841?x x ++=D.24411x x -+=-3.如果()()22323200mx m x m m +-+-=?的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）A.1B.-1C.1或9D.-1或94.方程2450x x +-=的解是 ．5.代数式（x-2）（x+1）的值为0，则x 的值为 ．6.要使一块长方形木板的长比宽多3dm,其面积为28dm 2，试求这块长方形木板的长与宽各是多少．答案:1.B 2.B 3.C 4.略 5.26.设长方形木板的宽为x dm ，则长为(x +3)dm .根据题意，得x (x +3)=28故长方形木板的长为7dm ，宽为4dm ．五、归纳小结1.通过本节课的学习，你能用配方法解一元二次方程吗？有哪些需要注意的地方？2.用配方法解一元二次方程涉及那些数学思想方法？※布置作业※从教材习题21.2中选取．※教学反思※1.本节课重在学生的自主参与，进而获得成功的体验，在数学方法上，仍突出数学研究中转化的思想，激发学生产生合理的认识冲突，激发兴趣，建立自信．2.在练习内容上，有所改进，加强了核心知识的理解与巩固，提高自己解决问题的能力，感受教学创造的乐趣，提高教学效果．3.用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法，后面的求根公式是在配方法的基础上推出的，配方法在使用时又与原来学习的完全平方式联系密切，用配方法解一元二次方程既是对原来知识的巩固，又是对后面学习内容的铺垫．在二次函数顶点坐标的求解中也同样使用的是配方法，因此配方法是一种基本的数学解题方法．。

第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1．理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程化成一般式，正确识别二次项系数、一次项系数和常数项．2．会判断一个数是否是一元二次方程的根．3．经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．▲重点理解一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式．▲难点1．在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项．2．从实际问题中抽象出一元二次方程．◆活动1新课导入1．你能举例说出一元一次方程的概念吗？解：如2 019＋18x＝2 020这样只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．2．下列是一元一次方程的是：__①④__．(填序号)①x－1＝2x＋1；②x－3；③4x＋3y＝1；④x2－x(x＋1)＝0.◆活动2探究新知1．教材P2问题1.提出问题：(1)本问题中的等量关系是什么？应该设哪个量为未知数？(2)若设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)__cm，宽为__(50－2x)__cm；(3)请根据题意列出方程，你能化简该方程吗？学生完成并交流展示．2．教材P2问题2.提出问题：(1)说说“每两个队之间比赛一场”的含义，甲队对乙队和乙队对甲队的比赛是同一场比赛吗？(2)问题中比赛总场次是多少？等量关系是什么？(3)请设出未知数，列出方程式，并将所列方程化简．学生完成并交流展示．3．小明用30 cm的铁丝围成一斜边长等于13 cm的直角三角形，求该直角三角形的两直角边长．提出问题：本题必须设两个未知数吗？如果只设一个未知数，那么方程应该怎样列？◆活动3知识归纳提出问题：(1)请谈谈上述方程有什么共同特点；(2)归纳一元二次方程的概念．1．等号两边都是__整式__，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__2__的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__，其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数；__bx__是一次项，__b__是一次项系数；__c__是常数项．提出问题：(1)二次项系数a为什么不能为0?(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，a，b，c可以是些什么样的数？3．方程－x2＋3x＝0中二次项系数是__－1__，一次项系数是__3__，常数项是__0__．4．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的__解__，也叫做一元二次方程的__根__．◆活动4例题与练习例1判断下列各方程是不是一元二次方程．①x2－3xy＋4y2＝0；②y2＝3y＋2；③x＋1x2－3＝0.解：②是，①③不是．例2将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：一般形式为3x2－8x－10＝0.其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.例3已知a是方程2x2＋x－2＝0的根，求代数式4a2＋2a的值．解：由已知得2a2＋a－2＝0，∴2a2＋a＝2，∴4a2＋2a＝4.练习1．教材P4练习第1，2题．2．(教材P4T3变式)下列数：6，－6，8，－8，12，－12，2，－2，是方程x2－2x－48＝0的根有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个3．若关于x的方程(m－1)xm2＋1－3x＋2＝0是一元二次方程，则此一元二次方程为__－2x2－3x＋2＝0__．◆活动5课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你会解一元二次方程吗？1．作业布置(1)教材P4习题21.1第1，2，3题；(2)练习册．2．教学反思。