炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高三月考试卷（七）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合11,32A ⎧⎫
=-⎨⎬⎩⎭
，{}10B x ax =+=，且B A ⊆，则a 的可取值组成的集合为（ ）
A.{}3,2-
B.{}3,0,2-
C.{}3,2-
D.{}3,0,2-
2.已知命题:p 0x R ∃∈，使00221x x
-+=；命题:q x R ∀∈，都有()
2lg 230x x ++>，下列结论中
正确的是（ ）
A.命题“p q ⌝∧”是真命题
B.命题“p q ∧⌝”是真命题
C.命题“p q ∧”是真命题
D.命题“p q ⌝∨⌝”是
假命题
3.一个样本a ，3，5，7的平均数是b ，且a ，b 分别是数列{}()2*
2n n N -∈的第2项和第4项，则
这个样本的方差是（ ） A.3
B.4
C.5
D.6
4.下面给出了关于复数的三种类比推理，其中类比错误的是（ ） ①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则；
②由向量a 的性质22a a = 可以类比复数的性质2
2z z =；
③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. A.②
B.①②
C.①③
D.③
5.设M 是ABC △边BC 上一点，N 为AM 的中点，若AN AB AC λμ=+，则λμ+的值为（ ） A.1
4
B.13
C.
1
2
D.1
6.已知M 是面积为1的ABC △内的一点（不含边界），若MBC △，MCA △和MAB △的面积分别为x ，y ，z ，则1x y
x y z
+++的最小值是（ ） A.2
B.3
C.3.5
D.4
7.与圆()2
222x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ） A.2条
B.3条
C.4条
D.6条
8.函数()()lg 1f x x =-的大致图象是（ ）
A
B
C
D
9.设ABC △的三个内角为A ，B ，C ，且tan A ，tan B ，tan C ，2tan B 依次成等差数列，则sin 2B =（ ）
A.1
B.45
-
C.
4
5
D.45
±
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A.803
B.
403
C.
203
D.
103
11.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若214
ac b =
，sin sin sin A C p B +=，且B 为锐角，则实数p 的取值范围为（ ）
A.(
B.⎝
C.⎝
D.(
12.已知圆O 的方程为229x y +=，若抛物线C 过点()1,0A -，()1,0B ，且以圆O 的切线为准线，则抛物线C 的焦点F 的轨迹方程为（ ）
A.()22
1098
x y x -=≠
B.()221098
x y x +=≠
C.()221098
x y y -=≠
D.()221098
x y y +=≠ 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.6
1x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，系数最大的项为第 项．
14.已知函数()2f x x ax b =-+-，若a ，b 都是从区间[]0,4内任取的实数，则不等式()10f >成立的概率是 ．
15.已知函数()32f x x ax bx c =+++，若()f x 在区间()1,0-上单调递减，则22a b +的取值范围是 ．
16.设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0c b >>.
若a ，b ，C 是ABC △的三条边长，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①(),1x ∀∈-∞，()0f x >；
②0x R ∃∈，使0x
a ，0x
b ，0x
c 不能构成一个三角形的三条边长； ③若ABC △为钝角三角形，则()01,2x ∃∈，使()00f x =； ④若ABC △为直角三角形，对于*n N ∀∈，()20f n >恒成立.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知等差数列{}n a 中，26a =，3627a a +=.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
32n
n n S T -=⋅，若对于一切正整数n ，总有n T m ≤成立，求实数m 的取值范围
18.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求： （1）取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望； （2）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，AB DC ∥，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.
（1）证明：BE DC ⊥；
（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值. 20.已知()4,0M ，()1,0N ，曲线C 上的任意一点P 满足：6MN MP PN ⋅=
. （1）求点P 的轨迹方程；
（2）过点()1,0N 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，交y 轴于H 点，设1HA AN λ=
，
2HB BN λ=
，试问12λλ+是否为定值？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理
由.
21.设函数()ln a f x x ex
=+
. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若2a =，证明：对任意的实数0x >，都有()x f x e ->. 22.（1）若圆224x y +=在伸缩变换''3x x
y y λ=⎧⎨=⎩
（0λ>）的作用下变成一个焦点在x 轴上，且离心
率为
4
5
的椭圆，求λ的值； （2）在极坐标系中，已知点()2,0A ，点P 在曲线222cos :sin C p θ
θ
+=上运动，求P 、A 两点间的距
离的最小值.
23.（1）若不等式1x m -<成立的充分不必要条件为
11
32
x <<，求实数m 的取值范围.
（2）关于x 的不等式35x x a -+-<的解集不是空集，求实数a 的取值范围.
炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高三月考试卷（七）
数学（理科）参考答案
一、选择题
1-5:DACAC 6-10:BBBCA 11、12：BD
二、填空题
13.3或5 14.
932 15.9,5⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
16.①②③ 三、解答题
17.解：（1）设公差为D ，由题意得：
11
62727a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13
3a d =⎧⎨
=⎩， ∴3n a n =.
（2）∵()()3
312312
n S n n n =++++=+…， ∴()12n n
n n T +=
，
∴()()
()()()
11
1
12112222n n n n
n n n n n n n T T +++++++--=
-
=
，
∴当3n ≥时，1n n T T +>，且123312
T T T =<==， ∴n T 的最大值是
32，故32
m ≥. 18.解：（1）由于从10件产品中任取3件的结果为3
10C ，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为33
7k k
C C -，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为()337
3
10
k k
C C P X k C -==，0,1,2,3k =. 所以随机变量X 的分布列是：
X 的数学期望721719012324404012010
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=. （2）设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件1A ，“恰好取出2件一等品”为事件2A ，“恰好取出3件一等品”为事件3A .
由于事件1A ，2A ，3A 彼此互斥，且123A A A A = 而()12
3313
103
40
C C P A C ==，()()27240P A P X ===
，()()31
3120
P A P X ===， 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为
()()()()12337131
4040120120
P A P A P A P A =++=
++=
. 19.解：（1）依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系如图，可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，
()0,2,0D ，()0,0,2P .
由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ，
()0,1,1BE = ，()2,0,0DC =
，
故0BE DC ⋅=，所以BE DC ⊥
.
（2）()1,2,0BC = ，()2,2,2CP =-- ，()2,2,0AC = ,()1,0,0AB =
， 由点F 在棱PC 上，设CF CP λ=，01λ≤≤， 故()12,22,2BF BC CF BC CP λλλλ=+=+=--.
由BF AC ⊥，得0BF AC ⋅=
，
因此，()()2122220λλ-+-=，解得34
λ=
. 即113,,222BF ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
设()1,,n x y z =
为平面FAB 的法向量，
则1100n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即0113
0222
x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，
不妨令1z =，可得()10,3,1n =- 为平面FAB 的一个法向量，取平面ABP 的法向量()20,1,0n =
，
则121212
cos ,n n n n n n ⋅<>=⋅
. 20.解：（1）设(),P x y ，则()3,0MN =- ，()4,MP x y =- ，()1,PN x y =--
， ∵6MN MP PN ⋅=，∴()
340x y -⨯-+⨯=，
化简得，22
143
x y +=为所求点P 的轨迹方程.
（2）设()11,A x y ，()22,B x y .
①当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为()10x my m =+≠，
则10,H m ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，从而111,HA x y m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，()111,AN x y =-- ，由1HA AN λ= 得
()111111,1,x y x y m λ⎛
⎫+=-- ⎪⎝
⎭，111
1y y m λ+=-，1111my λ-=+， 同理由2HB BN λ=得22
1
1my λ-=+
， ∴()12
121212
11122y y my my m y y λλ⎛⎫+-+=++=+⋅
⎪⎝⎭.① 由221
14
3x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，得()
2243690m y my ++-=.
∴122643m y y m +=-
+，12
2
9
43y y m -⋅=+， 代入①式得()1212121282233y y m y y λλ+-+=+
⋅=+=，∴128
3
λλ+=-. ②当直线l 与x 轴重合时，()2,0A -，()2,0B ，()0,0H .
由1HA AN λ= ，2HB BN λ= ，得123λ=-，22λ=-，∴128
3
λλ+=-，
综上，12λλ+为定值8
3
-.
21.解：（1）定义域为0x >，()22
1'a ex a
f x x ex ex -=
-=
， ①当0a ≤时，()'0f x >，()f x 在()0,+∞上单调递增，
②当0a >时，令()'0f x =，有a x e
=
，
所以()f x 的单调减区间为0,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
综合①②，当0a ≤时，()'f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 的单调减区间为0,a e ⎛⎫
⎪⎝⎭，
单调增区间为,a e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
（2）要证明()x f x e ->，即证明121
ln x e x x e
-+>， 下面先证明：()10x e x x >+≥，
构造函数()()()10x h x e x x =-+≥，()'1x h x e =-，
令()'0h x =得0x =，当0x ≥时，()'0h x ≥即()h x 在[)0,+∞上单调递增， ∴()()()100x h x e x h =-+≥=， 于是有1x e x >+，0x >， ∴当0x >时，1x e x ->， 从而
1
11x e x
-<
. 接下来只需证：21ln e x x x
+≥， 即证：1
ln 0e x x
+
≥， 令()()1ln 0F x e x x x =+
>，则()2211'e ex F x x x x
-=-=， 所以()F x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，
即()10F x F e ⎛⎫
≥= ⎪⎝⎭
，
∵1
x e
=
时，1x e x ->，
∴1
110x e x
-<
<
， ∴121ln x e x x e
-+
>. 22.解：（1）依题意变换后椭圆y 轴正半轴顶点为()0,6，所以短半轴长6b =，再由离心率为45
可得长半轴长为10，所以λ的值为5. （2）曲线C 的极坐标方程可化为2
1cos ρθ
=
-，即cos 2ρρθ-=，化为直角坐标方程，得
2x =，即()241y x =+.
设点()(),1P x y x ≥-，则
PA =0x =时取等号.
故min PA =23.解：（1）不等式1x m -<的解集为{}11x m x m -<<+，依题意有
{}111132x x x m x m ⎧⎫<<⊆-<<+⎨⎬⎩⎭， 则1131
12
m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423m -≤≤.
（2）∵()()35352x x x x -+-≥---=， 且35x x a -+-<的解集不是空集， ∴2a >，即a 的取值范围是()2,+∞.。
