湖南师大附中2017届高三月考试卷(七) 教师版 数学(理) 试题 Word版含答案

炎德·英才大联考湖南师大附中2017-2018学年高三月考试卷(四) 数 学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)复数4－2i（1＋i ）2＝(D)(A)1－2i (B)1＋2i (C)－1＋2i (D)－1－2i(2)执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为(B)(A)3 (B)4 (C)5 (D)6(3)设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b|＝1，则a 与b 夹角为(C) (A)π3 (B)π2 (C)2π3 (D)3π4(4)设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α；③若m ∥n ，n ⊥β，m ∥α，则α⊥β；④若m ∩n ＝A ，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β，则α∥β.其中真命题的个数是(C) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)已知函数y ＝a x ，y ＝x b ，y ＝log c x 的图象如图所示，则(C)(A)a >b >c (B)a >c >b (C)c >a >b (D)c >b >a(6)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是π，则它的表面积是(D)(A) π (B)4π3(C) 3π (D) 4π (7)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1方程x 2－b n x ＋2n ＝0的两根，则b 10等于(D)(A)24 (B)32 (C)48 (D)64(8)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有(B)(A)40种 (B)60种 (C)100种 (D)120种(9)已知F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上(O 为原点)，则双曲线C 的离心率为(D)(A) 3 (B)3 (C) 2 (D)2 (10)如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数. 例如[3.27]＝3，[0.6]＝0.那么“[x ]＝[y ]”是“|x －y |<1”的(A)(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(11)设直线l ：3x ＋4y ＋a ＝0，圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，若在圆C 上存在两点P ，Q ，在直线l 上存在一点M ，使得∠PMQ ＝90°，则a 的取值范围是(C)(A)[－18，6] (B)[6－52，6＋52](C)[－16，4] (D)[－6－52，－6＋52](12)若函数f (x )＝⎩⎨⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x ＞0，则当k >0时，函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数为(D)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】结合图象分析．当k >0时，f [f (x )]＝－1，则f (x )＝t 1∈⎝⎛⎭⎫－∞，－1k 或f (x )＝t 2∈(0，1)．对于f (x )＝t 1，存在两个零点x 1、x 2；对于f (x )＝t 2，存在两个零点x 3、x 4，共存在4个零点，故选D.选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 5的展开式中，x 的一次项系数为__－80__．(用数字作答) (14)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堢瑽(圆柱体)的体积V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率π的取值为__3__．【解析】由题意，圆堢瑽(圆柱体)底面的圆周长48尺，高11尺，体积为2 112(立方)尺，设圆堢瑽(圆柱体)的底面半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2πr ＝48πr 2×11＝2 112 ，解得π＝3, r ＝8，故答案为：3.(15)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ）（x ＋y －1）≥0，0≤x ≤1，则2x ＋y 的取值范围是__[0，3]__．(16)函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．若在曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为__π4__．【解析】由f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)知|AC |＝πω，|y B |＝ω，所以S △ABC ＝12·|AC |·|y B |＝π2 ，设A (x 0，0) ，则ωx 0＋φ＝π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋πω，0，设曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域的面积为S ，则 S ＝|∫x 0＋πωx 0f ′(x )d x |＝－∫x 0＋πωx 0f ′(x )d x ＝－f (x )|x 0＋πωx 0＝f (x 0)－f ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋πω ＝sin (ωx 0＋φ)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋πω＋φ＝sin π2－sin 3π2＝2.所以该点在△ABC 内的概率P ＝S △ABC S ＝π22＝π4.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，函数f(x)＝2sin (x －A)cos x ＋sin (B ＋C)(x ∈R )，f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称． (Ⅰ)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求f (x )的值域；(Ⅱ)若a ＝7且sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积． 【解析】(Ⅰ)f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C ) ＝2(sin x cos A －cos x sin A )cos x ＋sin A ＝2sin x cos x cos A －2cos 2x sin A ＋sin A ＝sin 2x cos A －cos2x sin A ＝sin(2x －A )，由函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＝0，又0＜A ＜π，故A ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，2x －π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，2π3，所以－32 ＜sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1.即f (x )的值域为⎝⎛⎦⎤－32，1； (Ⅱ)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝143，则sin B ＝314b ，sin C ＝314c ，所以sin B ＋sin C ＝314(b ＋c )＝13314，即b ＋c ＝13， 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得49＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，从而bc ＝40， 则△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3.(18)(本小题满分12分)某网络营销部门为了统计某市网友2016年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表(如表)：若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3∶2.(Ⅰ)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图(如图)．(Ⅱ)该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．【解析】(Ⅰ)根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＋9＋15＋18＋y ＝6018＋y 3＋x ＋9＋15＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝6.∴p ＝0.15，q ＝0.10.补全频率分布直方图如图所示．(Ⅱ)用分层抽样的方法，从中选取10人， 则其中“网购达人”有10×25＝4人，“非网购达人”有10×35＝6人．故ξ的可能取值为0，1，2，3；P (ξ＝0)＝C 40C 63C 103＝16，P (ξ＝1)＝C 41C 62C 103＝12，P (ξ＝2)＝C 42C 61C 103＝310，P (ξ＝3)＝C 43C 60C 103＝130.所以ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.(19)(本小题满分12分)如图，正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为BC ，DA 的中点．将正方形ABCD 沿着线段EF 折起，使得∠DF A ＝60°. 设G 为AF 的中点．(Ⅰ)求证：DG ⊥EF ；(Ⅱ)求直线GA 与平面BCF 所成角的正弦值；(Ⅲ)设P ，Q 分别为线段DG ，CF 上一点，且PQ ∥平面ABEF ，求线段PQ 长度的最小值．【解析】(Ⅰ)因为正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DA 的中点，所以EF ⊥FD ，EF ⊥F A ，将正方形ABCD 沿着线段EF 折起后，仍有EF ⊥FD ，EF ⊥F A ，而FD ∩F A ＝F ，所以EF ⊥平面DF A .又因为DG 平面DF A ，所以DG ⊥EF . (Ⅱ)因为∠DF A ＝60°，DF ＝F A ，所以△DF A 为等边三角形，又AG ＝GF ，故DG ⊥F A . 由(Ⅰ)，DG ⊥EF ，又EF ∩F A ＝F ，所以DG ⊥平面ABEF .设BE 的中点为H ，连接GH ，则GA ，GH ，GD 两两垂直，故以GA ，GH ，GD 分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系如图，则G (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，4，0)，C (0，4，3)，F (－1，0，0), 所以GA →＝(1，0，0)，BC →＝(－1，0，3)，BF →＝(－2，－4，0)． 设平面BCF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z ),由m ·BC →＝0，m ·BF →＝0，得⎩⎨⎧－x ＋3z ＝0，－2x －4y ＝0，令z ＝2，得m ＝(23，－3，2)．设直线GA 与平面BCF 所成角为α， 则sin α＝|cos 〈m ，GA →〉|＝|m ·GA →||m ||GA →|＝25719.即直线GA 与平面BCF 所成角的正弦值为25719.(Ⅲ)由题意，可设P (0，0，k )(0≤k ≤3)，FQ →＝λFC →(0≤λ≤1)， 由FC →＝(1，4，3)，得FQ →＝(λ，4λ，3λ)，所以Q (λ－1，4λ，3λ)，PQ →＝(λ－1，4λ，3λ－k )． 由(Ⅱ)，得GD →＝(0，0，3)为平面ABEF 的法向量． 因为PQ ∥平面ABEF ，所以PQ →·GD →＝0，即3λ－k ＝0. 所以|PQ →|＝（λ－1）2＋（4λ）2＋（3λ－k ）2＝（λ－1）2＋（4λ）2＝17λ2－2λ＋1，又因为17λ2－2λ＋1＝17⎝⎛⎭⎫λ－1172＋1617，所以当λ＝117时，|PQ →|min ＝41717. 所以当λ＝117，k ＝317时，线段PQ 长度有最小值41717.(20)(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以E 的四个顶点为顶点的四边形的面积为4 3.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，P 是直线x ＝4上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M 、N ，试探究，点B 是否在以MN 为直径的圆内？证明你的结论．【解析】(Ⅰ)依题意得c a ＝12，12·2a ·2b ＝43，又a 2＝b 2＋c 2，由此解得a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆E 的方程为 x 24＋y 23＝1.(Ⅱ)点B 在以MN 为直径的圆内．证明如下：方法1：由(Ⅰ)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 0，y 0)．∵M 点在椭圆上，∴y 02＝34(4－x 02)． ①又点M 异于顶点A 、B ，∴－2<x 0<2. 由P 、A 、M 三点共线可以得P ⎝⎛⎭⎫4，6y 0x 0＋2.从而BM →＝(x 0－2，y 0), BP →＝⎝⎛⎭⎫2，6y 0x 0＋2.∴BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 02x 0＋2＝2x 0＋2(x 02－4＋3y 02)． ②将①代入②，化简得BM →·BP →＝52(2－x 0)．∵2－x 0>0，∴BM →·BP →>0，于是∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内．方法2：由(Ⅰ)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则－2<x 1<2，－2<x 2<2，又MN 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差|BQ |2－14|MN |2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22－22＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222－14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2] ＝(x 1－2) (x 2－2)＋y 1y 2 ③直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BP 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，而两直线AP 与BP 的交点P 在直线x ＝4上， ∴6y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2，即y 2＝3（x 2－2）y 1x 1＋2④ 又点M 在椭圆上，则x 124＋y 123＝1，即y 12＝34(4－x 12) ⑤于是将④、⑤代入③，化简后可得|BQ |2－14|MN |2＝54(2－x 1)(x 2－2)<0.从而点B 在以MN 为直径的圆内．(21)(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝e ax －x .(Ⅰ)若对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，求a 的取值集合；(Ⅱ)若a ＝1，k 为整数，且存在x 0>0，使(x 0－k )f ′(x 0)＋x 0＋1<0，求k 的最小值． 【解析】(Ⅰ) 若a ≤0，则对一切x >0，f (x )＝e ax －x <1，这与题设矛盾， 故a >0.而f ′(x )＝a e ax －1，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ln 1a .当x <1a ln 1a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >1a ln 1a时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，故当x ＝1a ln 1a时，f (x )取最小值f ⎝⎛⎭⎫1a ln 1a ＝1a －1a ln 1a .于是对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，当且仅当1a －1a ln 1a≥1. ①令g (t )＝t －t ln t ，则g ′(t )＝－ln t .当0<t <1时，g ′(t )>0，g (t )单调递增；当t >1时，g ′(t )<0，g (t )单调递减. 故当t ＝1时，g (t )取最大值g (1)＝1.因此，当且仅当1a ＝1即a ＝1时，①式成立.综上所述，a 的取值集合为{1}.(Ⅱ)a ＝1时，f ′(x )＝e x －1, 所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1, 故当x >0时， (x －k )f ′(x )＋x ＋1<0等价于k >x ＋1e x －1＋x ， ②令h (x )＝x ＋1e x －1＋x (x >0)，则h ′(x )＝－x e x －1（e x －1）2＋1＝e x （e x －x －2）（e x －1）2，令φ(x )＝e x －x －2(x >0)，则φ′(x )＝e x －1 >0，φ(x )在(0, ＋∞)上单调递增，而φ(1)<0，φ(2)>0，所以φ(x )在(0, ＋∞)上存在唯一的零点，亦即h ′(x )在(0, ＋∞)上存在唯一的零点，设此零点为α，则α∈(1，2)，e α＝α＋2，当x ∈(0，α)时， h ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时， h ′(x )>0，所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (α) ，而h (α)＝α＋1e α－1＋α＝α＋1∈(2，3)，而由②知，存在x 0>0，使(x 0－k )f ′(x 0)＋x 0＋1<0等价于k >h (α)，所以整数k 的最小值为3.请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号．(22)(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，M 为C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2.(Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.【解析】(Ⅰ)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎫x 2，y 2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α ，消去参数α得x 2＋(y －4)2＝16, 即C 2的普通方程为x 2＋(y －4)2＝16.(Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(23)(本题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]． (Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.【解析】(Ⅰ)因为f (x )＝m －|x －2|，所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }，又f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m ＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知1a ＋12b ＋13c ＝1，a ，b ，c ∈R ＋，方法1：由基本不等式得：a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋⎝⎛⎭⎫3c 2b ＋2b 3c ＋⎝⎛⎭⎫a 3c ＋3c a ≥3＋2＋2＋2＝9.方法2：由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。

炎德·英才大联考湖南师大附中2017-2018学年高三月考试卷(一)数 学(文科)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分及选做题，共8页。

时量120分钟，满分150分。

得分 一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满12i z i =+，则复数z 对应的点位于复平面内 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限2．设集合{|||1}A x x =<，2{|log 0}B x x =<，则p ：“x A ∈”是q ：“x ∈B”成立的 A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、非充分也非必要条件 3．已知函数3log (0)()21(0)xx x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则21((1))(log )3f f f +的值是 A 、6 B 、5 C 、72 D 、534．已知p ：“x ∀∈R ，不等式21xm >-恒成立，则m ≤1”；q ：“函数()x f x e x =+有两个零点”，则A 、p 假，q 真B 、“p q ∧”真C 、“p q ∨”假D 、“p q ∧”假5．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整效)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为A 、25 B 、110C 、910D 、156．已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (a >0，b ∈R)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为-3，则a +b 的值是 A 、1 B 、-3C 、-lD 、37．已知一个多面体内接于球，其正视图、侧视图、俯视图都是如图的图形，中央的四边形是边长为1的正方形，则该球的表面积是A 、2B 、34πC 、3πD 、9π8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为8，则输出S 的值为 A 、512 B 、546 C 、1067 D 、10689．函数1x y a -=(a >0，a ≠1)的图象恒过定点M ，若点M 在直线1mx ny +=(m>0，n>0)上，则14m n+的 最小值为 A 、8 B 、9 C 、10 D 、1210．过点P(1-)的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A 、[0，6π] B 、[0，3π] C 、(0，6π] D 、(0，3π]11．已知函数2()22sin 1f x x x =+-，则它的最小正周期和一个单调增区间分别为A 、2π， [6π-，3π] B 、2π，[3π，56π]C 、π，[6π-，3π]D 、π，[3π，56π]12．x 为实数。

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时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)复数4－2i（1＋i ）2＝(D)(A)1－2i (B)1＋2i (C)－1＋2i (D)－1－2i(2)执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为(B)(A)3 (B)4 (C)5 (D)6(3)设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b|＝1，则a 与b 夹角为(C) (A)π3 (B)π2 (C)2π3 (D)3π4(4)设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α；③若m ∥n ，n ⊥β，m ∥α，则α⊥β；④若m ∩n ＝A ，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β，则α∥β.其中真命题的个数是(C) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)已知函数y ＝a x ，y ＝x b ，y ＝log c x 的图象如图所示，则(C) (A)a >b >c(B)a >c >b (C)c >a >b (D)c >b >a(6)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是π，则它的表面积是(D)(A) π (B)4π3(C) 3π (D) 4π (7)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1方程x 2－b n x ＋2n ＝0的两根，则b 10等于(D)(A)24 (B)32 (C)48 (D)64(8)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有(B)(A)40种 (B)60种 (C)100种 (D)120种(9)已知F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上(O 为原点)，则双曲线C 的离心率为(D)(A) 3 (B)3 (C) 2 (D)2 (10)如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数. 例如[3.27]＝3，[0.6]＝0.那么“[x ]＝[y ]”是“|x －y |<1”的(A)(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(11)设直线l ：3x ＋4y ＋a ＝0，圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，若在圆C 上存在两点P ，Q ，在直线l 上存在一点M ，使得∠PMQ ＝90°，则a 的取值范围是(C)(A)[－18，6] (B)[6－52，6＋52](C)[－16，4] (D)[－6－52，－6＋52](12)若函数f (x )＝⎩⎨⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x ＞0，则当k >0时，函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数为(D)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】结合图象分析．当k >0时，f [f (x )]＝－1，则f (x )＝t 1∈⎝⎛⎭⎫－∞，－1k 或f (x )＝t 2∈(0，1)．对于f (x )＝t 1，存在两个零点x 1、x 2；对于f (x )＝t 2，存在两个零点x 3、x 4，共存在4个零点，故选D.选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 5的展开式中，x 的一次项系数为__－80__．(用数字作答) (14)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堢瑽(圆柱体)的体积V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率π的取值为__3__．【解析】由题意，圆堢瑽(圆柱体)底面的圆周长48尺，高11尺，体积为2 112(立方)尺，设圆堢瑽(圆柱体)的底面半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2πr ＝48πr 2×11＝2 112 ，解得π＝3, r ＝8，故答案为：3.(15)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ）（x ＋y －1）≥0，0≤x ≤1 ，则2x ＋y 的取值范围是__[0，3]__．(16)函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．若在曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为__π4__．【解析】由f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)知|AC |＝πω，|y B |＝ω，所以S △ABC ＝12·|AC |·|y B |＝π2 ，设A (x 0，0) ，则ωx 0＋φ＝π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋πω，0，设曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域的面积为S ，则 S ＝|∫x 0＋πωx 0f ′(x )d x |＝－∫x 0＋πωx 0f ′(x )d x ＝－f (x )|x 0＋πωx 0＝f (x 0)－f ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋πω＝sin (ωx 0＋φ)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋πω＋φ＝sin π2－sin 3π2＝2.所以该点在△ABC 内的概率P ＝S △ABC S ＝π22＝π4.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，函数f(x)＝2sin (x －A)cos x ＋sin (B ＋C)(x ∈R )，f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称． (Ⅰ)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求f (x )的值域；(Ⅱ)若a ＝7且sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积． 【解析】(Ⅰ)f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C ) ＝2(sin x cos A －cos x sin A )cos x ＋sin A ＝2sin x cos x cos A －2cos 2x sin A ＋sin A ＝sin 2x cos A －cos2x sin A ＝sin(2x －A )，由函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＝0，又0＜A ＜π，故A ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，2x －π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，2π3，所以－32 ＜sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1.即f (x )的值域为⎝⎛⎦⎤－32，1； (Ⅱ)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝143，则sin B ＝314b ，sin C ＝314c ，所以sin B ＋sin C ＝314(b ＋c )＝13314，即b ＋c ＝13， 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得49＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，从而bc ＝40， 则△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3.(18)(本小题满分12分)某网络营销部门为了统计某市网友2016年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表(如表)：若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3∶2.(Ⅰ)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图(如图)．(Ⅱ)该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．【解析】(Ⅰ)根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＋9＋15＋18＋y ＝6018＋y 3＋x ＋9＋15＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝6.∴p ＝0.15，q ＝0.10.补全频率分布直方图如图所示．(Ⅱ)用分层抽样的方法，从中选取10人， 则其中“网购达人”有10×25＝4人，“非网购达人”有10×35＝6人．故ξ的可能取值为0，1，2，3；P (ξ＝0)＝C 40C 63C 103＝16，P (ξ＝1)＝C 41C 62C 103＝12，P (ξ＝2)＝C 42C 61C 103＝310，P (ξ＝3)＝C 43C 60C 103＝130.所以ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.(19)(本小题满分12分)如图，正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为BC ，DA 的中点．将正方形ABCD 沿着线段EF 折起，使得∠DF A ＝60°. 设G 为AF 的中点．(Ⅰ)求证：DG ⊥EF ；(Ⅱ)求直线GA 与平面BCF 所成角的正弦值；(Ⅲ)设P ，Q 分别为线段DG ，CF 上一点，且PQ ∥平面ABEF ，求线段PQ 长度的最小值．【解析】(Ⅰ)因为正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DA 的中点，所以EF ⊥FD ，EF ⊥F A ，将正方形ABCD 沿着线段EF 折起后，仍有EF ⊥FD ，EF ⊥F A ，而FD ∩F A ＝F ，所以EF ⊥平面DF A .又因为DG 平面DF A ，所以DG ⊥EF . (Ⅱ)因为∠DF A ＝60°，DF ＝F A ，所以△DF A 为等边三角形，又AG ＝GF ，故DG ⊥F A . 由(Ⅰ)，DG ⊥EF ，又EF ∩F A ＝F ，所以DG ⊥平面ABEF .设BE 的中点为H ，连接GH ，则GA ，GH ，GD 两两垂直，故以GA ，GH ，GD 分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系如图，则G (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，4，0)，C (0，4，3)，F (－1，0，0), 所以GA →＝(1，0，0)，BC →＝(－1，0，3)，BF →＝(－2，－4，0)． 设平面BCF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z ),由m ·BC →＝0，m ·BF →＝0，得⎩⎨⎧－x ＋3z ＝0，－2x －4y ＝0，令z ＝2，得m ＝(23，－3，2)． 设直线GA 与平面BCF 所成角为α， 则sin α＝|cos 〈m ，GA →〉|＝|m ·GA →||m ||GA →|＝25719.即直线GA 与平面BCF 所成角的正弦值为25719.(Ⅲ)由题意，可设P (0，0，k )(0≤k ≤3)，FQ →＝λFC →(0≤λ≤1)，由FC →＝(1，4，3)，得FQ →＝(λ，4λ，3λ)，所以Q (λ－1，4λ，3λ)，PQ →＝(λ－1，4λ，3λ－k )． 由(Ⅱ)，得GD →＝(0，0，3)为平面ABEF 的法向量． 因为PQ ∥平面ABEF ，所以PQ →·GD →＝0，即3λ－k ＝0. 所以|PQ →|＝（λ－1）2＋（4λ）2＋（3λ－k ）2＝（λ－1）2＋（4λ）2＝17λ2－2λ＋1，又因为17λ2－2λ＋1＝17⎝⎛⎭⎫λ－1172＋1617，所以当λ＝117时，|PQ →|min ＝41717. 所以当λ＝117，k ＝317时，线段PQ 长度有最小值41717.(20)(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以E 的四个顶点为顶点的四边形的面积为4 3.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，P 是直线x ＝4上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M 、N ，试探究，点B 是否在以MN 为直径的圆内？证明你的结论．【解析】(Ⅰ)依题意得c a ＝12，12·2a ·2b ＝43，又a 2＝b 2＋c 2，由此解得a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆E 的方程为 x 24＋y 23＝1.(Ⅱ)点B 在以MN 为直径的圆内．证明如下：方法1：由(Ⅰ)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 0，y 0)． ∵M 点在椭圆上，∴y 02＝34(4－x 02)． ①又点M 异于顶点A 、B ，∴－2<x 0<2. 由P 、A 、M 三点共线可以得P ⎝⎛⎭⎫4，6y 0x 0＋2.从而BM →＝(x 0－2，y 0), BP →＝⎝⎛⎭⎫2，6y 0x 0＋2.∴BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 02x 0＋2＝2x 0＋2(x 02－4＋3y 02)． ②将①代入②，化简得BM →·BP →＝52(2－x 0)．∵2－x 0>0，∴BM →·BP →>0，于是∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内．方法2：由(Ⅰ)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则－2<x 1<2，－2<x 2<2，又MN 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差|BQ |2－14|MN |2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22－22＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222－14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2] ＝(x 1－2) (x 2－2)＋y 1y 2 ③直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BP 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，而两直线AP 与BP 的交点P 在直线x ＝4上， ∴6y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2，即y 2＝3（x 2－2）y 1x 1＋2④ 又点M 在椭圆上，则x 124＋y 123＝1，即y 12＝34(4－x 12) ⑤于是将④、⑤代入③，化简后可得|BQ |2－14|MN |2＝54(2－x 1)(x 2－2)<0.从而点B 在以MN 为直径的圆内．(21)(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝e ax －x .(Ⅰ)若对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，求a 的取值集合；(Ⅱ)若a ＝1，k 为整数，且存在x 0>0，使(x 0－k )f ′(x 0)＋x 0＋1<0，求k 的最小值． 【解析】(Ⅰ) 若a ≤0，则对一切x >0，f (x )＝e ax －x <1，这与题设矛盾， 故a >0.而f ′(x )＝a e ax －1，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ln 1a .当x <1a ln 1a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >1a ln 1a时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，故当x ＝1a ln 1a时，f (x )取最小值f ⎝⎛⎭⎫1a ln 1a ＝1a －1a ln 1a . 于是对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，当且仅当1a －1a ln 1a≥1. ①令g (t )＝t －t ln t ，则g ′(t )＝－ln t .当0<t <1时，g ′(t )>0，g (t )单调递增；当t >1时，g ′(t )<0，g (t )单调递减. 故当t ＝1时，g (t )取最大值g (1)＝1.因此，当且仅当1a ＝1即a ＝1时，①式成立.综上所述，a 的取值集合为{1}.(Ⅱ)a ＝1时，f ′(x )＝e x －1, 所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1,故当x >0时， (x －k )f ′(x )＋x ＋1<0等价于k >x ＋1e x －1＋x ， ②令h (x )＝x ＋1e x －1＋x (x >0)，则h ′(x )＝－x e x －1（e x －1）2＋1＝e x （e x －x －2）（e x －1）2，令φ(x )＝e x －x －2(x >0)，则φ′(x )＝e x －1 >0，φ(x )在(0, ＋∞)上单调递增，而φ(1)<0，φ(2)>0，所以φ(x )在(0, ＋∞)上存在唯一的零点，亦即h ′(x )在(0, ＋∞)上存在唯一的零点，设此零点为α，则α∈(1，2)，e α＝α＋2，当x ∈(0，α)时， h ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时， h ′(x )>0，所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (α) ，而h (α)＝α＋1e α－1＋α＝α＋1∈(2，3)，而由②知，存在x 0>0，使(x 0－k )f ′(x 0)＋x 0＋1<0等价于k >h (α)，所以整数k 的最小值为3.请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号．(22)(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，M 为C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2.(Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.【解析】(Ⅰ)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α ，消去参数α得x 2＋(y －4)2＝16, 即C 2的普通方程为x 2＋(y －4)2＝16.(Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(23)(本题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]． (Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.【解析】(Ⅰ)因为f (x )＝m －|x －2|，所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }，又f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m ＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知1a ＋12b ＋13c ＝1，a ，b ，c ∈R ＋，方法1：由基本不等式得：a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋⎝⎛⎭⎫3c 2b ＋2b 3c ＋⎝⎛⎭⎫a 3c ＋3c a ≥3＋2＋2＋2＝9.方法2：由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。

2017-2018学年湖南师大附中高三（下）月考数学试卷（文科）（七）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则|z|=（）A．B．C．1 D．2．“a=4”是“直线（2+a）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+ay﹣3=0相互平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图，若m=4，则输出的n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．124．已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域内的概率为（）A．B．C．D．5．已知，且sinθ﹣cosθ＞1，则sin（2θ﹣2π）=（）A．B．C． D．6．设，则有（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a7．如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．188．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知平面向量、、满足：||=||=||=1，•=0．若=x+y，（x，y∈R），则x+y的最大值是（）A．B．1 C．D．210．设双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，）D．（，+∞）11．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）12．已知函数，使得∀x1∈[1，2]，都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，+∞）D．（0，1）∪（2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13．已知集合，则N∩∁R M=．14．已知关于x的不等式上恒成立，则实数a的最小值为．15．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y=lnx与直线x=e，y=0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个在区间[0，1]上的*由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为．16．我们把形如的函数称为“莫言函数”，其图象与y轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心且与“莫言函数”的图象有公共点的圆称为“莫言圆”．则当a=b=1时，“莫言点”的坐标是；且“莫言圆”的面积的最小值是．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、c的时边长分别为a、b、c，已知sinB﹣cosB=l，且b=1．（Ⅰ）若A=，求c的值；（Ⅱ）设AC边上的高为h，求h的最大值．18．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．19．对于数列{x n}，若对任意n∈N*，都有＜x n成立，则称数列{x n}为“减差数+1列”．设数列{a n}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为S n，且a1=1，S3=．（1）求数列{a n}的通项公式，并判断数列{S n}是否为“减差数列”；（2）设b n=（2﹣na n）t+a n，若数列b3，b4，b5，…是“减差数列”，求实数t的取值范围．20．已知F是椭圆的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为，点B在x轴上，AB⊥AF，A，B，F三点确定的圆C恰好与直线相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过F作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M，N两点，P为线段MN的中点，设O为椭圆中心，射线OP交椭圆于点Q，若，若存在求k的值，若不存在则说明理由．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x．（a∈R，e为自然对数的底数）（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在上无零点，求a的最小值；（Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f （x i）=g（x0）成立，求a的取值范围．[选做题]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．[选做题]23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．2015-2016学年湖南师大附中高三（下）月考数学试卷（文科）（七）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则|z|=（）A．B．C．1 D．【考点】复数求模．【分析】直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．【解答】解：i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，，故选：B．2．“a=4”是“直线（2+a）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+ay﹣3=0相互平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出“直线（2+a）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+ay﹣3=0相互平行”的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】A解：当两直线平行时得，a（a+2）=3a（a﹣2），解得a=0或a=4，故“a=4”是“直线（2+a）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+ay﹣3=0相互平行”的充分不必要条件，故选：A．3．执行如图所示的程序框图，若m=4，则输出的n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次执行，直到不满足循环条件为止即可．【解答】解：x=1，n=1，满足条件x＜4，执行循环，x=，n=2，满足条件x＜4，执行循环，依此类推，x=，n=9，满足条件x＜4，执行循环，x=4，n=10，不满足条件x＜4，退出循环，此时n=10故选B．4．已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域内的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点P（x，y）对应图形的面积，及满足条件“内”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为，则所求概率为．故选B．5．已知，且sinθ﹣cosθ＞1，则sin（2θ﹣2π）=（）A．B．C． D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由，sinθ﹣cosθ＞1，求出sinθ、cosθ的值，化简sin（2θ﹣2π）即可得到答案．【解答】解：由题意：，∴sinθ=，又∵sinθ﹣cosθ＞1，∴cosθ＜0，由sin2θ+cos2θ=1，解得：cosθ=，那么：sin（2θ﹣2π）=﹣sin2θ=﹣2sinθcosθ=﹣2×=，故选：A．6．设，则有（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数的性质及对数函数的单调性求解．【解答】解：∵，又0=lg1＜lge＜lg=，∴a＞c＞b．故选：C．7．如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．18【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中三视图我们可以确定，该几何体是以正视图为底面的直四棱柱，根据已知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，其底面底边长为3，底边上的高为：=，故底面积S=3×=3，又因为棱柱的高为3，故V=3×3=9，故选B．8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】极差、方差与标准差．【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果．【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；∴|x﹣y|=2|t|=4，故选D．9．已知平面向量、、满足：||=||=||=1，•=0．若=x+y，（x，y∈R），则x+y的最大值是（）A．B．1 C．D．2【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由||2=（x+y）2=1，整理可得：x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，由辅助角公式可知，根据正弦函数图象及性质，即可求得x+y的最大值．【解答】解：由||=1，可知||2=（x+y）2=1，∴x2||2+y2||2+2xy•=1，∴x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，则：，∴由正弦函数及性质可知：x+y的最大值是，故答案选：C．10．设双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，）D．（，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】不妨设渐近线为y=x，与抛物线的交点为（x0，y0），x0＞1，可得，两式消去y0可得ab的不等式，由双曲线的离心率可得．【解答】解：不妨设渐近线为y=x，与抛物线的交点为（x0，y0），x0＞1，则，两式消去y0可得=x0＞1，∴a2＞b2，∴a2＞c2﹣a2，∴2a2＞c2，∴＜2，∴e=＜，又∵双曲线的离心率大于1，∴双曲线C的离心率e的取值范围是（1，）故选：C11．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据题意结合图象求出f′（x）＞0的解集与f′（x）＜0的解集，因此对原不等式进行化简与转化，进而得到原不等式的答案．【解答】解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选D．12．已知函数，使得∀x1∈[1，2]，都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，+∞）D．（0，1）∪（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，从而问题转化为最大值不在区间[1，2]，故可求实数a的取值范围．【解答】解：求导函数，当x∈（0，a）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故f（x）max=f（a）．∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]，都有f（x1）＜f（x0），则最大值不在区间[1，2]，∴a∉[1，2]，所以实数a的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13．已知集合，则N∩∁R M=[0，2] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先分别求出集合M和N，由此能求出N∩∁R M．【解答】解：集合，∴M=（﹣∞，0）∪（2，+∞），N=[0，+∞），∴N∩C R M=[0，2]．故答案为：[0，2]．14．已知关于x的不等式上恒成立，则实数a的最小值为5．【考点】基本不等式．【分析】构造函数g（x）=x+﹣7，（x＞a），利用g（x）在（a，a+1]上单调递减，在[a+1，+∞）上单调递增即可求得答案．【解答】解：令g（x）=x+﹣7，则g（x）=（x﹣a）++a﹣7，由双钩函数的性质得：g（x）在（a，a+1]上单调递减，在[a+1，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（a+1）=1+a+1﹣7=a﹣5≥0．∴a≥5．∴实数a的最小值为5．故答案为：515．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y=lnx与直线x=e，y=0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个在区间[0，1]上的*由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为（e﹣1）．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】向矩形区域内随机抛掷10个点，有6个点在曲边三角形内，由此根据矩形区域的面积为e﹣1，能求出曲边三角形面积的近似值．【解答】解：由表可知，向矩形区域内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为．∵矩形区域的面积为e﹣1，∴曲边三角形面积的近似值为．故答案为：．16．我们把形如的函数称为“莫言函数”，其图象与y轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心且与“莫言函数”的图象有公共点的圆称为“莫言圆”．则当a=b=1时，“莫言点”的坐标是（0，1）；且“莫言圆”的面积的最小值是3π．【考点】函数的图象．【分析】根据已知中关于“莫言函数”，“莫言点”，“莫言圆”的定义，利用a=1，b=1，我们易求出“莫言点”坐标，并设出“莫言圆”的方程，根据两点的距离公式求出圆心到“莫言函数”图象上点的最小距离，即可得到结论．【解答】解：当a=b=1时，“莫言函数”为，其图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1），所以“莫言点”的坐标是（0，1）．显然f（x）为偶函数，且当x≥0时，，则f（x）的大致图象如图所示．由图知，当“莫言圆”与函数f（x）（x＞1）的图象相切时，圆面积最小．设“莫言圆”圆心为C，在函数图象上任取一点P（x，y），则，即，所以“莫言圆”半径的最小值为，面积的最小值是3π．故答案为：（0，1），3π．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、c的时边长分别为a、b、c，已知sinB﹣cosB=l，且b=1．（Ⅰ）若A=，求c的值；（Ⅱ）设AC边上的高为h，求h的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由sinB﹣cosB=l求得sin（B﹣）=．根据A=，求得B的值，可得C=π﹣A﹣B的值值，再根据b=1，利用正弦定理求得c的值．（Ⅱ）根据•bh=ac•sinB，求得h=ac．由余弦定理可得ac≤1，从而求得h的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵sinB﹣cosB=l=2sin（B﹣），∴sin（B﹣）=．∵A=，∴0＜B＜，∴B=，∴C=π﹣A﹣B=．再根据b=1，利用正弦定理可得，即，解得c=．（Ⅱ）设AC边上的高为h，∵•bh=ac•sinB，∴h=ac．由余弦定理可得b2=1=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，∴ac≤1，h≤，即h的最大值为．18．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）先证明AC⊥面SBD，然后利用线面垂直的性质证明AC⊥SD；（Ⅱ）利用线面平行的性质定理确定E的位置，然后求出SE：EC的值．【解答】解：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥面SBD，所以AC⊥SD．（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则SD⊥OP，设正方形ABCD的边长为a，则SD=，OD=，则OD2=PD•SD，可得PD==，故可在SP上取一点N，使PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连BN．在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，故平面BEN∥面PAC，得BE∥面PAC，由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1．19．对于数列{x n}，若对任意n∈N*，都有＜x n成立，则称数列{x n}为“减差数+1列”．设数列{a n}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为S n，且a1=1，S3=．（1）求数列{a n}的通项公式，并判断数列{S n}是否为“减差数列”；（2）设b n=（2﹣na n）t+a n，若数列b3，b4，b5，…是“减差数列”，求实数t的取值范围．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）设数列{a n}的公比为q，则1+q+q2=，由此能求出数列{a n}的通项公式，并判断数列{S n}为“减差数列”．（2）由题设知，b n=2﹣t+=2t﹣．由此能求出t的取值范围是（1，+∞）．【解答】解：（1）设数列{a n}的公比为q，则1+q+q2=，因为q＞0，所以q=，所以a n=，S n==2﹣，所以=2﹣﹣＜2﹣=S n，+1所以数列{S n}是“减差数列”．（2）由题设知，b n=2﹣t+=2t﹣．，得t﹣+t﹣＜2t﹣，由＜b n+1即+＞，化简得t（n﹣2）＞1．又当n≥3时，t（n﹣2）＞1恒成立，即t＞恒成立，所以t＞（）max=1．故t的取值范围是（1，+∞）．20．已知F是椭圆的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为，点B在x轴上，AB⊥AF，A，B，F三点确定的圆C恰好与直线相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过F作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M，N两点，P为线段MN的中点，设O为椭圆中心，射线OP交椭圆于点Q，若，若存在求k的值，若不存在则说明理由．【考点】圆与圆锥曲线的综合；圆的切线方程；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）先确定出F，A的坐标，进而确定点B的坐标，从而可确定A，B，F三点确定的圆的圆心坐标与半径，利用圆与直线相切，即可求椭圆的方程；（Ⅱ）假设存在，设直线l的方程为：y=k（x+1）代入椭圆的方程，根据P为线段MN的中点，确定P的坐标，进而可得Q的坐标，代入椭圆方程，即可判断k不存在．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，∴，∴∴，∵AB⊥AF，∴∴AB的方程为：令y=0，∴，∴∴A，B，F三点确定的圆的圆心坐标为，半径为r=a∴圆心到直线的距离为，∵A，B，F三点确定的圆C恰好与直线相切．∴∴a=2，∴∴椭圆的方程为；（Ⅱ）假设存在，设直线l的方程为：y=k（x+1）代入椭圆的方程，消去y可得（3+4k2）x2+8k2x+（4k2﹣12）=0设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x0，y0），则，∵P为线段MN的中点，∴∴∵，∴∴∵射线OP交椭圆于点Q∴∴∴64k4+48k2=4（16k4+24k2+9）∴48k2=96k2+36∴﹣48k2=36此方程无解，∴k不存在．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x．（a∈R，e为自然对数的底数）（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在上无零点，求a的最小值；（Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f （x i）=g（x0）成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中求出f′（x），令f′（x）＞0求出x的范围即为函数的增区间，令f′（x）＜0求出x的范围即为函数的减区间；（Ⅱ）f（x）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，）上无零点，只需要对x∈（0，）时f（x）＞0恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值；（Ⅲ）求出g′（x），根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出g（x）的值域，而当a=2时不合题意；当a≠2时，求出f′（x）=0时x的值，根据x∈（0，e]列出关于a的不等式得到①，并根据此时的x的值讨论导函数的正负得到函数f（x）的单调区间，根据单调区间得到②和③，令②中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，联立①和④即可解出满足题意a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣，由f′（x）＞0，得x＞2；由f′（x）＜0，得0＜x＜2．故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间上恒成立不可能，故要使函数上无零点，只要对任意的，f（x）＞0恒成立，即对恒成立．令，则，再令，则，故m（x）在上为减函数，于是，从而，l（x）＞0，于是l（x）在上为增函数，所以，故要使恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数f（x）在上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2；（Ⅲ）g′（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e1﹣e＞0，所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．当a=2时，不合题意；当a≠2时，f′（x）=，x∈（0，e]当x=时，f′（x）=0．由题意得，f（x）在（0，e]上不单调，故，即①），，所以，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：即令h（a）=，则h，令h′（a）=0，得a=0或a=2，故当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）单调递增；当时，h′（a）＜0，函数h（a）单调递减．所以，对任意，有h（a）≤h（0）=0，即②对任意恒成立．由③式解得：．④综合①④可知，当时，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使f（x i）=g（x0）成立．[选做题]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．【考点】直线的参数方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=﹣t，又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，可得结论．【解答】解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣），所以ρ2=4ρ（sinθ﹣cosθ），所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣2y=0．…（2）设z=x+y由圆C的方程x2+y2+2x﹣2y=0，可得（x+1）2+（y﹣）2=4所以圆C的圆心是（﹣1，），半径是2将代入z=x+y得z=﹣t …又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，由题意有：﹣2≤t≤2所以﹣2≤t≤2即x+y的取值范围是[﹣2，2]．…[选做题]23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…2016年10月24日。

炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高考模拟卷(二)数 学(理科)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知集合A ＝{20，17}，B ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈A}，则集合B 中元素个数为(C )(A )1 (B )2 (C )3 (D )4 (2)设i 是虚数单位，复数z ＝2i1－i，则|z|＝(B ) (A )1 (B ) 2 (C ) 3 (D )2(3)右边的茎叶图记录了甲、乙两名同学在10次英语听力比赛中的成绩(单位：分)，已知甲得分的中位数为76分，乙得分的平均数是75分，则下列结论正确的是(C )(A )x 甲＝76，x 乙＝75(B )甲数据中x ＝3，乙数据中y ＝6 (C )甲数据中x ＝6，乙数据中y ＝3(D )乙同学成绩较为稳定【解析】因为甲得分的中位数为76分，所以x ＝6，因为乙得分的平均数是75分，所以56＋68＋68＋70＋72＋（70＋y ）＋80＋86＋88＋8910＝75，解得y ＝3，故选C .(4)已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝－34x ，则此双曲线的离心率为(C )(A )54 (B )74 (C )53 (D )73(5)一算法的程序框图如图所示，若输出的y ＝12，则输入的x 可能为(B )(A )－1 (B )1 (C )1或5 (D )－1或1【解析】这是一个用条件分支结构设计的算法，该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 6，x ≤22x ，x>2的函数值，输出的结果为12，当x ≤2时，sin πx 6＝12，解得x ＝1＋12k ，或x ＝5＋12k ，k ∈Z ，即x ＝1，－7，－11，… 当x ＞2时，2x ＝12，解得x ＝－1(不合，舍去)，则输入的x 可能为1.故选B.(6)平面α外的一侧有一个三角形，三个顶点到平面α的距离分别是7、9、13，则这个三角形的重心到平面α的距离为(A)(A)293 (B)10 (C)8 (D)218【解析】如图过点A 作平面β∥α则β、α之间的距离为7，B 到β的距离为9－7＝2，C 到β的距离为13－7＝6，利用梯形中位线易求得BC 中点D 到β的距离为6＋22＝4，而重心G 在AD 上，且AG AD ＝23，重心G 到β的距离为d ′＝4×23，故重心G 到α的距离为d ＝4×23＋7＝293.(7)设数列{a n }，{b n }都是正项等比数列，S n 、T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和，且S n T n ＝n 2n ＋1，则log b 5a 5＝(D) (A)613 (B)715 (C)817 (D)919【解析】S 9T 9＝lg （a 1·a 2…a 9）lg （b 1·b 2…b 9）＝lg a 59lg b 59＝lg a 5lg b 5＝log b 5a 5log b 5a 5＝919.(8)若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(B)(A)15 (B)20 (C)25 (D)30【解析】V ＝12×3×4×5－13·3×42×5＝20.(9)在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(B)(A)－7 (B)7 (C)－28 (D)28 【解析】T k ＋1＝C n r⎝⎛⎭⎫x 2n －r(－x －13)r ＝(－1)r·C n r 2n －r ·xn －43r当r 为偶数时，二项式系数最大，从而n ＝8，由n －43r ＝0，得r ＝6，常数项C 8628－6＝7.(10)已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q两点，若△PF 1F 2为直角三角形且|PF 1|<|F 1F 2|，则椭圆E 的离心率为(A)(A)53 (B)23 (C)23 (D)13【解析】由题意得PF 1⊥PF 2， 由tan θ＝2sin θ＝25，cos θ＝15， ∴|PF 2|＝455c ，|PF 1|＝255c ，从而|PF 1|＋|PF 2|＝655c ＝2a ，∴e ＝c a ＝53. (11)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x .又函数g (x )＝cos πx2，x ∈[－3，3]，则函数F (x )＝f (x )－g (x )的所有零点之和等于(D)(A)－32 (B)－12 (C)12 (D)32【解析】f (x )＝g (x )x ＝12，52，－32，选D. (12)已知数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0，a n ＋12＋a n ＋1－1＝a n 2(n ∈N *)．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a n 2－3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为(C)(A)1 (B)2 (C)3 (D)6【解析】易证得数列{a n }是递增数列，又t 2－a n 2－3t －3a n ＝(t －a n －3)(t ＋a n )≤0，t ＋a n >0， ∴t ≤a n ＋3恒成立，t ≤(a n ＋3)min ＝a 1＋3＝3，∴t max ＝3.故选C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．(13)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，2)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－6)，且a ⊥b ，b ∥c ，则||a ＋b ＝．(14)设变量x 、y 满足约束条件：⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x 2＋y 2的最大值是__8__．【解析】作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2x ≥－2所对应的可行域(如图△ABC )，而z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方， 数形结合可得最大距离为OC 或OA ＝22，故答案为：8.(15)圆x 2＋y 2＝1上任意一点P ，过点P 作两直线分别交圆于A ，B 两点，且∠APB ＝60°，则|P A |2＋|PB |2的取值范围为__(5，6]__．【解析】过点P 做直径PQ ，如图，根据题意可得：|PQ |＝2.令∠APQ ＝θ，则∠BPQ ＝π3－θ.由题意可知：0<θ<π3.那么，|P A |＝|PQ |cos θ＝2cos θ， |PB |＝|PQ |cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ.|P A |2＋|PB |2＝(2cos θ)2＋⎣⎡⎦⎤2cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ2＝4⎣⎡⎦⎤cos 2θ＋cos 2⎝⎛⎭⎫π3－θ＝4⎣⎡⎦⎤cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ2＝4cos 2θ＋()cos θ＋3sin θ2＝2cos 2θ＋23sin θcos θ＋3 ＝3sin 2θ＋cos 2θ＋4＝2⎝⎛⎭⎫sin 2θ×32＋cos 2θ×12＋4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6＋4.∵0<θ<π3，∴0<2θ<2π3，∴π6<2θ＋π6<5π6， ∴12<sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6≤1. ∴5<2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6＋4≤6.因此，|P A |2＋|PB |2的取值范围为(5，6]．(16)已知函数f (x )＝x |x 2－12|的定义域为[0，m ]，值域为[0，am 2]，则实数a 的取值范围是__a ≥1__．【解析】仅考虑函数f (x )在x >0时的情况，可知f (x )＝⎩⎨⎧12x －x 3，x <23，x 3－12x ，x ≥2 3.函数f (x )在x ＝2时，取得极大值16.令x 3－12x ＝16，解得，x ＝4.作出函数的图象(如右图所示)．函数f (x )的定义域为[0，m ]，值域为[0，am 2]，分为以下情况考虑：①当0<m <2时，函数的值域为[0，m (12－m 2)]，有m (12－m 2)＝am 2，所以a ＝12m －m ，因为0<m <2，所以a >4；②当2≤m ≤4时，函数的值域为[0, 16]，有am 2＝16，所以a ＝16m 2，因为2≤m ≤4，所以1≤a ≤4；③当m >4时，函数的值域为[0，m (m 2－12)]，有m (m 2－12)＝am 2，所以a ＝m －12m，因为m >4，所以a >1.综上所述，实数a 的取值范围是a ≥1.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －sin 2ωx ＋1(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.(Ⅰ)求ω的值及函数f (x )的单调递减区间；(Ⅱ)如图，在锐角三角形ABC 中有f (B )＝1，若在线段BC 上存在一点D 使得AD ＝2，且AC ＝6，CD ＝3－1，求三角形ABC 的面积．【解析】(Ⅰ)f (x )＝32sin 2ωx －1－cos 2ωx 2＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋12. 因为相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T ＝π，即2π2ω＝π，所以ω＝1.故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12.(4分)令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．(6分)(Ⅱ)由f (B )＝sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＋12＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝12.由0<B <π2得π6<2B ＋π6<7π6，所以2B ＋π6＝5π6，解得B ＝π3.(8分)再由已知：AC ＝6， CD ＝3－1，AD ＝2.∴在△ADC 中，由AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos C ，得cos C ＝22， 又∠C ∈(0°，90°)，∴∠C ＝45°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝75°.(10分) 在△ABC 中，由AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝2， ∴S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×2×6×6＋24＝3＋32.(12分)(18)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AD ＝AB ＝1，BC ＝ 2.(Ⅰ)求证：平面PBD ⊥平面PBC ；(Ⅱ)设H 为CD 上一点，满足CH →＝2HD →，若直线PC 与平面PBD 所成的角的正切值为63，求二面角H －PB －C 的余弦值．【解析】(Ⅰ)证明：由AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝1BD ＝2， 又BC ＝2，∴CD ＝2，∴BC ⊥BD ，因为PD ⊥底面ABCD ，∴BC ⊥PD . 因为PD ∩BD ＝D ，所以BC ⊥平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PBC .(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可知∠BPC 为PC 与底面PBD 所成的角． 所以tan ∠BPC ＝63， 所以PB ＝3，PD ＝1，又CH →＝2HD →及CD ＝2， 可得CH ＝43，DH ＝23.(7分)以D 点为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别x ，y ，z 轴建立空间坐标系，则B (1，1，0)，P (0，0，1)，C (0，2，0)，H ⎝⎛⎭⎫0，23，0.(8分) 设平面HPB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·HP →＝0，n ·HB →＝0得⎩⎨⎧－23y 1＋z 1＝0，x 1＋13y 1＝0，取n ＝(1，－3，－2)，(9分)设平面PBC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BP →＝0，m ·BC →＝0得⎩⎨⎧x 2＋y 2－z 2＝0，－x 2＋y 2＝0，取m ＝(1，1，2)．(10分)所以cos 〈m ·n 〉＝m·n|m |·|n |＝－217，所以二面角H －PB －C 余弦值为217.(12分) (19)某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分，某考试每道都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道能排除两个错误选项，另2题只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项做答，且各题做答互不影响．(Ⅰ)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(Ⅱ)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望． 【解析】(Ⅰ)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A ， 选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B ，则P (A )＝12，P (B )＝13，该考生选择题得50分的概率为： P (A )P (A )P (B )P (B )＝⎝⎛⎭⎫122·⎝⎛⎭⎫132＝136.(4分) (Ⅱ)该考生所得分数X ＝30，35，40，45，50， P (X ＝30)＝⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫1－132＝19，(5分)P (X ＝35)＝C 21⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫122·C 21·13·23＝13，(6分) P (X ＝40)＝⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫232＋C 21⎝⎛⎭⎫122C 21·13·23＋⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫132＝1336，(7分) P (X ＝45)＝C 21⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫122C 21·13·23＝16，(8分) P (X ＝50)＝⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫132＝136，(9分) ∴X 的分布列为：(10分)EX ＝30×19＋35×13＋40×1336＋45×16＋50×136＝1153.(12分)(20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点F 与抛物线E ：y 2＝4x 的焦点重合，直线x －y＋22＝0与以原点O 为圆心，以椭圆的离心率e 为半径的圆相切． (Ⅰ)直线x ＝1与椭圆交于不同的两点M ，N ，椭圆C 的左焦点F 1，求△F 1MN 的内切圆的面积；(Ⅱ)直线l 与抛物线E 交于不同两点A ，B ，直线l ′与抛物线E 交于不同两点C ，D ，直线l 与直线l ′交于点M ，过焦点F 分别作l 与l ′的平行线交抛物线E 于P ，Q ，G ，H 四点．证明：|MA |·|MB ||MC |·|MD |＝|PQ ||HG |.【解析】(Ⅰ) 依题意，得c ＝1，e ＝⎪⎪⎪⎪0－0＋222＝12，即c a ＝12，∴a ＝2，∴b ＝3，∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2分) 直线l 的方程为x ＝1，得M ⎝⎛⎭⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎫1，－32， 设△F 1MN 的内切圆的半径为R ，则△F 1MN 的周长＝4a ＝8，S △F 1MN ＝12(|MN |＋|F 1M |＋|F 1N |)R ＝4R .又因为S △F 1MN ＝3＝4R ，∴R ＝34，所求内切圆的面积为916π.(4分)(Ⅱ)设直线l 和l ′的方程分别为x ＝k 1y ＋m 1，x ＝k 2y ＋m 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，由方程组⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝k 1y ＋m 1，得y 2－4k 1y －4m 1＝0 ①方程①的判别式Δ>0，得4k 12＋4m 1>0. 由①得y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m 1，(5分)由方程组⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝k 2y ＋m 2，得y 2－4k 2y －4m 2＝0 ②方程②的判别式Δ>0，得4k 22＋4m 2>0. 由②得y 3＋y 4＝4k 2，y 3y 4＝－4m 2.(6分) 联立直线l 与直线l ′的方程可得：M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1m 2－k 2m 1k 1－k 2，m 2－m 1k 1－k 2.因为|MA |·|MB |＝(1＋k 12)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫m 2－m 1k 1－k 2－y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－m 1k 1－k 2－y 2，代入计算得，|MA |·|MB |＝1＋k 12（k 1－k 2）2·|(m 2－m 1)2＋4k 1k 2(m 1＋m 2)－4(m 1k 22＋m 2k 12)|.(7分) 同理可得|MC |·|MD |＝(1＋k 22)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫m 2－m 1k 1－k 2－y 3⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－m 1k 1－k 2－y 4＝1＋k 22（k 1－k 2）2·||（m 2－m 1）2＋4k 1k 2（m 1＋m 2）－4（m 1k 22＋m 2k 12）. 因此|MA |·|MB ||MC |·|MD |＝1＋k 121＋k 22.(8分)由于PQ ，HG 分别与直线l 和直线l ′平行，故可设其方程分别为x ＝k 1y ＋1，x ＝k 2y ＋1.由方程组⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝k 1y ＋1，得y 2－4k 1y －4＝0. ③由③得y P ＋y Q ＝4k 1，y P y Q ＝－4，因此|PQ |＝x P ＋x Q ＋p ＝k 1(y P ＋y Q )＋4＝4(1＋k 12)．(10分) 同理可得|HG |＝x H ＋x G ＋p ＝k 1(y H ＋y G )＋4＝4(1＋k 22)．故|PQ ||HG |＝1＋k 121＋k 22.(11分) 所以|MA |·|MB ||MC |·|MD |＝|PQ ||HG |.(12分)(21)已知函数φ(x )＝ax ＋1，a 为正常数． (Ⅰ)若f (x )＝ln x ＋φ(x )，且a ＝4，讨论函数f (x )的单调性；(Ⅱ)若g (x )＝|ln x |＋φ(x )，且对任意x 1，x 2∈(0，2]，x 1≠x 2都有g （x 2）－g （x 1）x 2－x 1<－1.(ⅰ)求实数a 的取值范围；(ⅱ)求证：当x ∈(0，2]时，g (x )≥ln 2＋92.【解析】(Ⅰ)当a ＝4时，f (x )＝ln x ＋4x ＋1，定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝1x －4（x ＋1）2＝（x －1）2x （x ＋1）2≥0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(4分) (Ⅱ)因为g （x 2）－g （x 1）x 2－x 1<－1，所以g （x 2）－g （x 1）x 2－x 1＋1<0，g （x 2）＋x 2－[g （x 1）＋x 1]x 2－x 1<0 .设h (x )＝g (x )＋x ，依题意，h (x )在(0，2]上是减函数，h ′(x )≤0恒成立．(6分) (ⅰ)①当1≤x ≤2时，h (x )＝ln x ＋a x ＋1＋x ，h ′(x )＝1x －a（x ＋1）2＋1≤0.从而，a ≥（x ＋1）2x ＋(x ＋1)2＝x 2＋3x ＋1x ＋3对x ∈[1，2]恒成立．设m (x )＝x 2＋3x ＋1x ＋3，x ∈[1，2]，则m ′(x )＝2x ＋3－1x2>0.所以m (x )在[1，2]上是增函数，则当x ＝2时，m (x )有最大值为272，所以a ≥272.②当0<x <1时，h (x )＝－ln x ＋a x ＋1＋x ，h ′(x )＝－1x －a（x ＋1）2＋1≤0.从而，a ≥－（x ＋1）2x ＋(x ＋1)2＝x 2＋x －1x －1.设t (x )＝x 2＋x －1x －1，则t ′(x )＝2x ＋1＋1x2>0，所以t (x )在(0，1)上是增函数．所以t (x )<t (1)＝0，所以a ≥0.综合①②，又因为h (x )在(0，2]上图形是连续不断的，所以a ≥272.(9分)(ⅱ)因为h (x )在(0，2]上是减函数，所以h (x )≥h (2)，即g (x )＋x ≥ln 2＋a3＋2.由(ⅰ)得，a ≥272，∴g (x )＋x ≥ln 2＋a 3＋2≥ln 2＋92＋2，∴g (x )＋x ≥ln 2＋92＋2，当且仅当x ＝2时等号成立．从而g (x )≥ln 2＋92＋2－x .令T (x )＝ln 2＋92＋2－x ，则T (x )在(0，2]上单调递减．∴T (x )≥T (2)＝ln 2＋92.∴T (x )≥ln 2＋92.(12分) 选做题：请考生在第(22)、(23)两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．(22)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程(Ⅰ)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程；(Ⅱ)在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s(s 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A ，B 两点，求AB 的长． 【解析】(Ⅰ)圆的半径为12，记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0，连结CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2 θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)． 所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2 θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(5分) (Ⅱ)直线l 的普通方程为x ＋y ＝2，曲线C 的普通方程为y ＝(x －2)2(y ≥0)，联立两方程得x 2－3x ＋2＝0，求得两交点坐标为(1，1)，(2，0)，所以AB ＝ 2.(10分)(23)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(Ⅰ)当a ＝2时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(Ⅱ)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．【解析】(Ⅰ)当a ＝2时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －2|≥2，由此可得x ≥4或x ≤0.(4分)(Ⅱ)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0，此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0；或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，a －x ＋3x ≤0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4；或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤－a 2. 又a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2. 由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2.(10分)。

2016-2017学年湖南师大附中高三（下）月考数学试卷（文科）（7）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，则集合∁R（M∩N）等于（）A．（﹣∞，]B．（，1）C．（﹣∞，]∪[1，+∞）D．[1，+∞）2．已知复数的实部为﹣1，则复数z﹣b在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列说法中正确的是（）A．若分类变量X和Y的随机变量K2的观测值k越大，则“X与Y相关”的可信程度越小B．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值具有一定的随机性，x，y间的这种非确定关系叫做函数关系C．相关系数r2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱D．若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小4．如图是某市举办青少年运动会上，7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字，这些数据的中位数是（），去掉一个最低分和最高分所剩数据的平均数是（）A．86.5，86.7 B．88，86.7 C．88，86.8 D．86，5，86.8 5．在如图所示的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．下面四个推理，不属于演绎推理的是（）A．因为函数y=sinx（x∈R）的值域为[﹣1，1]，2x﹣1∈R，所以y=sin（2x﹣1）（x∈R）的值域也为[﹣1，1]B．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c，将此结论放到空间中也是如此D．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论7．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin ∠CED=（）A．B．C．D．8．已知f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，且x≥0时，f（x）=e x+m（m 为常数），则f（﹣ln5）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣69．若实数数列：﹣1，a1，a2，a3，﹣81成等比数列，则圆锥曲线x2+=1的离心率是（）A．或B．或C．D．10．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（）A．12πB．24πC．36πD．48π11．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C．D．312．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈（﹣2，2），函数y=h（x）的零点个数（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．14．已知△ABC的外接圆半径为8，且sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC的面积为．15．已知O为△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则3x+6y的最小值为．16．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．18．已知二次函数f（x）=ax2﹣4bx+2．（Ⅰ）任取a∈{1，2，3}，b∈{﹣1，1，2，3，4}，记“f（x）在区间[1，+∞）上是增函数”为事件A，求A发生的概率；（Ⅱ）任取（a，b）∈{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}，记“关于x的方程f（x）=0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B，求B发生的概率．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．20．如图，设双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，上顶点为A，点B为双曲线虚轴的左端点，已知C l的离心率为，且△ABF的面积S=1﹣．（Ⅰ）求双曲线C l的方程；（Ⅱ）设抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点为F，动直线l与C2相切于点P，与C2的准线相交于点Q试推断以线段PQ为直径的圆是否恒经过y轴上的某个定点M？若是，求出定点M的坐标；若不是，请说明理由．21．已知f（x）=e x，g（x）=﹣x2+2x+a，a∈R．（Ⅰ）讨论函数h（x）=f（x）g（x）的单调性；（Ⅱ）记φ（x）=，设A（x1，φ（x1）），B（x2，φ（x2））为函数φ（x）图象上的两点，且x1＜x2．（ⅰ）当x＞0时，若φ（x）在A，B处的切线相互垂直，求证x2﹣x1≥1；（ⅱ）若在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA||FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．2016-2017学年湖南师大附中高三（下）月考数学试卷（文科）（7）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，则集合∁R（M∩N）等于（）A．（﹣∞，]B．（，1）C．（﹣∞，]∪[1，+∞）D．[1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出集合M，N，再根据集合的交集个补集计算即可【解答】解：∵集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，∴M=（﹣1，1），N=（﹣，2），∴M∩N=（﹣，1）∴∁R（M∩N）=（﹣∞，]∪[1，+∞）故选：C【点评】本题考查了集合的交集和补集的运算，属于基础题2．已知复数的实部为﹣1，则复数z﹣b在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由题意求得b，进一步求得复数z﹣b在复平面上对应的点的坐标得答案．【解答】解：由的实部为﹣1，得，得b=6．∴z=﹣1+5i，则z﹣b=﹣7+5i，在复平面上对应的点的坐标为（﹣7，5），在第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．下列说法中正确的是（）A．若分类变量X和Y的随机变量K2的观测值k越大，则“X与Y相关”的可信程度越小B．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值具有一定的随机性，x，y间的这种非确定关系叫做函数关系C．相关系数r2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱D．若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小【考点】相关系数．【分析】分别根据变量相关的定义和性质分别进行判断即可得到结论．【解答】解：A．若分类变量X和Y的随机变量K2的观测值k越大，则“X与Y相关”的可信程度越大，∴A错误．B．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值具有一定的随机性，x，y间的这种非确定关系叫做相关关系，∴B错误．C．相关系数r2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越强，∴C错误．D．若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小，∴D正确．故选：D．【点评】本题主要考查变量相关系数的性质，比较基础．4．如图是某市举办青少年运动会上，7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字，这些数据的中位数是（），去掉一个最低分和最高分所剩数据的平均数是（）A．86.5，86.7 B．88，86.7 C．88，86.8 D．86，5，86.8【考点】频率分布直方图．【分析】根据茎叶图中的数据，利用中位数和平均数的定义求出结果即可．【解答】解：由茎叶图知，这组数据共有7个，按从小到大的顺序排在中间的是88，所以中位数是88；去掉一个最高分94和一个最低分79后，所剩数据为84，85，88，88，89，它们的平均数为（84+85+88+89）=86.8．故选：C．【点评】本题考查了根据茎叶图中的数据，求中位数和平均数的应用问题，是基础题．5．在如图所示的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】结构图．【分析】先对所画结构的每一部分有一个深刻的理解，从头到尾抓住主要脉络进行分解；再将每一部分进行归纳与提炼，形成一个个知识点并逐一写在矩形框内；最后按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连，从而形成知识结构图．“求简单函数的导数”是建立在熟练掌握“基本求导公式”，“函数四则运算求导法则”和“复合函数求导法则”基础上的，故三者均为其上位．【解答】解：根据知识结构图得，“求简单函数的导数”是建立在熟练掌握“基本求导公式”，“函数四则运算求导法则”和“复合函数求导法则”基础上的，故“基本求导公式”，“函数四则运算求导法则”和“复合函数求导法则”均为“求简单函数的导数”的“上位”要素，共有3个．故选：C．【点评】本题主要考查了结构图的组成与应用问题，是基础题目．6．下面四个推理，不属于演绎推理的是（）A．因为函数y=sinx（x∈R）的值域为[﹣1，1]，2x﹣1∈R，所以y=sin（2x﹣1）（x∈R）的值域也为[﹣1，1]B．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c，将此结论放到空间中也是如此D．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论【考点】演绎推理的基本方法．【分析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，因此不有助于发现新结论．【解答】解：C中的推理属于合情推理中的类比推理，A，B，D中的推理都是演绎推理．故选C．【点评】本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．7．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin ∠CED=（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．【分析】法一：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦；法二：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦．【解答】解：法一：利用余弦定理在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，由余弦定理得cos∠CED=，∴sin∠CED==．故选B．法二：在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，∠CDE=135°，由正弦定理得，即．故选B．【点评】本题综合考查了正弦定理和余弦定理，属于基础题，题后要注意总结做题的规律．8．已知f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，且x≥0时，f（x）=e x+m（m 为常数），则f（﹣ln5）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【分析】根据已知可得f（0）=0，进而求出m值，得到x≥0时，f（x）的解析式，先求出f（ln5），进而可得答案．【解答】解：∵f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，故f（﹣x）=﹣f（x），故f（0）=0∵x≥0时，f（x）=e x+m，∴f（0）=1+m=0，m=﹣1，即x≥0时，f（x）=e x﹣1，则f（ln5）=4f（﹣ln5）=﹣f（ln5）=﹣4，故选：B．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数求值，难度中档．9．若实数数列：﹣1，a1，a2，a3，﹣81成等比数列，则圆锥曲线x2+=1的离心率是（）A．或B．或C．D．【考点】双曲线的简单性质；等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列求出a2，然后代入曲线方程，求解双曲线的离心率即可．【解答】解：因为﹣1，a1，a2，a3，﹣81成等比数列，所以a22=﹣1×（﹣81）=81，a2=﹣9（等比数列的奇数项同号），所以圆锥曲线的方程为x2﹣=1，其中a=1，b=3，c==，离心率为e==，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，等比数列的应用，考查计算能力．10．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（）A．12πB．24πC．36πD．48π【考点】球内接多面体；由三视图还原实物图．【分析】将三视图还原为直观图，得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正方体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．【解答】解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2，即正方体面对角线长也是2，∴得AG==a，所以正方体棱长a=2∴Rt△OGA中，OG=a=1，AO=，即外接球半径R=，得外接球表面积为4πR2=12π．故选A．【点评】本题主要考查了将三视图还原为直观图，并且求外接球的表面积，着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识，属于中档题．11．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C．D．3【考点】基本不等式．【分析】依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1，当且仅当y=1时取得“=”，满足题意．∴的最大值为1．故选B．【点评】本题考查基本不等式，由取得最大值时得到x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．12．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈（﹣2，2），函数y=h（x）的零点个数（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数的导函数，根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组，求解a，b．令f（x）=t，则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[﹣2，2]，当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数，f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时，先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点，∴f′（1）=3﹣2a+b=0，f′（﹣1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．得，f（x）=x3﹣3x，令f（x）=t，h（x）=f（f（x））﹣c，则h（x）=f（t）﹣c．c∈（﹣2，2），先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[﹣2，2]当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数，∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时，∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0，f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0，∴一2，﹣1，1，2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）＞f （2）=2．此时f（x）=d在（2，+∞）无实根．②当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0，f（2）﹣d＞0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（1，2 ）内有唯一实根．同理，在（一2，一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0，f（1）﹣d＜0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（一1，1 ）内有唯一实根．因此，当|d|=2 时，f（x）=d 有两个不同的根x1，x2，满足|x1|=1，|x2|=2；当|d|＜2时，f（x）=d 有三个不同的根x3，x4，x5，满足|x i|＜2，i=3，4，5．现考虑函数y=h（x）的零点：（i ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5 个零点．（i i ）当|c|＜2时，f（t）=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足|t i|＜2，i=3，4，5．而f（x）=t i有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点．综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x）有9 个零点．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强，难度大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是1和3．【考点】进行简单的合情推理．【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口．14．已知△ABC的外接圆半径为8，且sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC的面积为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】sinA：sinB：sinC=2：3：4，利用正弦定理可得a：b：c=2：3：4，利用余弦定理可得cosA，sinA=．再利用正弦定理可得=2×8，解得a，即可得出三角形面积．【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=2：3：4，∴a：b：c=2：3：4，cosA==，sinA==．∴=2×8，解得a=16×=2．∴b=3，c=4．∴S=bcsinA=3×4×=．故答案为：．【点评】本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知O为△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则3x+6y的最小值为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据几何图形求解出O点的坐标，先求出，的坐标，再由=x+y，运用向量的坐标相等求解出x，y的值，得出3x+6y=，运用基本不等式求解即可得出最小值．【解答】解：根据题意，建立坐标系如图，过O作AB的垂直平分线，垂足为E，则A（0，0），C（，0），B（﹣a，），E（，），O（，m），∵∠BAC=120°，∴，化简得，∴O（，），∴，，，∵=x+y，∴解得，，∴3x+6y=3（）=≥+6=6+，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，结合基本不等式求解，属于中档题，关键是准确求解向量的坐标．16．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是（0，] ．【考点】分段函数的应用．【分析】曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）=（x+1）lnx（x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a的范围．【解答】解：假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t）=﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0即t4﹣t2+1=0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）=alnt，代入（*）式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt（**）令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），则h′（x）=lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∵t≥e∴h（t）≥h（e）=e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．∴对于0＜a≤，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．故答案为：（0，]．【点评】本题考查分段函数的运用，注意向量垂直条件的运用和中点坐标公式，考查构造法和函数的单调性运用，属于中档题．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，a4=8a1，可得=8a1，解得q．又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a1+a3，当然解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，可得S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4），再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a4=8a1，∴=8a1，a1≠0，解得q=2．又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2．∴a n=2n．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，∴S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．∴数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4）=2+22+23+…+2n﹣4（n﹣1）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．∴S n=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知二次函数f（x）=ax2﹣4bx+2．（Ⅰ）任取a∈{1，2，3}，b∈{﹣1，1，2，3，4}，记“f（x）在区间[1，+∞）上是增函数”为事件A，求A发生的概率；（Ⅱ）任取（a，b）∈{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}，记“关于x的方程f（x）=0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B，求B发生的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；几何概型．【分析】（Ⅰ）因为a有3种取法，b有5种取法，则对应的函数有3×5=15个，函数f（x）的图象关于直线x=对称，若事件A发生，则a＞0且≤1，由此利用列举法能求出A发生的概率．（Ⅱ）集合{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}对应的平面区域为Rt△AOB，由此利用几何概型能求出B 发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）因为a有3种取法，b有5种取法，则对应的函数有3×5=15个．因为函数f（x）的图象关于直线x=对称，若事件A发生，则a＞0且≤1．数对（a，b）的取值为（1，﹣1），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣1），（3，1）共5种．所以P（A）==．（Ⅱ）集合{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}对应的平面区域为Rt△AOB，如图．其中点A（6，0），B（0，），则△AOB的面积为××6=．若事件B发生，则f（1）＜0，即a﹣4b+2＜0．所以事件B对应的平面区域为△BCD．由，得交点坐标为D（2，1）．又C（0，），则△BCD的面积为×（﹣）×2=1．所以P（B）==．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和几何概型的合理运用．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【考点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PD⊥平面PEF，RG∥PD，由此能证明GR⊥平面PEF．（Ⅱ）设三棱锥P﹣DEF的内切球半径为r，由三棱锥的体积V=，能求出棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均为直角，∴在三棱锥P﹣DEF中，PE，PF，PD三条线段两两垂直，∴PD⊥平面PEF，∵=，即，∴在△PDH中，RG∥PD，∴GR⊥平面PEF．解：（Ⅱ）正方形ABCD边长为4，由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2，=2，S△DEF=S△DPE=4，∴S△PDF=6，设三棱锥P﹣DEF的内切球半径为r，则三棱锥的体积：=，解得r=，∴三棱锥P﹣DEF的内切球的半径为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的内切的半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．如图，设双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，上顶点为A，点B为双曲线虚轴的左端点，已知C l的离心率为，且△ABF的面积S=1﹣．（Ⅰ）求双曲线C l的方程；（Ⅱ）设抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点为F，动直线l与C2相切于点P，与C2的准线相交于点Q试推断以线段PQ为直径的圆是否恒经过y轴上的某个定点M？若是，求出定点M的坐标；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知得，由此能求出双曲线方程．（Ⅱ）由题设，抛物线C2的方程为x2=8y，准线方程为y=﹣2，由y=，得，设P（），则直线l的方程y=，联立y=﹣2，得Q（），假设存在定点M（0，m）满足题设条件，由已知条件求出m=2，故以PQ为直径的圆经过y轴上的定点M（0，2）．【解答】解：（Ⅰ）∵双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，上顶点为A，点B为双曲线虚轴的左端点，C l的离心率为，且△ABF的面积S=1﹣，∴，解得a=，∴双曲线方程为﹣x2=1．（Ⅱ）由题设，抛物线C2的方程为x2=8y，准线方程为y=﹣2，由y=，得，设P（），则直线l的方程为y﹣=，即y=，联立y=﹣2，得Q（），假设存在定点M（0，m）满足题设条件，则对任意点P恒成立，∵，，则，即对任意实数x0恒成立，∴，解得m=2，故以PQ为直径的圆经过y轴上的定点M（0，2）．【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．已知f（x）=e x，g（x）=﹣x2+2x+a，a∈R．（Ⅰ）讨论函数h（x）=f（x）g（x）的单调性；（Ⅱ）记φ（x）=，设A（x1，φ（x1）），B（x2，φ（x2））为函数φ（x）图象上的两点，且x1＜x2．（ⅰ）当x＞0时，若φ（x）在A，B处的切线相互垂直，求证x2﹣x1≥1；（ⅱ）若在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性即可；（Ⅱ）（i）法一：求出x2﹣x1的解析式，根据基本不等式的性质判断即可；法二：用x1表示x2，根据不等式的性质判断即可；（ii）求出A、B的坐标，分别求出曲线在A、B的切线方程，结合函数的单调性确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）h（x）=e x（﹣x2+2x+a），则h′（x）=﹣e x[x2﹣（a+2）]当a+2≤0即a≤﹣2时，h′（x）≤0，h（x）在R上单调递减；当a+2＞0即a＞﹣2时，h′（x）=﹣e x[x2﹣（a+2）]=﹣e x（x+）（x﹣），此时h（x）在（﹣∞，﹣）和（，+∞）上都是单调递减的，在（﹣，）上是单调递增的；（Ⅱ）（ⅰ）g′（x）=﹣2x+2，据题意有（﹣2x1+2）（﹣2x2+2）=﹣1，又0＜x1＜x2，则﹣2x1+2＞0且﹣2x2+2＜0，⇒（﹣2x1+2）（2x2﹣2）=1，法1：x2﹣x1= [（﹣2x1+2）+（2x2﹣2）]≥=1当且仅当（﹣2x1+2）=（2x2﹣2）=1即x1=，x2=时取等号法2：x2=1+，0＜1﹣x1＜1⇒x2﹣x1=1﹣x1+≥2=1当且仅当1﹣x1=⇒x1=时取等号（ⅱ）要在点A，B处的切线重合，首先需在点A，B处的切线的斜率相等，而x＜0时，φ′（x）=f′（x）=e x∈（0，1），则必有x1＜0＜x2＜1，即A（x1，ex1），B（x2，﹣ +2x2+a）A处的切线方程是：y﹣ex1=ex1（x﹣x1）⇒y=ex1x+ex1（1﹣x1），B处的切线方程是：y﹣（﹣+2x2+a）=（﹣2x2+2）（x﹣x2）即y=（﹣2x2+2）x++a，据题意则⇒4a+4=﹣ex1（ex1+4x1﹣8），x1∈（﹣∞，0）设p（x）=﹣e x（e x+4x﹣8），x＜0，p′（x）=﹣2e x（e x+2x﹣2）设q（x）=e x+2x﹣2，x＜0⇒q′（x）=e x+2＞0在（﹣∞，0）上恒成立，则q（x）在（﹣∞，0）上单调递增⇒q（x）＜q（0）=﹣1＜0，则p′（x）=﹣2e x（e x+2x﹣2）＞0，⇒p（x）在（﹣∞，0）上单调递增，则p（x）＜p（0）=7，再设r（x）=e x+4x﹣8，x＜0r′（x）=e x+4＞0，⇒r（x）在（﹣∞，0）上单调递增，⇒r（x）＜r（0）=﹣7＜0则p（x）=﹣e x（e x+4x﹣8）＞0在（﹣∞，0）恒成立即当x∈（﹣∞，0）时p（x）的值域是（0，7）故4a+4∈（0，7）⇒﹣1＜a＜，即为所求．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA||FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．∵F（﹣2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0，∴|FA||FB|=|t1t2|=2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y＜2），则x2+3y2=12，∴x=．∴P=4x+4y=4+4y．令f（y）=4+4y，则f′（y）=．令f′（y）=0得y=1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y=1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，函数的最值，参数方程的几何意义，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017河南一模）设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得：或或，即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅，解得0≤x≤2，所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；。

湖南师大附中2017届高三摸底考试理科数学试题－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2017届高三摸底考试数 学(理科)时量：120分钟 满分：150分得分：______________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数3＋2ii 的虚部是A ．3iB ．－3iC ．3D ．－32．记集合A ＝{}x|x －a>0，B ＝{}y|y ＝sin x ，x ∈R ，若0∈A ∩B ，则a 的取值范围是 A. (－∞，0) B. (－∞，0] C. [0，＋∞) D. (0，＋∞)3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能．．．是 A ．圆柱 B ．圆锥 C ．棱锥 D ．棱柱 4．二项式(x －2)5展开式中x 的系数为 A ．5 B. 16 C ．80 D ．－805．在数列{}a n 中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝ A ．2＋ln n B ．2＋()n －1ln nC ．2＋nln nD ．1＋n ＋ln n6．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有A ．10种B ．60种C ．125种D ．243种7．A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响8．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－12x ，x ∈[]－2π，2π的单调递增区间是A.⎣⎡⎦⎤－π3，5π3B.⎣⎡⎦⎤－2π，－π3C.⎣⎡⎦⎤5π3，2π D.⎣⎡⎦⎤－2π，－π3和⎣⎡⎦⎤5π3，2π9．非负实数x 、y 满足ln(x ＋y －1)≤0，则关于x －y 的最大值和最小值分别为A ．2和1B ．2和－1C ．1和－1D ．2和－210．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是 A ．0.7 B ．0.75 C ．0.8 D ．0.911．已知函数f(x)＝e x ，g(x)＝x ＋1. 则下列命题中的假命题是 A ．x ∈R ，f(x)>g(x)B ．x 1，x 2∈R ，f(x 1)<g(x 2)C ．x 0∈R ，f(x 0)＝g(x 0)D ．x 0∈R ，使得x ∈R ，f(x 0)－g(x 0)≤f(x)－g(x)12．将函数y ＝ln(x ＋1)(x ≥0) 的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为A ．π B.π2 C.π3 D.π4二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13.⎠⎛01e x dx ＝________．14．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝ ________．15．M 、N 分别为双曲线x 24－y 23＝1左、右支上的点，设v 是平行于x 轴的单位向量，则||MN →·v 的最小值为________．16．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，令F(x)＝(x －b)f(x －b)＋2 016，若b 是a 、c 的等差中项，则F(a)＋F(c)＝________．三、解答题：本大题共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S.空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；>300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如下．(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共30天计算)(2)将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)求二面角A－DF－B的大小；(3)试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)的离心率为32，P(－2，1)是C 1上一点．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设A 、B 、Q 是点P 分别关于x 轴、y 轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 与C 1相交于不同于P 、Q 的两点C 、D.点C 关于原点的对称点为E. 证明：直线PD 、PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形．已知函数f(x)＝aln x ＋12x 2－ax(a 为常数)有两个极值点．(1)求实数a 的取值范围；(2)设f(x)的两个极值点分别为x 1，x 2.若不等式f(x 1)＋f(x 2)<λ(x 1＋x 2)恒成立，求λ的最小值．选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，C 、D 是以AB 为直径的半圆上两点，且AD ︵＝CD ︵. (1)若CD ∥AB.证明：直线AC 平分∠DAB ； (2)作DE ⊥AB 交AC 于E.证明：CD 2＝AE·AC.23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0, θ∈[)0，2π.(1)求C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos π6y ＝tsin π6(t 为参数)．求C 1与C 2的公共点的极坐标．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设α，β，γ均为实数．(1)证明：||cos （α＋β）≤||cos α＋||sin β； ||sin （α＋β）≤||cos α＋||cos β.(2)若α＋β＋γ＝0.证明||cos α＋||cos β＋||cos γ≥1.湖南师大附中2017届高三摸底考试理科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2017届高三摸底考试理科数学参考答案 一、选择题1．D 【解析】3＋2i i ＝3i －2－1＝2－3i ，故3＋2ii 的虚部是－3.选D.2．A 【解析】A ＝(a ，＋∞)，B ＝[－1，1]，由0∈A ∩B 知a< 0，故a 的取值范围是(－∞，0)．选A.3．B 【解析】易知仅圆锥的三视图中一定不会出现正方形．选B.4．C 【解析】由二项式定理知，其展开式中含x 的项为C 45x(－2)4，故其系数为C 45(－2)4＝80.选C.5．A 【解析】由已知得a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n ，所以a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(ln 2－ln 1)＋(ln 3－ln 2)＋…＋(ln n －ln(n －1))＝2＋ln n ，故选A.6．B 【解析】易知不同的填法种数为A 35＝60.选B.7．A 【解析】因为7.879<K 2<10.828，故有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响．故选A.8．D 【解析】令z ＝π3－12x ，函数y ＝sin z 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，由2k π＋π2≤π3－12x ≤2k π＋3π2得 4k π－7π3≤x ≤4k π－π3，而z ＝π3－12x 在R 上单调递减，于是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－12x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－7π3，4k π－π3，而x ∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－2π，－π3和⎣⎡⎦⎤5π3，2π.故选D.9．D 【解析】依题意有⎩⎪⎨⎪⎧0<x ＋y －1≤1x ≥0y ≥0，作出可行域，易求得x －y 的最大值和最小值分别为2和－2，选D.10．A 【解析】此程序框图执行的是输入一个正整数n ，求11×2＋12×3＋…＋1n ×（n ＋1）的值S ，并输出S. S ＝11×2＋12×3＋…＋1n ×（n ＋1）＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 令S 等于0.7，解得n ＝73不是正整数，而n 分别输入3，4，9时，可分别输出0.75，0.8，0.9.故选A.11．A 【解析】设F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝e x －1，于是当x<0时F′(x)<0，F(x)单调递减；x>0时F′(x)>0，F(x)单调递增．从而F(x)有最小值F(0)＝0，于是可以判断A 为假，其余为真．故选A.12．D 【解析】因为x ≥0时，y ′＝1x ＋1是x 的减函数且0<y′≤1，当且仅当x ＝0时等号成立，故函数y ＝ln(x ＋1)(x ≥0) 的图象的切线中，在x ＝0处的切线的倾斜角最大，其值为π4，由此可知αmax ＝π2－π4＝π4. 选D.二、填空题13．e －1 【解析】⎠⎛01e x dx ＝e x |10＝e －1.14．－7 【解析】因为a 4a 7＝a 5a 6＝－8，又a 4＋a 7＝2，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2a 7＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4a 7＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12a 1＝－8，从而a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.15．4 【解析】由向量数量积的定义，MN →·v 即向量MN →在向量v 上的投影与v 模长的乘积，故求||MN →·v 的最小值，即求MN →在x 轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图像可知||MN →·v 的最小值为4.16．4 032 【解析】因为b 是a 、c 的等差中项，故(c －b)＝－(a －b)， 又f(x)是定义在R 上的偶函数，所以 f(c －b)＝f(－(a －b))＝f(a －b)，于是F(a)＋F(c)＝(a －b)f(a －b)＋2 016＋(c －b)f(c －b)＋2 016 ＝(a －b)f(a －b)－(a －b)f(a －b)＋4 032 ＝4 032. 三、解答题17．【解析】(1)由正弦定理，得2c －a b ＝2sin C －sin Asin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B.即(cos A －2cos C)sin B ＝(2sin C －sin A)cos B ，化简可得sin(A ＋B)＝2sin(B ＋C). 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝2sin A ， 因此sin C sin A ＝2.(2)由sin Csin A＝2得c ＝2a. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accos B 及 cos B ＝14， b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14.解得a ＝1，从而c ＝2.又因为cos B ＝14，且0<B<π.所以sin B ＝154. 因此S ＝12acsin B ＝12×1×2×154＝154. 18．【解析】(1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为610＝35，估计该月空气质量优良的频率为35，从而估计该月空气质量优良的天数为30×35＝18. (2)由(1)估计某天空气质量优良的概率为35， ξ的所有可能取值为0，1，2，3.P(ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫253＝8125，P(ξ＝1)＝C 1335⎝⎛⎭⎫252＝36125， P(ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫35225＝54125， P(ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫353＝27125，故ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 P 8125 36125 54125 27125显然ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，35，E ξ＝3×35＝1.8. 19．【解析】(1)设AC ∩BD ＝N ，连接NE ，∵M 、N 分别是EF 、AC 的中点，ACEF 是矩形，∴四边形ANEM 是平行四边形，∴AM ∥NE.∵NE 平面BDE, AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDE.(2)由题设，平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ∩平面ACEF ＝AC ，CE 平面ACEF ，CE ⊥AC ，所以CE ⊥平面ABCD ，又CB ⊥CD ，故可以CD 、CB 、CE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图，则相关各点的坐标为A (2，2，0)，B(0, 2， 0)，D(2， 0, 0)F(2， 2， 1)，从而DF →＝(0，2，1)，BD →＝(2，－2，0)，AB →＝(－2，0，0)．注意到AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面ADF.所以AB →＝(－2，0，0)为平面ADF 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z)是平面BDF 的一个法向量，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0n ·DF →＝0得⎩⎨⎧2x －2y ＝02y ＋z ＝0， 取y ＝1，得n ＝(1，1，－2)，于是cos 〈n, AB →〉＝n · AB →|n |·| AB →|＝－12，所以〈n, AB →〉＝120°， 设二面角A —DF —B 的大小为θ，则由图可知，θ＝180°－〈n, AB →〉＝60°，即所求二面角A —DF —B 的大小是60°. (3)因为点P 在线段AC 上，所以可设P(t, t, 0) (0≤t ≤2) ，从而PF →＝(2－t ，2－t ，1)，又BC →＝(0，－2， 0)，由PF 和BC 所成的角是60°，得cos 60°＝||－2·（2－t ）（2－t ）2＋（2－t ）2＋1·2 ， 解得t ＝22或t ＝322(舍去)， 所以点P 是AC 的中点． 20．【解析】(1)因为C 1离心率为32，所以a 2＝4b 2， 从而C 1的方程为：x 24b 2＋y 2b2＝1 .代入P(－2，1) 解得：b 2＝2，因此a 2＝8.所以椭圆C 1的方程为：x 28＋y 22＝1 . (2)由题设知A 、B 的坐标分别为(－2，－1)，(2，1)．因此直线l 的斜率为12. 设直线l 的方程为：y ＝12x ＋t. 由⎩⎨⎧y ＝12x ＋tx 28＋y 22＝1得：x 2＋2tx ＋2t 2－4＝0. 当Δ>0时，不妨设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，于是 x 1＋x 2＝－2t ，x 1x 2＝2t 2－4.设直线PD 、PE 的斜率分别为k 1，k 2，则要证直线PD 、PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k 1＋k 2＝0，又k 1＋k 2＝y 2－1x 2＋2＋－y 1－1－x 1＋2＝（y 2－1）（2－x 1）－（2＋x 2）（y 1＋1）（2＋x 2）（2－x 1）， 则只需证(y 2－1)(2－x 1)－(2＋x 2)(y 1＋1)＝0，而(y 2－1)(2－x 1)－(2＋x 2)(y 1＋1)＝2(y 2－y 1)－(x 1y 2＋x 2y 1)＋x 1－x 2－4＝x 2－x 1－x 1x 2－t(x 1＋x 2)＋x 1－x 2－4＝－x 1x 2－t(x 1＋x 2)－4＝－2t 2＋4＋2t 2－4＝0所以直线PD 、PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形．21．【解析】(1)f′(x)＝a x ＋x －a ＝x 2－ax ＋a x(x>0)， 于是f(x)有两个极值点需要二次方程x 2－ax ＋a ＝0有两个不等的正根，设其两根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a>0x 1＋x 2＝a>0x 1x 2＝a>0，解得a> 4，不妨设x 1<x 2， 此时在()0，x 1上f′(x)>0，()x 1，x 2上f′(x)<0，()x 2，＋∞上f′(x)>0.因此x 1，x 2是f(x)的两个极值点，符合题意．所以a 的取值范围是()4，＋∞.(2)f(x 1)＋f(x 2)＝aln x 1＋12x 21－ax 1＋aln x 2＋12x 22－ax 2 ＝aln(x 1x 2)＋12(x 21＋x 22)－a(x 1＋x 2) ＝aln(x 1x 2)＋12(x 1＋x 2)2－x 1x 2－a(x 1＋x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫ln a －12a －1 于是f （x 1）＋f （x 2）x 1＋x 2＝ln a －12a －1，a ∈()4，＋∞. 令φ(a)＝ln a －12a －1，则φ′(a)＝1a －12. 因为a> 4，所以φ′(a)<0.于是φ(a)＝ln a －12a －1在()4，＋∞上单调递减． 因此f （x 1）＋f （x 2）x 1＋x 2＝φ(a)<φ(4)＝ln 4－3. 且f （x 1）＋f （x 2）x 1＋x 2可无限接近ln 4－3.又因为x 1＋x 2>0，故不等式f(x 1)＋f(x 2)<λ(x 1＋x 2)等价于f （x 1）＋f （x 2）x 1＋x 2<λ. 所以λ的最小值为ln 4－3.22．【解析】(1)由题设CD ∥AB 可知，∠DCA ＝∠BAC ，因为AD ︵＝DC ︵，所以∠DAC ＝∠DCA ，从而∠DAC ＝∠BAC ，因此，AC 平分∠DAB.(2)由DE ⊥AB 知，∠ADE ＋∠DAB ＝90°，因为AB 为直径，所以∠DBA ＋∠DAB ＝90°，从而∠ADE ＝∠ABD ，又因为∠ABD ＝∠DCA ， 所以∠ADE ＝∠ACD.因此△ADE ∽△ACD ，所以AD 2＝AE·AC ，而AD ＝DC.所以CD 2＝AE·AC.23．【解析】(1)将⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2ρcos θ＝x 代入ρ2－4ρcos θ＋3＝0得： (x －2)2＋y 2＝1.(2)由题设可知，C 2是过坐标原点，倾斜角为π6的直线， 因此C 2的极坐标方程为θ＝π6或θ＝7π6，ρ>0， 将θ＝π6代入C 1：ρ2－23ρ＋3＝0，解得：ρ ＝ 3. 将θ＝7π6代入C 1得ρ ＝－3，不合题意． 故C 1，C 2公共点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π6. 24．【解析】(1)||cos （α＋β）＝||cos αcos β－sin αsin β≤||cos αcos β＋||sin αsin β ≤||cos α＋||sin β；||sin （α＋β）＝||sin αcos β＋cos αsin β≤||sin αcos β＋||cos αsin β ≤||cos α＋||cos β.(2)由(1)知，||cos （α＋（β＋γ））≤||cos α＋||sin （β＋γ） ≤||cos α＋||cos β＋||cos γ，而α＋β＋γ＝0，故||cos α＋||cos β＋||cos γ≥1.。

2017届湖南师大附中高三上学期第三次月考试题 数学（理）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1．已知集合{}{}2|log 1,|2,0x A x x B y y x =<==≥，则AB =（ ）A ．∅B ．{}|1x 2x <<C ．{}|1x 2x ≤<D ．{}|1x 2x <≤2.将直线3y x =绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A ．1133y x =-+ B ．113y x =-+ C ．33y x =- D ．113y x =+ 3. 已知命题():,0,23xxp x ∃∈-∞<；命题:0,,sin 2q x x x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ∧D ．()p q ∧4. 某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y (吨标准煤)有如下几组样本数据：据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）A ．ˆ0.7 2.05yx =+ B ．ˆ0.71y x =+ C ．ˆ0.70.35y x =+ D ．ˆ0.70.45y x =+ 5.已知3sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos 2πα-的值为（ ） A ．2425 B ．725 C ．725- D ．2425- 6.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，，则数列{}lg n a 的前8项和等于（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．37.已知0a >，则821a a ++的最小值为（ ）A ．B ．4C ．52D ．728.已知,a b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足2c a b --=，则c 的范围为( )A ．1,1⎡+⎣B ．22⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣9.已知两定点()1,0A -和()1,0B ，动点(),P x y 在直线:y x 3l =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A ．B C D 10.已知偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是( )A 34f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ D ．63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.定义{}()()max ,a a b a b b a b ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，已知实数,x y 满足2,2x y ≤≤，设{}max 4,3z x y x y =+-，则z 的取值范围是( )A ．[]7,10-B ．[]6,10-C ．[]6,8-D ．[]7,8-12. 将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录()k k n ≤个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶色序”，当且仅当两个k 阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶色序．若某圆的任意两个“k 阶色序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”．“3阶魅力圆” 中最多可有的等分点个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分 .13.如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于___________.14.若()5234501234512x a a x a x a x a x a x +=+++++，则135a a a ++=__________. 15.对于数列{}n x ，若对任意*n N ∈，都有212n n n x x x +++<成立，则称数列{}n x 为“减差数列”.设2122n n tn nb t --=-，若数列()*567,,,,5,n b b b b n n N ≥∈是“减差数列”，则实数t 的取值范围是_________. 16. 如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为106kg ，在它的顶点处分别受力123,,F F F ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60°，且123F F F ==.要提起这块钢板，123,,F F F 均要大于xkg ，则x 的最小值为__________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且02,60c C ==． （1）求sin sin a bA B++的值；（2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积． 18.（本小题满分12分）为了参加师大附中第30届田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班旗之用，它们的长度分别为3.8，4.3，3.6，4.5，4.0.4.1（单位：米）． （1）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；（2）若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a 元，从这6根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为18元，求a 的值． 19.（本小题满分12分）已知正三棱柱111ABC A B C -中12,3AB AA ==，点D 为AC 的中点，点E 在线段1AA 上．（1）当1:1:2AE EA =时，求证：1DE BC ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角D BE A --等于60°？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由． 20.（本小题满分12分）如图，抛物线21:8C y x =与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>有公共焦点2F ，点A 是曲线12,C C 在第一象限的交点，且25AF =．（1）求双曲线2C 的方程；（2）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切，圆()22:21N x y -+=．已知点(3P ，过点P 作互相垂直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设1l 被圆M 截得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ．试探索st是否为定值？请说明理由． 21.（本小题满分12分）设函数()()3211,,,032f x ax bx cx a b c R a =++∈≠的图象在点()(),x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数()()12g x k x x =-为偶函数．若函数()k x 满足下列条件：①()10k -=；②对一切实数x ，不等式()21122k x x ≤+恒成立．（1）求函数()k x 的表达式；（2）设函数()()()()212ln 230f x h x x m x x x=-++>的两个极值点()1212,x x x x <恰为()2ln x x sx tx ϕ=--的零点．当m ≥时，求()12122x x y x x ϕ+⎛⎫'=- ⎪⎝⎭的最小值． 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为2x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2cos 6sin ρθθ=+．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）在同一坐标系下，曲线12,C C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设对于任意实数x ， 不等式71x x m ++-≥恒成立． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：32212x x m --≤-．参考答案一、选择题二、填空题 13.512 14．122 15．3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16．10 三、解答题又a b ab +=，所以()2340ab ab --=，解得4ab =或1ab =-（舍去）．．．．．．．．．．．．．．．10分所以113sin 4322ABC S ab C ∆==⨯=．．．．．．．．．．．．．．12分 18．解析：（1）因为6根竹竿的长度从小到大依次为3.6，3.8，4.0，4.1，4.3，4.5，其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3，3.6和4.5，3.8和4.5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 设“抽取两根竹竿的长度之差不超过0.5米”为事件A ，则()26331155P A C ===，所以()()141155P A P A =-=-=，故所求的概率为45．．．．．．．6分 （2）设任取两根竹竿的价格之和为ξ，则ξ的可能取值为2,10,20a a +．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分其中()()()11224422266611862,10,20151515C C C P a P a P C C C ξξξ====+=====．．．．．．．． 10分所以()186240210201515153a E a a ξ+=⨯++⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．11分 令240183a +=，得7a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．（1）证明：连接1DC ，因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以ABC ∆为正三角形， 又因为D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥， 又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC平面11ACC A AC =，所以BD ⊥平面11ACC A ，所以BD DE ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分因为11:1:2,2,3AE EA AB AA ===，所以3,13AE AD ==， 所以在Rt ADE ∆中，030ADE ∠=，在1Rt DCC ∆中，0160C DC ∠=，所以0190EDC ∠=，即1DE DC ⊥． 又1BDDC D =，所以DE ⊥平面11,BDC BC ⊂面1BDC ，所以1DE BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．6分（2）假设存在点E 满足条件，设AE m =，取11A C 的中点1D ，连接1DD ，则1DD ⊥平面ABC ， 所以11,DD AD DD BD ⊥⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分分别以1DA DB DD 、、所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -， 则()()()1,0,0,3,0,1,0,A B E m ，所以()()()()0,3,0,1,0,,1,3,0,0,0,DB DE m AB AE m ===-=， 设平面DBE 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则11111030,00n DB n DE x mz ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨=+=⎪⎪⎩⎩，令11z =，得()1,0,1n m =-， 同理，平面ABE 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则22222030,00n AB x n AE mz ⎧⎧=-+=⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，取21y =，∴)23,1,0n =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴0122131cos ,cos 60221m n n m -===+，解得23m =<，故存在点E ，当2AE =时，二面角D BE A --等于60°．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解析：（1）∵抛物线21:8C y x =的焦点为()22,0F ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∴双曲线2C 的焦点为()()122,02,0F F -、． 设()00,A x y 在抛物线21:8C y x =上，且25AF =， 由抛物线的定义得，025x +=，∴03x =．∴2083y =⨯，∴0y =±．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分17AF ==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 又∵点A 在双曲线上，由双曲线定义得，2752a =-=，∴1a =．．．．．．．．．．．．5分∴双曲线的方程为：2213y x -=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）st为定值，下面给出说明： 设圆M 的方程为：()2222x y r ++=，双曲线的渐近线方程为：y =，∵圆M 与渐近线y =相切，∴圆M的半径为2r ==．．．．．．．．．．．7分 故圆()22:23M x y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 依题意12l l 、的斜率存在且均不为零，所以设1l 的方程为()1y k x -=-，即0kx y k-+-=， 设2l 的方程为()11y x k=--，即10x ky +--=， ∴点M 到直线1l 的距离为1d N到直线2l 的距离为2d =，．．．．．．．．．．9分∴直线1l 被圆M截得的弦长s ==．．．．．．．．．．．．10分 直线2l 被圆N截得的弦长t ==，．．．．．．．．．．．．．11分∴s t===，故st为定值．．．．．．．．．．．．12分21．解析：（1）由已知可得()()2k x f x ax bx c '==++，∵函数()()12g x k x x =-为偶函数， ∴()()()()1122g x k x x k x x -=---=-，即221122ax bx c x ax bx c x -++=++-恒成立，∴12b =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分又()10k -=，∴110,22a c a c -+=+=，又因为对一切实数x ，不等式()21122k x x ≤+恒成立，∴21110222a x x c ⎛⎫-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立， ∴10211140422a a c ⎧-<⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪∆=---≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，∴14a c ==，∴()2111424k x x x =++．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由（1）得，()321111244f x x x x =++，∴()()()()222122ln 320,22x mx h x x x mx x h x x m x x-+'=++->=+-=．．．．．．．．5分由题意得21212401m x x m x x ⎧∆=->⎪+=⎨⎪=⎩，又m ≥，∴()21221292x x m x x +=≥，解得12102x x <≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∵()1212,x x x x <为()2ln x x sx tx ϕ=--的零点，∴()()2211112222ln 0,ln 0x x sx tx x x sx tx ϕϕ=--==--=，两式相减得，()()()11212122ln0x s x x x x t x x x --+--=， 又()12x sx t x ϕ'=--，从而()()()()12121212121212222x x x x y x x x x s x x t x x x x ϕ-⎡⎤+⎛⎫'=-=--+-=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦1211122221ln ln 1x x x xx x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=-+．设12102x n n x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，则()()1212211lnn 0212n x x y x x n n ϕ-+⎛⎫⎛⎫'=-=-<≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭记为()M n ．．．．10分 ()()()()()()22211112011n n n M n n n n n +----'=-=<++，∴()M n 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，∴()min 12ln 223M n M ⎛⎫==-⎪⎝⎭， 故()12122x x y x x ϕ+⎛⎫'=-⎪⎝⎭的最小值为2123n -．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（1）由2x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）得()22210x y ++=，曲线1C 的普通方程为()22210x y ++=，∵2cos 6sin ρθθ=+，∴22cos 6sin ρρθρθ=+，∴有2226x y x y +=+即()()221310x y -+-=为所求曲线2C 的直角坐标方程．．．．．．．．．． 5分（2）∵圆1C 的圆心坐标()2,0-，圆2C 的圆心坐标为()1,3， ∴12C C ==<，所以两圆相交，．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段12C C,∴2222d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴d =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23．解：（1）71x x ++-可以看做数轴上的点x 到点-7和点1的距离之和， ∴()min718x x ++-=，∴8m ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由（1）得m 的最大值为8，原不等式等价于：324x x --≤，第页 11 ∴有3324x x x ≥⎧⎨--≤⎩或3324x x x <⎧⎨--≤⎩， 从而3x ≥或133x -≤<，∴原不等式的解集为1|3x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

试卷第1页，共7页绝密★启用前【全国百强校word 】湖南师大附中2017届高三月考试卷（七）教师版 数学（文） 试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：78分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知满足对，且时，（为常数），则的值为（ ）A ．4B ．-4C ．6D ．-62、设正实数满足，则当取得最大值时， 的最大值是（ ） A ．0B ．1C ．D ．33、下列说法中正确的是（ ） A ．若分类变量和的随机变量的观测值越大，则“与相关”的可信程度越试卷第2页，共7页小B ．对于自变量和因变量，当取值一定时，的取值具有一定的随机性，，间的这种非确定关系叫做函数关系 C ．相关系数越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱 D ．若分类变量与的随机变量的观测值越小，则两个分类变量有关系的把握性越小4、已知是实数，1和是函数的两个极值点，设，其中，函数的零点个数为（ ）A ．8B ．11C ．10D ．95、设集合，，则集合等于（ ）A ．B ．C ．D ．6、如图是某市举办青少年运动会上，7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字，这些数据的中位数是（ ），去掉一个最低分和最高分所剩数据的平均数是（ ）A ．86.5，86.7B ．88，86.7C ．88，86.8D ．86，5，86.87、四棱锥的三视图如下图所示，四棱锥的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为，则该球表面积为试卷第3页，共7页A.B.24C.D.8、在如图所示的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9、如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（ ）A ．B ．C ．D ．10、已知复数的实部为-1，则复数在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限试卷第4页，共7页11、下面四个推理，不属于演绎推理的是（ ） A ．因为函数的值域为，，所以的值域也为B ．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C ．在平面中，对于三条不同的直线，，，若，则，将此结论放到空间中也是如此D ．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论12、若实数数列：成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（ ）A ．或B ．或C ．D ．试卷第5页，共7页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．14、已知的外接圆的半径为8，且，则的面积为__________．15、设函数的图象上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是 ．16、已知为三角形的外心，，若，则的最小值为 ．三、解答题（题型注释）17、已知直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．试卷第6页，共7页（Ⅰ）若直线与曲线交于两点，求的值；（Ⅱ）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．18、已知，，.（1）讨论函数的单调性；（2）记，设，为函数图象上的两点，且. （i ）当时，若在，处的切线相互垂直，求证：；（ii ）若在点，处的切线重合，求的取值范围.19、如图，设双曲线的上焦点为，上顶点为，点为双曲线虚轴的左端点，已知的离心率为，且的面积.（1）求双曲线的方程；（2）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，动直线与相切于点，与的准线相交于点，试推断以线段为直径的圆是否恒经过轴上的某个定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.20、已知二次函数.（1）任取，记“关于的方程有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件，求发生的概率.试卷第7页，共7页21、设（1）求的解集；（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数x 的取值范围.22、如图1，在正方形中，点分别是的中点，与交于点，点分别在线段上，且．将分别沿折起，使点重合于点，如图2所示.（1）求证：平面；（2）若正方形的边长为4，求三棱锥的内切球的半径.23、在等比数列中，已知，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.参考答案1、B2、B3、D4、D5、A6、C7、A8、C9、B10、B11、C12、D13、1和314、15、16、．17、（1）；（2）.18、（1）见解析（2）19、（1）（2）以为直径的圆恒经过轴上的定点.20、（1）（2）21、（1）；（2）22、（1）详见解析；（2）.23、(1)；（2）.【解析】1、试题分析：由题设函数是奇函数,故,即,所以,故应选B.考点：分段函数的奇偶性及求值运算.2、试题分析：正实数满足，则，代入，得，当且仅当，即时取等号，此时，则，故选B. 考点：基本不等式应用.3、试题分析：函数关系中自变量和因变量是确定关系故B 错。

湖南师范大学附属中学2017-2018学年高三月考（三）数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A ＝｛1，2，3，5，7｝，B ＝｛x ∈N ｜2＜x ≤6｝，全集U ＝AU B ，则A （C u B ）＝A.｛1，2，7｝B.｛1，7}C.｛2，3，7｝D. ｛2，7}2.已知复数(cos sin )(1)z i i θθ=-+，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是A. 4πθ= B. 2πθ= C. 34πθ= D ．54πθ= 3.已知某几何体的正视图和侧视图均如下图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是A ．5个B 、 4个C ．3个、D 、2个4．为确保信息安全，信息需加密传输。

发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则如程序框图所示．例如：明文（1，2，3，4）对应的密文是：（5，7，18，16），则当接收方收到密文（14，9，23，28）时，解密得到的明文是A 、（4，6，1，7）B 、（7，6，1，4）C 、（6，4，1，7）D 、（1，6，4，7）5.已知实数x ，y 满足约束条件00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则z ＝11y x -+的取值范围是 A 、［－1，13］ B 、［－12，13］ C 、［－12，)+∞ D 、［－12，1） 6.已知定义在R 上的函数f(x)满足f （x ＋2）＋f （x ）＝0，且当x ∈[0,2)时， f ( x)＝3x 一1，则f(2015)的值为A. － 2B. 0C. 2D. 87.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A ，若2FA AB =，则双曲线的离心率为A. 6B. 4C. 3D. 28.现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是A. 12B. 24C. 36D. 489.已知函数f （x ）＝x 2一2x ＋m ，在区间［－2，4］上随机取一个实数x ，若事件“ f( x} ＜0”发生的概率为23，则m 的值为 A. 2 B,一2 C. 3 D.一3l0、已知数列{}n a 的首项1a ＝2，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=，若1011b b ＝2，则21a ＝ A. 29 B. 210 C. 211 D 、21211.设点A 、B 、C 为球O 的球面上三点,O 为球心．若球O 的表面积为100π，且△ABC 是边长为O －ABC 的体积为A ．12B ．D 、12.已知Rt △AOB 的面积为1，O 为直角顶点，设向量,||||OA OB a b OA OB ==，2OP a b =+，则PA PB 的最大值为A 、1B 、2C 、3D 、4二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13、在△ABC 中，已知35cos ,cos 513A B ==，AC ＝3，则AB ＝ 14.设点P 在直线y ＝2x ＋1上运动，过点P 作圆22(2)1x y -+=的切线，切点为A ，则切线长｜PA ｜的最小值是15.已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为Sn ，且11101a a +＜0，若Sn 存在最大值，则满足Sn 的n 的最大值为16.已知函数f (x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|2|a x a --，其中a ＞0为常数．若函数y ＝[()]f f x 有10个零点，则a 的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知函数的图象关于直线x＝π对称，其中,ωλ为常数，且ω∈（12，1）．(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)若存3 [0,]5xπ∈，使f(x) =0，求λ的取值范围．18.（本小题满分1L分）PM2. 5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值．即PM2.5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级；在35微克／立方米一75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区今年9月每天的PM2. 5监测数据中，按系统抽样方法抽取了某6天的数据作为样本，其监测值如下茎叶图所示．(l)根据样本数据估计今年9月份该市区每天PM2. 5的平均值和方差；(2)从所抽样的6天中任意抽取三天，记ξ表示抽取的三天中空气质量为二级的天数，求ξ的分布列和数学期望．19.（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD中AB = 2AD, ∠BAD = 600 , E为AB的中点．将△ADE沿直线DE 折起到△PDE的位置，使平面PDE⊥平面BCDE.（1)证明：CE⊥PD;（2)设F, M分别为PC,DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角．20．（本小题满分12分）如图，已知抛物线C1：24y x =的焦点为F ，椭圆C2的中心在原点，F 为其右焦点，点M 为曲线C1和C2在第一象限的交点，且｜MF ｜＝52。