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1 1 +…+ >2;…… 3 15
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根据以上不等式的结构特点,请你归纳一般结论.
思路分析: 观察不等式左边最后一项分母的特点为 2n-1,不等式 ������ 的右边为 ,由此可得一般性结论.
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1 2 3 4 ������ 别为: , , , ,…, . 2 2 2 2 2
思维辨析
解析:灰色正六边形的个数如下表:
图案 个数 1 6 2 11 3 16 … …
由表可以看出灰色正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5 为公差的等差数列,所以第6个图案中灰色正六边形的个数是 6+5×(6-1)=31.故选B. 答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟通过一组平面或空间图形的变化规律,研究其一般性结 论,通常先把形状问题数字化,展现数字之间的规律、特征,再进行 归纳推理.解答该类问题的一般策略是:
探究一
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探究三
思维辨析
数式中的归纳推理 【例1】 观察如图所示的“三角数阵” 1…………第1行 2 2…………第2行 3 4 3…………第3行 4 7 7 4…………第4行 5 11 14 11 5…………第5行 …… 记第n行的第2个数为an(n≥2,n∈N+),请仔细观察上述“三角数阵” 的特征,完成下列各题: (1)依次写出a2,a3,a4,a5; (2)第6行的6个数依次为 , , , , , ; (3)归纳出an+1与an的关系式.
探究一
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探究三
思维辨析
变式训练2如图所示,图①是棱长为1的小正方体,图②、图③由 这样的小正方体摆放而成.按照这样的方法继续摆放,自上而下分 别叫第1层,第2层,……,第n层,第n层的小正方体的个数记为Sn.解答 下列问题:
(1)按照要求填表:
n Sn 1 1 2 3 3 6 4 … …
(2)S10=
名师点拨1.归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的 结论是未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围. 2.由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需要 经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具. 3.归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想, 可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.
【做一做】 (1)数列5,9,17,33,x,…中的x等于( ) A.47 B.65 C.63 D.128 (2)金导电、银导电、铜导电、铁导电,金、银、铜、铁都是金属, 因此可猜想所有金属都导电,这种推理形式为 . 答案:(1)B (2)归纳推理
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)统计学中,先从总体中抽取样本,再用样本估计总体,这种估计 属于归纳推理. ( ) (2)归纳推理得到的结论可以作为定理使用. ( ) (3)归纳推理是由个别得到一般的推理. ( ) (4)归纳推理具有由具体到抽象的认识功能. ( ) 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√
探究一
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思维辨析
变式训练1已知:sin230°+sin290°+sin2150°= 2 ; 3 sin25°+sin265°+sin2125°= 2 ,通过观察上述两等式的规律,请你 写出一般性的命题: . 解析:观察每个式子中三个角的关系:三个角分别成等差数列,即 30°+60°=90°,90°+60°=150°;5°+60°=65°,65°+60°= 125°.根据式子中角的这种关系,可以归纳得出: 3 2 2 2 sin α+sin (α+60°)+sin (α+120°)= 2 . 3 2 2 2 答案:sin α+sin (α+60°)+sin (α+120°)= 2
3.1.1 归纳推理
学
习
目
标
思
维
脉
络
1.了解归纳推理的含义. 2.能利用归纳推理等进行简单的推理. 3.了解归纳推理在数学发现中的作用.
归纳推理 1.定义:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中 每一个事物都有这种属性,将这种推理方式称为归纳推理. 2.归纳推理的特征 归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理. 3.归纳推理结论真假 利用归纳推理得出的结论不一定是正确的. 4.思维过程流程图 实验、观察→概括、推广→猜想一般性结论
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.归纳推理的一般步骤: (1)观察:通过观察个别事物发现某些相同性质. (2)概括、归纳:从已知的相同性质中概括、归纳出一个明确表述 的一般性命题. (3)猜测一般性结论. 2.由已知数、式进行归纳推理的基本方法: (1)分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规 律或结构形式的特征. (2)提炼出等式(或不等式)的综合特点. (3)运用归纳推理得出一般结论.
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探究一
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探究三
思维辨析
解析:S1=1,S2=3=1+2,S3=6=1+2+3, 推测S4=1+2+3+4=10, S10=1+2+3+…+10=55. 答案:(1)10 (2)55
探究一
探究二
Leabharlann Baidu
探究三
思维辨析
不等式中的归纳推理
【例 3】 已知:1> ;1+ + >1;1+ + + + + + > ;1+ +
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探究三
思维辨析
思路分析:观察数阵的每行、每列数的特征,对上、下行,左、右 列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃而解. 解:(1)a2=2,a3=4,a4=7,a5=11. (2)由数阵可看出,除首末两数外,每行中的数都等于它上一行的 肩膀上的两数之和,且每一行的首末两数都等于行数. 故第6行的6个数依次为6,16,25,25,16,6. (3)∵a3=a2+2,a4=a3+3,a5=a4+4. 由此归纳:an+1=an+n.
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探究一
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探究三
思维辨析
图与形中的归纳推理 【例2】 有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干 个图案,则第6个图案中灰色正六边形的个数是 ( )
A.26 B.31 C.32 D.36 思路分析:数出前三个图案中灰色正六边形的个数,注意分析规 律,由此规律作出推断.
探究一
探究二
探究三
