【配套K12】备战2018年高考数学一轮复习(热点难点)专题20 破解定积分的简单应用(理)

高考一轮复习热点难点精讲精析：2.12定积分一、定积分的概念与微积分基本定理 （一）定积分的计算（利用定义） 1、相关链接（1）由定积分定义求定积分的步骤为 ①分割； ②近似代替； ③求和； ④取极限。

（2）关于定积分的概念应注意的问题①积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关，即()()()bb baaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰②定义中区间的分法和i ξ的取法都是任意的。

③在定积分的定义中，()baf x dx ⎰限定下限小于上限，即a<b,为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：()baf x dx ⎰=()a bf x dx -⎰，()aaf x dx ⎰=0。

2、例题解析〖例1〗用定积分的定义计算定积分21badx x ⎰的值。

分析：n 等分区间[a,b]→近似代替→求和→取极限解答：将区间[a,b]等分，设分点分别为a=x 0<x 1<x 2<…<x i+1<x i <…<x n =b,取ξi=0,1,2,,1)i n =-,显然1[,]i i i x x ξ+∈，作和式111001111111()(),n n n i i i i i i ii S x x x x x x a b --+==++=-=-=-∑∑于是11lim n n S a b →∞=-，即2111b a x a b=-⎰〖例2〗用定积分的定义求直线x=1,x=2,y=0和曲线y=x 3围成的图形的面积 解析：（1）分割用分点12(1),,n n n n n n n+++-将区间[1，2]等分成个n 小区间，如图所示1121(1)[1,],[,],,[,],,[,2]n n n n i n i n n n n n n n n ++++-++-，每个区间的长度为 Δx=11n i n i n n n ++--=,过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作12,,,.n s s s ∆∆∆（2）近似代替取各小区间的左端点记为i ξ，用以点i ξ的纵坐标3i ξ为一边，以小区间长1x n∆=为其邻边的小矩形面积代替第i 个小曲边梯形的面积，可近似地表示为3311(1,2,,).i i n i S x i n n n ξ+-⎛⎫∆≈∆== ⎪⎝⎭（3）求和因为每个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即311111()n n ni i i i i n i S S x n nξ===+-=∆≈∆=∑∑∑…………………………① （4）取极限当分点数目越多，即Δx 越小，和式①的值就越接近于曲边梯形ABCD 的面积S ，当n →∞，即Δx →0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD 的面积。

考纲要求:1、了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分，用微积分基本定理求简单的定积分；2、了解定积分的几何意义，能够实现曲边图形的面积与定积分面积的相互转化. 基础知识回顾: 1、曲边梯形的定义我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形。

2、曲边梯形的面积的求法：分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限 3、定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x x f n ξ==-=∆=∑∑如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx =⎰，其中⎰是积分号，b 是积分上限，a 是积分下限， ()f x 是被积函数，x 是积分变量，[,]a b 是积分区间，()f x dx 是被积式。

【注】（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 4．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1()()()bba akf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数（定积分的线性性质）；性质21212[()()]()()bb baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）；性质3()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）5．定积分的几何意义（1）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积。

第20课时 定积分【考点概述】“分割、近似求和、取极限”数学思想，弄清定积分的几何意义；会用定积分的几何意义求函数在一个闭区间上的定积分；定积分在物理中的应用【重点难点】利用定积分的几何意义求函数在一个闭区间上的定积分【知识要点】1.若函数函数f(x)在区间],[b a 上连续，则直线)(,0,,x f y y b x a x ====所围成的图形称为曲边梯形2.定积分定义：设函数f(x)在闭区间],[b a 上有定义，将区间],[b a 等分成n 个小区间，每个小区间的长度为x x ∆∆(= ）.在每个小区间上取点，依次为n x x x ,,,21 ，作和 =n S .如果x ∆无限趋近于0（即n 趋向于∞+）时，n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数f(x)在区间],[b a 上的定积分，记为S= .其中 称为被积函数， 称为积分区间， 称为积分下限， 称为积分上限。

3.定积分的几何意义设函数f(x)在区间],[b a 上连续，定积分⎰ba dx x f )(在几何上表示界于x 轴、曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取 ;在x 轴下方的面积取 .4.微积分基本定理若函数f(x)在区间],[b a 上连续，并且)()('x f x F =，那么 .这个结论叫做微积分定理，又称为牛顿-莱布尼兹公式5.定积分的性质（1）⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） （2）⎰=±b a dx x g x f )]()([ （3）⎰⎰⎰+=ca b a cb dx x f dx x f dx x f )()()( )(c b a << 6.定积分的简单应用（用定积分表示以下图形的面积）图1 1.⎰+20)1(dx x x = 2.dx x ⎰211= 3.⎰π02sin xdx = 4.dx x ⎰--3329= 5.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤--=)20(cos )01(1)(2πx x x x x f 的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为【例题精讲】例1.求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形的面积.例2.设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)('+=x x f(1)求f(x)的表达式；(2)求函数图像与两坐标轴所围成的图形的面积；(3)若直线)10(<<-=t t x 把)(x f y =的图像与两坐标轴所围成的面积二等分，求t 的值.例3.设1S 为直线22,,0x y t y x ===所围成的面积；2S 为直线22,,1x y t y x ===所围成图形的面积（t 为常数）(1)若0=t ，求2S ；(2)若)1,0(∈t ，求21S S +的最小值.【巩固练习】1.dx x x )12(212-⎰= 2.dx x ⎰-2123= 3.dx xe x 1(212+⎰= 4.已知dx x a ax a f )2()(1022⎰-=，则)(a f 的最大值为5.已知过原点的直线l 平分抛物线x x x f 6)(2-=与x 轴所围成的封闭区域的面积。

配餐作业(十八) 定积分与微积分基本定理(时间：40分钟)一、选择题1.⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝( )A ．56B ．28 C.563D ．14解析 ⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋14x 4－30x |42＝13(43－23)＋14(44－24)－30(4－2)＝563。

故选C 。

答案 C 2． (1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2解析 (1＋cos x )d x ＝2(1＋cos x )d x ＝2(x ＋sin x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋1＝π＋2。

故选D 。

答案 D3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－2≤x ≤0，x ＋1，0＜x ≤2，则f (x )d x 的值为( )A.43 B ．4 C ．6D.203解析＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋83＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4＋2－0＝203。

故选D 。

答案 D4．如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即|x 2－1|d x ，故选A 。

答案 A5．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋m (m ，x ∈R )的最小值为－1，则⎠⎛12f (x )d x 等于( )A ．2 B.163C ．6D ．7解析 f (x )＝(x ＋1)2＋m －1，∵f (x )的最小值为－1， ∴m －1＝－1，即m ＝0。

∴f (x )＝x 2＋2x 。

∴⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2|21＝13×23＋22－13－1＝163。

故选B 。

答案 B6.e |x |d x 值等于( )A ．e 2－e －2B ．2e 2C ．2e 2－2D ．e 2＋e －2－2解析＝－1＋e 2＋e 2－1 ＝2e 2－2。

第三章 导数及其应用 第3讲 定积分与微积分基本定理练习 理 北师大版基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A.e ＋2B.e ＋1C.eD.e －1解析 ⎠⎛01(2x ＋e x)d x ＝(x 2＋e x)⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.故选C.答案 C2.若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )A.2B.3C.4D.6解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a1＝a 2＋ln a －1，∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2. 答案 A3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.12g B.gC.32g D.2g解析 电视塔高h ＝⎠⎛12gt d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12gt 221＝32g . 答案 C4.如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( ) A.⎠⎛02|x 2－1|d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02（x 2－1）d x C.⎠⎛02(x 2－1)d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x .答案 A5.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121xd x ，S 3＝⎠⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1解析S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ，∵e 2－e ＝e(e －1)＞e ＞73＞ln 2，∴S 2＜S 1＜S 3. 答案 B 二、填空题6.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝________.解析 由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x ) ⎪⎪⎪t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去).答案 47.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________.解析 根据f (x )的图像可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0). 因为f (x )的图像过(0，1)点， 所以－a ＝1，即a ＝－1.所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2. 所以S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. 答案 438.(2017·合肥模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析 封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案 49三、解答题 9.计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ； (2)⎠⎛02－x 2＋2x d x ；(3)2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x ；(4)⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ；(5)⎠⎛－22|x 2－2x |d x .解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 1＝32－ln 2；(2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x ＝0，x ＝2，y ＝－x 2＋2x ，以及x 轴围成的图像的面积，即圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的一半，∴⎠⎛02－x 2＋2x ＝π2；(3)原式＝ (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－ (－cos 0＋sin 0)＝2；(4)原式＝⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3)d x ＋⎠⎛－111d x ＝0＋x ⎪⎪⎪1-1＝2；(5)∵|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪20＝8. 10.求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积.解 作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图像，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点(1，1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝3x ，得交点(3，9)，因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(3x －x )d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝x 2⎪⎪⎪1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪31＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A.－1B.－13C.13D.1解析 由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪1＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－13. 答案 B12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A.1＋25ln 5B.8＋25ln 113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m). 答案 C13.(2017·郑州调研)⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝________.解析 ⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x－1)d x .因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，则⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，又⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e－2，所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝π2＋e －1e －2.答案π2＋e －1e－214.在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值.解 S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 的面积，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1).令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12.t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23.所以当t ＝12时，S (t )最小，且最小值为14.。

2018版高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 2.12 定积分与微积分基本定理模拟演练 理[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则此质点在时间[1,2]内的位移为( )A .176B .143C .136D.116答案 A解析 质点在时间[1,2]内的位移为⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－12t 2＋2t 21＝176. 2．[2017·金版创新]函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，4－x 2，0＜x ≤2，则⎠⎛－22f x d x 的值为( ) A ．π＋6 B ．π－2 C ．2π D ．8答案 A解析 ⎠⎛2－2f (x )d x ＝⎠⎛-20 (2－x )d x ＋⎠⎛024－x 2d x＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 20－2＋14×π×22＝6＋π，故选A. 3.如图，在矩形O ABC 内：记抛物线y ＝x 2＋1与直线y ＝x ＋1围成的区域为M (图中阴影部分)．随机往矩形O ABC 内投一点P ，则点P 落在区域M 内的概率是( )A .118B .112C .16 D.13答案 B解析 根据定积分知识可得阴影部分面积S ＝⎠⎛01[(x ＋1)－(x 2＋1)]d x ＝16，点P 落在区域M 内的概率为关于面积的几何概型，所以由几何概型的概率计算公式得P ＝162＝112，故选B .4．[2017·合肥模拟]由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m ＞0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．1D ．8答案 A解析 S ＝⎠⎛0m 2 (m －x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫mx －23x 32 ⎪⎪⎪m 20＝m 3－23m 3＝83，解得m ＝2.5．[2017·广州质检]定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 D解析 ∵|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x <0－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2 |0－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2 |20＝8. 6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，cos x ，0≤x ≤π2.的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．答案 32解析 根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积为S ＝12×1×1＋⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝12＋sin π2－sin0＝32.7．[2014·辽宁高考]正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABC D 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案 23解析 由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P ＝S 阴影S 正方形＝2⎠⎛-11－x 2x 22＝834＝23. 8．[2017·金版创新]若m >1，则f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎪⎫1－4x2d x 的最小值为________．答案 －1解析 f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x |m1＝m ＋4m－5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立．9．求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积．解 由图知解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2，得交点(1,1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝x 2，得交点(3,9)，由此所围图形面积为：S ＝⎠⎛01(3x －x )d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝133.10．求由抛物线y 2＝x －1与其在点(2,1)，(2，－1)处的切线所围成的面积． 解 y ＝±x －1，y ′x ＝±12x －1 .∵过点(2,1)的直线斜率为y ′|x ＝2＝12，直线方程为y －1＝12(x －2)，即y ＝12x .同理，过点(2，－1)的直线方程为y ＝－12x ，抛物线顶点在(1,0)．如图所示．由抛物线y 2＝x －1与两条切线y ＝12x ，y ＝－12x 围成的图形面积为：S ＝S △AOB －2⎠⎛12x －1d x ＝12×2×2－2×⎪⎪⎪⎪23x －32 21＝2－43(1－0)＝23.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·河北五校联考]若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2答案 A解析 因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3 |a0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.12．图中阴影部分的面积是( )A ．16B ．18C ．20D ．22答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝4，则阴影部分的面积为S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x＝423x 32 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪20＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫223x 32 －12x 2＋4x 82＝163＋383＝18. 13．[2017·山西模拟]曲线x ＋y ＝1与两坐标轴所围成图形的面积是________． 答案 16解析 将曲线x ＋y ＝1转化为y ＝(1－x )2，且x ≥0，y ≥0.令y ＝0，可知曲线与x 轴交点为(1,0)，则曲线与两坐标轴所围成的面积S ＝⎠⎛01(1－x )2d x ＝⎠⎛01(1－2x ＋x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －43x 32 ＋12x 2 |1＝1－43＋12＝16. 14.[2017·信阳调研]在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解 面积S 1等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t .即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12.t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.。

第十三节 定积分与微积分基本定理[考纲传真] 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －an f (ξi )．(2)有关概念在⎠⎛a b f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．(3)定积分的几何意义f (x ) ⎠⎛abf (x )d x 的几何意义 f (x )≥0表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积f (x )＜0表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积的相反数f (x )在[a ，b ]上有正有负 表示位于x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 轴下方的曲边梯形的面积(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)； (2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ； (3)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a <c <b )． 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a b f (x )d x＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|ba ， 即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t .( )(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎛a －af (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .( )(3)若f (x )是奇函数，则⎠⎛a －af (x )d x ＝0.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√2．(教材改编)已知质点的速率v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( )A ．10t 20 B.5t 2C.103t 20D.53t 20B [S ＝∫t 00v d t ＝∫t 0010t d t ＝5t 2|t 00＝5t 20.]3．(2017·长沙模拟(一))⎠⎛01e x d x ＝________.e －1 [⎠⎛01e x d x ＝e x |10＝e －1.]4．(2015·天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．16 [如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)． 故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3 |10＝16.] 5．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．3 [∵⎠⎛0T x 2d x ＝13T 3＝9，T ＞0，∴T ＝3.]定积分的计算(1)⎠⎛－11 (x 2＋sin x )d x ；(2)⎠⎛02|1－x |d x . [解] (1) ⎠⎛－11 (x 2＋sin x )d x＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x＝2⎠⎛01x 2d x ＝2·x 33|10＝23. 6分(2)⎠⎛02|1－x |d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |21 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12－1＝1. 12分 [规律方法] 1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错． 2．根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分．[变式训练1] (1)(2017·石家庄质检(二))⎠⎛1－1(x 2＋1－x 2)d x ＝________.(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e )(e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为________.【导学号：01772093】(1)π2＋23 (2)43 [(1)原式＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛1－11－x 2d x ＝13x 3|1－1＋⎠⎛－111－x 2d x＝23＋⎠⎛－111－x 2d x ，⎠⎛1－11－x 2d x 等于半径为1的圆面积的12，即⎠⎛－111－x 2d x＝π2，故原式＝π2＋23.(2)∵f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e )，∴⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3|10＋ln x |e1＝13＋ln e ＝43.]利用定积分求平面图形的面积(1)曲线y ＝－x ＋2，y ＝x 与x 轴所围成的面积为________． (2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.【导学号：01772094】(1)76 (2)2 [(1)如图所示，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得交点横坐标为x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－x ＋2及x 轴所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(－x ＋2)d x ＝23x 32|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 22|21＝76. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边梯形的面积为 ⎠⎛k (kx －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3|k＝k 32－13k 3＝43， 即k 3＝8，∴k ＝2.][规律方法] 利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案．易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．[变式训练2] (1)(2016·山东威海一模)曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成的封闭区域的面积为________．(2)抛物线y 2＝4x 与直线y ＝2x －4围成的平面图形的面积为________． (1)2 (2)9 [(1)由题意知封闭区域的面积S ＝⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝－cos π－(－cos 0)＝1－(－1)＝2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝2x －4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.画出草图如图所示．选用x 为积分变量所求面积为⎠⎛01[2x －(－2x )]d x ＋⎠⎛14(2x －2x ＋4)d x ＝4×23x 32|10＋2×23x 32|41－x 2|41＋4x |41 ＝83＋⎝ ⎛⎭⎪⎫323－43－(16－1)＋(16－4)＝9.]定积分在物理中的应用一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5 B.8＋25ln 113 C ．4＋25ln 5 D.4＋50ln 2C [由v (t )＝7－3t ＋251＋t＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了 4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|40＝4＋25ln 5.] [规律方法] 定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .[变式训练3] 一物体在力F (x )＝⎩⎨⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.36 [由题意知，力F (x )所做的功为 W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝5×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x |42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(J)．][思想与方法]1．求定积分的两种常用方法：(1)利用微积分基本定理求定积分，其步骤如下：①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a)．(2)利用定积分的几何意义求定积分．2．对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间．[易错与防范]1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分．2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形面积的代数和，但要注意面积非负，而定积分的结果可以为负．。