2017年高考数学三轮讲练测核心热点总动员(江苏版)：专题25空间向量.doc

第十章空间向量第一节空间向量及其运算和空间位置关系对应学生用书P1451．空间向量及其有关概念(1)两个向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.(2)向量的坐标运算：1．共线向量定理中a ∥b ⇔存在λ∈R ，使a ＝λb 易忽视b ≠0. 2．共面向量定理中，注意有序实数对(x ，y )是唯一存在的．3．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误为是共面向量． [试一试]1．有以下命题：①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系是不共线；②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ―→，OB ―→，OC ―→不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；③已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量a ＋b ，a －b ，c 也是空间的一个基底．其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．解析：对于①，“如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系一定是共线”，所以①错误．②③正确．答案：②③ 2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是________．解析：a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；据空间向量的意义知，a ，b 所在直线异面，则a ，b 必共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但它们却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确．综上可知四个命题中正确的个数为0.答案：01．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB ―→为直线l 的方向向量，与AB ―→平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0. 2．建立空间直角坐标系的原则：(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直； (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上． 3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法：用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．[练一练]1．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P 的坐标是(x,0，y )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标是________．解析：PA ＝(－x,1，－y )，AB ＝(－1，－1，－1)，AC ＝(2,0,1)，∵P A ⊥平面ABC ， ∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，即PA ·AB ＝x ＋y －1＝0，PA ·AC ＝2x ＋y ＝0， ∴x ＝－1，y ＝2，故P 点的坐标是(－1,0,2)． 答案：(－1,0,2)2．已知a ＝(cos θ，1，sin θ)，b ＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________． 解析：∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2θ＋1＋sin 2θ)－(sin 2θ＋1＋cos 2θ)＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )，即向量a ＋b 与a －b 的夹角为90°. 答案：90°3．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是________．解析：建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0，1)，M ⎝⎛⎭⎫0，12，0，N ⎝⎛⎭⎫0，1，12，则1A M ＝⎝⎛⎭⎫－1，12，－1，DN ＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，所以cos 〈1A M ，DN 〉＝1A M ·DN |1A M |·|DN |＝0，所以1A M ⊥DN ，故异面直线A 1M 与DN 所成角的大小为90°.答案：90°对应学生用书P146空间向量的线性运算1．在四面体O -ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：OE ＝12(OD ＋OA )＝12⎣⎡⎦⎤12(OC ＋OB )＋OA ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c2.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)化简1A O －12AB －12AD ＝________；(2)用AB ，AD ，1AA 表示1OC ，则1OC ＝________. 解析：(1) 1A O －12AB －12AD ＝1A O －12(AB ＋AD )＝1A O －AO ＝1A O ＋OA ＝1A A . (2)OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )，∴1OC ＝OC ＋1CC ＝12(AB ＋AD )＋1AA＝12AB ＋12AD ＋1AA . 答案：(1)1A A (2)12AB ＋12AD ＋1AA[备课札记]3解：EO ＝ED ＋DO ＝－231DD ＋12(DA ＋DC )＝12AB －12AD －231AA ， 由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.共线、共面向量定理的应用[典例]ABCD 的边AB BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH . [证明] (1)连结BG ， 则EG ＝EB ＋BG ＝EB ＋12(BC ＋BD )＝EB ＋BF ＋EH ＝EF ＋EH ， 由共面向量定理知： E ，F ，G ，H 四点共面． (2)因为EH ＝AH －AE＝12AD －12AB ＝12(AD －AB )＝12BD ， 因为E ，H ，B ，D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .[备课札记][类题通法]1．将四点共面问题，转化为三个向量共面问题，利用共面向量定理来解决． 2．利用向量共线说明两线平行时注意说明四点不共线，否则不一定正确． [针对训练]已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM ＝13(OA ＋OB ＋OC )．(1)判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 解：(1)由OA ＋OB ＋OC ＝3OM ， ∴OA －OM ＝(OM －OB )＋(OM －OC )即MA ＝BM ＋CM ＝－MB －MC ∴MA ，MB ，MC 共面． (2)由(1)知MA ，MB ，MC 共面，且共过同一点M ，∴四点M ，A ，B ，C 共面．从而点M 在平面ABC 内．利用空间向量证明平行或垂直[典例] -A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C ；[证明] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)，D 1(0,0，2)，∴1OD ＝(－1，－1，2)． 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM ＝(－1，－1，2)，∴1OD ＝BM .又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连结OB 1，点B 1(2,2，2)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0， ∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ， 又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .[备课札记][类题通法]利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )． l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．(3)设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.[针对训练]已知在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，点E 是CC 1的中点，点F 为BD 1的中点．(1)证明AC 1∥平面BDE ； (2)证明平面BDE ⊥平面AA 1C 1C . 证明：(1)以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，则B (0,1,0)，D (1,0,0)，D 1(1,0,2)，F (12，12，1)， C 1(0,0,2)，E (0,0,1)，A (1,1,0)． 则BD ＝(1，－1,0)，DE ＝(－1,0,1)， 设平面EBD 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，由⎩⎨⎧n ·BD ＝x －y ＝0，n ·DE ＝－x ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故平面EBD 的一个法向量为n ＝(1,1,1)． 又1AC ＝(－1，－1,2)，则1AC ·n ＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝－1－1＋2＝0，所以1AC ⊥n ，即直线AC 1的方向向量与平面BDE 的一个法向量垂直， 又AC 1不在平面BDE 内，故AC 1∥平面BDE .(2)由(1)知平面BDE 的一个法向量n ＝(1,1,1)，又BD 为平面AA 1C 1C 的一个法向量且BD ＝(1，－1,0)．又BD ·n ＝(1，－1,0)·(1,1,1)＝0，所以BD ⊥n ，即两个平面的法向量互相垂直． 所以平面BDE ⊥平面AA 1C 1C .对应学生用书P147[课堂练通考点]1．在空间四边形ABCD 中，AB ·CD ＋AC ·DB ＋AD ·BC ＝________. 解析：如图，令AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则AB ·CD ＋AC ·DB ＋AD ·BC＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a ) ＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0 答案：02．A ，B ，C ，D 是空间四点，有以下条件：①OD ＝OA ＋12OB ＋13OC ；②OD ＝12OA ＋13OB ＋14OC ；③OD ＝12OA ＋13OB ＋15OC ；④OD ＝12OA ＋13OB ＋16OC .能使A ，B ，C ，D 四点一定共面的条件是________．(填序号)解析：对于共面四点A ，B ，C ，D ，当能写成OD ＝x OA ＋y OB ＋z OC 时，应有x ＋y ＋z ＝1.经检验只有④满足．答案：④3．(2014·上饶模拟)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM ＝121MC ，N 为B 1B 的中点，则|MN |＝________.解析：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ， 则A (a,0,0)，C1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎫a ，a ，a2.设M (x ，y ，z ) ∵点M 在AC 1上且AM ＝121MC ，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a3.∴M ⎝⎛⎭⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫a －23a 2＋⎝⎛⎭⎫a －a 32＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 32 ＝216a . 答案：216a4．在空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB ＋12(BD ＋BC )＝________.解析：依题意有AB ＋12(BD ＋BC )＝AB ＋12×2BG ＝AB ＋BG ＝AG .答案：AG5.如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值．解：∵BC ＝AC －AB ，∴OA ·BC ＝OA ·(AC －AB )＝OA ·AC －OA ·AB＝|OA ||AC |cos 〈OA ，AC 〉－|OA ||AB |cos 〈OA ，AB 〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2.∴cos 〈OA ，BC 〉＝OA ·BC|OA ||BC |＝24－1628×5＝3－225.故OA 与BC 夹角的余弦值为3－225，即直线OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．已知点A (－3,0，－4)，点A 关于原点的对称点为B ，则|AB |等于________． 解析：点A 关于原点对称的点B 的坐标为(3,0,4)， 故|AB |＝|AB |＝(－3－3)2＋(0－0)2＋(－4－4)2＝10. 答案：102．空间四点A (2,3,6)，B (4,3,2)，C (0,0,1)，D (2,0,2)的位置关系为________(填“共线”、“共面”或“不共面”)．解析：可在空间直角坐标系中作图分析，知A ，B ，C ，D 不共面． 答案：不共面3．已知向量m ＝(4，k ，k －1)，n ＝(k ，k ＋3，32)，若m ∥n ，则k ＝________.解析：∵m ∥n ，∴4k ＝kk ＋3＝k －132⇒k ＝－2.答案：－24．(2013·长春模拟)已知点B 是点A (3,7，－4)在xOz 平面上的射影，则OB 2等于________． 解析：点A 在xOz 平面上的射影为B (3,0，－4)，则OB ＝(3,0，－4)，OB 2＝25. 答案：255.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M ，N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的比为2，现用基向量OA ，OB ，OC 表示向量OG ，设OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则x ，y ，z 的值分别是________．解析：设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，∵G 分MN 的所成比为2， ∴MG ＝23MN ，∴OG ＝OM ＋MG ＝OM ＋23(ON －O OM )＝12a ＋23(12b ＋12c －12a ) ＝12a ＋13b ＋13c －13a ＝16a ＋13b ＋13c . 答案：16，13，136．已知a ＝(1,2，－2)，b ＝(0,2,4)，则a ，b 夹角的余弦值为________． 解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－2515答案：－25157．已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP ＝2PB ，则|PD |的值是________． 解析：设P (x ，y ，z )，∴AP ＝(x －1，y －2，z －1)．PB ＝(－1－x,3－y,4－z )，由AP ＝2PB 得点P 坐标为⎝⎛⎭⎫－13，83，3， 又D (1,1,1)，∴|PD |＝773. 答案：7738.(创新题)已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA ·QB 取最小值时，点Q 的坐标是________．解析：由题意，设OQ ＝λOP ，即OQ ＝(λ，λ，2λ)， 则QA ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA ·QB ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎫λ－432－23，当λ＝43时有最小值，此时Q 点坐标为⎝⎛⎭⎫43，43，83. 答案：⎝⎛⎭⎫43，43，839.如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .证明：AB 、AD 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)． (1)∵∠ABC ＝60°，AB ＝BC ， ∴△ABC 为正三角形． ∴C ⎝⎛⎭⎫12，32，0，E ⎝⎛⎭⎫14，34，12.设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC ·CD ＝0， 即y ＝233，则D ⎝⎛⎭⎫0，233，0， ∴CD ＝⎝⎛⎭⎫－12，36，0.又AE ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12，∴AE ·CD ＝－12×14＋36×34＝0， ∴AE ⊥CD ，即AE ⊥CD .(2)∵P (0,0,1)，∴PD ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1.又AE ·PD ＝34×233＋12×(－1)＝0， ∴PD ⊥AE ，即PD ⊥AE . ∵AB ＝(1,0,0)，∴PD ·AB ＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面AEB .10．(2014·汕头模拟)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，E (3,0,1)，F (0,3,2)，D 1(3,3,3)，则BE ＝(3,0,1)，BF ＝(0,3,2)，1BD ＝(3,3,3)． 所以1BD ＝BE ＋BF .故1BD ，BE ，BF 共面． 又它们有公共点B ，所以E ，B ，F ，D 1四点共面． (2)设M (0,0，z 0)，G ⎝⎛⎭⎫0，23，0， 则GM ＝⎝⎛⎭⎫0，－23，z 0，而BF ＝(0,3,2)， 由题设得GM ·BF ＝－23×3＋z 0·2＝0，得z 0＝1.故M (0,0,1)，有ME ＝(3,0,0)． 又1BB ＝(0,0,3)，BC ＝(0,3,0)，所以ME ·1BB ＝0，ME ·BC ＝0， 从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC . 又BB 1∩BC ＝B ， 故ME ⊥平面BCC 1B 1. 第Ⅱ组：重点选做题1．在三棱锥P -ABC 中，G 为△ABC 的重心，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，则PG ＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：如图，取BC 的中点D ， ∵G 为△ABC 的重心， 则在△ABC 中，AG ＝23AD ＝13(AB ＋AC )． ∴PG －PA ＝13(PB －PA ＋PC －PA )∴PG ＝13PA ＋13PB ＋13PC＝13(a ＋b ＋c )． 答案：13(a ＋b ＋c )2．已知AB ＝(2,2,1)，AC ＝(4,5,3)，求平面ABC 的单位法向量．解：设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由n ≠0，知x ，y ，z 不全为0，可设其中不为0的一个为1，此时n ⊥AB 且n ⊥AC ，即n ·AB ＝0，且n ·AC ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12z ，y ＝－z ，设z ＝1，得n ＝(12，－1,1)，单位法向量n 0＝±n|n |＝±(13，－23，23)．第二节空间向量与空间角对应学生用书P1481．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．2．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|n·e||n||e|.3．求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 是二面角α -l -β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α -l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．1．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角为⎝⎛⎦⎤0，π2. 2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值． 3．利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定．由图形知二面角是锐角时cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|；由图形知二面角是钝角时，cos θ＝－|n 1·n 2||n 1||n 2|.当图形不能确定时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点．[试一试]1．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为________．解析：cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝11·2＝22，即〈m ，n 〉＝45°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°. 答案：45°或135°2．(2013·石家庄模拟)如图，在正方形ABCD 中，EF ∥AB ，若沿EF 将正方形折成一个二面角后，AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，则AF 与CE 所成角的余弦值为________．解析：如图建立空间直角坐标系，设AB ＝EF ＝CD ＝2，∵AE ∶DE ∶AD ＝1∶1∶2，则E (0,0,0)，A (1,0,0)，F (0,2,0)，C (0,2,1)，∴AF ＝(－1,2,0)，EC ＝(0,2,1)，∴cos 〈AF ，EC 〉＝45，∴AF 与CE 所成角的余弦值为45.答案：451．求两异面直线a ，b 的夹角θ，须求出它们的方向向量a ，b 的夹角，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.2．求直线l 与平面α所成的角θ可先求出平面α的法向量n 与直线l 的方向向量a 的夹角．则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|. 3．求二面角α -l -β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n 1，n 2所成的角，则θ＝〈n 1，n 2〉或π－〈n 1，n 2〉．[练一练]1．已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，且AC ⊥BD ，AC 与BD 交于O ，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝2，AB ＝2CD ＝22，E ，F 分别是AB ，AP 的中点．则二面角F -OE -A 的余弦值为________．解析：以OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，由题知，OA ＝OB ＝2，OC ＝OD ＝1，A (0－2,0)，B (2,0,0)，C (0,1,0)，D (－1,0,0)，P (0,0,2)，OE ＝(1，－1,0)，OF ＝(0，－1,1)，设平面OEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·OE ＝0，m ·OF ＝0，令x ＝1，可得m ＝(1,1,1)．易知平面OAE 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， 设二面角F -OE -A 为α，则cos α＝m·n |m||n|＝33.答案：332．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝2，AB ＝1，BM ⊥PD 于点M .则直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值为________．解析：如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)．∵AM ⊥PD ，P A ＝AD ，∴M 为PD 的中点，∴M 的坐标为(0,1,1)．∴AC ＝(1,2,0)，AM ＝(0,1,1)，CD ＝(－1,0,0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由n ⊥AC ，n ⊥AM可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0y ＋z ＝0，令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1.∴n ＝(2，－1,1)． 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α， 则sin α＝|CD ·n ||CD ||n |＝63.∴cos α＝33，即直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值为33. 答案：33第一课时 空间角的求法对应学生用书P1491．(2013·111-ABC 中，∠BCA 1F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是________．解析：建立如图所示的坐标系，设BC ＝1，则A (－1,0,0)，F 1⎝⎛⎭⎫－12，0，1， B (0，－1,0)，D 1⎝⎛⎭⎫－12，－12，1，则1AF ＝⎝⎛⎭⎫12，0，1， 1BD ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，1. ∴cos 〈1AF ，1BD 〉＝1AF ·1BD |1AF ||1BD |＝3010.答案：30102．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为________．解析：以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则A (1,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫1，12，1，C (0,1,0)，N ⎝⎛⎭⎫1，1，12. ∴AM ＝⎝⎛⎭⎫0，12，1，CN ＝⎝⎛⎭⎫1，0，12. 设直线AM 与CN 所成的角为θ，则 cos θ＝|cos 〈AM ，CN 〉|＝|AM ·CN ||AM ||CN |＝121＋14× 1＋14＝25. 答案：25[备课札记] [类题通法]1．向量法求异面直线所成的角的方法有两种 (1)基向量法：利用线性运算． (2)坐标法：利用坐标运算．2．注意向量的夹角与异面直线所成角的区别当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．直线与平面所成角[典例] ABCD -A 1B 1C 11∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．[解]法一：(1)证明：如图1，因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1.又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D.而B1D⊂平面BB1D，所以AC⊥B1D.(2)因为B1C1∥AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为θ)．图1 如图1，连结A1D.因为棱柱ABCD-A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，所以A1B1⊥平面ADD1A1.从而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，所以四边形ADD1A1是正方形，于是A1D⊥AD1.故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D.由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ.在直角梯形ABCD中，因为AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB.从而Rt△ABC∽Rt△DAB，故ABDA＝BC AB.即AB＝DA·BC＝ 3.连结AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB21＋BD2＝BB21＋AB2＋AD2＝21，即B1D＝21.在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝ADB1D＝321＝217，即cos(90°－θ)＝217.从而sin θ＝217.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为21 7.法二：(1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图2，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐图2标系．设AB＝t，则有A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．从而1B D＝(－t,3，－3)，AC＝(t,1,0)，BD＝(－t,3,0)．因为AC⊥BD，所以AC·BD＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝3或t＝－3(舍去)．于是1B D＝(－3，3，－3)，AC＝(3，1,0)．因为AC·1B D＝－3＋3＋0＝0，所以AC⊥1B D，即AC⊥B1D.(2)由(1)知，1AD ＝(0,3,3)，AC ＝(3，1,0)，11B C ＝(0,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则⎩⎨⎧n ·AC ＝0，n ·1AD ＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，3y ＋3z ＝0. 令x ＝1，则n ＝(1，－3，3)． 设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，11B C 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·11B C |n |·|11B C |＝37＝217.即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. [备课札记] [类题通法]利用平面的法向量求线面角时，应注意(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1求出其值．不要误为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求．[针对训练](2013·福建高考改编)如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．解：由题意知DC ⊥AD ，D 1D ⊥DC ，D 1D ⊥AD 故以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)， 所以AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧AC ·n ＝0，1AB ·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1AA ·n |1AA |·|n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1， 故所求k 的值为1.二面角[典例] (2013·如图，直三棱柱ABC 111E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1//平面A 1CD ；(2)求二面角D -A 1C -E 的正弦值．[解] (1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连结DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD . (2)由AC ＝CB ＝22AB 得， AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC ′的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA ＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎨⎧n ·CD ＝0，n ·1CA ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎨⎧m ·CE ＝0，m ·1CA ＝0.可取m ＝(2,1，－2)． 从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D -A 1C -E 的正弦值为63. [备课札记]∴CD ⊥面A 1AD ，∴CD 是平面A 1AD 的一个法向量． 由(2)建系条件下可知CD ＝(1,1,0)， 又平面A 1EC 的法向量m ＝(2,1，－2)， ∴cos 〈CD ，m 〉＝2＋1＋02×3＝22.∴平面A 1AD 与平面A 1EC 所成角为45°. [类题通法]利用法向量求二面角时应注意(1)对于某些平面的法向量要注意题中隐含着，不用单独求．(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误． [针对训练](2014·杭州模拟)如图，已知平面QBC 与直线P A 均垂直于Rt △ABC 所在平面，且P A ＝AB ＝AC .(1)求证：P A ∥平面QBC ；(2)若PQ ⊥平面QBC ，求二面角Q -PB -A 的余弦值． 解：(1)证明：过点Q 作QD ⊥BC 于点D ，∵平面QBC ⊥平面ABC ，∴QD ⊥平面ABC . 又P A ⊥平面ABC ，∴QD ∥P A .又QD ⊂平面QBC ，P A ⊄平面QBC ∴P A ∥平面QBC . (2)∵PQ ⊥平面QBC ，∴∠PQB ＝∠PQC ＝90°，又PB ＝PC ，PQ ＝PQ ， ∴△PQB ≌△PQC ，∴BQ ＝CQ .∴点D 是BC 的中点，连结AD ，则AD ⊥BC ， 又AD ⊄平面QBC ，BC ⊂平面QBC ， ∴AD ⊥平面QBC .∴PQ ∥AD ，AD ⊥QD ， ∴四边形P ADQ 是矩形．分别以AC ，AB ，AP 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A -xyz ，设P A ＝2a ，则Q (a ，a,2a )，B (0,2a,0)，P (0,0,2a )，设平面QPB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵PQ ＝(a ，a,0)，PB ＝(0,2a ，－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋ay ＝0，2ay －2az ＝0，n ＝(1，－1，－1)． 又平面P AB 的一个法向量为m ＝(1,0,0)．设二面角Q -PB -A 为θ，则|cos θ|＝|cos 〈m ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪m·n |m|·|n|＝33， 又二面角Q -PB -A 是钝角， ∴cos θ＝－33，即二面角Q -PB -A 的余弦值为－33.对应学生用书P150[课堂练通考点]1．已知四棱柱ABCD -A1B 1C 1D 1的侧棱AA 1垂直于底面，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝AB ＝AA 1＝2BC ，E 为DD 1的中点，F 为A 1D 的中点．则直线EF 与平面A 1CD 所成角的正弦值为________．解析：∵AB ，AD ，AA 1两两垂直，故以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设BC ＝1，则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，C (2,1,0)，D (0,2,0)，E (0,2,1)，F (0,1,1)，FE ＝(0,1,0)，1A D ＝(0,2，－2)，CD ＝(－2,1,0)．设平面A 1CD 的一个法向量为n ＝(1，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·1A D ＝2y －2z ＝0，n ·CD ＝－2＋y ＝0，故n ＝(1,2,2)，则sin θ＝|cos 〈n ，FE 〉|＝|n ·FE |n |·|FE ||＝|1×0＋2×1＋2×04＋4＋1×0＋1＋0|＝23，故直线EF 与平面A 1CD 所成的角θ的正弦值为23.答案：232．(2013·江苏高考)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解：(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0，0,4)，C 1(0,2,4)，所以1A B ＝(2,0，－4)，1C D ＝(1，－1，－4)． 因为cos 〈1A B ，1C D 〉＝1A B ·1C D| 1A B ||1C D |＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ＝(1,1,0)，1AC ＝(0,2,4)，所以n 1·AD ＝0，n 1·1AC ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53. [课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1.如图所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角是________．解析：以D 为原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐系系D -xyz ，设正方体的棱长为1，则D (0,0，0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，F ⎝⎛⎭⎫12，0，12，EF ＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－12，DC ＝(0,1,0)，∴cos 〈EF ，DC 〉＝EF ·DC |EF ||DC |＝－22，∴〈EF ，DC 〉＝135°，∴异面直线EF 和CD 所成的角是45°. 答案：45°2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．解析：以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，D (0,1,0)， ∴1A D ＝(0,1，－1)， 1A E ＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12， 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，则⎩⎨⎧y －z ＝0，－12z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，＝2. ∴n 1＝(1,2,2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.即所成的锐二面角的余弦值为23.答案：233．(2014·安徽六校联考)在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，P A ＝2，则直线P A 与平面DEF 所成角的正弦值为________．解析：以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，P A ＝2，得A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，E ⎝⎛⎭⎫12，12，0，F ⎝⎛⎭⎫0，12，1， ∴PA ＝(0,0，－2)，DE ＝⎝⎛⎭⎫0，12，0，DF ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，1. 设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧n ·DE ＝0，n ·DF ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，则n ＝(2,0,1)，设P A 与平面DEF 所成的角为θ，则sin θ＝|PA ·n ||PA ||n |＝55，∴P A与平面DEF 所成角的正弦值为55. 答案：554．(2014·昆明模拟)如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，且BC ⊥平面P AB ，P A ⊥AB ，M 为PB 的中点，P A ＝AD ＝2.若AB ＝1，则二面角B -AC -M 的余弦值为________．解析：∵BC ⊥平面P AB ，AD ∥BC ， ∴AD ⊥平面P AB ，P A ⊥AD ， 又P A ⊥AB ，且AD ∩AB ＝A ，∴P A ⊥平面ABCD .以点A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz .则A (0,0,0)，C (2,1,0)，P (0,0,2)，B (0,1,0)，M ⎝⎛⎭⎫0，12，1， ∴AC ＝(2,1,0)，AM ＝⎝⎛⎭⎫0，12，1， 求得平面AMC 的一个法向量为n ＝(1，－2,1)， 又平面ABC 的一个法向量AP ＝(0,0,2)，∴cos 〈n ，AP 〉＝n ·AP |n |·|AP |＝21＋4＋1·2＝16＝66.∴二面角B -AC -M 的余弦值为66. 答案：665.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为________．解析：不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.可得O (0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)，∴1BC ＝(0,2，－1)，1AB ＝(－2,2,1)， ∴cos 〈1BC ，1AB 〉＝1BC ·1AB |1BC ||1AB |＝4－15×9＝15＝55＞0. ∴1BC 与1AB 的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角， ∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55. 答案：556．如图，在正四棱锥S -ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成角为________．解析：如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz .设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，－a 2，a 2. 则CA ＝(2a,0,0)，AP ＝⎝⎛⎭⎫－a ，－a 2，a2，CB ＝(a ，a,0)． 设平面P AC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，则cos 〈CB ，n 〉＝CB ·n |CB ||n |＝a 2a 2·2＝12. ∴〈CB ，n 〉＝60°，∴直线BC 与平面P AC 的夹角为90°－60°＝30°. 答案：30°7．(2013·新课标卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值． 解：(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0, 3，0)，C (0,0, 3)，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，3)，1BB ＝1AA ＝(－1，3，0)，1A C ＝(0，－3，3)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎨⎧n ·BC ＝0，n ·1BB ＝0.即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0.可取n ＝(3，1，－1)． 故n ，1A C ＝n ·1A C|n ||1A C |＝－105.所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.8．(2014·合肥一模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB ＝4，CD ＝2，侧面P AD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为P A 的中点．(1)求证：DE ∥平面PBC ；(2)求二面角E -BD -A 的余弦值．解：(1)证明：如图1，取AB 的中点F ，连结DF ，EF .在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，CD ＝2，所以BF 綊CD ， 所以四边形BCDF 为平行四边形，所以DF ∥BC .在△P AB 中，PE ＝EA ，AF ＝FB ， 所以EF ∥PB .因为DF ∩EF ＝F ，PB ∩BC ＝B ， 所以平面DEF ∥平面PBC .因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面PBC .(2)取AD 的中点O ，BC 的中点N ，连结ON ，OP ，则ON ∥AB . 在△P AD 中，P A ＝PD ＝AD ＝2，所以PO ⊥AD ，PO ＝ 3. 因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD .如图2，以O 为坐标原点，分别以OA ，ON ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (1,0,0)，D (－1,0,0)，P (0，0，3)，B (1,4,0)，所以DB ＝(2,4,0)．因为E 为P A 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫12，0，32，故DE ＝⎝⎛⎭⎫32，0，32.易知PO ＝(0,0，－3)为平面ABD 的一个法向量． 设平面EBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎨⎧n ⊥DB ，n ⊥DE ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝0，32x ＋32z ＝0， 令y ＝－1，则x ＝2，z ＝－23，所以n ＝(2，－1，－23)为平面EBD 的一个法向量．所以cos 〈PO ，n 〉＝PO ·n |PO |·|n |＝25117.设二面角E -BD -A 的大小为θ，由图可知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos θ＝25117，即二面角E -BD -A 的余弦值为25117.第Ⅱ卷：提能增分卷1.(2013·湖北八校联考)如图，在△AOB 中，已知∠AOB ＝π2，∠BAO ＝π6，AB ＝4，D 为线段AB 的中点．△AOC 是由△AOB 绕直线AO 旋转而成，记二面角B -AO -C 的大小为θ.(1)当平面COD ⊥平面AOB 时，求θ的值； (2)当θ＝2π3时，求二面角B -OD -C 的余弦值．解：(1)如图，在平面AOB 内过B 作BE ⊥OD 于E ， ∵平面AOB ⊥平面COD ，平面AOB ∩平面COD ＝OD ， ∴BE ⊥平面COD ，∴BE ⊥CO . 又∵CO ⊥AO ，∴CO ⊥平面AOB ，∴CO ⊥BO . ∵BO ⊥AO ，CO ⊥AO ，∴二面角B -AO -C 的平面角为∠BOC ，即θ＝π2.(2)如图，以O 为原点，在平面OBC 内垂直于OB 的直线为x 轴，OB ，OA 所在的直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，则A (0,0,23)，B (0,2,0)，D (0,1，3)，C (3，－1,0)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面COD 的法向量，由⎩⎨⎧n 1·OC ＝0，n 1·OD ＝0，得⎩⎨⎧3x －y ＝0，y ＋3z ＝0.取z ＝1，则n 1＝(－1，－3，1)．又平面AOB 的一个法向量为n 2＝(1,0,0)，设二面角B -OD -C 的大小为α， 则cos α＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－11＋3＋1＝－55.故二面角B -OD -C 的余弦值为－55.2．(2014·郑州模拟)如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都为2，CD ＝λ1CC .(λ∈R )(1)当λ＝12时，求证：AB 1⊥平面A 1BD ；(2)当二面角A -A 1D -B 的大小为π3时，求实数λ的值．解：(1)证明：取BC 的中点为O ，连结AO ，因为在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面CBB 1C 1，且△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC ，AO ⊥平面CBB 1C 1.以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，则A (0,0，3)，B 1(1,2,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)， B (1,0,0)．所以1AB ＝(1,2，－3)，1DA ＝(1,1，3)，DB ＝(2，－1,0)．因为1AB ·1DA ＝1＋2－3＝0，1AB ·DB ＝2－2＝0， 所以AB 1⊥DA 1，AB 1⊥DB ，又DA 1∩DB ＝D ， 所以AB 1⊥平面A 1BD .(2)由(1)得D (－1,2λ，0)，所以1DA ＝(1,2－2λ，3)，DB ＝(2，－2λ，0)，DA ＝(1，－2λ，3)．设平面A 1BD 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，平面AA 1D 的法向量n 2＝(s ，t ，u )，由⎩⎨⎧n 1·1DA ＝0，n 1·DB ＝0，得平面A 1BD 的一个法向量n 1＝(λ，1，λ－23)；同理可得平面AA 1D 的一个法向量n 2＝(3，0，－1)， 由|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝12，解得λ＝14，即为所求．3．(2014·天津十二区县联考)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，顶点A 1在底面ABC 上的射影恰为点B ，且AB ＝AC ＝A 1B ＝2.(1)证明：平面A 1AC ⊥平面AB 1B ； (2)求棱AA 1与BC 所成的角的大小；(3)若点P 为B 1C 1的中点，并求出二面角P -AB -A 1的平面角的余弦值． 解：(1)证明：∵A 1B ⊥平面ABC ，∴A 1B ⊥AC ， 又AB ⊥AC ，AB ∩A 1B ＝B ，∴AC ⊥平面AB 1B ， ∵AC ⊂平面A 1AC ，∴平面A 1AC ⊥平面AB 1B . (2)以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则C (2,0,0)，B (0,2,0)，A 1(0,2,2)，B 1(0,4,2)，C 1(2,2,2)，1AA ＝(0,2,2)，BC ＝11B C ＝(2，－2,0)，cos 〈1AA ，BC 〉＝1AA ·BC |1AA |·|BC |＝－48·8＝－12，故AA 1与棱BC 所成的角是π3.(3)因为P 为棱B 1C 1的中点，故易求得P (1,3,2)． 设平面P AB 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 1·AP ＝0，n 1·AB ＝0，由⎩⎨⎧AP ＝(1，3，2)，AB ＝(0，2，0)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋2z ＝0，2y ＝0，令z ＝1，则n 1＝(－2,0,1 )， 而平面ABA 1的法向量n 2＝(1,0,0)， 则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－25＝－255. 由图可知二面角P -AB -A 1为锐角， 故二面角P -AB -A 1的平面角的余弦值是255.第二课时 空间向量的应用对应学生用书P151空间向量法解决探索性问题探索存在性问题在立体几何综合考查中是常考的命题角度，也是考生感觉较难，失分较多的问题，归纳起来立体几何中常见的探索性问题有：(1)探索性问题与空间角结合；(2)探索性问题与垂直相结合；(3)探索性问题与平行相结合.角度一 探索性问题与空间角相结合1.(2014·哈师大附中模拟)如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，∠ACB ＝90°，E 是棱CC 1上的动点，F 是AB 的中点，AC ＝1，BC ＝2，AA 1＝4.(1)当E 是棱CC 1的中点时，求证：CF ∥平面AEB 1；(2)在棱CC 1上是否存在点E ，使得二面角A -EB 1 -B 的余弦值是21717？若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由．解析：(1)证明：取AB 1的中点G ，连结EG ，FG . ∵F ，G 分别是棱AB ，AB 1的中点， ∴FG ∥BB 1，FG ＝12BB 1，又B 1B 綊C 1C ，EC ＝12C 1C ，∴B 1B ∥EC ，EC ＝12B 1B .∴FG 綊EC .∴四边形FGEC 是平行四边形， ∴CF ∥EG .∵CF ⊄平面AEB 1，EG ⊂平面AEB 1， ∴CF ∥平面AEB 1.(2)以C 为坐标原点，射线CA ，CB ，CC 1为x ，y ，z 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,4)．设E (0,0，m )(0≤m ≤4)，平面AEB 1的法向量n 1＝(x ，y ，z )． 则1AB ＝(－1,2,4)，AE ＝(－1,0，m )．由1AB ⊥n 1，AE ⊥n 1，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＋4z ＝0，－x ＋mz ＝0. 令z ＝2，则n 1＝(2m ，m －4,2)． 连结BE ，∵CA ⊥平面C 1CBB 1，∴CA 是平面EBB 1的一个法向量，令n 2＝CA ， ∵二面角A -EB 1 -B 的余弦值为21717，∴21717＝cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝2m 4m 2＋(m －4)2＋4， 解得m ＝1(0≤m ≤4)．∴在棱CC 1上存在点E ，符合题意，此时CE ＝1. 角度二 探索性问题与垂直相结合2．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，在对角线A 1C 上是否存在这样的一点E ，使BE ⊥A 1D ？若存在，指出点E 的位置；若不存在，请说明理由．解：存在以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AA 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设B (a,0,0)，D (0，a,0)，A 1(0,0，a )，C (a ，a,0)，由题意，可设1A E ＝λ1A C ＝λ(a ，a ，－a )＝(aλ，aλ，－aλ)， 又A 1(0,0，a )，得E (aλ，aλ，a －aλ)．从而BE ＝(aλ－a ，aλ，a －aλ)，1A D ＝(0，a ，－a )， 若BE ⊥A 1D ，则BE ·1A D ＝0. 所以a 2λ－a (a －aλ)＝0， 解得λ＝12，即存在点E ，且点E 是A 1C 的中点时，使BE ⊥A 1D . 角度三 探索性问题与平行相结合3．如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成的角为60°.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求二面角F -BE -D 的余弦值；(3)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．解：(1)证明：∵DE ⊥平面ABCD ，∴DE ⊥AC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，又DE ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDE . (2)∵DE ⊥平面ABCD ，∴∠EBD 就是BE 与平面ABCD 所成的角，即∠EBD ＝60°. ∴EDBD＝ 3.由AD ＝3，得DE ＝36，AF ＝ 6.如图，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (3,0,0)，F (3,0，6)，E (0,0,36)，B (3,3,0)，C (0,3,0)，∴BF ＝(0，－3，6)，EF ＝(3,0，－26)．。

第3讲空间向量与立体几何利用空间向量证明平行与垂直共研典例类题通法设直线l的方向向量为a＝（a1，b1，c1），平面α、β的法向量分别为μ＝（a2，b2，c2)，υ＝(a3,b3,c3)，则有：（1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0。

（2）线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2,b1＝kb2，c1＝kc2.(3）面面平行α∥β⇔μ∥υ⇔μ＝λυ⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥υ⇔μ·υ＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0。

如图，在直三棱柱ADE.BCF中,平面ABFE 和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明:(1）OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.【证明】由题意，AB，AD，AE两两垂直,以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为1，则A(0，0，0）,B(1，0,0）,C(1，1，0），D （0，1，0)，F（1，0,1)，M错误!，O错误!.(1）错误!＝错误!，错误!＝(－1,0，0)，所以错误!·错误!＝0，所以错误!⊥错误!。

因为棱柱ADE.BCF是直三棱柱，所以AB⊥平面BCF，所以错误!是平面BCF的一个法向量,且OM⊄平面BCF，所以OM∥平面BCF.（2)设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为n1＝（x1,y1，z1）,n2＝(x2，y2,z2)．因为错误!＝(1，－1，1),错误!＝错误!,错误!＝（1，0,0），由n1·错误!＝n1·错误!＝0，得错误!解得错误!令x1＝1，则n1＝错误!.同理可得n2＝（0,1，1）．因为n1·n2＝0,所以平面MDF⊥平面EFCD.利用空间向量证明平行与垂直的步骤(1)建立空间直角坐标系,建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系．（2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．（3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系．(4)根据运算结果解释相关问题．［跟踪训练]如图所示，已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝90°,且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：（1）DE∥平面ABC；（2）B1F⊥平面AEF.[证明］（1)如图建立空间直角坐标系A­xyz,令AB ＝AA1＝4，则A（0,0,0)，E(0，4，2)，F(2，2，0),B（4,0,0)，B1(4，0，4）．取AB中点为N,连接CN，则N（2，0，0)，C（0，4，0），D(2，0,2)，所以错误!＝（－2，4,0),错误!＝(－2，4，0）,所以错误!＝错误!,所以DE∥NC，又因为NC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC.故DE∥平面ABC.(2）错误!＝（－2，2,－4）,错误!＝（2，－2，－2），错误!＝（2,2，0)．错误!·错误!＝（－2）×2＋2×(－2)＋(－4)×（－2）＝0，错误!·错误!＝（－2)×2＋2×2＋（－4）×0＝0。

(二)立体几何与空间向量1．(2016·课标全国甲)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝10.(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B －D ′A －C 的正弦值． (1)证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF . 因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ， 所以D ′H ⊥平面ABCD . (2)解 如图，以H 为坐标原点，HF →的方向为x 轴正方向，HD →的方向为y 轴正方向，HD ′—→的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则H (0,0,0)，A (－3，－1,0)，B (0，－5,0)，C (3，－1,0)，D ′(0,0,3)，AB →＝(3，－4,0)，AC →＝(6,0,0)，AD ′→＝(3,1,3)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·AD ′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0，所以可取m ＝(4,3，－5)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD ′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3,1)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－1450×10＝－7525.sin 〈m ，n 〉＝29525.因此二面角B －D ′A －C 的正弦值是29525.2．(2016·山东)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；(2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F －BC －A 的余弦值．(1)证明 设FC 中点为I ，连接GI ，HI .在△CEF 中，因为点G ，I 分别是CE ，CF 的中点， 所以GI ∥EF .又EF ∥OB ，所以GI ∥OB .在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI ∥BC .又HI ∩GI ＝I ，BC ∩OB ＝B ， 所以平面GHI ∥平面ABC .因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC .(2)解 连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC .又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，所以BO ⊥AC . 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)． 过点F 作FM ⊥OB 于点M ，所以FM ＝FB 2－BM 2＝3，可得F (0，3，3)． 故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0，可得⎩⎨⎧－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，33， 因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝77.所以二面角F －BC －A 的余弦值为77. 3．(2016·上海)将边长为1的正方形AA 1O 1O (及其内部)绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为23π，¼11A B 长为π3，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．(1)求三棱锥C —O 1A 1B 1的体积；(2)求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小． 解 (1)连接O 1B 1，则¼11A B ＝∠A 1O 1B 1＝π3，∴△O 1A 1B 1为正三角形， ∴111O A B S V ＝34， ∴111—C O A B V＝13OO 1·111O A B S V ＝312. (2)设点B 1在下底面圆周的射影为B ， 连接BB 1，则BB 1∥AA 1，∴∠BB 1C 为直线B 1C 与AA 1所成角(或补角)，BB 1＝AA 1＝1.连接BC ，BO ，OC ，»AB ＝¼11A B ＝π3，»AC ＝2π3， ∴»BC＝π3，∴∠BOC ＝π3，∴△BOC 为正三角形， ∴BC ＝BO ＝1，∴tan∠BB 1C ＝BCBB 1＝1， ∴∠BB 1C ＝45°，∴直线B 1C 与AA 1所成的角的大小为45°.4．(2016·四川)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .E为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.(1)在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(2)若二面角P －CD －A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值． 解 (1)在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行．延长AB ，DC ，相交于点M (M ∈平面PAB )，点M 即为所求的一个点．理由如下： 由已知，BC ∥ED ，且BC ＝ED . 所以四边形BCDE 是平行四边形．从而CM ∥EB .又EB ⊂平面PBE ，CM ⊄平面PBE .所以CM ∥平面PBE .(说明：延长AP 至点N ，使得AP ＝PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)方法一 由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面PAD .从而CD ⊥PD . 所以∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.设BC ＝1，则在Rt△PAD 中，PA ＝AD ＝2.过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH . 易知PA ⊥平面ABCD ，从而PA ⊥CE .且PA ∩AH ＝A ，于是CE ⊥平面PAH .又CE ⊂平面PCE ， 所以平面PCE ⊥平面PAH .过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE . 所以∠APH 是PA 与平面PCE 所成的角． 在Rt△AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1， 所以AH ＝22. 在Rt△PAH 中，PH ＝ PA 2＋AH 2＝322. 所以sin∠APH ＝AH PH ＝13.方法二 由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面PAD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角．所以∠PDA ＝45°. 由∠PAB ＝90°，且PA 与CD 所成的角为90°，可得PA ⊥平面ABCD . 设BC ＝1，则在Rt△PAD 中，PA ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)． 所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)． 设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0.设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)．设直线PA 与平面PCE 所成的角为α， 则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋－22＋12＝13. 所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13.5．(2016·北京)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由． (1)证明 ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，又AB ⊥AD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AB ⊥平面PAD .∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ，又PA ⊥PD ，PA ∩AB ＝A ，∴PD ⊥平面PAB .(2)解 取AD 中点O ，连接CO ，PO .∵PA ＝PD ，∴PO ⊥AD . 又∵PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∵CO ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥CO ， ∵AC ＝CD ，∴CO ⊥AD .以O 为原点建立如图所示空间直角坐标系．易知P (0,0,1)，B (1,1,0)，D (0，－1,0)，C (2,0,0)． 则PB →＝(1,1，－1)，PD →＝(0，－1，－1)，PC →＝(2,0，－1)． 设n ＝(x 0，y 0,1)为平面PDC 的一个法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·PC →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧－y 0－1＝0，2x 0－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－1，x 0＝12.即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，1.设PB 与平面PCD 的夹角为θ. 则sin θ＝|cos 〈n ，PB →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·PB →|n ||PB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－114＋1＋1×3＝33.(3)解 设在棱PA 上存在点M ，使得BM ∥平面PCD ，则存在λ∈[0,1]使得AM →＝λAP →，因此点M (0,1－λ，λ)，BM →＝(－1，－λ，λ)． ∵BM ⊄平面PCD ，∴BM ∥平面PCD ，当且仅当BM →·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，1＝0，解得λ＝14，∴在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝14.。

【方法引领】【举例说法】一、平面向量与三角函数综合例 1已知向量m=(cos α sin α) n=(3 ， -1) α (0 π).，，， ∈ ，(1)若 m ⊥ n ，求角 α的大小； (2)求 | m+n| 的最小值 .(2)由于 m+n=(cos α+3 ， sin α-1)，因此 | m+n|=(cos3) 2 (sin -1)2=5 2 3cos-2sin=54cos π .6π π 7π，由于 α∈ (0， π)，因此 α+6，66π 5 π时， | m+n| 获得最小值 1 .故当 α+ =π，即 α=66ABABCA B C【练习】在△ a b c 2sin 2+cos 2C=1 .中，角， ， 所对的边分别为，，，且2(1)求角 C 的大小；，b，且 m ⊥ n ， (m+n) ·(m-n)=16，求 a ， b ，c 的值 .(2)若向量 m=(3a ， b)，n= a -3因此 cos C=1或 cos C=-1.2π 由于 C ∈(0， π)，因此 C= .32 (2)由于 m ⊥n ，因此 3a 2-b=0，即 b 2=9a 2. ①3(m+n) ·(m-n)=168a2+ 8b2 =169a2+ b2 =2.9a2=1 b2=9a=1 b=3.c2=a2+b2-2abcos C=7c=7a=1 b=3 c= 7 .#2 2017ABC D BC AD 6 BD3 DC 21AD BC BACπ2ABC4ADC2BADαπABD ABC AD 6 BD 34AD BD sinα 28sin ABC sin4AD BDα cosα 1 sin2α 14104πππsin ADC sin(α ) sinαcos cosαsin444＝ 1 712 分413(17)．14分△ ADC 的面积 S＝2× AD× DC sin∠ ADC＝2·【练习】在△ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为a， b， c，已知 (a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角 C的大小；(2)若 c=2acos B， b=2，求△ ABC的面积 .【解答】 (1)在△ ABC中，由 (a+b-c)(a+b+c)=ab，得a2b2-c2=-1，即 cos C=-1.2ab22由于0<C<πC=2 π，因此3(2)方法一：由于 c=2acos B，由正弦定理，得sin C=2sin Acos B.由于 A+B+C=π，因此 sin C=sin(A+B)，因此 sin(A+B)=2sin Acos B，即 sin Acos B-cos Asin B=0，因此 sin(A-B)=0.又 - π<A-B<π，因此 A-B=0，即 A=B，因此 a=b=2.33因此△ ABC的面积为 S△ABC=1absin C=1×2×2×sin 2 π= 3 .223a2c2-b2方法二：由 c=2acos B及余弦定理，得 c=2a×，化简得 a=b，因此△ ABC的面积为2ac11 2 πS△ABC= 2absin C=2×2×2×sin3= 3 .三、平面向量与解三角形综合例 3在△ ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为 a，b， c，已知向量 a=(sin B-sin C， sin C-sin A)，b=(sin B+sin C， sin A)，且 a⊥ b.(1)求角 B的大小；(2)若 b=c·cos A，△ ABC的外接圆的半径为1，求△ ABC的面积 .22 21因此 cos B= ac -b= .2ac2π由于 B ∈ (0，π)，因此 B=3 .b 222(2)由于 c ·cos A=b ，因此bc -a，即 b 2=c 2-a 2，=c2bc又 ac=a 2+c 2-b 2， b=2Rsin B= 3，解得 a=1， c=2.因此 S △ABC =1acsin B=3 . 22【练习】在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，已知向量 m=(cos B ，cos C)，n=(4a-b ，c)，且 m ∥ n.(1)求 cos C 的值；(2)若 c=3 ，△ ABC 的面积 S=15，求 a ， b 的值 .4【解答】 (1)由于 m ∥n ，因此 ccos B=(4a-b)cos C ，由正弦定理，得 sin Ccos B=(4sin A-sin B)cos C ，化简得 sin(B+C)=4sin Acos C.由于 A+B+C=π，因此 sin(B+C)=sin A.又由于 A ∈1 (0，π)，因此 sin A ≠0，因此 cos C= .4(2)由于 C ∈ (0，π)， cos C= 1 ，4因此 sin C=1-cos 2C = 1-1 =15.16 41 absin C= 15，因此 ab=2.① 由于 S=24由于 c=3，由余弦定理得 3=a 2+b 2- 1 ab ，2因此 a 2+b 2=4， ②由①②，得 a 4-4a 2+4=0，进而 a 2=2， a= 2 (a=-2 舍去 )，因此 a=b= 2 .【实战操练】1. 在斜三角形 ABC 中， tan A+tan B+tan Atan B=1.(1)求角 C 的大小；(2)若 A=15°， AB=2 ，求△ ABC 的周长 .即 tan(180 °-C)=1， tan C=-1.由于 0°<C<180°，因此 C=135°.(2)在△ ABC 中， A=15°，C=135 °，则 B=180 °-A-C=30°. 由正弦定理BCCAAB ，得sin A = sin B =sin CBCo=CA °=2 sin15 sin30=2，sin135°故 BC=2sin 15 =2sin(45° -°30°)=2(sin 45 cos ° 30 °-cos 45 °sin 30 )=°6-2 ，2CA=2sin 30 =1°.因此△ ABC 的周长为 AB+BC+CA= 2 +1+6- 2=2 6 2.222. 已知在锐角三角形ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， sin A=3， tan( A-B)=-1.5 2(1)求 tan B 的值； (2)若 b=5，求 c 的值 .1又由于 tan( A-B)=-，tanA-tan(A-B)3 - -142因此 tan B=tanA-(A-B)]===2.1 tanAtan(A-B)3 11-42(2)由 (1) 知 tan B=2，得 sin B= 25， cos B= 5 ，55因此 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= 115 ，25b=c bsin C11由正弦定理，得 c=sin B = .sin B sin C2π3.如图，在梯形 ABCD 中，已知 AD∥ BC， AD=1， BD=210，∠ CAD= 4， tan∠ADC=-2.(1)求 CD的长；(2)求△ BCD的面积 .=sin∠ ADC+π4ππ=sin∠ ADC·cos+cos∠ ADC·sin44=10 ，10在△ ADC中，由正弦定理得 CD= AD·sinDAC= 5 .sin ACD(2) 由于 AD∥BC，因此 cos∠ BCD=-cos∠ADC=5， sin∠BCD=sin∠ ADC=2 5. 55在△ BDC中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠ BCD，即 BC2-2BC-35=0，解得 BC=7，11×7×5×2 5=7.因此 S△BCD=BC·CD·sin∠ BCD=2254.在△ ABC中，已知 a， b， c分别为角 A， B， C的对边 .若向量 m=(a，cos A)，向量 n=(cos C，c)，且 m·n=3bcos B.(1)求 cos B的值；1+1(2)若 a， b， c成等比数列，求的值 .tanA tanC【分析】 (1) 由于 m·n=3bcos B，因此 acos C+ccos A=3bcos B.由正弦定理得sin Acos C+sin Ccos A=3sin Bcos B，因此 sin(A+C)=3sin Bcos B，又11=cosA cosC tan A++sinCtanC sin AcosA?sinC sinA?cosC =sinA sin Csin( A C )=sin A sin C=sinBsin A sinCsinB132 ===4.sin2 B sin B5.在△ABC A B C a b c，且bcos C+ccos B=2acos A.中，角，，的对边分别为，，(1)求角 A的大小；(2)uuur uuur=3，求△ ABC的面积 .若AB·AC【分析】 (1) 方法一：在△ ABC中，由正弦定理及bcos C+ccos B=2acos A，得 sin Bcos C+sin Ccos B=2sin Acos A，即 sin A=2sin Acos A.由于 A∈ (0，π)，因此 sin A≠0，因此 cos A= 1，2π因此A=.3方 法 二 ： 在 △ ABC 中 ， 由 余 弦 定 理 及bcos C+ccos B=2acos A ， 得a 2b 2 -c 2a 2c 2 -b 2b 2c 2 -a 2，b ·+c ·=2a ·2ab2ac2bc因此 a 2=b 2+c 2-bc ，因此 cos A=b 2c 2 -a 2 = 1 .2bc 2由于 A ∈ (0， π)，因此 A=π3 .uuur uuur(2) 由=cbcos A=3，得 bc=2 3，AB ·AC因此△ ABC 的面积为 S=1bcsin A= 1×23×3= 3 .#网22226. 已知△ ABC 的面积为 S ，且uuuruuur = 2 S.·AB AC(1)求 sin A ；uuuruuur uuur3 ，求 sin B.(2)若 |AB |=3，| AB - AC |=2因此 A 为锐角，且 sin 2 A+cos 2A=sin 2A+1sin 2A= 322sin 2A=1，因此 sin A=6 .3uuuruuur uuur uuur(2) 由于 | AB |=c= 3， | AB - AC |=|CB |=a= 2 3 ，ca3 2 3由正弦定理得= ，即 = 6，sinC sinA sinC3因此 sin C=2 . 2又由于 c<a ，因此 C 为锐角，因此 C=π，4因此 π π π 6 × 2 + 3× 2=2 3 6 . sin B=sin A=sin Acos+cos Asin =4 4 4 3 2 3 2 67. 在△ ABC 中，角 A ，B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，且 b 2+c 2=a 2-bc.(1)求角 A 的大小；uuur uuur (2)若AC ·=-8，求△ ABC 的面积 .AB因此 S △ ABC = 1 bcsin A= 1 ×16× 3=4 3. 22 28. 在△ ABC 中， a ，b ，c 分别为角 A ， B ， C 的对边，△ ABC 的面积 S 知足 S= 3 bccos A.2(1)求角 A 的大小；(2)若 a= 3 ，求 c 的取值范围 .【分析】 (1) 在△ ABC 中，由 S=1 bcsin A ，得 tan A= 3 . 3 bccos A= 22 由于 0<A<π A= π ，因此3 ， A= π及正弦定理得 a c 3 (2) 由 a=3 = = 3=2，3 sinA sinC 2因此 c=2sin C=2sin( π-A-B)=2sin2π-B . 3由于 A= π，因此 0<B< 2π，3 3因此 2π 2π0<-B< ， 3 3因此 0<sin 2π-B 3 ≤1， 0<2sin 2π-B ≤2， 3即 c的取值范围为(0， 2].9. 已知函数 f(x)= 1 3 sin xcos x- cos 2x(x ∈R). 2(1) 求函数 f(x)的最小值和最小正周期；(2) ABC A B C a b c B=πf(C)=1ABC设△ ，且 ， c=3 ， ，试判断△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 6 的形状，并求△ ABC 的面积 .(2) 由于 f(C)=1，因此 sin 2C- π =1.6由于 0<2C<2π，π π 11π因此 - <2C- < ，6 6 6因此 2C- π ππ= ，因此 C= .6 2 3由于 B= π，因此 A= π，6 2因此△ ABC 是直角三角形 .b c 3由正弦定理，得= = 3 =2，因此 b=1.sinB sinC2设△ ABC 的面积为 S ，则 S=1 bc= 3 .2 2。

热点+解析几何解答题-年高考数学三轮讲练测核心热点总动员(新课标版)＋Woｒd版含解析————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ2018年高考三轮复习系列:讲练测之核心热点 【全国通用版】热点八 解析几何解答题【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1. 【２０17课标３，理2０】已知抛物线Ｃ:y 2=2x ,过点（２,0)的直线l 交C 与Ａ,B 两点，圆M 是以线段ＡB 为直径的圆.(１)证明:坐标原点O 在圆M 上；(2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆Ｍ的方程. 【解析】所以2210m m --= ，解得1m = 或12m =-. 当1m = 时,直线l 的方程为20x y --= ，圆心M 的坐标为()3,1 ,圆M 的半径为10 ,圆M 的方程为()()223110x y -+-= ．当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-= ，圆心M 的坐标为91,42⎛⎫- ⎪⎝⎭,圆M 的半径为854 ,圆M的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.２.【２017课标1,理２0】已知椭圆Ｃ:2222=1x y a b+(ａ>b >0),四点Ｐ1（1,１），Ｐ２(0,1),P 3(–1,32），P 4(1,32）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；(2）设直线l 不经过P 2点且与Ｃ相交于Ａ,B 两点.若直线P 2A 与直线Ｐ2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 【解析】(1)由于3P ,4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ,4P 两点. 又由222211134a b a b +>+知,C 不经过点Ｐ1,所以点P ２在Ｃ上. 因此22211,131,4b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=.（2)设直线Ｐ2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k ２,如果l 与x 轴垂直，设l ：x =ｔ,由题设知0t ≠，且||2t <,可得A ,B 的坐标分别为(ｔ，242t -),（t ，242t --).则22124242122t t k k t t---++=-=-，得2t =，不符合题设． 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=. 由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A （x 1，y １），B （x 2,y 2），则x 1＋ｘ2=2841kmk -+，x 1ｘ2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-,故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=．即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时,0∆>，于是l :12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点(2，1-).3.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点,动点M 在椭圆Ｃ：2212x y +=上,过Ｍ作ｘ轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。

2017三轮考点总动员【江苏版】【重点·提醒】1.设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，你是否注意到直线垂直于x 轴时，斜率k 不存在的情况?例如，一条直线经过点3-3-2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，且被圆x 2+y 2=25截得的弦长为8，求此直线的方程. 提醒：不要漏掉x+3=0这一解.2.直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.3.对不重合的两条直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0， 有l 1∥l 2⇔12211221A B A B ACA C =⎧⎨≠⎩，；l 1⊥l2⇔A 1A 2+B 1B 2=0. 4.二元二次方程Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程的充要条件是： A=C ≠0，B=0，D 2+E 2-4F>0.5.处理直线与圆的位置关系有两种方法：(1)点(圆心)到直线的距离；(2)直线方程与圆的方程联立，讨论判别式.一般来说，前者更简捷. 6.在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零?判别式Δ≥0的限制.(求交点，弦长，中点，斜率，对称轴，存在性问题都要在Δ>0的情况下进行).7.双曲线22x a -22y b=1(a>b>0)的渐近线方程是y=±b a x ，注意不要把a 和b 的位置记反.【经典·剖析】例1. 已知直线l 1：3x+2ay-5=0，l 2：(3a-1)x-ay-2=0，且l 1∥l 2，则实数a=.故使l 1∥l 2的a 的值为-16或0. 方法二：由l 1∥l 2⇒3·(-a )-(3a-1)·2a=0，解得a=0或a=-16. 经检验，a=0和a=-16均符合题意.故使l 1∥l 2的a 的值为0或-16.【点评】 讨论两条直线的位置关系时，考生首先要注意对斜率是否存在进行讨论，其次要注意对系数是否为零进行讨论.在讨论两条直线的平行关系时，还要对求出的a 值进行验证，看两条直线是否重合.本题易忽视a=0的情况.例2. 已知圆C 的方程为x 2+y 2+ax+2y+a 2=0，若过定点A (1，2)可作该圆的两条切线，则实数a 的取值范围为 .【点评】 若已知圆的一般方程(含参数)，切记圆的一般方程成立的充要条件，否则会导致错误.例3. 已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为3和3，过点P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，则该椭圆的方程为 .【解析】 设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，且PF 1，PF 2由椭圆的定义，得2a=PF 1+PF 2=又PF 1>PF 2，所以∠PF 2F 1=90°，sin ∠PF 1F 2=21PF PF =12，所以∠PF 1F 2=30°， 所以2c=PF 1×cos30°，b 2=a 2-c 2=103，所以当焦点在x 轴上时，椭圆的方程为25x +2310y =1；当焦点在y 轴上时，椭圆的方程为2310x +25y =1. 【点评】 因为椭圆焦点的位置没有确定，所以应该考虑两种情况，即焦点在x 轴上与焦点在y 轴上.而这也正是考生常常出现错误的地方，会因考虑不全面而犯“对而不全”的错误.例4. 已知圆C 1：(x+3)2+y 2=1和圆C 2：(x-3)2+y 2=9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 .又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a=1，c=3，则b 2=8，故点M 的轨迹方程为x 2-28y =1(x ≤1). 【点评】 应注意平面内到两个定点F 1，F 2的距离之差等于定长2a (a>0)的点的轨迹不是双曲线；当定长2a<F 1F 2时，表示的只是双曲线的一支；当2a=F 1F 2时，表示的是一条射线；当2a>F 1F 2时，点的轨迹不存在. 【防错·练习】1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=， A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ． （1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由； （3）求证：直线AC 必过点Q ．所以52PQ BC k k =，故存在常数52λ=，使得52PQ BC k k =． …………10分PQ的方程，此时需要考虑直线的斜率是否存在，可分两类情况分别求解．点评：解答本题是需要设出直线2.若动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，且与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程________．【解析】如图所示，设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r|MC2|＝r|MC1|－|MC2|＝C1(－4，0)，C2(4，0)，∴|C1C2|＝8．∴1C2|．根据双曲线的定义知，点M的轨迹是以C1(－4，0)、C2(4，0)为焦点的双曲线的右支．∵a c＝4，∴b2＝c2－a2＝14．∴点M的轨迹方程是(221214x y x -=≥．点评：本题利用双曲线的定义求解轨迹方程，需要注意应该是双曲线的右支，故需要加上条件（x ≥进行限制．3. 如图，已知椭圆12222=+by a x （0＞＞b a ）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足F λ=1（R ∈λ），M F PO 2⊥，O 为坐标原点.（1）若椭圆方程为14822=+y x ，且），（22P ，求点M 的横坐标； （2）若2=λ，求椭圆离心率e 的取值范围（2）设00(,),(,)M M P x y M x y12F M MP = 1002(,)(,)3M M F M x c y x c y ∴=+=+ 00200212242(,),(,)333333M x c y F M x c y ∴-=-2PO F M ⊥ ，00(,)OP x y = 2000242()0333x c x y ∴-+=即220002x y cx += …………9分 联立方程得：2200022002221x y cx x y ab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去0y 得：222222002()0c x a cx a a c -+-=解得：0()a a c x c +=或 0()a a c x c-= …………12分 0a x a -<< 0()(0,)a a c x a c -∴=∈ 20a ac ac ∴<-< 解得：12e > 综上，椭圆离心率e 的取值范围为1(,1)2． …………15分 点评：注意利用椭圆本身的离心率的范围()0,1．4. 设过点A (0,2)的动直线l 与2214x y += 相交于P ，Q 两点，O 为坐标原点．当OPQ ∆的面积最大时，求l 的直线方程．点评：本题通过弦长公式、面积公式等工具将三角形OPQ ∆的面积表示为关于变量k 的函数解析式()f k ，再求函数最大值及相应的k 值，此时需借助隐含条件直线与椭圆相交得到0∆>进行验证．x5. 已知F 是椭圆1C ：1422=+y x 与双曲线2C 的一个公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若0=⋅，则2C 的离心率是 ．【解析】设双曲线的实轴长为2a ，F '为椭圆1C ：1422=+y x 与双曲线2C 的另一个公共焦点，则由对称性知0AF AF '⋅=,因此由22222()()2()8AF AF AF AF AF AF c '''-++=+=得22244832a a e +=⨯⇒=⇒==【易错点】椭圆与双曲线定义6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线x 2－23y ＝1的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是 ．【易错点】正弦定理，双曲线定义7. 若双曲线221x my +=过点()2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ． 【解析】由题意得1241,4m m +==-，因此双曲线的虚轴长为22 4.⨯=【易错点】虚轴长8. 如图，曲线Γ由两个椭圆1T ：()222210x y a b a b +=>>和椭圆2T ：()222210y x b c b c+=>>组成，当,,a b c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”.若猫眼曲线Γ过点(0,M ，且,,a b c 的公比为22. (1)求猫眼曲线Γ的方程；（2）任作斜率为()0k k ≠且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆1T 所得弦的中点为M ，交椭圆2T 所得弦的中点为N ，求证：ONOMK k 为与k 无关的定值； （3l 为椭圆2T 的切线，且交椭圆1T 于点,A B ，N 为椭圆1T 上的任意一点（点N 与点,A B 不重合），求ABN ∆面积的最大值.【解析】解. （1）b =2,1a c ∴==， （2分）221:142x y T ∴+=，222:12y T x ∴+=； （4分）（3）设直线l的方程为y m =+22221⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y my x bc ，()2222222220∴+++-=b c x x m c b c0∆= ，2222∴=+m b c1: =+l y （12分）22221⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y m x y ab ， ()2222222220∴+++-=b a x x m a b a 0∆= ，2222∴=+m b a2: =l y两平行线间距离：d =（14分）222∴=+AB b a5==AB ，d ==∆ABN的面积最大值为12S == （16分）【易错点】点差法使用条件。

（1）空间向量与平行关系直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行或重合的向量，一条直线的方向向量有无数个．平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量．空间中平行关系的向量表示线线平行：设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，且a 2b 2c 2≠0，则l ∥m ⇔//a b ⇔a b λ=⇔111222a b c a b c ==222(0)a b c ≠. 线面平行：设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔a u ⊥⇔0a u ⋅=⇔1212120a a bb c c ＋＋＝.(3)面面平行 设平面α，β的法向量分别为u ＝(a 1，b 1，c 1)，v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔//u v ⇔u v λ=⇔111222a b c a b c ==222(0)a b c ≠ （2）空间向量与垂直关系线线垂直空间向量与空间角,a bba b⋅〉=⋅＝设直线l与平面α所成的角为,a nna n⋅〉=⋅—β的平面角为θ，平12,n nnn n⋅〉⋅热点一：利用空间向量求角与距离问题【典例】【2017南通三模】如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形是直角梯形，，，．（1）求二面角的余弦值；（2）设是棱上一点，是的中点，若与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【答案】(1) ;(2) .【解析】（2）由（1）知，则，．设（），则，所以．易知平面，所以是平面的一个法向量．设与平面所成的角为，所以，即，得或（舍）．所以，，所以线段的长为．【题型概述】运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．-中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，【跟踪练习1】如图，在四棱锥P ABCD∆是边长为的等边三角形，PC=M在PC上，且PA∥面BDM.且PAD（1）求直线PC与平面BDM所成角的正弦值；（2）求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小.yABCDPM（1）设PC 与面BDM 所成的角为，则313n nθ⋅=⋅PC sin =PC ， 所以直线PC 与平面BDM所成角的正弦值为. ……………………6分 （2）面PAD 的法向量为向量(0,-3,0)CD =，设面BDM 与面PAD 所成的锐二面角为ϕ，则12n nϕ⋅=⋅CD cos =CD ，故平面BDM 与平面PAD 所成锐二面角的大小为3π. …………………10分 【跟踪练习2】如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=（R λ∈），且向量PC 与BD 夹角的余弦值为15.（1）求 的值；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦.热点二：离散型随机变量的分布列、均值与方差【典例】【2017苏锡常镇三模】已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第局得分（*N n ∈）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X ．43228(3)(1)5105125P X ==⨯-⨯=； 43342(4)(1)5105125P X ==⨯-⨯=．所以………………………………………………………………………………………………8分∴162842337()1234525125125125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………………10分【题型概述】1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数a b ηξ=+的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解． 2. 求离散型随机变量均值的步骤(1)理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值； (2)求X 的每个值的概率； (3)写出X 的分布列； (4)由均值定义求出()E X ．【跟踪练习1】电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖）. （1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数的分布列，并计算其数学期望和方差.故随机变量服从二项分布，即13,8B ξ⎛⎫⎪⎝⎭()0303113430188512P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()1213111471188512P C ξ⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()212311212188512P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3331113188512P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以的分布列为期数学期望()13388E np ξ==⨯= 方差()()1721138864D np p ξ=-=⨯⨯=考点：排列组合的应用；离散型随机变量的期望与方差.【跟踪练习2】甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局， 求：（1）乙取胜的概率； （2）比赛打满七局的概率；（3）设比赛局数为X ，求X 的分布列和数学期望．(3)随机变量X 的所有可能取值为4，5，6，7，41)21()4(2===x p ，41)21()21()5(212===C x p ，4121)21()21()6(4313=+==）（C x p ，412121)21()21()7(434414=+==）（）（C C x p ， 所以X 的分布列为故随机变量X 的数学期望211417416415414=⨯+⨯+⨯+⨯=EX . 考点：（1）互斥事件的概率加法公式；（2)离散型随机变量及其分布列.。

20XX 年高考三轮复习系列：讲练测之核心热点 【江苏版】 热点七 向量的运算【名师精讲指南篇】【高考真题再现】例1.【2014江苏高考】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是.例2 【2015江苏高考】已知向量a r =)1,2(，b r =)2,1(-, 若m a r +n b r=)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______.例3．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅的值是.【热点深度剖析】1. 平面向量在14-16年高考填空题和解答题中均有所考查，题目多为中档题，涉及到函数与方程、数形结合和等价转化的思想，着重考查学生运算求解能力. 平面向量常在解答题第一题与三角函数知识结合考查.2.平面向量的概念多，向量运算与数的运算有区别，复习时应予以甄别.向量具有“形”和 “数”的特征，恰当的转化是解题的关键，而建立坐标系用坐标表示向量是转化的重要手段，尤其是在出现垂直关系时，这种转化会特别奏效，在复习时要善于把握，认真领悟，注意加强对数形结合思想的运用.3.本章知识在高考中考查难度中等，复习时应以中等难度题为主，加强对平面向量数量积的题目的训练.4. 预计17年考查重点重点考查平面向量的数量积、坐标表示.【最新考纲解读】【重点知识整合】1.向量加法、减法的运算，及其几何意义：若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP＝12(OA ＋OB )． 2．平面向量的基本定理及坐标表示. A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)． 3. 平面向量的数量积 4. 向量的应用 【应试技巧点拨】1. (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a |a |是与a 同向的单位向量，－a|a |是与a 反向的单位向量． 2. 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， 3.【考场经验分享】1.目标要求：平面向量在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用．2.注意问题：①作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；②若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；3.经验分享：(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．【名题精选练兵篇】1．【20XX 届南京市、盐城市高三年级二模】已知平面向量＝(1，2)，＝(－2，2)，则的最小值为________．2．【20XX 届江苏南京市盐城高三一模】在ABC ∆中，已知AB =，3C π=，则CA CB⋅uu r uu r的最大值为.3．【20XX 届江苏徐州丰县民族中学高三上学期调考二】在平行四边形ABCD 中，1AD =，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，若3332AC BE ⋅=，则AB 的长为 ． 4．【20XX 届江苏泰州中学高三文上月考一】已知点O 为ABC ∆内一点，且230OA OB OC ++=，则,,AOB AOC BOC ∆∆∆的面积之比等于_______．5．【20XX 届江苏无锡市普通高中高三上期中】已知向量,a b 满足2,1,223a b a b ==-=，则a 与b 的夹角为____________．6．【20XX 届江苏泰州中学高三上学期期中】在平面内，定点,,,A B C D 满足,4DA DB DC DA DB DB DC DC DA =====-，动点,P M 满足2,AP PM MC ==，则BM 的最大值是__________.7．【20XX 届江苏如东高级中学高三上学情调研二】在平行四边形ABCD 中，1AD =，060BAD ∠=，E 为CD 的中点，若3332AC BE =，则AB 的长为___________． 8．【20XX 届江苏徐州沛县中学高三上学期质检三】如图，点O 为△ABC 的重心，且OA OB ⊥，4AB =，则AC BC ⋅的值为．9．【20XX 届江苏扬州中学等七校高三上期中】如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，2AD DC ==，若14AC BD ⋅=-uuu r uu u r，则AD BC ⋅=uuu r uu u r ．10．【20XX 届江苏南通中学高三上期中】如图，点O 为△ABC 的重心，且OA OB ⊥，4AB =，则AC BC ⋅的值为．11．【20XX 届江苏启东中学高三上期第一次月考】已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m =.12．【20XX 届江苏泰州中学高三上第一次月考】已知点O 为△ABC 内一点，且230OA OB OC ++=，则△AOB ，△AOC ，△BOC 的面积之比等于．13．【20XX 届江苏徐州等四市高三11月模拟】已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =，6CD =，则MA MB ⋅的取值范围是．14．【南京市、盐城市2016二模】在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝4．若点D 在边BC上，且2,BD DC AD ==，则AC 的长为▲________． ABCO15．【南通市2016二模】如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线,m n 的同侧，且A 到,m n 的距离分别为1，3．点,B C 分别在,m n ，5AB AC +=，则AB AC ⋅的最大值是▲．16．【泰州20XX 届一模】在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B分别为x 轴，y 轴上一点，且2AB =，若点P ，则AP BP OP ++的取值范围是▲． 17．【扬州中学20XX 届第二学期质量检测】平行四边形ABCD 中，60,1,BADAB AD P ∠===为平行四边形内一点，且AP =，若),(R∈+=μλμλ，则λ的最大值为．18．【淮宿连徐20XX 届期末】已知2||||==，且1=⋅OB OA ，若点C 满足1||=+CB OA ，则||OC 的取值范围是．19．【扬州市2016期末】已知)sin (cos αα，=，)12(，=，⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππα，，若1=⋅，则=+)232sin(πα▲. 20．【苏州市20XX 届调研】已知向量a r =(1，2)，b r =(x ，-2)，且a r ⊥(a r -b r)，则实数x = ▲ ． 21．【清江中学2016周练】已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=．22．【苏锡常镇2016调研】在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数24()(0)x f x x x+=>的图像上任意一点，过M 点向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA MB ⋅=.【名师原创测试篇】1.已知向量()θθsin ,cos =，()2,1-=b ,若a ∥b ，则代数式θθθθcos sin cos sin 2+-的值是．2.在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为)2,1(A ，)3,7(-B ，点C 在直线4=y 上运动，O 为坐标原点，G 为△ABC 的重心，则⋅的最小值为__________．3.如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM xAB AN y AC ==，则xyx y+的值为. NMGC BA4.设O 是ABC ∆的三边中垂线的交点，,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边，已知2220b b c -+=，则BC AO --→--→⋅的范围是_____________.5.在平面四边形ABCD 中，已知3AB =，2DC =，点,E F 分别在边,AD BC 上，且=，若向量AD与DC的夹角为03BC BF=，3AD AE60，则AB EF⋅的值为.。

2017三轮考点总动员【江苏版】【重点·提醒】1. 直线参数方程应用条件:满足00cos (,x x t t y y tsin ααα=+⎧⎨=+⎩为参数为倾斜角）2. 参数方程化普通方程注意点:消元时取值范围的变化3. 矩阵乘法对应关系,点变换与曲线对应关系. 【经典·剖析】例1. 已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 将点()1,3-变换为()0,8．（1）求矩形M ；（2）求曲线320x y +-=在M 的作用下的新曲线方程． 【答案】（1）6244M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）240x y -+= 【解析】代入320x y +-=，得240x y ''-+=，即曲线320x y +-=在M 的作用下的新曲线方程为240x y -+=．．．．．．．．．．．．． 10分例2. 过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线2cos 24ρθ=相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．【答案】【解析】直线的参数方程为3,()12x s y s ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，………………………………………………3分 曲线2cos 24ρθ=可以化为224x y -=．……………………………………………5分将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，∴121210s s s s +==． …………………………8分AB1s =-．…………………………………………………10分 学科*网例 3. 变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求函数2y x =的图象依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程． 【答案】2y x y -=【防错·练习】1. 已知21⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α为矩阵114a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及2A ． 【解析】由条件可知1221411a λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴2224a λλ+=⎧⎨-+=⎩，解得2a λ==． ………………… 5分因此1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，所以212121101414514A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………10分2. 求椭圆22:194x y C +=在矩阵103102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下所得的曲线的方程．3. 设矩阵A ＝1237-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵为1-A ，矩阵B 满足AB ＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求1-A ，B ． 【解析】因为A ＝1237-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，所以|A|＝1237--＝－7＋6＝－1．由逆矩阵公式得，A －1＝7231-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． …5分因为AB ＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以B ＝A －1AB ＝7231-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦31⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝198⎡⎤⎢⎥⎣⎦．…………………………10分 学科*网 4. 已知参数方程为0cos sin x x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）的直线l 经过椭圆2213x y +=的左焦点1F ，且交y 轴正半轴于点C ，与椭圆交于两点A 、B （点A 位于点C 上方）．若1F C B =A ，求直线l 的倾斜角θ的值．【解析】把cos sin x t y t θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入椭圆方程，并整理得：()2212sin cos 10tθθ+--=，设点A 、B 对应的参数为A t 、B t ，由1F B AC =结合参数t 的几何意义得：A B C t t t +==1sin 2θ=，依题意知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6πθ=. 5. 在平面直角坐标系xOy 中，设点P (x ，5)在矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q (y -2，y )，求1x y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ．【解析】 依题意，1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦5x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2y y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即102 320 x y x y +=-⎧⎨+=⎩，，解得4 8 x y =-⎧⎨=⎩，， ...4分. 由逆矩阵公式知，矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵1213122--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦M ，......8分 所以1x y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦M 213122-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦48-⎡⎤⎢⎥⎣⎦1610⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． ......10分 学科*网 6. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，直线l 过点P ，且倾斜角为π6，圆C ：θρsin 6=．（Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ⋅．7. 已知矩阵10120206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，求矩阵1.A B - 【解析】设矩阵A 的逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即102201a b c d --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，于是11,0,2a b c d =-===，从而110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，……7分 所以1101212.1060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦……10分8. 已知曲线C ：1xy =，若矩阵M =⎥⎥⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程. 【解析】设曲线C 一点(,)x y ''对应于曲线C '上一点(,)x y ，∴x x y y '⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥'⎦⎣⎦⎣⎦，∴x y x ''-=x y y ''=，……5分∴x '=y '=，∴1x y ''==，∴曲线C '的方程为222y x -=. …10分 9. 在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90得到点B '，求点B '的坐标．10. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒若直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求MA MB ⋅的值． 【解析】解：直线l的参数方程为112(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，为参数)， …………2分 圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=﹒ …………4分 直线l 的参数方程代入圆C的普通方程，得21)10t t +--=， …………6分 设该方程两根为1t ，2t ，则121t t ⋅=-﹒ …………8分 ∴12==1MA MB t t ⋅⋅． …………10分。

第25练完美破解立体几何的证明问题[题型分析·高考展望] 立体几何证明题是高考必考题，证明平行、垂直关系是主要题型,特别是垂直关系尤为重要．掌握判定定理、性质定理并能灵活运用是解题的根本．学会分析推理的方法和证明技巧是提升推理能力的关键,在二轮复习中，通过专题训练，使解立体几何证明的能力更上一层楼，确保该类题型不失分．体验高考1．（2015·福建改编）若l,m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m"是“l∥α”的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要"或“既不充分也不必要”)答案必要不充分解析m垂直于平面α，当l⊂α时,也满足l⊥m，但直线l与平面α不平行，∴充分性不成立，反之，l∥α，一定有l⊥m，必要性成立．2．(2016·山东改编）已知直线a，b分别在两个不同的平面α,β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要"）答案充分不必要解析若直线a和直线b相交,则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交．3．（2016·课标全国甲）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF,EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．（1）证明:AC⊥HD′；（2)若AB＝5,AC＝6，AE＝错误!，OD′＝2错误!,求五棱锥D′—ABCFE的体积．(1）证明由已知得AC⊥BD,AD＝CD,又由AE＝CF得错误!＝错误!，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系，即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.（2）解由EF∥AC得错误!＝错误!＝错误!.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB2－AO2＝4，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2＋OH2＝(22)2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH。

中档大题规范练2 立体几何与空间向量1．如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，P A ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 的中点．(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求B 点到平面PCD 的距离；(3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q —AC —D 的余弦值为63？若存在，求出PQ QD 的值；若不存在，请说明理由．(1)证明 因为P A ＝PD ＝2，O 为AD 的中点，所以PO ⊥AD ，因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD .(2)解 以O 为原点，OC ，OD ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则B (1，－1,0)，C (1,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．PB →＝(1，－1，－1)，设平面PDC 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，CP →＝(－1,0,1)，PD →＝(0,1，－1)．则⎩⎪⎨⎪⎧ u ·CP →＝－x ＋z ＝0，u ·PD →＝y －z ＝0，取z ＝1，得u ＝(1,1,1)， B 点到平面PDC 的距离d ＝|BP →·u ||u |＝33. (3)解 假设存在，则设PQ →＝λPD → (0<λ<1)，因为PD →＝(0,1，－1)，所以Q (0，λ，1－λ)，设平面CAQ 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AC →＝0，m ·AQ →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，(λ＋1)b ＋(1－λ)c ＝0， 所以取m ＝(1－λ，λ－1，λ＋1)，平面CAD 的法向量n ＝(0,0,1)，因为二面角Q —AC —D 的余弦值为63， 所以|m·n||m||n |＝63， 所以3λ2－10λ＋3＝0， 所以λ＝13或λ＝3(舍去)，所以PQ QD ＝12. 2．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE .(1)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ；(2)求二面角A —DF —C 的大小．(1)证明 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,2)．∵E 为AB 的中点，∴E 点坐标为(1,1,0)，∵D 1F ＝2FE ，∴D 1F →＝23D 1E →＝23(1,1，－2) ＝(23，23，－43)， DF →＝DD 1→＋D 1F →＝(0,0,2)＋(23，23，－43) ＝(23，23，23)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面DFC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF →＝0，n ·DC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，2y ＝0，取x ＝1得平面FDC 的一个法向量n ＝(1,0，－1)．设p ＝(x ，y ，z )是平面ED 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ p ·D 1F →＝0，p ·D 1C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23x ＋23y －43z ＝0，2y －2z ＝0，取y ＝1得平面D 1EC 的一个法向量p ＝(1,1,1)．∵n·p ＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，∴平面DFC ⊥平面D 1EC .(2)解 设q ＝(x ，y ，z )是平面ADF 的法向量，则q ·DF →＝0，q ·DA →＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，x ＝0，取y ＝1得平面ADF 的一个法向量q ＝(0,1，－1),设二面角A —DF —C 的平面角为θ，由题中条件可知θ∈(π2，π)， 则cos θ＝－|n·q |n|·|q ||＝－0＋0＋12×2＝－12， ∴二面角A —DF —C 的大小为120°.3．如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解 (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23， 得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.4.如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，P A ＝AB ＝BC ＝CD ＝2，PD ＝23，P A ⊥PD ，Q 为PD 的中点．(1)证明：CQ ∥平面P AB ；(2)求二面角D —AQ —C 的余弦值．(1)证明 如图所示，取P A 的中点N ，连结QN ，BN .在△P AD 中，PN ＝NA ，PQ ＝QD ， 所以QN ∥AD ，且QN ＝12AD . 在△APD 中，P A ＝2，PD ＝23，P A ⊥PD ，所以AD ＝P A 2＋PD 2＝22＋(23)2＝4， 而BC ＝2，所以BC ＝12AD . 又BC ∥AD ，所以QN ∥BC ，且QN ＝BC ，故四边形BCQN 为平行四边形，所以BN ∥CQ .又CQ ⊄平面P AB ，BN ⊂平面P AB ，所以CQ ∥平面P AB .(2)解 如图，在平面P AD 内，过点P 作PO ⊥AD 于点O ，连结OB .因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD .又PO ⊥AD ，AP ⊥PD ，所以PO ＝AP ×PD AD ＝2×234＝3， 故AO ＝AP 2－PO 2＝22－(3)2＝1.在等腰梯形ABCD 中，取AD 的中点M ，连结BM ，又BC ＝2，AD ＝4，AD ∥BC ，所以DM ＝BC ＝2，DM ∥BC ，故四边形BCDM 为平行四边形．所以BM ＝CD ＝AB ＝2.在△ABM 中，AB ＝AM ＝BM ＝2，AO ＝OM ＝1，所以BO ⊥AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BO ⊥平面P AD .如图，以O 为坐标原点，分别以OB ，OD ，OP 所在直线为x 轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，D (0,3,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)，P (0,0，3)，C (3，2,0)，则AC →＝(3，3,0)．因为Q 为DP 的中点，故Q ⎝⎛⎭⎫0，32，32， 所以AQ →＝⎝⎛⎭⎫0，52，32. 设平面AQC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥AC →，m ⊥AQ →，可得⎩⎨⎧ m ·AC →＝3x ＋3y ＝0，m ·AQ →＝52y ＋32z ＝0，令y ＝－3，则x ＝3，z ＝5.故平面AQC 的一个法向量为m ＝(3，－3，5)．因为BO ⊥平面P AD ，所以OB →＝(3，0,0)是平面ADQ 的一个法向量．故cos 〈OB →，m 〉＝OB →·m |OB →|·|m |＝333·32＋(－3)2＋52＝337＝33737. 从而可知二面角D —AQ —C 的余弦值为33737. 5．在四棱锥P —ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2.(1)求证：BC ⊥平面PBD ；(2)在线段PC 上是否存在一点Q ，使得二面角Q —BD —P 为45°？若存在，求PQ PC 的值；若不存在，请说明理由．(1)证明 平面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD .如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,2,0)，P (0,0,1)，DB →＝(1,1,0)，BC →＝(－1,1,0)，所以BC →·DB →＝0，BC ⊥DB ，又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥BC ，因为PD ∩BD ＝D ，所以BC ⊥平面PBD .(2)解 平面PBD 的法向量为BC →＝(－1,1,0)，PC →＝(0,2，－1)，设PQ →＝λPC →，λ∈(0,1)，所以Q (0,2λ，1－λ)，设平面QBD 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，DB →＝(1,1,0)，DQ →＝(0,2λ，1－λ)，由n ·DB →＝0，n ·DQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，2λb ＋(1－λ)c ＝0， 令b ＝1，所以n ＝(－1,1，2λλ－1)， 所以cos 45°＝|n ·BC →||n ||BC →|＝22 2＋(2λλ－1)2＝22， 注意到λ∈(0,1)，得λ＝2－1， 所以在线段PC 上存在一点Q ，使得二面角Q —BD —P 为45°，此时PQ PC＝2－1.。

【方法引领】 【举例说法】一、失散型随机变量及超几何散布例 1 某品牌汽车 4S 店经销 A ，B ， C 三种排量的汽车，此中 A ，B ，C 三种排量的汽车挨次有 5， 4，3款不一样车型 .某单位计划购置该品牌 3辆不一样车型的汽车，且购置每款车型等可能.(1)求该单位购置的 3辆汽车均为 B 种排量汽车的概率；(2)记该单位购置的 3辆汽车的排量种数为 X ，求 X 的散布列及数学希望 .【剖析】 (1)古典概型，利用组合数公式即可 .(2)先确立随机变量 X 的全部可能取值，而后求出各取值的概率，列出散布列 .(2)随机变量 X 的全部可能取值为 1，2， 3.C 53 C 34 C 333则 P(X=1)=C 123 =，4 4C 15 C 14C 13=3P(X=3)=，C 123112 9 P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=.4 4所以随机变量 X 的概率散布列为：X 1233 2 9 3P4 4114 43 2 9 39 7数学希望 E(X)=1×+2×+3×=.4 44 411 4 4【评论】求失散型随机变量散布列的步骤：(1) 找出随机变量 X 的全部可能取值 x i (i=1， 2，3， ，n)； (2)求出各取值的概率 P(X=x i )=p i ； (3)列成表格并用散布列的性质查验所求的散布列或某事件的概率能否正确 .【练习】某小组共 10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1， 2， 3的人数分别为 3，3， 4.现从这 10人中随机选出 2人作为该组代表参加会谈会.(1)设 A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件(2)设 X为选出的 2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量A发生的概率；X的散布列和数学希望.(2)随机变量 X的全部可能取值为0，1， 2.C32C32C42=4，P(X=0)=C10215P(X=1)=C13C13C13C14=7，C10215 C13C144P(X=2)=C102=15.所以随机变量 X的散布列为：X012474P151515随机变量 X的数学希望 E(X)=0×4+1×7+2×4=1.151515二、失散型随机变量及二项散布例 2某工厂有两条互相不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测 .检测得分低于80的为不合格品，只好报废回收；得分不低于 80的为合格品，能够出厂 .现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计以下：得分60， 70)70， 80)80， 90)90， 100]甲5103411乙812319(1)试分别预计产品甲、乙下生产线时为合格品的概率；(2)生产一件产品甲，假如合格品可盈余 100元，假如不合格品则损失 20元；生产一件产品乙，假如合格品可盈余 90元，假如不合格品则损失 15元 .在 (1)的前提下：①记 X为生产 1件产品甲和 1件产品乙所得的总收益，求随机变量X的散布列和数学希望；②求生产 5件产品乙所获取的收益许多于300元的概率 .3 2 1 ， P(X=85)=3 1 1P(X=190)= × = 4 × =，43 2 34 12 1 1 1 1P(X=70)=× =， P(X=-35)=4× = .4 363 12所以随机变量 X 的散布列为：X190 85 70 -351 1 1 1 P2461211 1 1所以 E(X)=×190+ ×85+×70+ ×(-35)=125 .2 4 612②设生产的 5件产品乙中正品有 n 件，则次品有 (5-n)件，依题意， 90n-15(5-n) ≥300，解得 n ≥2 5，取 n=4或 n=5，7设“生产 5 件产品乙所获取的收益许多于300元”为事件 A ，则 P(A)=41 +2 5 11242 =.C 53 3 3 243【练习】 已知一个口袋中装有 n 个红球 (n ≥1且 n ∈ N * )和 2个白球， 从中有放回地连续摸三次， 每次摸出两个球，若两个球颜色不一样则为中奖，不然不中奖 .(1) 当 n=3时，设三次摸球中 (每次摸球后放回 )中奖的次数为 X ，求 X 的散布列；(2) 记三次摸球中 (每次摸球后放回 )恰有两次中奖的概率为 P ，当 n 取多少时， P 最大 ?3 2 3 0，【解答】 (1)当 n=3时，每次摸出两个球， 中奖的概率 P=2=.所以随机变量 X 的可能取值为C 551， 2，3，则38P(X=0)=C 32=；51253 2361 2P(X=1)=C· · =；355125 22 54P(X=2)=C 32 · 3· =；55 125P(X=3)=C3· 3327=.35125所以随机变量 X的散布列为：X01238365427P125125125125即 n2-3n+2=0，解得 n=1或 n=2.三、失散型随机变量的均值与方差例 3甲、乙两名射手各射击了10发子弹，此中甲击中的环数与次数以下表：环5678910数次111124数乙射击的概率散布列以下表：环数78910次数0.20.3P0.1(1)若甲、乙各打一枪，求击中8环的概率及P的值；(2)剖析甲、乙射击环数的数学希望与方差，比较甲、乙射击水平的好坏.【剖析】利用古典概型求出概率，并利用数学希望和方差比较好坏.甲射击环数的方差为：V(X)=(5-8.4)2×0.1+(6-8.4)2×0.1+(7-8.4)2×0.1+(8-8.4)2×0.1+(9-8.4)2×0.2+(10-8.4)2×0.4=3.04.乙射击环数的方差为：V(X)=(7-8.4)2×0.2+(8-8.4)2×0.3+(9-8.4)2 ×0.4+(10-8.4)2×0.1=0.84.所以甲、乙两人射击的均匀水平相当，但乙比较稳固，故乙射击水平优于甲.【评论】要能正确地运用数学希望与方差的计算公式，同时理解失散型随机变量的数学希望与方差是对随机变量的简洁描绘.【练习】某投资企业在 2016年年初准备将 1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车 .据市场调研，投资到该项目上，到年末可能赢利 30%，也可能损失 15%，且这两种状况发生的概率分别为7 和 2；9 9项目二：通讯设施 .据市场调研，投资到该项目上，到年末可能赢利50%，可能损失 30%，也可3 11能不赔不赚，且这三种状况发生的概率分别为， 和.5 315针对以上两个投资项目，请你为投资企业选择一个合理的项目，并说明原因 .【解答】若按“项目一”投资，设赢利ξ1万元，则 ξ1的散布列为：ξ1300 -1507 2 P99所以 E(ξ17 2)=300× +(-150)× =200(万元 ).99若按“项目二”投资，设赢利 ξ2万元，则 ξ的散布列为：2-30ξ25003 1 1 P5315所以 E(ξ3 1 12)=500× +(-300)× +0× =200(万元 ).5315又 D(ξ12722)=(300-200)×+(-150-200) × =35 000，992321 +(0-200) 21 D(ξ2)=(500-200) × +(-300-200) ×× =140 000 ，所以 E(ξ1)=E(ξ2)， D(ξ1)<D(ξ2)，5315这说明固然项目一、项目二赢利相等，但项目一更安妥.综上所述，建议该投资企业选择项目一投资.四、利用数学概括法证明不等式例 4 已知函数f(x)=2x-3x 2{a n }1 a=f(a n ).，设数列知足a =， n+14(1)求证：n ∈N * ，都有 0<a n < 1 ；33 33n+1(2)求证：++ +≥4 -4.1-3a 1 1-3a 21-3a n【点拨】第 (2)问试试将右侧转变为 n 项的和的形式 .a k22a k21 ，于是 12则当 n=k+1时， a k+1=f(a k )=2a k -3 a2=-3 =-3 a k -1+ -a k+1=31-a k .k 33333121 ，即0< 111因为 0<a k，所以 0<3 1k+1，可得 0<a k+1 ，<-a k<3 -a <3<33 33所以当 n=k+1时，不等式也成立 .1由①②可知，对随意的正整数n ，都有 0<a n < .31 1-a n2(2)由 (1)可得，-a n+1=333两边同时取以 3为底的对数，可得log 31-a n 1 =1+2log 31-a n，33化简为 1+log 31-a=2 1log 31-a n ，3 n 131log 3 1 2.所以数列 1 log33 -a n是以4 为首项、为公比的等比数列所以 1+log 31-a n=2n-1log 3 1 ，化简求得1-a n =1 × 134 334因为 n ≥2时， 2n- 1= C 0n -1+ C 1n-1 + C 2n-1 + +C n n --11≥1+n-1=n ，2n -11，所以 1-a 3n -1=3×42.n当 n=1时， 2n- 1=1，1*时，n- 11 =3· 2n -1n所以 n ∈N2≥n ，所以≥3·4 ，-a n431111 2nn+1因为 1-a 1 + 1+ + 1 -a n1n -1-a 2 =3( 42 + 42 + +42 ) ≥ 3(4+4 + +4 )=4-4，3 3 3333n+1所以+ 1-3a + +1-3a ≥4 -4. 1-3a12n【评论】关于不等式的证明问题，常用的方式就是将不等式的左、右两边都转变为同样项数的和，而后采纳逐个比较的方法来加以证明.而与自然数相关的命题的证明，能够考虑应用数学归纳法来加以证明 .【练习】已知函数 f(x)=ax-3 1 1 1 1 x 2的最大值不大于6，又当 x ∈， 时， f(x) ≥ .24 28(1)求 a 的值；(2)设 0<a 1< 1 ，a n+1=f(a n )， n ∈ N *，求证： a n < 1.2n 1所以 a 2≤1.1 11又 x ∈，时， f(x) ≥ ，4 28f 11 ， a - 3 1 ，所以282 88 解得 a ≥1.即f 11 ， a - 3 1，484 328又因为 a 2 ≤1，所以 a=1.(2)用数学概括法证明：①当 n=1时， 0<a 1<1，结论明显成立 .21因为当 x ∈ 0， 21 时， 0<f(x) ≤ ，61 1 所以 0<a2 =f(a 1) ≤ <.63故 n=2时，原不等式也成立 .②假定当 n=k(k ≥2 k*k1 成立 .， ∈ N )时，不等式 0<a <k 1由 (1)知 a=1， f(x)=x- 3x 2，2因为 f(x)=x- 3x 2的对称轴为直线 x= 1，231 所以当 x ∈ 0时， f(x)为增函数 .311，得 0<f(a k )<f所以由 0<a k <≤ k 1 31 .k 1于是， 0<a k+1=f(a k )<1 312+11=1k 4<11 -·k --2.k2(k 1)2 k 2k22(k 1) (k2)k2所以当 n=k+1时，原不等式也成立 .依据①②知对随意的n ∈N * ，不等式 a n <1 成立 . #1n五、概括 —猜想 —证明例 5已知数列 {a n } 的各项均为正数，b n =n11nna n (n ∈ N * )， e 为自然对数的底数.计算b bbbb bb b b.11 21 2 3，由此推断计算 1 2n的公式，并给出证明a 1 a 1a 2 a 1a 2a 3a 1a 2 a n【 分 析 】 利 用 b n =n1+ 1na n (n ∈ N *) 得 到b=2 ，bb=32，b b b=43，进而推断出1 12 1 2 3naaaa a a1 1 21 2 3b 1b 2b n=(n+1)n ，再用数学概括法进行证明.a 1a 2 a nb b b = bb b=32×3× 1131 2 3 1 2 ·3=(3+1)3 =43.a a a aa a 31 2 3 1 2 3由此推断：b 1b 2b n=(n+1)n .a 1a 2 a n下边用数学概括法证明：①当 n=1时，左侧 =右侧 =2，等式成立 .②假定当 n=k(k∈ N*， k≥1)时，等式成立，即b1b2b k=(k+1)k. a1a2a k则当 n=k+1时， b k+1=(k+1)1+ 1+1k+1ak+1，k 1bb12 b k b k 1bb12 b k bk 11由概括假定可得=a k · =(k+1)k(k+1)·1a1a2 a k a k 1a1a2ak 1k 1k 1=(k+2)k+1，所以当 n=k+1时，等式也成立.依据①②可知猜想对全部正整数n都成立 .【评论】 (1)由特别到一般进行推断时，结论必要要由3项以上的特别项推出.(2)用数学概括法证明等式时，要注意第(1)步中考证 n0的值，如此题要取n=1，在第 2步的证明中应在概括假定的基础上推证n=k+1时等式也成立，但一定用上述概括假定.学#【练习】在数列{a n }中，已知 a1=20， a2=30， a n+1=3a n-a n- 1(n∈ N*， n≥2).(1)当 n=2， 3时，分别求a n2-a n-1a n+1的值.2-a a (n≥ 2)能否为定值，并给出证明 .(2)判断a nn- 1n+1(2)猜想：a n2 -a n-1a n+1=-500(n≥ 2).下边用数学概括法证明：①当 n=2时，结论成立.②假定当 n=k(k≥2， k∈ N* )时，结论成立，2即 a k-a k-1a k+1=-500，将 a k-1=3a k-a k+1代入上式，可得2k k+12=-500.-3a a+ a1k k则当 n=k+1时，a21-a k a k+2= a2-a k(3a k+1-a k)= a2-3a k a k+1+ a2=-500.k k 1k 1k故当 n=k+1时结论也成立，依据①②可得 a n2-a n-1a n+1=-500( n≥2)为定值.六、利用向量求角例 6 如图 (1)，已知在正方形 ABCD和矩形 ACEF中， AB= 2 ， CE=1， CE⊥平面 ABCD.(1)求异面直线 DF与 BE所成角的余弦值；(2)求二面角 A-DF-B的大小 .( (1))( (2))1所以直线 DF与 BE所成角的余弦值为.3uuur2 ，0， 0).(2)由题意知平面 ADF的一个法向量为 m= C D =(设平面 BDF的法向量为 n=(x， y， z).uuur2 ， 0uuur=(0， 2 ，1)，又BF=(，1)， D Fuuur0，2y z0，n·DF由uuur得2x z0，n·BF0，取 x=1，则 y=1， z=- 2 ，所以 n=(1， 1， - 2 )，m·n=21所以 cos<m， n>=2= .|m||n|42又因为 <m， n>∈0，π]，所以 <m， n>= π.3由图可知二面角A-DF-B为锐二面角，所以二面角 A-DF-B 的大小为π.3【练习】如图 (1) ，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SA ⊥平面 ABCD ， AB=1， AD=AS=2 ，P是棱 SD 上一点，且 SP=1PD.2(1)求异面直线 AB 与 CP 所成角的余弦值；(2)求二面角 A-PC-D 的余弦值 .( (1))【解答】 (1)分别以 AB ，AD ，AS 为 x 轴、y 轴、z 轴成立如图 (2)所示的空间直角坐标系 A-xyz ，则 A(0，0， 0)， B(1， 0， 0)，C(1，2， 0)， D(0， 2， 0)， S(0， 0，2).( (2))2 4所以点 P 的坐标为 0，，.3 3uuur 则CP=4 4 -1，- ， 3 3uuur， A B =(1，0， 0)，设直线 AB 与 CP 所成的角为 α，-1 1-40 4=3 41.则 cos α=33 2241(-1)2-44 133(2)设平面 APC 的法向量为 m=(x 1， y 1， z 1)，由 (1) uuur 24 ， uuur 知A P=，，A C =(1， 2， 0)，3 3uuurm ·AC x 1 2 y 1 0，所以 uuur2 4 z 1 0，m ·AP y 1 3 3令 y 1=-2，则 x 1=4， z 1=1， m=(4， -2， 1). 设平面 SCD 的法向量为 n=(x 2， y 2， z 2)，uuur uuur因为 D C =(1，0， 0)， D S =(0， -2， 2)，uuurn ·DC x 2 0，所以uuur令 y 2=1 ，n ·DS -2y 2 2z 2 0，则 z 2=1， n=(0， 1， 1).设二面角 A-PC-D 的大小为 θ，因为 cos<m ， n>= 0 41 (-2) 1 1 =- 42 ，2 2142 又由 m ， n 的方向知 θ为锐角，所以 cos θ=-cos<m ， n>=42.42即二面角 A-PC-D 的余弦值为42 .42七、利用向量解决探究性问题例 7 如图 (1)，在四棱柱 ABCD-A 11 111 1112 ，底面 ABCDBCD 中，侧面ADDA ⊥底面 ABCD ，D A=D D= 为直角梯形， 此中 BC AD AB AD AD=2AB=2BC=2. 在平面 ABCD F D∥ ， ⊥ ， 内找一点 ，使得 1F ⊥平面 AB 1C ；( (1))( (2))因为 D 11F ⊥平面 AB C ，uuuur uuurD 1F ·AC a b-1 0， 1 ，所以 uuuur uuur得 a=b= D 1F ·AB 1a-b 0，21 1所以 F， ， ，即 F 为 AC 的中点 .2 2所以存在 AC 中点 F ，使得 D 1F ⊥平面 AB 1C.【练习】如图，四棱锥P-ABCD 的底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面 ABCD ， PD=CD ，E 是 PC 的中点 .在棱 PB 上能否存在点 F ，使得 PB ⊥平面 DEF?证明你的结论 .假定棱 PB 上存在点 F ，使得 PB ⊥平面 DEF ，设 uuur uuur P F =λ (0<λ<1)，P B uuur uuur uuur uuur =(2λ， 2λ， 2-2 λ)， 则P F =(2λ， 2λ， -2λ)， D F = D P + P F 由 uuur uuur 2 2 P F · =0，得 4λ+4λ-2λ(2-2λ)=0，D F11所以 λ= ∈ (0， 1)，此时 PF=PB ，33即在棱 PB 上存在点 F ， PF=1PB ，使得 PB ⊥平面 DEF.3【实战操练】1. 一个口袋中装有大小同样的3个白球和 1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，如有 3次摸到红球即停止 .(1)求恰巧摸 4次停止的概率；(2)记 4次以内 (含 4次 )摸到红球的次数为 X ，求随机变量 X 的散布列 .P，则 P=C2× 12319【解答】 (1)设事件“恰巧摸4次停止”的概率为×× =.3444256(2)由题意，知 X=0， 1， 2，3， P(X=0)=C0× 3481， P(X=1)=C11 =×4425644×332 7=，4 6 4P(X=2)=C42× 12227，P(X=3)=1-81 2 727= 13×3=--. 44128256 6 4128256所以随机变量 X的散布列为：X012381 2 72713P6 41282562562. 甲、乙两人投篮命中的概率分别为2与1，各自互相独立 .现两人做投篮游戏，共竞赛 3局，32每局每人各投一球.(1)求竞赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2)设ξ表示竞赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率散布和数学希望E(ξ).P=121232·2211·133·232·1311C3· ·· 1+C3· ·+C3·= . 33233C323C3236(2)ξ的可能取值为0， 1，2， 3，所以ξ的概率散布列为：ξ01237 1 151P2 4 2 4 2 42 4所以数学希望7 1 151E(ξ)=0×+1×+2×+3×=1.2 4 2 4 2 4 2 43.已知某校有甲、乙两个兴趣小组，此中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选 2名成员参加某项活动 .(1)求选出的 4名选手中恰巧有 1名女生的选派方法数；(2)记 X为选出的 4名选手中女生的人数，求 X的概率散布和数学希望 .【解答】 (1)选出的 4名选手中恰巧有一名女生的选派方法数为C12·C13·C32+ C22·C11·C13=21.(2)随机变量 X的可能取值为0， 1， 2，3.C22 C32=31C12C13C32C22C11C13=2333 7P(X=0)= 2 2=， P(X=1)= 2 2=，C5 C4106 20C5C410 6 2 0C32 C13C11 3 33， P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=9P(X=3)===.C52C42106 20 2 0所以随机变量 X的散布列为：X01231793P2 0 2 0 2 02 0所以 E(X)=0×1+1×7+2×9+3×3=17.#网2 0 2 0 2 0 2 0104.从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不一样的数构成一个三位数，记X为所构成的三位数各位数字之和 .(1)求 X是奇数的概率；(2)求 X的概率散布列及数学希望.当 X=3时，构成的三位数只好是由0，1， 2三个数字构成，所以P(X=3)=4=1；4 812当 X=4时，构成的三位数只好是由0，1， 3三个数字构成，所以P(X=4)=4=1；4 812当 X=5时，构成的三位数只好是由0，1， 4或 0， 2，3三个数字构成，所以8P(X=5)=4 8当 X=6时，构成的三位数只好是由0，2， 4或 1， 2，3三个数字构成，所以P(X=6)=1 04 81 0当 X=7时，构成的三位数只好是由0，3， 4或 1， 2，4三个数字构成，所以P(X=7)=4 8当 X=8时，构成的三位数只好是由1，3， 4三个数字构成，所以P(X=8)=6=1；4 88当 X=9时，构成的三位数只好是由2，3， 4三个数字构成，所以P(X=9)=6=1.4 88=1；6=5；2 4=5；2 4所以随机变量 X的概率散布列为：X 3456789P11 1 5 5 1 112 1262 42 4881 1 1 551 12 5 E(X)=3× +4× +5×+6×+7×+8×+9×=.12 12 62 4 2 48845. 试比较 2n +2与 n 2的大小 (n ∈ N * )，并用数学概括法证明你的结论.由此能够猜想， 2n +2>n 2(n ∈ N * )成立 .下边用数学概括法证明：①当 n=1时，左侧 =21 +2=4，右侧 =1，所以左侧 >右侧，所以原不等式成立.当 n=2时，左侧 =22+2=6，右侧 =22=4，所以左侧 >右侧；当 n=3时，左侧 =23+2=10，右侧 =32=9，所以左侧 >右侧 .②假定 n=k(k ≥3且 k ∈ N * )时，不等式成立，即 2k +2>k 2.那么当 n=k+1时，2k+1+2=2·2k +2=2(2k +2)-2>2·k 2-2.又因为 2k 2-2-(k+1)2=k 2-2k-3=(k-3)(k+1) ≥0，即 2k 2-2≥(k+1)2，故 2k+1+2>(k+1)2成立 .依据①和②，知原不等式关于任何n ∈ N * 都成立 .6.1 11 1 312 ， n ∈ N *.已知 f(n)=1+ 3 + 3 +43 + + 3 ， g(n)=-2n2 3n 2(1) 当 n=1， 2， 3时，试比较 f(n)与 g(n)的大小；(2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系，并给出证明.【解答】 (1)当 n=1时， f(1)=1， g(1)=1，所以 f(1)=g(1)；当 n=2时， f(2)= 9 ， g(2)=11，所以 f(2)<g(2)；88当 n=3时， f(3)=251， g(3)=312，所以 f(3)<g(3) .216216(2)由 (1)猜想 f(n) ≤g(n)，下边用数学概括法给出证明 .①当 n=1， 2， 3时，不等式明显成立；②假定当 n=k(k ≥3， k ∈ N * )时不等式成立，即1 1 1 1 3 11+ 23 + 33 + 43 + + k 3 < 2 - 2k 2 .1 31+1 那么当 n=k+1时， f(k+1)=f(k)+3 <-2k 2 (k 3 .(k 1)21)11- 1k 33 -1 2=-3k-12 <0，因为2(k 1)2-23=2k 32k(k1)2(k 1)2(k 1) k所以 f(k+1)<311)2=g(k+1).2 - 2(k由①②可知，对全部n *f(n) ≤g(n) 成立. ∈N ，都有7. 将正整数作以下分组： (1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)， (11，12，13，14，15)，(16，17， 18， 19， 20， 21)， ，分别计算各组包括的正整数的和以下，试猜想 S 1+S 3+S 5+ +S 2n-1的结果，并用数学概括法证明.S 1=1，S 2=2+3=5，S 3=4+5+6=15，S 4=7+8+9+10=34，S 5=11+12+13+14+15=65，S 6=16+17+18+19+20+21=111，下边用数学概括法证明：①当 n=1时， S 1=1=14，等式成立 .②假定当 n=k(k ∈ N * )时等式成立，即 S 1+S 3+S 5+ +S 2k-1=k 4，那么，当n=k+1时，S 1+S 3 +S 5++S 2k-1+S 2k+1 =k 4+(2k 2+k+1)+(2k 2+k+2)++(2k 2+k+2k+1)] =k 4+(2k+1)(2k 2+2k+1)=k 4+4k 3+6k 2+4k+1=(k+1)4，所以当 n=k+1时，等式也成立 .依据①和②可知关于随意的n ∈ N * ， S 1+S 3 +S 5+ +S 2n-1 =n 4都成立 .8. 如图，在直三棱柱 ABC-A 1B 1 C 1 AB AC AB=2 AC=4AA 1=2 uuur uuur(λ ). ， ， B D =λ中，⊥， ， D C ∈ R (1)若 λ=1，求直线 DB 1与平面 A 1C 1D 所成角的正弦值； (2)若二面角 B 1-A 1 C 1-D 的大小为 60°，务实数 λ的值 .uuuur1 1，，4 y设平面 A 1 1n ·AC令 z=1，则 n 11uuuur得=(2， 0， C D 的法向量为 n =(x ， y ， z)，则，n 1·A 1D 0， x 2y-2 z 01).uuuuruuur 4cos< n 1 DB 1·n 14 5DB 14 5又 DB 1 ， uuur== ，所以 1 1.>=与平面 A C D 所成角的正弦值为|DB 1||n 1| 35 1515(2)因为 uuur uuur ，设 D(x ， y ， 0)，所以uuur=(x-2， y ， 0)， uuur =(-x ， 4-y ， 0)，B D =λB D DCD C2， y=4.所以 x-2=-λx， y=λ(4-y)，即 x=11所以 D2 ，4， ，所以 uuuuruuuur =2 ，4， ，1AC 11 =(0，4，0)， AD 11-211uuuur4b，n 2 ·AC 110，设平面 A 1C 1D 的法向量为 n 2=(a ， b ， c)，则2 4，uuuur 即n 2 ·A 1D 0，1ab-2 c 01令 c=1，则 n 2=(λ+1， 0，1).又平面 A 1B 1C 1的一个法向量为 n 3=(0， 0， 1)，1|n2 n3|1=1由题意得 | cos<n2， n3>|=，所以=2，2|n2||n3|( 1)12解得λ= 3 -1或λ=- 3 -1(不合题意，舍去)，所以实数λ的值为 3 -1.9.如图(1)，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E=CF=1.(1)求异面直线 AC1与 D1E所成角的余弦值；(2)求直线 AC1与平面 BED1F所成角的正弦值.( (1))( (2))因为棱长为 3，A1E=CF=1，则 D(0， 0， 0)， A(3， 0，0)， B(3， 3， 0)， D1(0， 0， 3)， C1(0，3， 3)， E(3， 0，2)， F(0， 3，1).uuuur uuuur所以AC1=(-3， 3， 3)，DE1=(3，0， -1)，uuuur uuuur 所以 cos< AC，DE1 1uuuur uuuurAC1·D1E>= uuuur uuuur= |AC1||D1E|99-9-391=-2 30，915所以异面直线AC1与 D1E所成角的余弦值是230. 15(2)设平面 BED1F的法向量是 n=(x， y， z)，uuur uuur又因为 B E =(0，-3，2)， B F =(-3，0，1)，所以uuurn·BE 0，-3y 2z0，uuur即n·BF 0，-3x z0，令 z=3，则 x=1， y=2 ，所以 n=(1，2， 3).uuuuruuuur又 AC =(-3，3， 3)，所以 cos< AC ，n>= 1 1uuuur-3 6 9 2 42AC 1·n，uuuur=1 4 9=21 |AC 1||n| 9 9 9所以直线 AC 1 与平面 BED 1F 所成角的正弦值为242.2110. 如图 (1)，在底面为正方形的四棱锥 P-ABCD 中，侧棱 PD ⊥底面 ABCD ，PD=DC ，点 E 是线段 PC的中点 .(1)求异面直线 AP 与 BE 所成角的大小；(2)若点 F 在线段 PB 上，使得二面角 F-DE-B 的正弦值为3，求PF 的值 .3PB( (1))( (2))因为 E 是 PC 的中点，所以 E(0， 1， 1).uuur uuur所以 A P =(-2， 0， 2)， B E =(-2，-1， 1)，uuur uuur3 ， uuur uuurAP ·BE所以 cos< AP ，BE >= uuur uuur =|AP||BE|2uuur uuur>= π.进而<AP ，BE6所以异面直线 AP 与BE 所成角的大小为π.uuuruuur 6uuur(2)由 (1)可知 D E =(0， 1， 1)， D B =(2，2， 0)， P B =(2， 2， -2).设 uuur uuur ，则 uuur=(2λ， 2λ， -2λ)，进而 uuur = uuur + uuur =(2λ， 2λ， 2-2λ). P F =λP F D F D P P F P B设 m=(x 1， y 1， z 1)为平面 DEF 的法向量，uuur，x 1，m ·DF 0y 1 (1- )z 1 0则uuur即y 1 z 1，m ·DE 0， 0取 z 1=λ，则 y 1=-λ， x 1=2λ-1.所以 m=(2λ-1， -λ，λ)为平面 DEF 的一个法向量 .设 n=(x 2， y 2， z 2)为平面 DEB 的法向量，uuurn ·DB 0， 2x 22 y 2 0， 则uuur即y 2 z 2，n ·DE 0，取 x 2=1，则 y 2=-1， z 2=1.所以 n=(1， -1， 1)为平面 DEB 的一个法向量 .因为二面角 F-DE-B 的正弦值为3，所以二面角 F-DE-B 的余弦值的绝对值为6 ，33即 | cos<m ，n>|=6 ，所以m ·n= 6 |4 -1|2=6，，23 |m||n| 33 (2-1) 232化简得 4λ=1，因为点 F 在线段 PB 上，所以 0≤λ≤1， 1 PF 1所以 λ= ，即PB = .22。

专题17 空间向量【真题感悟】1、【2018江苏，理22】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．2、【2017江苏，22】如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=3，∠=︒.BAD120（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B-A1D-A的正弦值.6（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A−MA1−N的正弦值．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.4．【2019年高考北京卷理数】如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且13 PFPC=．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F–AE–P的余弦值；（3）设点G在PB上，且23PGPB=．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．5．【2019年高考天津卷理数】如图，AE⊥平面ABCD，,CF AE AD BC∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC⊥====．（1）求证：BF∥平面ADE；（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（3）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．6．【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.7．如图，已知直三棱柱中，．（1）求的长．（2）若，求二面角的余弦值．8．如图，已知四棱锥的底面是正方形，面，且，点分别在，，.(I)求证：面；(Ⅱ)求二面角的余弦值.9．在四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，，，是线段的中点，底面，已知.（1）求二面角的正弦值；（2）试在平面上找一点，使得平面.10．在正三棱柱中，已知，，，，分别是，和的中点．以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．⑴求异面直线与所成角的余弦值；⑵求二面角的余弦值．11．如图，已知点是直三棱柱的棱的中点，为的重心，，．（1）求点到平面的距离；（2）求平面和平面所成锐二面角的平面角的余弦值．12．如图，在直棱柱中，，为棱上任意一点（含端点）.（1）若为中点，求直线与直线所成的角的余弦值；（2）当点与点重合时，求二面角的平面角的正弦值.13．如图，已知长方体11111,2,1ABCD A BC D AB AA -==，直线BD 与平面11AA B B 所成角为30,AE 垂直BD 于点,E F 为11A B 的中点.（1）求直线AE 与平面BDF 所成角的正弦值；（2）线段11C D 上是否存在点P ，使得二面角F BD P --的余弦值为35？若存在，确定P 点位置；若不存在，说明理由.14．如图，在四棱锥P ABCD -中， AP ， AB ， AD 两两垂直， //BC AD ，且4AP AB AD ===， 2BC =.（1）求二面角P CD A --的余弦值；（2）已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC DH =，求PH PC的值.15．如图， AC BC ⊥， O 为AB 中点，且DC ⊥平面ABC ， //DC BE .已知2AC BC DC BE ====.（1）求直线AD与CE所成角；--的余弦值.（2）求二面角O CE B16．如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE，∠BAC＝45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.。

专题1 空间向量与立体几何【三年高考】1. 【2015江苏高考，22】如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长【解析】以{},D,AB A AP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，则各点的坐标为()1,0,0B ，()C 1,1,0，()D 0,2,0，()0,0,2P ．（1）因为D A ⊥平面PAB ，所以D A 是平面PAB 的一个法向量，()D 0,2,0A =．因为()C 1,1,2P =-，()D 0,2,2P =-．设平面CD P 的法向量为(),,m x y z =，则C 0m ⋅P =，D 0m ⋅P =，即20220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩．令1y =，解得1z =，1x =．所以()1,1,1m =是平面CD P 的一个法向量．从而D 3cos D,D m m mA ⋅A ==A ，所以平面PAB 与平面CD P 所成二面角的余弦值为3．2. 【2013江苏，理22】如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．【答案】(1) ．(2)【解析】解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)， 所以1A B ＝(2,0，－4)，1C D ＝(1，－1，－4)． 因为cos 〈1A B ，1C D 〉＝1111A B C D A B C D⋅10=， 所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为10. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ＝(1,1,0)，1AC ＝(0,2,4)，所以n 1·AD ＝0，n 1·1AC ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ. 由|cosθ|＝12122||||3⋅==n n n n ，得sin θ＝3.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为33．【2016高考新课标2理数】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，OD '= （Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；.又D H EF '⊥，而OH EF H ⋂=， 所以D H ABCD '⊥平面.By（II ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=.设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量，则00m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩， 所以可以取()4,3,5m =-.设()222,,n x y z =是平面'ACD 的法向量，则0n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，所以可以取()0,3,1n =-.于是cos ,||||50m n m n m n ⋅<>===⋅， 295sin ,25m n <>=. 因此二面角B D A C '--. 考点：线面垂直的判定、二面角.【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．4．【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB的中点，求证：GH ∥平面ABC ； （II ）已知EF =FB =12AC =AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）7【解析】试题分析：（Ⅰ）根据线线、面面平行可得与直线GH 与平面ABC 平行；（Ⅱ）立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法一建立空间直角坐标系求解；解法二则是找到FNM ∠为二面角F BC A --的平面角直接求解.试题解析：（I ）证明：设FC 的中点为I ,连接,GI HI , 在CEF △,因为G 是CE 的中点，所以,GI F //E 又,F E //OB 所以,GI //OB在CFB △中，因为H 是FB 的中点，所以//HI BC ， 又HI GI I ⋂=,所以平面//GHI 平面ABC ， 因为GH ⊂平面GHI ，所以//GH 平面ABC . （II ）解法一：连接'OO ,则'OO ⊥平面ABC ，又,AB BC =且AC 是圆O 的直径，所以.BO AC ⊥ 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由题意得(0,B ，(C -，过点F 作FM OB 垂直于点M ，可得F故(23,23,0),(0,BC BF =--=-. 设(,,)m x y z =是平面BCF 的一个法向量.由0,0m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得0,30z ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩ 可得平面BCF 的一个法向量(m =- 因为平面ABC 的一个法向量(0,0,1),n =所以7cos ,7||||m n m n m n ⋅<>==. 所以二面角F BC A --.解法二：连接'OO ，过点F 作FM OB ⊥于点M ， 则有//'FM OO , 又'OO ⊥平面ABC ， 所以FM ⊥平面ABC,过点M 作MN BC 垂直于点N ，连接FN ， 可得FN BC ⊥,从而FNM ∠为二面角F BC A --的平面角. 又AB BC =,AC 是圆O 的直径， 所以6sin 45MN BM ==从而2FN =，可得cos 7FNM ∠=所以二面角F BC A --. 考点：1.平行关系；2. 异面直线所成角的计算.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等. 5．【2016高考天津理数】（本小题满分13分）如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2. （I ）求证：EG ∥平面ADF ； （II ）求二面角O -EF -C 的正弦值； （III ）设H 为线段AF 上的点，且AH =23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.【答案】【解析】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值试题解析：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF 的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，.（I ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-.设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量，则110n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩ .不妨设1z =，可得()10,2,1n =，又()0,1,2EG =-，可得10EG n ⋅=，又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面.（II ）解：易证，()1,1,0OA =-为平面OEF 的一个法向量.依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-.设()2,,n x y z =为平面CEF 的法向量，则220n EF n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩ .不妨设1x =，可得()21,1,1n =-.因此有222cos ,OA n OA n OA n ⋅<>==-⋅，于是23sin ,3OA n <>=，所以，二面角O EF C --考点：利用空间向量解决立体几何问题 6．【2016年高考北京理数】（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）3；（3）存在，14AM AP =试题解析：（1）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥， 所以⊥AB 平面PAD ，所以PD AB ⊥， 又因为PD PA ⊥，所以⊥PD 平面PAB ； （2）取AD 的中点O ，连结PO ，CO ， 因为PA PD =，所以AD PO ⊥.又因为⊂PO 平面PAD ，平面⊥PAD 平面ABCD ， 所以⊥PO 平面ABCD .因为⊂CO 平面ABCD ，所以⊥PO CO . 因为CD AC =，所以AD CO ⊥.如图建立空间直角坐标系xyz O -，由题意得，)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A -.设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0即⎩⎨⎧=-=--,02,0z x z y 令2=z ，则2,1-==y x .所以)2,2,1(-=.又)1,1,1(-=，所以33,cos -=>=<PB n . 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.（3）设M 是棱PA 上一点，则存在]1,0[∈λ使得λ=. 因此点),,1(),,1,0(λλλλ--=-M .因为⊄BM 平面PCD ，所以∥BM 平面PCD 当且仅当0=⋅BM ， 即0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ，解得41=λ. 所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时41=AP AM . 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.7．【2016高考新课标3理数】如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面A B C D ，ADBC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN平面PAB ；（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）25． 【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）以A 为坐标原点，以,AD AP 所在直线分别为,y z轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN 的方向向量与平面PMN 法向量的夹角来处理AN 与平面PMN 所成角．试题解析：（Ⅰ）由已知得232==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN . 又BC AD //，故TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //. 因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，且5)2(2222=-=-=BC AB BE AB AE . 以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -， 由题意知，)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,25(N ， (0,2,4)PM =-，)2,1,25(-=PN ，)2,1,25(=AN . 设(,,)n x y z =为平面PMN 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PN n PM n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z x ，可取(0,2,1)n =，于是||85|cos ,|||||n AN n AN n AN ⋅<>==考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．8．【2016高考浙江理数】(本题满分15分)如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面ABC ,=90ACB ∠,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.(I)求证：EF ⊥平面ACFD ；(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.【答案】（I ）证明见解析；（II ． 【解析】试题分析：（I ）先证F C B ⊥A ，再证F C B ⊥K ，进而可证F B ⊥平面CFD A ；（II ）方法一：先找二面角D F B-A -的平面角，再在Rt QF ∆B 中计算，即可得二面角D F B-A -的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面C A K 和平面ABK 的法向量，进而可得二面角D F B-A -的平面角的余弦值．试题解析：（I ）延长D A ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示． 因为平面CF B E ⊥平面C AB ，且C C A ⊥B ，所以，C A ⊥平面C B K ，因此， F C B ⊥A ．又因为F//C E B ，F FC 1BE =E ==，C 2B =，所以C ∆B K 为等边三角形，且F 为C K 的中点，则 F C B ⊥K ．所以F B ⊥平面CFD A ．方法二：如图，延长D A ，BE ，CF 相交于一点K ，则C ∆B K 为等边三角形．取C B 的中点O ，则C KO ⊥B ，又平面CF B E ⊥平面C AB ，所以，KO ⊥平面C AB ． 以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x ，z 的正方向， 建立空间直角坐标系xyz O ． 由题意得()1,0,0B ，()C 1,0,0-，(K ， ()1,3,0A --，12⎛E ⎝⎭，1F 2⎛- ⎝⎭． 因此，()C 0,3,0A =，(AK =，()2,3,0AB =．设平面C A K 的法向量为()111,,m x y z =，平面ABK 的法向量为()222,,n x y z =．由C 00m m ⎧A ⋅=⎪⎨AK ⋅=⎪⎩，得11113030y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，取()3,0,1m =-；由00n n ⎧AB⋅=⎪⎨AK ⋅=⎪⎩，得2222223030x y x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，取(3,n =-．于是，3cos ,m n m n m n ⋅==⋅． 所以，二面角D F B-A -考点：1、线面垂直；2、二面角．【方法点睛】解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．9．【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD ，E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（Ⅰ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由； （Ⅱ）若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.E D CB PA【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13.【解析】试题分析：（Ⅰ）探索线面平行，根据是线面平行的判定定理，先证明线线平行，再得线面平行，而这可以利用已知的平行，易得CD∥EB；从而知M为DC和AB的交点；（Ⅱ）求线面角，可以先找到这个角，即作出直线在平面内的射影，再在三角形中解出，也可以利用已知图形中的垂直建立空间直角坐标系，用向量法求出线面角（通过平面的法向量与直线的方向向量的夹角来求得）．（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA AD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA与平面PCE所成的角.在Rt△AEH中，∠AEH=45°，AE=1，所以AH=2.在Rt△PAH中，，所以sin∠APH=AHPH=13.方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.作Ay⊥AD，以A为原点，以AD ,AP的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则A （0,0,0），P （0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)， 所以PE =（1,0,-2），EC =（1,1,0），AP =（0,0,2） 设平面PCE 的法向量为n=(x,y,z)，由0,0,PE EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得20,0,x z x y -=⎧⎨+=⎩ 设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA 与平面PCE 所成角为α，则sin α=||||||n AP nAP ⋅⋅ =13= .所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13. P考点：线线平行、线面平行、向量法.【名师点睛】本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），一种方法可根据定义作出这个角（注意还要证明），然后通过解三角形求出这个角．另一种方法建立空间直角坐标系，用向量法求角，这种方法主要是计算，不需要“作角、证明”，关键是记住相应公式即可．10．【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点.设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则θcos 的最大值为 .【答案】25【解析】建立坐标系如图所示.设1AB =，则11(1,,0),(,0,0)22AF E =.设(0,,1)(01)M y y ≤≤，则1(,,1)2EM y =-，由于异面直线所成角的范围为(0,]2π，所以cos θ==.令81,19y t t +=≤≤，则281161814552y y t t+=≥++-，当1t =时取等号.所以2cos 5θ==≤=，当0y =时，取得最大值.C11. 【2015高考新课标2，理19】如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线AF与平面 所成角的正弦值．A1 AB1BD1DC1CFEHGM12.【2015高考新课标1，理18】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.【解析】（Ⅰ）连接BD ，设BD ∩AC =G ，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB =1，由∠ABC =120°，可得AG =GC 由BE ⊥平面ABCD ，AB =BC 可知，AE =EC ，又∵AE ⊥EC ，∴EG EG ⊥AC ，在Rt△EBG 中，可得BE ，故DF =2.在Rt△FDG 中，可得FG =2在直角梯形BDFE 中，由BD =2，BE ，DF =2可得EF =2，∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ，∵AC ∩FG=G ，∴EG ⊥平面AFC ， ∵EG ⊂面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC .（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由（Ⅰ）可得A （0，0），E )，F （－1,0，2），C （00），∴AE =（1，CF =（-1，），故cos ,3||||AE CF AE CF AE CF ∙<>==-.所以直线AE 与CF 13.【2014高考全国1第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B AB 1⊥.（Ⅰ）证明：1AB AC =;（Ⅱ）若1AC AB ⊥，︒=∠601CBB ,BC AB =,求二面角111C B A A --的余弦值.AA 1B1CC 1【解析】（I ）连接1BC ，交1B C 于O ，连接AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO ⊥．又1B O CO =,故1AB AC =． （II ）因为1AC AB ⊥，且O 为1B C 的中点，所以AO CO =，又因为BC AB =，BOA BOC ∆≅∆．故OA OB ⊥，从而1OA OB OB ，，两两垂直．以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形．又AB BC =,则A ，(1,0,0)B，1B，(0,C ．1(0,)33AB =-,11(1,0,3A B AB ==-, 11(1,,0)3B C BC ==--． 设(,,)n x y z =是平面11AA B 的法向量，则1110,0,n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,330,y z x z -=⎪⎨⎪-=⎪⎩所以可取(1,3,n =．设m 是平面111A B C 的法向量，则11110,0,m A B m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩同理可取(1,m =．则1cos ,7n m n m n m⋅<>==．所以二面角111C B A A --的余弦值为17．14．【2014高考湖北理第19题】如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .（1）当1=λ时，证明：直线//1BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【解析】几何法：（1）证明：如图1，连结1AD ，由1111D C B AABCD -是正方体，知11//AD BC ，当1=λ时，P 是1DD 的中点，又F 是AD 的中点，所以1//AD FP ，所以FP BC //1，而⊂FP 平面EFPQ ，且⊄1BC 平面EFPQ ，故//1BC 平面EFPQ .（3）如图2，连结BD ，因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点，所以BD EF //，且BD EF 21=，又BQ DP =，BQ DP //，所以四边形PQBD 是平行四边形，故BD PQ //，且BD PQ =，从而PQ EF //，且PQ EF 21=，在EBQ Rt ∆和FDP Rt ∆中，因为λ==DP BQ ，1==DF BE ，于是，21λ+==FP EQ ，所以四边形EFPQ 是等腰梯形，同理可证四边形PQMN 是等腰梯形，分别取EF 、PQ 、MN 的中点为H 、O 、G ，连结OH 、OG ，则PQ GO ⊥，PQ HO ⊥，而O HO GO = ，故GOH ∠是平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角的平面角，若存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90=∠GOH ，连结EM 、FN ，则由MN EF //，且MN EF =，知四边形EFNM 是平行四边形，连结GH ，因为H 、G 是EF 、MN 的中点，所以2==ME GH ，在GOH ∆中，42=GH ，21)22(12222+=-+=λλOH ，21)2()22()2(12222+-=--+=λλOG ，由222GH OH OG =+得42121)2(22=+++-λλ，解得221±=λ，故存在221±=λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角.向量法：以D 为原点，射线1,,DD DC DA 分别为z y x ,,轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系xyz D -，由已知得),0,0(),0,0,1(),2,2,0(),0,2,2(1λP F C B ，所以)2,0,2(1-=BC ，),0,1(λ-=，)0,1,1(=，（1）证明：当1=λ时，)1,0,1(-=，因为)2,0,2(1-=BC ，所以BC 21=，即FP BC //1，而⊂FP 平面EFPQ ，且⊄1BC 平面EFPQ ，故直线//1BC 平面EFPQ .【2017年高考命题预测】纵观2016各地高考试题，高考对立体几何的考查，可以发现均以规则几何体为背景，这样建立空间直角坐标系较为容易，考查学生的化归与转化能力、空间想象能力以及基本运算能力. 从高考试题来看，空间向量的坐标及运算，空间向量的应用，重点考查空间向量的应用求夹角、求距离.课本淡化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用的讲解，因此作为立体几何的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度，题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考查，但有时选择题、填空题也涉及，难度中等偏高，从高考试题来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点，题型主要为解答题，难度属于中等，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法解决空间角问题等，同时注重考查学生的空间想象能力、运算能力．立体几何题型一般是一个解答题，1至2个填空或选择题．解答题一般与棱柱和棱锥相关，主要考查线线关系、线面关系和面面关系，其重点是考查空间想象能力和推理运算能力，其解题方法一般都有二种以上，并且一般都能用空间向量来求解．立体几何侧重考查学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力，近几年凡涉及空间向量应用于立体几何的高考试题，都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题.预测2017年高考，可能以锥体为几何背景，第一问以线面平行，面面平行为主要考查点，第二问可能给出一个角，计算角的问题，常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的二面角，这类试题有一定的难度和需要一定的解题技巧，通常要把它们转化为相交直线所成的角；求距离，试题中常见的是点与点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要特别注意解决此类问题的转化方法，有可能求点的位置或设置一个探索性命题，突出考查空间想象能力和逻辑推理能力，以及分析问题、解决问题的能力．复习建议：空间图形中的角与距离，先根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围.异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°.平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变.【2017年高考考点定位】对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题．【考点1】空间向量 【备考知识梳理】 1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量.如位移、速度、力等 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移. 2．向量运算和运算率b a +=+=，b a -=-=，)(R a ∈=λλ加法交换律：.a b b a+=+加法结合律：).()(c b a c b a ++=++数乘分配律：.)(b a b a λλλ+=+说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a 平行于b 记作a ∥b.注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a、b平行时，也具有同样的意义.共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数.②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a ≠0），则有a ∥b （若用此结论判断a 、b所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a）上）.⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a同向，当λ<0时与a反向的所有向量⑶若直线l ∥a，l A ∈，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式. 推论：如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA ta =+ ① 其中向量a叫做直线l 的方向向量在l 上取a=，则①式可化为 .)1(OB t OA t OP +-= ②当21=t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(21OB OA OP += ③ ①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式.4．向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面α平行或a 在α平面内，我们就说向量a平行于平面α，记作a ∥α.注意：向量a∥α与直线a ∥α的联系与区别. 共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量共面向量定理 如果两个向量a 、b 不共线，则向量p与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y ，使.b y a x p+=①注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面.推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使,y x +=④或对空间任一定点O ，有.y x ++=⑤在平面MAB 内，点P 对应的实数对（,x y ）是唯一的.①式叫做平面MAB 的向量表示式 又∵.OM -=.OM -=代入⑤，整理得.)1(y x y x ++--= ⑥由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、MB （或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件5．空间向量基本定理：如果三个向量a 、b 、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使.c z b y a x p++=说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a 、b 、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{}R z y x c z b y a x p p ∈++=、、,|，这个集合可看作由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于0可视为与任意非零向量共线.与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0 .推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x 、、，使.z y x ++=6．数量积（1）夹角：已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点O ，作a=，b =，则角∠AOB 叫做向量a与b的夹角，记作〉〈b a，说明：⑴规定0≤〉〈b a ，≤π,因而〉〈b a，=〉〈a b ，； ⑵如果〉〈b a ，=2π，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b；⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同， 图（3）中∠AOB =〉〈,， 图（4）中∠AOB =-π〉〈,,从而有〉〈-OB OA ,=〉-〈OB OA ,=-π〉〈OB OA ,.（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模.（3）向量的数量积：〉〈b a b a ,cos 叫做向量a 、b的数量积，记作b a ⋅.即b a ⋅=〉〈b a b a ,cos ，向量AB 方向上的正射影在e:B A e a AB ea ''=〉〈=⋅,cos ||（4）性质与运算率⑴〉〈=⋅e a e a ,cos ，⑵a ⊥b ⇔b a ⋅=0，⑶2||.a a a =⋅（4）()()a b a b λλ⋅=⋅，（5）b a⋅=b a ⋅，（6）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅7．空间向量的坐标表示及运算 (1)数量积的坐标运算设()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则①()112233,,a b a b a b a b ±=+++； ②()123,,a a a a λλλλ=；③112233a b a b a b a b ⋅=++. (2)共线与垂直的坐标表示设()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则112233,,a b a b a b a b a b λλλλ⇔=⇔===，11223300a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔++= (,a b 均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则22a a a ==+2cos ,a b a b a ba ⋅〈〉==⋅+.设()()111222,,,,,A a b c B a b c ，则(AB d AB a ==【规律方法技巧】1．将四点共面问题，转化为三个向量共面问题，利用共面向量定理来解决． 2．利用向量共线说明两线平行时注意说明四点不共线，否则不一定正确． 3. 立体几何中的向量方法(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定①直线的方向向量：l 是空间一直线，,A B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．②平面的法向量可利用方程组求出：设,a b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量。

1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2.会简单应用空间两点间的距离公式3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直热点题型一 空间向量的运算例1、如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点。

(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求x 、y 、z 的值。

【解析】(1)∵AB →＋AD →＝AC →，∴A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－12AC →＝A 1O →－AO →＝A 1A →。

(2)∵EO →＝ED →＋DO →＝23D 1D →＋12DB →＝23D 1D →＋12(DA →＋AB →)＝23A 1A →＋12DA →＋12AB → ＝12AB →－12AD →－23AA 1→， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23。

【提分秘籍】 空间向量的表示方法用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来。

【举一反三】如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c【解析】B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝A 1A →＋12(B 1A 1→＋A 1D 1→)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c 。