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a
与a无关。
定义： Q / 0 =带宽/中心频率
t 为小波 (t )的品质因数，对 ( ) ，其
/ a 带宽/中心频率＝ / a / 0 Q 0
a
第9章 小波变换基础
第9章 小波变换基础
不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间 中心和频率中心的关系
分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中
心频率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自
动满足这些客观实际的需要。
第9章 小波变换基础
用较小的a对信号作高频分析时，实际上是用高 频小波对信号作细致观察，用较大的a对信号作低 频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观 察。小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分 析时的规律，也符合人们的视觉特点。
WTx (a, b)第9章 小波变换基础
微分性质
如果x(t)的CWT是 WTx (a, b) ，令 y (t ) dt x(t ) ， 则 WTy ( a, b) WTx ( a, b) b （9.3.3） 1 dx(t ) t b 证明： WT y (a, b) a dt ( a )dt
WTx (a, b)
a,b
给定一个基本函数，令
x(t ) (t )dt x(t ), a ,b (t )
1 t b x ( t ) ( )dt a a
（9.1.2）
第9章 小波变换基础
信号x(t )的小波变换 WT (a, b) 是a和b的函数， x
t / 2
(a 1/ 2) 2 0 (a 1)
2
t
2 t
0
/ 2
(a 2) 0 / 2
图9.2.2 a取不同值时小波变换对信号分析的时－频区间
第9章 小波变换基础
小波变换的时域及频率分辨率
由于小波变换的恒Q性质，因此在不同尺度下，图9.2.2
y(t ) x(t ) h(t )
则
WT y (a, b) x(t ) WTh (a, b)
b
h(t ) WT x (a, b)
（9.3.4) 式中符号 表示对变量b作卷积。
b
b
第9章 小波变换基础
两个信号和的CWT
令 x1 (t ), x2 (t )的CWT分别是WTx1(a, b),WTx 2 (a, b) ， 且 x(t ) x1(t ) x2 (t )，则
1 x(t ) c
0
a
2
WT x (a, b) a,b (t )dadb
(9.4.1)
第9章 小波变换基础
容许条件含的多层的意思：
(t ) L2 ( R)都可以充当小波。其可以 并不是时域的任一函数
作为小波的必要条件 是其傅里叶变换满足该容许条件； 由（9.3.9）式可知，若 c ，则必有 (0) 0 ，否则 c必 趋于无穷。这等效地告诉我们，小波函数 (t ) 必然是带通 函数； 由于 () 0 0，因此必有 (9.4.2) (t ) 的取值必然是有正有负，也即它是振 这一结论指出， 荡的。
半平面上WTx (a, ) 的总贡献。因此这些点上的值是相关
的，也即（9.4.1）式对 x(t )的重建是存在信息冗余
的。这一结论告诉我们可以用( a, b)平面上离散栅格上
的WTx (a, b)来重建 x(t )，以消除重建过程中的信息冗
余。
第9章 小波变换基础
若a,b连续取值，要想找到这样的母小波 (t ) 使
a ,b ()
a (a)e jb
（9.1.3）
由Parsevals定理，（9.1.2）式可重新表为：
1 WTx ( a, b) X (), a , b () 2
2 此式即为小波变换的频域表达式。 a
X () ( a)e jb d （9.1.4）
b是时移，a是尺度因子。
(t ) 又称为基本小波，或母小波。 a,b (t )是母 小波经移位和伸缩所产生的一族函数，称之为
小波基函数，或简称小波基。
式中,b的作用是确定对x(t)分析的时间位置，
也即时间中心。尺度因子a的作用是把基本小 波1 (t ) a a , b (t ) 作伸缩。
WTy (a, b)
1
WTx (a, b)
令 t t
(9.3.2)
t b 1 ) dt a
a
x ( t ) (
t b 1 )dt WT x ( a, b) a
该性质指出，当信号的时间轴按 作伸缩时，其小波变换在a 和b两个轴上同时要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不 变。这是小波变换优点的又一体现。
WTx ( a, b t ) WTx ( a, b) 由移位性质有：WTy (a, b) Lim t 0 t 即 WTy ( a, b) WTx ( a, b) b
第9章 小波变换基础
两个信号卷积的CWT
如果x(t),h(t)的CWT分别是WTx (a, b) 及WTh (a, b) ,令
1 WT y (a, b) a
1 a
若 x(t ) 的CWT是 WTx (a, b) ,那么 x(t ) 的CWT
t b x(t ) ( a )dt
t (b ) )dt a
x ( t ) (
WT x (a, b )
(9.3.1)
(t ) 式中的因子
是为了保证在不同的尺度时，
母函数有着相同的能量，即
始终能和
第9章 小波变换基础
2 1 t b a ,b (t ) dt a ( a ) dt (t ) dt
2 2
令的傅里叶变换为，的傅里叶变换为，由傅里叶变换的
性质，的傅里叶变换为： 1 tb a , b (t ) ( ) a a
(t )dt 0
第9章 小波变换基础
小波的函数所应具有的大致特征：是 (t )一带通函
数，它的时域波形应是振荡的；从时－频定位的角
度，我们总希望 (t ) 是有限支撑的，因此它应是快速
衰减的。
小波函数总结：
• 1.由上述讨论， (t )自然应和一般的窗函数一样满
足：
(t ) dt
WTx (a, b) WTx1(a, b) WTx 2 (a, b)
（9.3.5a）
同理，如果 x(t ) k1x1(t ) k2 x2 (t )，则
WTx (a, b) k1WTx1(a, b) k2WTx 2 (a, b) （9.3.5b）
即两个信号和的CWT等于各自CWT的和，也即小波变换满足 叠加原理。
第9章 小波变换基础
综上所述，由于小波变换具有恒Q性质及自动调
节对信号分析的时宽/带宽等一系列突出优点，因此
被人们称为信号分析的“数学显微镜”。小波变换
是 八十年代后期发展起来的应用数学分支。
第9章 小波变换基础
9.3
时移性质
连续小波变换的计算性质
是WT x (a, b ) 。记 y(t ) x(t ) ，
（9.4.3）
第9章 小波变换基础
重建核
9.5重建核与重建核方程
设 (a0 , b0 )是平面( a, b)上的任一点， ( a, b)上
定理9.3
的二维函数 WTx (a, b) 欲是某一函数的小波变换的充要
条件是它必须满足如下的重建核方程，即
WTx (a0 , b0 ) a
0 2
a,b (t ) 两两正交，那将是非常困难地。因此，连续
小波变换的 WTx (a, b) 必然存在信息冗余。然而，当
a,b离散取值时，则有可能得到一族正交小波基 a,b (t )
第9章 小波变换基础
9.6小波的分类
• 第一类:是所谓地“经典小波”， 在MATLAB中又称作“原始 （Crude）小波”。 • 第二类：是Daubecheis构造的 正交小波 • 第三类：是由Cohen， Daubechies构造的双正交小波
第9章 小波变换基础
小波变换的恒Q性
9.2 小波变换的特点
a , b (t ) 在 由小波变换的两个定义可以看出，如果 时域是有限支撑的，那么它和 x(t ) 作内积后将保证 在时域也是有限支撑的，从而实现所希望的时域定位 功能，也即WTx (a, b)反映的是 x(t ) 在b附近的性质； 若 a,b (t ) 具有带通性质，即 a,b () 围绕着中心频率 是有限支撑的，那么 a,b (t )和 X () 作内积后也将 反映在中频率处的局部性质，而实现好的频率定 位性质。
dx (t )
1 x(t t ) x(t ) t b Lim ( )dt t 0 t a a 1 1 1 t b t b Lim x ( t t ) ( ) dt x ( t ) ( ) dt t 0 t a a a a
第9章 小波变换基础
公式说明：
若WTx (a, b) 是 x(t )的小波变换，那么在平面 ( a, b) 上
某一点(a0 , b0 ) 处小波变换的值 WTx (a0 , b0 ) 可由半平面
(a R , b R)上的值WTx (a, b) 来表示，也即， WTx (a0 , b0 ) 是
第9章 小波变换基础
尺度转换性质
如果x(t)的CWT是WTx ( a, b)，令 y (t ) x( t ) ，则 证明:
则
t b 1 WT y ( a, b) x( t ) ( )dt a a
