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第9章小波变换基础

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信号第5章小波变换分析

信号第5章小波变换分析

2) 窗口中心 时窗中心
t*
1
|| a,b (t)
||2
t
| a,b (t)
|2
dt
at0
b
t0 为 a 1 , b 0 之时窗中心
频窗中心
*
1
||ˆa,b () ||2
|ˆa,b ()
|2
d
0
a
0 为 a 1 , b 0 之频窗中心
11
3) 窗口宽度
时窗宽度
t a, b
1
|| a,b(t) ||2
离散小波变换
34
1. 引言
✓CWT 的冗余性不适合图像压缩、数值计算。
✓从不可列的具有相关性的函数空间中抽取可 列个函数来构造函数空间中的一个基，理想 的情况下构成一个正交基。
✓研究将参数a，b按一定的方法离散，但要 保证用离散后的小波及函数对信号展开后， 信息不丢失。 ✓但寻找具有光滑性、对称性、局域性的离 散正交基困难 ，于是发展出非正交的 DWT 理论——框架理论。
连续小波变换的基本概念 小波变换的性质 小波分类和常见的小波
离散小波变换
18
1 线性叠加性
if f (t) s(t) g(t)
Wf (t) (a, b) Ws(t) (a, b) Wg(t) (a, b)
where 、为常数
2 时移不变性
if x(t) s(t )
Wx(t) (a, b) Ws(t) (a, b) Ws(t) (a, b )
19
3 尺度伸缩性
if x(t) s(t)
Wx(t) (a, b) Ws(t) (a, b)
1
Ws(t )
( a, b)
当信号在时间轴上按 作伸缩时，其小波变换在

现代数字信号处理

现代数字信号处理

无线信道的估计、均衡与信道分配
4/5G移动通信中的多用户检测和智能天线 软件无线电技术


加密、认证
网络信号处理
4.3 信号处理发展趋势
随机信号 处理
统计信号 处理
确定性信号处理 Deterministic Signal processing
Statistical SP
技术分类
统 计 过 程 分 析
3.2 主要方法 (2/4)

基于模型的方法 信号产生过程的参数模型 分析: 线性预测 参数谱估计 滤波: 最优线性滤波器 维纳滤波器，卡尔曼滤波器 自适应滤波器
3.3 主要方法 (3/4)

统计信号处理方法 信号统计模型 贝叶斯估计 分析: 参数估计 隐马尔科夫模型 滤波: MAP, ML, LS
现代信号处理
教材事项
教材：
① 《现代数字信号处理》 姚天任等编，华中科技大学出 版社 ② 《现代数字信号处理》王炳和 西安电子科技大学出版 社 参考书： ①张贤达，现代信号处理，北京：清华大学出版社， 2002年10月。 ②Mitra，数字信号处理，北京：清华大学出版社， 2001年9月（影印版）。 ③胡广书，现代信号处理教程，北京：清华大学出版社， 2004年11月。 ④皇甫堪等，现代数字信号处理，北京：电子工业出版 社，2004年6月。

4.1 信号处理与现代通信
新的信号处理方法：

高阶统计量方法 盲信号处理方法 小波变换 神经网络信号处理方法 量子信号处理方法
4.2 信号处理与现代通信

信号处理在现代通信中的应用： 接入网的宽带化－ADSL

CDMA 语音、图像和视频信息的压缩与传输，分发，转码

基于脊波变换的图像去噪研究

基于脊波变换的图像去噪研究

毕业设计题目：基于脊波变换的图像去噪研究所在专业：电子信息科学与技术学生签字: _______________导师签字: _______________摘要图像中的噪声影响图像的输入、采集、处理的各个环节以及输出的全过程，尤其是图像输入、采集中的噪声必然影响处理全过程以至最终结果，因此在图像预处理中必须减少图像中的噪声。

本文以脊波变换为研究对象，论述了脊波变换在图像处理中的应用。

分别论述了小波变换和脊波变换基本理论，基于脊波变换的图像去噪以及图像融合。

首先，在分析小波变换理论的基础上，结合小波变换的优缺点，为了克服小波变换在图像处理中的不足，介绍了脊波变换的基本理论。

其次，针对图像去噪中常用阈值方法的缺点和不足，提出了一种基于脊波变换的改进的图像去噪算法，该算法采用指数型阈值函数，利用sureshrink自适应阈值。

最后，将脊波变换的思想应用于图像融合，采用区域方差的融合规则，得到了一种基于有限脊波变换的图像融合算法。

实验结果表明，基于脊波变换的图像去噪和融合方法具有比小波变换更好的效果。

关键词：脊波变换小波变换图像去噪图像融合ABSTRACTThe image of the noise impact of the input, collecting, processing, output of the whole process, especially the image of the input, sources of noise is dealt with and influence the whole process and ultimate in image preprocessing, so we must reduce the noises in the imageThis paper deals with Ridelet Transform in processing, which involves the basic theory of Wavelet Transform and Ridelet Transform, finite Ridelet transform in image denoising and in image fusion. Firstly, depending on transform, for basic theory of Ridelet transform. Secondly, a improvement of image denoising algorithm based Ridelet transform is presented to overcome the disadvantage and deficiency of the common threshold method at image denoising. The exponential threshold function and the adaptive SureShrink threshold value are applied into this approach. Thirdly, Ridelet transform is applied in image fusion, adopted the fusion rule of regional variance, an image fusion algorithm based on finite Ridelet transform has appeared. The results of experiment indicate based on Ridelet gain better effects than wavelet transform.Key words：Ridelet transform wavelet transform Image Denoising Image Fusion目录摘要 (I)ABSTRACT (III)第1章绪论 (3)1.1 图像中的噪声及去噪方法概述 (3)1.1.1 图像中的噪声 (3)1.1.2 图像去噪方法概述 (4)1.2 小波的发展现状及应用前景 (4)1.3 脊波的发展现状及应用前景 (5)1.4 论文的研究内容与组织结构 (6)第2章图像去噪及其发展 (7)2.1 传统去噪方法 (7)2.2 小波变换图像去噪方法 (7)2.2.1 小波去噪发展历程 (7)2.2.2 小波去噪方法 (8)2.3 本章小结 (10)第3章小波分析基本理论 (11)3.1 小波变换基本理论 (11)3.1.1 连续小波变换 (11)3.1.2 离散小波变换 (12)3.1.3 二进小波变换 (12)3.1.4 多分辨分析 (12)3.1.5 Mallat算法 (13)3.1.6 图像的小波变换 (14)3.2 本章小结 (18)第4章脊波变换 (19)4.1 脊波变换基本理论 (19)4.1.1 连续脊波变换 (19)4.1.2 离散脊波变换 (20)4.2 脊波变换的实现 (20)4.3 Ridgelet变换与Wavelet变换的联系 (21)4.4 有限Radon变换 (23)4.5 数字脊波变换 (25)4.5.1 脊波变换的数字实现 (26)4.6 本章小结 (26)第5章脊波图像去噪 (27)5.1 基于软硬折中的多阈值脊波图像去噪 (27)5.1.1 脊波变换图像去噪机理 (27)5.1.2 图像奇异性 (27)5.1.3 常用的阈值处理方法 (28)5.1.4 改进的阈值处理方法一软硬阈值折中法 (28)5.1.5 多阈值的确定 (29)5.1.6 基于软硬折中的多阈值脊波去噪算法 (30)5.2 实验结果与分析 (30)5.3 本章小结 (35)结论 (36)参考文献 (37)致谢 (39)附录 (40)第1章绪论1.1 图像中的噪声及去噪方法概述1.1.1 图像中的噪声噪声是图象干扰的重要原因。

小波变换在图像处理中的应用毕业论文

小波变换在图像处理中的应用毕业论文
3.4.2实现融合的算法流程.............................................13
结论.......................................................................15
参考文献...................................................................16
cl是x的小波分解结构则perf0100小波分解系数里值为0的系数个数全部小波分解系数个数perfl2100cxc向量的范数c向量的范数华侨大学厦门工学院毕业设计论文首先对图像进行2层小波分解并通过ddencmp函数获取全局阈值对阈值进行处理而后用wdencmp函数压缩处理对所有的高频系数进行同样的阈值量化处理最后显示压缩后的图像并与原始图像比较同时在显示相关的压缩参数
3.2.2实现增强的算法流程............................................10
3.3小波包图像去噪......................................................10
3.3.1实现去噪的主要函数............................................11
指导教师签名：
日期：
华侨大学厦门工学院毕业设计（论文）
小波变换在图像处理中的应用
摘要
近年来小波变换技术已广泛地应用于图像处理中。小波分析的基本理论包括小波包分析、连续小波变换、离散小波变换。小波变换是一种新的多分辨分析的方法，具有多分辨率和时频局部化的特性，
可以同时进行时域和频域分析。
因此不但能对图像提供较精确的时域定位,也能提供较精确的频域定

小波变换分类 -回复

小波变换分类 -回复

小波变换分类-回复什么是小波变换？小波变换是一种数学方法，用于处理信号与图像的分析与处理。

它以时间频率双尺度分析为基础，适用于处理非平稳信号，如噪声、震荡等变化频率的信号。

小波变换的理论基础源于数学分析中的波动理论，通过将信号与一组基函数（小波）进行卷积运算得到信号在不同尺度下的时频信息。

为什么需要小波变换？在许多实际应用中，信号往往是非平稳的，其频率成分随着时间变化。

传统的傅里叶变换仅适用于平稳信号，无法准确捕捉非平稳信号的时频特征。

而小波变换可以在不同尺度上对信号进行分解与重构，可以提供信号的时频局部信息，更加适用于复杂信号的分析。

小波变换的基本原理是什么？小波变换的基本原理是将原始信号通过一组小波基函数进行分解与重构。

小波基函数是一组满足正交性与紧支性条件的函数。

小波变换的过程可以分为两步：分解和重构。

在分解过程中，原始信号经过低频通道和高频通道滤波得到不同尺度的近似信号和细节信号。

重构过程则是通过将不同尺度的近似信号和细节信号进行逆滤波和下采样操作，将分解得到的信号重构为原始信号。

小波变换有哪些常用的类型？小波函数有多种类型，常见的有莫尔小波、哈尔小波、Daubachies小波等。

不同类型的小波函数在时频描述能力、变换性质等方面具有不同的特点。

选择合适的小波函数可以更好地适应不同信号的特征。

此外，小波变换还可以根据其变换的特性分类，主要包括连续小波变换和离散小波变换。

连续小波变换适用于连续信号的处理，而离散小波变换则适用于离散信号的处理。

小波变换有哪些应用领域？小波变换广泛应用于信号与图像处理的各个领域。

在信号处理中，小波变换可以用于信号的降噪、压缩、边缘检测等。

在图像处理中，小波变换可以用于纹理特征提取、图像压缩、图像增强等。

此外，小波变换还可以应用于机器学习、语音处理、医学图像等领域。

小波变换有哪些优点和局限性？小波变换具有多尺度分析、时频局部化、适应非平稳信号等优点。

它可以提供更丰富的时频信息，并且可以通过选择不同的小波函数来适应不同类型的信号。

《数字图像处理》教学大纲

《数字图像处理》教学大纲

《数字图像处理》教学大纲
一、课程简介
数字图像处理是机器视觉、模式识别、医学图像处理等的基础，本课程为工程专业的学生提供数字图像处理的基本知识，是理论性和实践性都很强的综合性课程。

课程内容广泛涵盖了数字图像处理的基本原理，包括图像采样和量化、图像算术运算和逻辑运算、直方图、图像色彩空间、图像分割、图像形态学、图像频域处理、图像分割、图像降噪与图像复原、特征提取与识别等。

二、课程目标
通过本课程学习，学生可以掌握数字图像处理的基本方法，具备一定的解决图像处理应用问题的能力，培养解决复杂工程问题的能力。

具体目标如下：
1.掌握数字图像处理的基本原理、计算方法，能够利用专业知识并通过查阅资
料掌握理解相关新技术，对检测系统及处理流程进行创新性设计；
2.能够知晓工程领域中涉及到的数字图像处理技术，理解其适用场合、检测对
象及条件的限制，能根据给定的目标要求，针对工业检测中的工程问题选择和使用合适的技术和编程，进行仿真和分析；
3.能够知晓工程领域中所涉及的现代工具适用原理及方法，根据原理分析和仿
真结果，进行方案比选，确定设计方案，具有检测算法的设计能力；
4.通过校内外资源和现代信息技术，了解数字图像处理发展趋势，提高解决复
杂工程问题的能力。

三、课程目标对毕业要求的支撑关系
四、理论教学内容及要求
四、实验教学内容及要求
五、课程考核与成绩评定
六、教材及参考书。

复变函数第1章


于是
z1z2 r1 r2 z1 z2 ,
Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2. 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两 个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
应该注意的是 Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2 中的 加法是集合的加法运算：即将两个集合中所有的
元素相加构成的集合
(3 4) (4 3)i 7 1 i.
2
22
z1 7 1 i. z2 2 2
例 1.2 i1 i, i2 1, i3 i i2 i, i4 i 2 i 2 1, ……
i 4n 1, i4n1 i, i4n2 1, i4n3 i, i4n4 1.
例1.3 设z1, z2是两个复数, 证明
z1 z1 , z2 z2
Arg
z1 z2
Argz1
Argz2
.
两个复数商的模等于它们模的商差.
对给定的复数z, 方程wn=z的解w称为z的n次
方根, 记做
n
z
或
1
zn.
如果
z r(cosq i sinq ), w (cos i sin ),
y .
x
利用直角坐标与极坐标之间的关系
x r cosq , y r sinq ,
复数z=x+yi 可表示为 z r(cosq i sinq ), 称为复
数z的三角表示式. 再利用Euler公式
eiq cosq i sinq ,
复数z=x+yi 又可表示为 z reiq , 称为复数的
指数表示式, 其中r=|z|, q=Argz.
z1 z2 z1z2 2 Re z1 z2 .
证明 因为
z1 z2 z1 z2 z1z2 , 所以由运算规律7，有

《多媒体技术基础》第3版 答案

1《多媒体技术基础》第3版练习与思考题参考答案林福宗清华大学计算机科学与技术系2008-2-15linfz@第1章多媒体技术概要1.4 无损压缩是什么？无损压缩是用压缩后的数据进行重构(也称还原或解压缩)，重构后的数据与原来的数据完全相同的数据压缩技术。

无损压缩用于要求重构的数据与原始数据完全一致的应用，如磁盘文件压缩就是一个应用实例。

根据当前的技术水平，无损压缩算法可把普通文件的数据压缩到原来的1/2～1/4。

常用的无损压缩算法包括哈夫曼编码和LZW等算法。

1.5 有损压缩是什么？有损压缩是用压缩后的数据进行重构，重构后的数据与原来的数据有所不同，但不影响人对原始资料表达的信息造成误解的数据压缩技术。

有损压缩适用于重构数据不一定非要和原始数据完全相同的应用。

例如，图像、视像和声音数据就可采用有损压缩，因为它们包含的数据往往多于我们的视觉系统和听觉系统所能感受的信息，丢掉一些数据而不至于对图像、视像或声音所表达的意思产生误解。

第2章无损数据压缩2.4 现有5个待编码的符号，它们的概率见练习表2-2。

计算该符号集的：(1) 熵；(2)霍夫曼码；(3) 平均码长。

(1) 熵Σ =-0.4×(0.4)-2×0.2*(0.2)-2×0.1(0.1) 2log2log2log 21()()log()niii Hapapa==−=0.4×1.3219+0.4×2.3219+0.2×3.3219=0.5288+-0.9288+0.6644=2.1220 (位) (2) 编码树和霍夫曼码练习图2-1 编码树代码分配不唯一(3) 平均码长L=0.4+0.4+0.6+0.4+.04=2.2(位/符号)第3章数字声音编码3.1 音频信号的频率范围大约多少？话音信号频率范围大约多少？(1) Audio: 20~20000 Hz(2) Speech: 300~3400 Hz3.4 采样频率根据什么原则来确定？奈奎斯特理论和声音信号本身的最高频率。

四层小波变换

四层小波变换
摘要：
一、引言
二、小波变换的基本概念
三、四层小波变换的原理
四、四层小波变换的应用领域
五、总结
正文：
一、引言
小波变换是一种在时频域上同时进行的信号分析方法，广泛应用于图像处理、语音处理、信号分析等领域。

四层小波变换是小波变换的一种重要形式，具有较高的信号分析能力和应用价值。

二、小波变换的基本概念
小波变换是一种基于小波基函数的信号分析方法，其基本思想是将信号分解成一系列小波基函数的线性组合，从而得到信号的频域表示。

小波基函数是一种具有局部特性的函数，能够有效地反映信号的局部特征，因此小波变换具有较高的时频分析能力。

三、四层小波变换的原理
四层小波变换是一种基于四层小波基函数的信号分析方法，其原理是将信号分解成一系列四层小波基函数的线性组合。

四层小波基函数是一种具有四层结构的小波基函数，能够更加细致地反映信号的局部特征，因此四层小波变换
具有更高的时频分析能力和信号重构能力。

四、四层小波变换的应用领域
四层小波变换在图像处理、语音处理、信号分析等领域都具有广泛的应用。

例如，在图像处理领域，四层小波变换可以用于图像的压缩、去噪、边缘检测等任务；在语音处理领域，四层小波变换可以用于语音的压缩、去噪、语音识别等任务；在信号分析领域，四层小波变换可以用于信号的时频分析、去噪、特征提取等任务。

五、总结
四层小波变换是一种具有较高信号分析能力和应用价值的信号分析方法，广泛应用于图像处理、语音处理、信号分析等领域。

工程振动测试技术09第9章基本振动参数常用的测量方法课件


由(a)、(b)两式解得：
n 2
(
f
2 v
f
2 x
)
由(b)、(c)两式解得：
应注意的问题
n 2fv
fa
(
f
2 a
f
2 v
)
当衰减系数n比较小时，fx、fv、fa 各值相差很
小，测量结果误差较大。
应用精确的频率测量仪器，使测量共振频率的
有效数字尽可能精确。
9.5.3 半功率点法 振动理论曾导出强迫振动的振幅表达式：
由于
fd
f
2 n
(

n 2
)2
是自由衰减振动法得到
的系统振动频率，略小于实际的固有频率。
优点：方法比较简便；
缺点：振动波形衰减太快。
9.2.2 强迫振动法 利用共振的特点来测量机械系统的固有频
率的方法称为强迫振动法，也叫共振法。 1. 调节转速法
速械发和系生固统共有的振频固时率有的频的转率关速系。ncf叫n 做6n临0c 界转，速就，可根以据计临算界出转机
c、计算与显示系统 主要功能：由平均值检波器和直流放大器输出脉冲 的平均值，使输出的直流电压与输入信号间的相位 差成正比关系，然后通过表头显示出来。
2、数字式相位计 数字式相位计的整形电路、相位差检测器的工作
原理同模拟式相位计测量系统的工作原理相同。
数字式相位计的工作原理框图
由于整形电路、相位差检测器 输出的信号如图（c）所示，
sin x
pnt
F0 x m
sin sin
pnt pnt
F0 x m
因此，只要测量发生速度共振时的速度幅值和激
振力幅值，即可通过此式计算出阻尼。
9.6 振型曲线的测量
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a
与a无关。
定义： Q / 0 =带宽/中心频率
t 为小波 (t )的品质因数，对 ( ) ，其
/ a 带宽/中心频率＝ / a / 0 Q 0
a
第9章 小波变换基础
第9章 小波变换基础
不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间 中心和频率中心的关系
分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中
心频率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自
动满足这些客观实际的需要。
第9章 小波变换基础
用较小的a对信号作高频分析时，实际上是用高 频小波对信号作细致观察，用较大的a对信号作低 频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观 察。小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分 析时的规律，也符合人们的视觉特点。
WTx (a, b)第9章 小波变换基础
微分性质
如果x(t)的CWT是 WTx (a, b) ，令 y (t ) dt x(t ) ， 则 WTy ( a, b) WTx ( a, b) b （9.3.3） 1 dx(t ) t b 证明： WT y (a, b) a dt ( a )dt
WTx (a, b)
a,b
给定一个基本函数，令
x(t ) (t )dt x(t ), a ,b (t )
1 t b x ( t ) ( )dt a a
（9.1.2）
第9章 小波变换基础
信号x(t )的小波变换 WT (a, b) 是a和b的函数， x
t / 2
(a 1/ 2) 2 0 (a 1)
2
t
2 t
0

/ 2
(a 2) 0 / 2
图9.2.2 a取不同值时小波变换对信号分析的时－频区间
第9章 小波变换基础
小波变换的时域及频率分辨率
由于小波变换的恒Q性质，因此在不同尺度下，图9.2.2
y(t ) x(t ) h(t )
则
WT y (a, b) x(t ) WTh (a, b)
b
h(t ) WT x (a, b)
（9.3.4) 式中符号 表示对变量b作卷积。
b
b
第9章 小波变换基础
两个信号和的CWT
令 x1 (t ), x2 (t )的CWT分别是WTx1(a, b),WTx 2 (a, b) ， 且 x(t ) x1(t ) x2 (t )，则
1 x(t ) c


0
a
2



WT x (a, b) a,b (t )dadb
(9.4.1)
第9章 小波变换基础
容许条件含的多层的意思：
(t ) L2 ( R)都可以充当小波。其可以 并不是时域的任一函数
作为小波的必要条件 是其傅里叶变换满足该容许条件； 由（9.3.9）式可知，若 c ，则必有 (0) 0 ，否则 c必 趋于无穷。这等效地告诉我们，小波函数 (t ) 必然是带通 函数； 由于 () 0 0，因此必有 (9.4.2) (t ) 的取值必然是有正有负，也即它是振 这一结论指出， 荡的。
半平面上WTx (a, ) 的总贡献。因此这些点上的值是相关
的，也即（9.4.1）式对 x(t )的重建是存在信息冗余
的。这一结论告诉我们可以用( a, b)平面上离散栅格上
的WTx (a, b)来重建 x(t )，以消除重建过程中的信息冗
余。
第9章 小波变换基础
若a,b连续取值，要想找到这样的母小波 (t ) 使

a ,b ()
a (a)e jb
（9.1.3）
由Parsevals定理，（9.1.2）式可重新表为：
1 WTx ( a, b) X (), a , b () 2
2 此式即为小波变换的频域表达式。 a

X () ( a)e jb d （9.1.4）
b是时移，a是尺度因子。
(t ) 又称为基本小波，或母小波。 a,b (t )是母 小波经移位和伸缩所产生的一族函数，称之为
小波基函数，或简称小波基。
式中,b的作用是确定对x(t)分析的时间位置，
也即时间中心。尺度因子a的作用是把基本小 波1 (t ) a a , b (t ) 作伸缩。
WTy (a, b)
1
WTx (a, b)
令 t t
(9.3.2)
t b 1 ) dt a

a
x ( t ) (
t b 1 )dt WT x ( a, b) a
该性质指出，当信号的时间轴按 作伸缩时，其小波变换在a 和b两个轴上同时要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不 变。这是小波变换优点的又一体现。
WTx ( a, b t ) WTx ( a, b) 由移位性质有：WTy (a, b) Lim t 0 t 即 WTy ( a, b) WTx ( a, b) b
第9章 小波变换基础
两个信号卷积的CWT
如果x(t),h(t)的CWT分别是WTx (a, b) 及WTh (a, b) ,令
1 WT y (a, b) a
1 a

若 x(t ) 的CWT是 WTx (a, b) ,那么 x(t ) 的CWT
t b x(t ) ( a )dt
t (b ) )dt a
x ( t ) (
WT x (a, b )
(9.3.1)
(t ) 式中的因子
是为了保证在不同的尺度时，
母函数有着相同的能量，即
始终能和
第9章 小波变换基础
2 1 t b a ,b (t ) dt a ( a ) dt (t ) dt
2 2


令的傅里叶变换为，的傅里叶变换为，由傅里叶变换的
性质，的傅里叶变换为： 1 tb a , b (t ) ( ) a a
(t )dt 0
第9章 小波变换基础
小波的函数所应具有的大致特征：是 (t )一带通函
数，它的时域波形应是振荡的；从时－频定位的角
度，我们总希望 (t ) 是有限支撑的，因此它应是快速
衰减的。
小波函数总结：
• 1.由上述讨论， (t )自然应和一般的窗函数一样满
足：
(t ) dt
WTx (a, b) WTx1(a, b) WTx 2 (a, b)
（9.3.5a）
同理，如果 x(t ) k1x1(t ) k2 x2 (t )，则
WTx (a, b) k1WTx1(a, b) k2WTx 2 (a, b) （9.3.5b）
即两个信号和的CWT等于各自CWT的和，也即小波变换满足 叠加原理。
第9章 小波变换基础
综上所述，由于小波变换具有恒Q性质及自动调
节对信号分析的时宽/带宽等一系列突出优点，因此
被人们称为信号分析的“数学显微镜”。小波变换
是 八十年代后期发展起来的应用数学分支。
第9章 小波变换基础
9.3
时移性质
连续小波变换的计算性质
是WT x (a, b ) 。记 y(t ) x(t ) ，
（9.4.3）
第9章 小波变换基础
重建核
9.5重建核与重建核方程
设 (a0 , b0 )是平面( a, b)上的任一点， ( a, b)上
定理9.3
的二维函数 WTx (a, b) 欲是某一函数的小波变换的充要
条件是它必须满足如下的重建核方程，即
WTx (a0 , b0 ) a
0 2
a,b (t ) 两两正交，那将是非常困难地。因此，连续
小波变换的 WTx (a, b) 必然存在信息冗余。然而，当
a,b离散取值时，则有可能得到一族正交小波基 a,b (t )
第9章 小波变换基础
9.6小波的分类
• 第一类:是所谓地“经典小波”， 在MATLAB中又称作“原始 （Crude）小波”。 • 第二类：是Daubecheis构造的 正交小波 • 第三类：是由Cohen， Daubechies构造的双正交小波
第9章 小波变换基础
小波变换的恒Q性

9.2 小波变换的特点
a , b (t ) 在 由小波变换的两个定义可以看出，如果 时域是有限支撑的，那么它和 x(t ) 作内积后将保证 在时域也是有限支撑的，从而实现所希望的时域定位 功能，也即WTx (a, b)反映的是 x(t ) 在b附近的性质； 若 a,b (t ) 具有带通性质，即 a,b () 围绕着中心频率 是有限支撑的，那么 a,b (t )和 X () 作内积后也将 反映在中频率处的局部性质，而实现好的频率定 位性质。
dx (t )
1 x(t t ) x(t ) t b Lim ( )dt t 0 t a a 1 1 1 t b t b Lim x ( t t ) ( ) dt x ( t ) ( ) dt t 0 t a a a a
第9章 小波变换基础
公式说明：
若WTx (a, b) 是 x(t )的小波变换，那么在平面 ( a, b) 上
某一点(a0 , b0 ) 处小波变换的值 WTx (a0 , b0 ) 可由半平面
(a R , b R)上的值WTx (a, b) 来表示，也即， WTx (a0 , b0 ) 是
第9章 小波变换基础
尺度转换性质
如果x(t)的CWT是WTx ( a, b)，令 y (t ) x( t ) ，则 证明:
则
t b 1 WT y ( a, b) x( t ) ( )dt a a