高三普通班开学考试数学试题（理）
第Ⅰ卷 选择题（满分60分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合{}{}
03,21,x A x x B y y x A =<<==+∈，则A B ⋂=（ ） A ．()0,3 B ．()2,5 C ．()2,9 D ．()2,3
2.已知i 为虚数单位，若复数z 满足()341i z -=，则z =（ ） A ．
225 B ．425 C ．25 D ．45
3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7S 为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是（ ） A ．147a a a B ．147a a a ++ C ．18a a D ．18a a +
4.已知点(),M x y 是圆22:20C x y x +-=的内部任意一点，则点M 满足y x ≥的概率是（ ） A ．
14 B ．24π- C ．12π D ．24ππ
- 5.执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S 的值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．1-
6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（ ）
A ．14 B
．6+
．8+
．8+7.若实数x ，y 满足422log 4log x y +=+8log ()x y =+，则
11
x y
+的值为（ ） A ．128 B ．256 C ．512 D ．4
8.设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥≥⎩
，若目标函数(0)z ax y a =+>的最大值为18，则a
的值为（ ）
A ．3
B ．5
C ．7
D ．9
9．在约束条件21010x x y m x y ⎧⎪
-+⎨⎪+-⎩
≤≥≥下，若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4，则实数m 的
取值范围（ ）
A )3,3(-
B ]3,0[
C ]0,3[-
D ]3,3[- 10.设02
x π
<<
，记sin ln sin ,sin ,x
a x
b x
c e === 试比较a,b,c 的大小关系为（ ）
A c b a <<
B b a c <<
C a b c <<
D b c a <<
11.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12n
n S S S T n
++
+=
，称n T 为数列1a ，2a ，……，n
a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，
2a ，……，500a 的“理想数”为
（ ）
A ．2002
B ．2004
C ．2006
D ．2008
12．过抛物线2
(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AF 、BF 的长
分别为m 、n ,则
mn m n
+等于( )
A.12a
B. 2a
C.
14a
D.
4
a
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.抛物线2y x =在2x =处的切线与抛物线以及x 轴所围成的曲线图形的面积为 ．
14.设ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，c =，cos A =则b = ．
15.在三棱锥A BCD -中，底面BCD 为边长为2的正三角形，顶点A 在底面BCD 上的射影
为BCD ∆的中心，若E 为BC 的中点，且直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为三棱锥A BCD -外接球的表面积为 ．
16.在面积为2的平行四边形ABCD 中，点P 为直线AD 上的动点，则2
PB PC BC ⋅+的最小值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1n a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若3n
n n
a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18.如图，矩形ABCD 中，6AB =，AD =F 是AC 上的动点.现将矩形ABCD 沿
着对角线AC 折成二面角'D AC B --，使得'D B =.
（1）求证：当AF 时，'D F BC ⊥；
（2）试求CF 的长，使得二面角'A D F B --的大小为
4
π. 19. “双十二”是继“双十一”之后的又一个网购狂欢节，为了刺激“双十二”的消费，某电子商务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券.为此，公司从“双十一”的网购消费者中用随机抽样的方法抽取了100人，将其购物金额（单位：万元）按照
，
分组，得到如下频率分布直方图：
根据调查，该电子商务公司制定了发放电子优惠券的办法如下：
（1）求购物者获得电子优惠券金额的平均数；
（2）从购物者中随机抽取10人，这10人中获得电子优惠券的人数为，求的数学期望.
20. 已知椭圆
的焦距为2，且过点.
（1）求椭圆的方程； （2）过点
的直线交椭圆于两点，为椭圆上一点，为坐标原点，且满足
，其中
，求
的取值范围.
21.已知函数()x
f x ae =，5
()ln()2
g x ax =+
，0a >．
