07海南数学高考
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样本数据1x ,2x ,,n x 的标准差锥体体积公式(n s x x =++-13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =,34π3V R =其中S 为底面面积,h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知命题:p x ∀∈R ,sin 1x ≤,则( ) A.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x ≥ B.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x ≥ C.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x >D.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x >【答案】:C【分析】:p ⌝是对p 的否定,故有:,x ∃∈R sin 1.x > 2.已知平面向量(11)(11)==-,,,a b ,则向量1322-=a b ( ) A.(21)--, B.(21)-,C.(10)-,D.(12)-,【答案】:D 【分析】:1322-=a b (12).-,3.函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,的简图是( )20,A.B.4.已知{}n a是等差数列,1010a=,其前10项和1070S=,则其公差d=()A.23-B.13-C.13D.23【答案】:D【分析】:1101011()105(10)70 4.2a aS a a+⨯==+=⇒=1012.93a ad-∴==5.如果执行右面的程序框图,那么输出的S=()A.2450 B.2500C.2550 D.2652【答案】:C【分析】:由程序知,15021222502502550.2S+=⨯+⨯++⨯=⨯⨯=6.已知抛物线22(0)y px p=>的焦点为F,点111222()()P x y P x y,,,,333()P x y,在抛物线上,且2132x x x=+,则有()A.123FP FP FP+=B.222123FP FP FP+=C.2132FP FP FP=+D.2213FP FP FP=·【答案】:C【分析】:由抛物线定义,2132()()(),222p p px x x+=+++即:2132FP FP FP=+.7.已知0x>,0y>,x a b y,,,成等差数列,x c d y,,,成等比数列,则2()a bcd+的最小值是()A.0B.1C.2D.4【答案】:D【分析】:,,a b x y cd xy+=+=22()()4.a b x ycd xy++∴=≥=8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中正视图侧视图BA 标出 的尺寸(单位:cm ),可得这个几 何体的体积是( )A.34000cm 3B.38000cm 3C.32000cmD.34000cm 【答案】:B 【分析】:如图,18000202020.33V =⨯⨯⨯= 9.若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭,则cos sinαα+的值为( ) A.B.12-C.12【答案】:C【分析】:22cos 2cos )πsin 42αααα==+=⎛⎫- ⎪⎝⎭1cos sin .2αα⇒+= 10.曲线12e x y =在点2(4e ),处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.29e 2B.24eC.22eD.2e【答案】:D【分析】:11221(),2x x y e e ''⇒==曲线在点2(4e ),处的切线斜率为212e ,因此切线方程为221(4),2y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(2,0),(0,),A B e -所以: 221||2.2AOB S e e ∆=-⨯=123s s s ,,分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( )AEA.312s s s >> B.213s s s >> C.123s s s >> D.231s s s >>【答案】:B 【分析】:(78910)58.5,20x +++⨯==甲2222215[(78.5)(88.5)(98.5)(108.5)]1.25,20s ⨯-+-+-+-== (710)6(89)48.5,20x +⨯++⨯==乙2222226[(78.5)(108.5)]4[(88.5)(98.5)]1.45,20s ⨯-+-+⨯-+-== (710)4(89)68.5,20x +⨯++⨯==丙2222234[(78.5)(108.5)]6[(88.5)(98.5)]1.05,20s ⨯-+-+⨯-+-== 22213213.s s s s s s >>>>2由得12.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ,2h ,h ,则12::h h h =()2:22:2:【答案】:B 【分析】:如图,设正三棱锥P ABE -的各棱长为a ,则四棱锥P ABCD -的各棱长也为a ,于是1,2ha ==2,h h === 12::2:2.h h h ∴=第II 卷C B FA O y x本卷包括必考题和选考题两部分,第13题-第21题为必考题,每个试题考生都必须做答,第22题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为 .【答案】:3 【分析】:如图,过双曲线的顶点A 、焦点F 分别 向其渐近线作垂线,垂足分别为B 、C ,则:||||63.||||2OF FC c OA AB a =⇒== 14.设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数,则a = .【答案】:-1 【分析】:(1)(1)02(1)00, 1.f f a a +-=⇒++=∴=-15.i 是虚数单位,51034ii-+=+ .(用a bi +的形式表示,a b ∈R ,) 【答案】:12i + 【分析】:510(510)(34)255012.34(34)(34)25i i i ii i i i -+-+-+===+++-16.某校安排5个班到4个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,不同的安排方法共有 种.(用数字作答) 【答案】:240 【分析】:由题意可知有一个工厂安排2个班,另外三个工厂每厂一个班,共有123453240.C C A ⋅⋅=种安排方法。
2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(宁夏、 海南卷)参考公式:样本数据1x ,2x , ,n x 的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为标本平均数 其中S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =,34π3V R =其中S 为底面面积,h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<,,则A B = ( ) A.{}|2x x >-B.{}1x x >-|C.{}|21x x -<<-D.{}|12x x -<<2.已知命题:p x ∀∈R ,sin 1x ≤,则( ) A.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x ≥ B.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x ≥ C.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x >D.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x >3.函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦,的简图是( )x--A.B.C.D.BA4.已知平面向量(11)(11)==-,,,a b ,则向量1322-=a b ( )A.(21)--, B.(21)-,C.(10)-,D.(12)-,5.如果执行右面的程序框图,那么输出的S =( ) A.2450 B.2500C.2550D.26526.已知a b c d ,,,成等比数列,且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ,,则a d 等于( ) A.3B.2C.1 D.2-7.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点111222()()P x y P x y ,,,,333()P x y , 在抛物线上,且2132x x x =+,则有( ) A.123FP FP FP +=B.222123FP FP FP +=C.2132FP FP FP =+D.2213FP FP FP =·8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm ), 可得这个几何体的体积是( ) A.34000cm 3B.38000cm 3C.32000cm D.34000cm正视图侧视图俯视图yx9.若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭,则cos sin αα+的值为( )A.2-B.12-C.12D.210.曲线x y e =在点2(2)e ,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.294eB.22eC.2eD.22e11.已知三棱锥S A B C -的各顶点都在一个半径为r 的球面上,球心O 在A B 上,SO ⊥底面ABC ,AC =,则球的体积与三棱锥体积之比是( ) A.π B.2πC.3π D.4π123s s s ,,分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( )A.312s s s >> B.213s s s >> C.123s s s >>D.213s s s >>第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为 .14.设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数,则a = .15.i 是虚数单位,238i 2i 3i 8i ++++= .(用,a b ∈R ,)16.已知{}n a 是等差数列,466a a +=,其前5项和510S =则其公差d = .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)如图,测量河对岸的塔高A B 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得B C D B D C C D sαβ∠=∠==,,,并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ,求塔高A B .18.(本小题满分12分)如图,A B C D ,,,为空间四点.在A B C △中,2AB AC BC ===,. 等边三角形AD B 以A B 为轴运动.(Ⅰ)当平面AD B ⊥平面ABC 时,求C D ; (Ⅱ)当AD B △转动时,是否总有AB C D ⊥?证明你的结论.19.(本小题满分12分)设函数2()ln(23)f x x x =++ (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,的最大值和最小值.20.(本小题满分12分)设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=.(Ⅰ)若a 是从0123,,,四个数中任取的一个数,b 是从012,,三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.(Ⅱ)若a 是从区间[03],任取的一个数,b 是从区间[02],任取的一个数,求上述方程有实根的概率.21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ,过点(02)P , 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ,.DBAC(Ⅰ)求k 的取值范围;(Ⅱ)是否存在常数k ,使得向量OA OB + 与P Q共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.22.请考生在A、B两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.A(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,已知A P 是O 的切线,P 为切点,A C 是O 的割线,与O 交于B C ,两点,圆心O 在P A C ∠的内部,点M 是B C 的中点. (Ⅰ)证明A P O M ,,,四点共圆; (Ⅱ)求O A M A P M ∠+∠的大小.22.B(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-,.(Ⅰ)把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过1O ,2O 交点的直线的直角坐标方程.2007年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(宁夏、 海南卷) 参考答案1、【答案】:A【分析】:由{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<,,可得A B = {}|2x x >-.2、【答案】:C【分析】:p ⌝是对p 的否定,故有:,x ∃∈R sin 1.x > .3、【答案】:A【分析】:π()sin 232f ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭排除B、D,π()sin 20,663f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭ 排除C。
(2007)6.已知a b c d ,,,成等比数列,且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ,,则ad 等于( )A.3 B.2 C.1D.2- 16.已知{}n a 是等差数列,466a a +=,其前5项和510S =,则其公差d = .6.【解析】曲线223y x x =-+的顶点是(12),,则:1, 2.b c ==由a b c d ,,,成等比数列知,12 2.ad bc ==⨯=答案:B16.【解析】46563,a a a +=⇒=1515135510 1.22a a a S a ++=⨯=⨯=⇒= 511.512a a d -∴==-答案:12 (2008)8、设等比数列{}n a 的公比2q =,前n 项和为n S ,则42S a =( ) A. 2 B. 4 C.152 D. 1728.C【试题解析】:由于()4141122,1512a q S a -=∴==- ∴4121151522S a a a ==;选C; 13、已知{a n }为等差数列,a 3 + a 8 = 22,a 6 = 7,则a 5 = ____________13.15【试题解析】:由于{}n a 为等差数列,故3856a a a a +=+∴538622715a a a a =+-=-=(2009)8.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2110m m m a a a -++-=,2138m S -=,则m =A .38B .20C .10D .915.等比数列{}n a 的公比0q >, 已知2a =1,216n n n a a a +++=,则{n a }的前4项和4S =________________.8.【答案】C 【解析】因为{}n a 是等差数列,所以,112m m m a a a -++=,由2110m m m a a a -++-=,得:2m a -2m a =0,所以,m a =2,又2138m S -=,即2))(12(121-+-m a a m =38,即(2m -1)×2=38,解得m =10,故选.C 。
2007年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(宁夏、 海南卷)全解全析本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.第II 卷第22题为选考题,其他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的准考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上.2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂基他答案标号,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损.5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 参考公式:样本数据1x ,2x , ,n x 的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为标本平均数 其中S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =,34π3V R =其中S 为底面面积,h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<,,则A B = ( ) A.{}|2x x >-B.{}1x x >-|C.{}|21x x -<<-D.{}|12x x -<<【答案】:A【分析】:由{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<,,可得A B = {}|2x x >-. 2.已知命题:p x ∀∈R ,sin 1x ≤,则( ) A.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x ≥B.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x ≥C.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x >D.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x >【答案】:C【分析】:p ⌝是对p 的否定,故有:,x ∃∈R sin 1.x >3.函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦,的简图是( )【答案】:A【分析】:π()sin 23f ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭排除B、D,π()sin 20,663f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭ 排除C。
2007年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(宁夏、 海南卷)全解全析本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.第II 卷第22题为选考题,其他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的准考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上.2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂基他答案标号,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损.5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 参考公式: 样本数据1x ,2x ,,n x 的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为标本平均数 其中S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =,34π3V R =其中S 为底面面积,h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<,,则A B =( )A.{}|2x x >-B.{}1x x >-|C.{}|21x x -<<-D.{}|12x x -<<【答案】:A【分析】:由{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<,,可得A B ={}|2x x >-.2.已知命题:p x ∀∈R ,sin 1x ≤,则( ) A.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x ≥B.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x ≥C.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x >D.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x >【答案】:C【分析】:p ⌝是对p 的否定,故有:,x ∃∈R sin 1.x >3.函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦,的简图是( )【答案】:A【分析】:π()sin 23f ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭排除B、D,π()sin 20,663f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭ 排除C。
2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(宁夏、 海南卷)参考公式:样本数据1x ,2x , ,n x 的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为标本平均数 其中S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =,34π3V R =其中S 为底面面积,h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<,,则A B = ( ) A.{}|2x x >-B.{}1x x >-|C.{}|21x x -<<-D.{}|12x x -<<2.已知命题:p x ∀∈R ,sin 1x ≤,则( ) A.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x ≥ B.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x ≥ C.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x >D.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x >3.函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦,的简图是( )x--A.B.C.D.BA4.已知平面向量(11)(11)==-,,,a b ,则向量1322-=a b ( )A.(21)--, B.(21)-,C.(10)-,D.(12)-,5.如果执行右面的程序框图,那么输出的S =( ) A.2450 B.2500C.2550D.26526.已知a b c d ,,,成等比数列,且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ,,则a d 等于( ) A.3B.2C.1 D.2-7.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点111222()()P x y P x y ,,,,333()P x y , 在抛物线上,且2132x x x =+,则有( ) A.123FP FP FP +=B.222123FP FP FP +=C.2132FP FP FP =+D.2213FP FP FP =·8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm ), 可得这个几何体的体积是( ) A.34000cm 3B.38000cm 3C.32000cm D.34000cm正视图侧视图俯视图yx9.若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭,则cos sin αα+的值为( )A.2-B.12-C.12D.210.曲线x y e =在点2(2)e ,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.294eB.22eC.2eD.22e11.已知三棱锥S A B C -的各顶点都在一个半径为r 的球面上,球心O 在A B 上,SO ⊥底面ABC ,AC =,则球的体积与三棱锥体积之比是( ) A.π B.2πC.3π D.4π123s s s ,,分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( )A.312s s s >> B.213s s s >> C.123s s s >>D.213s s s >>第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为 .14.设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数,则a = .15.i 是虚数单位,238i 2i 3i 8i ++++= .(用,a b ∈R ,)16.已知{}n a 是等差数列,466a a +=,其前5项和510S =则其公差d = .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)如图,测量河对岸的塔高A B 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得B C D B D C C D sαβ∠=∠==,,,并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ,求塔高A B .18.(本小题满分12分)如图,A B C D ,,,为空间四点.在A B C △中,2AB AC BC ===,. 等边三角形AD B 以A B 为轴运动.(Ⅰ)当平面AD B ⊥平面ABC 时,求C D ; (Ⅱ)当AD B △转动时,是否总有AB C D ⊥?证明你的结论.19.(本小题满分12分)设函数2()ln(23)f x x x =++ (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,的最大值和最小值.20.(本小题满分12分)设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=.(Ⅰ)若a 是从0123,,,四个数中任取的一个数,b 是从012,,三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.(Ⅱ)若a 是从区间[03],任取的一个数,b 是从区间[02],任取的一个数,求上述方程有实根的概率.21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ,过点(02)P , 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ,.DBAC(Ⅰ)求k 的取值范围;(Ⅱ)是否存在常数k ,使得向量OA OB + 与P Q共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.22.请考生在A、B两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.A(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,已知A P 是O 的切线,P 为切点,A C 是O 的割线,与O 交于B C ,两点,圆心O 在P A C ∠的内部,点M 是B C 的中点. (Ⅰ)证明A P O M ,,,四点共圆; (Ⅱ)求O A M A P M ∠+∠的大小.22.B(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-,.(Ⅰ)把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过1O ,2O 交点的直线的直角坐标方程.2007年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(宁夏、 海南卷) 参考答案1、【答案】:A【分析】:由{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<,,可得A B = {}|2x x >-.2、【答案】:C【分析】:p ⌝是对p 的否定,故有:,x ∃∈R sin 1.x > .3、【答案】:A【分析】:π()sin 232f ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭排除B、D,π()sin 20,663f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭ 排除C。
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学试题评价报告课程标准卷一、总体评价试卷以新的课程标准、全国考试大纲和2007年宁夏、海南考试说明为依据,试卷的结构与大纲卷对比,变化不大,平稳地实现了由大纲卷到课标卷的过渡。
试卷针对各地使用不同版本教材的实际情况,紧密贴近中学教学,坚持对基础知识、数学思想方法进行考查,试卷宽角度、多视点、有层次地考查数学理性思维,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和潜能。
试卷对课程中新增内容和传统内容结合考查的科学、规范和深化,体现新课程理念,有利于推进课程改革,有利于高校选拔考生。
考试中心命制的这份试卷给实施新课程的省市提供了借鉴,同时也支持和促进了中学数学课程改革。
二、试题特点1.体现课标理念,发挥试卷导向试卷围绕课程标准中内容主线、核心能力、改革理念命题,考虑了不同版本的教材,关注了必修和选修的比例以及文理的差异,力图达到推进课程改革的目的。
试卷对三视图、算法框图、几何概型以及统计内容等新增内容进行了考查。
对传统内容的考查也适度创新,如改变了传统三角函数的考试模式,给解三角形问题赋予了实际背景,既简单,又体现数学应用的价值,很好的体现了课程标准的理念。
2.倡导通性通法,考查全面综合试卷中没有偏题、怪题,多数试题都是通性通法。
在选择题、填空题中考查了集合的运算、平面向量的坐标运算、导数的运算、复数的四则运算、等差、等比数列的运算等;考查了三角函数的图像和求值,考查了算法和框图,考查了三视图和几何体的体积,考查了标准差、排列组合等,这些内容的解决没有特殊的技巧,主要是概念和简单运算。
在解答题中,对三角函数、立体几何、概率与统计、平面向量与解析几何、函数与导数以及选做题的平面几何证明、极坐标与参数方程、不等式等考查得比较全面,并且大多数试题都是常规解法。
3.强化思想方法,深化能力立意重视对常规思想方法的考查,如理科第(6)题,文科第(7)题以抛物线为素材,理科卷第(22)题(选考题)C题以不等式为素材,考查数形结合的数学思想,理科第(12)题用体积问题考查构造图形的方法和能力,理科第(21)题是函数和导数的综合问题,突出考查函数的思想和分类与整合的数学思想。
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(宁夏)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.第II 卷第22题为选考题,其他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的准考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上. 2.选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损.5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 参考公式:样本数据1x ,2x , ,n x 的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =,34π3V R =其中S 为底面面积,h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知命题:p x ∀∈R ,sin 1x ≤,则( ) A.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x ≥ B.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x ≥ C.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x >D.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x >2.已知平面向量(11)(11)==-,,,a b ,则向量1322-=a b ( ) A.(21)--,B.(21)-,C.(10)-,D.(12)-,3.函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,的简图是( )4.已知{}n a 是等差数列,1010a =,其前10其公差d =( ) A.23-B.13-C.13D.235.如果执行右面的程序框图,那么输出的S =A.2450 B.2500 C.2550 D.2652 6.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F , 点111222()()P x y P x y ,,,,333()P x y ,且2132x x x =+, 则有( ) A.123FP FP FP +=B.222123FP FP FP +=C.2132FP FP FP =+ D.2213FP FP FP =· 7.已知0x >,0y >,x a b y ,,,成等差数列,x c d y ,,,成等比数列,则2()a b cd+的最小值是( ) A.0 B.1C.2D.4xA.B.C.8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm ),可得这个几何体的体积是( )A.34000cm 3B.38000cm 3C.32000cmD.34000cm 9.若c o s2πs i n 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭则c o s s i n αα+的值为( )A.-B.12-C.1210.曲线12e x y =在点2(4e ),处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.29e 2B.24eC.22eD.2e123s s s ,,分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有()A.312s s s >> B.213s s s >> C.123s s s >>D.231s s s >>12.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ,2h ,h ,则12::h h h =( )2:2第II 卷正视图侧视图俯视图本卷包括必考题和选考题两部分,第13题-第21题为必考题,每个试题考生都必须做答,第22题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为 .14.设函数(1)()()x x a f x x ++=为奇函数,则a = .15.i 是虚数单位,51034ii-+=+ .(用a bi +的形式表示,a b ∈R ,)16.某校安排5个班到4个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,不同的安排方法共有 种.(用数字作答) 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)如图,测量河对岸的塔高AB 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==,,,并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ,求塔高AB .18.(本小题满分12分)如图,在三棱锥S ABC -中,侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,90BAC ∠=°,O 为BC 中点. (Ⅰ)证明:SO ⊥平面ABC ;(Ⅱ)求二面角A SC B --的余弦值. 19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q . (I )求k 的取值范围;(II )设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ,,是否存在常数k ,使得向量OP OQ + 与AB共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.20.(本小题满分12分)OSBC如图,面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ,可按下面方法估计M 的面积:在正方形ABCD 中随机投掷n 个点,若n 个点中有m 个点落入M 中,则M 的面积的估计值为mS n,假设正方形ABCD 的边长为2,M 的面积为1,并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点,以X 表示落入M 中的点的数目. (I )求X 的均值EX ;(II )求用以上方法估计M 的面积时,M 的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03)-0.03,内的概率.附表:1000010000()0.250.75ktt t t P k C-==⨯⨯∑21.(本小题满分12分) 设函数2()ln()f x x a x =++(I )若当1x =-时,()f x 取得极值,求a 的值,并讨论()f x 的单调性; (II )若()f x 存在极值,求a 的取值范围,并证明所有极值之和大于eln2. 22.请考生在A B C ,,三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.A(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,已知AP 是O 的切线,P 为切点,AC 是O 的割线,与O 交于B C ,两点,圆心O 在PAC ∠的内部,点M 是BC 的中点.(Ⅰ)证明AP O M ,,,四点共圆; (Ⅱ)求OAM APM ∠+∠的大小.22.B(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-,.(Ⅰ)把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过1O ,2O 交点的直线的直角坐标方程.22.C(本小题满分10分)选修45-;不等式选讲 设函数()214f x x x =+--.D C BA A(I )解不等式()2f x >; (II )求函数()y f x =的最小值.2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案(宁夏)一、选择题 1.C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.C7.D 8.B 9.C 10.D 11.B 12.B二、填空题 13.3 14.1- 15.12i +16.240三、解答题17.解:在BCD △中,πCBD αβ∠=--. 由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠.所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·.在ABC Rt △中,tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·.18.证明: (Ⅰ)由题设AB AC SB SC ====SA ,连结OA ,ABC △为等腰直角三角形,所以OA OB OC SA ==,且AO BC ⊥,又SBC △为等腰三角形,故SO BC ⊥,且2SO SA =,从而222OA SO SA +-. 所以SOA △为直角三角形,SO AO ⊥. 又AO BO O = .所以SO ⊥平面ABC . (Ⅱ)解法一:取SC 中点M ,连结A M O M ,,由(Ⅰ)知S O O C S A A ==,,得O M S C A M S⊥⊥,. OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角.由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥= ,,得AO ⊥平面SBC .所以AO OM ⊥,又AM SA =,故sin AO AMO AM ∠===. OSBC M所以二面角A SC B --解法二:以O 为坐标原点,射线OB OA ,分别为x 轴、y 轴的正半轴,建立如图的空间直角坐标系O xyz -.设(100)B ,,,则(100)(010)(001)C A S -,,,,,,,,.SC 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,,111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,,,,,,,,.00MO SC MA SC ==,∴··.故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>,,<等于二面角A SCB --的平面角.cos MO MA MO MA MO MA<>==,·· 所以二面角A SC B --19.解:(Ⅰ)由已知条件,直线l的方程为y kx =代入椭圆方程得22(12x kx +=.整理得221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭,解得2k <-或2k >.即k的取值范围为22⎛⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,∞∞. (Ⅱ)设1122()()P x y Q x y ,,,,则1212()OP OQ x x y y +=++,,由方程①,12212x x k +=-+. ②又1212()y y k x x +=++ ③而(01)()A B AB =,,.所以OP OQ + 与AB共线等价于1212)x x y y +=+,将②③代入上式,解得2k =.由(Ⅰ)知2k <-或2k >,故没有符合题意的常数k .20.解:每个点落入M 中的概率均为14p =. 依题意知1~100004X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,. (Ⅰ)11000025004EX =⨯=. (Ⅱ)依题意所求概率为0.03410.0310000X P ⎛⎫-<⨯-< ⎪⎝⎭,0.03410.03(24252575)10000X P P X ⎛⎫-<⨯-<=<< ⎪⎝⎭2574100001000024260.250.75t t t t C-==⨯⨯∑2574242510000100001100001000024260.250.750.250.75tt ttt t t CC --===⨯⨯-⨯⨯∑∑0.95700.04230.9147=-=.21.解: (Ⅰ)1()2f x x x a'=++, 依题意有(1)0f '-=,故32a =. 从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++. ()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,∞,当312x -<<-时,()0f x '>;当112x -<<-时,()0f x '<; 当12x >-时,()0f x '>. 从而,()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,∞单调增加,在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭,单调减少. (Ⅱ)()f x 的定义域为()a -+,∞,2221()x ax f x x a++'=+. 方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=-.(ⅰ)若0∆<,即a <<()f x 的定义域内()0f x '>,故()f x 的极值.(ⅱ)若0∆=,则a a =若a =()x ∈+,2()f x '=.当2x =-时,()0f x '=,当x ⎛⎛⎫∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∞时,()0f x '>,所以()f x 无极值.若a =)x ∈+,2()0f x '=>,()f x 也无极值.(ⅲ)若0∆>,即a >或a <,则22210x a x ++=有两个不同的实根1x =2x =.当a <12x a x a <-<-,,从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点,故()f x 无极值.当a >1x a >-,2x a >-,()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点,由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==,取得极值.综上,()f x 存在极值时,a 的取值范围为)+.()f x 的极值之和为2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22ef x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=.22.A(Ⅰ)证明:连结OP OM ,.因为AP 与O 相切于点P ,所以OP AP ⊥. 因为M 是O 的弦BC 的中点,所以OM BC ⊥.于是180OPA OMA ∠+∠=°. 由圆心O 在PAC ∠的内部,可知四边形APOM 的对角互补,所以AP O M ,,,四点共圆. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得AP O M ,,,四点共圆,所以OAM OPM ∠=∠. 由(Ⅰ)得OP AP ⊥.由圆心O 在PAC ∠的内部,可知90OPM APM ∠+∠=°. 所以90OAM APM ∠+∠=°. 22.B解:以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(Ⅰ)cos x ρθ=,sin y ρθ=,由4cos ρθ=得24cos ρρθ=.所以224x y x +=.即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程. 同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程.(Ⅱ)由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩,解得1100x y =⎧⎨=⎩,,2222x y =⎧⎨=-⎩. 即1O ,2O 交于点(00),和(22)-,.过交点的直线的直角坐标方程为y x =-. 22.C解:(Ⅰ)令214y x x =+--,则1521334254x x y x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩, ,, ,, .≤≥...............3分作出函数214y x x =+--的图象,它与直线2y =的交点为(72)-,和523⎛⎫ ⎪⎝⎭,.所以2142x x +-->的解集为5(7)3x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,,.A(Ⅱ)由函数214y x x =+--的图像可知,当12x =-时,214y x x =+--取得最小值92-.。
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(海南、宁夏卷)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.第II 卷第22题为选考题,其他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的准考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上. 2.选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损.5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 参考公式:样本数据1x ,2x ,,n x 的标准差 锥体体积公式(n s x x =++- 13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =,34π3V R =其中S 为底面面积,h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知命题:p x ∀∈R ,sin 1x ≤,则( ) A.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x ≥ B.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x ≥ C.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x >D.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x >2.已知平面向量(11)(11)==-,,,a b ,则向量1322-=a b ( ) A.(21)--, B.(21)-,C.(10)-,D.(12)-,3.函数πsin 2y x ⎛⎫=- ⎪在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎦,的简图是()xA.B.C.D.4.已知{}n a 是等差数列,1010a =,其前10项和1070S =,则其公差d =( ) A.23-B.13-C.13D.235.如果执行右面的程序框图,那么输出的S =( ) A.2450 B.2500 C.2550 D.26526.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点111222()()P x y P x y ,,,,333()P x y ,在抛物线上, 且2132x x x =+, 则有( ) A.123FP FP FP +=B.222123FP FP FP +=C.2132FP FP FP =+ D.2213FP FP FP =·7.已知0x >,0y >,x a b y ,,,成等差数列,x c d y ,,,成等比数列,则2()a b cd+的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D.4 8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm ),可得这个几何体的体积是( )A.34000cm 3 B.38000cm 3C.32000cm D.34000cm9.若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭,则cos sin αα+的值为( )A.B.12-C.1210.曲线12e x y =在点2(4e ),处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.29e 2B.24eC.22eD.2e123s s s ,,分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( )A.312s s s >> B.213s s s >> C.123s s s >>D.231s s s >>正视图侧视图俯视图12.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ,2h ,h ,则12::h h h =( ) A.3:1:1B.3:2:2C.3:2:2D.3:2:3第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题-第21题为必考题,每个试题考生都必须做答,第22题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为 .14.设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数,则a = .15.i 是虚数单位,51034ii-+=+ .(用a bi +的形式表示,a b ∈R ,)16.某校安排5个班到4个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,不同的安排方法共有 种.(用数字作答)三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)如图,测量河对岸的塔高AB 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==,,,并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ,求塔高AB .18.(本小题满分12分)如图,在三棱锥S ABC -中,侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,90BAC ∠=°,O 为BC 中点.(Ⅰ)证明:SO ⊥平面ABC ;(Ⅱ)求二面角A SC B --的余弦值.O S B C19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q . (I )求k 的取值范围;(II )设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ,,是否存在常数k ,使得向量OP OQ +与AB 共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.20.(本小题满分12分)如图,面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ,可按下面方法估计M 的面积:在正方形ABCD 中随机投掷n 个点,若n 个点中有m 个点落入M 中,则M 的面积的估计值为mS n,假设正方形ABCD 的边长为2,M 的面积为1,并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点,以X 表示落入M 中的点的数目.(I )求X 的均值EX ;(II )求用以上方法估计M 的面积时,M 的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03)-0.03,内的概率. 附表:1000010000()0.250.75ktt t t P k C-==⨯⨯∑21.(本小题满分12分) 设函数2()ln()f x x a x =++(I )若当1x =-时,()f x 取得极值,求a 的值,并讨论()f x 的单调性; (II )若()f x 存在极值,求a 的取值范围,并证明所有极值之和大于eln2. 22.请考生在A B C ,,三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.A(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,已知AP 是O 的切线,P 为切点,AC 是O 的割线,与O 交于B C ,两点,圆心O 在PAC ∠的内部,点M 是BC 的中点.(Ⅰ)证明A P O M ,,,四点共圆; (Ⅱ)求OAM APM ∠+∠的大小.22.B(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-,. (Ⅰ)把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)求经过1O ,2O 交点的直线的直角坐标方程.D CA22.C(本小题满分10分)选修45-;不等式选讲 设函数()214f x x x =+--. (I )解不等式()2f x >; (II )求函数()y f x =的最小值.2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案(宁夏)一、选择题 1.C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.C7.D 8.B 9.C 10.D 11.B 12.B二、填空题 13.3 14.1- 15.12i + 16.240 三、解答题17.解:在BCD △中,πCBD αβ∠=--.由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD =∠∠. 所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·.在ABC Rt △中,tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·.18.证明: (Ⅰ)由题设AB AC SB SC ====SA ,连结OA ,ABC△为等腰直角三角形,所以2OA OB OC SA ===,且AO BC ⊥,又SBC △为等腰三角形,故SO BC ⊥,且2SO SA =,从而222OA SO SA +-.所以SOA △为直角三角形,SO AO ⊥. 又AO BO O =. 所以SO ⊥平面ABC .(Ⅱ)解法一:取SC 中点M ,连结AM OM ,,由(Ⅰ)知SO OC SA AC ==,,得OM SC AM SC ⊥⊥,.OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角.由AO BC AO SOSO BC O ⊥⊥=,,得AO ⊥平面SBC . 所以AO OM ⊥,又AM =,故sin 3AO AMO AM ∠===. 所以二面角A SC B --OSBCM解法二:以O 为坐标原点,射线OB OA ,分别为x 轴、y 轴的正半轴,建立如图的空间直角坐标系O xyz -. 设(100)B ,,,则(100)(010)(001)C A S -,,,,,,,,.SC 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,,111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,,,,,,. 00MO SC MA SC ==,∴··.故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>,,<等于二面角A SCB --的平面角.3cos MO MA MO MA MO MA<>==,··所以二面角A SC B --19.解:(Ⅰ)由已知条件,直线l的方程为y kx =代入椭圆方程得22(12x kx +=. 整理得221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭,解得2k <-或2k >.即k 的取值范围为222⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,∞∞. (Ⅱ)设1122()()P x y Q x y ,,,,则1212()OP OQ x x y y +=++,,由方程①,12212x x k+=-+. ② 又1212()22y y k x x +=++. ③而(20)(01)(A B AB =-,,,,. 所以OP OQ +与AB 共线等价于1212)x x y y +=+,将②③代入上式,解得2k =. 由(Ⅰ)知2k <-或2k >,故没有符合题意的常数k .20.解:每个点落入M 中的概率均为14p =. 依题意知1~100004X B ⎛⎫⎪⎝⎭,. (Ⅰ)11000025004EX =⨯=.(Ⅱ)依题意所求概率为0.03410.0310000X P ⎛⎫-<⨯-< ⎪⎝⎭,0.03410.03(24252575)10000X P P X ⎛⎫-<⨯-<=<< ⎪⎝⎭2574100001000024260.250.75tt t t C-==⨯⨯∑ 25742425100001000011000010000242600.250.750.250.75ttttt t t CC --===⨯⨯-⨯⨯∑∑ 0.95700.04230.9147=-=.21.解:(Ⅰ)1()2f x x x a'=++,依题意有(1)0f '-=,故32a =.从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++. ()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,∞,当312x -<<-时,()0f x '>; 当112x -<<-时,()0f x '<;当12x >-时,()0f x '>.从而,()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,∞单调增加,在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭,单调减少.(Ⅱ)()f x 的定义域为()a -+,∞,2221()x ax f x x a++'=+. 方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=-.(ⅰ)若0∆<,即a <<,在()f x 的定义域内()0f x '>,故()f x 的极值.(ⅱ)若0∆=,则aa =若a =()x ∈+∞,2()f x '=当x =时,()0f x '=,当222x ⎛⎛⎫∈--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∞时,()0f x '>,所以()f x 无极值.若a=)x ∈+∞,2()0f x '=>,()f x 也无极值.(ⅲ)若0∆>,即a>a <22210xax ++=有两个不同的实根1x=,2x =.当a <12x a x a <-<-,,从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点,故()f x 无极值.当a >1x a >-,2x a >-,()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点,由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==,取得极值.综上,()f x 存在极值时,a的取值范围为)+∞. ()f x 的极值之和为2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22ef x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=.22.A(Ⅰ)证明:连结OP OM ,.因为AP 与O 相切于点P ,所以OP AP ⊥.因为M 是O 的弦BC 的中点,所以OM BC ⊥. 于是180OPA OMA ∠+∠=°.由圆心O 在PAC ∠的内部,可知四边形APOM 的对角互补,所以A P O M ,,,四点共圆.(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得A P O M ,,,四点共圆,所以OAM OPM ∠=∠.由(Ⅰ)得OP AP ⊥.由圆心O 在PAC ∠的内部,可知90OPM APM ∠+∠=°. 所以90OAM APM ∠+∠=°. 22.B解:以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(Ⅰ)cos x ρθ=,sin y ρθ=,由4cos ρθ=得24cos ρρθ=. 所以224x y x +=. 即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程. 同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程.(Ⅱ)由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩,解得1100x y =⎧⎨=⎩,,2222x y =⎧⎨=-⎩. 即1O ,2O 交于点(00),和(22)-,.过交点的直线的直角坐标方程为y x =-.22.C解:(Ⅰ)令214y x x =+--,则1521334254x x y x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩, ,, ,, .≤≥...............3分 作出函数214y x x =+--的图象,它与直线2y =的交点为(72)-,和23⎪⎝⎭,. 所以2142x x +-->的解集为5(7)3x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,,. (Ⅱ)由函数214y x x =+--的图像可知,当12x =-时,214y x x =+--取得最小A值92 .。
2007年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(宁夏、 海南卷)全解全析第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<,,则A B = ( ) A.{}|2x x >-B.{}1x x >-|C.{}|21x x -<<-D.{}|12x x -<<【答案】:A 【分析】:由{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<,,可得A B = {}|2x x >-. 2.已知命题:p x ∀∈R ,sin 1x ≤,则( ) A.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x ≥B.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x ≥C.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x >D.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x >【答案】:C 【分析】:p ⌝是对p 的否定,故有:,x ∃∈R sin 1.x >3.函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦,的简图是( )【答案】:A 【分析】:π()sin 23f ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭排除B、D,π()sin 20,663f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭ 排除C。
也可由五点法作图验证。
xA.B.C.D.BA4.已知平面向量(11)(11)==-,,,a b ,则向量1322-=a b ( ) A.(21)--, B.(21)-,C.(10)-,D.(12)-, 【答案】:D 【分析】:1322-=a b (12).-, 5.如果执行右面的程序框图,那么输出的S =( )A.2450 B.2500C.2550D.2652【答案】:C【分析】:由程序知,15021222502502550.2S +=⨯+⨯++⨯=⨯⨯= 6.已知a b c d ,,,成等比数列,且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ,,则ad 等于( ) A.3B.2C.1D.2-【答案】:B【分析】:曲线223y x x =-+的顶点是(12),,则:1, 2.b c ==由a b c d ,,,成等比数列知,12 2.ad bc ==⨯=7.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点111222()()P x y P x y ,,,,333()P x y ,在抛物线上,且2132x x x =+,则有( )A.123FP FP FP +=B.222123FP FP FP += C.2132FP FP FP =+D.2213FP FP FP =· 【答案】:C 【分析】:由抛物线定义,2132()()(),222p p px x x +=+++即:2132FP FP FP =+. 8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm ),可得这个几何体的体积是( ) A.34000cm 3B.38000cm 3C.32000cm D.34000cm【答案】:B 【分析】:如图,180********.33V =⨯⨯⨯=正视图 侧视图俯视图ASCB9.若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为() A.B.12-C.12【答案】:C【分析】:22cos 2cos )π2sin 4αααα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭1cos sin .2αα⇒+=10.曲线x y e =在点2(2)e ,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.294eB.22eC.2eD.22e【答案】:D 【分析】:(),x x y e e ''⇒==曲线在点2(2)e ,处的切线斜率为2e ,因此切线方程为22(2),y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(1,0),(0,),A B e -所以:2211.22AOBe S e ∆=⨯⨯= 11.已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上,球心O 在AB 上,SO ⊥底面ABC ,AC =,则球的体积与三棱锥体积之比是( )A.π B.2π C.3π D.4π【答案】:D 【分析】:如图,2,90,,AB r ACB BC ⇒=∠==31111,3323ABC V SO S r r ∆∴=⨯⨯=⋅⋅=三棱锥333441,::4.333V r V V r r πππ=∴==球球三棱锥12.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次,三人的测试成绩如下表123s s s ,,分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( )A.312s s s >>B.213s s s >> C.123s s s >>D.213s s s >>甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6丙的成绩 环数 7 8 9 10频数 4 6 6 4yx【答案】:B 【分析】:(78910)58.5,20x +++⨯== 甲2222215[(78.5)(88.5)(98.5)(108.5)]1.25,20s ⨯-+-+-+-== (710)6(89)48.5,20x +⨯++⨯==乙 2222226[(78.5)(108.5)]4[(88.5)(98.5)]1.45,20s ⨯-+-+⨯-+-== (710)4(89)68.5,20x +⨯++⨯==丙2222234[(78.5)(108.5)]6[(88.5)(98.5)]1.05,20s ⨯-+-+⨯-+-== 22213213.s s s s s s >>>>2由得第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为 . 【答案】:3【分析】:如图,过双曲线的顶点A 、焦点F 分别向其渐近线作垂线,垂足分别为B 、C ,则:||||63.||||2OF FC c OA AB a =⇒== 14.设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数,则a = .【答案】:-1 【分析】:(1)(1)2(1)0, 1.f f a a =-⇒+=∴=-15.i 是虚数单位,238i 2i 3i 8i ++++= .(用i a b +的形式表示,a b ∈R ,)【答案】:44i - 【分析】:238i 2i 3i 8i i -2-3i +4+5i -6+7i +8=4-4i.++++=16.已知{}n a 是等差数列,466a a +=,其前5项和510S =,则其公差d = .【答案】:12 【分析】:46563,a a a +=⇒=1515135510 1.22a a a S a ++=⨯=⨯=⇒= 511.512a a d -∴==-三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)如图,测量河对岸的塔高AB 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==,,,并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ,求塔高AB .解:在BCD △中,πCBD αβ∠=--.由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠.所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·.在ABC Rt △中,tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·.18.(本小题满分12分)如图,AB C D ,,,为空间四点.在ABC △中,2AB AC BC ===, 等边三角形ADB 以AB 为轴运动.(Ⅰ)当平面ADB ⊥平面ABC 时,求CD ; (Ⅱ)当ADB △转动时,是否总有AB CD ⊥?证明你的结论.解:(Ⅰ)取AB 的中点E ,连结DE CE ,, 因为ADB 是等边三角形,所以DE AB ⊥. 当平面ADB ⊥平面ABC 时,因为平面ADB 平面ABC AB =, 所以DE ⊥平面ABC , 可知DE CE ⊥ 由已知可得1DE EC ==,在DEC Rt △中,2CD =.(Ⅱ)当ADB △以AB 为轴转动时,总有AB CD ⊥. 证明:(ⅰ)当D 在平面ABC 内时,因为AC BC AD BD ==,,所以C D ,都在线段AB 的垂直平分线上,即AB CD ⊥.(ⅱ)当D 不在平面ABC 内时,由(Ⅰ)知AB DE ⊥.又因AC BC =,所以AB CE ⊥.EDBA又DE CE ,为相交直线,所以AB ⊥平面CDE ,由CD ⊂平面CDE ,得AB CD ⊥. 综上所述,总有AB CD ⊥.19.(本小题满分12分)设函数2()ln(23)f x x x =++ (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,的最大值和最小值.解:()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,∞.(Ⅰ)224622(21)(1)()2232323x x x x f x x x x x ++++'=+==+++. 当312x -<<-时,()0f x '>;当112x -<<-时,()0f x '<;当12x >-时,()0f x '>. 从而,()f x 分别在区间312⎛⎫-- ⎪⎝⎭,,12⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,∞单调增加,在区间112⎛⎫--⎪⎝⎭,单调减少. (Ⅱ)由(Ⅰ)知()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,的最小值为11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭.又31397131149lnln ln 1ln 442162167226f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0<. 所以()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,的最大值为117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.20.(本小题满分12分)设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=.(Ⅰ)若a 是从0123,,,四个数中任取的一个数,b 是从012,,三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.(Ⅱ)若a 是从区间[03],任取的一个数,b 是从区间[02],任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.解:设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”.当0a >,0b >时,方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥.(Ⅰ)基本事件共12个:(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.其中第一个数表示a 的取值,第二个数表示b 的取值. 事件A 中包含9个基本事件,事件A 发生的概率为93()124P A ==.(Ⅱ)试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ,,≤≤≤≤. 构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ,,,≤≤≤≤≥. 所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯.21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ,过点(02)P , 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ,. (Ⅰ)求k 的取值范围;(Ⅱ)是否存在常数k ,使得向量OA OB + 与PQ共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)圆的方程可写成22(6)4x y -+=,所以圆心为(60)Q ,,过(02)P , 且斜率为k 的直线方程为2y kx =+. 代入圆方程得22(2)12320x kx x ++-+=, 整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+=. ① 直线与圆交于两个不同的点A B ,等价于2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->,解得304k -<<,即k 的取值范围为304⎛⎫- ⎪⎝⎭,. (Ⅱ)设1122()()A x y B x y ,,,,则1212()OA OB x x y y +=++,,由方程①,1224(3)1k x x k-+=-+ ② 又1212()4y y k x x +=++. ③而(02)(60)(62)P Q PQ =-,,,,,.所以OA OB + 与PQ共线等价于1212()6()x x y y +=+,将②③代入上式,解得34k =-. 由(Ⅰ)知304k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,故没有符合题意的常数k .22.请考生在A、B两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.A(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,已知AP 是O 的切线,P 为切点,AC 是O 的割线,与O 交于B C ,两点,圆心O 在PAC ∠的内部,点M 是BC 的中点.(Ⅰ)证明AP O M ,,,四点共圆; (Ⅱ)求OAM APM ∠+∠的大小.(Ⅰ)证明:连结OP OM ,.因为AP 与O 相切于点P ,所以OP AP ⊥. 因为M 是O 的弦BC 的中点,所以OM BC ⊥.于是180OPA OMA ∠+∠=°.由圆心O 在PAC ∠的内部,可知四边形APOM 的对角互补,所以AP O M ,,,四点共圆. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得AP O M ,,,四点共圆,所以OAM OPM ∠=∠. 由(Ⅰ)得OP AP ⊥.由圆心O 在PAC ∠的内部,可知90OPM APM ∠+∠=°. 所以90OAM APM ∠+∠=°.22.B(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-,.(Ⅰ)把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过1O ,2O 交点的直线的直角坐标方程. 解:以有点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(Ⅰ)cos x ρθ=,sin y ρθ=,由4cos ρθ=得24cos ρρθ=.所以224x y x +=.即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程. 同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程.(Ⅱ)由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩解得1100x y =⎧⎨=⎩,,2222x y =⎧⎨=-⎩. 即1O ,2O 交于点(00),和(22)-,.过交点的直线的直角坐标方程为y x =-. A。
年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知命题:p x ∀∈R ,sin 1x ≤,则( ) A.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x ≥ B.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x ≥ C.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x >D.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x >2.已知平面向量(11)(11)==-,,,a b ,则向量1322-=a b ( ) A.(21)--,B.(21)-,C.(10)-,D.(12)-,3.函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,的简图是( )4.已知{}n a 是等差数列,1010a =,其前10项和1070S =, 则其公差d =( ) A.23-B.13-C.13D.235.如果执行右面的程序框图,那么输出的S =( )yx11-2π- 3π- O 6ππyx11-2π- 3π- O 6π π y x11-2π-3πO6π- πyxπ2π-6π- 1O1-3π A.B.C.D.开始1k = 0S =50?k ≤是2S S k =+否输出S2450 B.2500C.2550 D.26526.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F , 点111222()()P x y P x y ,,,,333()P x y ,在抛物线上, 且2132x x x =+, 则有( ) A.123FP FP FP +=B.222123FP FP FP +=C.2132FP FP FP =+ D.2213FP FP FP =· 7.已知0x >,0y >,x a b y ,,,成等差数列,x c d y ,,,成等比数列,则2()a b cd+的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D.48.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm ),可得这个几何体的体积是( )A.34000cm 3B.38000cm 3C.32000cmD.34000cm 9.若c o s22π2s i n 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭,则c o s s i n αα+的值为( ) A.72-B.12-C.12D.722020正视图20侧视图10 1020俯视图.曲线12e x y =在点2(4e ),处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.29e 2B.24eC.22eD.2e11.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次,三人的测试成绩如下表123s s s ,,分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( )A.312s s s >> B.213s s s >> C.123s s s >>D.231s s s >>12.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ,2h ,h ,则12::h h h =( ) A.3:1:1B.3:2:2C.3:2:2D.3:2:3第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题-第21题为必考题,每个试题考生都必须做答,第22题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为 .14.设函数(1)()()x x a f x x ++=为奇函数,则a = .15.i 是虚数单位,51034ii-+=+ .(用a bi +的形式表示,a b ∈R ,)16.某校安排5个班到4个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,不同的安排方法共有 种.(用数字作答) 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)如图,测量河对岸的塔高AB 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==,,,并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ,求塔高AB .甲的成绩环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 418.(本小题满分12分)如图,在三棱锥S ABC -中,侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,90BAC ∠=°,O 为BC 中点. (Ⅰ)证明:SO ⊥平面ABC ;(Ⅱ)求二面角A SC B --的余弦值. 19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,经过点(02),且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q . (I )求k 的取值范围;(II )设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ,,是否存在常数k ,使得向量OP OQ + 与AB共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.20.(本小题满分12分) 如图,面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ,可按下面方法估计M 的面积:在正方形ABCD 中随机投掷n 个点,若n 个点中有m 个点落入M 中,则M 的面积的估计值为mS n,假设正方形ABCD 的边长为2,M 的面积为1,并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点,以X 表示落入M 中的点的数目. (I )求X 的均值EX ;(II )求用以上方法估计M 的面积时,M 的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03)-0.03,内的概率. 附表:1000010000()0.250.75ktt t t P k C-==⨯⨯∑ k 24242425 2574 2575 ()P k0.04030.04230.95700.959021.(本小题满分12分)D C BA MOSBAC2()ln()f x x a x =++(I )若当1x =-时,()f x 取得极值,求a 的值,并讨论()f x 的单调性; (II )若()f x 存在极值,求a 的取值范围,并证明所有极值之和大于e ln2. 22.请考生在A B C ,,三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.A(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,已知AP 是O 的切线,P 为切点,AC 是O 的割线,与O 交于B C ,两点,圆心O 在PAC ∠的内部,点M 是BC 的中点.(Ⅰ)证明AP O M ,,,四点共圆; (Ⅱ)求OAM APM ∠+∠的大小.22.B(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-,.(Ⅰ)把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过1O ,2O 交点的直线的直角坐标方程.22.C(本小题满分10分)选修45-;不等式选讲 设函数()214f x x x =+--. (I )解不等式()2f x >; (II )求函数()y f x =的最小值.2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题 1.C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.C7.D 8.B 9.C 10.D 11.B 12.B二、填空题 13.3 14.1- 15.12i +16.240三、解答题17.解:在BCD △中,πCBD αβ∠=--.AP O MCB弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠.所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·. 在ABC Rt △中,tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·.18.证明: (Ⅰ)由题设AB AC SB SC ====SA ,连结OA ,ABC△为等腰直角三角形,所以22OA OB OC SA===,且AO BC ⊥,又SBC △为等腰三角形,故SO BC ⊥,且22SO SA =,从而222OA SO SA +-. 所以SOA △为直角三角形,SO AO ⊥. 又AO BO O = .所以SO ⊥平面ABC . (Ⅱ)解法一:取SC 中点M ,连结A M O M ,,由(Ⅰ)知S O O C S A A ==,,得O M S C A M S⊥⊥,. OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角.由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥= ,,得AO ⊥平面SBC .所以AO OM ⊥,又32AM SA =, 故26sin 33AO AMO AM ∠===. 所以二面角A SC B --的余弦值为33. 解法二:以O 为坐标原点,射线OB OA ,分别为x 轴、y 轴的正半轴,建立如图的空间直角坐标系O xyz -.设(100)B ,,,则(100)(010)(001)C A S -,,,,,,,,. SC的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,,OSBAC MOSBACMx zy111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,,,,,,,,.00MO SC MA SC ==,∴··.故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>,,<等于二面角A SC B --的平面角.3cos 3MO MA MO MA MO MA<>==,··, 所以二面角A SC B --的余弦值为33. 19.解:(Ⅰ)由已知条件,直线l 的方程为2y kx =+,代入椭圆方程得22(2)12x kx ++=. 整理得22122102k x kx ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭, 解得22k <-或22k >.即k 的取值范围为2222⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,∞∞. (Ⅱ)设1122()()P x y Q x y ,,,,则1212()OP OQ x x y y +=++,,由方程①,1224212kx x k +=-+. ②又1212()22y y k x x +=++. ③而(20)(01)(21)A B AB =-,,,,,.所以OP OQ + 与AB共线等价于12122()x x y y +=-+,将②③代入上式,解得22k =. 由(Ⅰ)知22k <-或22k >,故没有符合题意的常数k .20.解:每个点落入M 中的概率均为14p =. 依题意知1~100004X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,. (Ⅰ)11000025004EX =⨯=. (Ⅱ)依题意所求概率为0.03410.0310000X P ⎛⎫-<⨯-< ⎪⎝⎭,0.03410.03(24252575)10000X P P X ⎛⎫-<⨯-<=<< ⎪⎝⎭2574100001000024260.250.75t t t t C-==⨯⨯∑2574242510000100001100001000024260.250.750.250.75tt ttt t t CC --===⨯⨯-⨯⨯∑∑0.95700.04230.9147=-=.21.解: (Ⅰ)1()2f x x x a'=++, 依题意有(1)0f '-=,故32a =. 从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++. ()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,∞,当312x -<<-时,()0f x '>;当112x -<<-时,()0f x '<; 当12x >-时,()0f x '>. 从而,()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,∞单调增加,在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭,单调减少. (Ⅱ)()f x 的定义域为()a -+,∞,2221()x ax f x x a++'=+.22210x ax ++=的判别式248a ∆=-.(ⅰ)若0∆<,即22a -<<,在()f x 的定义域内()0f x '>,故()f x 的极值.(ⅱ)若0∆=,则2a -或2a =-.若2a =,(2)x ∈-+,∞,2(21)()2x f x x -'=+. 当22x =-时,()0f x '=,当22222x ⎛⎫⎛⎫∈---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,∞时,()0f x '>,所以()f x 无极值.若2a =-,(2)x ∈+,∞,2(21)()02x f x x -'=>-,()f x 也无极值. (ⅲ)若0∆>,即2a >或2a <-,则22210x a x ++=有两个不同的实根2122a a x ---=,2222a a x -+-=. 当2a <-时,12x a x a <-<-,,从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点,故()f x 无极值. 当2a >时,1x a >-,2x a >-,()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点,由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==,取得极值.综上,()f x 存在极值时,a 的取值范围为(2)+,∞.()f x 的极值之和为2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln22ef x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=.22.A(Ⅰ)证明:连结OP OM ,.因为AP 与O 相切于点P ,所以OP AP ⊥. 因为M 是O 的弦BC 的中点,所以OM BC ⊥.于是180OPA OMA ∠+∠=°.由圆心O 在PAC ∠的内部,可知四边形APOM 的对角互补,所以A P O M ,,,四点共圆.(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得AP O M ,,,四点共圆,所以OAM OPM ∠=∠. 由(Ⅰ)得OP AP ⊥.由圆心O 在PAC ∠的内部,可知90OPM APM ∠+∠=°.APO MC B90OAM APM ∠+∠=°.22.B解:以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(Ⅰ)cos x ρθ=,sin y ρθ=,由4cos ρθ=得24cos ρρθ=. 所以224x y x +=.即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程. 同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程.(Ⅱ)由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩,解得1100x y =⎧⎨=⎩,,2222x y =⎧⎨=-⎩. 即1O ,2O 交于点(00),和(22)-,.过交点的直线的直角坐标方程为y x =-. 22.C解:(Ⅰ)令214y x x =+--,则1521334254x x y x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩, ,, ,, .≤≥...............3分作出函数214y x x =+--的图象,它与直线2y =的交点为(72)-,和523⎛⎫ ⎪⎝⎭,.所以2142x x +-->的解集为5(7)3x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,,. (Ⅱ)由函数214y x x =+--的图像可知,当12x =-时,214y x x =+--取得最小值92-.2008年普通高等学校统一考试(海南卷)数学(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷)数学(理科)试卷第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题:p x ∀∈R ,sin x ≤1,则( )A .:p x ⌝∃∈R ,sin x ≥1B .:p x ⌝∀∈R ,sin x ≥1C .:p x ⌝∃∈R ,sin x >1D .:p x ⌝∀∈R ,sin x >12.已知平面向量a=(1,1),b (1,-1),则向量1322-=a b ( )A .(-2,-1)B .(-2,1)C .(-1,0)D .(-1,2)3.函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,的简图是( )A BC D4.已知{a n }是等差数列,a 10=10,其前10项和S 10=70,则其公差d =( )A .23-B .13-C .13D .235.如果执行右面的程序框图,那么输出的S=( )A .2450B .2500C .2550D .2652yx 11-2π- 3π- O 6π π yx 11- 2π 3π- O 6π π y x 11-2π- 3πO 6π- π yx π 2π 6π- 1 O 1- 3π . .6.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),P 3(x 3,y 3)在抛物线上,且2x 2=x 1+x 3, 则有( )A .123FP FP FP +=B .222123FP FP FP += C .2132FP FP FP =+ D .2213FPFP FP =· 7.已知x >0,y >0,x ,a ,b ,y 成等差数列,x ,c ,d ,y 成等比数列,则2()a b cd+的最小值是( )A .0B .1C .2D .48.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm ),可得这个几何体的体积是( )A .34000cm 3 B .38000cm 3C .2000cm 3D .4000cm 3 9.若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为( ) A .7 B .12- C .12D 710.曲线12e x y =在点(4,e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A .29e 2B .4e 2C .2e 2D .e 211.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次,三人的测试成绩如s 1,s 2,s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( )A .s 3>s 1>s 2B .s 2>s 1>s 3C .s 1>s 2>s 3D .s 2>s 3>s 1 12.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(宁夏、 海南卷)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.第II 卷第22题为选考题,其他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的准考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损.5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.参考公式:样本数据1x ,2x ,L ,n x 的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =,34π3V R =其中S 为底面面积,h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知命题:p x ∀∈R ,sin 1x ≤,则( ) A.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x ≥ B.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x ≥ C.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x >D.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x >【答案】:C【分析】:p ⌝是对p 的否定,故有:,x ∃∈R sin 1.x >2.已知平面向量(11)(11)==-,,,a b ,则向量1322-=a b ( ) A.(21)--, B.(21)-,C.(10)-,D.(12)-,【答案】:D 【分析】:1322-=a b (12).-,3.函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,的简图是( )【答案】:A【分析】:π()sin 23f ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭排除B、D, π()sin 20,663f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭排除C。
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(宁夏、 海南卷)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.第II 卷第22题为选考题,其他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的准考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上.3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损.5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.参考公式: 样本数据1x ,2x ,,n x 的标准差锥体体积公式其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =,34π3V R =其中S 为底面面积,h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知命题:p x ∀∈R ,sin 1x ≤,则( ) A.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x ≥ B.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x ≥ C.:p x ⌝∃∈R ,sin 1x >D.:p x ⌝∀∈R ,sin 1x >【答案】:C【分析】:p ⌝是对p 的否定,故有:,x ∃∈R sin 1.x >2.已知平面向量(11)(11)==-,,,a b ,则向量1322-=a b ( ) A.(21)--,B.(21)-,C.(10)-,D.(12)-, 【答案】:D【分析】:1322-=a b (12).-,3.函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,的简图是( )0,4.已知10A.23-D.23110)a +=5S =A.C.6F ,点1(P 3)y 在抛物线上, 且2132x x x =+, 则有( ) A.123FP FP FP +=B.222123FP FP FP +=C.2132FP FP FP =+ D.2213FP FP FP =·【答案】:C【分析】:由抛物线定义,2132()()(),222p p px x x +=+++即:2132FP FP FP =+.BA7.已知0x>,0y>,x a b y,,,成等差数列,x c d y,,,成等比数列,则2()a bcd+的最小值是()A.0B.1C.2D.4【答案】:D【分析】:,,a b x y cd xy+=+=8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是()A.34000cm3B.38000cm3C.32000cmD.34000cm【答案】:B【分析】:如图,18000202020.33V=⨯⨯⨯=9.若cos2πsin4αα=⎛⎫-⎪⎝⎭,则cos sinαα+的值为()A.B.12-C.12【答案】:C【分析】:22cos2cos)π2sin4αααα==+=-⎛⎫-⎪⎝⎭10.曲线12e xy=在点2(4e),处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.29e2B.24eC.22eD.2e【答案】:D【分析】:11221(),2x xy e e''⇒==曲线在点2(4e),处的切线斜率为212e,因此切线方程正视图侧视图为221(4),2y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(2,0),(0,),A B e -所以:123s s s ,,分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( )A.312s s s >> B.213s s s >> C.123s s s >> D.231s s s >>【答案】:B 【分析】:(78910)58.5,20x +++⨯==甲12.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ,2h ,h ,则12::h h h =( )2:222【答案】:B【分析】:如图,设正三棱锥P ABE -的各棱长为a ,则四棱锥P ABCD -的各棱长也为a , 于是1,2h a == 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题-第21必考题,每个试题考生都必须做答,第22生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2的距离为6,则该双曲线的离心率为 . 【答案】:3【分析】:如图,过双曲线的顶点A 、焦点F 分别向其渐近线作垂线,垂足分别为B 、C ,则:||||63.||||2OF FC c OA AB a =⇒== 14.设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数,则a = .【答案】:-1【分析】:(1)(1)02(1)00, 1.f f a a +-=⇒++=∴=-15.i 是虚数单位,51034ii-+=+ .(用a bi +的形式表示,a b ∈R ,)【答案】:12i + 【分析】:510(510)(34)255012.34(34)(34)25i i i ii i i i -+-+-+===+++-16.某校安排5个班到4个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,不同的安排方法共有 种.(用数字作答) 【答案】:240【分析】:由题意可知有一个工厂安排2个班,另外三个工厂每厂一个班,共有123453240.C C A ⋅⋅=种安排方法。
理科数学试题第1页(共12页)绝密 ★ 启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式:样本数据12,,,n x x x 的标准差锥体体积公式s 13V S h =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V Sh =2344,3S R V R =π=π 其中S 为底面面积,h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知命题 :p x ∀∈R ,sin 1x …,则(A ):p x ⌝∃∈R , sin 1x … (B ):p x ⌝∀∈R , sin 1x … (C ):p x ⌝∃∈R , sin 1x >(D ):p x ⌝∀∈R , sin 1x >(2)已知平面向量(1,1),(1,1),==-a b 则向量1322-a b =(A )(2,1)-- (B )(2,1)- (C )(1,0)- (D )(1,2)-理科数学试题第2页(共12页)(3)函数sin(2)3y x π=-在区间[,]2π-π的简图是(A )(B )(C ) (D )(4)已知{}n a 是等差数列,1010a =,其前10项和1070S =,则其公差d =(A )23- (B )13- (C )13 (D )23(5)如果执行右面的程序框图,那么输出的S = (A )2 450 (B )2 500 (C )2 550 (D )2 652(6)已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点111(,)P x y 、222(,)P x y 、333(,)P x y 在抛物线上,且2132x x x =+,则有 (A )123FP FP FP += (B )222123FP FP FP += (C )2132FP FP FP =+(D )2213FP FP FP =⋅理科数学试题第3页(共12页)(7)已知0,0x y >>,,,,x a b y 成等差数列,,,,x c d y 成等比数列,则2()a b cd+的最小值是(A )0 (B )1 (C )2 (D )4 (8)已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm ),可得这个几何体的体积是(A )34000cm 3(B )38000cm 3(C )32000 cm (D )34000 cm (9)若cos 2sin()4αα=π-,则cos sin αα+的值为 (A) (B )12- (C )12(D(10)曲线12e x y =在点2(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A )29e 2(B )24e (C )22e (D )2e(111s 、2s 、3s 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有(A )312s s s >> (B )213s s s >> (C )123s s s >>(D )231s s s >>(12)一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h 1、h 2、h ,则 h 1﹕h 2﹕h = (A 1﹕1 (B 2﹕2 (C 2(D 2正视图俯视图侧视图第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。
第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
(13)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为.(14)设函数(1)()()x x af xx++=为奇函数,则a=.(15)i是虚数单位,510i34i-+=+.(用ia b+的形式表示,,a b∈R)(16)某校安排5个班到4个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,不同的安排方法共有种.(用数字作答)三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得BCDα∠=,BDCβ∠=,CD s=,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.(18)(本小题满分12分)如图,在三棱锥S ABC-中, 侧面S A B与侧面S A C均为等边三角形, 90,BAC∠=︒O为BC中点.(Ⅰ)证明:SO⊥平面;ABC(Ⅱ)求二面角A SC B--的余弦值.CB A理科数学试题第4页(共12页)理科数学试题第5页(共12页)(19)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,经过点且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q .(Ⅰ)求k 的取值范围;(Ⅱ)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ,是否存在常数k ,使得向量OP OQ + 与AB共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.(20)(本小题满分12分)如图,面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ,可按下面方法估计M 的面积:在正方形ABCD 中随机投掷n 个点,若n 个点中有m 个点落入M 中,则M 的面积的估计值为mS n. 假设正方形ABCD 的边长为2,M 的面积为1,并向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点,以X 表示落入M 中的点的数目.(Ⅰ)求X 的均值EX ; (Ⅱ)求用以上方法估计M 的面积时,M 的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03,0.03)-内的概率.附表:1000010000()C 0.250.75kll l P k -=⨯⨯∑(21)(本小题满分12分)设函数2()ln()f x x a x =++.(Ⅰ)若当1x =-时()f x 取得极值,求a 的值,并讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)若()f x 存在极值,求a 的取值范围,并证明所有极值之和大于eln 2.请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。
做答时请写清题号。
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,已知AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于B 、C 两点,圆心O 在PAC ∠的内部,点M 是BC 的中点.(Ⅰ)证明A ,P ,O ,M 四点共圆; (Ⅱ)求∠OAM +∠APM 的大小.理科数学试题第6页(共12页)(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为4cos , 4sin ρθρθ==-. (Ⅰ)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过⊙O 1,⊙O 2交点的直线的直角坐标方程.(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数()214f x x x =+--. (Ⅰ)解不等式()f x >2; (Ⅱ)求函数()y f x =的最小值.理科数学试题第7页(共12页)绝密 ★ 启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案和评分参考评分说明:1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4. 只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分. 一.选择题(1)C (2)D (3)A (4)D (5)C (6)C (7)D (8)B(9)C(10)D(11)B(12)B二.填空题(13)3 (14)1- (15)12i +(16)240三.解答题 (17)解:在△BCD 中,CBD αβ∠=π--.……2分由正弦定理得,sin sin BC CDBDC CBD=∠∠……5分所以 s i n s i n C D B D CBC CBD ∠=∠sin .sin()s βαβ⋅=+ ……8分在Rt △ABC 中,tan AB BC ACB =∠t a n s i n.s i n ()s θβαβ⋅=+ ……12分(18)证明:(Ⅰ)由题设AB=AC=SB=SC=SA . 连结OA ,△ABC 为等腰直角三角形,所以SA ,且AO ⊥BC . 又△SBC 为等腰三角形,故SO ⊥BC ,且理科数学试题第8页(共12页)SOSA ,从而OA 2+SO 2 =SA 2,……3分所以△SOA 为直角三角形,SO AO ⊥.又AO ∩BC =O ,所以SO ⊥平面ABC . ……6分 (Ⅱ)解法一: 取SC 中点M , 连结AM , OM , 由(Ⅰ)知,SO OC SA AC ==, 得OM ⊥SC ,AM ⊥SC .OMA ∴∠为二面角A SC B --的平面角. ……9分由AO ⊥BC ,AO ⊥SO ,SO ∩BC O =得AO ⊥平面SBC , 所以AO ⊥OM .又AM =,故sin AO AMO AM ∠===所以二面角A SC B --……12分解法二:以O 为坐标原点,射线OB 、OA 分别为x 轴、y 轴的正半轴,建立如图的空间直角坐标系.O xyz -设B (1,0,0),则(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).C A S -SC 的中点11,0,,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭11,0,,22MO ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 11,1,,22MA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (SC =-0MO SC ∴⋅= ,0MA SC ⋅= .故MO ⊥SC ,MA ⊥SC ,,MO MA <>等于二面角A SC B --的平面角.……9分cos ,MO MA MO MA MO MA ⋅<>==所以二面角A SC B -- ……12分(19)解:(Ⅰ)由已知条件,直线l 的方程为y kx =代入椭圆方程得22(12x kx +=,理科数学试题第9页(共12页)整理得221()102k x +++=. ①……3分直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于222184()4202k k k ∆=-+=->,解得k <或k >即k的取值范围为(,)-∞+∞ . ……6分(Ⅱ)设1122(,),(,)P x y Q x y ,则1212(,)OP OQ x x y y +=++, 由方程①,12x x +=. ②又1212()y y k x x +=++③……8分而(0,1),(A B AB =.所以OP OQ + 与AB共线等价于1212)x x y y +=+,将②③代入上式,解得k =……11分由(Ⅰ)知k <或k >,故没有符合题意的常数k .……12分(20)解:每个点落入M 中的概率均为14p =. ……2分依题意知1(10000,)4X B .(Ⅰ)11000025004EX =⨯=.……6分 (Ⅱ)依题意所求概率为0.03410.0310000XP ⎛⎫-<⨯-< ⎪⎝⎭,……9分0.03410.0310000X P ⎛⎫-<⨯-< ⎪⎝⎭()24252575P X =<<257410000100002426C 0.250.75l l ll -==⨯⨯∑2574242510000100001000010000C0.250.75C0.250.75ll lll l l l --===⨯⨯-⨯⨯∑∑0.95700.0423=- 0.9147=.……12分理科数学试题第10页(共12页)(21)解:(Ⅰ)1()2f x x x a'=++, 依题意有(1)0f '-=,故32a =, ……2分 从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++. ()f x 的定义域为3(,)2-+∞. 当312x -<<-时,()0f x '>;当112x -<<-时,()0f x '<;当12x >-时,()0f x '>. 从而,()f x 分别在区间3(,1)2--,1(,)2-+∞单调增加,在区间1(1,)2--单调减少. ……5分(Ⅱ)()f x 的定义域为(,)a -+∞,2221()x ax f x x a++'=+.方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=-.(ⅰ)若0∆<,即a <<()f x 的定义域内()0f x '>,故()f x 无极值. (ⅱ)若0∆=,则a =a =若a =,()x ∈+∞,()f x '=.当x =时,()0f x '=,当(()x ∈+∞ 时,()0f x '>,所以()f x 无极值.若a =),()0x f x '∈+∞=>,()f x 也无极值. ……7分(ⅲ)若0∆>,即a >a <22210x ax ++=有两个不同的实根12x x ==.当a <12,x a x a <-<-. 从而()f x '在()f x 的定义域内没有零点,故()f x 无极值.当a >12,x a x a >->-,()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点,由极值判别方法知()f x 在12,x x x x ==取得极值.综上,()f x 存在极值时,a的取值范围为)+∞.……10分理科数学试题第11页(共12页)()f x 的极值之和为22121122()()ln()ln()f x f x x a x x a x +=+++++21e ln 11ln 2ln 22a =+->-=.……12分 (22)(Ⅰ)证明:连结OP ,OM . 因为AP 与⊙O 相切于点P ,所以OP ⊥AP .因为M 是⊙O 的弦BC 的中点,所以OM ⊥BC .于是∠OP A +∠OMA =180°,由圆心O 在PAC ∠的内部,可知四边形APOM 的对角互补,所以A ,P ,O ,M 四点共圆.……6分(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得A ,P ,O ,M 四点共圆,所以∠OAM =∠OPM.由(Ⅰ)得OP ⊥AP .由圆心O 在PAC ∠的内部,可知∠OPM +∠APM =90°. 所以∠OAM +∠APM =90°.……10分(23)解:以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(Ⅰ)cos ,sin x y ρθρθ==,由4cos ρθ=得24cos ρρθ=,所以224x y x +=.即2240x y x +-=为⊙O 1的直角坐标方程. 同理2240x y y ++=为⊙O 2的直角坐标方程.……6分(Ⅱ)由222240,40x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩ 解得 110,0;x y =⎧⎨=⎩ 222,2.x y =⎧⎨=-⎩即⊙O 1,⊙O 2交于点(0,0)和(2, 2)-. 过交点的直线的直角坐标方程为y x =-.……10分理科数学试题第12页(共12页)(24)解:(Ⅰ)令|21||4|y x x =+--,则15,,2133,4,25, 4.x x y x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪+⎪⎪⎩...... (3)作出函数|21||4|y x x =+--的图像,它与直线2y =的交点为(7,2)-和(,2)3.所以|21||4|2x x +-->的解集为5(,7)(,)3-∞-+∞ .……6分(Ⅱ)由函数 |21||4|y x x =+--的图像可知,当12x =-时,|21||4|y x x =+--取得最小值92-.……10分。