结构力学结构位移计算02

δWe δWi
需注意：
——这就是虚功方程。 （证明略）
⑴ 外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；
§6-2 变形体系的虚功原理
⑵ 位移必须满足虚位移的条件——满足约束条件 的非常微小的连续位移；
⑶ 外力与位移两者之间是相互独立没有关联的。平 衡的外力系与相应的内力是力状态；符合约束条件的微 小位移与相应的变形是位移状态。力状态的外力在位移 状态的位移上做功之和(外力虚功)等于力状态的内力在位 移状态的变形上做功之和(内力虚功)。
内力虚功
若变形与内力彼此无关，则此微段上的内力功 是虚功，其为
dwi FNd FSd Md
对于整根杆的内力虚功，则可对整根杆积分求得：
Wi FNd FSd Md
s
s
s
d , d 和 d 的具体表达式要视引起这个变形的具体
原因而定。
§6-2 变形体系的虚功原理 回顾
（1）质点系的虚功原理
具有理想约束的质点系，在某一位置
处于平衡的必要和充分条件是：
FN1
FP1
对于任何可能的虚位移，作用于质
点系的主动力所做虚功之和为零。也 即
Σ→fi .δr→i=0
FP 2
m 1
m 2
FN 2
§6-2 变形体系的虚功原理
（2）刚体系的虚功原理
去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。 则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。 两者之间的关系：有变形必有位移；有位移不一 定有变形。
§6-1 概述
2. 位移的分类
P
A
A
Ay
A
位移
线位移 转角位移
Ax

刚体位移变形力状态满足平衡条件位移状态满足约束条件第二节变形体虚功原理按外力虚功和内力虚功计算微段虚功总和微段内力虚功所以由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt按刚体虚功和变形虚功计算微段虚功总和微段变形虚功所以基于平衡状态的刚体虚功原理第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt对于直杆体系由于变形互不耦连有
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：

任意虚位移时，变形体所受外力在虚位移
上所作的总虚功δ We，恒等于变形体各微
段外力在微段变形位移上作的虚功之和
δ Wi。也即恒有如下虚功方程成立:
δ We = δ Wi
4.虚功原理的两种应用 (1)虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的平 衡力状态之间。
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。
§5-3静定结构支座移动时的位移计算
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Support Movement) K 1
KC K
K
c1
c2 c3
FR 1
FR 3
FR 2
We Fi i 1 kc FR1C1 FR2C2 FR3C3 0
第五章 静定结构位移计算
Displacement of Statically Determinate Structures
§5-1结构位移计算概述

A Fp
线位移 位移
Ay
A
A
Ax
转角位移
A A点线位移 Ax A点水平位移 Ay A点竖向位移 A截面转角
1.结构的位移 (Displacement of Structures)
l 3
M ( x) x l , M P ( x) q(l x) 2 / 2
FP 1 x
8EI FQ 2GA P q(l x)k q(l x) Q 4 EIk [ ]dx FP 1 0 Mi GA 2 EI M GAl2 2 4 qkl ql () A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5, FQ i 2GA 8EI h / l 1 / 10, E / G 2l.5(钢砼) x 对于细长杆,剪切变形 Q 1 对位移的贡献与弯曲变 M 100 形相比可略去不计.

l
dl
l
的一半。
D
注意点：
(1)外力实功中，位移是由做功的力本身引起的，且外力是变化的 (由零开始逐渐增加到其最后数值)。
(2)计算外力实功时，力与位移必须相对应。
.
17
5-2 线性变形体系的功能原理 一、外力实功
计算外力实功时，力与位移必须相对应
P
D
MA
j
T 1 PΔ 2
T
1 2
M Aj
P
D
B
EA EI
GA
将式(2)代入(1)，并在长度方向积分，得到一个杆件的实变形能
累加所有杆件的实变形能，得到体系的实变形能
j U U d d U U 1 2 ( F 2 N F 2 E N d d su A M M 2 2 E d d s I F Q F d 2 Q G 2 d ) s A
基础发生沉降 结构支座移动、转动 结构产生位移
4.其他因素
结构构件的尺寸制作误差、材料的干缩、混凝士凝结收缩等
.
7
5-1 概述 三、计算结构位移的目的 1.验算结构的刚度
结构要满足强度、刚度、稳定性要求。 结构的刚度：以其变形或位移来量度
（在验算结构刚度时，需计算结构位移）。 闸门：沿水流方向位移超过允许限度时，将使闸门的启闭受到阻碍，同 时影响止水效果。 结构设计规范中具体规定
1
P1
2
2
P2
.
21
5-2 线性变形体系的功能原理
1
1
P1
2
2
P2
b
a
1 1'
P1
1 1'
D1=Dl1
2 2'
2 2'

A
x
C
x
C
∆AV
l 2 l 2
(a) 实际状态 1）列出两种状态的内力方程： ）列出两种状态的内力方程：
AC段 0 ≤ x ≤ 段 l 2
B
l 2
l 2
(b) 虚设状态
N =0 M = −x Q = −1
NP = 0 MP = 0 Q =0 P
2
2
∆Q ∆Q h 1 h 1 当 = 时, = 1.83%;当 = 时, = 7.32% l 10 ∆M l 5 ∆M
计算屋架顶点的竖向位移。 例2 计算屋架顶点的竖向位移。
q(N/m )
1 1 1
4.5
3.0
1.5
P 2
P
D
C
ql P= 4 P
F G 0.25l
NP
1
1.5
P 2
B 0 1.5 0.5 0
二、利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式： 利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式：
K
K′
实际状态 （位移状态） 外虚功： 外虚功：W
e
∆
t1 t2
c2 c1
1
R 1
虚拟状态 （力状态） 内虚功： 内虚功：W
i
R2
= 1 ⋅ ∆ + ∑ Rk ⋅ ck
1 ⋅ ∆ + ∑ R k ck = ∑ ∫ (Mκ + N ε + Q γ )d s
第4章 静定结构的位移计算
Calculation of Statically Displacement Structures
目
录
§4-1 结构位移和虚功的概念 §4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 §4-3 静定结构由荷载所引起的位移 §4-4 图乘法 §4-5 互等定理

a
b
A
C
B
P
X
1、需设位移求静定结构的未知力（虚位移原理）
δX =1，δP=b/a
W=0
虚设位移求未知力（虚位移原理） 1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡方程。 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方便，可 以随意虚设，如设δX=1。 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解静力平 衡问题。
QC=1.25qa
虚功方程为: QC×1
2、虚设力系求位移（虚力原理、单位荷载法）
b
a
c
Δ
P=1
å
ò
ds
EI
M
M
P
（5）桁架 Δ=
å
ò
EA
N
N
P
ds =
（6）桁梁混合结构
用于梁式杆
用于桁架杆
（7）拱常只考虑弯曲变形的影响； 对扁平拱需考虑轴向变形。
å
ò
ds
EI
M
M
P
å
ò
EA
N
N
P
+
Δ=
（3）公式右边各项分别是轴向、剪切、弯曲变形产生的位移。 （4）梁和刚架
作出机构可能发生的刚体虚 位移图；
应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的步骤： 1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度 的机构，
使原来的约束力X变成主动力。
-
=
N
q
sin
-
=
R
M
q
cos
=
P
Q
P
q
sin
-
=
P
N
P
q
sin
-

1 qa 2 2
MP
1
8
qa
2
qa
(2) 在C 截面加单位力偶作 M图1 ，如图b所示。
2
m =1 (c)
2
1 1
3
2
1
a
M1
烟台大学 烟台大学
第4章 静定结构的位移计算
返回
c
M 1MP ds EI
RM
RM P
1 k1
R
N
RNP
1 k2
自测
1 [ 2 1 qa2 a 1 1 2a qa2 ( 2 3 1 1)
烟台大学 烟台大学
第4章 静定结构的位移计算
5. 具有弹性支撑或弹性约束的结构的位移计算
返回
弹性支承或弹性约束有以下几种类型：
自测
(a)
(b)
(c)
(d)
帮助
开篇
已知弹簧的刚度系数为k（或已知柔度系数为f，其中
退出 f=1／k)
图a和图b的弹簧会产生线位移⊿，从而产生反力k⊿。
上一页
注意：弹簧的反力与位移⊿方向相反。
第4章 静定结构的位移计算
3. 支座移动时的位移计算
返回
静定结构当支座产生移动时，整个结构发生刚体位移，
自测 因而不产生变形，应用刚体的虚功原理We=0，得
Δ1 Rc 0
帮助
式中，R为虚单位力引起的支座反力，c 为实际支座位
开篇 移,当二者方向一致时，其乘积取正值，相反时取负值。若
结构是超静定的，则当支座移动时，将会产生内力和变形，
应的位移影响系数21等于由荷载F2引起的与荷载F1相应
上一页 的位移影响系数12。
这里的荷载可以是广义荷载，而位移则是相应的广义位

施加一个集中力偶PK=1；
注：所施加力的方向是任意的，如计算结果为正， 则位移的方向与PK的方向相同，为负则相反。
§7-4
图
乘
法
刚架与梁的位移计算公式为：
KP

MM EI
P
ds
一、图乘法计算公式
MM EI 1
1 EI
P
ds


M M P d s (对于等 截面杆) EI
MM
P
d x (对于直杆)
( M x tan )
1 EI tan x tan M P d x xM
Pdx
EI tan EI
xc
1 EI
yc
图乘法求位移公式为:
1. 图乘法的应用条件：
（1）等截面直杆，EI为常数；

KP


yc
EI
（2）两个M图中应有一个是直线； （3）
k
求k点竖向位移.
iP
位移状态
位移状态也称实际状态、第二状态
位移：
KP M P ds EI , du
p
变形：d P

N P ds EA
, P ds K
Q P ds GI

力状态也称虚拟状态、第一状态 外力：PK=1
内力： M , N , Q
PK 1
力状态
代入位移公式得：
2
PK 1
M
P
ql
M 图
1 EI 1 ql 24 EI 2 3
3
解:
B

[(
l
1 8
ql )
2
1 2

例如，图1(a)所示两个梯形应用图乘法，可不必求 梯形的形心位置，而将其中一个梯形(设为MP图)分成 两个三角形，分别图乘后再叠加。
图1
对于图2所示由于均布荷载q所引起的MP图，可以 把它看作是两端弯矩竖标所连成的梯形ABDC与相应简
支梁在均布荷载作用下的弯矩图叠加而成。
四、几种常见图形的面积和形心的位置
零。
P
2Δ
PP2P30
22
2
YA P/2
YB P/2
2.变形体系的虚功原理 We Wi
体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的
位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体
系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和。
说明： （1）虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态
PR3 PRk PR
4EI 4EA 4GA
M N Q
P θ
P=1
钢筋混凝土结构G≈0.4E 矩形截面,k=1.2，I/A=h2/12
Q M
kGEAI2R14Rh2
N M

I AR2
1 h2 12R
如 h 1 ， 则Q 1 ， N 1
1
EA 2(1 2)Pa()
1 2
1
EA
2
1
例3.求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移Δ。
解：1）虚拟单位荷载
2）实际荷载
虚拟荷载
ds
M P PR sin
M R sin
QP P cos
Q cos
dθ
N P P sin
N sin
d d ds d
d dd sd sN Pds