最新数列通项公式的求法总结

求数列通项公式方法归纳

一、公式法

【例1】 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得

1

13222n n

n n a a ++=

+，则113

222

n n n n

a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22

n n

a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31

()222

n n a n =-。

二、累加法

【例2】 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

2

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2

(1)1

2

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n

---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=

所以数列{}n a 的通项公式为2

n a n =。

【例3】在数列{n a }中，

3

1=a ,)

1(11++

=+n n a a n n ，求通项公式n a .

解：原递推式可化为：1111+-

+

=+n n

a a n n

则

,

21

1

112-

+

=a a

312

123-

10.3数列求通项

知识梳理.数列求通项

1.利用n S 与n a 的关系求通项公式；

2.累加法：若已知1a 且()()12n n a a f n n --=≥的形式；

3.累乘法：若已知1a 且

()()1

2n

n a f n n a -=≥的形式；4.构造法：若已知

1a 且

()12,0,1n n a pa b n p p -=+≥≠≠的形式

q

pa a n n +=+1()

n f pa a n n +=+1n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）

；

题型一.利用Sn 与an 的关系考点1.已知Sn 与an 的关系求an

1．已知数列{a n }为等差数列，且a 3＝5，a 5＝9，数列{b n }的前n 项和S n =23b n +1

3．

（Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式；

【解答】解：（Ⅰ）数列{a n }为等差数列，∴d =1

2（a 5﹣a 3）＝2，

又∵a 3＝5，∴a 1＝1，

∴a n ＝2n ﹣1，

当n ＝1时，S 1=23b 1+13，

∴b 1＝1，

当n ≥2时，b n ＝S n ﹣S n ﹣1=23b n −2

3b n ﹣1，

∴b n ＝﹣2b n ﹣1，

即数列{b n }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴b n ＝（﹣2）n ﹣

1，

2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2=3(−1)(∈∗)．

（1）求数列{a n}的通项公式；

【解答】解：（1）当n＝1时，2S1＝3（a1﹣1）＝2a1，得a1＝3，当n≥2时，2S n＝3（a n﹣1），2S n﹣1＝3（a n﹣1﹣1），

数列求通项的方法总结

按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an}的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。为大家总结数列求通项的方法，一起来看看吧！

一、累差法

递推式为：an+1=an+f(n)(f(n)可求和)

思路：:令n=1,2,…,n-1可得

a2-a1=f(1)

a3-a2=f(2)

a4-a3=f(3)

……

an-an-1=f(n-1)

将这个式子累加起来可得

an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)

∵f(n)可求和

∴an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)

当然我们还要验证当n=1时,a1是否满足上式

例1、已知数列{a}中,a1=1,an+1=an+2,求an

解：令n=1,2,…,n-1可得

a2-a1=2

a3-a2=22

a4-a3=23

……

an-an-1=2n-1

将这个式子累加起来可得

an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)

∵f(n)可求和

∴an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)

当n=1时,a1适合上式

故an=2n-1

二、累商法

递推式为：an+1=f(n)an（f(n)要可求积）

思路：令n=1,2,…,n-1可得

a2/a1=f(1)

a3/a2=f(2)

a4/a3=f(3)

……

an/an-1=f(n-1)

将这个式子相乘可得an/a1=f(1)f(2)…f(n-1)

∵f(n)可求积

∴an=a1f(1)f(2)…f(n-1)

当然我们还要验证当n=1时，a1是否适合上式

例2、在数列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an

数列求通项公式方法总结

数列是数学中的一种常见概念，它在很多应用领域中发挥着重要

作用。数列的通项公式是指能够通过一个公式来表示数列的每一项的

方法。在数学中，求解数列的通项公式是一种重要的技巧和思维训练。本文将总结一些常见的数列求通项公式的方法。

方法一：递推法

递推法是数列求解的一种常见方法。它基于数列中每一项与前一

项之间的关系，通过逐项递推来找到通项公式。

例如，考虑一个等差数列 2，5，8，11，14......，我们可以observe 最终一项与前一项之间的关系，即 +3。因此，我们可以推断

出该数列的通项公式为 2+3(n-1)，其中 n 为项数。通过递推法，我

们可以求解出许多常见的数列。

方法二：代数法

代数法是一种通过代数方程来表示数列通项的方法。对于一些特

殊的数列，我们可以通过数学运算和等式推导来找到通项公式。

例如，考虑一个等比数列 2，4，8，16，32......，我们可以发

现每一项与前一项之间的关系都是乘以2。因此，我们可以写出等式

an = a(n-1) * 2，其中 a(n-1) 表示前一项。通过解这个等式，我们

可以得到通项公式 an = 2^(n-1)。

方法三：配方法

配方法是一种通过把数列分解成两个已知数列的和或差的方法，

从而找到通项公式的方法。这种方法常用于一些复杂的数列。

例如，考虑一个斐波那契数列 1，1，2，3，5，8......，我们

可以发现每一项都是前两项之和。通过设定两个已知数列 a(n) 和

b(n)，满足 a(1) = a(2) = 1，b(1) = 2，b(2) = 3，并通过递推求

求数列通项公式的11种办法办法

总述：一．运用递推关系式求数列通项的11种办法：

累加法.

累乘法.

待定系数法.

阶差法（逐差法）.

迭代法.

对数变换法.

倒数变换法.

换元法（目标是去递推关系式中消失的根号）.

数学归纳法（罕用）

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）.

特点根法

二．四种根本数列：等差数列.等比数列.等和数列.等积数列及其广义情势.等差数列.等比数列的求通项公式的办法是：累加和累乘,这二种办法是求数列通项公式的最根本办法.

三．求数列通项的办法的根本思绪是：把所求数列经由过程变形,代换转化为等级差数列或等比数列.

四．求数列通项的根本办法是：累加法和累乘法.

五．数列的本质是一个函数,其界说域是天然数集的一个函数. 一.累加法

1．实用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最根本的二个办法之一. 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥,

则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

双方分离相加得 111

()n

n k a a f n +=-=∑

例1 已知数列{}n a 知足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式. 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =.

例2 已知数列{}n a 知足112313n n n a a a +=+⨯+=，,求数列{}n a 的通项公式. 解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则

求数列通项公式的方法总结：

1)观察法。例如1、3、5、7、9……

2)公式法。对于等差数列：a n=a1+(n-1)d;对于等比数列：a n=a1·q n-1。

3)形如a n+1=pa n+q,变形为（a n+1+k）=p(a n+k),其中k=q／(p-1)

构造数列｛a n+k｝是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。

4)形如a n+2=pa n+1+qa n,,变形为a n+2+ma n+1=n(a n+1+ma n),自行解出m

和n

构造数列｛a n+1+ma n｝是以a2+ma1为首项，n为公比的等比试列。

5)形如a n+1=pa n+q n,变形为a n+1/q n=p/q·a n/q n-1+1,再利用3）的步

骤即可求出通项公式。

6)形如a n+1=pa n+q n+t n,变形为a n+1/q n=p/q·a n/q n-1+（t/q）n+1,则先

忽略（t/q）n这一项,利用3）的方法配出3）的形式，然后再同时除以（t/q）n，再利用3）的步骤即可求出通项公式。

7)a n+1=ta n/(p+qa n)变形为1/a n+1=p/t·1/a n+q/t, 再利用3）的步

骤即可求出通项公式。

8)利用s n-s n-1=a n的关系求出通项公式。

利用以上方法求通项公式时，要用到数列求和的方法，下面

予以归纳：

1)公式法。对于等差数列s n=na1+n·(n-1)d或s n=n(a1+a n)/2,对

于等比数列s n=a1·q n-I。

2)常用的几个基本求和公式

a)1+2+3+……+n=n·(n+1)/2

求数列通项的方法总结

数列通项是指数列中任意一项与该数列的序号之间的关系。求解数列

通项的方法主要有以下几种：

1. 直接法：根据数列中的一些已知条件和特点，直接推导出通项公式。例如，对于等差数列an=a1+(n-1)d，其中a1是第一项，d是公差，n

是序号。如果已知数列的首项和公差，可以直接根据该式求解通项。

2. 递推法：对于一些递推数列，可以通过前一项与后一项之间的关

系来推导出通项公式。例如，斐波那契数列an=an-1+an-2，其中a1=a2=1，可以通过递推法求解出通项公式。

3. 求和法：对于一些数列，可以通过对数列进行求和，从而得到通

项公式。例如，等差数列和公式Sn=(a1+an)×n/2，其中Sn是数列前n

项的和，a1是首项，an是最后一项。通过反过程进行推导，可以求得通项。

4. 差分法：对于一些数列，可以通过数列中相邻项的差值与序号之

间的关系来推导出通项公式。例如，对于二次数列an=n^2，可以通过差

分法求解出通项公式an=n^2-n+1

5. 代数法：对于一些复杂的数列，可以通过代数运算和方程求解的

方法来得到通项公式。例如，对于给定的数列an=2^(n-1)，可以通过代

数法将an的表达式进行推导。

总之，求解数列通项的方法因数列的性质和特点而异。不同的数列可

能需要不同的方法来求解，常用的方法包括直接法、递推法、求和法、差

分法和代数法等。在实际问题中，根据数列的已知条件和特点选择适当的

方法可以更快地求解出数列的通项。

数列通项公式、前n项和求法总结（全）

⼀.数列通项公式求法总结：

1.定义法 —— 直接利⽤等差或等⽐数列的定义求通项。

特征：适应于已知数列类型（等差或者等⽐）．

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等⽐数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.变式练习：

1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式

2. 在等⽐数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的⾸项、公⽐及前n 项和.

2.公式法

求数列{}n a 的通项n a 可⽤公式≥?-=?=-2

111n S S n S a n n n 求解。

特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系

例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。

（1）13-+=n n S n 。（2）12-=n s n

变式练习：

1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2

+n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满⾜n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。

2. 已知数列{}n a 的前n 项和212

n S n kn =-

+（*k N ∈）,且S n 的最⼤值为8，试确定常数k 并求n a 。

3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2

2.求数列{}n a 的通项公式。

3.由递推式求数列通项法

数列通项公式常用求法及构造法

数列通项公式是指将数列中的每一项用一个公式来表示的方法，可以根据数列的规律和性质来确定。通项公式的确定可以有常用求法和构造法两种方法。

常用求法包括找规律、列方程和用递推式三种方法。

1.找规律法：通过观察数列中的数字之间的规律性质，总结出一般规律，并将其转化为代数表达式。这种方法适用于数列有简单规律的情况。

例一：已知数列的前四项依次为1、3、6、10，求数列的通项公式。

观察可得：数列的第n项是由前一项加上n-1得到的，即第n项为n-1加上前一项。因此，可以得出通项公式：a_n=a_(n-1)+(n-1)。

2.列方程法：根据已知的前n项的数值，列出方程，然后解方程得到通项公式。

例二：数列的前四项依次为1、4、9、16，求数列的通项公式。

将数列的第n项用a_n表示，则有：

a_1=1

a_2=4

a_3=9

a_4=16

根据观察可得：数列的通项公式应该是平方函数，即a_n=n^2、通过验证可以发现，对于任意正整数n，都满足该公式。

3.用递推式法：通过已知的前n项与通项之间的关系，构造递推关系式，然后解递推关系式得到通项公式。

例三：数列的前四项依次为1、2、4、8，求数列的通项公式。

将数列的第n项用a_n表示，则有：

a_1=1

a_2=2

a_3=4

a_4=8

观察可得：数列的通项公式应该是指数函数，即a_n=2^(n-1)。通过验证可以发现，对于任意正整数n，都满足该公式。

构造法是另一种确定数列通项公式的方法，其思路是通过构造一个满足数列性质的函数，并验证其是否满足数列的每一项。

求数列通项公式的十种方法

一、公式法

例1 已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n

n n a a +=+⨯两边除以12n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113

222

n n n n

a a ++-=，故数列{}2n n a 是以

1222a 1

1==

为首项，

以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22

n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为3

1()22

2

n

n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n

n n a a +=+⨯转化为

11

3

222

n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3

1(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

2

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)1

2

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++

+⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=

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常见数列通项公式的求法

公式：

1、 定义法

若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式

()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 中即可.

例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的

345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式.

练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何*n N ∈都有

1234127

,0,,,,6954

n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.

2、 累加法

形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，()11n n a a f n --=-，

()122n n a a f n ---=-，

()322a a f -=，

()

211a a f -=，

以上()1n -个等式累加得

（3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.

①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和；

求数列通项公式方法经典总结

一、求数列通项公式的方法

1、求数列的前几项

找出一个数列的前几项是由于对应的数列往往是有规律的，所以通过

研究前几项的变化规律，可以推出数列的通项公式。

2、探索数列的等差性和等比性

当我们找到数列的前几项时，下一步就要探索数列的等差性和等比性，找出数列的变化规律，若数列是等差数列，则利用等差数列的通项公式推

算出数列的通项公式；若数列是等比数列，则利用等比数列的通项公式推

算出数列的通项公式。

3、分情况求通项公式

（1）它是一个等差数列，公差都是常量，则通项公式为：

An=a1+（n-1）dn

（2）它是一个等比数列，公比都是常量，则通项公式为：

An=a1qn-1

（3）它是一个混合数列，是等差数列和等比数列的混合。

比如：a1=1，d=2，q=2，n=1,2,3,……

此时，通项公式为：

An=1（2n-1）。

4、对应不同的数列，对应不同的求解方法

（1）相邻项都有关联，但是公差或公比不是常量，则可以用拉格朗日数列的方法求出数列的通项公式；

（2）相邻项有规律，但不存在公差和公比，可以用对数变换法求出数列的通项公式；

（3）常见的数列有公差或公比，可以用上面提到的方法求得通项公式；

数列通项公式—常见9种求法

数列通项公式是指能够直接给出数列中任意一项的公式。找到数列通项公式可以帮助我们快速计算数列中的任意项，同时也能更好地理解数列的性质和规律。在数学中，有多种方法可以求解数列通项公式，下面我们将介绍其中的9种常见方法。

1.递推关系法

递推关系法是求解数列通项公式最常见的方法之一、当我们可以找到数列中每一项与前几项之间的关系时，可以利用递推关系求出通项公式。例如，斐波那契数列中每一项都等于前两项的和，可以用递推关系

f(n)=f(n-1)+f(n-2)来求解。

2.等差数列通项公式

等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。等差数列通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。

3.等比数列通项公式

等比数列是指数列中每一项与前一项的比都相等的数列。等比数列通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，r 表示公比。

4.幂数列通项公式

幂数列是指数列中每一项都是一个幂函数的形式。幂数列通项公式为an = ar^(n-1)，其中an表示第n项，a表示一些常数，r表示递增的比值。

5.组合数列通项公式

组合数列是指数列中每一项都是由组合数形成的数列。组合数列通项公式可以通过求解组合数来获得。

6.一元多项式数列通项公式

一元多项式数列是指数列中的每一项都是由一元多项式形成的数列。可以利用多项式的相关性质和求解方法获得数列通项公式。

7.递推与线性常系数齐次差分方程法

递推与线性常系数齐次差分方程法是利用递推关系和差分方程的性质求解数列通项公式的方法。

数列求通项公式方法总结

数列是数学中的重要概念，它在数学领域的各个分支都有广泛的应用。对于一个数列而言，求解其通项公式是一个非常重要的问题。通项公式能够帮助我们快速计算数列中任意一项的值，有效地简化计算过程。本文将总结几种常见的数列求通项公式的方法。

一、等差数列的通项公式

等差数列是最常见的数列之一，其特点是数列中每一项与前一项之间的差值都是相等的。求解等差数列的通项公式可以利用等差数列的性质——任意一项与首项的差值等于项数与公差的乘积。具体方法如下：

1. 已知首项与公差，求通项公式：

对于等差数列{an}，首项为a1，公差为d。我们可以根据等差数列的性质推导出通项公式如下：an = a1 + (n - 1) * d。

2. 已知前两项，求通项公式：

对于等差数列{an}，已知a1和a2。我们可以利用a1和a2的值推导出通项公式如下：an = a1 + (n - 1) * (a2 - a1)。

二、等比数列的通项公式

等比数列是指数列中每一项与前一项之间的比值都是相等的数列。求解等比数列的通项公式可以利用等比数列的性质——任意一项与首项的比值等于项数与公比的幂次方。具体方法如下：

1. 已知首项与公比，求通项公式：

对于等比数列{an}，首项为a1，公比为r。我们可以根据等比数列的性质推导出通项公式如下：an = a1 * r^(n - 1)。

2. 已知前两项，求通项公式：

对于等比数列{an}，已知a1和a2。我们可以利用a1和a2的值推导出通项公式如下：an = a1 * (a2 / a1)^(n - 1)。

数列求通项公式方法总结

数列是数学中一个重要的概念，是指按照一定的规律依次排列的数的集合。求数列的通项公式是数学中常见的一个问题，解决这个问题有多种方法，下面将对其中常用的几种方法进行总结。

一、等差数列的通项公式

等差数列是指数列中的每个数与它的前一个数之间的差值都是一个常数d。求等差数列的通项公式有两种常用的方法。

1. 首项和公差法：设等差数列的首项为a1，公差为d，那么第n项的值可以表示为an = a1 + (n-1)d。

2. 前后两项法：设等差数列的第n项为an，第(n-1)项为an-1，那么第n项的值可以表示为an = an-1 + d。

二、等比数列的通项公式

等比数列是指数列中的每个数与它的前一个数之间的比值都是一个常数q。求等比数列的通项公式有两种常用的方法。

1. 首项和公比法：设等比数列的首项为a1，公比为q，那么第n项的值可以表示为an = a1 * q^(n-1)。

2. 前后两项法：设等比数列的第n项为an，第(n-1)项为an-1，那么第n项的值可以表示为an = an-1 * q。

三、斐波那契数列的通项公式

斐波那契数列是指数列中的每个数都是它前两个数之和。求斐波那契数列的通项公式有两种常用的方法。

1. 递归定义法：设斐波那契数列的第n项为an，那么第n项的值可以表示为an = F(n-1) + F(n-2)，其中F(n)表示第n个斐波那契数。

2. 矩阵法：可以用矩阵的幂等性来求解斐波那契数列的通项公式。设矩阵A = [[1, 1], [1, 0]]，那么第n项的值可以表示为an = (A^(n-1))[0][0]。

【一】 求数列通项公式的常用方法

各个求通项的方法之间并不是相互孤立的,有时同一题目中也可能同时用到几种方法,要具体问题具体分析! 一 公式法

数列符合等差数列或等比数列的定义,求通项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式

()11n a a n d =+-或11n n a a q -=中即可.

例1 数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何*

n N ∈都有

1234127

,0,,,,6954

n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.

二 利用n a 与n S 的关系

如果给出条件是n a 与n S 的关系式,可利用1

112

n n n S n a S S n -=⎧=⎨

-≥⎩求解.注意:应分1

n =和2n ≥两种情况考虑,若两种情况能统一则应统一,否则应分段表示!

例2 若数列{}n a 的前n 项和为3

3,2

n n S a =-求{}n a 的通项公式.

三 累加法

形如已知1a 且()1n n a a f n +-= (()f n 为可求和的数列)的形式均可用累加法.

例3 数列{}n a 中已知111,2n

n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.

四 累乘法

形如已知1a 且

()1

n n

a f n a += (()f n 为可求积的数列)的形式均可用累乘法.

例4数列{}n a 中已知112

1,

n n a n a a n

++==, 求{}n a 的通项公式.

五 构造法

若给出条件直接求n a 较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,从而求出通