解方程1 22

龙文教育学科教师辅导讲义说明：一些含有y x +、22y x +、xy 的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便. 例3、关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，〔1〕求k 的取值范围；〔2〕是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？假设存在，求出k 的值；假设不存在，请说明理由。

例4、当k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根与m 均为有理数？例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程〔二次项系数为1〕时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。

你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例6、b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：假设0122=--a a ，0122=--b b ，那么ab b a +的值为 。

例7、βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .测试题目：一、选择题1．解方程：3x 2+27=0得〔 〕.(A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个2．方程〔2-3x 〕+〔3x-2〕2=0的解是〔 〕.(A),x 2=-1 (B) ,(C)x 1=x 2= (D) ,x 2=13.方程(x-1)2=4的根是( ).(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-24.用配方法解方程:正确的选项是( ).(A) (B)(C),原方程无实数解 (D) 原方程无实数解用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的选项是( ). (A) a=1,b= (B)a=1,b=-,c=2(C)a=-1,b=- ,c=-2 (D)a=-1,b=,c=26．用公式法解方程：3x2-5x+1=0，正确的结果是〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕都不对二、填空7．方程9x2=25的根是___________...8.二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,那么t=________,另一个根是_________.9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,那么m的值为__________.10.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个一样的解,那么a=________.三、用适当的方法解以下关于x和y的方程12．〔x+2〕〔x-2〕=1. 13.(3x-4)2=(4x-3)214.3x2-4x-4=0. 15.x2+x-1=0.16.x2+2x-1=0. 17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.18.2x2- 19.x2-bx-2b2=0.20.a2x2+2abx+b2-4=0(a≠0). 21．〔b-c〕x2-〔c-a〕x+〔a-b〕=0〔a≠c〕22．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.〔A〕因式分解法〔B〕配方法〔C〕公式法23．解方程：〔1〕〔2〕24．解关于x的方程：x2-2x+1-k〔x2-1〕=025．|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx〔x+1〕-5〔x+1〕〔x-1〕=x2。

22.1一元二次方程（第1课时）1.填空：(1)把5x2-1=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把4x2=81化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(3)把x(x+2)=15化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .2.填空：(1)一个一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-5，这个一元二次方程是；(2)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为3，这个一元二次方程是；(3)一个一元二次方程，它的二次项系数为5，一次项系数为-1，常数项为0，这个一元二次方程是；(4)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-6，这个一元二次方程是 .22.1一元二次方程（第2课时）1.填空：(1)只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程；(2)ax2+bx+c=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.2.填空：(1)把(x+3)(x-4)=0化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把(2x+1)2=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .3.填空：在-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这些数中，是一元二次方程x2-x-6=0的根的是 .4.填空：方程x2-36=0的根是x1= ，x2= .5.完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2-6=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)解方程：9(x-2)2=1.解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .22.2.1配方法（第1课时）1.完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2-8=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)解方程：3(x-1)2-6=0.解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .2.完成下面的解题过程：解方程：9x2+6x+1=4；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .3.填空：(1)x2+2·x·2+ =(x+ )2；(2)x2-2·x·6+ =(x- )2；(3)x2+10x+ =(x+ )2；(4)x2-8x+ =(x- )2.4.完成下面的解题过程：解方程：x2-8x+1=0；解：移项，得 .配方，得， .开平方，得，x1= ，x2= .5.用配方法解方程：x2+10x+9=0.课外补充作业：6.填空：(1)x2-2·x·3+ =(x- )2；(2)x2+2·x·4+ =(x+ )2；(3)x2-4x+ =(x- )2；(4)x2+14x+ =(x+ )2.7.完成下面的解题过程：解方程：x2+4x-12=0.解：移项，得 .配方，得， .开平方，得，x1= ，x2= .8.用配方法解方程：x2-6x+7=0.22.2.1配方法（第2课时）1.完成下面的解题过程：用配方法解方程：x2-12x+35=0.解：移项，得 .配方，得， .开平方，得，x1= ，x2= .2.填空：(1)x2-2·x·13+ =(x- )2；(2)x2+5x+ =(x+ )2；(3)x2-32x+ =(x- )2；(4)x2+x+ =(x+ )2.3.完成下面的解题过程：用配方法解方程：x2-x-74=0.解：移项，得 .配方， .开平方，得，x1= ，x2= .4.完成下面的解题过程：用配方法解方程：3x2+6x+2=0.解：移项，得 .二次项系数化为1，得.配方， .开平方，得，x1= ,x2= .5.用配方法解方程：9x2-6x-8=0.22.2.1配方法（第3课时）1.完成下面的解题过程：用配方法解方程：3x2+6x－4=0.解：移项，得 .二次项系数化为1，得.配方， .开平方，得，x1= ,x2= .2.完成下面的解题过程：用配方法解方程：(2x-1)2=4x+9.解：整理，得 .移项，得 .二次项系数化为1，得.配方， .开平方，得，x1= ,x2= .3.用配方法解方程：(2x+1)(x-3)=x-9.22.2.2公式法（第1课时）1.完成下面的解题过程：利用求根公式解方程：x2+x-6=0.解：a= ，b= ，c= . b2-4ac== ＞0.=_________，1x=_________，1x=__________.2.利用求根公式解下列方程：(1)21x=04；(2)24x ；(3)3x 2-4x+2=0.22.2.2公式法（第2课时） 1.完成下面的解题过程： 用公式法解下列方程：(1)2x 2-3x-2=0.解：a= ，b= ，c= .b 2-4ac= = ＞0.=_________，1x =_________，1x =__________.解：整理，得 . a= ，b= ，c= .b 2-4ac= = .=_________，12x =x =_________.(3)(x-2)2=x-3.解：整理，得 . a= ，b= ，c= . b 2-4ac== ＜0.方程 实数根.2.利用判别式判断下列方程的根的情况：(1)x 2-5x=-7；(2)(x-1)(2x+3)=x ；(3)x 2x.22.2.3因式分解法（第1课时） 1.完成下面的解题过程：用公式法解方程：2x(x-1)+6=2(0.5x+3)解：整理，得 . a= ，b= ，c= . b 2-4ac== ＞0.x=__________________=______， 1x =_________，2x =__________. 2.完成下面的解题过程：用因式分解法解方程：x 2解：移项，得 .因式分解，得 . 于是得 或 ， x 1= ，x 2= .3.用因式分解法解下列方程：(1)x 2+x=0；(2)4x 2-121=0；(3)3x(2x+1)=4x+2；(4)(x-4)2=(5-2x)2.22.2.3因式分解法（第2课时）1.填空：解一元二次方程的方法有四种，它们是直接开平方法、 、、 . 2.完成下面的解题过程：(1)用直接开平方法解方程：2(x-3)2-6=0； 解：原方程化成 .开平方，得 ， x 1= ，x 2= .(2)用配方法解方程：3x 2-x-4=0；解：移项，得 . 二次项系数化为1，得.配方 ， . 开平方，得 ，x 1= ，x 2= .(3)用公式法解方程：x(2x-4)=2.5-8x. 解：整理，得 . a= ，b= ，c= . b 2-4ac== ＞0.=_________,x 1= ，x 2= .(4)用因式分解法解方程：x(x+2)=3x+6. 解：移项，得 . 因式分解，得 . 于是得 或 ，x 1= ，x 2= .2.指出下列方程用哪种方法来解比较适当：(1)(2x+3)2=-2x；(2)(2x+3)2=4(2x+3)；(3)(2x+3)2=6.课外补充作业：3.先指出下列方程用哪种方法来解比较合适，然后再按这种方法解：(1)(2x-3)2=25；(2)(2x-3)2=5(2x-3)；(3)(2x-3)=x(3x-2).4.用配方法解方程：x2+2x-1=0.22.3实际问题与一元二次方程（第1课时）1.完成下面的解题过程：一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2,求两条直角边的长.解：设一条直角边的长为 cm，则另一条直角边的长为 cm.根据题意列方程，得.整理，得 .解方程，得x1= ，x2= （不合题意，舍去）.答：一条直角边的长为 cm，则另一条直角边的长为 cm.2.一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm2，(1)求菱形的两条对角线长；(2)求菱形的周长.（提示：菱形的面积=两条对角线积的一半）22.3实际问题与一元二次方程（第2课时）1.填空：(1)有一人得了流感，他把流感传染给了10个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了10个人，经过两轮传染后，共有人得流感.(2)有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了x个人，经过两轮传染后，共有人得流感.2.完成下面的解题过程：有一个人知道某个消息，经过两轮传播后共有49人知道这个消息，每轮传播中平均一个人传播了几个人？解：设每轮传播中平均一个人传播了x个人.根据题意列方程，得.提公因式，得( )2= .解方程，得 x1= ，x2= （不合题意，舍去）.答：每轮传播中平均一个人传播了个人.3.一个人知道某个消息，设每轮传播中一个人传播了x个人，填空：(1)经过一轮传播后，共有人知道这个消息；(2)经过两轮传播后，共有人知道这个消息；(3)经过三轮传播后，共有人知道这个消息；(4)请猜想，经过十轮传播后，共有人知道这个消息.22.3实际问题与一元二次方程（第3课时）1.填空：(1)扎西家2006年收入是2万元，以后每年增长10％，则扎西家2007年的收入是万元，2008年的收入是万元；(2)扎西家2006年收入是2万元，以后每年的增长率为x，则扎西家2007年的收入是万元，2008年的收入是万元.2.完成下面的解题过程：某公司今年利润预计是300万元，后年利润要达到450万元，该公司利润的年平均增长率是多少？解：设该公司利润的年平均增长率是x.根据题意列方程，得.解方程，得x1≈，x2≈（不合题意，舍去）.答：该公司利润的年平均增长率是 %.3.某公司今年利润预计是300万元，设该公司利润的年平均增长率是x，填空：(1)明年该公司年利润要达到万元；(2)后年该公司年利润要达到万元；(3)第三年该公司年利润要达到万元；(4)第十年该公司年利润要达到万元.第二十二章一元二次方程复习（第1、2、3课时）1.填空（以下内容是本章的基础知识，是需要你理解的，先直接用铅笔填，想不起来再在课本中找）(1)只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程. (2)ax2+bx+c=0这种形式叫做一元二次方程的形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.(3)能使一元二次方程左右相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的 .(4)一元二次方程的四种解法是：直接开平方法、、、.(5)一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac 时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac 时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac 时，方程没有实数根. (6)b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的，用来表示.(7)利用一元二次方程解决实际问题的步骤是：审题，，，， .2.填空：(1)把(x+2)(x-5)=1化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .(2)把(x+3)(x-3)=5x2-2化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .(3)已知一元二次方程x2-kx+2=0的一个根是-3，则k= .(4)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.根据这个问题，可以列出的方程是 .(5)x2+12x+ =(x+ )2，x2-43x+ =(x- )2.(6)在方程①3x2，②5x2，③8x2=3x-1中，没有实数根的是，有两个不相等的实数根是，有两个相等的实数根是 .(7)有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，则经过两轮传染后，共有人得流感.(8)经过两年的努力，某村的青稞亩产由250千克达到300千克，求每年的平均增长率x.根据这个问题，可以列出的方程是.3.完成下面解题过程：(1)用直接开平方法解方程：4(x+2)2-9=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)用配方法解方程：x2+2x-4=0；解：移项，得 .配方，得，.开平方，得，x1= ，x2= .(3)用公式法解下列方程：2x(x-1)=3(x+1)；解：整理，得 .a= ，b= ，c= .b2-4ac= = ＞0.=_________，1x =_________，2x =__________. (4)用因式分解法解方程：(2x-3)2=x 2.解：移项，得 . 因式分解，得 . 于是得或 ， x 1= ，x 2= .4.用适当的方法解下列方程：(1)196x 2-1=0；(2)x 2+8x=0；(3)x(2x-5)=4x-10；(4)x(x-7)=1；(5)2x 2+3x+3=0；(6)4x 2+12x+9=81.5.一元二次方程kx 2-2x+1=0，填空：(1)当k 时，方程有两个不相等的实数根；(2)当k 时，方程有两个相等的实数根；(3)当k 时，方程没有实数根. 6.把小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.7.某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由4％降至2％，平均每次降息的百分率是多少？8.一个直角梯形的下底比上底大2cm ，高比上底小1cm ，面积等于8cm 2，求这个直角梯形的周长.文档说明(Word 文档可以删除编辑)专注于可以编辑的精品文档：小学试卷教案合同协议施工组织设计、期中、期末等测试中考、高考、数学语文英语试卷、高中复习题目、本文档目的是为了节省读者的工作时间，提高读者的工作效率，读者可以放心下载文档进行编辑使用.由于文档太多，审核有可能疏忽，如果有错误或侵权，请联系本店马上删除。

教案：五年级数学上册-22解方程（二）教学目标：1. 让学生理解方程的概念，能够识别方程中的未知数和等式。

2. 培养学生通过观察、比较、分析等方式，找出方程中的未知数，并尝试用数学方法解决。

3. 让学生掌握解方程的方法，能够通过简单的运算求出未知数的值。

4. 培养学生将解方程的方法应用到实际生活中，解决一些简单的问题。

教学重点：1. 理解方程的概念，能够识别方程中的未知数和等式。

2. 学会通过观察、比较、分析等方式，找出方程中的未知数。

3. 掌握解方程的方法，能够通过简单的运算求出未知数的值。

教学难点：1. 如何引导学生通过观察、比较、分析等方式，找出方程中的未知数。

2. 如何帮助学生掌握解方程的方法，特别是对于一些复杂方程的解法。

教学准备：1. 教学课件或黑板，用于展示方程和解方程的过程。

2. 方程练习题，用于学生的课堂练习。

教学过程：一、导入1. 引导学生回顾上一节课学习的方程知识，让学生回忆方程的概念和特点。

2. 提问：同学们，上一节课我们学习了方程，谁能告诉我方程是什么？方程有什么特点？二、探究1. 出示一些简单的方程，让学生观察、比较、分析，找出方程中的未知数。

2. 引导学生通过观察、比较、分析等方式，找出方程中的未知数，并尝试用数学方法解决。

3. 教师通过示例，展示解方程的方法，让学生跟随示例进行操作。

三、练习1. 出示一些方程练习题，让学生独立完成。

2. 教师巡回指导，解答学生的疑问。

四、巩固1. 出示一些稍微复杂的方程，让学生尝试解方程。

2. 教师通过示例，展示解复杂方程的方法，让学生跟随示例进行操作。

五、总结1. 引导学生总结本节课学习的解方程的方法和步骤。

2. 提问：同学们，今天我们学习了什么？解方程的方法和步骤是什么？六、作业1. 出示一些方程练习题，让学生回家完成。

2. 要求学生在完成作业的过程中，注意观察、比较、分析，找出方程中的未知数，并尝试用数学方法解决。

教学反思：本节课通过引导学生观察、比较、分析，找出方程中的未知数，并尝试用数学方法解决，培养了学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。

数学解方程题100道解方程题100道（一）1. 解方程$2x+5=13$。

解：移项得$2x=8$，再除以2，得到$x=4$。

2. 解方程$3(x-2)=4x-5$。

解：先将方程式两边扩展：$3x-6=4x-5$移项得$-x=1$所以$x=-1$3. 解方程$4(x+3)-2x=7(2x-1)-4$。

解：先将方程式两边扩展：$4x+12-2x=14x-7-4$移项得$2x=15$所以$x=\frac{15}{2}$4. 解方程$\frac{5}{2}x+\frac{1}{4}=x-\frac{3}{8}$。

解：将两边同乘8得到：20x+2=32x-3移项得$12x=5$所以$x=\frac{5}{12}$5. 解方程$2(x-3)+5(x+1)=7+3x$。

解：先将方程式两边扩展：2x-6+5x+5=7+3x移项得$4x=4$所以$x=1$6. 解方程$\frac{x}{3}+2=\frac{5x}{6}-1$。

解：将两边同乘6得到：2x+12=5x-6移项得$3x=-18$所以$x=-6$7. 解方程$7x-8=5x+14$。

解：移项得$2x=22$，再除以2，得到$x=11$。

8. 解方程$\frac{1}{3}(3x+2)=\frac{2}{5}(5x-1)$。

解：将两边同乘15得到：5(3x+2)=6(5x-1)移项得$x=\frac{8}{3}$9. 解方程$\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}x+\frac{3}{8}$。

解：将$\frac{1}{4}x$移到左边，将$\frac{3}{4}$移到右边得到：\frac{1}{4}x=\frac{3}{8}+\frac{3}{4}化简得到\frac{1}{4}x=\frac{9}{8}所以$x=\frac{9}{2}$10. 解方程$4x+\frac{5}{8}=3x+\frac{7}{4}$。

解：将式子两边得到：x+\frac{5}{8}=\frac{7}{4}移项得$x=\frac{21}{8}$11. 解方程$10x-4=2x+26$。

一元二次方程的概念及解法知识图谱1、一元二次方程知识精讲一．一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：ax 2c为常数项．bxc0(a0)，a为二次项系数，b为一次项系数，判断是一元二次方程的标准：①整式方程②一元方程③二次方程二．一元二次方程的解一元二次方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．三点剖析一．考点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解．1二．重难点：一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解．1.三．易错点：确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项—--二次项的系数是否为零即可；2.注意对于关于x的方程ax 2，当a0时，方程是一元二次方程；当a0且b0 bxc0时，方程是一元一次方程；一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看．题模精讲题模一：概念例以下方程中是关于x的一元二次方程的是〔〕A．x210B．ax 2x2bxcC．3x22x53x2D．x1x21例方程(m2)x m3mx10是关于x的一元二次方程，那么m______例假设方程m1x2m x1是关于x的一元二次方程，那么m的取值范围是__________．例方程x422x13的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______题模二：解例关于x的一元二次方程 a 1x2x a2 1 0的一个根是0，那么a的值为_________________．例x1是关于x的方程x2mx n 0的一个根，那么m22mn n2的值为_______．随堂练习2随练假设(m2)x m2x 3 0是关于x的一元二次方程，那么m的值为_________。

2随练关于x的方程(m1)x2 (m 1)x 3m 2 0，当m__________时是一元一次方程；当m__________时是一元二次方程随练假设一元二次方程(m2)x23(m215)xm240的常数项为零，那么m的值为_________随练假设关于x的一元二次方程〔a+1〕x2+x﹣a2+1=0有一个根为0，那么a的值等于〔〕A．﹣1B．0C．1D．1或者﹣1随练方程x2m2xn30的两根分别是2、3，那么mn__________随练假设x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，那么6m+2n=____．随练假设关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0〔a≠0〕的解是x=1，那么2021-a-b的值是〔〕A．2021B．2021C．2021D．20212、直接开平方法知识精讲一．直接开平方法假设x2aa0，那么x叫做a的平方根，表示为x a，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．二．直接开平方法的根本类型1．x2a(a0)解为：x a2．(x a)2b(b0)解为：x a b3．(ax2c(c0)解为：ax b c b)4．(ax b)2(cx d)2(ac)解为：ax b(cxd)三点剖析一．考点：直接开平方法．二．重难点：直接开平方法．三．易错点：直接开平方法解一元二次方程时注意一般都有两个解，不要漏解，如果是两个相等的解，也要写成x1x2a的形式．3题模精讲题模一：直接开平方法例求下面各式中x的值：〔1〕4x 2；9〔2〕x225．1例求x的值：1(5x1)2303随堂练习随练解以下方程：〔1〕2x280〔2〕2516x202〔3〕1x90随练解关于x的方程：x26x 9 (5 2x)22随练假设方程x 2 a 4有实数根，那么a的取值范围是________.随练解关于x的方程：2(3x1)2853、配方法知识精讲一．配方法4配方法：把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解的这样一种方法就叫做配方法．二．配方法的一般步骤：2 运用配方法解形如 ax bx c 0(a 0)的一元二次方程的一般步骤是：1．二次项系数化 1；2．常数项右移；3．配方〔两边同时加上一次项系数一半的平方〕；4．化成(x m) 2n的形式；5．假设n 0 ，选用直接开平方法得出方程的解．2 2b x)c0 b 2b2axbxc0(a0) a(x a a(x)a()c0b2b22a2ab2b24aca(x 2a ) 4a c (x 2a )4a 2 ．三点剖析一．考点：配方法．二．重难点：配方法解一元二次方程，配方法求解最值或取值范围．三．易错点：在化成直接开平方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的，如果是那么利用直接开平方法求解即可，如果不是，原方程就没有实数解．题模精讲题模一：配方法2例用配方法解方程： x 6x 4例 用配方法解以下方程：〔1〕2x 21 0 8x 〔2〕x 24x2 0〔3〕x 21 x 1 034〕3y 2123y例 用配方法解方程 x 22x10 时，配方后得到的方程为〔〕A ．〔x 22221)0 B ．〔x1)0 C ．〔x1)2 D ．〔x1)2例用配方法解关于 x 的方程x 2pxq0〔p ，q 为常数〕5例22，x、y为实数，求x y的值x y4x6y130题模二：最值问题2例试用配方法说明x2x 3的值恒大于0例x、y为实数，求代数式x2y22x 4y 7的最小值例a，b，c是整数，且 a 2b 4，ab c2 1 0，求a b c的值随堂练习随练用配方法解方程：2x23x 10随练假设把代数式x25x 7化为x m2k的形式，其中m、k为常数，那么k m．随练a，b，c均为实数，且ab4，2c2ab43c10，求ab的值．随练用配方法说明2的值恒小于0 10x7x4622随练x ，y为实数，求代数式5x4y8xy2x4的最小值．4、公式法知识精讲一．公式法2 公式法：一元二次方程 ax bx c 0(a 0)，用配方法将其变形为： 根的判别式 b 2 4ac ，x 1,x 2是方程的两根，假设 b 2 4ac 0，那么x 1,2二．公式法解一元二次方程的一般步骤1．把方程化为一般形式；2．确定a 、b 、c 的值； 3．计算b 2 4ac 的值；4．假设b 2 4ac 0，那么代入公式求方程的根； 5．假设b 2 4ac 0，那么方程无解．三．判别式与根的关系1． 0 时，原方程有两个不相等的实数解； 2． 0 时，原方程有两个相等的实数解； 3． 0 时，原方程没有实数解．b2b 2 4ac(x 2a )4a 224ac ．bb2a三点剖析一．考点：公式法．二．重难点：利用公式法求解一元二次方程，利用判别式判断根的情况．三．易错点：在用公式法求解方程的解时，一定要判断“ 〞的取值范围，只有当0时，一元二次方程才有实数解．题模精讲7题模一：公式法例用公式法解关于x的一元二次方程m 1x22m 1x m 3 0．例解方程：x2+4x﹣1=0．例1解方程x(6x1)4x32(2x)2例用公式法解关于x的一元二次方程m1x22m1x m30．例解方程：xx 3x 20题模二：判别式与根的关系例以下一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是〔〕A．x2+1=0B．x2﹣3x+1=0C．x2﹣2x+1=0D．x2﹣x+1=0例关于x的一元二次方程mx22x10有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是〔〕A．m1B．m1C．m1且m0D．m1且m0例关于x的方程〔a-6〕x2-8x+6=0有实数根，那么整数a的最大值是〔〕8A．6B．7C．8D．9随堂练习2随练用公式法解一元二次方程2x3x 10．随练解方程(x5)(x 7)12随练解关于x的方程：xpxq0．随练解关于x的方程x2x10．随练以下一元二次方程中无实数解的方程是〔〕A．x2+2x+1=0B．x2+1=0C．2D．2x=2x-1x-4x-5=0随练假设关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是〔〕A．k1B．k1C．k1且k1且k0k0D．随练关于x的一元二次方程〔m-1〕x2+x+1=0有实数根，那么m的取值范围是〔〕A．m≥-5且m≠1B．m≤5且m≠1 44C．m≥5D．m≤-5且m≠0 4495、因式分解法知识精讲一．因式分解法因式分解法：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解，这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法．因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：假设ab0，那么a0或b0．三点剖析一．考点：因式分解法解一元二次方程．二．重难点：利用提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等方法解一元二次方程．三．易错点：没有化成ab0的形式，例如由2x121从而导致漏解或x1直接得到2x1者直接得到2x10从而导致错解．题模精讲题模一：因式分解法例用因式分解法解方程：2x34xx30例2用因式分解法解方程：3x4x40．22例用因式分解法解方程：9x216x10．10例用因式分解法解方程：x23mx 2m2mn n20，〔m、n为常数〕随堂练习2随练用因式分解法解方程：2x136x．随练用因式分解法解方程：5x210x 5 31 x22随练用因式分解法解方程：6x x 350．222随练x的一元二次方程m1x63m1x7201〕．用因式分解法解关于〔m6、根与系数的关系知识精讲一．韦达定理11如果ax2bx c0(a0)的两根是x1，x2，那么x x b，x1x2c．〔隐含的条件：12a a0〕特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x1，x2是方程x2px q0的两个根，那么x1x2p12q．，xx二．韦达定理与根的符号关系在24ac0的条件下，假设x1，x2是ax2bx c0(a0)的两根〔其中x1x2〕我们有b如下结论：1．c0x1x20，假设b0，那么x1x2；假设b0，那么x1x2．a a a2．c0xx20．假设b0，那么x1x20；假设b0，那么x2x10．a1a a更一般的结论是：假设x1，x2是ax2bx c0(a0)的两根〔其中x1x2〕，且m为实数，当0时，一般地：〔1〕(x1m)(x2m)0x1m，x2m〔2〕(x1m)(x2m)0且(x1m)(x2m)0x1m，x2m〔3〕(x1m)(x2m)0且(x1m)(x2m)0x1m，x2m特殊地：当m0时，上述就转化为ax2bxc0(a0)有两异根、两正根、两负根的条件．三点剖析一．考点：韦达定理二．重难点：韦达定理的应用1．方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；2．方程，求关于方程的两根的代数式的值；3．方程的两根，求作方程；4．结合根的判别式，讨论根的符号特征；．逆用构造一元二次方程辅助解题：当等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理．三．易错点：在使用韦达定理的时候没有提前检验0是否成立题模精讲题模一：韦达定理例假设方程x24x c 0的一个根为23，那么方程的另一个根为______，c______．12例设x1、x2是方程x22k1xk220的两个不同的实根，且x11x218，那么k的值是．例如果a，b都是质数，且a213am0，b213bm0，求b a的值．a b随堂练习随练m，n是有理数，并且方程x2mxn0有一个根是52，那么mn_______．随练关于22有两个实数根，并且这两个根的平方和比这x的方程x2(m2)xm50两个根的积大16，求m的值．随练关于x的方程x24x2m80的一个根大于1，另一个根小于1，求m的取值范围．随练如果实数a,b分别满足a22a2，b22b2，求11的值a b13作业1假设|b1|a20，那么以下方程一定是一元二次方程的是〔〕A．ax25xb0B．b21x2a3x50C．a1x2b1x70D．b1x2ax10作业2关于x的方程(xa)2(ax2)2是一元二次方程，求a的取值范围．作业3a b2a、b的值？方程2x xx40是关于x的一元二次方程，求作业4假设n〔n≠0〕是关于x方程x2+mx+2n=0的根，那么 n+m+4的值为〔〕A．1B．2C．-1D．-2作业5关于x的一元二次方程m 2x2x m2 4 0有一根为0，那么m的值为_______.作业62解方程：31x6作业7解关于x的方程：3(x 1)22714作业8 用直接开平方法解以下一元二次方程〔1〕9x 216〔2〕x 2 16 05 〔3〕x23x 251〔4〕42x52293x1作业9解方程：2x 28x 3 0．作业10将方程x 2 4x10化为xm2n 的形式，其中m ，n 是常数，那么mn_____________作业 11 方程 2 6xq0可以配方成xp226xq2可以配成以下x 7的形式，那么 x 的〔 〕A ．x 2B ．29p5xp29D ．xp22C ．xp2 5m 2n 21 1作业12mnmn10，那么m n 的值为__________．作业13ab23，bc 23，那么a 2 b 2 c 2 ab bc ac 的值为__________．15作业14实数a ，b ，c 满足a 26b17，b 28c23，c 22a14，那么abc 的值为__________．y 1 z 2作业15 x12322 2设，求代数式xyz的最小值．作业16解方程3x 2 52x 1作业17用公式法解方程：ax 2 bx c0〔a 、b 、c 为常数且a0〕．作业18设方程x 2 2x1 4 0．求满足该方程的所有根之和作业19 一元二次方程 x 2+2x+1=0的根的情况〔〕A ．有一个实数根B ． 有两个相等的实数根C ． 有两个不相等的实数根D ． 没有实数根作业20关于x 的一元二次方程 2 2m 的取值范mx+〔2m-1〕x+1=0有两个不相等的实数根，那么围是〔 〕A ．k ＞-1B ．m ＞1且m ≠144 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ≥-1且m ≠04416作业21假设关于x 的方程kx 22k1xk10有实数根，求k 的取值范围．作业222xx35x3 的解是〔〕x5B ．x32A ．x 1522，x23D ．xC ．5作业23 用因式分解法解方程x 26x 94x 28x 4．作业24解关于x 的方程x 2p 2 q 2x pqpqpq．作业 25方程2x 2mx 2m 4 0的一个解为1，那么另一个解为__________，__________．作业26方程2x 2 mx 30的两根的平方和为 5，那么m=__________．作业27 实数k 为何值时，关于 x 的一元二次方程 x 2(2k 3)x (2k 4)0．1〕有两个正根？2〕两根异号，且正根的绝对值较大？3〕一根大于3，一根小于3？17作业28阅读材料：设一元二次方程ax2bx c0(a 0)的两根是x1、x2，那么根与系数关系为：x1x2b c pq1x1x22p10，1q20，且pq1，求q的值．a，a．pq作业29方程2〔m+1〕x2+4mx+3m=2，根据以下条件之一求m的值．1〕方程有两个相等的实数根；2〕方程有两个相反的实数根；3〕方程的一个根为0．作业30阅读下面的例题，解方程x2﹣|x|﹣2=0解：原方程化为 |x|2﹣|x|﹣2=0．令y=|x|，原方程化成y2﹣y﹣2=0解得：y1=2，y2=﹣1当|x|=2，x=±2；当|x|=﹣1时〔不合题意，舍去〕∴原方程的解是x1=2x2=﹣2请模仿上面的方法解方程：〔x﹣1〕2﹣5|x﹣1|﹣6=0．作业31x2y22x4y0解方程组：y4．2x0作业32观察下表，答复以下问题，第____个图形中“△〞的个数是“○〞的个数的5倍．18作33 察以下方程及其解的特征：1〕x+1=2的解x 1=x 2=1；x 2〕x+1=5的解x 1=2，x 2=1；x 2 2 （ 3〕x+1=10的解x 1=3，x 2=1；x 3 3⋯解答以下：x1〕猜想：方程x+1=26的解____；5（ 2〕猜想：关于x 的方程x+1=____的解x 1=a ，x 2=1〔a ≠0〕；x a〔3〕下面以解方程x+1=26例，〔1〕中猜想的正确性．x52解：原方程可化 5x-26x=-5．〔下面大家用配方法写出解此方程的程〕作34三个关于 x 2 2 cxa0，cx2的一元二次方程axbxc 0，bx axb0恰有一个公共数根，a 2b 2c 2的__________bc ca ab19。

解方程教学设计11篇解方程教学设计11篇作为一名教职工，时常需要准备好教学设计，借助教学设计可以让教学工作更加有效地进行。

那么优秀的教学设计是什么样的呢？解方程教学设计1教学内容：教材P69例4、例5及练习十五第6、8、9、13题。

教学目标：知识与技能：巩固利用等式的性质解方程的知识，学会解ax ±b＝c与a(x ±b)=c类型的方程。

过程与方法：进一步掌握解方程的书写格式和写法。

情感、态度与价值观：在学习过程中，进一步积累数学活动经验，感受方程的思想方法，发展初步的抽象思维能力。

教学重点：理解在解方程过程中，把一个式子看作一个整体。

教学难点：理解解方程的方法。

教学方法：观察、分析、抽象、概括和交流.教学准备：多媒体。

教学过程一、复习导入1．出示习题：解下面方程：4x = -x =学生自主解答练习，并说一说是怎么做的。

并在订正的过程中，规范书写。

2．引出：这节课我们来继续学习解方程。

（板书课题：解方程）二、互动新授1．出示教材第69页例4情境图。

引导学生观察，并说一说图意。

再让学生根据图列一个方程。

学生列出方程3x +4=40后，让学生说一说怎么想的。

（一盒铅笔盒有x 支铅笔，3盒铅笔盒就有3x 支铅笔。

）在学生说自己的想法时，引导学生说出把3个未知的铅笔盒看作一部分，4支铅笔看作一部分。

2．让学生试着求出方程的解。

学生在尝试解方程时，可能会遇到困难，要让学生说一说自己的困惑。

学生可能会疑惑：方程的左边是个二级运算不知识如何解。

也有学生可能会想到，把3个未知的铅笔盒看作一部分，先求出这部分有多少支，再求一盒多少支。

（如果没有，教师可提示学生这样思考。

）提问：假如知道一盒铅笔盒有几支，要求一共有多少支铅笔，你会怎么算？学生会说：先算出3个铅笔盒一共多少支，再加上外面的4支。

师小结：在这里，我们也是先把3个铅笔盒的支数看成了一个整体，先求这部分有多少支。

解方程时，也就是先把谁看成一个整体？(3x ) 让学生尝试继续解答，订正。

解方程必背公式口诀1、解一元二次方程方程没有一次项，直接开方最理想。

如果缺少常数项，因式分解没商量。

ｂ、ｃ相等都为零，等根是零不要忘。

ｂ、ｃ同时不为零，因式分解或配方，也可直接套公式，因题而异择良方。

2、有理数的减法运算减正等于加负，减负等于加正。

3、有理数的乘法运算符号法同号得正异号负，一项为零积是零。

4、合并同类项说起合并同类项，法则千万不能忘。

只求系数代数和，字母指数留原样。

5、去、添括号法则去括号或添括号，关键要看连接号。

扩号前面是正号，去添括号不变号。

括号前面是负号，去添括号都变号。

6、解方程已知未知闹分离，分离要靠移完成。

移加变减减变加，移乘变除除变乘。

7、平方差公式两数和乘两数差，等于两数平方差。

积化和差变两项，完全平方不是它。

8、完全平方公式二数和或差平方，展开式它共三项。

首平方与末平方，首末二倍中间放。

和的平方加联结，先减后加差平方。

9、完全平方公式首平方又末平方，二倍首末在中央。

和的平方加再加，先减后加差平方。

10、解一元一次方程先去分母再括号，移项变号要记牢。

同类各项去合并,系数化“1”还没好。

求得未知须检验，回代值等才算了。

11、解一元一次方程先去分母再括号，移项合并同类项。

系数化1还没好，准确无误不白忙。

12、因式分解与乘法和差化积是乘法，乘法本身是运算。

积化和差是分解，因式分解非运算。

13、因式分解两式平方符号异，因式分解你别怕。

两底和乘两底差，分解结果就是它。

两式平方符号同，底积2倍坐中央。

因式分解能与否，符号上面有文章。

同和异差先平方，还要加上正负号。

同正则正负就负，异则需添幂符号。

14、因式分解一提二套三分组，十字相乘也上数。

四种方法都不行，拆项添项去重组。

重组无望试求根，换元或者算余数。

多种方法灵活选，连乘结果是基础。

同式相乘若出现，乘方表示要记住。

【注】一提（提公因式）二套（套公式）15、因式分解一提二套三分组，叉乘求根也上数。

五种方法都不行，拆项添项去重组。

解一元一次方程40题（二）含答案1．若关于x 的方程2m x x =-的解为整数，且m 为负整数，求代数式22225[(65)2(3)]m m m m m m -----的值．2．已知关于x 的方程3261x m x +=+与2(2)46x x +=-的解相同，求m 的值．3．解方程：（1）542(23)x x -=-（2）341125x x -+-=4．已知关于x 的方程4(2)x ax -=的解为正整数，求整数a 的所有可能取值．5．解方程：（1）2534x x -=+（2）341125x x -+-=6．解下列方程：（1）5278x x +=-．（2）10(1)5x -=．（3）7341125x x -+-=．7．解方程12334x x x -+-=-8．解方程13136x x x ---=-9．解方程：5(1)64(2)x x +-=--10．若a 、b 为定值，关于x 的一元一次方程2236kx a x bk +--=，无论k 为何值时，它的解总是1x =-，求23a b +的值．11．请阅读下列材料：让我们来规定一种运算：a bad bcc d=-，例如：2325341012245=⨯-⨯=-=-．按照这种运算的规定，请回答下列的问题：（1）求0.6475的值；（2）若132212x x-=，试用方程的知识求x的值．12．解关于未知数x的方程：2(3)1153(1)x x x--=-+ 13．解方程：2(1)3(2)5x x--+=14．解方程：382x x-=+．15．小华在解方程21132x x a-+=-，去分母时，方程的右边的1-没有乘6，因而求得的方程的解为2x=，求a的值，并正确地解方程．16．解方程：455x x=-17．解方程：11 (3)1 23xx-+=+18．解方程：（1）423x x-=-（2）24311 32x x+--=19．解方程：1211 23x x--+=．20．解方程：（1）4610x-=-；（2）1053x x=-．21．解方程：（1）263x += （2）3157146y y ---=22．解方程（1）52(4)6y y -+= （2）2121136x x -+-=-23．解一元一次方程：（1）5234x x +=- （2）222(1)x x -=-24．小明解方程121224x x +--=+的过程如图，请指出他解答过程中所有错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．25．解方程：（1）53(1)x x -=+ （2）211123y y +--=26．解方程：3(2)12x -+=-27．阅读与理解：已知关于x 的方程5kx x =-有正整数解，求整数k 的值． 解：5kx x +=，(1)5k x +=，51x k =+因为关于x 的方程5kx x =-，有正整数解，所以51k +为正整数，因为k 为整数，所以11k +=或15k +=，所以0k =或4k =； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x 的方程6kx x =+有正整数解，求整数k 的值．28．解方程：（1）2(8)31x x +=- （2）132125x x -+=-29．解方程：（1）5634x x -=- （2）71132x x -+-=30．解方程24431324x x +--=31．解方程：21122323x x x -++=-32．若关于x 的方程1123x k k --=+与方程3(1)5x x x --=-的解互为相反数，求k 的值．33．解方程：4(1)5(3)11x x +--=．34．解方程：43(8)4x x --=．35．阅读以下例题：解方程：|3|2x -=．解：（1）当30x -…时，方程化为32x -=，所以5x =；（2）当30x -<时，方程化为32x -=-，所以1x =． 根据上述阅读材料，解方程：|21|7x +=．36．解下列方程（1）313x x -=+ （2）121135x x +--=37．解方程（1）2121136x x +--=． （2）1(35)2(5)2x x x --=+38．解方程（组12):223x x x -+-=-．39．解方程：（1）534x x =-； （2）16324x x +-=+40．（1）若关于x 的方程30x m +-=的解为2，则m = ．（2）若关于x 的方程30x m +-=和2212x m x +=-的解的和为4，求m 的值．解一元一次方程（二）含答案参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．若关于x 的方程2m x x =-的解为整数，且m 为负整数，求代数式22225[(65)2(3)]m m m m m m -----的值．【解答】解：解方程2mx x =-得：21x m=+， 关于x 的方程2mx x =-的解为整数，且m 为负整数， 12m ∴+=±或1±，解得：1m =或3-或0或2-，其中1m =和0m =舍去（不是负整数），即3m =-或2-；22225[(65)2(3)]m m m m m m -----22225[6526]m m m m m m =--+-+222256526m m m m m m =-+-+-2m =，当2m =-时，原式2(2)4=-=；当3m =-时，原式2(3)9=-=，所以代数式22225[(65)2(3)]m m m m m m -----的值是4或9．2．已知关于x 的方程3261x m x +=+与2(2)46x x +=-的解相同，求m 的值．【解答】解：由3261x m x +=+， 解得：213m x -=． 由2(2)46x x +=-，解得：5x =，两个方程的解相同， ∴2153m -=，解得：8m=．3．解方程：（1）542(23)x x-=-（2）3411 25x x-+-=【解答】解：（1）去括号得：5446x x-=-，移项合并得：2x=-；（2）去分母得：5158210x x---=，移项合并得：327x-=，解得：9x=-．4．已知关于x的方程4(2)x ax-=的解为正整数，求整数a的所有可能取值．【解答】解：去括号，得：48x ax-=，移项、合并同类项，得：(4)8a x-=，系数化成1得：84xa=-，x是正整数，48a∴-=或4或2或1，4a∴=-或0或2或3．即整数a的所有可能取值为4-或0或2或3．5．解方程：（1）2534x x-=+（2）3411 25x x-+-=【解答】解：（1）移项合并得：82x-=，解得：14x=-；（2）去分母得：5(3)2(41)10x x--+=，去括号得：5158210x x---=，移项合并得：327x-=，解得：9x=-．6．解下列方程：（1）5278x x+=-．（2）10(1)5x -=．（3）7341125x x -+-=． 【解答】解：（1）移项合并得：210x -=-，解得：5x =；（2）去括号得：10105x -=，移项合并得：1015x =，解得： 1.5x =；（3）去分母得：35158210x x ---=，移项合并得：2727x =，解得：1x =．7．解方程12334x x x -+-=- 【解答】解：去分母得：44123636x x x --=--，移项合并得：1326x -=，解得：2x =-．8．解方程13136x x x ---=- 【解答】解：去分母得：62236x x x -+=--，移项合并得：77x =-，解得：1x =-．9．解方程：5(1)64(2)x x +-=--【解答】解：去括号得：55648x x +-=-+，移项合并得：99x =，解得：1x =．10．若a 、b 为定值，关于x 的一元一次方程2236kx a x bk +--=，无论k 为何值时，它的解总是1x =-，求23a b +的值． 【解答】解：把1x =-代入方程2236kx a x bk +--=得：21236k a bk -+---=解：把1x =，0k =代入方程得：11236b --= 当1x =，1k =时，原式即：211236a b +--=，根据题意得：11236211236b a b -⎧-=⎪⎪⎨+-⎪-=⎪⎩，解得：0a =，11b =，2333a b +=．11．请阅读下列材料：让我们来规定一种运算：a b ad bc c d=-，例如： 2325341012245=⨯-⨯=-=-．按照这种运算的规定，请回答下列的问题： （1）求0.6475的值； （2）若132212xx -=，试用方程的知识求x 的值． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式32825=-=-；（2）根据题中的新定义化简得：13222x x +-=， 移项合并得：32x =， 解得：23x =． 12．解关于未知数x 的方程：2(3)1153(1)x x x --=-+【解答】解：2(3)1153(1)x x x --=-+2611533x x x --=--2113536x x x -+=-+68x -=43x =- 13．解方程：2(1)3(2)5x x --+=【解答】解：去括号得：22635x x ---=，移项合并得：13x -=，解得：13x =-．14．解方程：382x x -=+．【解答】解：移项合并得：210x =，解得：5x =．15．小华在解方程21132x x a -+=-，去分母时，方程的右边的1-没有乘6，因而求得的方程的解为2x =，求a 的值，并正确地解方程．【解答】解：把2x =代入2(21)3()1x x a -=+-中得：6631a =+-， 解得：13a =， 代入方程得：1213132x x +-=-，去分母得：42316x x -=+-，解得：3x =-．16．解方程：455x x =-【解答】解：移项合并得：5x -=-，解得：5x =．17．解方程：11(3)123x x -+=+ 【解答】解：去分母得：39226x x +=-+，移项合并得：5x =-．18．解方程：（1）423x x -=-（2）2431132x x +--= 【解答】解：（1）移项合并得：55x =，解得：1x =；（2）去分母得：48936x x +-+=，移项合并得：55x -=-，解得：1x =．19．解方程：121123x x --+=． 【解答】解：去分母得：33426x x -+-=，移项合并得：5x =．20．解方程：（1）4610x -=-；（2）1053x x =-．【解答】解：（1）移项合并得：44x =-，解得：1x =-；（2）移项合并得：53x =-， 解得：35x =-． 21．解方程：（1）263x +=（2）3157146y y ---= 【解答】解：（1）移项合并得：23x =-， 解得：32x =-； （2）去分母得：93101412y y --+=，移项合并得：1y -=，解得：1y =-．22．解方程（1）52(4)6y y -+=（2）2121136x x -+-=- 【解答】解：（1）去括号得：5286y y --=，移项合并得：314y =， 解得：143y =； （2）去分母得：42216x x ---=-，移项合并得：23x =-， 解得：32x =-． 23．解一元一次方程：（1）5234x x +=- （2）222(1)x x -=-【解答】解：（1）移项合并得：26x =-，解得：3x =-；（2）去括号得：2222x x -=-，移项合并得：44x -=-，解得：1x =．24．小明解方程121224x x +--=+的过程如图，请指出他解答过程中所有错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．【解答】解：错误步骤的序号为：①、③．正确解答过程如下：121224x x +--=+ 2(1)14242x x +-⨯=⨯+-22482x x +-=+-28224x x +=+-+312x =4x =．故错误步骤为：①③．25．解方程：（1）53(1)x x -=+（2）211123y y +--= 【解答】解：（1）去括号得：533x x -=+，移项合并得：8x =-，解得：4x =-；（2）去分母得：63622y y +-=-，移项合并得：41y =， 解得：14y =． 26．解方程：3(2)12x -+=-【解答】解：3612x -+=-，352x -=-，33x =，1x =，27．阅读与理解：已知关于x 的方程5kx x =-有正整数解，求整数k 的值． 解：5kx x +=，(1)5k x +=，51x k =+因为关于x 的方程5kx x =-，有正整数解，所以51k +为正整数，因为k 为整数，所以11k +=或15k +=，所以0k =或4k =； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x 的方程6kx x =+有正整数解，求整数k 的值．【解答】解：6kx x =+，6kx x -=，(1)6k x -=，61x k =- 因为关于x 的方程6kx x =+有正整数解， 所以61k -为正整数， 因为k 为整数，所以16k -=或13k -=或12k -=或11k -=， 解得7k =或4k =或3k =或2k =． 故整数k 的值为7或4或3或2．28．解方程：（1）2(8)31x x +=-（2）132125x x -+=- 【解答】解：（1）去括号得：21631x x +=-， 移项合并得：17x =；（2）去分母得：551064x x -=--， 移项合并得：1111x =，解得：1x =．29．解方程：（1）5634x x -=-（2）711 32x x-+-=【解答】解：（1）移项合并得：22x=，解得：1x=；（2）去分母得：214336x x---=，移项合并得：23x-=，解得：23x=-．30．解方程24431 324 x x+--=【解答】解：去分母得：4(24)6(43)3x x+--=，去括号得：81624183x x+-+=，移项合并得：1631x-=-，解得：3116x=．31．解方程：21122 323 x xx-++=-【解答】解：去分母，得2(21)3(1)124x x x-++=-，去括号，得4233124x x x-++=-，移项并合并，得55x=，解得，1x=32．若关于x的方程1123x k k--=+与方程3(1)5x x x--=-的解互为相反数，求k的值．【解答】解：由3(1)5x x x--=-，可得：2x=-，所以方程1123x k k--=+的解为2x=，将2x=代入11 23x k k--=+，∴211 23k k--=+，解得：2k=-33．解方程：4(1)5(3)11x x+--=．【解答】解：去括号得：4451511x x+-+=，移项合并得：8x-=-，解得：8x=．34．解方程：43(8)4x x --=．【解答】解：去括号得：42434x x -+=， 移项得：43424x x +=+，合并得：728x =，解得：4x =．35．阅读以下例题：解方程：|3|2x -=．解：（1）当30x -…时，方程化为32x -=，所以5x =；（2）当30x -<时，方程化为32x -=-，所以1x =． 根据上述阅读材料，解方程：|21|7x +=．【解答】解：当210x +…时，方程化为217x +=，解得3x =； 当210x +<时，方程化为217x +=-，解得4x =-． 所以原方程的解为3x =或4x =-．36．解下列方程（1）313x x -=+（2）121135x x +--= 【解答】解：（1）移项得：331x x -=+， 合并同类项得：24x =，系数化为1得；2x =，（2）去分母得：5(1)3(21)15x x +--=， 去括号得：556315x x +-+=，移项得：561535x x -=--，合并同类项得：7x -=，系数化为1得：7x =-．37．解方程（1）2121136x x +--=． （2）1(35)2(5)2x x x --=+ 【解答】解：（1）去分母得：2(21)(21)6x x +--=， 去括号得：42216x x +-+=，移项得：42621x x -=--， 合并同类项得：23x =， 系数化为1得：32x =， （2）去分母得：2(35)4(5)x x x --=+， 去括号得：235204x x x -+=+， 移项得：234205x x x --=-， 合并同类项得：515x -=， 系数化为1得：3x =-．38．解方程（组12):223x x x -+-=-． 【解答】解：去分母得：6331224x x x -+=--， 移项合并得：55x =， 解得：1x =．39．解方程：（1）534x x =-；（2）16324x x +-=+． 【解答】解：（1）移项得：534x x -=-， 合并同类项得：24x =-， 系数化为1得：2x =-，（2）方程两边同时乘以4得：2(1)12(6)x x +=+-， 去括号得：22126x x +=+-， 移项得：21262x x -=--， 合并同类项得：4x =．40．（1）若关于x 的方程30x m +-=的解为2，则m = 1 ．（2）若关于x 的方程30x m +-=和2212x m x +=-的解的和为4，求m 的值． 【解答】解：（1）把2x =代入方程得：230m +-=， 解得：1m =；故答案为：1；（2）方程30x m +-=的解为3x m =-，方程2212x m x +=-解为：2(21)3x m =+，根据题意得：23(21)43m m-++=，去分母得：932112m m-++=，移项合并得：2m-=，解得：2m=-．。

数学解方程100道练习题解题方法一：平方差公式法1. 解方程：x² - 9 = 02. 解方程：4x² - 16 = 03. 解方程：9x² - 4 = 04. 解方程：25x² - 49 = 05. 解方程：16x² + 9 = 06. 解方程：36x² + 25 = 07. 解方程：9x² - 16 = 08. 解方程：4x² - 25 = 09. 解方程：64x² - 16 = 010. 解方程：49x² - 4 = 0解题方法二：配方法11. 解方程：x² - 7x + 12 = 012. 解方程：x² + 5x + 6 = 013. 解方程：x² - 6x + 5 = 014. 解方程：x² + 6x + 9 = 015. 解方程：x² + 4x + 3 = 016. 解方程：x² - 4x + 4 = 017. 解方程：x² + 2x - 3 = 018. 解方程：x² - 9x + 14 = 019. 解方程：x² - 8x + 15 = 020. 解方程：x² + 3x - 10 = 0解题方法三：因式分解法21. 解方程：(x + 3)(x - 4) = 022. 解方程：(x - 2)(x + 7) = 023. 解方程：(x - 5)(x + 5) = 024. 解方程：(x + 1)(x + 4) = 025. 解方程：(x - 3)(x + 3) = 026. 解方程：(x + 2)(x - 2) = 027. 解方程：(x + 6)(x - 6) = 028. 解方程：(x - 9)(x + 9) = 029. 解方程：(x + 8)(x - 8) = 030. 解方程：(x - 7)(x + 7) = 0解题方法四：二次方程求根公式法31. 解方程：x² + 6x + 5 = 032. 解方程：x² - 4x + 4 = 033. 解方程：x² + 2x - 8 = 034. 解方程：x² + 5x + 6 = 035. 解方程：x² + 3x - 18 = 036. 解方程：x² + x - 12 = 037. 解方程：x² - 6x + 9 = 038. 解方程：x² - 9x + 20 = 039. 解方程：x² - 7x + 12 = 040. 解方程：x² - 8x + 15 = 0解题方法五：恒等变形法41. 解方程：3(x - 2) = 2x + 142. 解方程：2(x + 3) = 3x + 443. 解方程：(x - 4)² = 1644. 解方程：2(x + 5) - 3(x - 1) = 445. 解方程：5(x + 1) - (2x - 3) = 446. 解方程：4(2x - 3) - 3(4x + 5) = 847. 解方程：(2x - 1)³ = 12548. 解方程：(3x - 2)² = 4949. 解方程：√(x + 2) = 450. 解方程：2√(2x - 1) - 3 = 7解题方法六：代入法51. 解方程：2x + 3 = 752. 解方程：3x - 5 = 1653. 解方程：4x² + 3x = 754. 解方程：2x² - 5x + 3 = 055. 解方程：5x² + 2x = 356. 解方程：3x² - 4x + 1 = 057. 解方程：16x² + 8x - 1 = 058. 解方程：9x² - 12x + 4 = 059. 解方程：25x² - 14x - 3 = 060. 解方程：36x² + 30x - 5 = 0解题方法七：对数法61. 解方程：log₂(x + 3) = 262. 解方程：log₄(x - 2) = 363. 解方程：ln(x + 1) = 464. 解方程：log₇(x + 2) = 165. 解方程：log₅(x - 1) = 266. 解方程：log₃(x + 1) + log₃(x - 1) = 267. 解方程：log₆(2x - 1) + log₆(3x + 1) = 268. 解方程：log₈(x - 4) = 369. 解方程：log₂(x + 1) - log₂(x - 1) = 170. 解方程：log₉(2x - 1) - log₉(x - 1) = 1解题方法八：绝对值法71. 解方程：|x + 3| = 572. 解方程：|x - 4| = 373. 解方程：|x + 2| + |x - 2| = 674. 解方程：|x - 5| + |x + 5| = 1075. 解方程：2|x - 3| = 876. 解方程：3|x + 4| = 977. 解方程：|x - 9| = 778. 解方程：4|x + 8| = 3279. 解方程：|x - 7| - |x + 7| = 080. 解方程：|x + 6| - |x - 6| = 0解题方法九：分式方程法81. 解方程：(x + 2)/(3x - 1) = 4/382. 解方程：(2x - 1)/(x + 3) = 5/283. 解方程：(5x - 2)/(x - 4) = 3/284. 解方程：(3x + 1)/(2x - 3) = 7/585. 解方程：(x + 1)/(4x + 3) = 2/586. 解方程：(2x - 3)/(x + 2) - 3/(2x + 3) = 187. 解方程：(3x + 1)/(4x - 5) + 2/(3x - 1) = 17/1288. 解方程：2/(x + 3) + 3/(2x - 1) = 5/289. 解方程：(x - 2)/(4x + 5) - (2x - 3)/(5x + 2) = 1/390. 解方程：(2x + 1)/(x - 2) + (3x - 2)/(x + 3) = 5解题方法十：根号方程法91. 解方程：√(4x + 5) = 392. 解方程：√(x + 2) - 2 = 193. 解方程：√(x - 3) + 2 = 594. 解方程：√(x + 4) - √(x - 1) = 295. 解方程：√(2x + 3) = 496. 解方程：√(3x - 2) - √(2x + 1) = 297. 解方程：√(x - 1) - √(x + 2) = 198. 解方程：√(x - 4) + √(x + 3) = 699. 解方程：√(x + 1) + √(x - 1) = 4100. 解方程：√(2x + 1) + √(x - 2) = 5这些题目涵盖了数学解方程的常见方法和类型，希望通过这些练习题的练习，你能够熟练掌握解方程的技巧和方法。

1.22一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（提高）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力。

【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. 用配方法解方程：(1)2410x x --=； (2)22730x x ++=．【思路点拨】方程(1)的二次项系数是1，方程(2)的二次项系数不是1，必须先化成1，才能配方，这是关键的一步．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，目的是把方程化为2()(0)mx n P P +=≥的形式，然后用直接开平方法求解． 【答案与解析】(1)移项，得241x x -=． 配方，得224214x x -+=+．即2(2)5x -=．直接开平方，得25x -=±， ∴ 125x =+，225x =-． (2)移项，得2273x x +=-，方程两边同除以2，得27322x x +=-， 配方，得22277372424x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2725416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，直接开平方，得7544x +=±． ∴ 112x =-，23x =-． 【点评】配方要注意一次项的符号决定了左边的完全平方式中是两数和的平方还是两数差的平方．举一反三：【变式】 用配方法解方程 （1）（2）20x px q ++=【答案】（1）2235x x +=2253x x -=-25322x x -=-2225535()()2424x x -+=-+ 251()416x -=5144x -=±123,12x x ==.（2）20x px q ++=222()()22p px px q ++=-+224()24p p qx -+=①当240p q -≥时，此方程有实数解，221244,22p p q p p qx x -+----==； ②当240p q -＜时，此方程无实数解.类型二、配方法在代数中的应用2. 用配方法证明21074x x -+-的值小于0．【思路点拨】本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致． 【答案与解析】22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫-+-=-+-=--- ⎪⎝⎭ 27494910410400400x x ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭ 274910420400x ⎡⎤⎛⎫=----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵ 2710020x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴ 271111002040x ⎛⎫---< ⎪⎝⎭， 即210740x x -+-<．故21074x x -+-的值恒小于0．【点评】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．举一反三：【变式】试用配方法证明：代数式223x x -+的值不小于238． 【答案】 22123232x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭22211123244x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21123416x ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112348x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2123248x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．∵ 1204x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴ 2123232488x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭．即代数式223x x -+的值不小于238．3. 若实数x y ，满足224250x y x y +--+=，则32x y y x+-的值是（ ）Ａ．1Ｂ．322+ Ｃ．322+ Ｄ．322-【答案】C ；【解析】对已知等式配方，得2210x y -+-=2（）（），∴21x y ==，． ∴32x y y x+-22121213222132221+++====+---（）．故选Ｃ． 【点评】本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 举一反三： 【变式】（1）的最小值是 ；（2）的最大值是 .【答案】（1）222222333152632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+-=+-=++--=+-⎢⎥⎣⎦；所以的最小值是152-（2）22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x -++=--+=--+-+=--+所以的最大值是9.4. 分解因式：42221x x ax a +++-． 【答案与解析】42221x x ax a +++-4222221x x x ax a =+-++- 4222212x x x ax a =++--+（）（）2221x x a =+--（）（） 22(1)(1)x x a x x a =++-+-+．【点评】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式． 【巩固练习】 一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程220x x m --=，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．2(1)1x m -=+ B ．2(1)1x m +=+ C ．22(1)1x m -=+ D ．22(1)1x m +=+ 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -= B ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．2890x x ++=化为2(4)25x +=D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3．用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( )A ．(x ＋1)2＝6B ．(x ＋2)2＝9C ．(x －1)2＝6D ．(x －2)2＝9 4．不论x 、y 为何实数，代数式22247x y x y ++-+的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式 的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-43x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 8．已知223730216b a a b -+-+=，则4a b -的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，•所以方程的根为_________．11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．已知.则的值为 .三、解答题13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14．分解因式44x +．15．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】A ；【解析】配方的步骤是：(1)移项，把常数项移到等号右边；(2)把二次项系数化为1，即在方程两边同时除以二次项系数；(3)配方，在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方．2．【答案】C ；【解析】选项C ：2890x x ++=配方后应为2(4)7x +=．3．【答案】C ；【解析】x 2－2x －5＝0，x 2－2x ＝5，x 2－2x ＋1＝5＋1，(x －1)2＝6. 4．【答案】D ； 【解析】2222247(1)(2)22x y x y x y ++-+=++-+≥．5．【答案】A ；【解析】原方程化简为：（x 2+y 2）2-2(x 2+y 2)-8=0,解得x 2+y 2=-2或4，-2不符题意舍去.故选A. 6．【答案】A .【解析】由t 是方程的根得at 2+bt+c=0,M=4a 2t 2+4abt+b 2=4a(at 2+bt)+b 2= b 2-4ac=△.故选A.二、填空题7．【答案】（1）49；23x -； （2）24p ；2px +.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方. 8．【答案】12－；【解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 31314422422a b -=-=-=-． 9．【答案】4；【解析】4x 2-ax+1=(2x-b)2化为4x 2-ax+1=4x 2-4bx+b 2,所以241a b b =-⎧⎨=⎩－ 解得41a b =⎧⎨=⎩或41a b =-⎧⎨=-⎩所以4ab =.10．【答案】（x-1）2=5；15± ．【解析】方程两边都加上1的平方得（x-1）2=5，解得x=15±.11．【答案】；2或6.【解析】3x 2-2x-3=0化成；即2(-)232aa =-，a=2或6.12.【答案】5； 【解析】原式三、解答题13. 【答案与解析】(1)将常数项移到方程右边 3x 2-4x=2将二次项系数化为1：x 2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x 2-x+()2=+()2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x 1=， x 2=.(2)将常数项移到方程右边x 2-4x=-6．两边都加“一次项系数一半的平方”=(-2)2，得x 2-4x+(2)2=-6+(2)2．(x-2)2=2，用直接开平方法，得 x-2=±， ∴ x=3或x=．14. 【答案与解析】4222224()22222x x x x +=++-22222(2)(2)(22)(22)x x x x x x =+-=++-+． 15. 【答案与解析】a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=(a 2+6ab+9b 2)-(25b 2-10bc+c 2)=(a+3b)2-(5b-c)2=(a+8b-c)(a-2b+c)∵a,b,c 为三角形的三边长,∴a+b-c ＞0,a+8b-c=(a+b-c)+7b ＞0. 故由条件只有 a-2b+c=0,即a+c=2b.。

解方程练习题20道及答案题1：解方程3x + 5 = 17解:首先将方程两边减去5，得到3x = 12然后将方程两边除以3，得到x = 4答案：x = 4题2：解方程2(x - 3) = 4x + 8解:首先，将方程中的括号展开，得到2x - 6 = 4x + 8然后，将方程中的变量移到一边，得到2x - 4x = 8 + 6接着，整理方程，得到-2x = 14最后，将方程中的变量系数除以-2，得到x = -7答案：x = -7题3：解方程5(2x - 3) + 4(x + 1) = 3(2x + 2)解:首先，将方程中的括号展开，得到10x - 15 + 4x + 4 = 6x + 6然后，整理方程，得到14x - 11 = 6x + 6接着，将方程中的变量移到一边，得到14x - 6x = 6 + 11最后，将方程中的变量系数相减，得到8x = 17答案：x = 17/8 或 x = 2.125题4：解方程2(3x - 4) - 3(2x + 5) = 4(5 - x)解:首先，将方程中的括号展开，得到6x - 8 - 6x - 15 = 20 - 4x然后，整理方程，得到-23 - 4x = 20 - 4x接着，将方程中的变量移到一边，得到20 + 23 = 4x - 4x由于-4x + 4x = 0，所以方程是恒等式，意味着对于任何x都成立。

答案：方程有无穷多解题5：解方程4(x + 3) - 2(2x - 5) = 9 - 3(2 - x)解:首先，将方程中的括号展开，得到4x + 12 - 4x + 10 = 9 - 6 + 3x然后，整理方程，得到22 = 3x - 3 + 3x接着，整理方程，得到22 = 6x - 3最后，将方程中的常数移到一边，得到22 + 3 = 6x答案：x = 25/6 或 x = 4.1667题6：解方程2(x - 1) + 3(2x + 5) = x + 15解:首先，将方程中的括号展开，得到2x - 2 + 6x + 15 = x + 15然后，整理方程，得到8x + 13 = x + 15接着，将方程中的变量移到一边，得到8x - x = 15 - 13最后，将方程中的变量系数相减，得到7x = 2答案：x = 2/7 或 x = 0.2857题7：解方程7 - 3(x + 4) + 5(2-x) = 4(2 - 3x)解:首先，将方程中的括号展开，得到7 - 3x - 12 + 10 - 5x = 8 - 12x 然后，整理方程，得到-8x - 5 = -4x - 1接着，将方程中的变量移到一边，得到-8x + 4x = -1 + 5最后，将方程中的变量系数相加，得到-4x = 4答案：x = -1题8：解方程(x + 3)(x - 1) + 2(x - 4) = 3(x - 2) - 1解:首先，将方程中的括号展开，得到x^2 + 2x - 3 + 2x - 8 = 3x - 6 - 1然后，整理方程，得到x^2 + 4x - 11 = 3x - 7接着，将方程中的变量移到一边，得到x^2 - 3x - 4 = 0最后，使用因式分解或求根公式等方法解得方程的根为x = -1或x = 4答案：x = -1 或 x = 4题9：解方程3(x - 2)(x + 1) = 4(x + 3)解:首先，将方程中的括号展开，得到3x^2 - 6x + 3 = 4x + 12然后，整理方程，得到3x^2 - 10x - 9 = 0接着，使用因式分解或求根公式等方法解得方程的根为x = -1或x = 3答案：x = -1 或 x = 3题10：解方程4x - 3(2x - 1) = 5 - 2(1 - 3x)解:首先，将方程中的括号展开，得到4x - 6x + 3 = 5 - 2 + 6x然后，整理方程，得到-2x + 3 = 3 + 6x接着，将方程中的变量移到一边，得到-2x - 6x = 3 - 3最后，将方程中的变量系数相加，得到-8x = 0答案：x = 0题11：解方程2(x - 1)(x + 3) = 3(2x - 1)解:首先，将方程中的括号展开，得到2x^2 + 4x - 2 = 6x - 3然后，整理方程，得到2x^2 - 2x - 1 = 0接着，使用因式分解或求根公式等方法解得方程的根为x ≈ -0.36396 或x ≈ 1.36396答案：x ≈ -0.36396 或x ≈ 1.36396题12：解方程5(x - 2)(x + 1) - 3x(2x - 1) = 4(1 + x)解:首先，将方程中的括号展开，得到5x^2 - 10x + 5 - 6x^2 + 3x = 4 + 4x然后，整理方程，得到-x^2 - 7x + 1 = 4x接着，将方程中的变量移到一边，得到-x^2 - 11x + 1 = 0最后，使用因式分解或求根公式等方法解得方程的根为x ≈ -10.08007 或x ≈ 0.08007答案：x ≈ -10.08007 或x ≈ 0.08007题13：解方程4(3x - 2) = 5 - 2(2x + 1)解:首先，将方程中的括号展开，得到12x - 8 = 5 - 4x - 2然后，整理方程，得到12x + 4x = 5 + 2 + 8接着，整理方程，得到16x = 15最后，将方程中的变量系数除以16，得到x = 15/16 或x ≈ 0.9375答案：x = 15/16 或x ≈ 0.9375题14：解方程2(3x - 1) = 3(2 - 4x)解:首先，将方程中的括号展开，得到6x - 2 = 6 - 12x然后，整理方程，得到6x + 12x = 6 + 2接着，整理方程，得到18x = 8最后，将方程中的变量系数除以18，得到x = 8/18 或x ≈ 0.4444答案：x = 4/9 或 x ≈ 0.4444题15：解方程(x - 3)^2 - 2(x - 3) - 8 = 0解:首先，将方程中的括号展开，得到x^2 - 6x + 9 - 2x + 6 - 8 = 0然后，整理方程，得到x^2 - 8x + 7 = 0接着，使用因式分解或求根公式等方法解得方程的根为x = 1 或 x = 7答案：x = 1 或 x = 7题16：解方程3x^2 + 4x - 4 = 0解:使用因式分解或求根公式等方法解得方程的根为x ≈ -1.35425 或x ≈ 0.35425答案：x ≈ -1.35425 或x ≈ 0.35425题17：解方程4x^2 + 5x + 1 = 0解:使用因式分解或求根公式等方法解得方程的根为x = -1 或x ≈ -0.25答案：x = -1 或x ≈ -0.25题18：解方程2x^2 + 3x - 2 = 0解:使用因式分解或求根公式等方法解得方程的根为x ≈ -2 或x ≈ 0.5答案：x ≈ -2 或x ≈ 0.5题19：解方程x^2 - 4x + 4 = 0解:使用因式分解或求根公式等方法解得方程的根为x = 2答案：x = 2题20：解方程x^2 - 8x + 16 = 0解:使用因式分解或求根公式等方法解得方程的根为x = 4答案：x = 4本文介绍了20道解方程的练习题及答案。

专题21.4 一元二次方程的解法（精选精练100题）（专项练习）【题型目录】1、直接开平方法解一元二次方程（1-20题）；2、配方法解一元二次方程（21-40题）；3、公式法解一元二次方程（41-60题）；4、因式分解法解一元二次方程（61-80题）；5、换元法解一元二次方程（81-90题）；6、解可化以一元二次方程的分式方程（91-100题）．四、因式分解法解一元二次方程1．用因式分解法解方程:(1)2411x x =；(2)()2224x x -=-2．用因式分解法解下列方程：(1)()()()262x x x --=-；(2)()()22167920x x --+=．3．用因式分解法解下列方程：(1)()()120x x +-=；(2)()()3521127x x x --=-+．4．用因式分解法解下列方程：(1)269x x -=-；(2)224(3)25(2)0x x ---=．5．用因式分解法解下列方程：(1)250x x +=；(2)(5)(6)5x x x --=-．6．用因式分解法的方法解下列方程：(1)22150x x --＝ ；(2)2326x x （＋）＝＋7．因式分解法解方程：(1)()()23525x x -=-；(2)()()22200abx a b x ab ab -++=¹；8．用因式分解法解下列方程：(1)()2236x x +=+；(2)231212x x +=；(3)()223240x x +-=；(4)()()()521123x x x -=-+．9．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)21502x x -=；(2)()()23727x x -=-；(3)()22210x x +-=．10．用因式分解法解下列方程：(1))23x x =；(2)()()221210x x x ---=．11．用因式分解法解下列方程．(1)2560x x --=(2)3(2)2(2)x x x -=-12．用因式分解法解下列方程：(1)()2218x x -=-；(2)()()2222x x x -=-；(3)23x -=-．13．用因式分解法解下列方程：(1)2350y y -=；(2)2412x x =；(3)296x x +=-；(4)229(1)x x =-．14．用因式分解法解下列方程．(1)()()222320x x ---=；(2)()2211t t -+=．15．用因式分解法解下列方程：(1)()2212x x -=；(2)()()222310y y +--=．16．用因式分解法解下列方程：（1）(2)(4)0x x +-=； （2）4(21)3(21)x x x +=+．17．用因式分解法解下列方程：(1)(2)(23)6x x --=；(2)()44x x -=-．18．用因式分解法解方程：(1)3x (2x +1)=2(2x +1)；(2)22(3)(52)x x -=-．19．用因式分解法解方程．(1)22437365x x x x +-=--(2)()233x x x -=-20．用因式分解法解一元二次方程(1)()()41570x x +-=；(2)2(23)4(23)x x +=+．五、换元法解一元二次方程21．()()233320y y -+-+=．22．解方程：2231712x x x x -+=-．23．若实数x ，y 满足2222()(2)3x y x y ++-=，求22x y +的值．24．解方程：226212x x x x--=-．25．解方程()225160x --=．26．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22xy +的值．27．阅读下面的例题，回答问题：例：解方程：220x x --=令y x =，原方程化成220y y --=解得122,1y y ==-（不合题意，舍去） 2,2x x \=\=±\ 原方程的解是122,2x x ==-．请模仿上面的方法解方程：()21160x x ----=28．阅读下列材料：为解方程4260x x --=可将方程变形为()22260x x --=然后设2x y =，则()222x y =．例：4260x x --=，解：令2x y =，原方程化为260y y --=，解得12y =-，23y =，当12y =-时，22x =-（无意义，舍去）当23y =时，23x =，解得x =\原方程的解为1x =2x =．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：(1)()()22225260x x x x ----=；(2)()23511x x ++-=．29．阅读材料：在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：2–320x x +=．解：设x t =，则原方程可化为：2–320t t +=．解得：1212t t ==，．当1t =时，1x =，∴1x =±；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：12341122x x x x ==-==-，，，．上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：220x x -=；(2)解方程：42–1090x x +=．(3)解方程：221211x x x x +-=+．30．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组2()3()22()3x y x y x y x y ++-=-ìí+--=î，按常规思路解方程组计算量较大．可设x y a +=，x y b -=，那么方程组可化为23223a b a b +=-ìí-=î，从而将方程组简单化，解出a 和b 的值后，再利用x y a +=，x y b -=解出x 和y 的值即可．用上面的思想方法解方程：(1)222432x x x x ++=+；(2)2250x x ++-=六、解可化以一元二次方程的分式方程31．解分式方程：2216111x x x +-=--．32．解分式方程：221226x x x x+++=．33．解分式方程：11133x x +=+-34．解分式方程：()2218111x x x --=+-35．解分式方程：241142x x +=--．36．解分式方程：224124x x x -=-+-37．解分式方程21211x x x -=++38．解分式方程：252112x x x+-＝3．39．解分式方程：2164122x x x x +=--40．解分式方程：2212111x x x -+=--1．(1)10x =，2114x =(2)12x =，24x =【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键；（1）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程；（2）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：移项，得：24110x x -=，因式分解，得：(411)0x x -=于是，得：0x =或4110x -=，∴10x =，2114x =．（2）移项，得()22240x x --+=，即()()22220x x ---=，因式分解，得：(2)(22)0x x ---=，整理，得：(2)(4)0x x --=，于是，得20x -=或40x -=，∴12x =，24x =．2．(1)12x =，27x =(2)1227x =，234x =【详解】（1）方程左右两边都有因式()2x -，先移项，然后利用提公因式法将等式的左边因式分解；（2）直接利用平方差公式将方程的左边因式分解．（1）移项，得()()()2620x x x ----=，∴()()2610x x ---=，即()()270x x --=，∴20x -=或70x -=，∴12x =，27x =．（2）因式分解，得()()42836428360x x x x -++---=．化简，得()()072234x x --=，∴7220x -=或340x -=，∴1227x =，234x =．3．(1)11x =-，22x =(2)112x =-，223x =【详解】解：（1）()()120x x +-=Q ，10x \+=或20x -=，11x \=-，22x =．（2）原方程可化为2620x x --=，()()21320x x \+-=，210x \+=或320x -=，112x \=-，223x =．4．(1)123x x ==(2)12164,73x x ==【分析】（1）先移项，然后利用完全平方公式因式分解求解；（2）先移项，然后直接开平方即可解答此方程．【详解】（1）解：269x x -=-2690x x -+=()230x -=解得：123x x ==；（2）解：224(3)25(2)0x x ---=[][]220()5232()x x --=-，[][]2(3)5(2)2(3)5(2)0x x x x -+----=，()5()0232x x --+=或()5()0232x x ---=，解得12164,73x x ==．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是明确方程的特点，选择合适的方法解方程．5．(1)10x =，25x =-(2)15=x ，27x =【分析】（1）直接用因式分解法求解即可；（2）先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】（1）∵250x x +=∴()50x x +=∴0x =或50x +=∴10x =，25x =-（2）∵(5)(6)5x x x --=-∴()(5)(6)50x x x ----=∴(5)(61)0x x ---=∴50x -=或610x --=∴15=x ，27x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解答本题的关键．6．(1)15x ＝，23x -＝；(2)13x -＝，21x -＝【分析】（1）直接利用因式分解法求解即可；（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22150x x --＝ ，（x ﹣5）（x +3）＝0，则x ﹣5＝0或x +3＝0，∴15x ＝，23x -＝；（2）解：2326x x ++（）＝，2323x x ++（）＝（），移项，得23230x x ++（）﹣（）＝，则（x +3）（x +1）＝0，∴x +3＝0或x +1＝0，∴1231x x --＝，＝．【点睛】本题考查了因式分解法求解一元二次方程，熟练进行因式分解是解题的关键．7．(1)121353x x ==，(2)12b a x x a b==【分析】（1）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；【详解】（1）解：()()23525x x -=-方程变形为：()()23525x x -+-=0，∴()()50532x x éù+ë-=û-，∴()()53130x x --=，∴12135,3x x ==；（2）解：()()22200abx a b x ab ab -++=¹()()0ax b bx a --=，∵0ab ¹，∴0,0a b ¹¹，∴12,ba x x a b==【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解此题的关键．12(2)122x x ==(3)12x =-，225x =-(4)112x =，28x =-【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）原方程可变形为()()2230x x ++-=，即()()210x x +-=，所以20x +=或10x -=，即12x =-，21x =．（2）原方程可变形为2440x x -+=，即()220x -=，所以122x x ==．（3）原方程可变形为()()3223220x x x x +-++=，即()()2520x x ++=，所以20x +=或520x +=，即12x =-，225x =-．（4）原方程可变形为()()21530x x -++=，即()()2180x x -+=，210x -=或80+=x ，∴112x =，28x =-．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键．12(2)17x =，2193x =(3)113x =-，21x =-【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解，求解即可；（2）通过移项，提公因式法进行因式分解，求解即可；（3）利用平方差公式，进行因式分解，求解即可．【详解】（1）解：21502x x -=因式分解，得1502x x æö-=ç÷èø．于是0x =，1502x -=，解得10x =，210x =；（2）()()23727x x -=-移项，得()()237270x x ---=，因式分解，得()()73720x x --+=éùëû，于是70x -=，3190x -=，解得17x =，2193x =；（3）()22210x x +-=因式分解，得()()21210x x x x éùéù+++-=ëûëû，于是310x +=，10x +=，解得113x =-，21x =-．【点睛】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解的有关方法．10．(1)120x x =，(2)12112x x ==，【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵)23x x =，∴)230x x -=，∴)310x x éù-=ëû，∴)310x -=或0x =，解得120x x ==，；（2）解：∵()()221210x x x ---=，∴()()21210x x x ---=，即()()1210x x --=，∴10x -=或210x -=，解得12112x x ==，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．11．(1)18x =，27x =-(2)12x =，223x =【分析】（1）首先把方程变形可得(8)(7)0x x -+=，进而得到两个一元一次方程，然后分别求出x 的值即可；（2）首先对方程进行整理，得出3(2)2(2)0x x x ---=，再因式分解可得(2)(32)0x x --=，然后得出两个一元一次方程，求解即可得出答案．【详解】（1）2560x x --=，(8)(7)0x x \-+=，80x \-=或70x +=，18x \=；27x =-；（2）3(2)2(2)x x x -=-，移项，得3(2)2(2)0x x x ---=，(2)(32)0x x \--=，20x \-=或320x -=，12x \=；223x =．【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．12．(1)1212x x ==-(2)12x =，22x =-(3)12x x ==【分析】（1）先移项，再把括号展开进行因式分解，即可求解；（2）先移项，再提取公因式()2x -进行因式分解，即可求解；（3）先移项，再用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：()22180x x +-=，241840x x x -+=+，24410x x ++=，()2210x +=，210x +=，21x =-，1212x x ==-．（2）解：()()22220x x x ---=，()()2220x x x ---=，()()220x x ---=，20x -=或20x --=，12x =，22x =-．（3）解：230x -+=，(20x =，0x =，12x x ==【点睛】本题主要考查了用因式分解法求解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．13．(1)1250,3y y ==(2)120,3x x ==(3)123x x ==-(4)1211,42x x ==-【分析】（1）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（2）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（3）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（4）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：2350y y -=，()350y y -=，解得：1250,3y y ==；（2）解：2412x x =，24120x x -=，()430x x -=，解得：120,3x x ==；（3）解：296x x+=-2690x x ++=即()230x +=，解得：123x x ==-；（4）解：229(1)x x =-，()22910x x --=，即()()22310x x --=，∴()()31310x x x x +--+=，即()()41210x x -+=，解得：1211,42x x ==-．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．14．(1)125,13x x ==(2)1211,2t t ==【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解．【详解】（1）解：()()222320x x ---=，∴()()()()2322320x x x x -+--éùé-ùëûëû-=，∴()()3510x x --=，∴350x -=或10x -=，∴125,13x x ==．（2）解：()2211t t -+=∴()22110t t -+-=，∴()()1210t t --=，∴1211,2t t ==．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．123(2)1213,42y y =-=【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：移项，得()22120x x --=，因式分解，得()()12120x x x x -+--=，得10,130x x -=-=或，解得：1211,3x x ==；（2）解：因式分解，得()()2312310y y x y ++-+-+=，合并同类项，得()()41230y y +-+=，得410230y y +=-+=或，解得：1213,42y y =-=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．16．（1）12=2,=4x x -；（2）1213,24x x =-=．【分析】运用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）∵(2)(4)0x x +-=；∴20x +=，40x -=，∴12x =-，24x =；（2）4(21)3(21)x x x +=+，4(21)3(21)0x x x +-+=，(21)(43)0x x +-=，∴210x +=或430x -=，∴112x =-，234x =．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．122(2)122x x ==【分析】（1）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程；（2）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：(2)(23)6x x --=，223466x x x --+=，即2270x x -=，∴()270x x -=，解得：12720,x x ==；（2）解：()44x x -=-，即2440x x -+=，()220x -=，解得：122x x ==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．18．(1)1x =-12，2x =23；(2)1x =2，2x =83．【分析】（1）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值；（2）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值．【详解】（1）解：∵3x （2x +1）-2（2x +1）=0，∴（2x +1）（3x -2）=0，∴2x +1=0或3x -2=0，解得1x =-12，2x =23；（2）解：∵22(3)(52)x x -=-，∴22(3)(5)02x x --=-，∴(352)(3520)x x x x +---+=-，即(2)(308)x x --=，∴2-x =0或3x -8=0，解得1x =2，2x =83．【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤．19．(1)113x =-，213x =(2)112x =，23x =【分析】（1）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可；（2）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22437365x x x x +-=--2910x -=（3x +1）（3x -1）=03x +1=0，3x -1=0113x =-，213x =．（2）解：()233x x x -=-2263x x x -=-22730x x -+=（2x -1）（x -3）=02x -1=0，x -3=0112x =，23x =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．20．(1)114x =-，275x =(2)132x =-，212x =【分析】（1）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可；（2）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可．【详解】（1）解：()()41570x x +-=；410x +=，570x -=，解得：114x =-，275x =（2）解：()()223423x x +=+，()()2234230x x +-+=，()()232340x x ++-=；()230x +=，()2340x +-=解得：132x =-，212x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键是将它化为两个一元一次方程．21．2y =或1y =【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将()3y -看作一个整体，设3y t -=，利用因式分解法求得t 的值，进而即可求得y ．【详解】解：设3y t -=，则原方程即2320t t ++=，∴()()120t t ++=，∴10t +=或20t +=，解得1t =-或2t =-，∴31y -=-或32y -=-，解得，2y =或1y =．22．1234111,22x x x x =+==-=【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设21x y x =-，原方程变为1732y y +=，解得12y =或23y =．再分别代入21x y x =-，求出1x =或12x =-或2x =，代入最简公分母进行检验即可求解．【详解】解：设21x y x =-，则211x x y-=，原方程变为1732y y +=，去分母得：26720y y -+=，解得12y =或23y =．当2112x x =-时，去分母得：2210x x --=，解得：1x =当2213x x =-时，去分母得：22320x x --=，解得：12x =-或2x =，检验：当1x =()()2110x x x +-¹，当12x =-或2x =时，()()2110x x x +-¹，∴分式方程的解为1234111,22x x x x ===-=．23．223x y +=．【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，解答本题的关键在于，掌握整体代换思想方法的应用，将22x y +看成一个整体t ，转换成一个关于t 的一元二次方程求解即可．【详解】解：令22x y t +=，则，原方程变为，()23t t -=，即，2230t t --=，()()310t t -+=解得：13t =，21t =-；又220x y +³Q ，∴223x y +=．24．123,1x x ==-【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．可根据方程特点设22y x x =-，则原方程可化为260y y --=，解一元二次方程求y ，再求x ．【详解】设22y x x =-，则原方程化为61y y-=\260y y --=，即()()320y y -+=，解得12y =-，23y =．当12y =-时，222x x -=-，该方程无解，当23y =时，223x x -=．解得13x =，21x =-，检验：当13x =时，原方程左边69632196=--=-==-右边，当21x =-时，原方程左边61232112=+-=-==+右边，∴13x =，21x =-都是原方程的根，∴原方程的根是13x =，21x =-．25．13x =，23x =-，31x =，41x =-【分析】设25y x =-，求出y 后，可得关于x 的方程，再解方程即可．【详解】设25y x =-，原方程化为2160y -=，解得14y =，24y =-，当14y =时，254x -=，29x =，则13x =，23x =-；当24y =-时，254x -=-，21x =，则31x =，41x =-，所以原方程的解为13x =，23x =-，31x =，41x =-．【点睛】本题考查了换元法和直接开平方法解方程，掌握求解的方法是关键．26．22x y +的值为3【分析】设22x z y +=，然后用因式分解法求解即可，求解时注意220x y +>.【详解】设22x z y +=，∴(2)3z z -=．整理得：2230z z --=，∴(3)(1)0z z -+=．∴121,3z z ==-．∵220z x y =+>，∴1z =- (不合题意，舍去)∴3z =．即22x y +的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．27．1224x x =-=，【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令1m x =-，则原方程化为260m m --=，解方程得到3m =，则1=3x -，据此求解即可．【详解】解：令1m x =-，则原方程化为260m m --=，∴()()320m m -+=，解得3m =或2m =-（不合题意，舍去），∴1=3x -，∴13x -=±，解得1224x x =-=，．28．(1)11x =，21x =，341x x ==(2)10x =、25x =-【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；（1）令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，进而得出226x x -=，221x x -=-，解方程，即可求解；（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =，进而分别解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，解得16y =，21y =-．当16y =时，226x x -=，解得1x =．当21y =-时，221x x -=-，解得1x =．\原方程的解为：11x =，21x =，341x x ==（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =当113y =-13=-（无意义舍去）当21y =1=，解得10x =、25x =-．\原方程的解为10x =、25x =-．29．(1)1234022x x x x ====-，，；(2)12341133x x x x ==-==-，，，；(3)1x =和12x =-．【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．（1）设x t =，则原方程可化为220t t -=，解方程求得t 的值，再求x 的值即可；（2）设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，解方程求得a 的值，再求x 的值即可；（3）设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，解方程求得m 的值，再求x 的值，检验后即可求得分式方程的解．【详解】（1）解：设x t =，则原方程可化为：220t t -=．解得：1202t t ==，．当0=t 时，0x =，∴0x =；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：1234022x x x x ====-，，；（2）解：设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，即()()190a a --=，解得：1a =或9a =，当1a =时，21x =，∴1x =±；当9a =时，29x =，∴3x =±；∴原方程的解是：12341133x x x x ==-==-，，，；（3）解：设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，∴()()120m m +-=，解得：1m =-或2m =，当1m =-时，211x x+=-，即210x x ++=，由141130D =-´´=-<知此时方程无解；当2m =时，212x x+=，即2210x x --=，解得：1x =或12x =-，经检验1x =和12x =-都是原分式方程的解．30．(1)1=1x -；2=2x ；31x =41x =(2)11x =-，21x =【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换；（1）设2(0)2x t t x =¹+，将原方程化为2320t t -+=，解得2t =或1t =，再分别代入22x t x =+求解分式方程的解即可；（2()0t t =³，则有222x x t +=，将原方程化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =t =求解即可；【详解】（1）设2(0)2x t t x =¹+，\原方程化为23t t+=，\2320t t -+=，解得2t =或1t =，当1t =时，212x x =+，解得2x =或=1x -，经检验，=1x -或2x =是方程的解；当2t =时，222x x =+，解得1x =1x =-，经检验，1x =或1x =∴原方程的解为：1=1x -；2=2x ；31x =；41x =（2()0t t =³，则有222x x t +=，\原方程可化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =，1=，\2210x x +-=，解得11x =-或21x =-；经检验：11x =，21x =是原方程的解．31．4x =-【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤求解即可，注意解分式方程最后要验根，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．【详解】解：2216111x x x +-=--方程左右同乘以21x -、去分母得：()()()221116x x x ++--=，去括号得：2222116x x x x +++-+=，移项、合并同类项得：2340x x +-=，因式分解得：()()410x x +-=，∴40x +=或10x -=，解得：14x =-，21x =，检验：14x =-，则211150x -=¹，故是原分式方程的根，21x =，则2210x -=，故是原分式方程的增根，∴原分式方程的解为4x =-．32．12x =-，22x =-，31x =【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把解分式方程转化成解一元二次方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．原方程化为211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x +=，则原方程变形为2226a a +-=，求出a 的值，当4a =-时，方程为14x x+=-，求出方程的解，当2a =时，方程为12x x +=，求出方程的解，最后进行检验即可．【详解】解：原方程化为：211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x+=，则原方程化为：2226a a +-=，即2280a a +-=，解得：4a =-或2a =，当4a =-时，14x x+=-，整理得：2410x x ++=，Q 24411120D =-´´=>，x \=解得：12x =-，22x =-；当2a =时，12x x +=，整理得：2210x x -+=，()210x -=，解得：1x =，经检验12x =-，22x =-，31x =都是原方程的解，所以原方程的解是12x =-22x =-，31x =．33．12x x ==【分析】方程两边同乘以()()33x x +-可得一个关于x 的一元二次方程，再利用直接开平方法解一元二次方程即可得．【详解】解：11133x x +=+-，方程两边同乘以()()33x x +-，得()()3333x x x x +--+=+，去括号，得2933x x x --+=+，移项、合并同类项，得215x =，直接开平方，得12x x ==经检验，12x x ==【点睛】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，需注意的是，分式方程的解要进行检验．34．5x =【分析】根据分式方程的解法步骤求解即可．【详解】解：去分母，得()222181x x --=-，去括号，得2224281x x x -+-=-移项、合并同类项，得2450x x --=，解得11x =-，25x =，经检验，5x =是方程的解．【点睛】本题考查解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键．35．=1x -【分析】方程两边同时乘以()24x -，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．【详解】解：241142x x +=--，方程两边同时乘以()24x -，得()2442x x +-=+，即220x x --=，()()210x x -+=，解得122,1x x ==-，检验：当2x =时，()24x -0=，当=1x -时，()240x -¹．∴=1x -是原方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键，注意要检验．36．x =4【分析】两边都乘以x 2-4化为整式方程求解，然后验根即可．【详解】解：224124x x x -=-+-，两边都乘以x 2-4，得2(x -2)-4x =-(x 2-4)，x 2-2x -8=0，(x +2)(x -4)=0，x 1=-2，x 2=4，检验：当x =-2时，x 2-4=0，当x =4时，x 2-4≠0，∴x =4是原分式方程的根．【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．37．x =3【分析】将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可．【详解】解：21211x x x -=++化为整式方程得()2211x x -+=，整理得2230x x --=，解得123,1x x ==-，检验：当x =3时，x +1¹0；当x =-1时，x +1=0，∴原分式方程的解是x =3．【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．38．x 1＝56，x 2＝18【分析】观察可得最简公分母是12x （2x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘12x （2x ﹣1），得24x 2+5（2x ﹣1）＝36x （2x ﹣1），整理，得48x 2﹣46x +5＝0，即()()65810x x --=解得x 1＝56，x 2＝18，检验：当x ＝56或18时，x （2x ﹣1）≠0．即原方程的解为：x 1＝56，x 2＝18．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．39．83x =-【分析】将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，注意分式方程的结果要进行检验．【详解】解：整理，得：1641(2)2xx x x +=--，去分母，得：216(2)4x x x +-=，221624x x x +-=，232160x x +-=，(2)(38)0x x -+=，解得：12x =，283x =-，检验：当2x =时，(2)0x x -=，2x \=不是原分式方程的解，当83x =-时，(2)0x x -¹，83x \=-是原分式方程的解，\分式方程的解为83x =-．【点睛】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握解分式方程和因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．40．2x =-【分析】先去分母化为整式方程求解，最后记得检验即可．【详解】解：原方程可化为()()2121111x x x x --=-+-去分母得()()()()211211x x x x -+-=+-，解得11x =，22x =-经检验11x =是增根，2x =-是原方程的解，\原方程的解为2x =-．故答案为2x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握一般步骤是解题的关键，需要注意的是最后要记得检验是否为方程的根．。

解一元二次方程100题(提升练)1解方程：(1)3x-1．2=22-x 2=6(2)3x-22解下列一元二次方程：(1)x2-16=0(直接开平方法)；(2)x2-4x+7=10(配方法)．(3)2x2-3x-5=0(公式法)；(4)3x2+5x-2=0(因式分解法)．3解方程：(1)x2-2x-3=0．(2)x x-2=x-2．4解下列一元二次方程：(1)x2-3x=4；(2)2x-1．2=3x-15解方程：(1)x2-2x-1=0(2)x5x+2=65x+2(3)(2x-1)2-3=0(4)2x2+x-6=0．6解方程．(1)3x x+1；(2)2x2-3x-5=0． =2x+17解下列方程：(1)用配方法解方程：3x2-2x-1=0；(2)2y-1+4(因式分解法)．2=31-2y8选择合适的方法解下列方程：(1)x2-4x-2=0；(2)2x x+3．=6x+39解下列方程：(1)x x+1(2)2x2-3x-1=0．=x+110解方程：(1)x x-2+x-2=0；(2)4x2-8x+1=0．11请选择适当的方法解下列一元二次方程：(1)(x-2)2-9=0(2)x2+2x=3(3)2x 2+4x -1=0(4)x -5 2=2x -1 5-x12解方程：(1)2x 2+4x -1=0；(2)2x x -1 =2x -1．13解方程：(1)x -2 2=1．(2)x x -3 +x =3．14用适当的方法解下列方程：(1)7x 2=21x ；(2)x 2-6x =-8：(3)2x 2-6x -1=0；(4)9x -2 2=4x +1 2.15解下列一元二次方程：(1)x 2-4x =1；(2)x -5 2-2x x -5 =0．16解方程：(1)(x -5)(3x -2)=10；(2)x 2+3x +1=0．17解方程：(1)3x2-2=4x(2)4x-32+x x-3=0 (3)x x-3=6-2x(4)2x2-7x+3=0 18解方程(1)x2-5x-1=0(2)xx-3-4x=119解下列方程：(1)3x-12=x+12(2)3x-52=10-2x (3)x-2x+5=18(4)-3x2-4x+4=020解下列方程：(1)3x2-7x=0(2)x2+3x-4=0(3)x-52=2x-5(4)(3-x)2+x2=521计算：(1)x2+2x+1=9；(2)2x2-x-6=0．22解分式方程：(1)2xx+3+1=72x+6(2)6x+1x-1-3x-1=123解方程(1)x2-2x-5=0(用配方法解)(2)2x x+1=x+124用适当的方法解下列一元二次方程(1)3x-12-27=0；(2)x2-8x-9=0(配方法)．25解方程：(1)4x2=12x；(2)34x2-2x-12=026解方程：(1)3x2-5x-2=0；(2)x+42=5x+4．27用恰当的方法解方程．(1)-x2+3x+4=0；(2)3x2x-1=4x-2．28解下列方程：(1)(x+5)2=2x+34；(2)3t2-2t-1=0(用配方法)．29用适当的方法解下列方程：(1)x x-1=x(2)x2+2x-2=030用适当的方法解下列方程：(1)x2+5x-1=0；(2)7x5x+2；=65x+2(3)3x2+2x=0；(4)x2-2x-8=0．31解方程：(1)x2-4x+3=0；(2)x-3+8=0．2-6x-332解方程：(1)x-52=16；(2)x2-4x+1=0．33解方程：(1)x2-2x-3=0．(2)(x+2)(3x-1)=10．34解方程(1)x(x-1)=2(x-1)；(2)x2+4x+2=035用指定的方法解方程：(1)1x2-2x-5=0(用配方法)(2)x2=8x+20(用公式法)2(3)x-3=10(用适当的方法)3x-12+4x x-3=0(用因式分解法)(4)x+236用适当的方法解方程．(1)2x2+1=3x(2)x-322=3x-137解方程：(1)x x-2=x-2.(2)x2-2x-5=0；38解方程：(1)x2-8x=0．(2)2x-32+x2-9=0．(3)x+1=4x-10． 2=2x-1．(4)x2x-539用适当的方法解方程．(1)2x2+4x-3=0；(2)x x-2=4-x240用适当的方法解方程：(1)x2+x-6=0；(2)m2+5m+7=3m+11．41解方程：(1)x-3=x x-3(2)2x2-4x-5=042解方程：(1)x2+x-12=0；(2)x-1-6=0．2-5x-143用适当的方法解下列方程：(1)2x-2． 2-4=0．(2)x-32=2x3-x 44(1)解方程(用公式法)：x+2=3x+2．2x-3(2)解方程(用因式分解法)：2x-22=x-245解方程：(1)x2+3x-1=0；(2)3(x-1)2=x(x-1)46解方程(1)x2-2x-24=0(2)2x-3=3x x-3 47(1)x-3=0 (2)2x2+4x-6=0；(用配方法)2+4x x-348解下列一元二次方程：(1)x2+5x-24=0(2)3x2=22-x49解方程：(1)x2-4x=4；(2)x+2=12．x+150解方程：(1)x2+8x-1=0(2)x x-2+x-2=051用合适的方法解一元二次方程；(1)x2+8x=9(2)2x+6=(x+3)2=0(4)x2-22x+2=0(3)2x2-7x-1252解下列方程．(1)x(x+4)=-3(x+4)(2)2x2-5x+2=0(公式法)53解方程：(1)x2-4x-3=0；(2)3x x-2=0．-x-254用适当的方法解一元二次方程：(1)x2-2x-8=0；(2)3x x-2．=22-x 55(1)解方程：x2-6x+8=0．(2)解方程：3x2-5x+1=056(1)用配方法解方程：-x2+4x=3(2)解方程：4x2=9x57解方程：(1)2x2-3x+1=0；(2)2x-3+3x+3=6x2-9．58解下列方程：(1)(x-2)2=16；(2)y2-3y+2=0；(3)-2x2+4x+12=0；(4)3x2+6x+15=0．59按要求解下列方程：(1)x-62=16(直接开平方法)；(2)x2-4x+2=0(配方法)；(3)x2+3x-4=0(公式法)；(4)2x+4=x+22(因式分解法)．60解下列一元二次方程：(1)x2-2x-3=0；(2)x x+2=x+2．61用适当的方法解下列方程：(1)4x2x+3=82x+3(2)x2-2x-5=0(3)3x2+x-5=0(4)x2+6x+1-13=062解方程：(1)x²-2x-5=0；(2)x+4；2=2x+4 (3)x-1=6． 2-9=0；(4)x x+563计算(1)x-52=16(2)2x2-7x+6=064解方程：(1)x2-4x-4=0(2)x(x+4)=-3(x+4)65解下列方程：(1)x2-3x=0(2)x2+2x-1=066解方程：(1)x-12-25=0；(2)x2-4x-1=0．67解方程：(1)x2-2x+1=0；(2)x2-7x-8=0﹒68解方程(1)x2-1=0(2)2x2-5x+3=069用适当的方法解下列方程(1)x2-2x=2x+1；(2)x2x+3=2x+3．70(1)解方程2x x+1=0(2)解方程：3x2-2x-4=0+3x+171计算：(1)5x2-3x=0；(2)x2-4x+1=0．72解方程：(1)2x2-4x+1=0；(2)x2+2x-3=0．73用适当的方法解方程(1)72x-32=28(2)2x2-x-15=0(3)2x2+4x-5=0(4)2x+12+32x+1+2=074解方程(1)2x+12=121；(2)x2-12x+27=0；(3)2x+12=x2+2；(4)4x2-4=1x-2-1．75用适当的方法解下列方程．(1)x2-4x-1=0；(2)x-32=53-x．76解方程：(1)3x-52=x2-25；(2)x2-1=3x．77解方程：(1)y y-2=3y-2(2)x2+8x-9=078解方程：(1)x2-4x+1=0(用配方法)(2)3(x-2)2=x(x-2)(3)2x2-22x-5=0(4)(y+2)2=(3y-1)279解方程：(1)2x2-4x=1(配方法)；(2)x x+4=3x+12．80解方程(1)x-2=82-5=0(2)x x+4(3)2x2-7x=4(4)2x-32=02-x+181解方程：(1)x+82-5x+8+6=0(2)3x(2x+1)=4x+2 82(1)x2-6x+5=0；(2)3x2-2x-1=0．83请选择适当的方法解下列一元二次方程：(1)2x2x+5；(2)x2+2x-5=0． 2x+5=x-1(1)2x+32-25=0．(2)2x2-7x-2=0．(3)x+2．(4)x2-2x-3=0． 2=3x+285解方程(1)x2-4x+1=0(2)5x-32+23-5x=086选择适当的方法解下列一元二次方程：(1)3x-4；(2)2x2+4x-3=0． 2=54-x87用配方法解下列方程(1)3x2-4x-2=0；(2)6x2-2x-1=0；(3)2x2+1=3x；(4)x-3=-5．2x+188解下列方程：(1)x2+25x+10=0(2)42y-522=93y-1(1)x2-4x=0；(2)x2+4x-4=0．90解下列分式方程.(1)x+14x2-4-xx-2=1-2xx+2.(2)13x-4-10x-3=4x-5-1x-1.91解方程：(1)x2-4x-7=0；(2)3x x-1=2x-2．92用适当的方法解下列方程：(1)x2-2x+1=0(2)x2-3x+2=093用适当的方法解下列方程：(1)3x2-2x=0；(2)x2-x-1=0．94解方程：(1)4x-32=x-3(2)2x2-4x-1=095解下列方程：(1)x2+2x-3=0(用配方法)(2)2x2+5x-1=0(用公式法)(3)2x-3=12 2=x2-9(4)x+1x-396用适当的方法解下列方程：(1)x x-2=2-x(2)2x2+3x-1=097解方程：(1)x2-5x-6=0；(2)3x x-1=4x-4．98解方程(1)x2-3x-9=0(2)x x+4=2x+899解方程：(1)x+22-4=0；(2)x2+5x+6=0．100解方程(1)x2-2x+2=0；(2)x2-3x-4=0．参考答案1(1)x 1=1+63，x 2=1-63；(2)x 1=43，x 2=2【分析】(1)利用直接开平方法解方程即可；(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵3x -1 2=6，∴3x -1=±6，解得x 1=1+63，x 2=1-63；(2)解：∵3x -2 2=22-x ，∴3x -2 2+2x -2 =0，∴3x -2 +2 x -2 =0，即3x -4 x -2 =0，∴3x -4=0或x -2=0，解得x 1=43，x 2=2．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．2(1)x 1=4,x 2=-4；(2)x 1=2+7，x 2=2-7；(3)x 1=52，x 2=-1；(4)x 1=13,x 2=-2【分析】按要求解一元二次方程即可．(1)解：x 2-16=0，x 2=16，解得x 1=4,x 2=-4；(2)解：x 2-4x +7=10，x 2-4x =3，x 2-4x +4=7，x -22=7，解得x 1=2+7，x 2=2-7；(3)解：2x 2-3x -5=0，a =2，b =-3，c =-5，∴x 1,2=--3 ±-32-4×2×-52×2，解得x 1=52，x 2=-1；(4)解：3x 2+5x -2=0，3x -1 x +2 =0，解得x 1=13,x 2=-2．【点拨】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的运算．3(1)x 1=-1,x 2=3；(2)x 1=1,x 2=2【分析】(1)先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可(1)解：x2-2x-3=0，x+1x-3=0，x+1=0,x-3=0，∴x1=-1,x2=3；(2)解：x x-2=x-2，x x-2-x-2=0，x-1x-2=0，x-1=0,x-2=0，x1=1,x2=2．【点拨】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等.4(1)x1=4，x2=-1；(2)x1=1，x2=2+3 2【分析】(1)采用因式分解法解此方程，即可求解；(2)采用因式分解法解此方程，即可求解．(1)解：由原方程得：x2-3x-4=0，得x-4x+1=0，故x-4=0或x+1=0，解得x1=4，x2=-1，所以，原方程的解为x1=4，x2=-1；(2)解：由原方程得：2x-12-3x-1=0，得x-12x-1-3=0，故x-1=0或2x-2-3=0，解得x1=1，x2=2+3 2，所以，原方程的解为x1=1，x2=2+3 2．【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握和运用解一元二次方程的方法是解决本题的关键．5(1)x1=1+2,x2=1-2；(2)x1=6,x2=-25；(3)x1=1+32,x2=1-32；(4)x1=32,x2=-2【分析】(1)方程运用配方法求解即可；(2)方程移项后运用因式分解法求解即可；(3)方程移项后运用直接开平方法求解即可；(4)方程运用因式分解法求解即可．解：(1)x2-2x-1=0x2-2x=1，x2-2x+1=2，x-12=2，x-1=±2，∴x1=1+2,x2=1-2；(2)x5x+2=65x+2x5x+2-65x+2=0，x-65x+2=0，x-6=0,5x+2=0，∴x1=6,x2=-25；(3)(2x-1)2-3=0 (2x-1)2=3，2x-1=±3，2x=1±3，∴x1=1+32,x2=1-32；(4)2x2+x-6=02x-3x+2=0，2x-3=0,x+2=0，x1=32,x2=-2．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法，配方法和直接开平方法是解答本题的关键．6(1)x1=-1，x2=23；(2)x1=-1，x2=52【分析】(1)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．(1)解：∵3x x+1=2x+1，∴3x x+1-2x+1=0，则x+13x-2=0，∴x+1=0或3x-2=0，解得x1=-1，x2=2 3；(2)解：∵2x2-3x-5=0，∴x+12x-5=0，∴x+1=0或2x-5=0，解得x1=-1，x2=5 2．【点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．7(1)x1=1，x2=-13；(2)y1=-32，y2=1【分析】(1)直接利用配方法解方程得出答案；(2)直接利用十字相乘法解方程得出答案．(1)解：∵3x2-2x-1=0，∴x2-23x-13=0，∴x2-23x=13，∴x2-23x+19=49，∴x-132=49，∴x -13=±23，解得x 1=1，x 2=-13；(2)解：∵2y -1 2=31-2y +4，∴2y -1 2+32y -1 -4=0，∴2y -1 -1 2y -1 +4 =0，∴2y -1 -1=0或2y -1 +4=0，解得y 1=-32，y 2=1．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握相关解一元二次方程的解法是解题关键．8(1)x 1=2+6,x 2=2-6；(2)x 1=-3,x 2=3【分析】(1)利用配方法得到(x -2)2=6，然后用直接开平方法解方程；(2)先移项，再利用因式分解法把方程转化为x +3=0或2x -6=0，然后解两个一次方程即可．解：(1)x 2-4x -2=0，x 2-4x =2，x 2-4x +4=6，(x -2)2=6，x -2=±6，所以x 1=2+6，x 2=2-6；(2)2x x +3 =6x +3 ，2x x +3 -6x +3 =0，x +3 2x -6 =0，x +3=0或2x -6=0，所以x 1=-3，x 2=3．【点拨】本题考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握其方法步骤是解决此题的关键，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．9(1)x 1=-1，x 2=1；(2)x 1=3+174，x 2=3-174【分析】(1)移项后，利用因式分解法求解即可；(2)直接利用公式法求解即可．(1)解：x x +1 =x +1 ，x x +1 -x +1 =0，∴x +1 x -1 =0，∴x +1=0或x -1=0，解得：x 1=-1，x 2=1；(2)解：2x 2-3x -1=0，∴a =2，b =-3，c =-1，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =--3 ±-3 2-4×2×-1 2×2=3±174，∴x 1=3+174，x 2=3-174．【点拨】本题考查了因式分解法和求根公式法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法及求根公式是解题的关键．10(1)x 1=2，x 2=-1；(2)x 1=2+32，x 2=2-32【分析】(1)采用因式分解法解此方程，即可求解；(2)采用公式法解此方程，即可求解．(1)解：由原方程得：x -2 x +1 =0，∴x -2=0或x +1=0，解得x 1=2，x 2=-1，所以，原方程的解为x 1=2，x 2=-1；(2)解：∵a =4，b =-8，c =1，∴Δ=-8 2-4×4×1=64-16=48>0，∴x =8±432×4=2±32，解得x 1=2+32，x 2=2-32，所以，原方程的解为x 1=2+32，x 2=2-32．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．11(1)x 1=5，x 2=-1；(2)x 1=-3，x 2=1；(3)x 1=-2+62，x 2=-2-62；(4)x 1=5，x 2=2【分析】(1)利用直接开方法求解即可；(2)利用因式分解法求解即可；(3)利用公式法求解求解即可；(4)利用因式分解法求解即可．(1)解：(x -2)2-9=0∴(x -2)2=9直接开方得：x -2=3或x -2=-3，解得：x 1=5，x 2=-1；(2)x 2+2x =3x 2+2x -3=0，∴x +3 x -1 =0，解得：x 1=-3，x 2=1；(3)2x 2+4x -1=0，其中a =2,b =4,c =-1，∴Δ=b 2-4ac =24>0，∴x =-4±242×2=-2±62,，∴x 1=-2+62，x 2=-2-62；(4)x -5 2=2x -1 5-x移项得：x -5 2+2x -1 x -5 =0，∴x -5 (x -5+2x -1)=0，整理得：x -5 (3x -6)=0，解得：x 1=5，x 2=2．【点拨】题目主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解题关键．12(1)x1=-1+62，x2=-1-62；(2)x1=1+22，x2=1-22【分析】(1)利用配方法解一元二次方程即可得；(2)先去括号，再利用配方法解一元二次方程即可得．(1)解：2x2+4x-1=0，2x2+4x=1，x2+2x=12，x2+2x+1=12+1，即x+12=32，x+1=±62，x=-1±62，所以方程的解为x1=-1+62，x2=-1-62．(2)解：2x x-1=2x-1，2x2-2x=2x-1，2x2-4x=-1，x2-2x=-12，x2-2x+1=-12+1，即x-12=12，x-1=±22，x=1±22，所以方程的解为x1=1+22，x2=1-22．【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的常用方法(直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等)是解题关键．13(1)x1=3，x2=1；(2)x1=3，x2=-1【分析】(1)利用直接开平方法解方程即可；(2)先移项，再利用因式分解法解方程即可．(1)解：x-22=1∴x-2=±1，当x-2=1时，x=3，当x-2=-1时，x=1，∴x1=3，x2=1；(2)解：x x-3+x=3移项得：x x-3+x-3=0，∴x-3x+1=0，∴x-3=0，x+1=0，∴x1=3，x2=-1．【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法和因式分解法是解题的关键．14(1)x1=0，x2=3；(2)x1=2，x2=4；(3)x1=3+112，x2=3-112；(4)x1=8，x2=45【分析】(1)将原方程转化为7x 2-21x =0，再利用因式分解法求解即可；(2)将原方程转化为x 2-6x +8=0，再利用因式分解法求解即可；(3)直接利用公式法求解即可；(4)两边开方，得到两个一元一次方程，再求出方程的解即可．(1)解：将原方程转化为7x 2-21x =0，∴7x x -3 =0，∴7x =0或x -3=0，解得：x 1=0，x 2=3；(2)解：将原方程转化为x 2-6x +8=0，∴x -2 x -4 =0，∴x -2=0或x -4=0，解得：x 1=2，x 2=4；(3)解：∵a =2，b =-6，c =-1，∴b 2-4ac =-6 2-4×2×-1 =36+8=44，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =--6 ±442×2=6±2114，∴x 1=3+112，x 2=3-112；(4)解：将方程转化为3x -2 =±2x +1 ，∴3x -2 =2x +1 或3x -2 =-2x +1 ，解得：x 1=8，x 2=45．【点拨】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．15(1)x 1=2+5，x 2=2-5；(2)x 1=5，x 2=-5【分析】(1)用配方法求解即可；(2)用因式分解法求解即可．(1)解：x 2-4x =1，x 2-4x +4=1+4，x -2 2=5，x -2=±5，∴x 1=2+5，x 2=2-5；(2)解：x -5 2-2x x -5 =0，x -5 x -5-2x =0，x -5=0或x -5-2x =0，x 1=5，x 2=-5．【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法是解题的关键．16(1)x 1=0，x 2=173；(2)x 1=-3+52，x 2=-3-52【分析】(1)先化成一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解即可；(2)用公式法求解即可．(1)解：(x -5)(3x -2)=10，去括号得：3x2-2x-15x+10=10移项合并同类项得：3x2-17x=0，分解因式得：x(3x-17)=0，∴x=0或3x-17=0，解得：x1=0x2=17 3；(2)解：x2+3x+1=0，a=1，b=3，c=1，解得x=-3±32-42，∴x1=-3+52，x2=-3-52；【点拨】本题考查了因式分解法、公式法解一元二次方程．解题的关键在于对解一元二次方程方法的熟练掌握．17(1)x1=2+103，x2=2-103；(2)x1=125，x2=3；(3)x1=-2，x2=3；(4)x1=12，x2=3．【分析】(1)根据公式法求解即可；(2)根据因式分解法求解即可；(3)根据因式分解法求解即可；(4)根据因式分解法求解即可；(1)解：3x2-2=4x，3x2-4x-2=0，∴a=3，b=-4，c=-2，∴Δ=b2-4ac=-42-4×3×-2=40，∴x=-b±Δ2a =--4±402×3=2±103，∴x1=2+103，x2=2-103；(2)解：4x-32+x x-3=0，4x-3+xx-3=0，5x-12x-3=0，∴5x-12=0或x-3=0，∴x1=125，x2=3；(3)解：x x-3=6-2x，x x-3=-2x-3，x x-3+2x-3=0，x+2x-3=0，∴x+2=0或x-3=0，∴x1=-2，x2=3；(4)解：2x2-7x+3=0，2x-1x-3=0，∴2x-1=0或x-3=0，∴x1=12，x2=3．【点拨】本题考查解一元二次方程．根据方程的特点选择合适的方法解方程是解题关键．18(1)x 1=5+292,x 2=5-292；(2)x =12【分析】(1)公式法解一元二次方程；(2)将分式方程化为整式方程，再进行验根，即可得解．(1)解：∵x 2-5x -1=0，∴a =1,b =-5,c =-1，∴△=b 2-4ac =25+4=29>0，∴x =5±292，∴x 1=5+292,x 2=5-292；(2)解：去分母，得：x 2-4x -3 =x x -3 ，去括号，得：x 2-4x +12=x 2-3x ，移项，合并得：-x =-12，系数化1：x =12；检验：把x =12代入x x -3 ≠0，∴x =12是原方程的解．【点拨】本题考查解一元二次方程和分式方程．熟练掌握公式法解一元二次方程，以及解分式方程的步骤，是解题的关键．19(1)x 1=0,x 2=12；(2)x 1=5,x 2=133；(3)x 1=-7,x 2=4；(4)x 1=23,x 2=-2【分析】(1)利用直接开平方法求解即可；(2)移项后利用分解因式法求解即可；(3)原方程化为一般形式后再利用分解因式法求解；(4)原方程化为一般形式后再利用分解因式法求解.(1)解：∵3x -1 2=x +1 2，∴3x -1=±x -1 ，∴3x -1=x -1或3x -1=-x -1 ，解得x 1=0,x 2=12；(2)解：移项，得3x -5 2-10-2x =0，即3x -5 2+2x -5 =0，进一步可变形为x -5 3x -5 +2 =0，∴x -5=0或3x -5 +2=0，解得：x 1=5,x 2=133；(3)解：原方程可变形为x 2+3x -28=0，即为x +7 x -4 =0，∴x +7=0或x -4=0，解得：x 1=-7,x 2=4；(4)解：原方程即为3x 2+4x -4=0，∴3x -2 x +2 =0，∴3x -2=0或x +2=0，解得：x1=23,x2=-2.【点拨】本题考查了一元二次方程的求解，属于基本题目，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.20(1)x1=0，x2=73；(2)x1=1，x2=-4；(3)x1=5，x2=7；(4)x1=1，x2=2【分析】(1)提公因式因式分解，解方程即可；(2)因式分解法解方程即可；(3)先移项然后提公因式解方程即可；(4)先化成一元二次方程的一般式，然后进行因式分解，计算求解即可．(1)解：3x2-7x=0，x3x-7=0，解得，x1=0，x2=7 3；(2)解：x2+3x-4=0，x-1x+4=0，解得，x1=1，x2=-4；(3)解：x-52=2x-5，x-5x-5-2=0，解得，x1=5，x2=7；(4)解：(3-x)2+x2=5，9-6x+x2+x2=5，x2-3x+2=0，x-1x-2=0，解得，x1=1，x2=2；【点拨】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于选用合适的方法解方程．21(1)x1=2,x2=-4；(2)x1=2,x2=-3 2【分析】(1)用配方法解方程即可；(2)利用因式分解法解方程即可．(1)解：x2+2x+1=9x+12=9，x+1=±3∴x1=2,x2=-4；(2)解：2x2-x-6=0，2x+3x-2=0∴x1=2,x2=-32.【点拨】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法，根据方程的特点，选择合适的方法解方程是解决问题的关键．22(1)x=16；(2)x=-4【分析】先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可．(1)解：2xx+3+1=72x+6去分母得：4x+2x+6=7，去括号得；4x+2x+6=7，移项得：4x+2x=7-6，合并同类项得：6x=1，系数化为1得：x=1 6，经检验，x=16是原方程的解，∴原方程的解为x=16；(2)解：6x+1x-1-3x-1=1去分母得：6-3x+1=x+1x-1，去括号得；6-3x-3=x2-1，移项，合并同类项得：x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4，经检验，x=-4是原方程的解，x=1不是原方程的解，∴原方程的解为x=-4．【点拨】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键．23(1)x1=1+6，x2=1-6；(2)x1=-1，x2=1 2【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵x2-2x-5=0，∴x2-2x=5，∴x2-2x+1=6，即x-12=6，∴x-1=±6，解得x1=1+6，x2=1-6；(2)解：∵2x x+1=x+1，∴2x x+1-x+1=0，∴2x-1x+1=0，∴2x-1=0或x+1=0，解得x1=-1，x2=1 2．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．24(1)x1=4，x2=-2；(2)x1=9，x2=-1【分析】(1)利用直接开平方的方法解方程即可；(2)利用配方法解方程即可．(1)解：∵3x-12-27=0，∴3x-12=27，∴x-12=9，∴x-1=±3，解得x1=4，x2=-2；(2)解：∵x2-8x-9=0，∴x2-8x=9，∴x2-8x+16=25，即x-42=25，∴x-4=±5，解得x1=9，x2=-1．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．25(1)x1=0，x2=3；(2)x1=4+223，x2=4-223【分析】(1)移项后提公因式求解即可；(2)去分母后用求根公式计算求解即可．(1)解：4x2=12x，4x x-3=0令x=0，x-3=0，解得x1=0，x2=3；(2)解：34x2-2x-12=0，3x2-8x-2=0，解得x=8±-82-4×3×-22×3=4±223，∴x1=4+223，x2=4-223【点拨】本题考查了因式分解法、公式法解一元二次方程．解题的关键在于掌握解一元二次方程的解法．26(1)x1=2，x2=-13；(2)x1=-4，x2=1【分析】(1)用公式法解一元二次方程即可；(2)先移项，然后再用因式分解法解一元二次方程即可．(1)解：由题意得，a=3，b=-5，c=-2，Δ=b2-4ac=-52-4×3×-2=49，∴x=5±72×3，∴x1=2，x2=-13；(2)解：移项得：x+42-5x+4=0，提公因式得：x+4x+4-5=0，∴x+4x-1=0，∴x+4=0或x-1=0，∴x1=-4，x2=1．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．27(1)x1=4,x2=-1；(2)x1=23,x2=12【分析】(1)利用因式分解法解一元二次方程即可得；(2)利用因式分解法解一元二次方程即可得．(1)解：-x2+3x+4=0，即x2-3x-4=0，x-4x+1=0，x-4=0或x+1=0，x=4或x=-1，故方程的解为x1=4,x2=-1．(2)解：3x2x-1=4x-2，3x2x-1-22x-1=0，3x-22x-1=0，3x-2=0或2x-1=0，x=23或x=1 2，故方程的解为x1=23,x2=12．【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法(直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等)是解题关键．28(1)x1=-9，x2=1；(2)t1=1，t2=-1 3【分析】(1)整理后，利用因式分解法求解即可；(2)利用配方法求解即可．(1)解：(x+5)2=2x+34x2+8x-9=0，(x+9)(x-1)=0，∴x1=-9，x2=1；(2)3t2-2t-1=0，t2-23t=13，t2-23t+19=13+19，即t-132=49，∴t-13=±23，∴t1=1，t2=-13．【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．29(1)x1=0,x2=2；(2)x1=-1+3,x2=-1-3【分析】(1)方程移项后，利用因式分解法求出解即可；(2)方程运用配方支求解即可解：(1)x x-1=xx x-1-x=0x x-1-1=0x=0,x-1-1=0∴x1=0,x2=2(2)x2+2x-2=0x2+2x=2x2+2x+1=2+1x+12=3x+1=±3x1=-1+3,x2=-1-3【点拨】此题考查了解一元二次方程-因式分解法和配方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．30(1)x1=-5+292，x2=-5-292；(2)x1=-25，x2=67；(3)x1=-23，x2=0；(4)x1=-2，x2=4【分析】(1)利用公式法解方程即可；(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵x2+5x-1=0，∴a=1，b=5，c=-1，∴Δ=b2-4ac=52-4×1×-1=29>0，∴x=-b±b2-4ac2a =-5±292，解得x1=-5+292，x2=-5-292；(2)解：∵7x5x+2=65x+2，∴7x5x+2-65x+2=0，∴7x-65x+2=0，∴7x-6=0或5x+2=0，解得x1=-25，x2=67；(3)解：∵3x2+2x=0，∴x3x+2=0，∴x=0或3x+2=0，解得x1=-23，x2=0；(4)解：∵x2-2x-8=0，∴x-4x+2=0，∴x+2=0或x-4=0，解得x1=-2，x2=4．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．31(1)x1=1，x2=3；(2)x1=5，x2=7【分析】(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；(2)将x-3看做整体，利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．(1)解：∵x2-4x+3=0，∴x-1x-3=0，∴x-1=0或x-3=0，解得x1=1，x2=3；(2)解：∵x-32-6x-3+8=0，∴x-3-2x-3-4=0，即x-5x-7=0，∴x-5=0或x-7=0，解得x1=5，x2=7．【点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．32(1)x1=9，x2=1；(2)x1=2+3，x2=2-3【分析】(1)利用一元二次方程直接开平方法即可求解．(2)利用一元二次方程公式法x=-b±b2-4ac2a即可求解．(1)解：x-52=16x-5=±4x=5±4∴x1=9，x2=1．(2)解：x2-4x+1=0x=--4±-42-4×1×12×1=2±3∴x1=2+3，x2=2-3．【点拨】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、公式法是解题的关键．33(1)x1=-1，x2=3；(2)x1=43，x2=-3【分析】(1)直接因式分解解方程即可；(2)先化成一般式的形式，然后因式分解解方程即可．(1)解：x2-2x-3=0，x+1x-3=0，x+1=0，x-3=0，解得，x1=-1，x2=3；(2)解：x+23x-1=10，3x2+5x-12=0，3x-4x+3=0，3x-4=0，x+3=0，解得，x1=43，x2=-3．【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程．解题的关键在于正确的进行因式分解．34(1)x1=1，x2=2；(2)x1=-2+2，x2=-2-2【分析】(1)先移项得到x(x-1)-2(x-1)=0，利用因式分解法把方程转化为x-2=0或x-1=0，然后解两个一次方程即可．(2)原方程运用配方法求解即可．解：(1)x(x-1)=2(x-1)，x(x-1)-2(x-1)=0，(x-1)(x-2)=0，x-2=0或x-1=0，∴x1=1，x2=2(2)x2+4x+2=0x2+4x+4=2x+22=2x +2=±2∴x 1=-2+2，x 2=-2-2【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了用配方法解一元二次方程．35(1)x 1=2+14,x 2=2-14；(2)x 1=10,x 2=-2；(3)x 1=3,x 2=0.6；(4)x 1=-3,x 2=43【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)利用公式法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．解：(1)移项，得：12x 2-2x =5，系数化1，得：x 2-4x =10，配方，得：x 2-4x +4=14，(x -2)2=14，x -2=±14，∴x 1=2+14，x 2=2-14；(2)原方程可变形为x 2-8x -20=0，a =1，b =-8，c =-20，Δ=-8 2-4×1×-20 =64+80=144>0，原方程有两个不相等的实数根，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =8±1442=8±122，∴x 1=10，x 2=-2；(3)原方程可变形为：x -3 x -3+4x =0，整理得：x -3 5x -3 =0，解得x 1=3，x 2=0.6；(4)原方程可变形为：3x 2+5x -2-10=0，整理得：3x 2+5x -12=0，3x -4 x +3 =0，∴x 1=-3，x 2=43【点拨】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．36(1)x 1=1，x 2=12；(2)x 1=-1，x 2=1【分析】(1)利用求根公式直接求解即可；(2)先移项，然后利用平方差公式分解因式求解即可；(1)解：原方程可化为：2x 2-3x +1=0∴a =2，b =-3，c =1∴△=b 2-4ac =-3 2-4×2×1=1>0方程有两个不相等的实数根x =-b ±b 2-4ac 2a =3±12×2=3±14 ∴x 1=1，x 2=12(2)解：原方程移项，得x-32-3x-12=0因式分解，得-2x-24x-4=0于是得-2x-2=0或4x-4=0∴x1=-1，x2=1【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键．37(1)x1=1，x2=2；(2)x1=1+6，x2=1-6；【分析】(1)移项，因式分解即可得到答案；(2)移项，配方，直接开平方即可得到答案；(1)解：移项得，x(x-2)-(x-2)=0，因式分解得，(x-2)(x-1)=0，∴x-1=0或x-2=0，解得：x1=1，x2=2，∴原方程的解是：x1=1，x2=2；(2)解：移项得，x2-2x=5，配方得，x2-2x+1=5+1，即(x-1)2=6，x-1=±6，∴x1=1+6，x2=1-6；【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程及配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握各种解法，选择适当的方法求解．38(1)x1=0，x2=8；(2)x1=3，x2=1；(3)方程无实数根；(4)x1=52，x2=2．【分析】(1)利用因式分解法即可解方程；(2)利用因式分解法即可解方程；(3)依次去括号，移项，合并同类项，得到x2=-2，根据平方的非负性可知，方程无解；(4)利用因式分解法即可解方程．(1)解：x2-8x=0，x x-8=0，令x=0或x-8=0，解得：x1=0，x2=8；(2)解：2x-32+x2-9=0，2x-32+x+3x-3=0，x-32x-3+x+3=0，x-33x-3=0，令x-3=0或3x-3=0，解得：x1=3，x2=1；(3)解：x+12=2x-1，x2+2x+1=2x-1，x2+2x+1-2x+1=0，x2+2=0，x2=-2，∵x2≥0，故原方程无实数根；(4)解：x2x-5=4x-10，x2x-5=22x-5，x2x-5-22x-5=0，2x-5x-2=0，令2x-5=0或x-2=0，解得：x1=52，x2=2．【点拨】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键．39(1)x1=-2+102，x2=-2-102；(2)x1=-1，x2=2【分析】(1)利用公式法解方程即可；(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵2x2+4x-3=0，∴a=2，b=4，c=-3，∴Δ=b2-4ac=42-4×2×-3=40>0，∴x=-b±b2-4ac2a =-4±2104=-2±102，解得x1=-2+102，x2=-2-102；(2)解：∵x x-2=4-x2，∴x x-2=x+22-x，∴x x-2+x+2x-2=0∴x+x+2x-2=0，∴x+x+2=0或x-2=0，解得x1=-1，x2=2．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．40(1)x1=2，x2=-3；(2)m1=5-1，m2=-5-1【分析】(1)利用因式分解法解方程即可；(2)先把方程化为一般式，然后利用公式法解方程即可．(1)解：∵x2+x-6=0，∴x+3x-2=0，∴x+3=0或x-2=0，解得x1=2，x2=-3；(2)解：∵m2+5m+7=3m+11，∴m2+2m-4=0，∴a=1，b=2，c=-4，∴Δ=b2-4ac=22-4×1×-4=20>0，∴m=-b±b2-4ac2a =-2±252，解得m1=5-1，m2=-5-1．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．41(1)x1=3，x2=1；(2)x1=2+142，x2=2-142【分析】(1)先移项，再把方程的左边提公因式分解因式，化为两个一次方程，解一次方程即可；(2)先求出根的判别式的值，再代入求根公式，用公式法解答．(1)解：∵x-3=x x-3，移项得：x-3-x x-3=0，∴x-31-x=0，∴x-3=0或1-x=0，解得：x1=3，x2=1；(2)解：∵2x2-4x-5=0，∴Δ=-42-4×2×-5=56，∴x=--4±562×2=2±142，x1=2+142，x2=2-142．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握利用因式分解法解一元二次方程和运用公式法解一元二次方程，是解本题的关键．42(1)x1=3，x2=-4；(2)x1=0，x2=7【分析】(1)利用十字相乘因式分解法直接求解即可得到答案；(2)先换元，令m=x-1，将x-12-5x-1-6=0转化为m2-5m-6=0，利用十字相乘因式分解法直接求解即可得到答案．(1)解：x2+x-12=0，∴x+4x-3=0，解得x1=3，x2=-4；(2)解：x-12-5x-1-6=0，令m=x-1，则m2-5m-6=0，∴m-6m+1=0，解得m=6或m=-1，∴x-1=-1或x-1=6，解得x1=0，x2=7．【点拨】本题考查解一元二次方程，根据具体的方程结构特征熟练运用一元二次方程的解法求解是解决问题的关键．43(1)x1=2+2，x2=-2+2；(2)x1=1，x2=3【分析】(1)利用直接开平方法求解即可．(2)利用因式分解法求解即可．(1)解：∵2x-22-4=0，∴x-22=2，即：x-2=±2解得：x1=2+2，x2=-2+2．(2)∵x-32=2x3-x，∴x-32+2x3-x=0，∴x-3+2xx-3=0，即3x-3x-3=0，【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．44(1)x1=1+172，x2=1-172；(2)x1=2，x2=52【分析】(1)先整理成一般式，再利用公式求解即可；(2)先整理成一般式，再利用因式分解求解即可．解：(1)整理，得：x2-x-4=0，∵a=1，b=-1，c=-4，∴Δ=-12-4×1×-4=17>0，则x=-b±b2-4ac2a=1±172，∴x1=1+172，x2=1-172．(2)方程化为：2x2-9x+10=0因式分解得，x-22x-5=0于是得2x-5=0或x-2=0即x1=2或x2=5 2．【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的方法，如公式法、因式分解法，是解题的关键．45(1)x1=-3+132，x2=-3-132；(2)x1=1或x2=32【分析】(1)原方程已经是一般形式，利用根的判别式判断根的情况，再利用求根公式求解即可；(2)找出公因式，利用提取公因式法分解因式，降次后再分别求解即可．解：(1)x2+3x-1=0解：由题意的：a=1，b=3，c=-1∵Δ=b2-4ac=32-4×1×-1=9+4=13∴x1=-b+b2-4ac2a =-3+132，x2=-b-b2-4ac2a=-3-132(2)3(x-1)2=x(x-1)解：移项因式分解得：x-13x-1-x=0化简得：x-12x-3=0∴x-1=0或2x-3=0∴x=1或x=32【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式和因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．46(1)x1=-4，x2=6；(2)x1=3，x2=2 3【分析】(1)利用十字相乘法将原方程化为两个一元一次方程求解即可解方程；(2)利用因式分解法求解即可解方程．(1)解：x2-2x-24=0，x+4x-6=0，x+4=0或x-6=0，(2)解：2x-3-3x x-3=0，x-32-3x=0，x-3=0或2-3x=0，解得：x1=3，x2=2 3．【点拨】本题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题关键．47(1)x1=3，x2=35；(2)x1=1，x2=-3．【分析】(1)利用提公因式法解方程；(2)利用配方法解方程．解：(1)(x-3)2+4x(x-3)=0，(x-3)(x-3+4x)=0，∴x-3=0或5x-3=0，∴x1=3，x2=35；(2)2x2+4x-6=0，x2+2x=3，x2+2x+1=3+1，即(x+1)2=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=-3．【点拨】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．48(1)x1=-8，x2=3；(2)x1=-1+133，x2=-1-133．【分析】(1)利用因式分解法求解即可得到答案；(2)将原方程化为一般式根据求根公式求解即可得到答案；(1)解：因式分解可得，(x+8)(x-3)=0，即x-3=0或x+8=0，解得：x1=-8，x2=3；(2)解：原方程变形得，3x2+2x-4=0，即a=3，b=2，c=-4，∴Δ=b2-4ac=22-4×3×(-4)=52>0∴原方程有两个不相等的实数根，∴x=-b±Δ2a =-2±522×3=-2±2136，∴x1=-1+133，x2=-1-133．【点拨】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握各种解法及选择适当的方法．49(1)x1=2+22，x2=2-22；(2)x1=2，x2=-5【分析】(1)配方法解方程；(2)因式分解法解方程．∴x2-4x+4=4+4，∴x-22=8，∴x-2=±22，解得：x1=2+22，x2=2-22；(2)解：x+2x+1=12，整理的：x2+3x-10=0，∴x-2x+5=0，解得：x1=2，x2=-5．【点拨】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．50(1)x1=-4+17，x2=-4-17；(2)x1=2，x2=-1【分析】(1)先利用配方法得到x+42=17，然后利用直接开平方法解方程．(2)利用因式分解法把原方程转化为x-2=0或x+1=0，然后解两个一次方程即可．(1)解：x2+8x-1=0，x2+8x=1，x2+8x+16=1+16，x+42=17，x+4=±17，x1=-4+17，x2=-4-17；(2)解：x x-2+x-2=0，x-2x+1=0，x-2=0或x+1=0，x1=2，x2=-1．【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．51(1)x1=-9或x2=1；(2)x1=-3或x2=-1；；(3)x1=7+534或x2=7-534；(4)x=2【分析】(1)先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程一因式分解法,进行计算即可解答；(2)利用解一元二次方程一因式分解法，进行计算即可解答；(3)利用解一元二次方程一公式法，进行计算即可解答；(4)利用解一元二次方程一因式分解法，进行计算即可解答．(1)解：x2+8x=9x2+8x-9=0x+9x-1=0x+9=0或x-1=0x1=-9或x2=1；(2)解：2x+6=(x+3)22x+6-(x+3)2=02x+3-(x+3)2=0x+32-x-3=0x+3-1-x=0x+3=0或-x-1=0x 1=-3或x 2=-1；(3)解：2x 2-7x -12=0∵Δ=-7 2-4×2×-12 =49+4=53>0，∴x =7±534，∴x 1=7+534或x 2=7-534；(4)解：x 2-22x +2=0x -2 2=0x -2=0x =2．【点拨】本题考查了解一元二次方程一因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程一因式分解法是解题的关键．52(1)x 1=-3，x 2=-4；(2)x 1=12，x 2=2【分析】(1)原方程整理后，利用因式分解法解该一元二次方程即可；(2)直接用公式法解该一元二次方程即可．(1)解：x (x +4)=-3(x +4)，x (x +4)+3(x +4)=0，(x +3)(x +4)=0，∴x 1=-3，x 2=-4；(2)解：2x 2-5x +2=0，∵a =2，b =-5，c =2，∴Δ=b 2-4ac =(-5)2-4×2×2=9>0，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =-(-5)±92×2=5±34，∴x 1=12，x 2=2．【点拨】本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法及求根公式是解题的关键．53(1)x 1=2+7，x 1=2-7；(2)x 1=2，x 2=13【分析】(1)采用公式法解此方程，即可求解；(2)采用因式分解法解此方程，即可求解．(1)解：x 2-4x -3=0，∵a =1，b =-4，c =-3，∴Δ=b 2-4ac =16-4×1×-3 =16+12=28，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =4±272=2±7，∴x 1=2+7，x 1=2-7，所以，原方程的解为x 1=2+7，x 1=2-7；(2)解：由原方程得：x -2 3x -1 =0，故x -2=0或3x -1=0，。

姓名老师学生姓名填写时间学科数学年级初三教材版本人教版阶段观察期□：第（）周保护期□第（）课时自己课时统计共（）课时课题名称初中数学——九年级上数学课时计划第（）课时上课时间共（）课时授课知识容一元二次方程知识点、考点授课目的个性化学习问题解决经过典例讲解解析，加强对知识点的理解，有利于更好掌握相关容授课重点经典题型解析及习题加强授课过程教师活动一元二次方程一、知识结构：解与解法一元二次方程根的鉴识韦达定理二、考点精析考点一、看法(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是 2，这样的③整式方程就是一元二．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．次方程。

(2)一般表达式： ax 2 bx c 0(a 0)⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“ 0”；②未知数指数为“ 2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以谈论。

典型例题：例 1、以下方程中是关于x 的一元二次方程的是（）11C ax2bx c0D x22x x 21变式：当 k时，关于 x 的方程kx22x x23是一元二次方程。

例 2、方程 m 2 x m3mx 1 0是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为。

针对练习：★1、方程8x27 的一次项系数是，常数项是。

★2、若方程 m 2 x m 10 是关于 x 的一元一次方程，⑴求 m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。

★★ 3、若方程m 1 x 2m ? x 1 是关于x的一元二次方程，则m的取值围是。

★★★ 4、若方程 x m +x n -2x2 =0 是一元二次方程，则以下不能能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解⑴看法：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的看法求代数式的值；典型例题：例 1、已知2y2y 3 的值为2，则 4y2 2 y 1 的值为。