一元函数微分学习题

一元函数的微分学 试题

1.设()f x 在x a =处可导，求1()lim ()n

n f a n f a →∞⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

.

2. 设()()()f x a bx a bx ϕϕ=+--,()x ϕ在x a =处可导，求(0)f '.

3. 设()f x 连续，(1)f a '=(0)a ≠，且对于任意的,x y R ∈,恒有

()()()f xy f x f y =+,求()f x .

4. 设0()()x

F x x t f t x dt =+⋅-⎰,求

dF dx

.

5.设3

1cos

0()=00

x x x x

x ϕ⎧≠⎪⎨⎪=⎩,()f x 在0x =处可导，()=(())F x f x ϕ，

求(0)F '.

6.设()f x 连续，且0()lim 2x f x x →=，1

02()0

()0

0ln(1)

f xt dt x F x x x x x ⎧>⎪⎪⎪

==⎨⎪+⎪<⎪⎩⎰,求(0)F '.

7.设函数2(1)(1)()lim 1n x n x n x e ax b

f x e

--→∞++=+可导，求常数a 和b .

8.设()f x 在0x =处连续，且0sin lim 1ln(()2)

x x x

f x →-=+,求(0)f '的值.

9.设(0)0f =，则()f x 在0x =处可导的充要条件是2

01

lim (1cosh)h f h →- 存在吗？是01

lim (1)h h f e h

→-存在吗？

························阅·······················卷························密························封························线·······

第二章

一元函数微分学

一、选择题

1．设)(x f y =可导，则)()2(x f h x f -+等于（

）.

A．)

()(h o h x f +'B．)

()(h o h x f +'C．)

()(h o h x f +'-D．)

()(2h o h x f +'2．设)(x f 在0x 处可导，且4)

()2(lim

000

=--→x

x f x x f x ，则)(0x f '等于（

）.

A．0B．1

-C．1

D．2

-3．设)(x f 在0x 处可导，则下列命题中不正确的是（

）.

A．00)

()(lim

x x x f x f x x --→存在

B．00)

()(lim

x x x f x f x x --→不存在

C．0

0)

()(lim 0

x x x f x f x x --+

→存在

D．0

0)

()(lim 0

x x x f x f x x ---

→存在

4．已知)(x f y =在0=x 处可导且0)0(=f ，则当0≠t 时，有=→x

tx f x )

(lim 0

（）.

A.)

(t f B.)

0(f 'C．)

0(f t 'D．不存在

5．函数)(x f 在0x x =处连续，是)(x f 在0x 处可导的（

）.

A．充分条件

B．必要条件

C．充分必要条件

D．既非充分也非必要条件

6．函数x x f =)(在0=x 处（

）.

A．连续但不可导B．连续且可导C．极限存在但不连续

D．不连续也不可导

7．设0)0(=f ，且x x f x )(lim

→存在，则x

x f x )

(lim 0→等于（

）.

A．)(x f 'B．)

0(f 'C．)0(f D．

第一部分、一元函数微分学习题集1

一、选择题

1.下列命题正确的是（ ）

0(A)()lim ().x x f x x f x →=∞若在的任意空心邻域内无界，则

0(B)lim (),().x x f x f x x →=∞若则在的任意空心邻域内无界

(C)lim (),lim ().x x x x f x f x →→=∞若不存在则

1

(D)lim (),lim

.()

x x x x f x f x →→=∞若=0则 2.{}n x 关于数列下列命题正确的个数是（ ）

{}(1)lim .n n n x A x →∞

⇒若=存在有界

(2)lim lim .n n k n n x A k x A +→∞→∞=⇔=存在对任意确定正整数有

221(3)lim lim lim .n n n n n n x A x x A -→∞

→∞

→∞

=⇔==存在

1

(4)lim lim

1.n n n n n

x x A x +→∞

→∞=⇒=存在

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

3. 下列命题正确的是( )

00,0()()lim (),lim ()x x x x x x f x g x f x A g x B A B δδ→→∃><-<>==>(A)若当时， 且均存在，则

0lim ()lim ()00()()

x x x x f x g x x x f x g x δδ→→≥∃><-<>(B)若，则，当时 0

0lim ()lim ()00()()

x x x x f x g x x x f x g x δδ→→≥∃><-<≥(C)若，则，当时

第一章、极限与连续 1．

求2

1)]1x x x -→+∞

+-。 2

。求n (0≥x )。

3． 设3214

lim

1

x x ax x l x →---+=+，求常数,a l 。 4。求已知()0

lim x f x →存在，且

3x →=，求()0

lim x f x →．

5。极限sin sin sin lim sin x t x

t x

t x -→⎛⎫

⎪⎝⎭

，并记此极限为()f x ，求函数()f x 的间断点并指出其间断类型。

6。求常数,a b ，

使()1

,0, 011

arctan , 1

-1x x f x ax b x x x ⎧<⎪

⎪⎪

=+≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩

在所定义的区间上连续． 7。设()()21211lim ,1n n n n n x a x f x a x ax +→∞+--=--为常数，求()f x 的分段表达式，并确定常数a 的值，使()f x 在[0,)+∞上连续． 8．设101=x , n n x x +=+61(Λ,3,2,1=n ),试证数列{}n x 极限存在,并求此极限。

第二章、导数

1．设⎪⎩⎪

⎨⎧=≠=.

0),0(,0,)

()(x f x x x f x F 其中)(x f 在0=x 处可导，0)0(≠'f ，0)0(=f ，则的是 )( 0x F x =（ ）

（A ）连续点； （B ）第一类间断点； （C ）第二类间断点； （D ）不能确定。

2．函数x x x x x f ---=32)2()(不可导点的个数是（ ）. (A)3； (B)2； (C)1； (D)0。

第二章一元函数微分学 第一节导数与微分

1. 设()(1)(2)(),(2)f x x x x x n n =+++≥L ,则'(0)f =____________. 解：利用定义来计算0

0()(0)(1)(2)()

'(0)lim

lim !x x f x f x x x x n f n x x

→→-+++=== . 2.设()lim

x a

f x b

A x a

→-=-,求: sin ()sin lim x a f x b x a →--.

解：sin ()sin sin ()sin ()lim

lim cos ()x a x a f x b f x b f x b A b x a f x b x a

→→---==---.

3.设(0)1,'(0)2f f ==-, 求: 0

()cos 1

lim

x f x x x

→-.

解：

00002

00()cos 1()cos cos cos 1

lim

lim

cos (()1)cos 1

lim lim

1cos (()(0))2lim lim '(0)2x x x x x x f x x f x x x x x x

x f x x x x

x x f x f f x x

→→→→→→--+-=--=+--=+==- 4.设21,0(),0x x x f x ax b x ⎧++≤=⎨+>⎩

为使()f x 在0x =处可导,求a ,b .

解：因为

()f x 在0x =处可导,则()f x 在0x =处必连续,由

(0)1f =,0

lim ()lim ()x x f x ax b b ++

高等数学一元微积分学课后练习题含答案概述

高等数学一元微积分是大学数学中的重要课程，掌握好微积分理论和应用，对

于理解和学习后续相关数学课程都有非常重要的作用。在学习一元微积分的过程中，做好练习题也是非常重要的一环。因此，本文档提供了一些高等数学一元微积分学课后练习题和答案，供大家练习和参考，希望能够帮助大家更好地掌握这门课程。

练习题与答案

题目 1

已知点A(0,1)和点B(2,5)，则过点 A 且斜率为 3 的直线方程为？

答案

利用两点式，设所求直线方程为y=kx+1，则有：

$$ k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{5 - 1}{2 - 0} = 2 $$

因为所求直线的斜率为 3，所以有k=3，代入上式得：

y=3x+1

所以答案为y=3x+1。

题目 2

已知函数f(x)=x3−6x2+11x−6，求其零点。

答案

为了求出函数f(x)的零点，我们需要通过解方程f(x)=0来得到。对于一

个三次函数，我们可以通过因式分解或利用根的判别式来求解。

首先，我们尝试对f(x)进行因式分解：

f(x)=x3−6x2+11x−6=(x−1)(x−2)(x−3)因此，函数f(x)的零点为x=1,2,3。

题目 3

求函数f(x)=x3−3x+2在[−1,2]上的最大值和最小值。

答案

为了求出函数f(x)在[−1,2]上的最大值和最小值，我们需要使用微积分中的极值定理。

首先，求出函数f(x)的导数：

f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)

f′(x)在[−1,1]上是负数，在(1,2]上是正数，因此，f(x)在x=1处取得极大值，f(x)在x=−1和x=2处取得极小值。

一元函数微分学练习题答案

一、计算下列极限：

1．93

25

235lim

222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2

2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim

--→)

11(lim

)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x

x x x x x x 21

1011

1

11l i m

-=+--=

+--=→x x

4．0111

111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212

21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x

x x x x x x

6．x t x t

x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim )

)((lim )(lim

00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311

1lim 13lim 4

2322

42=+-+=+-+

=+-+∞

→∞→x

x x x x x x x x x 8．943)3(2)

13()31()12(lim )13()31()12(lim

10

82108

210

108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22

11)211(1lim )21...41211(lim =-=--

=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21

2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+

第二部分 一元函数微分学

[选择题]

容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。

1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=∆，则当0→h 时，必有( )

(A) y d 是h 的同价无穷小量.

(B) y y d -∆是h 的同阶无穷小量。

(C) y d 是比h 高阶的无穷小量.

(D) y y d -∆是比h 高阶的无穷小量.

答D

2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0<x 时，0)(,0)(<''>'x f x f ， 则在),0(+∞内有（ ）

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。

答C

3．已知)(x f 在],[b a 上可导，则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的（ ）

（A ）必要条件。 (B) 充分条件。

（C ）充要条件。 （D ）既非必要，又非充分条件。

答B

4．设n 是曲线x x x y arctan 2

22

-=的渐近线的条数，则=n （ ） (A) 1． (B) 2 (C) 3 (D) 4

答D

5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2-∈∀≤x x x f ，则0=x 必是 )(x f 的（ ）

（A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。

习题一 一元函数微分学

1 计算下列极限: (1)1

11

323

2lim +++∞→-+n n n n n ；

(2)223

lim sin 3

n n n n →∞-⋅+！；

(3))0(,11

lim >+-∞→x x x n

n n .

(4)3020

10)16()52()13(lim +-+∞→x x x x ； (5)x

x

x arctan lim ∞→；

(6)x

x

x 5tan 3sin lim

→；

(7)x

x x 10

)31(lim -→；

(8)1

23lim 21n n n n +→∞+⎛⎫

⎪+⎝⎭.

(9)x x x 1

2lim 0-→

(10) x

x x 1)1(lim ++∞

→

2 求下列函数的导数

(1) x x x y cos sin =

(2) 2

2

11x x y +-=

(3) )(cos )(sin 22x f x f y +=，()(x f 为可导函数).

(4) 设)(x f y =是)(y x ϕ=的反函数，且2)10(=f ，(10)5f '=，求(2)ϕ'.

(5) 设222222b a y a x b =+，求dx

dy .

(6) 设⎩⎨⎧+=-=),1ln(,arctan 2

t y t t x 求22dx y

d

3 数列

{}n x 由以下表达式给出:

011,1,01n

n n

x x x n x +==+

≥+. 证明:n

n x ∞

→lim 存在,并求其值. (提示: {}n x 单调有界)

4 已知21lim 51x x bx c

x

→++=-，试确定b ，c 的值.

5 设函数1, 0,

一元函数微分学练习题答案

一、计算下列极限：

1．93

25

235lim

222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2

2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim

--→)

11(lim

)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x

x x x x x x 21

1011

1

11l i m

-=+--=

+--=→x x

4．0111

111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212

21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x

x x x x x x

6．x t x t

x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim )

)((lim )(lim

00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311

1lim 13lim 4

2322

42=+-+=+-+

=+-+∞

→∞→x

x x x x x x x x x 8．943)3(2)

13()31()12(lim )13()31()12(lim

10

82108

210

108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22

11)211(1lim )21...41211(lim =-=--

=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21

2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+

三、一元函数积分学练习题

（

A

）

一．选择题1. =

+ò

dx x )1(cos （

）

C

x x A ++sin .C

x x B ++-s i n .C

x x C ++c o s .C

x xx D ++-cos .2. 

=òdx x 4

1

（

）C

x

A +-

3

31.C

x

B +3

31.

C

x

C +3

1.

C

x

D +-

31.3. 已知函数2

(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中()f x 的原函数是（

）

A 2

1x -B 2

1x +C 2

2x x -D 2

2x x

+4. 已知函数()f x 在(,)-¥+¥内可导，且恒有()f x ¢=0，又有(1)1f -=，则函数()f x = （

）A 1 

B -1 

C 0 

D x

5. 若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x ¢=（）

A 

1

x

B 21x

-

C ln x

D ln x x

6.定积分

ò

12

2

1ln xdx x 值的符号为（

）

.A 大于零

.B 小于零.C 等于零.D 不能确定

7.曲线)2)(1(--=x x x y ,x 轴所围成的图形的面积可表示为（

）

.A ò

--1

0)2)(1(dx x x x ；.

B ò--20)2)(1(dx x x x ；

.C ò

ò

-----2

1

1

0)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x ；.D ò

ò

--+

--2

11

0)2)(1()2)(1(dx

x x x dx x x x 8. 已知dt t x F x

ò

+=

2

1)(，则=)('

x F （

）

212.x x A + 11.2++x B 21.x C + 11.2

一元函数微分学练习题答案

一、计算下列极限：

1．93

25

235lim 222-=-+=-+→x x x

2．01)3(3)3(13lim 2

2223=+-=+-→x x x 3．x x x 1

1lim

--→)

11(lim

)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21

1011

1

11l i m

-=+--=

+--=→x x

4．0111

111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212

21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21)23()124(lim 2324lim 202

230=++-=++-→→x x x x x x

x x x x x x 6．x t x t

x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim )

)((lim )(lim

00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311

1lim 13lim 4

2322

42=+-+=+-+=+-+∞

→∞→x

x x x x x x x x x 8．943)3(2)

13()31()12(lim )13()31()12(lim

10

82108

210

108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22

11)211(1lim )21...41211(lim =-=--

=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21

2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+

一元函数微分学练习题

一元函数微分学是微积分学中最重要的一个分支，它研究了一元函数的变化率，即函数在某一点处的斜率，以及函数的极大值和极小值等性质。通过学习一元函数微分学，我们能够更好地理解函数的变化规律，解决各种实际问题。

下面是一些关于一元函数的微分学练习题，希望通过这些练习题的训练，提高大家对一元函数微分学的理解和运用能力。

1. 求函数f(x) = x^2在点x = 2处的导数。

2. 求函数f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 2x - 5的极值点。

3. 已知函数f(x) = e^x，求f'(1)。

4. 求函数f(x) = ln(x)在点x = 3处的导数。

5. 求函数f(x) = sin(x)在点x = π/2处的导数。

6. 求函数f(x) = cos^2(x)在点x = π/4处的导数。

7. 求函数f(x) = e^x * sin(x)在点x = 0处的导数。

8. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x的极值点。

9. 求函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x的极值点。

10. 求函数f(x) = sqrt(x)在点x = 4处的导数。

以上是一些关于一元函数微分学的练习题，希望大家通过自己的思考和计算，能够熟练掌握一元函数微分学的相关概念和计算方法。在解答这些问题时，可以利用微分的定义和相关公式，同时也要注意使用函数的基本性质及其图像来推导和解决问题。

在解答题目时，可以采用以下步骤：

1. 根据题目中给出的函数形式，求出函数的导数。

2. 使用导数的定义和性质，计算得到题目所要求的导数或导数的值。

高等数学 ( Ⅰ) 练习 第二章 一元函数微分学

系

专业 班 姓名 学号

习题一

导数概念

一．填空题

f (x 0 x) f ( x 0 ) f (x 0 )

1．若 f ( x 0 ) 存在，则 lim

x

=

,

x 0

f (x 0 h)

f ( x 0

h) 2 f (x 0 )

2．若 f ( x 0 ) 存在， lim

h

=

h 0

3．设 f ( x 0 )

2 x

1

4

, 则 lim

f (x 0) )

x 0

f (x 0 2x)

. lim

f ( x 0 3 x)

f (x 0 ) 3 f ( x 0 )

x

=

.

x 0

4．已知物体的运动规律为

s t

t 2 (米 )，则物体在 t

2 秒时的瞬时速度为 5m/ s

1 3 )

1 2 3 ( x) 5．曲线 y

cos x 在 x

处的切线方程为

y

( x y

2

2 ，法线方程为

2

3 3

3

3

6．用箭头 或 ? 表示在某一点处函数极限存在、连续、可导之间的关系，

极限存在 ?

连续

?

可导。

二、选择题

1．设 f ( 0)

0 ,且 f (0) 存在，则 lim

f ( x)

=

[

B

]

x 0

x

（ A ） f (x)

( B) f

(0)

(C) f (0)

1 f ( 0)

(D)

2

2. 设 f ( x) 在 x 处可导， a , b 为常数，则

f ( x a x)

f ( x b x)

[ B ]

lim

x

=

x 0

a b

（ A ） f (x)

( B) (a

b) f ( x)

(C) ( a

b) f (x)

(D) f ( x)

2

3. 函数在点 x 0 处连续是在该点 x 0 处可导的条件

[ B ]

（ A ）充分但不是必要 （ B ）必要但不是充分 （ C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要