层次聚类

聚类分析方法聚类分析是一种常见的数据分析方法，它可以帮助我们将数据集中的对象按照它们的相似性分成不同的组，从而更好地理解数据的结构和特征。

在实际应用中，聚类分析方法被广泛应用于市场分割、社交网络分析、生物信息学、图像处理等领域。

本文将介绍几种常见的聚类分析方法，包括K均值聚类、层次聚类和密度聚类，并对它们的原理和应用进行简要阐述。

K均值聚类是一种基于距离的聚类方法，它将数据集分成K个簇，每个簇包含距离最近的K个中心点。

K均值聚类的原理是通过迭代计算每个样本点到中心点的距离，然后将样本点分配到距离最近的中心点所在的簇中。

这个过程一直迭代进行，直到簇的分配不再改变为止。

K均值聚类的优点是简单易懂，计算速度快，但是它对初始中心点的选择敏感，容易陷入局部最优解。

层次聚类是一种基于树形结构的聚类方法，它通过不断地将最相似的样本点或簇合并在一起，从而构建出一个层次化的聚类结构。

层次聚类可以分为凝聚型和分裂型两种方法。

凝聚型层次聚类是从下往上构建聚类结构，它首先将每个样本点看作一个独立的簇，然后根据它们的相似性逐步合并成更大的簇，直到所有样本点合并成一个簇为止。

分裂型层次聚类则是从上往下构建聚类结构，它首先将所有样本点看作一个簇，然后根据它们的差异逐步分裂成更小的簇，直到每个样本点都成为一个簇为止。

层次聚类的优点是不需要预先确定簇的个数，但是它的计算复杂度较高，不适合处理大规模数据集。

密度聚类是一种基于样本点密度的聚类方法，它将高密度的样本点划分为一个簇，并且可以发现任意形状的簇。

密度聚类的核心思想是通过计算每个样本点周围的密度来确定核心点，然后将核心点连接在一起形成簇。

密度聚类的优点是对噪声和离群点具有较好的鲁棒性，但是它对参数的选择比较敏感，需要合适的密度阈值来确定核心点。

总的来说，聚类分析方法是一种强大的数据分析工具，它可以帮助我们发现数据中的潜在结构和规律。

不同的聚类方法适用于不同类型的数据和应用场景，选择合适的聚类方法需要根据具体问题的特点来进行。

聚类分析的类型与选择聚类分析是一种常用的数据挖掘技术，可以将数据按照某种相似性进行分组。

通过聚类分析，我们可以发现数据中的潜在规律和结构，帮助我们更好地理解数据，并做出相应的决策。

本文将介绍聚类分析的常见类型，并讨论如何选择适合的聚类方法。

1.聚类分析的类型聚类分析有多种类型，常见的包括层次聚类分析和k均值聚类分析。

下面将分别介绍这两种聚类方法。

1.1层次聚类分析层次聚类分析是一种自下而上的聚类方法，它通过计算数据之间的相似度或距离，将相似的数据逐步合并成簇。

这种方法对数据的层次结构有较好的表示，能够发现不同层次的聚类结构。

层次聚类分析的优点之一是不需要预先指定聚类的个数，但计算复杂度较高，对大规模数据处理存在困难。

另外，它对异常值敏感，若存在异常值可能影响聚类结果。

1.2k均值聚类分析k均值聚类分析是一种基于划分的聚类方法，它将数据划分成k个互不重叠的簇，使得簇内的数据相似度较高，簇间的数据相似度较低。

该方法通过迭代计算簇的中心和重新分配数据来实现聚类。

k均值聚类分析的优点在于计算简单、效果较好，适用于大规模数据集。

但该方法对初始簇中心的选择较为敏感，容易收敛于局部最优解。

2.选择合适的聚类方法在选择聚类方法时，应根据数据的特点和目标进行判断。

下面列举几个常见的选择因素，供参考：2.1数据特点需要考虑数据的特点，如数据的维度、规模、密度等。

对于高维度数据，层次聚类分析可能更适用；而对于大规模数据，k均值聚类分析常常更为合适。

2.2聚类目标需要考虑聚类的目标。

如果希望发现层次结构、发现数据的内在关联性，层次聚类分析是一个不错的选择。

而如果目标是将数据划分成互不重叠的簇，并且希望聚类结果能较好地解释数据的差异性，k均值聚类分析更为合适。

2.3数据质量数据质量也是选择聚类方法的重要因素。

层次聚类分析对异常值比较敏感，如果数据中存在异常值，使用k均值聚类分析可能更好。

选择合适的聚类方法需要综合考虑数据特点、聚类目标和数据质量等因素。

层次聚类分析层次聚类分析在层次聚类中，起初每⼀个实例或观测值属于⼀类。

聚类就是每⼀次把两类聚成新的⼀类，直到所有的类聚成单个类为⽌，算法如下：(1) 定义每个观测值（⾏或单元）为⼀类；(2) 计算每类和其他各类的距离；(3) 把距离最短的两类合并成⼀类，这样类的个数就减少⼀个；(4) 重复步骤(2)和步骤(3)，直到包含所有观测值的类合并成单个的类为⽌。

层次聚类⽅法单联动聚类⽅法倾向于发现细长的、雪茄型的类。

它也通常展⽰⼀种链式的现象，即不相似的观测值分到⼀类中，因为它们和它们的中间值很相像。

全联动聚类倾向于发现⼤致相等的直径紧凑类。

它对异常值很敏感。

平均联动提供了以上两种⽅法的折中。

相对来说，它不像链式，⽽且对异常值没有那么敏感。

它倾向于把⽅差⼩的类聚合。

Ward法倾向于把有少量观测值的类聚合到⼀起，并且倾向于产⽣与观测值个数⼤致相等的类。

它对异常值也是敏感的。

质⼼法是⼀种很受欢迎的⽅法，因为其中类距离的定义⽐较简单、易于理解。

层次聚类⽅法可以⽤hclust()函数来实现，格式是hclust(d, method=)，其中d是通过dist()函数产⽣的距离矩阵，并且⽅法包括"single"、"complete"、"average"、"centroid"和"ward"。

（1）营养数据的平均联动聚类：data(nutrient, package="flexclust")s(nutrient) <- tolower(s(nutrient)) #将⾏名改为⼩写（个⼈习惯）nutrient.scaled <- scale(nutrient) #标准化为均值为0、⽅差为1d <- dist(nutrient.scaled) #27种⾷物之间的距离采⽤欧⼏⾥得距离，默认为欧⼏⾥得距离fit.average <- hclust(d, method="average") # hclust()做层次聚类，应⽤的⽅法是平均联动plot(fit.average, hang=-1, cex=.8, main="Average Linkage Clustering")#plot()函数中的hang命令展⽰观测值的标签（让它们在挂在0下⾯）结果分析：树状图应该从下往上读，它展⽰了这些条⽬如何被结合成类。

聚类算法：谱聚类和层次聚类的比较聚类是数据挖掘中一种重要的无监督学习方法，其目的是将相似的数据对象分组，形成簇（cluster），并且簇与簇之间差异较大。

聚类算法可以分为分层聚类方法和非分层聚类方法。

其中，谱聚类和层次聚类是两种常见的聚类算法方法，本文将对这两种方法进行比较分析。

1.谱聚类谱聚类是一种基于图论和矩阵分析的聚类方法。

该方法将数据集转化为一个图（Graph），然后通过计算该图对应的拉普拉斯矩阵的特征向量将数据分成不同的类别。

谱聚类算法具有以下三个主要步骤：（1）构建邻接矩阵。

通常情况下，可以使用高斯核函数来计算数据点之间的相似度，并将相似度高于某个阈值的数据点之间的权值赋值为1，否则赋值为0。

（2）计算拉普拉斯矩阵。

对于邻接矩阵A（即关联矩阵），可以构建度矩阵D及其逆矩阵D^(-1)，则拉普拉斯矩阵L=D-A。

根据拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量，可以得到数据集的降维表示。

（3）对特征向量进行聚类。

根据求得的特征向量，可以使用KMeans等聚类算法来将数据集进行划分。

谱聚类算法的优点是它可以处理非线性的数据结构，并且可以保留数据的全局结构。

另外，在谱聚类中，可以自定义相似性函数，这增加了算法的灵活性。

2.层次聚类层次聚类是一种树状的聚类方法，应用广泛。

层次聚类分为两种子类型：聚合（自下而上）和分裂（自上而下）。

在聚合过程中，每个数据点开始时被视为一个单独的组，然后逐步合并为一个大的组。

在分裂过程中，则是将整个数据集视为一个大组，然后将其逐步分裂为较小的组。

层次聚类算法的基本步骤如下：（1）计算两个最相似（或距离度量最小）群体之间的距离。

（2）合并这两个最相似的群体为一个新的群体。

（3）重复步骤1、2，直到所有样本都被分配到同一个簇中。

与谱聚类相比，层次聚类的优点在于其聚类结果易于直观理解并且不需要设置参数。

另外，它可以用于任何样本之间的相似性度量。

3.比较分析谱聚类和层次聚类算法在处理聚类问题时有不同的优缺点。

五种层次聚类法
- K均值聚类：这可能是最知名的聚类算法。

在代码中很容易理解和实现。

该算法的优点是速度非常快，因为它的计算复杂度为线性O(n)。

但缺点是必须选择要使用的类/组的数量，而且结果可能因随机初始化聚类中心而异，缺乏一致性。

- K-Medians聚类：与K-Means类似，但不是使用组的中心点来重新计算组的中心点，而是使用组的中值向量。

这种方法对异常值不太敏感，但对于较大的数据集要慢得多，因为在计算中值向量时，每次迭代都需要进行排序。

- Mean-Shift聚类：这是一种基于滑动窗口的算法，试图找到密集的数据点区域。

这是一个基于中心的算法，通过更新中心点的候选者作为滑动窗口内点的平均值来定位每个组/类的中心点。

然后这些候选窗口被过滤到后处理阶段，以消除近似的重复，形成最终的中心点集及其相应的组。

- DBSCAN Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）聚类：该算法根据数据点的密度来聚类。

它可以识别任意形状的簇，并且可以处理噪声点。

该算法具有简单、高效的优点，但需要选择两个参数：邻域半径和最小密度阈值。

- OPTICS Ordering Points to Identify the Clustering Structure）聚类：该算法通过创建一个基于距离的层次结构来识别聚类。

它可以处理大型数据集，并且可以识别任意形状的簇。

该算法的优点是速度快，但需要选择一个参数：邻域半径。

5 聚类之层次聚类基于划分的聚类（k、层次聚类1、层次聚类的原理及分类1）层次法（Hierarchicalmethods ）先计算样本之间的距离。

每次将距离最近的点合并到同一个类。

然后，再计算类与类之间的距离，将距离最近的类合并为一个大类。

不停的合并，直到合成了一个类。

其中类与类的距离的计算方法有：最短距离法，最长距离法，中间距离法，类平均法等。

比如最短距离法，将类与类的距离定义为类与类之间样本的最短距离。

层次聚类算法根据层次分解的顺序分为：自下底向上和自上向下，即凝聚的层次聚类算法和分裂的层次聚类算法agglomerative 和divisive ），也可以理解为自下而上法bottom-up ）和自上而下法（top-down ）。

自下而上法就是开始每个个体（object ）都是一个类，然后根据linkage 寻找同类，最后形成一个“类” 。

自上而下法就是反过来，开始所有个体都属于一个“类”，然后根据linkage 排除异己，劣之分，只是在实际应用的时候要根据数据特点以及你想要的“类”的个数，来考虑是自上而下更快还是自下而上更快。

最后每个个体都成为一个“类” 。

这两种路方法没有孰优孰至于根据Linkage 判断“类”的方法就是最短距离法、最长距离法、中间距离法、类平均法等等（其中类平均法往往被认为是最常用也最好用的方法，一方面因为其良好的单调性，另一方面因为其空间扩张/浓缩的程度适中）。

为弥补分解与合并的不足，层次合并经常要与其它聚类方法相结合，如循环定位。

2)Hierarchical methods 中比较新的算法有BIRCH( BalancedIterative Reducingand Clustering Using Hierarchies 利用层次方法的平衡迭代规约和聚类）主要是在数据量很大的时候使用，而且数据类型是numerical 。

首先利用树的结构对对象集进行划分，然后再利用其它聚类方法对这些聚类进行优化；ROCK ( AHierarchical ClusteringAlgorithm for Categorical Attributes )主要用在categorical 的数据类型上；Chameleon(A HierarchicalClustering AlgorithmUsing Dynamic Modeling )里用到的linkage 是kNN (k-nearest-neighbor)算法，并以此构建一个graph，Chameleon 的聚类效果被认为非常强大，比BIRCH 好用，但运算复杂度很高，0（22）。

层次聚类标准化处理方法
层次聚类（Hierarchical Clustering）是一种常用的聚类方法，它通
过将数据集逐渐分裂，形成多个层次，从而形成不同的聚类结果。

在
层次聚类中，我们需要对数据进行标准化处理，以确保数据的相似性
可以被正确地比较和计算。

常用的标准化处理方法有以下几种：
1. Z-score标准化：将每个特征值减去均值，再除以标准差，得到每
个特征的Z-score值。

这种方法适用于对数值型数据进行标准化处理。

2. Min-Max标准化：将每个特征值减去最小值，再除以最大值与最小
值的差，得到每个特征的标准化值。

这种方法适用于对需要缩放数据
范围的数据进行标准化处理。

3. 归一化：将每个特征值缩放到[0,1]或[-1,1]区间内，常用的公式
有Pearson正规化、Min-Max正规化、极值正规化等。

这种方法适用于对需要将数据映射到特定区间内的数据进行标准化处理。

4. 样本中心化：将每个样本的各特征值减去均值，得到每个样本的标
准化值。

这种方法适用于对样本数据集进行整体标准化处理。

在进行层次聚类时，通常需要先对数据进行标准化处理，以确保不同
特征之间的相似性可以被正确地比较和计算。

同时，还需要注意选择
合适的距离度量方法（如欧氏距离、余弦相似度等），以确保相似性
度量的准确性。

1. 层次聚类层次聚类算法与之前所讲的顺序聚类有很大不同，它不再产生单一聚类，而是产生一个聚类层次。

说白了就是一棵层次树。

介绍层次聚类之前，要先介绍一个概念——嵌套聚类。

讲的简单点，聚类的嵌套与程序的嵌套一样，一个聚类中R1包含了另一个R2，那这就是R2嵌套在R1中，或者说是R1嵌套了R2。

具体说怎么算嵌套呢？聚类R1={{x1,x2},{x3},{x4,x5}嵌套在聚类R2={{x1,x2,x3},{x4,x5}}中，但并不嵌套在聚类R3={{x1,x4},{x3},{x2,x5}}中。

层次聚类算法产生一个嵌套聚类的层次，算法最多包含N步，在第t步，执行的操作就是在前t-1步的聚类基础上生成新聚类。

主要有合并和分裂两种实现。

我这里只讲合并，因为前一阶段正好课题用到，另外就是合并更容易理解和实现。

当然分裂其实就是合并的相反过程。

令g(Ci,Cj)为所有可能的X聚类对的函数，此函数用于测量两个聚类之间的近邻性，用t表示当前聚类的层次级别。

通用合并算法的伪码描述如下：1. 初始化：a) 选择Â0={{x1},…,{xN}}b) 令t=02. 重复执行以下步骤：a) t=t+1b) 在Ât-1中选择一组(Ci,Cj)，满足c) 定义Cq=CiÈCj，并且产生新聚类Ât=(Ât-1-{Ci,Cj})È{Cq}直到所有向量全被加入到单一聚类中。

这一方法在t层时将两个向量合并，那么这两个向量在以后的聚类过程中的后继聚类都是相同的，也就是说一旦它们走到一起，那么以后就不会再分离……（很专一哦）。

这也就引出了这个算法的缺点，当在算法开始阶段，若出现聚类错误，那么这种错误将一直会被延续，无法修改。

在层次t上，有N-t个聚类，为了确定t+1层上要合并的聚类对，必须考虑(N-t)(N-t-1)/2个聚类对。

这样，聚类过程总共要考虑的聚类对数量就是(N-1)N(N+1)/6，也就是说整个算法的时间复杂度是O(N3)。

一、划分聚类的特点划分聚类是一种将数据集划分成不相交子集的聚类方法。

其特点主要包括以下几点：1.1 简单易实现划分聚类的算法相对简单，易于实现。

常用的划分聚类算法包括K均值算法和K中值算法等，其原理直观，容易理解和编程实现。

1.2 可扩展性强由于划分聚类算法的简单性，其对于大规模数据集的处理具有较强的可扩展性。

可以通过增加计算资源或改进算法来实现对大规模数据的聚类。

1.3 对线性可分的数据效果较好对于线性可分的数据集，即各个类别之间能够通过一条直线或超平面进行分割的数据，划分聚类的效果较好。

这是因为划分聚类算法通常基于距离计算，对线性可分的数据有较高的敏感度。

二、层次聚类的特点层次聚类是一种将数据集按照层次结构划分成不同的聚类的方法。

其特点主要包括以下几点：2.1 不需要预先指定簇的个数层次聚类不需要预先指定簇的个数，而是根据数据本身的分布情况来自动划分成不同的聚类。

这在实际应用中使得层次聚类更加灵活和自适应。

2.2 可视化效果好层次聚类的结果可以以树状图的形式进行展示，从而更加直观地呈现数据的聚类结构。

这种可视化效果有助于用户对聚类结果的理解和分析。

2.3 簇的个数难以控制由于层次聚类不需要预先指定簇的个数，因此其聚类结果可能会包含多个层次的划分，导致簇的个数难以控制。

这在某些情况下可能会给用户带来困扰。

三、密度聚类的特点密度聚类是一种根据样本之间的密度来进行聚类的方法。

其特点主要包括以下几点：3.1 对噪声数据和离裙点的鲁棒性较强密度聚类算法通常能够有效地处理噪声数据和离裙点，不容易受到其影响。

这使得密度聚类在实际应用中具有较好的鲁棒性。

3.2 能够发现任意形状的聚类与划分聚类和层次聚类不同，密度聚类不受聚类形状的限制，能够发现任意形状的聚类结构。

这使其在处理非凸型数据时具有明显的优势。

3.3 对参数的选择敏感密度聚类算法通常需要用户预先指定一些参数，如密度阈值等。

这些参数的选取会直接影响聚类结果，因此对参数的选择较为敏感，需要谨慎调整。

聚类分析—层次聚类
层次聚类是一种基于有序树结构的聚类分析方法，是由弗雷德里
克·拉宾斯基于系统发育理论和分类学的层次原则提出来的。

它是一种自
底向上的分类过程，也就是聚类的过程。

在分析中，样本被放进一个只有
一个样本的集合，然后两两合并形成一个新的集合，再将新的集合两两合并，这样循环往复，直到把所有样本合并在一起。

层次聚类分析的主要步骤包括：
1、样本测量：首先要衡量数据集中各个样本之间的差异，这是聚类
分析过程中的第一步。

常用的测量差异的方法有欧氏距离、曼哈顿距离和
切比雪夫距离等；
2、构建树状结构图：层次聚类算法依据样本之间的相似性或差异性，采用自底向上的方法，构建树状的结构图；
3、确定聚类中心：将样本分配到几个类别中，每个类别的中心就是
聚类中心；
4、分类决策：将样本划分到最近的类中，根据聚类簇和类别信息，
对样本进行分类；
5、聚类评估：评估聚类结果，主要有轮廓系数、Calinski-Harabasz
系数等评估指标；
6、迭代：层次聚类可以迭代多次，改变初始测量差异得到不同的结果。

层次聚类的优点是简单易行，可以用于大量数据；从计算效率上看。

层次聚类结果
根据聚类原理步骤3的不同, 可将层次式聚类方法分为几类: single-linkage, complete-linkage 以及average-linkage 聚类方法等.
sl聚类，即single-linkage聚类法(也称connectedness 或minimum 方法)：
类间距离等同于两类对象之间的最轻距离，若用相近度来衡量，则就是各类中的任一对象与另一类中任一对象的最小相近度。

cl层次聚类，即complete-linkage聚类法(也称diameter 或maximum 方法)：
组间距离等同于两组对象之间的最小距离。

al层次聚类，即average-linkage聚类法组间距离等于两组对象之间的平均距离。

average-link 聚类的一个变种就是r. d'andrade () 的uclus方法, 它采用的就是median距离, 在受到异常数据对象的影响方面, 它必须比平均值距离整体表现较佳一些.
这种层次聚类称为“凝聚"法，由于它迭代合并所有分类。

也有一种“划分”层次聚类法，与“凝聚”相反，它先将所有对象放在同一类中，并不断划分成更小的类，划分法一般很少使用。

逐步聚合的四种方法
逐步聚合是指将多个小的元素逐渐合并成一个大的元素，这种方法在数据处理和机器学习中非常常见。

以下是四种逐步聚合的方法：
1. 层次聚类
层次聚类是一种基于树形结构的逐步聚合方法，它将数据集中的每个点都视为一个单独的簇，并通过不断地将相邻的簇合并来构建一个完整的层次结构。

这种方法可以用于图像分割、文本分类等领域。

2. K-Means 聚类
K-Means 聚类是一种迭代算法，它通过不断地调整簇中心点来逐步聚合数据。

首先随机选择 k 个中心点，然后计算每个数据点到这些中心点的距离，并将其归入最近的簇。

接着重新计算每个簇的中心点，并重复以上过程直到收敛为止。

3. DBSCAN 聚类
DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）是一种基于密度的聚类方法，它可以自动发现任意形状和大小
的簇，并且能够识别噪声。

该算法通过定义半径为ε 的邻域和最小包含 minPts 个点的核心对象来确定簇的边界。

4. 分层聚合
分层聚合是一种逐步聚合的方法，它将数据集中的每个点视为一个单独的簇，并通过不断地将相似度最高的簇合并来构建一个完整的聚类结果。

该算法可以根据不同的相似度度量方法和链接策略来实现不同的聚类效果。

总之，逐步聚合是一种非常重要的数据处理和机器学习方法，可以帮助我们发现数据中隐藏的结构和规律，并为后续分析提供有价值的信息。

以上四种方法都有各自的特点和适用范围，需要根据具体问题选择合适的算法进行处理。

聚类算法（五）--层次聚类（系统聚类）及超易懂实例分析博客上看到的，叫做层次聚类，但是《医学统计学》上叫系统聚类（chapter21）思想很简单，想象成⼀颗倒⽴的树，叶节点为样本本⾝，根据样本之间的距离（相似系数），将最近的两样本合并到⼀个根节点，计算新的根节点与其他样本的距离（类间相似系数），距离最⼩的合为新的根节点。

以此类推对于样本X=（x1，x2，，，x m），共n个样品，m个特征，我们可以考虑两种情形聚类R型聚类：m个特征之间的聚类，可以理解为⼀种降维。

Q型聚类：n个样品之间的聚类，这就是⼀般意义上机器学习中的系统聚类（⽂中的下标i、j在R型、Q型中的含义不⼀样，聪明的读者⾃⾏分辨）相似系数：R型（真正意义上的相似系数）（r）$r_{ij}=\frac{\left | \sum \left ( X_{i}-\bar{X_{i}} \right )\left ( X_{j}-\bar{X_{j}} \right ) \right |}{\sqrt{\sum \left ( X_{i}-\bar{X_{i}} \right )^{2}\sum \left ( X_{j}-\bar{X_{j}} \right )^{2}}}$可以看到$r_{ij}$越⼤标明两特征相似程度越⾼Q型（真正意义上的样品距离）（d）闵可夫斯基（Minkowski）距离：$\sqrt[p]{\left | x-\mu _{i} \right |^{p}}$Minkowski距离没有考虑变量之间的相关关系。

引进马⽒距离：$d_{ij}={\mathbf{X}}'\mathbf{S}^{-1}\mathbf{X}$其中$X=(X_{i1}-X_{j1} \right , X_{i2}-X_{j2} \right, X_{im}-X_{jm})$（不明原因的公式不正确显⽰）类间相似系数:最⼤相似系数法r=Max(r)D=Min(d)最⼩相似系数法r=Min(r)D=Max(d)可以看出，就是⼈为规定了，当某两个指标或样品合并后，新的样本（或指标）与上⼀节点样品（或指标）的距离（或相似系数）的选取现举实例说明测量了300名成年⼥⼦⾝⾼（X1）、下肢长（X2）、腰围（X3）、胸围（X4）得到相似系数矩阵可以看到X1,X2的相似系数最⼤，所以将X1,X2合并为G5X3变为G3，X4变为G4G3与G4的相似系数不变，为0.73G5与G3、G5与G4的类间相似系数采⽤最⼤相似系数法G5与G3的类间相似系数r = Max r即$r_{53}=Max(r_{13},r_{23})=Max(0.09,0.05)=0.09$$r_{54}=Max(r_{14},r_{24})=Max(0.23,0.17)=0.23$所以有根据上述步骤，直到所有的类都归为⼀类。

层次聚类定义
层次聚类是一种聚类方法，它试图在不同层次对数据集进行划分，从而形成树形的聚类结构。

这种聚类方法可以通过两种策略进行数据集的划分：“自底向上”的聚合策略和“自顶向下”的分拆策略。

在层次聚类中，单点聚类处在树的最底层，而在树的顶层有一个根节点聚类，该聚类覆盖了全部的所有数据点。

随着从底层到顶层的遍历，聚类的数目逐渐减少。

由于整个聚类树都被保存，用户可以选择查看在树的任意层次上的聚类。

这种方法的特性使得它在许多领域中被广泛应用。

聚类的方法聚类是一种数据分析技术，它通过将具有相似特征的对象分组，实现数据的分类、压缩和归纳等目的，是数据挖掘和机器学习中重要的一种算法。

聚类方法有很多种，下面详细介绍一些常用的聚类方法。

1.K-Means聚类K-Means聚类是一种很常用的聚类方法，它将数据点分为K个簇，每个簇由一个质心表示。

算法的核心是通过不断迭代调整簇质心来最小化簇内的平方误差和。

这种方法需要指定簇的数量K，且对于不同的初始值，可能会得到不同的最终结果。

2.层次聚类层次聚类方法把数据分成一系列层次结构，每个结点代表一个聚类。

层次聚类分为自下向上的聚合聚类和自上向下的分裂聚类两种方法。

自下向上的聚合聚类把每个数据点当做一个簇，随着层次的向上，逐渐合并簇，直到最后只剩下一个簇为止。

自上向下的分裂聚类从一个包含所有数据点的大簇开始，逐渐分裂成小的簇，直到每个簇只包含一个数据点。

层次聚类可以根据聚类距离的不同，分为单链接，完全链接和平均链接三种类别。

3.密度聚类密度聚类方法认为密度相连的数据点属于一个簇。

这种方法可以适应数据出现任意形状的簇的情况，且不需要先确定聚类的数量。

这种方法的核心是利用密度可达性和密度相连性原则来区分数据点是否属于同一簇。

4.均值漂移聚类均值漂移聚类方法首先任选一个数据点为种子点，然后通过计算距离该点距离小于指定半径的点的平均值来更新种子点的位置，不断重复该过程直到种子点的位置不再变化。

这样就可以找到簇的中心位置，最后把所有距离该中心点的数据点归为一类。

5.高斯混合模型聚类高斯混合模型聚类是基于统计学方法的一种聚类方法。

该方法认为多个高斯分布的样本混合在一起，用EM算法估计高斯分布的参数，从而得到聚类结果。

该方法能够刻画数据的分布特征，即偏度、峰度和分布形状等。

以上就是几种常用的聚类方法，每种方法各有优缺点，需要根据实际应用情况选择合适的方法进行数据分析。