《不等式和绝对值不等式》课件2 (人教A版选修4-5)

2
3 x 10 0
②
3
x2 x5
2
>0 .
2.设 n 1 ,且 n
1, 求证: n 1 > n n
下面我们来系统且更进一步地认识不等式，从 而进一步提高分析问题、处理问题的能力。
两个实数大小比较:
⑴a b ⑵a b ⑶a b ab 0; ab 0; ab 0
第一讲不等式和绝对值不等式(一)
引入
思考一
重要不等 式的应用 举例
重要不等 式的推广
练习
作业:课本 P
10
第 1 、 2题 , P
11
第 1 1、 1 2 、 1 4
题
第一讲不等式和绝对值不等式(一)
对于不等式大家并不陌生，我们已经会解 一些简单的不等式和证明一些不等式， 如 1.求解下列不等式： ①x
4 3 2
解:∵A-B=1+2x4-(2x3+x2)= (2 x 4 2 x 3 ) (1 x 2 ) = 2 x 3 ( x 1) (1 x )(1 x ) = ( x 1)(2 x 3 x 1) = ( x 1)( x 1)(2 x 2 2 x 1)
解:设AM=y米
2
Q
P
因 而 4 xy x 2 0 0 y
2
200 - x 4x
2
D
A
2
C
B M N
于 是 S 4 2 0 0 x 2 1 0 4 xy 8 0 2 y
0 x 10 2
E F
课堂练习: 1.判断下列命题是否正确: (1) a b , c b a c ( × ) (2) a b c a c b (√ ) × (4) a b , c d ac bd (×) 2 2 (3) a b ac bc ( ) (5)
2
2x
2
x3
的最小值.
x 3 x 2
2
的最小值.
x 2 1
2
x 3
2
x 2
2
x 2
2

1 t
x 2
2
1 x 2
2
又∵ x 2 ≥ 2 ,又∵函数 y t 在 t 1, 时是减函数. ∴当 x
0
时,函数 y

x 2
2
1 x 2
2
取得最小值
四：三个正数的算术—几何平均不等式
类比基本不等式得
abc 3
定理 3：如果 a、 b、 c
R

，那么
≥
3
abc
，
当且仅当 a b c 时，等号成立.
推广： 对于 n 个正数 a1 , a 2 , a 3 , a n， 它们的算术平均值 不小于它们的几何平均值， 即
a1 a 2 a 3 a n n ≥
a c
2

b c
2
a b
(√ )
× (6) a 2 b 2 a b ( )
(8) a b a 2 b 2 (√ )
a c b d
(7) a b a 2 b 2 (×) (9) a b 0 , c d 0
3 2
(× )
2．设 A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R 且 x≠1，比较 A，B 的大小. 3．⑴已知 0 x ⑵求函数 y
的最大值.
⑵求函数 y ⑶求函数 y
2
2x
2
x3
的最小值.
x 3
2
的最小值.
x 2 解: ⑵∵ x 3 ,∴ x 3 0
∴y
2x
x3 18 1 2 ≥24 = 2 ( x 3) x3 18 当且仅当 2 ( x 3) 即x 6 x3
x3

不等式的基本性质 基本不等式
不等式的性质 ⑴(对称性或反身性) a b b a ; ⑵(传递性) a b， b c a c ; ⑶(可加性) a b a c b c ,此法则又称为移项法则; (同向可相加) a b， c d a c b d ⑷(可乘性) a b， c 0 ac bc； a b， c 0 ac bc . (正数同向可相乘) a b 0， c d 0 ac bd ⑸(乘方法则) a b （ n N ） a n b n 0 0 ⑹(开方法则) a b （ n N , n ≥ 2） n a n b 0 0 ⑺(倒数法则) a b， a b 0
3

试证明:已知a、b、c∈R+,
求证
3( abc 3
3
abc ) ≥ 2(
ab 2

ab )
课外思考: 1.已知 a 0, b 0 , 2 a 3 b
10
,
2 则 3 b 2 a 的最大值是____.5 2.已知 x 0 ， y 0 ，且 x 2 y 1 ，
n
a 1 a 2 a 3 a n
(当且仅当 a1 a 2 a 3 a n 时取等号.)
定理：设 x , y , z 都是正数，则有 ⑴若 x yz S （定值） ， 则当 ⑵若 x y z p （定值） ， 则当 x
y z
33 s. x y z 时， x y z 有最小值
x z y
略
例2: 如图，把一块边长是a 的正方形铁 片的各角切 去大小相同的小正方形， 再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖 方底的盒子，问切去的正方形边长是多 小时？才能使盒子的容积最大？
x
解：依 题 意有 v (a 2 x) x
2
（0 x
a 2
)
a
求证: ( x y z ) ≥ 27 xyz 例 3： 已 知 x, y, z R ，
4
例 3求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方 --------------形的面积最大; (2)在所有面积相同的矩形中,正方 ---------------形的周长最短.
例3答案
例4
例 3求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方 --------------形的面积最大;
(2)在所有面积相同的矩形中,正方 ---------------形的周长最短. 设矩形周长为L,面积为S,一边长为x,一边长为y,
时， x yz 有最大值
p
3
.
27
注：一正、二定、三等。
例1 求函数 y x (1 3 x )在 [ 0 ,
2
1 3
] 上的最大值.
问题 求证:在表面积一定的长方体中,以正 方体的体积最大. 解：设长方体的三边长 度分别为x、y、z,则长 方体的体积为
v xyz
而 S 2 xy 2 xz 2 yz
则u
1 x 1 y
3 2 2 的最小值是______________。
2
3.函数 y
x 8 x 1
8 ( x 1) 的最小值为______.
4. 现有两个定值电阻，串联后等效电阻值为 R，并 联后等效电阻值为 r，若 R k r ,则实数 k 的取值 范围是_____.
算术平均数
C
几何平均数
几何解释
ab
A
a
O
D
b
B
可以用来求最值(积定和小，和定积大)
定理：设 x , y , z 都是正数，则有 ⑴若 xy
S
（定值） ，则当 x y 时， x y 有最小值 2
p
2
s.
.
⑵若 x y p （定值） ，则当 x y 时， x y 有最大值
注：一正、二定、三等。
k≥4
3 4
x (3 2 x )
,∴ x 0 且 3 2 x 0 ,
1 2x 3 2x 2 2
1 2

2 x (3 2 x )
≤
=
3 2 4
时取等号. 的最大值为
3 2 4
,当且仅当 x
3 4
取得.
3⑴已知 0
x
3 2
2
,求函数 y
( x 3)
x (3 2 x )
2 2
几何解释
b
a b a b
算术平均数不小于几何平均数
当 a、b 为正数时, 则
ab 2
≥
ab
（当且仅当 a = b 时取“=”号）
算术平均数 (a 、b 的)
几何平均数
(a
、b 的)
定 理 2： （ 基 本 不 等 式 ） 如 果 a， b 0， 那 么 a+b 2 ≥ a b，
当 且 仅 当 a = b时 等 号 成 立 。
2( x 9) 18
2
2x 6
18 x3
时取等号.
∴函数 y
2x
2
x3
( x 3)
的最小值为 24,且当 x 6 时取得.
3⑴已知 0
x
3 2
2
,求函数 y x (3 2 x ) 的最大值.
( x 3)
⑵求函数 y ⑶求函数 y
解: ⑶∵ y
2x
2
,求函数 y
x (3 2 x )
的最大值.
x 3
2
x3
( x 3) 的最小值.⑶求函数 y
2答案
x 2
2
的最小值.
3答案
基础练习: 2．设 A=1+2x ，B=2x +x ，x∈R 且 x≠1，比较 A，B 的大小.