【学习课件】第五节全微分方程

若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
由微分定义 : lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y x y
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 函数可导
偏导数连续
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习 1. P72 题 1 (总习题八)
2. 选择题 函数 z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可微的充分条件是( D )
将 x , z 看成常数: u x w , w y z .
u y
( 2 , 2 ,1)
yz yz x ln x z y z 1 ( 2, 2,1) ( x ) ( 2, 2,1) y 4 ln 2
将 x , y 看成常数:u x w , w y z .
u y
第三节
2. 可微的条件
全微分
1. 全微分的定义
3. 连续、可导与可微的关系
4. 小结、作业
一元函数 y = f (x) 的微分
y Ax o( x)
d y f ( x)x
应用
近似计算 估计误差
机动
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结束
一、全微分的定义

乘积法则
总结词
乘积法则用于计算两个函数的乘积的 全微分。
详细描述
乘积法则是全微分的另一个重要法则， 它指出如果z是两个函数u和v的乘积， 那么dz=u*du+v*dv。具体来说，如果 z=u*v，那么全微分 dz=d(u*v)/du*du+d(u*v)/dv*dv=u*d u+v*dv。
商的法则
大一高数下全微分课件
• 全微分的定义 • 全微分的基本公式和法则 • 全微分的应用 • 常见函数的微分 • 微分中值定理与导数的应用 • 习题与解答
01
全微分的定义
全微分的概念
全微分是指在函数定义域内 某一点处，将函数在该点的 值与自变量在该点的值分别 进行微小变化，函数值变化
量的线性部分。
全微分是函数在一点处对所 有自变量偏导数的加权和， 权因子是偏导数与自变量变
答案2
dz = cos(x + y) * (cos/sin)(π/4) * (cos/sin)(π/6) = -√3/3
解析2
函数z = sin(x + y)在点(π/4, π/6)的 全微分为dz = cos(x + y) * cos(π/4) * cos(π/6) = -√3/3。
答案3
dz = e^(x + y) * (e^1) * (e^0) = e^(1+0) = e
高阶导数与高阶全微分
高阶导数可以用于计算高阶全微分， 高阶全微分可以用于研究函数的更高 阶的几何特性。
02
全微分的基本公式和法则
链式法则
总结词
链式法则描述了复合函数的全微分计算方法。
详细描述
链式法则是全微分的重要法则之一，它指出如果z是由y和x通过复合函数f(g(y)) 得到的，那么全微分dz=d(f(g(y)))/dz * dy。具体来说，如果u=g(y)且z=f(u) ，那么dz=d(f(u))/du * du=d(f(u))/du * d(g(y))/dy * dy。

z [ fx (0,0) x f y (0,0) y] o( ),
函数在点(0,0) 处不可微.
嘉兴学院
2020年1月18日星期六
第七章 多元函数微分学
重要关系:
第10页
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
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第七章 多元函数微分学
第11页
体积的近似改变量.
r
解: 已知
则
h
V 2 π rh r π r 2h
r 20, h 100,
r 0.05, h 1
V 2 π 20100 0.05 π 202 (1) 200π (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了
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全增量的概念:
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的某邻域内 有定义，并设 P( x x, y y)为这邻域内的
任意一点，则称这两点的函数值之差
f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x, y的全增 量，记为z， 即 z= f ( x x, y y) f ( x, y)
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
xy
例如，
f
(
x,
y
)


x2 2 y2 0
在点(0,0)处有 f x (0,0) f y (0,0) 0
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第七章 多元函数微分学
第9页
第七章 多元函数微分学
第1页

总结词
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积 分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量 代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程 简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。

展望
展望全微分在未来的发展，并鼓励学习者进一 步探索微积分的深邃世界。
《全微分讲座》PPT课件
欢迎参加《全微分讲座》！在本次课件中，我们将回顾微积分基础知识，探 讨什么是全微分，以及如何求解全微分。准备好了吗？让我们开始吧！
微积分基础回顾
1 导数与微分
2 链式法则
回顾导数的定义和微分的概念，以及它们 之间的关系。
了解链式法则的应用，在复杂函数中求导。
3 隐函数与参数方程
如何求全微分
拉格朗日全微分
介绍使用拉格朗日公式计算全微分的方法，并 提供实例演示。
泰勒级数展开
探讨使用泰勒级数将函数展开，并利用展开式 计算全微分的技巧。
全微分公式
函数类型 一元函数 二元函数 多元函数
全微分公式 df = f'(x)dx df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy df = ∂f/∂x1 * dx1 + ∂f/∂x2 * dx2 + ... + ∂f/∂xn * dxn
应用实例
1
物理学中的应用
2
介绍如何运用全微分来分析物理学中 的运动问题，并解释相应的物理概念。
3
经济学中的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用
探讨如何利用全微分来解决经济学中 的最优化问题。
工程学中的应用
讨论全微分在工程学中的实际应用以 及优化设计的案例。
总结与展望
总结
回顾全微分的重要概念和计算方法，并强调其 在不同领域的应用。
4 高阶导数
考虑隐函数和参数方程的微分表示，解决 相关问题。
介绍高阶导数概念，并讨论其应用。
什么是全微分
1 定义与解释
详细解释全微分的概念，并介绍其在多元函数中的应用。

典 型 例 题 讲 解
例2 求函数 z ( x y )e xy 在点（1，2）处的全微分.
z
解： e xy y ( x y )e xy (1 xy y 2 )e xy，
x
z
例2
e xy 求函数计算函数，在点（1，2）处的全微分。
x( x y )e xy (1 xy x 2 )e xy，
用公式(1):
z dz f x( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y
二、典型例题讲解
例1 有一金属制成的圆柱体，受热后发生形变，它的半径由20 cm 增大到
20.05 cm ，高由50 cm 增加到50.09cm，求此圆柱体体积变化的近似值.
解: 设圆柱体的半径、高和体积分别为 、ℎ 和, 它们的增量分别记为
多元函数的微分学
多元函数的全微分
知识点讲解
1.全微分的定义
2.可微、连续、可偏导之间的关系
3.全微分的求法
全微分的定义
1.全改变量
设函数 z f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义,自变量、在0 、0
的改变量分别为 x, y ，全增量:
z f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 )
x
y
z
由公式知：求全微分的步骤如下：
1.求偏导数；
2.套公式得全微分.
f ( x, y )
典 型 例 题 讲 解
例1 求函数 z x 2 y xy 2 的全微分.
解:
z
z
2 xy y 2 , x 2 2 xy
x
y
dz (2 xy y 2 )dx ( x 2 2 xy)dy.

rx
将 y , y , y 代入微分方程中, 得
r 3r 2 0
2
( r 2 )( r 1 ) 0
r1 2 , r2 1
得两个解 y1 e 2 x , y 2 e x .
15
微分方程的基本概念
最后,看一个相反的问题
例 求含有两个任意常数C1, C2的曲线族
一般的n阶微分方程为
, , y ( n ) ) 0 , F ( x, y, y
已解出最高阶导数的微分方程 今后讨论
y
(n)
f ( x , y , y , , y
( n 1 )
).
y f ( x, y ) 一阶 几何意义 是过定点的积分曲线; y x x0 y 0 y f ( x , y , y ) 二阶 y x x0 y 0 , y x x0 y 0
微分方程的基本概念
问题的提出 基本概念
(differential equation)
小结
思考题
作业
第十二章
微分方程
4
微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 一曲线通过点 (1 , 2 ), 且在该曲线上任一点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x , 求这曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y ( x )
第十二章
微分方程
2
本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几 种常用的微分方程的解法,讨论如下几个问题: 1. 微分方程的基本概念; 2. 一阶微分方程; 3. 几种可积的高阶微分方程; 4. 线性微分方程及其通解的结构; 5. 常系数齐次线性方程;
6. 常系数非齐次线性方程.

y
x
y0 Q( x, y)dy x0 P( x, y0 )d x,
u( x, y) C ;
用直接凑全微分方法.
3/19
例1 求方程( x3 3 xy2 )dx ( y3 3 x2 y)dy 0 的通解.
解
P y
6 xy
Q x
,
是全微分方程,
u(
x,
y)
x
0
(
x3
3 xy2
)d
x
y
0
y 3dy
第十章 微分方程 第五节 全微分方程
1/19
一、全微分方程及其求法
1.定义: 若有全微分形式
du( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy
则 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
全微分方程 或恰当方程
比如 xdx ydy 0,
u( x, y) 1 ( x2 y2 ), 2
d ( y xy x3 x4 ) 0. 34
15/19
C 不定积分法: u x2 x3 y, x
( x2 x3 y)dx x3 x4 xy C( y),
34
u x C( y), 又 u 1 x,
y
y
x C( y) 1 x, C( y) 1, C( y) y, x3 x4
（2 xy ln ydx x2dy) y2 1 y2dy 0,
易知 ( x, y) 1 ,
y
则 (2x ln ydx x2 dy) y 1 y2dy 0,
y
即d(x2
ln
y)
1 d(1
3
y2 )2
0.
可积组正当
原方程通解为
3 x2

参数方程法
总结词
参数方程法是通过引入参数，将全微分 方程转化为参数微分方程，然后求解参 数的微分，最后得到原全微分方程的解 。
VS
详细描述
参数方程法的步骤包括引入参数、将全微 分方程转化为参数微分方程、求解参数的 微分、将参数的解代回原方程，最后得到 原全微分方程的解。这种方法适用于具有 参数形式的全微分方程，能够简化求解过 程。
变量分离法
总结词
变量分离法是将全微分方程转化为可分离变量的微分方程，然后分别求解每个变量的微分，最后得到 原全微分方程的解。
详细描述
变量分离法的步骤包括将全微分方程转化为可分离变量的微分方程、分别求解每个变量的微分、将各 个变量的解代回原方程，最后得到原全微分方程的解。这种方法适用于具有可分离变量形式的全微分 方程，能够简化求解过程。
总结词
全微分方程描述了曲线的斜率在各个方向上的变化情 况。
详细描述
全微分方程可以表示曲线上任意一点的切线斜率的变 化情况，即该点处曲线在各个方向上的弯曲程度。通 过求解全微分方程，可以了解曲线的弯曲程度，从而 更好地理解曲线的几何特性。
曲线的弯曲程度与全微分方程
总结词
全微分方程描述了曲线的弯曲程度在各个方向上的变 化情况。
二阶全微分方程实例
总结词
二阶全微分方程是描述物理现象和工程问题的重要工具，具有丰富的数学性质和实际应 用价值。
详细描述
二阶全微分方程的一般形式为 d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)，其中 f(x, y, z) 是关于 x、y 和 z 的函数。通过求解二阶全微分方程，可以找到满足特定边界条件的解，从而解决实际
高数全微分方程目录来自• 全微分方程简介 • 全微分方程的求解方法 • 全微分方程的实例分析 • 全微分方程的几何意义 • 全微分方程的扩展知识

对 x 和 y 同时求微分
通过同时对 x 和 y 求偏导数来求得 全微分的表达式。
应用
1
偏导数和全微分的关系
偏导数是求全微分的一种方法，全微分是一种更加完备的方向导数的表示形式。
2
隐函数求导
利用全微分的表达式，可以方便地求出隐函数的导数。
3
极值和微分
通过微分可求出函数的最大值和最小值。
总结
全微分的重要性
高数课件24全微分
PPT课件介绍全微分，从定义和概念到应用，让你深入理解此概念。
前言
主题介绍
本 PPT 课件将带您深入探讨全微分，并介绍其定义、 求法及应用。
前置知识回顾
回顾一元函数微分学和多元函数微分学的基本概念 及相关定理。
什么是全微分
1
定义和概念
全微分是多元函数微分学中的一个概念，它可以描述函数值沿着某个方向的变化率。
2
一阶微分和全微分的关系
全微分是一阶微分的完备性，即一阶微分只能描述沿着坐标轴方向的变化率，而全微分可以描述任 意方向的变化率。
求全微分的方法
对 x 求微分
利用对一元函数求导的方法，通过 求偏导数来求得全微分求导的方法， 通过求偏导数来求得全微分的表达 式。
全微分是多元函数微分学的一个重要概念，在科学研究和应用方面都有着广泛的应用。
未来学习的展望
学好全微分是深入学习多元函数微分学和微积分的基础。

18
zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y. 例6 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm增大 到20. 05cm, 高度由100cm减少到99cm. 求此圆柱体体积变化 的近似值. 解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V, 则有 V r2h. 已知r20, h100, r0. 05, h1, 根据近似公式, 有 VdV VrrVhh 200 (cm3), 即此圆柱体在受压后体积约减少了200 cm3.
1 x y
2 2

x2 y (x y )
2 2 3
cos
1 x y
2 2
,
当点 P( x , y) 沿直线 y x 趋于 (0,0) 时,
( x , x ) ( 0 , 0 )
lim
f x ( x, y)
1 x3 1 , lim x sin cos 3 x0 2|x| 2 2|x| 2 | x |
x 0 y 0
lim z 0,
因此函数zf(x, y)在点(x, y)处连续.
4
可微分与连续 偏导数存在不一定连续, 但可微分必连续. 可微分的必要条件
定理:如果函数zf(x, y)在点(x, y)可微分,则函数在该点的偏导
数
z z 、 必定存在, 且函数 zf(x, y)在点(x, y)的全微分为 x y
x y xx 1 lim 2 lim 2 0， 2 2 x 0 x y x 0 x x 2 y x 所以 z [ f x (0,0)x f y (0,0)y ] o( ) ，
即 f ( x, y) 在(0,0) 处不可微.

值。
算法示例
最速下降法、牛顿法、拟牛顿法 等。
利用全微分求解约束优化问题
约束优化问题
约束优化问题是在满足某些约束条件下寻找函数 最小值或最大值的问题。
全微分的应用
全微分在约束优化问题中主要用于计算拉格朗日 乘子，通过求解拉格朗日方程可以找到最优解。
算法示例
拉格朗日乘子法、罚函数法等。
全微分在机器学习中的应用
简为简单的乘法和求导数的运算。
03
全微分的应用
函数的全微分求导
总结词
全微分是函数在某点附近的小增量，通过全微分可以求得函数的导数，进而研 究函数的单调性、极值等性质。
详细描述
全微分是函数在某点附近的小增量，通过全微分可以求得函数的导数。导数描 述了函数在该点的切线斜率，进而可以研究函数的单调性、极值等性质。
复合函数的导数或全微分分解为简单函数的导数或全微分的乘积。
全微分的乘积法则
总结词
全微分的乘积法则是全微分运算的一个基本 性质，它表明两个函数的乘积的全微分等于 一个函数的导数乘以另一个函数的积分加上 一个函数的积分乘以另一个函数的导数。
详细描述
全微分的乘积法则是全微分运算的一个基本 性质，它表明两个函数的乘积的全微分等于 一个函数的导数乘以另一个函数的积分加上 一个函数的积分乘以另一个函数的导数。这 个法则在计算两个函数的乘积的全微分时非 常有用，因为它可以将复杂的全微分运算化
详细描述
全微分的线性性质是全微分运算的一个基本性质，它表明全微分满足线性运算的规则。具体来说，如果函数u和v 的全微分存在，那么对于任意实数a和b，(a*u+b*v)的全微分等于a乘以u的全微分加上b乘以v的全微分。这个性 质在计算全微分时非常有用，因为它可以将复杂的全微分运算化简为简单的线性组合。

全微分方程
第五节
一、全微分方程
二、积分因子法
第十二章
鉴别:
P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数,
① 为全微分方程
则
求解环节:
措施1 凑微分法;
措施2 利用积分与途径无关旳条件.
1. 求原函数 u (x, y)
2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
一、全微分方程
在简朴情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到
为原方程旳积分因子.
但若在方程两边同乘
若存在连续可微函数
积分因子.
常用微分倒推公式:
积分因子不一定唯一 .
例如, 对
可取
例3. 求解
解: 分项组合得
即
选择积分因子
同乘方程两边 , 得
即
所以通解为
即
因 x = 0 也是方程旳解 , 故 C 为任意常数 .
作业
P285 1(2), (4), (7); 2(2), (5); 4
备用题 解方程
解法1 积分因子法.
原方程变形为
取积分因子
故通解为
另外, y = 0 也是方程旳解.
解法2 化为齐次方程.
原方程变形为
积分得
将
代入 ,
得通解
则称
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .
①
例1. 求解
解: 因为
故这是全微分方程.
则有
所以方程旳通解为
例2. 求解
解:
∴ 这是一种全微分方程 .
用凑微分法求通解.
将方程改写为
即
故原方程旳通解为
或
二、积分因子法
思索: 怎样解方程