2019-2020学年上海市金山中学高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．已知复数113z i =+，23z i =+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】利用复数的减法求出复数12z z -，即可得出复数12z z -对应的点所在的象限.【详解】复数113z i =+，23z i =+，()()1213322z z i i i ∴-=+-+=-+， 因此，复数12z z -在复平面内对应的点在第二象限. 故选B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数的减法运算，利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2．设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ） A ．B ．4C ．D ．以上都不对【解析】根据向量的运算，化简得1212222MF MF MN MO MN NO+-=-=，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由题意，设O 为12,F F 的中点， 根据向量的运算，可得122222MF MFMN MO MN NO+-=-=，又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得NO a ≥，所以122224MF MFMN NO a +-=≥=，即122MF MFMN+-的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 3．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】B【解析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =，从而可求解.法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22aBF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得3n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑二、填空题4．椭圆22154x y +=的焦距等于________【答案】2【解析】根据椭圆方程，求出,a b ，即可求解. 【详解】设椭圆的焦距为2c ，椭圆方程为22154x y +=， 225,4,1a b c ∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查椭圆标准方程及参数的几何意义，属于基础题.5．双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________.【答案】34yx 【解析】令220169x y -=解得结果【详解】令220169x y -=解得两条渐近线的方程为34yx 【点睛】本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6．若线性方程组的增广矩阵是123c ⎛⎫⎪，其解为1x =⎧⎨，则12c c +=________【答案】6【解析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解11x y =⎧⎨=⎩代入线性方程组即可得到1c 、2c 的值，最终可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：1223x y c y c +=⎧⎨=⎩， 将解11x y =⎧⎨=⎩代入上面方程组，可得：1251c c =⎧⎨=⎩． 126c c ∴+=．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．本题属基础题． 7．已知复数22iz i+=，则z 的虚部为________．【答案】-1【解析】先根据复数的除法中的分母实数化计算出z 的结果，然后根据z 的结果直接确定虚部. 【详解】 因为()22242122242i i i i z i i i i +⋅+-====-⋅-，所以z 虚部为1-.【点睛】（1）复数的除法运算，采用分母实数化的方法，根据“平方差公式”的形式完成分母实数化；（2）复数z a bi =+，则z 的实部为a ，虚部为b ，注意实、虚部都是数值.8．圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于________。

2020年上海市金山中学高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 平面向量与的夹角为60°，，，则( )A. 9B.C. 3D. 7参考答案：B2. 已知函数，则的值为（）A.0B.C. 1D. 0或1参考答案：B3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．1 C． D．参考答案：C4. 函数是函数且的反函数，且图象经过点,则（）参考答案：B5. 如果函数在区间上是增函数，那么的取值范围是( )A． B． C． D．参考答案：B6. （3分）已知函数f（x）=lgx，若对任意的正数x，不等式f（x）+f（t）≤f（x2+t）恒成立，则实数t的取值范围是（）A．（0，4）B．（1，4] C．（0，4] D．，参考答案：C故选：C．点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，恒成立问题，难度中档．7. 已知直线l1；2x+y-2=0，l2：ax+4y+1=0，若l1⊥l2，则a的值为（）A. 8B. 2C.D. －2参考答案：D试题分析：根据两直线平行的条件，可得，故选A.考点：1.两直线的位置关系；2.两直线平行的条件.8. 设，,若，则a值( )A.存在，且有两个值B.存在，但只有一个值C.不存在D.无法确定参考答案：C9. 已知非零向量与满足，且，则为A．三边都不等的三角形 B．直角三角形 B．等腰不等边三角形 D．等边三角形参考答案：D10. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．B．C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知= ．参考答案：1【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】首先分析题目已知2x=5y=10，求的值，故考虑到把x和y用对数的形式表达出来代入，再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得，即可得到答案．【解答】解：因为2x=5y=10，故x=log210，y=log510=1故答案为：1．【点评】此题主要考查对数的运算性质的问题，对数函数属于三级考点的内容，一般在高考中以选择填空的形式出现，属于基础性试题同学们需要掌握．12. 已知圆C：x2+y2+6y﹣a=0的圆心到直线x﹣y﹣1=0的距离等于圆C半径的，则a= ．参考答案：﹣1【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求出圆心到已知直线的距离，根据圆C：x2+y2+6y﹣a=0的圆心到直线x﹣y﹣1=0的距离等于圆C半径的，求出a的值．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：x2+（y+3）2=a+9，∴圆心坐标为（0，﹣3），则圆心到直线x﹣y﹣1=0的距离d==，∴a=﹣1故答案为﹣1．13. 若lg2 = a，lg3 = b，则lg=_____________．参考答案：解析：lg=lg(2×3) =( lg2＋3lg3) =a＋b．14. 已知幂函数的图象经过点（9，），则___________.参考答案：略15. （4分）比较大小：cos sin（﹣）（填“＞”或“＜”）参考答案：＞考点：三角函数线．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由诱导公式化简为同名函数后，根据正弦函数的单调性质即可比较．解答：∵cos=cos（）=sin，sin（﹣）=﹣sin（）=sin ∵＞＞＞0，且正弦函数在是单调递增的．∴sin＞sin故答案为：＞点评：本题主要考查了诱导公式的应用，正弦函数的单调性质，属于基础题．16. =_____________参考答案：17. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）=，则关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为．参考答案：1﹣2a【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．【分析】利用奇函数性质作出函数的图象，依次标出零点，根据对称性得到零点的值满足x1+x2，x4+x5的值，运用对数求解x3满足：log2（x3+1）=﹣a，可出x3，可求解有根之和．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x≥0时，f（x）=，∴当x＜0时，f（x）=作出图象：∵关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的根转化为f（x）的图象与y=﹣a（0＜a＜1）图象的交点问题．从图象上依次零点为：x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得到零点的值满足x1+x2=﹣6，x4+x5=6，x3满足：log（1﹣x3）=﹣a，解得：故得x1+x2+x3+x4+x5=1﹣2a故答案为：1﹣2a．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

上海市金山中学高一上学期期末考试数学试卷一、填空题（本题共36分）1. 已知集合}1,0,1,2{--=A ，集合{}R x x x B ∈≤-=,012，则=B A _______． 2.已知扇形的圆心角为43π，半径为4，则扇形的面积=S ． 3. 函数12)(-+=x x x f 的定义域是___________. 4. 已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________.5.已知31sin =α（α在第二象限），则=++)tan()2cos(απαπ. 6. 已知x x g x x x f -=-=1)(,1)(,则=⋅)()(x g x f . 7. 方程2)54(log 2+=-x x 的解=x . 8. 若函数3212++=kx kx y 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是___________.9.若3132)(--=x x x f ，则满足0)(>x f 的x 的取值范围 . 10. 若函数2+-=x bx y 在)2)(6,(-<+b a a 上的值域为(2,)+∞，则b a += . 11. 设a 为正实数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，7)(++=xax x f ，若a x f -≥1)( 对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________ .12． 定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x A∈⎧=⎨∈⎩ð，这里U A ð表示A 在全集U 中的补集，那么对于集合UB A ⊆、，下列所有正确说法的序号是 . （1）)()(x f x f B A B A ≤⇒⊆ （2）()1()U A A f x f x =-ð （3）()()()A B A B f x f x f x =+ （4）()()()A B A B f x f x f x =⋅ 二、选择题（本题共12分）13．设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是 （ ）A.22)(,)(x x g x x f == B. 22)()(,)()(x xx g x x x f == C. 0)1()(,1)(-==x x g x fD. 3)(,39)(2-=+-=x x g x x x f14.已知11:<-x α，a x ≥:β，若α是β的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是( )A.0≥aB.0≤aC.2≥aD. 2≤a15．若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f x x 在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图像是 （ ）A. B. C. D.16.定义一种新运算：⎩⎨⎧<≥=⊗)(,)(,b a b b a a b a ，已知函数x x x f 22)(⊗=，若函数k x f x g -=)()(恰有两个零点，则实数k 的取值范围为 （ ）A.(0,1)B.C.),2[+∞D. ),2(+∞三、解答题（本题共8+8+10+12+14分）17．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-+≥--221062x x x x .18.已知不等式）R m mx x ∈<+-(022的解集为{}1,x x n n R <<∈，函数)(2)(2R a ax x x f ∈+-=. （1）求,m n 的值；（2）若()y f x =在]1,(-∞上单调递减，解关于x 的不等式0)23(log 2<-++m x nx a .19. 某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x 件．，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80件时，21()103C x x x =+（万元）.当年产量不小于80件时，10000()511450C x x x=+-（万元）.每件．．商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （件．）的函数解析式； （2）年产量为多少件．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20. 设幂函数),()1()(Q k R a x a x f k ∈∈-=的图像过点)2,2(. (1)求a k ,的值;(2) 若函数()()21h x f x b =-+-在]2,0[上的最大值为3，求实数b 的值．21. 已知函数()1log 1ax f x x -=+（其中0a >且1a ≠），()g x 是()2f x +的反函数. （1）已知关于x 的方程()()()log 17amf x x x =+-在[]2,6x ∈上有实数解，求实数m 的取值范围；（2）当01a <<时，讨论函数()f x 的奇偶性和单调性；（3）当01a <<，0x >时，关于x 的方程()()2230g x m g x m +++=有三个不同的实数解，求m 的取值范围.参考答案一、填空题（本题共36分）1. 已知集合}1,0,1,2{--=A ，集合{}R x x x B ∈≤-=,012，则=B A _{}1,0,1-_． 2.已知扇形的圆心角为43π，半径为4，则扇形的面积Sπ16 ．8. 若函数3212++=kx kx y 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是_____.)3,0[9.若3132)(--=x x x f ，则满足0)(>x f 的x 的取值范围 .)1,0(10. 若函数2+-=x bx y 在)2)(6,(-<+b a a 上的值域为(2,)+∞，则b a += .10- 11. 设a 为正实数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，7)(++=xax x f ，若a x f -≥1)( 对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________ .4≥a12． 定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩ð，这里U A ð表示A 在全集U 中的补集，那么对于集合UB A ⊆、，下列所有正确说法的序号是 .（1）（2）（4） （1）)()(x f x f B A B A ≤⇒⊆ （2）()1()UA A f x f x =-ð（3）()()()A B A B f x f x f x =+ （4）()()()A B A B f x f x f x =⋅二、选择题（本题共12分）13．设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是 （ B ）A.22)(,)(x x g x x f == B. 22)()(,)()(x xx g x x x f == C. 0)1()(,1)(-==x x g x f D. 3)(,39)(2-=+-=x x g x x x f 14.已知11:<-x α，a x ≥:β，若α是β的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是( B ) A.0≥aB.0≤aC.2≥aD. 2≤a15．若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f xx在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图像是 （ A ）A. B. C. D. 16.定义一种新运算：⎩⎨⎧<≥=⊗)(,)(,b a b b a a b a ，已知函数xx x f 22)(⊗=，若函数k x f x g -=)()(恰有两个零点，则实数k 的取值范围为 （ D ） A.(0,1) B.]2,1( C.),2[+∞ D. ),2(+∞ 三、解答题（本题共8+8+10+12+14分）17．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-+≥--221062x x x x .解：解062≥--x x 得：2-≤x 或3≥x ；解221>-+x x 得52<<x ；即不等式组的解集为)5,3[。

上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−1xB. f(x)=3xC. f(x)=x 2+1D. f(x)=sinx2. 已知f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数．若f(lnx)<f(1)，则x 的取值范围是( )A. (e,+∞)B. (1e ,e)C. (e,+∞)∪(0,1e )D. (1e ,e)∪(e,+∞) 3. 若定义在R 上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意的实数x 都成立，则称f(x)是一个“λ−特征函数”.下列结论中正确的个数为( ) ①f(x)=0是常数函数中唯一的“λ−特征函数”； ②f(x)=2x +1不是“λ−特征函数”； ③“13−特征函数”至少有一个零点； ④f(x)=e x 是一个“λ−特征函数”． A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知函数f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (0,2)B. (2,+∞)C. (−∞,−2)D. [2,+∞)二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 函数y =√3x −1+lg (1−x )的定义域是__________．6. 若函数f(x)=x 2+(a+1)x+a x 为奇函数，则实数a =______．7. 函数f(x)=log a (2x −3)+1(a >0且a ≠1)的图像过定点________________8. 已知3a =4,3b =5则3a+b 的值为__________.9. 已知定义在R 上的函数f(x)满足：对于任意的实数x ，y ，都有f(x −y)=f(x)+y(y −2x +1)，且f(−1)=3，则函数f(x)的解析式为________．10. 若幂函数f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m 的值为________．11. 已知函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0，则f −1[f −1(−9)]=______12. 已知函数f(x)=log 12(x 2−6x +5)在(a,+∞)上是减函数，则函数a 的取值范围是________ ．13. 已知函数f(x)=log 2(−x 2+ax +3)在(2,4)上是单调递减的，则a 的取值范围是_____________．14. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则满足f(x)<1的x 的取值范围是________ 15. 已知函数f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)，对任意x ∈[3,5]，f(x)≥m −2x 恒成立，则实数m 取值范围是__________．16. 已知函数，有如下结论：①，有；②，有；③，有；④，有.其中正确结论的序号是__________.(写出所有正确结论的序号)三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 求下列函数的反函数：(1)y =1+log 2(x −1)(2)y =x 2−1(−1≤x ≤0)18. 已知函数f(x)=a x −1a x +1(a >1)．(1)根据定义证明：函数f(x)在(−∞,+∞)上是增函数；(2)根据定义证明：函数f(x)是奇函数．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元，该建筑(0≤物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：厘米)满足关系：C(x)=k3x+5 x≤10).若不加装隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层加装费用与20年的能源消耗费用之和．(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式；(Ⅱ)隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用f(x)最小？并求出最小总费用．20.已知函数f(x)=√x2−1+p．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若存在区间，当x∈[m,n]时以f(x)的值域为[m2,n2]，求实数p的取值范围．21. 已知函数f(x)={2x −1,x ≥0ax 2+bx,x <0，且f(−1)=f(1)、f(−2)=f(0)， (1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−m 有3个零点，求m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性和单调性判断，属于基础题．逐项判断即可．是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，∴该选项正确；解：A.f(x)=−1xB.f(x)=3x是非奇非偶函数，∴该选项错误；C.f(x)=x2+1是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；D.f(x)=sinx在(0,+∞)上没有单调性，∴该选项错误．故选：A．2.答案：C解析：解：∵f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，∴f(lnx)<f(1)，等价为f(|lnx|)<f(1)，即|lnx|>1，得lnx>1或lnx<−1，解得x>e或0<x<1，e故选C根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．3.答案：C解析：本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ−特征函数的概念是关键，属于中档题．利用新定义“λ−特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案．解：对于①设f(x)=C是一个“λ−特征函数”，则(1+λ)C=0，当时，可以取实数集，因此f(x)=0不是唯一一个常数“λ−特征函数”，故①错误；对于②，∵f(x)=2x+1，∴f(x+λ)+λf(x)=2(x+λ)+1+λ(2x+1)=0，即，∴当时，；λ≠−1时，f(x+λ)+λf(x)=0有唯一解，∴不存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立，∴f(x)=2x+1不是“λ−特征函数”，故②正确；对于③，令x=0得f(13)+13f(0)=0，所以，若f(0)=0，显然f(x)=0有实数根；若f(x)≠0，．又∵f(x)的函数图象是连续不断的，∴f(x)在(0,13)上必有实数根，因此任意的“λ−特征函数”必有根，即任意“13−特征函数”至少有一个零点，故③正确；对于④，假设f(x)=e x是一个“λ−特征函数”，则e x+λ+λe x=0对任意实数x成立，则有e x+λ= 0，而此式有解，所以f(x)=e x是“λ−特征函数”，故④正确．综上所述，结论正确的是②③④，共3个．故选C．4.答案：B解析：本题主要考查函数与方程的应用，考查利用参数分离法以及数形结合思想，属于中档题．f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，利用参数分离法得m=|x|+1x ，构造函数g(x)=|x|+1x，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．解：由f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，当x =0时，方程不成立，即x ≠0，则方程等价为m =|x|+1x ，设g(x)=|x|+1x ，当x <0时，g(x)=−x +1x 为减函数，当x >0时，g(x)=x +1x ，则g(x)在(0,1)上为减函数，则(1,+∞)上为增函数，即当x =1时，函数取得最小值g(1)=1+1=2，作出函数g(x)的图象如图：要使f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则等价为m =|x|+1x 有三个不同的根，即y =m 与g(x)有三个不同的交点，则由图象知m >2，故实数m 的取值范围是(2,+∞)，故选：B ． 5.答案：[13,1)解析：本题考查函数的定义域，根据题意可得{3x −1≥01−x >0，解不等式组即可求得结果． 解：根据题意可得{3x −1≥01−x >0， 解得13≤x <1，因此函数的定义域为[13,1)．故答案为[13,1)． 6.答案：−1解析：利用奇函数的性质即可得出．本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．解：∵函数f(x)=x2+(a+1)x+ax为奇函数，∴f(−x)+f(x)=x2−(a+1)x+a−x +x2+(a+1)x+ax=0，化为(a+1)x=0，∴a+1=0，解得a=−1．故答案为：−1．7.答案：(2,1)解析：本题考查对数函数恒过定点问题，属于基础题．熟练掌握是解决此类问题的关键．解：∵当2x−3=1即x=2时，此时y=1，∴函数f(x)=log a(2x−3)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2,1)．故答案为(2,1)．8.答案：20解析：本题考查指数的运算.由同底数幂的运算法则进行计算即可．解：∵3a=4,3b=5，∴3a+b=3a×3b=20．故答案为20．9.答案：f(x)=x2−x+1解析：本题考查抽象函数解析式的求解，属于中档题目．解：令x=0，y=−x，得f(x)=f(0)+x2−x．把x=−1代入上式，得f(0)=f(−1)−2=1，从而有f(x)=x 2−x +1．故答案为f(x)=x 2−x +1．10.答案：1解析：本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m 2−4m +4=1，解出m 的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m 值．解：函数f(x)为幂函数，所以m 2−4m +4=1，解得m =1或m =3，又因为f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，所以m 2−6m +8>0，解得m >4或m <2，综上可知m =1，故答案为1．11.答案：−2解析：解：∵函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0， ∴x ≥0时，y =−x 2，x =√−y ，x ，y 互换，得f −1(x)=√−x ，x ≤0，x <0时，y =2−x −1，x =−log 2(y +1)，x ，y 互换得f −1(x)=−log 2(x +1)，x >0，∴f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0， ∴f −1(−9)=3，f −1[f −1(−9)]=f −1(3)=−2．故答案为：−2．推导出f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0，从而f −1(−9)=3，进而f −1[f −1(−9)]=f −1(3)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质、反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.答案：[5,+∞)解析：本昰考查对数函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的灵活运用．设t=x2−6x+5，由x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，由此求得a≥5．解：设t=x2−6x+5x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(−∞,1)上t=x2−6x+5是递减的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(−∞,1)上是单调递增的，在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，所以a≥5．故答案为[5,+∞)．13.答案：[134,4]解析：本题考查了复合函数的单调性及对数函数的性质，是基础题．由复合函数的单调性可知内函数在(2,4)上为减函数，则需要其对称轴小于等于2且当函数在x=4时的函数值大于等于0，由此联立不等式组得答案．解：令t=−x2+ax+3，则原函数化为y=log2t，为增函数，∴t=−x2+ax+3在(2,4)是单调递减，对称轴为x=a2，∴a2⩽2且−42+4a+3⩾0，解得：134⩽a⩽4，∴a的范围是[134,4]．故答案为[134,4]．14.答案：解析：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．解：因为函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则f(x)<1等价于{x ≤0−x <1①或{x >0x 2−2x <1②． 解得①得−1<x ≤0，解②得0<x <1+√2√2．所以f(x)<1的x 的取值范围是(−1,1+√2).故答案为．15.答案：(−∞,7]解析：函数f(x)的定义域是(1,+∞)，f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)=log 2x−1x+1=log 2(1−2x+1)，因为y =1−2x+1在(1,+∞)上递增，所以函数f(x)在(1,+∞)上递增，f(x)≥m −2x ，即m ≤f(x)+2x ，知y =f(x)+2x 在[3,5]上递增，所以m ≤7． 16.答案：②③④解析：因为：，所以，所以①不正确，②正确；因为y =ln(1+x)在(−1,1)递增，y =ln(1−x)在(−1,1)递减，所以函数在 上为增函数，所以③正确；又因为，所以在是增函数且函数图象上升的越来越快，呈下凸状态，所以，有，所以④正确．所以答案应填：②③④． 17.答案：解：(1)由y =1+log 2(x −1)，化为：x −1=2y−1，即x =1+2y−1，把x 与y 互换可得反函数：y =1+2x−1，(y >1)．(2)y =x 2−1，−1≤x ≤0，可得y ∈[−1,0]，解得x =−√y +1.把x 与y 互换可得反函数为：y =−√x +1，x ∈[−1,0]，解析：(1)(2)利用方程的解法，用y 表示x ，求出其范围，再把x 与y 互换即可得出．本题考查了反函数的求法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：证明：(1)f(x)=1−2a x+1，令m<n，则f(m)−f(n)=1−2a m+1−1+2a n+1=2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)，∵a>1，m<n，则a m<a n，(a n+1)(a m+1)>0，故2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)<0，故f(m)−f(n)<0，故f(x)在R递增；(2)由题意函数的定义域是R，关于原点对称，又f(−x)=a −x−1a−x+1=−a x−1a x+1=−f(x)，故f(x)是奇函数．解析：(1)根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可；(2)根据函数的奇偶性的定义证明函数的奇偶性即可．本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，考查定义的应用，是一道基础题．19.答案：解：(Ⅰ)由已知，当x=0时，C(x)=8，即k5=8，∴k=40．则C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x，∴f(x)=20C(x)+D(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x，x∈[0,10]；(Ⅱ)∵0≤x≤10，∴3x+5>0，f(x)=8003x+5+6x=8003x+5+(6x+10)−10≥2√8003x+5⋅(6x+10)−10=80−10=70．当且仅当8003x+5=6x+10，即x=5取等号．∴当隔热层加装厚度为5厘米时，总费用f(x)最小，最小总费用为70万元．解析：(Ⅰ)由C(0)=8求得k ，得到C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x ，可得f(x)的解析式；(Ⅱ)直接利用基本不等式求最值得答案．本题考查简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.答案：解：(1)依题意，x 2−1≥0，解得x ≤−1或x ≥1，故函数f(x)的定义域为(−∞,−1]∪[1,+∞)．(2)任取x 1,x 2∈[1,+∞)且x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=√x 12−1−√x 22−1=1212√x 1−1+√x 2−1<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增．若存在区间[m,n]⊆[1,+∞),当x ∈[m,n ]时，f(x)的值域为[m 2,n 2]，可转化为f (m )=m 2，f (n )=n 2，∴g (x )=x 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根．令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，即u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根．记ℎ(u )=u 2−u +1−p ，ℎ(u )的对称轴为直线u =12，∴{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解得34<p ≤1， 即P 的范围为(34,1]．解析：本题主要考查定义域和值域，属于中档题．(1)根据被开方数非负可得x 2−1≥0，进而得出定义域即可；(2)根据题意可得f (m )=m 2，f (n )=n 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根，令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，进而得出u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根，进而得出不等式组{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解出a 即可．21.答案：解：(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0, 解得，a =−1，b =−2；故f(x)={2x −1,x ≥0−x 2−2x,x <0； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作f(x)的图象如下，则由图象可知，0<m <1．解析：本题考查了函数解析式的求法及函数图象的作法及应用，属于中档题．(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0，从而解出a ，b ； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作出f(x)的图象，从而由图象可得．。

上海市上海中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题1.方程lg(21)lg 1x x +-=的解为_________.2.函数y =________.3.若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________.4.若指数函数xy a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________；5.函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；6.若233log 03a a+<+，则实数a 的取值范围是_______.7.己知函数()f x 定义域为R ，且恒满足()(2)0f x f x +-=，1(1)()f x f x +=-，则函数()f x 的奇偶性为________. 8.函数225xy x x =++单调递增区间为_______. 9.函数42()21x x xcf x ++=+在定义域上单调递增，则c 的取值范围__________. 10.关于x 的方程2282x m x -=+有两个不同解，则m 的取值范围为_________. 11.已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x =+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为__________.12.已知函数()||1||3|1|f x x x =----，若()246(4)f a a f a +=，则实数a 的取值范围为_______. 二.选择题13.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞递增，下列一定正确的是（ ）A. 2332(0)22f f f --⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭14.函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A. (1)f x + B. (1)f x - C. ()1f x + D. ()1f x -15.设方程3|ln |xx -=的两个根1x 、2x ，则（ ）A. 120x x <B. 121=x xC. 121x x >D. 121x x <16.己知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，则m 的取值范围为（ ） A. 13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D.17,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦三.解答题17.已知函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()lg 2f x x x x =--.（1）若()f x 是偶函数，求0x <时()f x 解析式；（2）若()f x 是奇函数，求x ∈R 时()f x 的解析式. 18.设关于x 的方程1936(5)0xx k k k +-+-=.（1）若常数3k =，求此方程的解；（2）若该方程在[0,2]内有解，求k 的取值范围.19.某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入x 列列车. （1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于x 的函数解析式；（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列 列车运行？（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？(2)()(2)f t f t f +=+.（1）判断函数()f x kx =（k 为常数）是否属于集合M ； （2）若2()ln1af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .20.已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得 21.对于函数3()3||1f x x x c =--+.（1）当0,()c f x =向下和向左各平移一个单位，得到函数()g x ，求函数()g x 的零点； （2）对于常数c ，讨论函数()f x 的单调性； （3）当0c，若对于函数()f x 满足()()f x a f x +>恒成立，求实数a 取值范围.上海市上海中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题1.方程lg(21)lg 1x x +-=的解为_________. 【答案】18x .【解析】 【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的差等于商的对数去掉对数符号，求解分式方程得答案.【详解】因为lg(21)lg 1x x +-=，所以21lglg10x x+=，所以02102110x x x x⎧⎪>⎪+>⎨⎪+⎪=⎩，解得18x， 故答案为：18x. 【点睛】该题考查的是有关对数方程的求解问题，在解题的过程中，注意对数式有意义的条件，对数式的运算法则，属于基础题目.2.函数y =________. 【答案】[0,)+∞ 【解析】 【分析】根据指数函数的值域，结合根式有意义的条件，求得函数的值域，得到答案. 【详解】因为1()02x>，所以1()112x->-， 根据根式有意义，有1()102x-≥，所以y =[0,)+∞， 故答案为：[0,)+∞.【点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，属于基础题目. 3.若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________. 【答案】23x 【解析】 【分析】先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项. 【详解】设幂函数的解析式为y x α=， 由于函数图象过点(8,4)，故有48α=，解得23α=，所以该函数的解析式是23y x =， 故答案为：23x .【点睛】该题考查的是有关应用待定系数法求幂函数的解析式的问题，属于基础题目.4.若指数函数xy a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________；【解析】 【分析】讨论1a >和01a <<两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案.【详解】当1a >时：函数()xy f x a ==单调递增，()2422,(4)4f a f a a ====∴=当01a <<时：函数()xy f x a ==单调递减，()2424,(4)2f a f a ====，无解.综上所述：a =【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握. 5.函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；【答案】20)x ≥【解析】 【分析】利用函数表达式解得)20x y =≥，得到反函数.【详解】())22()424(0)20y f x x x x x x y ==-=--≤∴=≥故函数的反函数为1()20)f x x -=≥故答案为20)x ≥【点睛】本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误.6.若233log 03a a+<+，则实数a 的取值范围是_______.【答案】(0,1)【解析】 【分析】将0写成1的对数，之后根据函数的单调性整理出关于a 的不等式组，求得结果.【详解】因为233log 03a a +<+，所以2333log log 13a a+<+，因为函数3log y x =是(0,)+∞上的单调增函数，所以有23013a a+<<+，解得01a <<，所以a 的取值范围是(0,1)， 故答案为：(0,1).【点睛】该题考查的是有关对数不等式的解法，在解题的过程中，注意结合函数有意义的条件，应用对数函数的单调性，属于简单题目.7.己知函数()f x 定义域为R ，且恒满足()(2)0f x f x +-=，1(1)()f x f x +=-，则函数()f x 的奇偶性为________. 【答案】奇函数 【解析】 【分析】 由1(1)()f x f x +=-，能导出()f x 是周期为2的周期函数，由此能够证明()f x 是奇函数，得到结果.【详解】由1(1)()f x f x +=-，得1(2)()(1)f x f x f x +=-=+， 所以()f x 是周期为2的周期函数，所以(2)()f x f x -=-，因为()(2)0f x f x +-=， 所以()()0f x f x +-=， 所以()f x 是奇函数， 故答案为：奇函数.【点睛】该题考查的是有关函数奇偶性的判断问题，在解题的过程中，注意借助于函数的周期性来完成，属于简单题目.8.函数225xy x x =++单调递增区间为_______.【答案】[ 【解析】 【分析】首先判断函数的定义域，得到其图象是不间断的，再讨论当0x ≠时，将函数解析式进行变形得到152y x x=++，再利用5u x x =+的单调区间，结合复合函数的单调性法则，确定出函数225xy x x =++本身的单调增区间，求得结果.【详解】因为函数225xy x x =++的定义域为R ， 当0x ≠时，152y x x=++， 因为5u x x=+在(,-∞和)+∞上单调递增，在[0)和上单调递减， 根据复合函数单调性法则，可知152y x x=++应该在[0)和上单调递增， 而函数225xy x x =++本身在0x =处有意义，且函数图象不间断，所以函数225xy x x =++的增区间是[，故答案为：[.【点睛】该题考查的是有关函数单调区间的求解问题，涉及到的知识点有对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于简单题目.9.函数42()21x x xcf x ++=+在定义域上单调递增，则c 的取值范围__________. 【答案】(,1]-∞ 【解析】【分析】首先将函数解析式进行化简，之后令21(1,)xt +=∈+∞，将函数化为1cy t t=+-(1,)t ∈+∞，之后结合复合函数的单调性，求得参数的取值范围.【详解】422(21)()2(21)121212121x x x x x xx x x xc c c c f x ++++===+=++-++++， 令21(1,)xt +=∈+∞，且t 随x 的增大而增大，且当0c ≤时，cy t=在(1,)+∞上是增函数， 所以函数1cy t t=+-在(1,)+∞上是增函数， 所以函数42()21x x x cf x ++=+在定义域上是增函数，当0c >时，函数1cy t t=+-在)+∞上是增函数，1，即1c ≤， 所以c 的取值范围为(,1]-∞， 故答案为：(,1]-∞.【点睛】该题考查的是有关根据函数的单调性确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有指数型函数的单调性，对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于中档题目. 10.关于x 的方程2282x m x -=+有两个不同解，则m 的取值范围为_________.【答案】1,14⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据式子的意义，将式子转化为2228x m x +=-，将方程有两个不同的解转化为28t m t +=-只有一个正根，画出函数图象求得结果.【详解】因为220x +>恒成立，所以原式可化为2282x m x -=+，可知280x -≠，所以2228x m x +=-，因为方程有两个不同的解，所以0x =不是方程的根， 令2(0,8)(8,)x t =∈+∞，则方程28t m t +=-只有一个正根， 画出函数28t m t +=-的图象如图所示：可知所求m的取值范围是：1(,1]4，故答案为：1(,1]4.【点睛】该题考查的是有关根据方程根的情况求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将问题正确转化，注意应用函数图象解决问题，属于简单题目. 11.已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x =+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为__________. 【答案】5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，等价于min max ()()f x g x ≥在区间[1,2]上恒成立，对a 的取值进行分类讨论，利用单调性求出min ()f x 和min ()g x ，列出关于a 的不等式组求得答案.【详解】当0a <时，23()4f x ax =+在区间[1,2]上单调递减，min 3()(2)44f x f a ==+，()ag x x x =+在区间[1,2]上单调递增，min ()1g x a =+， 所以3414a a +≥+，解得112a ≥，因为0a <，所以无解；当0a ≥时，可知min 3()(1)4f x f a ==+，当01a ≤≤时，()ag x x x =+在区间[1,2]上单调递增，其最小值为(1)1g a =+，所以有01314a a a ≤≤⎧⎪⎨+≥+⎪⎩，无解， 当14a <<时，()ag x x x=+在区间上单调减，在4]上单调增，其最小值为g =，所以有1434a a <≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩，解得542a ≤≤， 所以a 的取值范围是5[,4]2， 故答案为：5[,4]2.【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有根据题意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.12.已知函数()||1||3|1|f x x x =----，若()246(4)f a a f a +=，则实数a 的取值范围为_______.【答案】13,24⎧⎫⎡⎫⋃⋃+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭⎣⎦. 【解析】 【分析】首先利用分类讨论将函数解析式进行化简，从而分析判断要使2(46)(4)f a a f a +=，会出现哪些情况，列出对应的式子求解即可.【详解】因为131,1()131131,13131,3x x xf x x x x x xx x x⎧-+--<⎪=----=-+--≤<⎨⎪--+-≥⎩，即3,1()25,131,3xf x x xx≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，画出函数图象如图所示：可以看到(2)(3)1f f==，要使2(46)(4)f a a f a+=，则有以下几种情况：①246141a aa⎧+≤⎨≤⎩313313x---+≤≤；②22146 2.514 2.5464a aaa a a⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解；③222.54632.543464a aaa a a⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解.④2214631434645a aaa a a⎧<+≤⎪<≤⎨⎪++=⎩，无解；⑤246343a aa⎧+≥⎨≥⎩，解得34a≥，⑥246243a a a ⎧+=⎨≥⎩，无解；⑦246342a a a ⎧+≥⎨=⎩，解得12a =；所以a 的取值范围为3313[,][,)4424--⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭，故答案为：3313[][,)4424--⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭. 【点睛】该题考查的是有关根据函数值相等，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有含有绝对值的式子的化简，函数值相等的条件，属于中档题目. 二.选择题13.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞递增，下列一定正确的是（ ）A. 2332(0)22f f f --⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】首先根据偶函数在(,0)-∞上递增，得到其在(0,)+∞上递减，将自变量放在同一个单调区间，借助于自变量大小，得到函数值的大小，从而得到结果【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞上递增， 所以函数()f x 在(0,)+∞上递减，因为2332022--<<，所以2332(0)(2)(2)f f f -->>，所以A 项不正确；23323221log 4--<<<，所以23323(2)(2)(log 4)f f f -->>，又因为331log log 44=-，所以3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=， 观察B 、C 、D 三项很明显C 项正确，故选：C.【点睛】该题考查的是有关根据偶函数在给定区间上的单调性，判断函数值的大小的问题，涉及到的知识点有偶函数图象的对称性，偶函数的定义，根据单调性比较函数值的大小，属于简单题目.14.函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A. (1)f x + B. (1)f x - C. ()1f x + D. ()1f x -【答案】C 【解析】 【分析】函数()f x 的反函数1()y f x -=图象向右平移1个单位，得到1(1)y f x -=-，再求反函数可得到结果.【详解】函数()f x 的反函数1()y f x -=图象向右平移1个单位，得到1(1)y fx -=-，则1()x f y -=1()y f x -=，1(1)y f x -=-的反函数为()1y f x =+即()()1g x f x =+， 故选：C.【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目. 15.设方程3|ln |xx -=的两个根1x 、2x ，则（ ）A. 120x x <B. 121=x xC. 121x x >D. 121x x <【答案】D 【解析】 【分析】作出函数图象，根据图象和对数的运算性质即可求出答案.【详解】作出函数图象如图所示：若方程3ln xx -=的两根为12,x x ，则1201x x <<<，12123ln ,3ln x x x x --==可得121212ln ln ln ln 330x x x x x x ---=--=->，所以12ln ln 0x x -->，即12ln 0x x <， 所以1201x x <<， 故选：D.【点睛】该题考查的是有关方程的根的大小的判断，涉及到的知识点有对数的运算法则，解决方程根的问题时，可以应用图象的交点来完成，属于简单题目.16.己知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，则m 的取值范围为（ ） A. 13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.17,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，首先求出函数()y f x =在区间(0,2]上的值域为[0,1]，再根据条件(2)2()f x f x +=，判断当6(4],x ∈时()[0,4]f x ∈，32[0,4]9∈，并求解6(4],x ∈时()f x的解析式，和32()9f x =时对应的两根中较小根，即可得到m 的取值范围. 【详解】当2(]0,x ∈时，2()(2)(1)1f x x x x =-=--+， 可求得()[0,1]f x ∈，且在(0,1]上单调增，在[1,2]上单调减， 根据(2)2()f x f x +=，可知当(2,4]x ∈，()[0,2]f x ∈，当6(4],x ∈，()[0,4]f x ∈，且()f x 在(4,5]上单调增，在[5,6]上单调减， 因为32[0,4]9∈，当6(4],x ∈时，()2(2)4(4)f x f x f x =-=-， (42],0x -∈，2()4(4)4[(5)1]f x f x x =-=--+，令2324[(5)1]9x --+=，解得143x =或163x =， 所以对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，m 的取值范围为14(,]3-∞，故选：B.【点睛】该题以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求解，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于较难题目，解决该题的关键是利用条件可分析函数的图象，利用数形结合比较好分析. 三.解答题17.已知函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()lg 2f x x x x =--.（1）若()f x 是偶函数，求0x <时()f x 解析式；（2）若()f x 是奇函数，求x ∈R 时()f x 的解析式.【答案】（1）2()lg(2)f x x x x =+--；（2）22lg(2),(0)()0,(0)lg(2),(0)x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩【解析】 【分析】（1）当0x <时，0x ->，代入函数解析式，根据偶函数的定义，求得相应区间上的()f x 的解析式；（2）当0x <时，0x ->，代入函数解析式，根据奇函数的定义，求得相应区间上的()f x 的解析式，再利用(0)0f =，进而求得()f x 在R 上的解析式.【详解】（1）因为()f x 为偶函数， 当0x <时，0x ->，则22()()()lg 2()lg(2)()f x x x x x x x f x -=-----=+--=， 所以当0x <时，2()lg(2)f x x x x =+--； （2）因为()f x 为奇函数， 当0x <时，0x ->，22()()()lg 2()lg(2)()f x x x x x x x f x -=-----=+--=-，所以2()lg(2)f x x x x =--+-， 且(0)0f =，所以22lg(2),(0)()0,(0)lg(2),(0)x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩.【点睛】该题考查的是有关根据函数在某一区间上的解析式，结合函数奇偶性的定义，求得函数的解析式，属于简单题目. 18.设关于x 的方程1936(5)0xx k k k +-+-=.（1）若常数3k =，求此方程的解；（2）若该方程在[0,2]内有解，求k 的取值范围. 【答案】（1）3log 4x =；（2）182k ≤≤. 【解析】 【分析】（1）将3k =代入方程，得到3993120x x ⋅-⋅-=，将其整理得到(31)(34)0xx+-=，集合指数函数的值域，得到34x =，从而得到3log 4x =，求得结果； （2）将式子1936(5)0xx k k k +-+-=整理得出309336x xk =-⋅+，令3,[0,2]xt x =∈，则[1,9]t ∈，借助于二次函数在某个区间上的值域求得最后的结果.【详解】（1）当3k =时，方程1936(5)0xx k k k +-+-=即为3993120x x ⋅-⋅-=，化简得93340x x -⋅-=，即(31)(34)0x x+-=， 解得31x =-（舍去）或34x =，所以3log 4x =，所以，此方程的解为3log 4x =， （2）由1936(5)0xx k k k +-+-=可得1(936)30x k k +-+=，所以309336x x k =-⋅+，令3,[0,2]xt x =∈，则[1,9]t ∈，所以22315933636()24xxt t t -⋅+=-+=-+，由[1,9]t ∈可得当32t =时，2315()24t -+最小值为154，当9t =时，2315()24t -+的最大值为60，所以130303015609364x x +≤≤-+，即182k ≤≤，所以k 的取值范围是1[,8]2.【点睛】该题考查的是有关求方程的解或者方程在某个区间上有解求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意换元思想的应用，以及二次函数在某个区间上的值域的求解方法，属于中档题目.19.某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入x 列列车. （1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于x 的函数解析式；（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列列车运行？（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？ 【答案】（1）()*9060,117,18t t x x N x x==≤≤∈-外内；（2）内环线11列列车，外环线7列列车；（3）内环线10列列车，外环线8列列车.. 【解析】【分析】（1）根据题意，结合最长候车时间等于两列列车对应的时间差，列车式子得出结果，注意自变量的取值范围；（2）根据题意，列出对应的不等关系式，求解即可，在解的过程中，注意自变量的取值范围； （3）根据题意，列出式子，结合对勾函数的单调性，求得函数的变化趋势，最后求得取最值时x 的值.【详解】（1）根据题意可知，内环投入x 辆列车，则外环投入(18)x -辆列车， 从而可得内环线乘客的最长候车时间为30906020t x x=⨯=内分钟， 外环线乘客的最长候车时间为30606030(18)18t x x=⨯=--外分钟，根据实际意义，可知117,x x N *≤≤∈， 所以90t x =内，6018t x=-外(117,)x x N *≤≤∈； （2）由题意可得9060=118t t x x--≤-内外， 整理得221321620016816200x x x x ⎧+-≤⎨-+≤⎩所以16813222x --≤≤因为x N *∈，所以11x =，所以当内环线投入11列列车运行，外环线投入7列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟； （3）令29060162030()+=1818xu x t t x x x x -=+=--内外 2230(54)30(54)18(54)90(54)3654x x x x x x --==--+-+⨯303036543654(54)9090[(54)]5454x x x x==⨯⨯-++--+--可以确定函数在[1,54-上单调递减，在[54-上单调递增，结合x N *∈的条件，可知当10x =时取得最小值，所以内环线10列列车，外环线8列列车时，内、外环线乘客的最长候车时间之和最小. 【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有建立函数模型，求解不等式，求函数的最小值，属于较难题目.20.已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+.（1）判断函数()f x kx =（k 为常数）是否属于集合M ； （2）若2()ln1af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【答案】（1）属于；（2）[15a ∈-+；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用()f x kx =时，方程(2)()(2)f t f t f +=+，此方程恒成立，说明函数()f x kx =（k 为常数）属于集合M ； （2）由2()ln1af x x =+属于集合M，推出22ln ln ln (2)115a a a x x =++++有实数解，即方程2(5)4550a x ax a -++-=有实数解，分5a =和5a ≠两种情况，得到结果；（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+有解，令()3244xg x bx =⋅+-，则()g x 在R 上的图象是连续的，当0b ≥时，当0b <时，判定函数是否有零点，证明对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【详解】（1）当()f x kx =时，方程(2)()(2)f t f t f +=+(2)2k t kt k ⇔+=+， 此方程恒成立，所以函数()f x kx =（k 为常数）属于集合M ； （2）由2()ln1af x x =+属于集合M ，可得方程22lnln ln (2)115a a ax x =++++有实数解，即222455(1)a a x x x =+++，整理得方程2(5)4550a x ax a -++-=有实数解， 当5a =时，方程有实根14-， 当5a ≠时，有2164(5)(55)0a a a ∆=---≥，解得155a -≤<或515a <≤+ 综上，实数a的取值范围为[15a ∈-+；（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+有解，等价于2222(2)244x x b x bx b +++=+++有解，整理得32440x bx ⋅+-=有解，令()3244xg x bx =⋅+-，则()g x 在R 上的图象是连续的， 当0b ≥时，(0)10,(1)420g g b =-<=+>， 故()g x 在(0,1)上有一个零点，当0b <时，11(0)10,()320b g g b=-<=⋅>，故()g x 在1(,0)b上至少有一个零点，故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解， 所以对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有新定义，方程有解转化为函数有零点，分类讨论思想，属于难题. 21.对于函数3()3||1f x x x c =--+.（1）当0,()c f x =向下和向左各平移一个单位，得到函数()g x ，求函数()g x 的零点； （2）对于常数c ，讨论函数()f x 的单调性； （3）当0c，若对于函数()f x 满足()()f x a f x +>恒成立，求实数a 取值范围.【答案】（1）1x =或1x =-；（2）当1c ≥，单调递增；当11c -≤<，在(,]c -∞上递增，[,1]c 上递减，[1,)+∞上递增；当1c <-，在(,1]-∞-递增，[1,1]-递减，[1,)+∞递增；（3）a >【解析】【分析】（1）将0c ，求得3()3||1f x x x =-+，利用图象变换原则求得3()(1)31g x x x =+-+，分类讨论去掉绝对值符号，求得函数的零点；（2）将函数解析式中的绝对值符号去掉，得到分段函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性；（3）化简函数解析式，将不等式转化，找出不等式恒成立的关键条件，得到结果.【详解】（1）因为0c ，所以3()3||1f x x x =-+， 根据题意，可得3()(1)31g x x x =+-+，令()0g x =，即3(1)310x x +-+=，当10x +≥时，原式化为2(1)(22)0x x x ++-=，解得1x =-或1x =，当10x +<时，原式化为2(1)(24)0x x x +++=，无解，所以函数()g x 的零点为1x =或1x =-； （2）333331,()31331,x x c x c f x x x c x x c x c⎧-++≥=--+=⎨+-+<⎩，当x c ≥时，3()331f x x x c =-++， 2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-，当x c <时，3()331f x x x c =+-+， 2'()33f x x =+， 所以当1c ≥时，'()0f x ≥恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，当11c -≤<时，令'()0f x ≥，解得x c ≤或1x ≥，所以()f x 在(,]c -∞和[1,)+∞上单调递增，令'()0f x <，解得1c x ≤≤，所以所以()f x 在[,1]c 上单调递减。

上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−1xB. f(x)=3xC. f(x)=x 2+1D. f(x)=sinx2. 已知f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数．若f(lnx)<f(1)，则x 的取值范围是( )A. (e,+∞)B. (1e ,e)C. (e,+∞)∪(0,1e )D. (1e ,e)∪(e,+∞) 3. 若定义在R 上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意的实数x 都成立，则称f(x)是一个“λ−特征函数”.下列结论中正确的个数为( ) ①f(x)=0是常数函数中唯一的“λ−特征函数”； ②f(x)=2x +1不是“λ−特征函数”； ③“13−特征函数”至少有一个零点； ④f(x)=e x 是一个“λ−特征函数”． A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知函数f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (0,2)B. (2,+∞)C. (−∞,−2)D. [2,+∞)二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 函数y =√3x −1+lg (1−x )的定义域是__________．6. 若函数f(x)=x 2+(a+1)x+a x 为奇函数，则实数a =______．7. 函数f(x)=log a (2x −3)+1(a >0且a ≠1)的图像过定点________________8. 已知3a =4,3b =5则3a+b 的值为__________.9. 已知定义在R 上的函数f(x)满足：对于任意的实数x ，y ，都有f(x −y)=f(x)+y(y −2x +1)，且f(−1)=3，则函数f(x)的解析式为________．10. 若幂函数f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m 的值为________．11. 已知函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0，则f −1[f −1(−9)]=______12. 已知函数f(x)=log 12(x 2−6x +5)在(a,+∞)上是减函数，则函数a 的取值范围是________ ．13. 已知函数f(x)=log 2(−x 2+ax +3)在(2,4)上是单调递减的，则a 的取值范围是_____________．14. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则满足f(x)<1的x 的取值范围是________ 15. 已知函数f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)，对任意x ∈[3,5]，f(x)≥m −2x 恒成立，则实数m 取值范围是__________．16. 已知函数，有如下结论：①，有；②，有；③，有；④，有.其中正确结论的序号是__________.(写出所有正确结论的序号)三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 求下列函数的反函数：(1)y =1+log 2(x −1)(2)y =x 2−1(−1≤x ≤0)18. 已知函数f(x)=a x −1a x +1(a >1)．(1)根据定义证明：函数f(x)在(−∞,+∞)上是增函数；(2)根据定义证明：函数f(x)是奇函数．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元，该建筑(0≤物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：厘米)满足关系：C(x)=k3x+5 x≤10).若不加装隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层加装费用与20年的能源消耗费用之和．(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式；(Ⅱ)隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用f(x)最小？并求出最小总费用．20.已知函数f(x)=√x2−1+p．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若存在区间，当x∈[m,n]时以f(x)的值域为[m2,n2]，求实数p的取值范围．21. 已知函数f(x)={2x −1,x ≥0ax 2+bx,x <0，且f(−1)=f(1)、f(−2)=f(0)， (1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−m 有3个零点，求m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性和单调性判断，属于基础题．逐项判断即可．是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，∴该选项正确；解：A.f(x)=−1xB.f(x)=3x是非奇非偶函数，∴该选项错误；C.f(x)=x2+1是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；D.f(x)=sinx在(0,+∞)上没有单调性，∴该选项错误．故选：A．2.答案：C解析：解：∵f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，∴f(lnx)<f(1)，等价为f(|lnx|)<f(1)，即|lnx|>1，得lnx>1或lnx<−1，解得x>e或0<x<1，e故选C根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．3.答案：C解析：本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ−特征函数的概念是关键，属于中档题．利用新定义“λ−特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案．解：对于①设f(x)=C是一个“λ−特征函数”，则(1+λ)C=0，当时，可以取实数集，因此f(x)=0不是唯一一个常数“λ−特征函数”，故①错误；对于②，∵f(x)=2x+1，∴f(x+λ)+λf(x)=2(x+λ)+1+λ(2x+1)=0，即，∴当时，；λ≠−1时，f(x+λ)+λf(x)=0有唯一解，∴不存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立，∴f(x)=2x+1不是“λ−特征函数”，故②正确；对于③，令x=0得f(13)+13f(0)=0，所以，若f(0)=0，显然f(x)=0有实数根；若f(x)≠0，．又∵f(x)的函数图象是连续不断的，∴f(x)在(0,13)上必有实数根，因此任意的“λ−特征函数”必有根，即任意“13−特征函数”至少有一个零点，故③正确；对于④，假设f(x)=e x是一个“λ−特征函数”，则e x+λ+λe x=0对任意实数x成立，则有e x+λ= 0，而此式有解，所以f(x)=e x是“λ−特征函数”，故④正确．综上所述，结论正确的是②③④，共3个．故选C．4.答案：B解析：本题主要考查函数与方程的应用，考查利用参数分离法以及数形结合思想，属于中档题．f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，利用参数分离法得m=|x|+1x ，构造函数g(x)=|x|+1x，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．解：由f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，当x =0时，方程不成立，即x ≠0，则方程等价为m =|x|+1x ，设g(x)=|x|+1x ，当x <0时，g(x)=−x +1x 为减函数，当x >0时，g(x)=x +1x ，则g(x)在(0,1)上为减函数，则(1,+∞)上为增函数，即当x =1时，函数取得最小值g(1)=1+1=2，作出函数g(x)的图象如图：要使f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则等价为m =|x|+1x 有三个不同的根，即y =m 与g(x)有三个不同的交点，则由图象知m >2，故实数m 的取值范围是(2,+∞)，故选：B ． 5.答案：[13,1)解析：本题考查函数的定义域，根据题意可得{3x −1≥01−x >0，解不等式组即可求得结果． 解：根据题意可得{3x −1≥01−x >0， 解得13≤x <1，因此函数的定义域为[13,1)．故答案为[13,1)． 6.答案：−1解析：利用奇函数的性质即可得出．本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．解：∵函数f(x)=x2+(a+1)x+ax为奇函数，∴f(−x)+f(x)=x2−(a+1)x+a−x +x2+(a+1)x+ax=0，化为(a+1)x=0，∴a+1=0，解得a=−1．故答案为：−1．7.答案：(2,1)解析：本题考查对数函数恒过定点问题，属于基础题．熟练掌握是解决此类问题的关键．解：∵当2x−3=1即x=2时，此时y=1，∴函数f(x)=log a(2x−3)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2,1)．故答案为(2,1)．8.答案：20解析：本题考查指数的运算.由同底数幂的运算法则进行计算即可．解：∵3a=4,3b=5，∴3a+b=3a×3b=20．故答案为20．9.答案：f(x)=x2−x+1解析：本题考查抽象函数解析式的求解，属于中档题目．解：令x=0，y=−x，得f(x)=f(0)+x2−x．把x=−1代入上式，得f(0)=f(−1)−2=1，从而有f(x)=x 2−x +1．故答案为f(x)=x 2−x +1．10.答案：1解析：本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m 2−4m +4=1，解出m 的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m 值．解：函数f(x)为幂函数，所以m 2−4m +4=1，解得m =1或m =3，又因为f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，所以m 2−6m +8>0，解得m >4或m <2，综上可知m =1，故答案为1．11.答案：−2解析：解：∵函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0， ∴x ≥0时，y =−x 2，x =√−y ，x ，y 互换，得f −1(x)=√−x ，x ≤0，x <0时，y =2−x −1，x =−log 2(y +1)，x ，y 互换得f −1(x)=−log 2(x +1)，x >0，∴f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0， ∴f −1(−9)=3，f −1[f −1(−9)]=f −1(3)=−2．故答案为：−2．推导出f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0，从而f −1(−9)=3，进而f −1[f −1(−9)]=f −1(3)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质、反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.答案：[5,+∞)解析：本昰考查对数函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的灵活运用．设t=x2−6x+5，由x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，由此求得a≥5．解：设t=x2−6x+5x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(−∞,1)上t=x2−6x+5是递减的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(−∞,1)上是单调递增的，在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，所以a≥5．故答案为[5,+∞)．13.答案：[134,4]解析：本题考查了复合函数的单调性及对数函数的性质，是基础题．由复合函数的单调性可知内函数在(2,4)上为减函数，则需要其对称轴小于等于2且当函数在x=4时的函数值大于等于0，由此联立不等式组得答案．解：令t=−x2+ax+3，则原函数化为y=log2t，为增函数，∴t=−x2+ax+3在(2,4)是单调递减，对称轴为x=a2，∴a2⩽2且−42+4a+3⩾0，解得：134⩽a⩽4，∴a的范围是[134,4]．故答案为[134,4]．14.答案：解析：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．解：因为函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则f(x)<1等价于{x ≤0−x <1①或{x >0x 2−2x <1②． 解得①得−1<x ≤0，解②得0<x <1+√2√2．所以f(x)<1的x 的取值范围是(−1,1+√2).故答案为．15.答案：(−∞,7]解析：函数f(x)的定义域是(1,+∞)，f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)=log 2x−1x+1=log 2(1−2x+1)，因为y =1−2x+1在(1,+∞)上递增，所以函数f(x)在(1,+∞)上递增，f(x)≥m −2x ，即m ≤f(x)+2x ，知y =f(x)+2x 在[3,5]上递增，所以m ≤7． 16.答案：②③④解析：因为：，所以，所以①不正确，②正确；因为y =ln(1+x)在(−1,1)递增，y =ln(1−x)在(−1,1)递减，所以函数在 上为增函数，所以③正确；又因为，所以在是增函数且函数图象上升的越来越快，呈下凸状态，所以，有，所以④正确．所以答案应填：②③④． 17.答案：解：(1)由y =1+log 2(x −1)，化为：x −1=2y−1，即x =1+2y−1，把x 与y 互换可得反函数：y =1+2x−1，(y >1)．(2)y =x 2−1，−1≤x ≤0，可得y ∈[−1,0]，解得x =−√y +1.把x 与y 互换可得反函数为：y =−√x +1，x ∈[−1,0]，解析：(1)(2)利用方程的解法，用y 表示x ，求出其范围，再把x 与y 互换即可得出．本题考查了反函数的求法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：证明：(1)f(x)=1−2a x+1，令m<n，则f(m)−f(n)=1−2a m+1−1+2a n+1=2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)，∵a>1，m<n，则a m<a n，(a n+1)(a m+1)>0，故2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)<0，故f(m)−f(n)<0，故f(x)在R递增；(2)由题意函数的定义域是R，关于原点对称，又f(−x)=a −x−1a−x+1=−a x−1a x+1=−f(x)，故f(x)是奇函数．解析：(1)根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可；(2)根据函数的奇偶性的定义证明函数的奇偶性即可．本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，考查定义的应用，是一道基础题．19.答案：解：(Ⅰ)由已知，当x=0时，C(x)=8，即k5=8，∴k=40．则C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x，∴f(x)=20C(x)+D(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x，x∈[0,10]；(Ⅱ)∵0≤x≤10，∴3x+5>0，f(x)=8003x+5+6x=8003x+5+(6x+10)−10≥2√8003x+5⋅(6x+10)−10=80−10=70．当且仅当8003x+5=6x+10，即x=5取等号．∴当隔热层加装厚度为5厘米时，总费用f(x)最小，最小总费用为70万元．解析：(Ⅰ)由C(0)=8求得k ，得到C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x ，可得f(x)的解析式；(Ⅱ)直接利用基本不等式求最值得答案．本题考查简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.答案：解：(1)依题意，x 2−1≥0，解得x ≤−1或x ≥1，故函数f(x)的定义域为(−∞,−1]∪[1,+∞)．(2)任取x 1,x 2∈[1,+∞)且x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=√x 12−1−√x 22−1=1212√x 1−1+√x 2−1<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增．若存在区间[m,n]⊆[1,+∞),当x ∈[m,n ]时，f(x)的值域为[m 2,n 2]，可转化为f (m )=m 2，f (n )=n 2，∴g (x )=x 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根．令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，即u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根．记ℎ(u )=u 2−u +1−p ，ℎ(u )的对称轴为直线u =12，∴{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解得34<p ≤1， 即P 的范围为(34,1]．解析：本题主要考查定义域和值域，属于中档题．(1)根据被开方数非负可得x 2−1≥0，进而得出定义域即可；(2)根据题意可得f (m )=m 2，f (n )=n 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根，令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，进而得出u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根，进而得出不等式组{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解出a 即可．21.答案：解：(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0, 解得，a =−1，b =−2；故f(x)={2x −1,x ≥0−x 2−2x,x <0； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作f(x)的图象如下，则由图象可知，0<m <1．解析：本题考查了函数解析式的求法及函数图象的作法及应用，属于中档题．(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0，从而解出a ，b ； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作出f(x)的图象，从而由图象可得．。

2019-2020学年上海市金山中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，1-6题每空填对得4分，7-12题每空填对得5分，否则一律得0分．1．（3分）函数f（x）＝的定义域是．2．（3分）已知集合A＝{x|x2﹣3x＜0，x∈N*}，则用列举法表示集合A＝．3．（3分）已知x，y∈R+，且满足，则xy的最大值为．4．（3分）函数y＝a x+2019+2020（a＞0，a≠1）的图象恒过定点．5．（3分）方程4x﹣2x﹣6＝0的解为．6．（3分）幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，），则f（）的值为．7．（3分）若集合A＝{x|ax2﹣ax+1＝0}＝∅，则实数a的取值范围是．8．（3分）已知函数f（x）的对应关系如表：x﹣2﹣1012 f（x）3﹣215m 若函数f（x）不存在反函数，则实数m的取值集合为．9．（3分）已知定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）为减函数，且f（2）＝0，则不等式x•f（x）≤0的解集为．10．（3分）已知函数f（x）＝2x+a，g（x）＝x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）＝f（x1），则实数a的取值范围是．11．（3分）已知函数，若函数y＝f（4x﹣3）﹣a恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．12．（3分）将函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+1的图象绕原点顺时针方向旋转角θ（）得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则θ的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）下列各组函数中表示同一函数的是（）A．y＝20与y＝B．y＝±1与y＝C．y＝与y＝D．y＝x+1与y＝14．（5分）设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（5分）如图中，哪个最有可能是函数的图象（）A．B．C．D．16．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A．函数f（x）＝x2（x≥0）存在“和谐区间”B．函数f（x）＝e x（x∈R）不存在“和谐区间”C．函数（x≥0）存在“和谐区间”D．函数（a＞0，a≠1）不存在“和谐区间”三、解答题（本大题共有5题，满分38分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）已知集合A＝{y|y＝﹣2x，x∈[2，3]}，B＝{x|（x﹣a）（x+a+3）＞0}．（1）当a＝4时，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．18．（8分）已知不等式x2﹣3x+m＜0的解集为{x|1＜x＜n，n∈R}，函数f（x）＝﹣x2+ax+1．（1）求出m，n的值；（2）若y＝f（x）在（﹣∞，1]上递增，解关于x的不等式．19．（8分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C （x）（万元），若年产量不足80千件，C（x）的图象是如图的抛物线，此时C（x）＜0的解集为（﹣30，0），且C（x）的最小值是﹣75，若年产量不小于80千件，C（x）＝51x+﹣1450，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完；（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20．（6分）设为奇函数，a为常数．（1）求a的值（2）判断函数f（x）在x∈（1，+∞）上的单调性，并说明理由；（3）若对于区间[2，4]上的每一个x值，不等式恒成立，求实数m 的取值范围．21．（8分）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设．（1）求a，b的值（2）若不等式f（log2x）﹣2k log2x≥0在x∈[2，4]上有解，求实数k的取值范围；（3）若有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．2019-2020学年上海市金山中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，1-6题每空填对得4分，7-12题每空填对得5分，否则一律得0分．1．（3分）函数f（x）＝的定义域是{x|x≥﹣2且x≠1}．【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x≠1且x≥﹣2；故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．【点评】本题考查了求函数的定义域，最后要用集合或区间的形式表示，这是容易出错的地方．2．（3分）已知集合A＝{x|x2﹣3x＜0，x∈N*}，则用列举法表示集合A＝{1，2}．【分析】通过列举法表示即可．【解答】解：由集合A＝{x|x2﹣3x＜0，x∈N*}可得，条件等价于集合A＝{x|0＜x＜3，x∈N*}＝{1，2}．故填：{1，2}．【点评】本题主要考查了集合的表示法，考查了学生灵活转化题目条件的能力，是基础题．3．（3分）已知x，y∈R+，且满足，则xy的最大值为3．【分析】本题为利用基本不等式求最值，可直接由条件出发，求解．【解答】解：因为x＞0，y＞0，所以（当且仅当，即x＝，y＝2时取等号），于是，，xy≤3．故答案为：3【点评】本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力，属基本题．4．（3分）函数y＝a x+2019+2020（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2019，2021）．【分析】令幂指数等于零，求得x、y的值，可得函数的图象经过定点的坐标．【解答】解：对于函数y＝a x+2019+2020（a＞0，a≠1），令x+2019＝0，求得x＝﹣2019，y＝2021，可得它的图象恒过定点（﹣2019，2021），故答案为：（﹣2019，2021）．【点评】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．5．（3分）方程4x﹣2x﹣6＝0的解为x＝log23．【分析】由4x﹣2x﹣6＝0，得（2x）2﹣2x﹣6＝0，由此能求出方程4x﹣2x﹣6＝0的解．【解答】解：由4x﹣2x﹣6＝0，得（2x）2﹣2x﹣6＝0，解得2x＝3，或2x＝﹣2（舍去），∴x＝log23．故答案为：x＝log23．【点评】本题考查指数方程的解法，解题时要认真审题，注意指数式和对数式的互化．6．（3分）幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，），则f（）的值为4．【分析】利用待定系数法求出幂函数y＝f（x）的解析式，再计算f（）的值．【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα，α∈R；其图象过点（4，），所以4α＝，解得α＝﹣；所以f（x）＝，所以f（）＝＝＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了幂函数的定义与计算问题，是基础题．7．（3分）若集合A＝{x|ax2﹣ax+1＝0}＝∅，则实数a的取值范围是[0，4）．【分析】当集合A为空集时，关于x的方程ax2﹣ax+1＝0无解．【解答】解：由题意知，△＝a2﹣4a＜0或a＝0．解得0≤a＜4．即实数a的取值范围是[0，4）．故答案是：[0，4）．【点评】此题考查了空集的定义、性质及运算，利用△＜0或a＝0求出实数a的取值范围是解题的关键．8．（3分）已知函数f（x）的对应关系如表：x﹣2﹣1012 f（x）3﹣215m 若函数f（x）不存在反函数，则实数m的取值集合为{﹣2，1，3，5}．【分析】由已知可得：f（﹣2）＝3，f（﹣1）＝﹣2，f（0）＝1，f（1）＝5，f（2）＝m，利用反函数的定义及其性质即可得出．【解答】解：由已知可得：f（﹣2）＝3，f（﹣1）＝﹣2，f（0）＝1，f（1）＝5，f（2）＝m，∵函数f（x）不存在反函数，则m的值只可以为：﹣2，1，3，5，否则存在反函数．∴实数m的取值集合为{﹣2，1，3，5}．故答案为：{﹣2，1，3，5}．【点评】本题考查了反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（3分）已知定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）为减函数，且f（2）＝0，则不等式x•f（x）≤0的解集为{x|x≥2或x≤﹣2或x＝0}．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：因为定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）为减函数，且f（2）＝0，所以函数在（0，+∞）上单调递减且f（﹣2）＝0，f（0）＝0，由不等式x•f（x）≤0可得，或或x＝0，解可得，x≥2或x≤﹣2或x＝0．故不等的解集为{x|x≥2或x≤﹣2或x＝0}，故答案为：{x|x≥2或x≤﹣2或x＝0}．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．10．（3分）已知函数f（x）＝2x+a，g（x）＝x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）＝f（x1），则实数a的取值范围是[﹣2，6]．【分析】由函数f（x）＝2x+a，知x1∈[﹣1，1]时，f（x）的值域就是[a﹣2，a+2]，由g （x）＝x2﹣6x+1，知要使上述范围内总能找到x2满足g（x2）＝f（x1），即g（x）的值域要包含[a﹣2，a+2]，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）＝2x+a，g（x）＝x2﹣6x+1，∴x1∈[﹣1，1]时，f（x）的值域就是[a﹣2，a+2]要使上述范围内总能找到x2满足g（x2）＝f（x1），即g（x）的值域要包含[a﹣2，a+2]，∵g（x）是一个二次函数，在[﹣1，1]上单调递减，∴值域为[﹣4，8]，因此，解得﹣2≤a≤6．故答案为：[﹣2，6]．【点评】本题考查函数的值域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11．（3分）已知函数，若函数y＝f（4x﹣3）﹣a恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（2，3]．【分析】首先考查函数的单调性，求得f（x）的最值，然后结合题意，运用换元法，将零点问题转化为方程有解，再转化为函数图象的交点个数，即可求得所求范围．【解答】解：当x＞0时，f（x）＝x+，由对勾函数的性质可得函数在（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，当x＝1时，函数取到极小值f（1）＝2；当x≤0时，f（x）＝4﹣（）x，函数f（x）单调递增，则f（x）≤f（0）＝3，令t＝4x﹣3，结合一次函数的性质，满足题意时，y＝f（t）﹣a恰好有三个不同的零点，原问题可转化为函数y＝f（t）与函数y＝a的图象有3个不同的交点，据此可得实数a 的取值范围是2＜a≤3．故答案为：2＜a≤3．【点评】本题考查了分段函数的性质，函数的单调性、函数的值域，以及转化的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．12．（3分）将函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+1的图象绕原点顺时针方向旋转角θ（）得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则θ的取值范围是[0，）．【分析】先画出函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+1的图象，然后结合图象观察何时，曲线C不是一个函数的图象，即可求出角的范围．【解答】解：先画出函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+1的图象由图可知当图象绕坐标原点顺时针方向旋转角大于等于时，曲线C都不是一个函数的图象故答案为：[0，）．【点评】本题主要考查了旋转变换，同时考查了数形结合的思想和分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）下列各组函数中表示同一函数的是（）A．y＝20与y＝B．y＝±1与y＝C．y＝与y＝D．y＝x+1与y＝【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【解答】解：A．y＝20＝1，定义域为R，y＝＝1，（x≠0），两个函数的定义域不相同，不是同一函数；B．y＝＝|x|，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；C．由x2+x≥0得x≥0或x≤﹣1，即定义域为（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞），由得，得x≥0，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．D．y＝＝t+1，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；故选：D．【点评】本题主要考查同一函数的判断，结合函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键．比较基础．14．（5分）设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】分别求出不等式成立的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当b＝﹣1，a＝1时，满足，但不成立．若，则，∴，∴成立．∴“”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．15．（5分）如图中，哪个最有可能是函数的图象（）A．B．C．D．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．【解答】解：y′＝＝，令y′＞0，解得：x＜，令y′＜0，解得：x＞，故函数在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减，而x＝0时，函数值y＝0，x→﹣∞时，y→﹣∞，x→+∞时，y→0，故选：A．【点评】本题考查了函数的图象，考查函数的单调性问题，是一道基础题．16．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A．函数f（x）＝x2（x≥0）存在“和谐区间”B．函数f（x）＝e x（x∈R）不存在“和谐区间”C．函数（x≥0）存在“和谐区间”D．函数（a＞0，a≠1）不存在“和谐区间”【分析】根据函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②0或，对四个函数分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”即可．【解答】解：函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②或．A．若f（x）＝x2（x≥0），若存在“倍值区间”[a，b]，则此时函数单调递增，则由，得，∴，∴f（x）＝x2（x≥0）存在“倍值区间”[0，2]，∴A正确．B若f（x）＝e x（x∈R），若存在“倍值区间”[a，b]，则此时函数单调递增，则由，得，即a，b是方程e x＝2x的两个不等的实根，构建函数g（x）＝e x﹣2x，∴g′（x）＝e x﹣2，∴函数在（﹣∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，∴函数在x＝ln2处取得极小值，且为最小值．∵g（ln2）＝2﹣ln2＞0，∴g（x）＞0，∴e x﹣2x＝0无解，故函数不存在“倍值区间”，∴B正确．C．若函数（x≥0），f′（x）＝，若存在“倍值区间”[a，b]⊆[0，1]，则由，得，∴a＝0，b＝1，即存在“倍值区间”[0，1]，∴C正确．D．若函数（a＞0，a≠1）．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数，若存在“倍值区间”[m，n]，则由，得，即m，n是方程log a（a x﹣）＝2x的两个根，即m，n是方程a2x﹣a x+＝0的两个根，由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间”[m，n]，∴D结论错误．故选：D．【点评】本题主要考查与函数性质有点的新定义，涉及的知识点较多，综合性较强，难度较大．三、解答题（本大题共有5题，满分38分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）已知集合A＝{y|y＝﹣2x，x∈[2，3]}，B＝{x|（x﹣a）（x+a+3）＞0}．（1）当a＝4时，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（1）可以求出A＝{y|﹣8≤y≤﹣4}，a＝4时可求出集合B，然后进行交集的运算即可；（2）得出B＝{x|（x﹣a）[x﹣（﹣a﹣3）]＞0}，然后讨论a与﹣a﹣3的关系，得出集合B，根据A⊆B即可得出每种情况的a的范围，最后即可得出a的范围．【解答】解：（1）A＝{y|﹣8≤y≤﹣4}，a＝4时，B＝{x|（x﹣4）（x+7）＞0}＝{x|x＜﹣7或x＞4}，∴A∩B＝[﹣8，﹣7）；（2）B＝{x|（x﹣a）[x﹣（﹣a﹣3）]＞0}，且A⊆B，①a＝﹣a﹣3，即a＝时，，满足A⊆B；②a＞﹣a﹣3，即时，B＝{x|x＜﹣a﹣3或x＞a}，∴，解得；③a＜﹣a﹣3，即时，B＝{x|x＜a或x＞﹣a﹣3}，∴，解得，∴综上得，实数a的取值范围为（﹣4，1）．【点评】本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，减函数的定义，一元二次不等式的解法，分类讨论的思想，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18．（8分）已知不等式x2﹣3x+m＜0的解集为{x|1＜x＜n，n∈R}，函数f（x）＝﹣x2+ax+1．（1）求出m，n的值；（2）若y＝f（x）在（﹣∞，1]上递增，解关于x的不等式．【分析】（1）根据不等式x2﹣3x+m＜0的解集得出对应方程的两根，由此列方程组求m、n的值；（2）根据二次函数f（x）的单调性球场a的取值范围，把不等式化为0＜﹣2x2+3x+2﹣2＜1，求出解集即可．【解答】解：（1）不等式x2﹣3x+m＜0的解集为{x|1＜x＜n，n∈R}，所以1和n是方程x2﹣3x+m＝0的两根，所以，解得m＝2，n＝2；（2）若y＝f（x）＝﹣x2+ax+1在（﹣∞，1]上递增，所以≥1，解得a≥2；所以关于x的不等式可化为0＜﹣2x2+3x+2﹣2＜1，等价于，解得；所以不等式的解集是．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了对数函数的性质与应用问题，是中档题．19．（8分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C （x）（万元），若年产量不足80千件，C（x）的图象是如图的抛物线，此时C（x）＜0的解集为（﹣30，0），且C（x）的最小值是﹣75，若年产量不小于80千件，C（x）＝51x+﹣1450，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完；（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，当x≥80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，列出函数关系式，投入成本为，根据年利润＝销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.005万元，∴x千件商品销售额为0.005×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴L（x）＝（0.05×1000x）﹣x2﹣10x﹣250＝﹣x2+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴L（x）＝（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250＝1200﹣（x+）．综合①②可得，；（2）由（1）可知，；①当0＜x＜80时，L（x）＝﹣x2+40x﹣250＝﹣（x﹣60）2+950∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元；②当x≥80时，L（x）＝1200﹣（x+）≤1200﹣2＝1200﹣200＝1000，当且仅当，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为10万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题建立的数学模型为分段函数，对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解．属于中档题．20．（6分）设为奇函数，a为常数．（1）求a的值（2）判断函数f（x）在x∈（1，+∞）上的单调性，并说明理由；（3）若对于区间[2，4]上的每一个x值，不等式恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）由奇函数的定义可得f（﹣x）+f（x）＝0，结合对数的运算性质，解方程可求得a值；（2）根据合函数单调性：同增异减，可判断f（x）的单调性；（3）不等式恒成立，等价于m＜f（x）+x﹣（）x在[2，4]恒成立，可令g（x）＝log+x﹣（）x，x∈[3，4]，转化为求函数g（x）在[3，4]上的最小值问题即可解决．【解答】解：（1）由为奇函数，可得f（﹣x）+f（x）＝0，即log+log＝log•＝0，即•＝1，即有1﹣a2x2＝1﹣x2，则a2＝1，可得a＝±1，当a＝1时，f（x）＝log不存在，舍去a＝1，故a＝﹣1；（2）函数f（x）＝log在x∈（1，+∞）上为增函数，理由：由f（x）＝log（1+），可令t＝1+，f（x）＝log t，由于t＝1+在（1，+∞）上递减，而f（x）＝log t在t＞0递减，则f（x）＝log在x∈（1，+∞）上为增函数；（3）对于区间[2，4]上的每一个x值，不等式恒成立，即为m＜f（x）+x﹣（）x在[2，4]恒成立，可令g（x）＝log+x﹣（）x，由f（x）＝log在x∈[2，4]上为增函数，y＝x﹣（）x在x∈[2，4]上为增函数，故y＝g（x）在x∈[2，4]上为增函数，可得g（x）的最小值为g（2）＝log3+2﹣（）2＝﹣1+2﹣＝，则m＜．【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性及函数恒成立问题，奇偶性、单调性问题常用定义解决，而函数恒成立问题则常转化为最值问题处理．21．（8分）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设．（1）求a，b的值（2）若不等式f（log2x）﹣2k log2x≥0在x∈[2，4]上有解，求实数k的取值范围；（3）若有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【分析】（1）由函数g（x）＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故g（2）＝1，g（3）＝4，由此解得a、b的值；（2）不等式可化为log2x+﹣2≥2k log2x在x∈[2，4]上有解，即2k≤﹣+1在x∈[2，4]上有解，通过换元法和对数函数的单调性，以及二次函数的单调性求得不等式右边函数的最大值，即可得到所求范围；（3）原方程化为|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）＝0，（|2x﹣1|≠0），令|2x﹣1|＝t，则t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0（t≠0），构造函数h（t）＝t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通过二次方程实根分布，可得k的不等式组，即可求得k的范围．【解答】解：（1）函数g（x）＝ax2﹣2ax+b+1＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，即，解得；（2）由（1）可得f（x）＝＝x+﹣2，不等式f（log2x）﹣2k log2x≥0在x∈[2，4]上有解，等价为log2x+﹣2≥2k log2x在x∈[2，4]上有解，即2k≤﹣+1在x∈[2，4]上有解，令t＝，则2k≤t2﹣2t+1，∵x∈[2，4]，∴t∈[，1]，则函数m（t）＝t2﹣2t+1在t∈[，1]递减，可得m（t）的最大值为m（）＝，则2k≤，即k≤；（3）原方程可化为|2x﹣1|2﹣（3k+2）|2x﹣1|+（2k+1）＝0，可令t＝|2x﹣1|，则t＞0，由题意可得t2﹣（3k+2）t+（2k+1）＝0有两个不等实根t1，t2，其中0＜t1＜1，t2＞1或0＜t1＜1，t2＝1，设h（t）＝t2﹣（3k+2）t+（2k+1），则或，解得k＞0或k∈∅，则k的取值范围是（0，+∞）．【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查方程有解的条件以及不等式成立问题的解法，考查等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于中档题．。

2019-2020学年上海市金山中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，1-6题每空填对得4分，7-12题每空填对得5分，否则一律得0分．1．（3分）函数()f x =的定义域是 ． 2．（3分）已知集合2{|30A x x x =-<，*}x N ∈，则用列举法表示集合A = ． 3．（3分）已知x ，y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ． 4．（3分）函数20192020(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点 ． 5．（3分）方程4260x x --=的解为 ．6．（3分）幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()16f 的值为 ．7．（3分）若集合2{|10}A x ax ax =-+==∅，则实数a 的取值范围是 ． 8．（3分）已知函数()f x 的对应关系如表：若函数()f x 不存在反函数，则实数m 的取值集合为 ．9．（3分）已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞为减函数，且f （2）0=，则不等式()0x f x g …的解集为 ．10．（3分）已知函数()2f x x a =+，2()61g x x x =-+，对于任意的[]11,1x ∈-都能找到[]21,1x ∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围是 ．11．（3分）已知函数1,0()42,0xx x x f x x --⎧+>=⎨-⎩…，若函数(43)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．12．（3分）将函数11|1||2|122y x x =-+-+的图象绕原点顺时针方向旋转角(0)2πθθ剟得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图象，则θ的取值范围是 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分． 13．（5分）下列各组函数中表示同一函数的是( )A ．02y =与x y x=B ．1y =±与||x x y x=C ．2y x x =+与1y x x =+D ．1y x =+与33(1)y t =+14．（5分）设a 、b 均为非零实数，则“1b a <”是“1ab>”的什么条件？( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．（5分）如图中，哪个最有可能是函数2xxy =的图象( ) A ． B ．C ．D ．16．（5分）设函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[a ，]b D ⊆，使得函数()f x 满足：①()f x 在[a ，]b 上是单调函数；②()f x 在[a ，]b 上的值域是[2a ，2]b ，则称区间[a ，]b 是函数()f x 的“和谐区间”．下列结论错误的是( ) A ．函数2()(0)f x x x =…存在“和谐区间” B ．函数()()x f x e x R =∈不存在“和谐区间” C ．函数24()(0)1xf x x x =+…存在“和谐区间” D ．函数1()log ()(0,1)8x a f x a a a =->≠不存在“和谐区间”三、解答题（本大题共有5题，满分38分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17．（8分）已知集合{|2x A y y ==-，[2x ∈，3]}，{|()(3)0}B x x a x a =-++>， （1）当4a =时，求A B I ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．18．（8分）已知不等式230x x m -+<的解集为{|1x x n <<，}n R ∈，函数2()1f x x ax =-++．（1）求出m ，n 的值；（2）若()y f x =在(-∞，1]上递增，解关于x 的不等式2log (32)0a nx x m -++-<． 19．（8分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元），若年产量不足80千件，()C x 的图象是如图的抛物线，此时()0C x <的解集为(30,0)-，且()C x 的最小值是75-，若年产量不小于80千件，10000()511450C x x x=+-，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完； （1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20．（6分）设131()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值（2）判断函数()f x 在(1,)x ∈+∞上的单调性，并说明理由；（3）若对于区间[2，4]上的每一个x 值，不等式1()()3x f x x m +>+恒成立，求实数m 的取值范围．21．（8分）已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设()()g x f x x=． （1）求a ，b 的值（2）若不等式22(log )2log 0f x k x -…在[2x ∈，4]上有解，求实数k 的取值范围； （3）若2(|21|)30|21|x x f k k -+-=-g 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．2019-2020学年上海市金山中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，1-6题每空填对得4分，7-12题每空填对得5分，否则一律得0分．1．（3分）函数()f x =的定义域是 {|2x x -…且1}x ≠ ． 【解答】解：由题意，要使函数有意义，则1020x x -≠⎧⎨+⎩…，解得，1x ≠且2x -…；故函数的定义域为：{|2x x -…且1}x ≠， 故答案为：{|2x x -…且1}x ≠．2．（3分）已知集合2{|30A x x x =-<，*}x N ∈，则用列举法表示集合A = {1，2} ． 【解答】解：由集合2{|30A x x x =-<，*}x N ∈可得， 条件等价于集合{|03A x x =<<，*}{1x N ∈=，2}． 故填：{1，2}．3．（3分）已知x ，y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 3 ．【解答】解：因为0x >，0y >，所以1234x y =+厖34x y =，即32x =，2y =时取等号），1，3xy …． 故答案为：34．（3分）函数20192020(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点 (2019,2021)- ． 【解答】解：对于函数20192020(0,1)x y a a a +=+>≠， 令20190x +=，求得2019x =-，2020y =， 可得它的图象恒过定点(2019,2020)-， 故答案为：(2019,2020)-．5．（3分）方程4260x x --=的解为 2log 3x = ． 【解答】解：由4260x x --=，得2(2)260x x --=，解得23x =，或22x =-（舍去）， 2log 3x ∴=．故答案为：2log 3x =．6．（3分）幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()16f 的值为 4 ．【解答】解：设幂函数()y f x x α==，R α∈； 其图象过点1(4,)2，所以142α=，解得12α=-；所以12()f x x -=，所以112211()()1641616f -===．故答案为：4．7．（3分）若集合2{|10}A x ax ax =-+==∅，则实数a 的取值范围是 [0，4) ． 【解答】解：由题意知，△240a a =-<或0a =． 解得04a <…．即实数a 的取值范围是[0，4)． 故答案是：[0，4)．8．（3分）已知函数()f x 的对应关系如表：若函数()f x 不存在反函数，则实数m 的取值集合为 {2-，1，3，5} ．【解答】解：由已知可得：(2)3f -=，(1)2f -=-，(0)1f =，f （1）5=，f （2）m =，Q 函数()f x 不存在反函数，则m 的值只可以为：2-，1，3，5，否则存在反函数． ∴实数m 的取值集合为{2-，1，3，5}．故答案为：{2-，1，3，5}．9．（3分）已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞为减函数，且f （2）0=，则不等式()0x f x g …的解集为 {|2x x …或2x -…或0}x = ．【解答】解：因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞为减函数，且f （2）0=， 所以函数在(0,)+∞上单调递减且(2)0f -=，(0)0f =， 由不等式()0x f x g …可得，0()0x f x >⎧⎨⎩…或0()0x f x <⎧⎨⎩…或0x =，解可得，2x …或2x -…或0x =．故不等的解集为{|2x x …或2x -…或0}x =， 故答案为：{|2x x …或2x -…或0}x =．10．（3分）已知函数()2f x x a =+，2()61g x x x =-+，对于任意的[]11,1x ∈-都能找到[]21,1x ∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围是 [2-，6] ． 【解答】解：Q 函数()2f x x a =+，2()61g x x x =-+， 1[1x ∴∈-，1]时，()f x 的值域就是[2a -，2]a +要使上述范围内总能找到2x 满足21()()g x f x =， 即()g x 的值域要包含[2a -，2]a +，()g x Q 是一个二次函数，在[1-，1]上单调递减，∴值域为[4-，8]，因此2428a a --⎧⎨+⎩……，解得26a -剟． 故答案为：[2-，6]．11．（3分）已知函数1,0()42,0xx x x f x x --⎧+>=⎨-⎩…，若函数(43)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 (2，3] ． 【解答】解：当0x >时，1()f x x x=+，由对勾函数的性质可得函数在(0,1)上单调递减， 在区间(1,)+∞上单调递增，当1x =时，函数取到极小值f （1）2=；当0x …时，1()4()2x f x =-，函数()f x 单调递增，则()(0)3f x f =…，令43t x =-，结合一次函数的性质，满足题意时，()y f t a =-恰好有三个不同的零点，原问题可转化为函数()y f t =与函数y a =的图象有3个不同的交点，据此可得实数a 的取值范围是23a <…． 故答案为：23a <…．12．（3分）将函数11|1||2|122y x x =-+-+的图象绕原点顺时针方向旋转角(0)2πθθ剟得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图象，则θ的取值范围是 [0，)4π．【解答】解：先画出函数11|1||2|122y x x =-+-+的图象由图可知当图象绕坐标原点顺时针方向旋转角大于等于4π时， 曲线C 都不是一个函数的图象 故答案为：[0，)4π．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）下列各组函数中表示同一函数的是( ) A ．02y =与xy x=B ．1y =±与||x x y x=C ．2y x x =+与1y x x =+D ．1y x =+与33(1)y t =+【解答】解：A ．021y ==，定义域为R ，1xy x==，(0)x ≠，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；B ．||||x x y x x==，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数； C ．由20x x +…得0x …或1x -…，即定义域为(-∞，1][0-U ，)+∞， 由010x x ⎧⎨+⎩……得01x x ⎧⎨-⎩……，得0x …，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．D ．33(1)1y t t =+=+，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；故选：D ．14．（5分）设a 、b 均为非零实数，则“1b a <”是“1ab>”的什么条件？( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：当1b =-，1a =时，满足1b a <，但1ab>不成立． 若1ab>，则0a b >，∴01ba<<， ∴1ba<成立． ∴ “1b a <”是“1ab>”成立的必要不充分条件． 故选：B ．15．（5分）如图中，哪个最有可能是函数2xxy =的图象( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：22221222x x x x x ln xln y --'==， 令0y '>，解得：12x ln <，令0y '<，解得：12x ln >，故函数在1(,)2ln -∞递增，在1(2ln ，)+∞递减， 而0x =时，函数值0y =，x →-∞时，y →-∞，x →+∞时，0y →，故选：A ．16．（5分）设函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[a ，]b D ⊆，使得函数()f x 满足：①()f x 在[a ，]b 上是单调函数；②()f x 在[a ，]b 上的值域是[2a ，2]b ，则称区间[a ，]b 是函数()f x 的“和谐区间”．下列结论错误的是( ) A ．函数2()(0)f x x x =…存在“和谐区间” B ．函数()()x f x e x R =∈不存在“和谐区间” C ．函数24()(0)1xf x x x =+…存在“和谐区间” D ．函数1()log ()(0,1)8x a f x a a a =->≠不存在“和谐区间”【解答】解：函数中存在“倍值区间”，则：①()f x 在[a ，]b 内是单调函数；②()2()2f a af b b =⎧⎨=⎩或()2()2f a b f b a=⎧⎨=⎩． A ．若2()(0)f x x x =…，若存在“倍值区间” [a ，]b ， 则此时函数单调递增，则由()2()2f a af b b =⎧⎨=⎩，得2222a a b b ⎧=⎨=⎩，∴02a b =⎧⎨=⎩，2()(0)f x x x ∴=…存在“倍值区间” [0，2]，A ∴正确．B 若()()x f x e x R =∈，若存在“倍值区间” [a ，]b ，则此时函数单调递增，则由()2()2f a af b b =⎧⎨=⎩，得22a b e a e b ⎧=⎨=⎩，即a ，b 是方程2x e x =的两个不等的实根， 构建函数()2x g x e x =-，()2x g x e ∴'=-，∴函数在(,2)ln -∞上单调减，在(2,)ln +∞上单调增， ∴函数在2x ln =处取得极小值，且为最小值．(2)220g ln ln =->Q ， ()0g x ∴>，20x e x ∴-=无解，故函数不存在“倍值区间”， B ∴正确． C ．若函数24()(0)1xf x x x =+…， 222224(1)424(1)(1)()(1)(1)x x x x x f x x x +-+-'==++g ， 若存在“倍值区间” [a ，][0b ⊆，1]， 则由()2()2f a a f b b =⎧⎨=⎩，得22421421aa ab b b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，0a ∴=，1b =，即存在“倍值区间” [0，1]，C ∴正确．D ．若函数1()log ()(0,1)8x a f x a a a =->≠．不妨设1a >，则函数在定义域内为单调增函数， 若存在“倍值区间” [m ，]n ，则由()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩，得1()281()28ma n alog a m log a n⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即m ，n 是方程1log ()28x a a x -=的两个根，即m ，n 是方程2108x x a a -+=的两个根， 由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间” [m ，]n ，D ∴结论错误． 故选：D ．三、解答题（本大题共有5题，满分38分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）已知集合{|2x A y y ==-，[2x ∈，3]}，{|()(3)0}B x x a x a =-++>，（1）当4a =时，求A B I ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）{|84}A y y =--剟，4a =时，{|(4)(7)0}{|7B x x x x x =-+>=<-或4}x >， [8A B ∴=-I ，7)-；（2）{|()[(3)]0}B x x a x a =---->，且A B ⊆，①3a a =--，即32a =-时，3{|}2B x x =≠-，满足A B ⊆； ②3a a >--，即32a >-时，{|3B x x a =<--或}x a >， ∴3237a a ⎧>-⎪⎨⎪---⎩…，解得342a -<…， ③3a a <--，即32a <-时，{|B x x a =<或3}x a >--， ∴32738a a a ⎧<-⎪⎨⎪---<-⎩或…，解得372a -<-…， ∴综上得，实数a 的取值范围为[7-，4]．18．（8分）已知不等式230x x m -+<的解集为{|1x x n <<，}n R ∈，函数2()1f x x ax =-++． （1）求出m ，n 的值；（2）若()y f x =在(-∞，1]上递增，解关于x 的不等式2log (32)0a nx x m -++-<．【解答】解：（1）不等式230x x m -+<的解集为{|1x x n <<，}n R ∈，所以1和n 是方程230x x m -+=的两根，所以13013m n -+=⎧⎨+=⎩， 解得2m =，2n =；（2）若2()1y f x x ax ==-++在(-∞，1]上递增， 所以12a …，解得2a …； 所以关于x 的不等式2log (32)0a nx x m -++-<可化为2023221x x<-++-<，等价于22230 2310x xx x⎧-<⎨-+>⎩，解得3 02112xx x⎧<<⎪⎪⎨⎪⎪⎩或；所以不等式的解集是13(0,)(1,)22U．19．（8分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本()C x （万元），若年产量不足80千件，()C x的图象是如图的抛物线，此时()0C x<的解集为(30,0)-，且()C x的最小值是75-，若年产量不小于80千件，10000()511450C x xx=+-，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完；（1）写出年利润()L x（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解答】解：（1）Q每件商品售价为0.005万元，x∴千件商品销售额为0.0051000x⨯万元，①当080x<<时，根据年利润=销售收入-成本，2211()(0.051000)102504025033L x x x x x x∴=⨯---=-+-；②当80x…时，根据年利润=销售收入-成本，1000010000()(0.051000)5114502501200()L x x x xx x∴=⨯--+-=-+．综合①②可得，2140250,0803()100001200(),80x x xL xx xx⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩…；（2）由（1）可知，2140250,0803()100001200(),80x x xL xx xx⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩…；①当080x <<时，2211()40250(60)95033L x x x x =-+-=--+ ∴当60x =时，()L x 取得最大值(60)950L =万元；②当80x …时，10000()1200()120012002001000L x x x =-+--=…， 当且仅当，即100x =时，()L x 取得最大值(100)1000L =万元．综合①②，由于9501000<，∴当产量为10万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．20．（6分）设131()log 1ax f x x -=-为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值 （2）判断函数()f x 在(1,)x ∈+∞上的单调性，并说明理由；（3）若对于区间[2，4]上的每一个x 值，不等式1()()3x f x x m +>+恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由131()log 1ax f x x -=-为奇函数，可得()()0f x f x -+=， 即1113331111log log log 01111ax ax ax ax x x x x +-+-+==------g ， 即11111ax ax x x +-=---g ，即有22211a x x -=-， 则21a =，可得1a =±，当1a =时，131()log 1x f x x -=-不存在，舍去1a =， 故1a =-；（2）函数131()log 1x f x x +=-在(1,)x ∈+∞上为增函数， 理由：由132()log (1)1f x x =+-，可令211t x =+-，13()log f x t =， 由于211t x =+-在(1,)+∞上递减，而13()log f x t =在0t >递减， 则131()log 1x f x x +=-在(1,)x ∈+∞上为增函数； （3）对于区间[2，4]上的每一个x 值，不等式1()()3x f x x m +>+恒成立， 即为1()()3x m f x x <+-在[2，4]恒成立， 可令1311()log ()13x x g x x x +=+--，由131()log 1x f x x +=-在[2x ∈，4]上为增函数，1()3x y x =-在[2x ∈，4]上为增函数， 故()y g x =在[2x ∈，4]上为增函数，可得()g x 的最小值为g （2）213118log 32()12399=+-=-+-=， 则89m <． 21．（8分）已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设()()g x f x x=． （1）求a ，b 的值（2）若不等式22(log )2log 0f x k x -…在[2x ∈，4]上有解，求实数k 的取值范围；（3）若2(|21|)30|21|x x f k k -+-=-g 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 【解答】解：（1）函数22()21(1)1g x ax ax b a x b a =-++=-++-，因为0a >，所以()g x 在区间[2，3]上是增函数，故(2)1(3)4g g =⎧⎨=⎩，即11314b a b +=⎧⎨++=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩； （2）由（1）可得2211()2x x f x x x x-+==+-， 不等式22(log )2log 0f x k x -…在[2x ∈，4]上有解， 等价为2221log 22log x k x log x +-…在[2x ∈，4]上有解， 即2221221()k log x log x -+…在[2x ∈，4]上有解， 令21t log x =，则2221k t t -+…，[2x ∈Q ，4]，1[2t ∴∈，1]， 则函数2()21m t t t =-+在1[2t ∈，1]递减，可得()m t 的最大值为11()24m =， 则124k …，即18k …； （3）原方程可化为2|21|(32)|21|(21)0x x k k --+-++=，可令|21|x t =-，则0t >，由题意可得2(32)(21)0t k t k -+++=有两个不等实根1t ，2t ， 其中101t <<，21t >或101t <<，21t =，设2()(32)(21)h t t k t k =-+++，则210(1)0k h k +>⎧⎨=-<⎩或210(1)032012k h k k ⎧⎪+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩， 解得0k >或k ∈∅，则k 的取值范围是(0,)+∞．。

金山中学2015学年度第一学期高一年级数学学科期末考试卷参考答案（考试时间：90分钟 满分：100分）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．若全集R U =，{}{}5|,2|>=>=x x B x x A ，则=B C A U I _____________．]5,2( 2．已知1>a ，则12-+a a 的最小值为__________．1+22 3．幂函数y =f (x )的图像经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,81，则=)(x f ____________．31-x4. 函数()xx x f 4-=的零点个数为_________．2 5．已知532sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则()απ-cos =______________．35-6．函数()log (3)1a f x x =+-(0 1)a a >≠且，的图像恒过定点A ，则A 点坐标是_(2 1)--，_． 7．已知31cos =α，且παπ32<<，则2sin α= _____．33-8．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f的x 的取值范围是__________．)2,2(- 9．若关于x 的不等式0342≤++ax ax 的解集为空集，则实数a 的取值范围是______． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,010．已知(21)41()log 1a a x a x f x xx -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那 么a 的取值范围__11[,)62__．11. 若不等式012>-+-k kx x 对()2,1∈x 恒成立，则实数k 的取值范围是_______．(2]-∞，12．设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈. 给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则202m -≤≤；④若1l =，则10m -≤≤或1m =.其中正确命题的是__________． ①②③④二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分. 13. 下列命题成立的是（ D ）A ．如果b a >，0c ≠，那么cb c a > B ．如果b a >，那么22b a > C ．如果b a >，d c >，那么c b d a +>+ D ．如果b a >，d c >，那么c b d a ->-14. 原命题“若A ∪B ≠B ，则A ∩B ≠A ”与其逆命题、否命题、逆否命题中， 真命题的个数是（ A ） A ．4个B ．2个C ． 1个D ． 0个15．函数()x bf x x a+=-，[1,)x ∈-+∞是增函数的一个充分非必要条件是 （ C ） A ．1a <且3b > B ．1a >-且1b > C ．2a <-且2b < D ． 1a >且1b >-16.函数()x f 的图像无论经过怎样的平移或沿直线翻折，函数()x f 的图像都不能与函数x y 21log =的图像重合，则函数()x f 可以是 （ D ）A ．xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 B ．()x y 2log 2= C ．()1log 2+=x y D ．122-=x y三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. （本题满分8分）解关于x 的方程：()()()6log 32log 14log 222++=+++x x x ． 解：02082=-+x x 得102-=或x经检验：2=x18．（本题满分10分）设集合A ={}2<-a x x ，B =}1212|{<+-x x x ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围． 解：化简{}22+<<-=a x a x A ，{}32<<-=x x B ，由B A ⊆，得⎩⎨⎧≤+-≥-3222a a ，得10≤≤a ．19．（本题满分10分,第一小题满分4分，第二小题满分6分）设xx a x f 2112)(+-⋅=是R 上的奇函数． (1)求实数a 的值；(2)判定)(x f 在R 上的单调性并加以证明。

2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞递增，下列一定正确的是（ ）A ．2332(0)22f f f --⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】首先根据偶函数在(,0)-∞上递增，得到其在(0,)+∞上递减，将自变量放在同一个单调区间，借助于自变量的大小，得到函数值的大小，从而得到结果 【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞上递增， 所以函数()f x 在(0,)+∞上递减，因为2332022--<<，所以2332(0)(2)(2)f f f -->>，所以A 项不正确；23323221log 4--<<<，所以23323(2)(2)(log 4)f f f -->>，又因为331log log 44=-，所以3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=， 观察B 、C 、D 三项很明显C 项正确， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关根据偶函数在给定区间上的单调性，判断函数值的大小的问题，涉及到的知识点有偶函数图象的对称性，偶函数的定义，根据单调性比较函数值的大小，属于简单题目.2．函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A ．(1)f x + B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -【答案】D【解析】首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ， 则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +， 其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +，该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=， 所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目. 3．设方程3|ln |x x -=的两个根1x 、2x ，则（ ） A ．120x x < B ．121=x xC ．121x x >D ．121x x <【答案】D【解析】作出函数图象，根据图象和对数的运算性质即可求出答案. 【详解】作出函数图象如图所示：若方程3ln xx -=的两根为12,x x ，则1201x x <<<，12123ln ,3ln x x x x --==可得121212ln ln ln ln 330x x x x x x ---=--=->，所以12ln ln 0x x -->，即12ln 0x x <，所以1201x x <<， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关方程的根的大小的判断，涉及到的知识点有对数的运算法则，解决方程根的问题时，可以应用图象的交点来完成，属于简单题目.4．己知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．17,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】根据题意，首先求出函数()y f x =在区间(0,2]上的值域为[0,1]，再根据条件(2)2()f x f x +=，判断当6(4],x ∈时()[0,4]f x ∈，32[0,4]9∈，并求解6(4],x ∈时()f x 的解析式，和32()9f x =时对应的两根中较小根，即可得到m 的取值范围. 【详解】当2(]0,x ∈时，2()(2)(1)1f x x x x =-=--+，可求得()[0,1]f x ∈，且在(0,1]上单调增，在[1,2]上单调减， 根据(2)2()f x f x +=，可知当(2,4]x ∈，()[0,2]f x ∈，当6(4],x ∈，()[0,4]f x ∈，且()f x 在(4,5]上单调增，在[5,6]上单调减， 因为32[0,4]9∈，当6(4],x ∈时，()2(2)4(4)f x f x f x =-=-， (42],0x -∈，2()4(4)4[(5)1]f x f x x =-=--+，令2324[(5)1]9x --+=，解得143x =或163x =， 所以对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，m 的取值范围为14(,]3-∞，故选：B. 【点睛】该题以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求解，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于较难题目，解决该题的关键是利用条件可分析函数的图象，利用数形结合比较好分析.二、填空题5．方程lg(21)lg 1x x +-=的解为_________. 【答案】18x =. 【解析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的差等于商的对数去掉对数符号，求解分式方程得答案. 【详解】因为lg(21)lg 1x x +-=，所以21lglg10x x+=， 所以02102110x x x x⎧⎪>⎪+>⎨⎪+⎪=⎩，解得18x =， 故答案为：18x =. 【点睛】该题考查的是有关对数方程的求解问题，在解题的过程中，注意对数式有意义的条件，对数式的运算法则，属于基础题目.6．函数y =________. 【答案】[0,)+∞【解析】根据指数函数的值域，结合根式有意义的条件，求得函数的值域，得到答案. 【详解】因为1()02x>，所以1()112x->-， 根据根式有意义，有1()102x-≥，所以y =[0,)+∞， 故答案为：[0,)+∞. 【点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，属于基础题目. 7．若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________. 【答案】23x【解析】先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项. 【详解】设幂函数的解析式为y x α=，由于函数图象过点(8,4)，故有48α=，解得23α=， 所以该函数的解析式是23y x =， 故答案为：23x . 【点睛】该题考查的是有关应用待定系数法求幂函数的解析式的问题，属于基础题目. 8．若指数函数x y a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________；【解析】讨论1a >和01a <<两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案. 【详解】当1a >时：函数()xy f x a ==单调递增，()2422,(4)4f a f a a ====∴=；当01a <<时：函数()xy f x a ==单调递减，()2424,(4)2f a f a ====，无解.综上所述：a =【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握. 9．函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；【答案】20)x ≥【解析】利用函数表达式解得)20x y =≥，得到反函数.【详解】())22()424(0)20y f x x x x x x y ==-=--≤∴=≥故函数的反函数为1()20)f x x -=≥故答案为20)x ≥【点睛】本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误.10．若233log 03a a+<+，则实数a 的取值范围是_______.【答案】(0,1)【解析】将0写成1的对数，之后根据函数的单调性整理出关于a 的不等式组，求得结果. 【详解】因为233log 03a a +<+，所以2333log log 13a a+<+，因为函数3log y x =是(0,)+∞上的单调增函数，所以有23013a a+<<+，解得01a <<，所以a 的取值范围是(0,1)， 故答案为：(0,1). 【点睛】该题考查的是有关对数不等式的解法，在解题的过程中，注意结合函数有意义的条件，应用对数函数的单调性，属于简单题目.11．己知函数()f x 定义域为R ，且恒满足()(2)0f x f x +-=，1(1)()f x f x +=-，则函数()f x 的奇偶性为________. 【答案】奇函数 【解析】由1(1)()f x f x +=-，能导出()f x 是周期为2的周期函数，由此能够证明()f x 是奇函数，得到结果. 【详解】 由1(1)()f x f x +=-，得1(2)()(1)f x f x f x +=-=+， 所以()f x 是周期为2的周期函数，所以(2)()f x f x -=-，因为()(2)0f x f x +-=，所以()()0f x f x +-=， 所以()f x 是奇函数， 故答案为：奇函数. 【点睛】该题考查的是有关函数奇偶性的判断问题，在解题的过程中，注意借助于函数的周期性来完成，属于简单题目. 12．函数225xy x x =++单调递增区间为_______.【答案】[【解析】首先判断函数的定义域，得到其图象是不间断的，再讨论当0x ≠时，将函数解析式进行变形得到152y x x=++，再利用5u x x =+的单调区间，结合复合函数的单调性法则，确定出函数225xy x x =++本身的单调增区间，求得结果.【详解】 因为函数225xy x x =++的定义域为R ， 当0x ≠时，152y x x=++， 因为5u x x=+在(,-∞和)+∞上单调递增，在[0)和上单调递减，根据复合函数单调性法则，可知152y x x=++应该在[0)和上单调递增， 而函数225xy x x =++本身在0x =处有意义，且函数图象不间断， 所以函数225xy x x =++的增区间是[，故答案为：[. 【点睛】该题考查的是有关函数单调区间的求解问题，涉及到的知识点有对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于简单题目.13．函数42()21x x xcf x ++=+在定义域上单调递增，则c 的取值范围__________. 【答案】(,1]-∞【解析】首先将函数解析式进行化简，之后令21(1,)xt +=∈+∞，将函数化为1cy t t=+-(1,)t ∈+∞，之后结合复合函数的单调性，求得参数的取值范围.【详解】422(21)()2(21)121212121x x x x x xx x x xc c c c f x ++++===+=++-++++， 令21(1,)xt +=∈+∞，且t 随x 的增大而增大，且当0c ≤时，cy t=在(1,)+∞上是增函数， 所以函数1cy t t=+-在(1,)+∞上是增函数， 所以函数42()21x x x cf x ++=+在定义域上是增函数，当0c >时，函数1cy t t=+-在)+∞上是增函数，1，即1c ≤， 所以c 的取值范围为(,1]-∞， 故答案为：(,1]-∞. 【点睛】该题考查的是有关根据函数的单调性确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有指数型函数的单调性，对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于中档题目. 14．关于x 的方程2282x m x -=+有两个不同解，则m 的取值范围为_________.【答案】1,14⎛⎤⎥⎝⎦【解析】根据式子的意义，将式子转化为2228x m x +=-，将方程有两个不同的解转化为28t m t +=-只有一个正根，画出函数图象求得结果. 【详解】因为220x +>恒成立，所以原式可化为2282x m x -=+，可知280x -≠，所以2228x m x +=-，因为方程有两个不同的解，所以0x =不是方程的根， 令2(0,8)(8,)x t =∈+∞U ， 则方程28t m t +=-只有一个正根， 画出函数28t m t +=-的图象如图所示：可知所求m 的取值范围是：1(,1]4，故答案为：1(,1]4.【点睛】该题考查的是有关根据方程根的情况求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将问题正确转化，注意应用函数图象解决问题，属于简单题目. 15．已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x =+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为__________. 【答案】5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，等价于min max ()()f x g x ≥在区间[1,2]上恒成立，对a 的取值进行分类讨论，利用单调性求出min ()f x 和min ()g x ，列出关于a 的不等式组求得答案.【详解】当0a <时，23()4f x ax =+在区间[1,2]上单调递减，min 3()(2)44f x f a ==+，()ag x x x =+在区间[1,2]上单调递增，min ()1g x a =+， 所以3414a a +≥+，解得112a ≥，因为0a <，所以无解；当0a ≥时，可知min 3()(1)4f x f a ==+，当01a ≤≤时，()ag x x x =+在区间[1,2]上单调递增，其最小值为(1)1g a =+，所以有01314a a a ≤≤⎧⎪⎨+≥+⎪⎩，无解， 当14a <<时，()ag x x x=+在区间上单调减，在4]上单调增，其最小值为g =，所以有1434a a <≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩542a ≤≤， 所以a 的取值范围是5[,4]2， 故答案为：5[,4]2. 【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有根据题意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.16．已知函数()||1||3|1|f x x x =----，若()246(4)f a a f a +=，则实数a 的取值范围为_______.【答案】3313,4424⎡---+⎧⎫⎡⎫⋃⋃+∞⎨⎬⎢⎪⎢⎩⎭⎣⎭⎣⎦. 【解析】首先利用分类讨论将函数解析式进行化简，从而分析判断要使2(46)(4)f a a f a +=，会出现哪些情况，列出对应的式子求解即可.【详解】因为131,1()131131,13131,3x x x f x x x x x x x x x ⎧-+--<⎪=----=-+--≤<⎨⎪--+-≥⎩，即3,1()25,131,3x f x x x x ≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，画出函数图象如图所示：可以看到(2)(3)1f f ==，要使2(46)(4)f a a f a +=，则有以下几种情况： ①246141a a a ⎧+≤⎨≤⎩313313x ---+≤≤； ②22146 2.514 2.5464a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解；③222.54632.543464a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解.④2214631434645a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪++=⎩，无解；⑤246343a a a ⎧+≥⎨≥⎩，解得34a ≥， ⑥246243a a a ⎧+=⎨≥⎩，无解；⑦246342a a a ⎧+≥⎨=⎩，解得12a =； 所以a 的取值范围为31331313[,[,)4424--⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭U U ， 故答案为：31331313[][,)24---+⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭U U .【点睛】该题考查的是有关根据函数值相等，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有含有绝对值的式子的化简，函数值相等的条件，属于中档题目.三、解答题17．已知函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()lg 2f x x x x =--.（1）若()f x 是偶函数，求0x <时()f x 的解析式；（2）若()f x 是奇函数，求x ∈R 时()f x 的解析式.【答案】（1）2()lg(2)f x x x x =+--；（2）22lg(2),(0)()0,(0)lg(2),(0)x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩【解析】（1）当0x <时，0x ->，代入函数解析式，根据偶函数的定义，求得相应区间上的()f x 的解析式；（2）当0x <时，0x ->，代入函数解析式，根据奇函数的定义，求得相应区间上的()f x 的解析式，再利用(0)0f =，进而求得()f x 在R 上的解析式.【详解】（1）因为()f x 为偶函数，当0x <时，0x ->，则22()()()lg 2()lg(2)()f x x x x x x x f x -=-----=+--=，所以当0x <时，2()lg(2)f x x x x =+--；（2）因为()f x 为奇函数，当0x <时，0x ->， 22()()()lg 2()lg(2)()f x x x x x x x f x -=-----=+--=-，所以2()lg(2)f x x x x =--+-，且(0)0f =， 所以22lg(2),(0)()0,(0)lg(2),(0)x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩. 【点睛】该题考查的是有关根据函数在某一区间上的解析式，结合函数奇偶性的定义，求得函数的解析式，属于简单题目.18．设关于x 的方程1936(5)0x x k k k +-+-=.（1）若常数3k =，求此方程的解；（2）若该方程在[0,2]内有解，求k 的取值范围.【答案】（1）3log 4x =；（2）182k ≤≤. 【解析】（1）将3k =代入方程，得到3993120x x ⋅-⋅-=，将其整理得到(31)(34)0x x +-=，集合指数函数的值域，得到34x =，从而得到3log 4x =，求得结果；（2）将式子1936(5)0x x k k k +-+-=整理得出309336x x k =-⋅+，令3,[0,2]x t x =∈，则[1,9]t ∈，借助于二次函数在某个区间上的值域求得最后的结果.【详解】（1）当3k =时，方程1936(5)0x x k k k +-+-=即为3993120x x ⋅-⋅-=，化简得93340x x -⋅-=，即(31)(34)0x x +-=，解得31x =-（舍去）或34x =，所以3log 4x =，所以，此方程的解为3log 4x =，（2）由1936(5)0x x k k k +-+-=可得1(936)30x k k +-+=， 所以309336x x k =-⋅+， 令3,[0,2]x t x =∈，则[1,9]t ∈， 所以22315933636()24x x t t t -⋅+=-+=-+， 由[1,9]t ∈可得当32t =时，2315()24t -+最小值为154， 当9t =时，2315()24t -+的最大值为60， 所以130303015609364x x +≤≤-+，即182k ≤≤， 所以k 的取值范围是1[,8]2. 【点睛】该题考查的是有关求方程的解或者方程在某个区间上有解求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意换元思想的应用，以及二次函数在某个区间上的值域的求解方法，属于中档题目.19．某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入x 列列车.（1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于x 的函数解析式；（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列列车运行？（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？【答案】（1）()*9060,117,18t t x x N x x==≤≤∈-外内；（2）内环线11列列车，外环线7列列车；（3）内环线10列列车，外环线8列列车..【解析】（1）根据题意，结合最长候车时间等于两列列车对应的时间差，列车式子得出结果，注意自变量的取值范围；（2）根据题意，列出对应的不等关系式，求解即可，在解的过程中，注意自变量的取值范围；（3）根据题意，列出式子，结合对勾函数的单调性，求得函数的变化趋势，最后求得取最值时x 的值.【详解】（1）根据题意可知，内环投入x 辆列车，则外环投入(18)x -辆列车， 从而可得内环线乘客的最长候车时间为30906020t x x =⨯=内分钟， 外环线乘客的最长候车时间为30606030(18)18t x x=⨯=--外分钟， 根据实际意义，可知117,x x N *≤≤∈， 所以90t x =内，6018t x=-外(117,)x x N *≤≤∈； （2）由题意可得9060=118t t x x --≤-内外， 整理得221321620016816200x x x x ⎧+-≤⎨-+≤⎩所以16813222x --+≤≤ 因为x N *∈，所以11x =，所以当内环线投入11列列车运行，外环线投入7列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟；（3）令29060162030()+=1818x u x t t x x x x-=+=--内外 2230(54)30(54)18(54)90(54)3654x x x x x x --==--+-+⨯ 303036543654(54)9090[(54)]5454x x x x==⨯⨯-++--+--可以确定函数在[1,54-上单调递减，在[54-上单调递增， 结合x N *∈的条件，可知当10x =时取得最小值，所以内环线10列列车，外环线8列列车时，内、外环线乘客的最长候车时间之和最小.【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有建立函数模型，求解不等式，求函数的最小值，属于较难题目.20．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+.（1）判断函数()f x kx =（k 为常数）是否属于集合M ；（2）若2()ln 1a f x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【答案】（1）属于；（2）[15a ∈-+；（3）证明见解析【解析】（1）利用()f x kx =时，方程(2)()(2)f t f t f +=+，此方程恒成立，说明函数()f x kx =（k 为常数）属于集合M ；（2）由2()ln1a f x x =+属于集合M ，推出22ln ln ln (2)115a a a x x =++++有实数解，即方程2(5)4550a x ax a -++-=有实数解，分5a =和5a ≠两种情况，得到结果；（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+有解，令()3244x g x bx =⋅+-，则()g x 在R 上的图象是连续的，当0b ≥时，当0b <时，判定函数是否有零点，证明对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【详解】（1）当()f x kx =时，方程(2)()(2)f t f t f +=+(2)2k t kt k ⇔+=+， 此方程恒成立，所以函数()f x kx =（k 为常数）属于集合M ；（2）由2()ln 1a f x x =+属于集合M ， 可得方程22ln ln ln (2)115a a a x x =++++有实数解， 即222455(1)a a x x x =+++，整理得方程2(5)4550a x ax a -++-=有实数解， 当5a =时，方程有实根14-， 当5a ≠时，有2164(5)(55)0a a a ∆=---≥，解得155a -≤<或515a <≤+综上，实数a 的取值范围为[15a ∈-+；（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+有解，等价于2222(2)244x x b x bx b +++=+++有解，整理得32440x bx ⋅+-=有解，令()3244xg x bx =⋅+-，则()g x 在R 上的图象是连续的， 当0b ≥时，(0)10,(1)420g g b =-<=+>，故()g x 在(0,1)上有一个零点，当0b <时，11(0)10,()320b g g b=-<=⋅>， 故()g x 在1(,0)b上至少有一个零点，故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解，所以对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有新定义，方程有解转化为函数有零点，分类讨论思想，属于难题.21．对于函数3()3||1f x x x c =--+.（1）当0,()c f x =向下和向左各平移一个单位，得到函数()g x ，求函数()g x 的零点；（2）对于常数c ，讨论函数()f x 的单调性；（3）当0c =，若对于函数()f x 满足()()f x a f x +>恒成立，求实数a 取值范围.【答案】（1）1x =或1x =-；（2）当1c ≥，单调递增；当11c -≤<，在(,]c -∞上递增，[,1]c 上递减，[1,)+∞上递增；当1c <-，在(,1]-∞-递增，[1,1]-递减，[1,)+∞递增；（3）a >【解析】（1）将0c =，求得3()3||1f x x x =-+，利用图象变换原则求得3()(1)31g x x x =+-+，分类讨论去掉绝对值符号，求得函数的零点；（2）将函数解析式中的绝对值符号去掉，得到分段函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性；（3）化简函数解析式，将不等式转化，找出不等式恒成立的关键条件，得到结果.【详解】（1）因为0c =，所以3()3||1f x x x =-+， 根据题意，可得3()(1)31g x x x =+-+，令()0g x =，即3(1)310x x +-+=，当10x +≥时，原式化为2(1)(22)0x x x ++-=，解得1x =-或1x =，当10x +<时，原式化为2(1)(24)0x x x +++=，无解，所以函数()g x 的零点为1x =-或1x =-； （2）333331,()31331,x x c x c f x x x c x x c x c⎧-++≥=--+=⎨+-+<⎩，当x c ≥时，3()331f x x x c =-++， 2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-，当x c <时，3()331f x x x c =+-+， 2'()33f x x =+，所以当1c ≥时，'()0f x ≥恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，当11c -≤<时，令'()0f x ≥，解得x c ≤或1x ≥，所以()f x 在(,]c -∞和[1,)+∞上单调递增，令'()0f x <，解得1c x ≤≤，所以所以()f x 在[,1]c 上单调递减。

1金山中学2019学年度第一期高一年级数学期末考试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1—6题每空填对得4分，7—12题每空填对得5分，否则一律得0分。

1. 函数2()1x f x x +=-的定义域为 2. 已知集合{}2*A=x 30,x x x N -<∈，用列举法表示集合A =3. 已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为4. 函数2019y 2020(0,1)x a a a +=+>≠的图像恒过定点5. 方程x 4260x --=的解为6. 幂函数y ()f x =的图像经过点142⎛⎫⎪⎝⎭，，则1()16f 的值为7. 若集合{}2A=10x ax ax -+==∅，则实数a 的取值范围是8. 已知函数()f x 的对应关系如下表：x-2 -1 0 1 2()f x3 2 -1 5 m若函数()f x 不存在反函数，则实数的取值集合为29. 已知定义在R 上的奇函数()f x 在(),0-∞为减函数，且(2)0f =，则不等式()0x f x ≤g 的解集为10. 已知函数2()2,()61f x x a g x x x =+=-+，对于任意的[]11,1x ∈-都能找到[]21,1x ∈-使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围是11. 已知函数1,0()42,0xx x x f x x --⎧+>=⎨-≤⎩，若函数y (43)f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是12. 将函数11y 12122x =-+-+的图像绕顺时针方向旋转角02πθθ≤≤（），得到曲线C 。

若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则θ的取值范围是二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分。

13. 下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A. 02y y y x==与 B .y 1x xx=±与y=B. 21y x x y x x +=+与D .331(1)y x y t =+=+与14. 设a 、b 均为非零实数，则“b 1a <”是“a 1b >”的什么条件？（ ）A. 必要不充分 B .充分不必要3B. 充要条件 D .既不充分也不必要条件15. 下图中，哪个最有可能是函数2x xy =的图像（ ）16. 设函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[]a,b D ⊆，使得函数()f x 满足：①()f x 在[]a,b上是单调函数；②()f x 在[]a,b 上的值域是[]2a,2b ，则称区间[]a,b是函数()f x 的“和谐区间”。

2019-2020学年上海市金山中学高一上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为菱形的是（ ） A.BAC DCA ∠=∠ B.BAC DAC ∠=∠ C.BAC ABD ∠=∠ D.BAC ADB ∠=∠【答案】B【解析】根据菱形的定义得出答案即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∴∠DAC ＝∠ACB ，∵∠BAC ＝∠DAC ，（选项B ） ∴∠BAC ＝∠ACB ， ∴AB ＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）， 其余选项ACD 均不能推出四边形ABCD 是菱形， 故选：B ． 【点睛】本题考查菱形的判定方法，有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．2．下列四个函数图象中，当0x <时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数值y 随自变量x 的增大而减小，说明图像从左到右看，图像在下降，观察选项即可得出结果。

【详解】因为0x <，所以只用观察y 轴左边的图像，函数值y 随自变量x 的增大而减小，说明图像从左到右看，图像一直在下降，观察选项，只有D 符合， 故选：D 【点睛】本题考查识图能力，是基础题。

3．如图，ABC △中，2AB AC ==，BC =，D 点是ABC △所在平面上的一个动点，且60BDC ∠=︒，则DBC △面积的最大值是（ ）A. B.3D.【答案】A【解析】因为2AB AC ==，BC =∠BAC ＝120°，以A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，与HA 的延长线相交于点D ，因为∠BDC ＝60°，所以点D 在⊙O 上运动，当D 运动到如图的位置时，△DBC 面积最大，根据三角形面积公式即可得出△DBC 面积的最大值． 【详解】解：如图，作AH ⊥BC 于H ，∵AB ＝AC ＝2，BC =12BH BC ∴==，1AH ∴==， 1sin 2AH ABC AB ∴∠==， 30,120ABC ACB BAC ︒︒∴∠=∠=∠=，以A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，延长HA 交⊙A 于点D ， ∵∠BDC ＝60°，∴点D 在⊙O 上运动，当D 运动到如图的位置时，以BC 为底边时，高最大，则此时△DBC 面积的最大值，最大值为：132⨯= 故选：A ． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理．解题的关键是要观察点D 在⊙A 上运动时，△DBC 的高的大小变化情况．二、填空题 4．函数32y x =-的定义域是______ 【答案】{|2}x R x ∈≠【解析】利用分母不为0，列不等式求解。

上海市金山中学2021-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是（ ）A ．sin y x =B ．cos 2y x =C ．sin 2y x =D ． cos y x = 【答案】D. 【解析】试题分析：依照函数sin y x =和sin 2y x =都是奇函数，故排除A ，C ；由于函数cos 2y x =是偶函数，周期为π，在)2,0(π上是减函数，在),2(ππ上是增函数，故不知足题意条件，即B 不正确；由于函数cos y x =是偶函数，周期为π2，且在),0(π上是减函数，故知足题意，应选D. 考点：余弦函数的奇偶性；余弦函数的单调性.2．设)(21312111)(*N n n n n n n f ∈+++++++= ，那么=-+)()1(n f n f （ ） A ．121+n B ．221121+-+n n C ．221+n D ．221121+++n n 【答案】B. 【解析】 试题分析：观看题意所给的递推式特点可知：)1()1(1)1(1)1()1(13)1(12)1(11)1(1)1(+++++++-++++++++++++=+n n n n n n n n n n f ，因此22112111)1()1(1)1(1)()1(+-+=+-++++++=-+n n n n n n n n f n f ，应选B.考点：数列的递推公式.3．如下图，为了测量某湖泊双侧A B ,间的距离，李宁同窗第一选定了与A B ,不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：（ABC ∆的角,,A B C 所对的边别离记为,,a b c ）： ① 测量,,A C b ② 测量,,a b C ③测量,,A B a那么必然能确信A B ,间距离的所有方案的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】A. 【解析】试题分析：依照图形可知，b a ,能够测得，角C B A ,,也能够测得，利用测量的数据，求解B A ,两点间的距离唯一即可.关于①③能够利用正弦定理确信唯一的B A ,两点间的距离；关于②直接利用余弦定理即可确信B A ,两点间的距离，应选A. 考点：解三角形的实际应用.4．无穷等差数列}{n a 的各项均为整数，首项为1a 、公差为d ，n S 是其前n 项和，3、21、15是其中的三项，给出以下命题：①对任意知足条件的d ，存在1a ，使得99必然是数列}{n a 中的一项； ②对任意知足条件的d ，存在1a ，使得30必然是数列}{n a 中的一项； ③存在知足条件的数列}{n a ，使得对任意的*N n ∈，n n S S 42=成立。