【沪科版】九年级数学上册：第23章-解直角三角形教案全集23.2 第4课时 坡度问题1

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第4课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容，主要介绍了解直角三角形的知识和方法，以及如何应用这些知识解决实际问题。

本节课的内容是学生在学习了锐角三角函数和直角三角形的性质的基础上进行的，是初中的重要内容，也是中考的热点。

教材通过例题和练习题的形式，让学生掌握解直角三角形的方法，并能够应用到实际问题中。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数和直角三角形的性质，对解三角形的概念和基本方法有一定的了解。

但是，解直角三角形的应用能力和解决实际问题的能力还有待提高。

因此，在教学过程中，教师需要通过引导和操练，让学生熟练掌握解直角三角形的方法，并能够灵活应用到实际问题中。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握解直角三角形的方法，并能够应用这些方法解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过小组合作和讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和积极的学习态度。

四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的方法和应用。

2.难点：解直角三角形在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问和引导，激发学生的思考，让学生主动探索解直角三角形的方法。

2.操练法：教师通过设计不同难度的练习题，让学生反复操练解直角三角形的方法，提高解题能力。

3.小组合作法：教师学生进行小组合作和讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2.学具：练习本、直尺、圆规。

3.教学资源：教材、教学参考书、练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问和复习锐角三角函数和直角三角形的性质，引导学生思考如何解直角三角形。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示教材中的例题，讲解解直角三角形的方法，并引导学生思考如何应用这些方法解决实际问题。

沪科版九年级数学上册第23章《解直角三角形》教学设计一. 教材分析《解直角三角形》是沪科版九年级数学上册第23章的内容，主要介绍了解直角三角形的知识和方法。

本章内容在初中数学中占有重要地位，是为后续学习平面几何和高中的三角学做铺垫。

通过本章的学习，学生能够掌握直角三角形的性质，学会使用勾股定理和三角函数解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对图形的性质和运算有一定的了解。

但是，对于解直角三角形的理解和应用，部分学生可能会感到困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和辅导。

三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理和三角函数的定义。

2.学会使用勾股定理和三角函数解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.勾股定理的理解和应用。

2.三角函数的定义和应用。

3.解决实际问题时的计算和推理。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索和解决问题。

2.使用多媒体辅助教学，直观展示直角三角形的性质和应用。

3.注重实践操作，让学生通过动手操作和实际计算，加深对知识的理解。

4.采用分组合作和讨论的方式，培养学生的团队合作能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.直角三角形的模型或图片。

3.练习题和实际问题案例。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示直角三角形的图片，引导学生回顾已学的平面几何知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）介绍直角三角形的性质，引导学生学习勾股定理和三角函数的定义。

通过示例和讲解，让学生理解并掌握这些知识。

3.操练（15分钟）让学生分组合作，利用直角三角形的模型或图片，进行实际操作，验证勾股定理和三角函数的性质。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。

题目包括简单的基本计算、应用题等。

教师选取部分题目进行讲解和分析，帮助学生巩固所学知识。

教学设计5.课堂小结6.作业布置通过本节课的学习，我们有哪些收获？P125 1.(1)(3)P125 2.(2)(4)教师提问，补充收获教师布置作业学生回答学生课后完成通过小结，使学生梳理本节课所学内容。

巩固本节课的内容。

板书设计23.2解直角三角形及其应用第一课时解直角三角形定义：例1 例2教学反思本节课的重点是解直角三角形，为了使学生熟练掌握直角三角形的解法,首先要明白解直角三角形的定义，直角三角形三边的关系，两锐角的关系，边角之间的关系。

这些是解直角三角形的依据，是正确、迅速的解决直角三角形的关键。

解直角三角形的方法灵活多样，但是正确选用这些关系，才是迅速解决直角三角形问题的关键，因此虽然部分学生通过自学以后完全可以解决，但例题具有示范作用，是教学中必不可少的一个环节。

因此，在讲解例1时，我设置某一步留空，让学生自己做。

使学生明白方法不止一种，而且让学生知道如何选择简便的方法。

这样既提高了学生的参与程度，也训练了学生解决分析问题的能力。

通过本节课的教学，我认为数学课堂应该给予学生充足的自主探索时间与空间。

应该让学生在积极愉快的环境中汲取知识、探索知识，而培养学生的解决问题的能力。

同时，应该合理有效的使用多媒体技术，激发学生的学习兴趣，丰富教学内容，从而扩大师生交流，提高课堂学习效率。

从教学效果来看，我认为整节课的教学基本上达到了预期的教学目标，是对新课标下的数学课堂的又一次积极的探索与尝试。

也存在一些需要自己深刻反思和改进的地方。

在今后的教学中，我将会更多地关注学生的发展与提升，努力改善和提高自己的教学水平，为教育事业作出应有的贡献,争取取得更好的成绩。

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计4一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。

本节主要让学生掌握直角三角形的性质，学会用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。

教材通过引入直角三角形的边长关系和三角函数的概念，使学生能够更好地理解直角三角形的应用价值。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，对三角形有了一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学的知识。

因此，在教学过程中，需要注重培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理和锐角三角函数的概念。

2.学会用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.直角三角形的性质2.勾股定理的应用3.锐角三角函数的定义和应用五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究直角三角形的性质。

2.利用几何画板软件，直观展示直角三角形的边长关系。

3.采用案例分析法，让学生学会用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。

4.小组讨论，培养学生的合作能力和交流能力。

六. 教学准备1.教学课件2.几何画板软件3.相关案例资料4.小组讨论问题七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板软件展示直角三角形的边长关系，引导学生思考直角三角形的特殊性。

2.呈现（10分钟）介绍直角三角形的性质，讲解勾股定理和锐角三角函数的概念。

3.操练（10分钟）让学生利用勾股定理和锐角三角函数计算直角三角形的边长，解决实际问题。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）小组讨论，让学生运用所学知识解决实际问题，如测量高度、角度等。

6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调直角三角形性质、勾股定理和锐角三角函数的应用。

7.家庭作业（5分钟）布置一些有关直角三角形的练习题，巩固所学知识。

沪科版数学九年级上册第23章《解直角三角形》复习教学设计一. 教材分析《解直角三角形》是沪科版数学九年级上册第23章的内容，本节内容是在学生学习了锐角三角函数、直角三角形的性质等知识的基础上进行讲解的。

本节课的主要内容有：了解解直角三角形的意义，学会用锐角三角函数解直角三角形的方法，以及直角三角形的应用。

本节课的内容在实际生活中应用广泛，例如在测量、建筑、工程等领域都有广泛的应用。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数、直角三角形的性质等知识，具备了一定的数学基础。

但是，对于如何运用锐角三角函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解解直角三角形的意义，掌握用锐角三角函数解直角三角形的方法，能运用所学知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等方法，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在实际生活中的应用价值。

四. 教学重难点1.重点：了解解直角三角形的意义，学会用锐角三角函数解直角三角形的方法。

2.难点：如何将所学知识应用于实际问题，求解未知边和角度。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入课题，激发学生的学习兴趣。

2.自主学习法：引导学生独立思考，自主探究，培养学生的学习能力。

3.合作交流法：学生进行小组讨论，分享学习心得，提高学生的团队合作意识。

4.实践操作法：让学生亲自动手操作，提高学生的动手能力。

六. 教学准备1.准备相关的生活实例，用于引入课题。

2.准备PPT课件，用于辅助教学。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例引入课题，例如测量旗杆的高度、计算建筑物的高度等，让学生了解解直角三角形的意义。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT课件，讲解解直角三角形的方法，引导学生掌握用锐角三角函数解直角三角形的方法。

第23章解直角三角形主题解直角三角形课型新授课上课时间教学内容23.1 锐角的三角函数;23.2 解直角三角形及其应用教材分析锐角三角函数刻画了直角三角形中边角之间的关系,它的直接应用是解直角三角形,而解直角三角形在现实生活中有着广泛的应用.锐角三角函数又是高中阶段学习任意角三角函数的基础,也是整个三角学的基础.因此,本章内容也是初中阶段数学学习的重点内容之一.教学目标1.知识与技能(1)经历由情境引出问题,探索掌握有关的数学知识内容,再运用于实践的过程,培养学数学、用数学的意识与能力.(2)通过实例认识直角三角形的边角关系,即锐角三角函数;知道30°,45°,60°角的三角函数值;会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的角.(3)运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题.(4)能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题.2.过程与方法培养学生把实际问题转化为数学问题并进行解决的能力,进而提高学生形象思维能力;渗透转化的思想.3.情感、态度与价值观培养学生理论联系实际,敢于实践,勇于探索的精神.教学重难点重点:1.让学生了解三角函数的意义,熟记特殊角的三角函数值,并会用锐角三角函数解决有关问题.2.正确选择边与角的关系以简便的解法解直角三角形.难点:把实际问题转化为数学问题.知识结构解直角三角形课题23.1 锐角的三角函数课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)初步了解角度与数值的一一对应的函数关系.(2)会求直角三角形中某个锐角的正切值.(3)了解坡度的有关概念.2.过程与方法让学生经历操作、观察、思考、求解等过程,感受数形结合的数学思想方法,培养学生理性思维习惯,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.3.情感、态度与价值观通过探究活动激发学生学习的积极性和主动性,引导学生自主探索,合作交流,培养学生的创新意识.教学重难点重点:(1)从现实情境中探索直角三角形的边角关系.(2)理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系.难点:锐角三角函数的概念的理解.二次设计课堂导入如图,有两个直角三角形,直角边AC与A1C1表示水平面,斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面,坡面AB和A1B1哪个更陡呢?你是怎样判断的?答:坡面A1B1更陡,沿坡面A1B1水平移动上升垂直高度更大.探索新知自学指导阅读教材P112~114的内容合作探究学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一正切的定义1.探究:(1)Rt△AB1C1和Rt △AB2C2有什么关系?(2)和有什么关系?(3)如果改变B2C2的位置(如B3C3),和有什么关系?(4)由此你得出什么结论?2.什么是锐角的正切?续表探索新知合作探究【例1】如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tan C吗?解:因为△ABC是等腰直角三角形,BD⊥AC,所以CD=1.5,所以tan C===1.知识模块二坡度与坡角什么叫坡度?如何表示?坡度与坡角关系是怎样的?【例2】若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10米,则他所在的位置比原来的位置升高了 6 米.解析:i=tan B==,设AC=3x,BC=4x,由勾股定理求得x=2,所以AC=6,即升高6米.教师指导1.易错点:正切以及坡度的概念.2.归纳小结:(1)如图,在Rt△ABC中,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作:tan A=.(2)如图,正切经常用来描述坡面的坡度,坡面的高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即:i=(坡度通常写成h∶l的形式).坡面与水平面的夹角叫做坡角.记作α,即i==tan α.1.如图,P是∠α的边OA上一点,点P的坐标为(12,5),则tan α等于( )当堂训练(A)(B)(C)(D)2.如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶,堤坝高BC=50 m,则迎水坡面AB的长度是( )(A)100 m (B)100 m (C)150 m (D)50 m3.已知如图:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,∠ACD=α,AC=1,BC=3,则tan α= .第1题图第2题图第3题图板书设计第1课时正切和坡度、坡角知识模块一正切的定义知识模块二坡度与坡角教学反思课题23.1 锐角的三角函数课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能理解锐角三角函数中的正弦、余弦的概念,并能够举例说明.2.过程与方法经历探索正弦、余弦概念的过程,掌握运用sin A、cos A表示直角边的比.3.情感、态度与价值观培养良好的数形结合的能力,体会三角函数在现实生活中的应用价值.教学重难点重点:理解正弦、余弦的概念.难点:怎样运用已学过的正切以及正余弦概念解决实际问题.教学活动设计二次设计课堂导入1.什么叫锐角的正切?什么叫坡度?如何表示?答:在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度,记作:i,即i=.2.如图,∠A=30°,B1C1⊥AC,BC⊥AC,则,值是什么?答:==.探索新知合作探究自学指导阅读教材P115的内容学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一正弦和余弦的定义1.如图,(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?(2)和有什么关系?(3)如果改变B1C1所在的位置(如B2C2),和有什么关系?(4)由此你得出什么结论?2.什么叫∠A的正弦,什么叫∠A的余弦?知识模块二锐角的三角函数1.什么叫锐角的三角函数?2.教材第115页例2、例3学习续表探索新知合作探究教师指导1.易错点:锐角的三角函数概念.2.归纳小结:在直角三角形中,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sin A,即:sin A=.类似地在直角三角形中,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cos A,即:cosA=.锐角的正切、正弦、余弦都叫做锐角A的三角函数.当堂训练1.△ABC中,∠C=90°,AB=8,cos A=,则AC的长是.2.已知A为锐角,tan A=,则sin A= ,cos A= .3.如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,设∠ADE=α,且cos α=,AB=4,则AD的长为.板书设计第2课时正弦和余弦知识模块一正弦和余弦的定义知识模块二锐角的三角函数教学反思课题23.1 锐角的三角函数课时第3课时上课时间教学目标1.知识与技能能够进行含有30°,45°,60°角的三角函数值的计算;能根据30°,45°,60°角的三角函数值,说出相应的锐角大小,掌握互余两角正弦余弦之间的关系.2.过程与方法经历探索30°,45°,60°角的三角函数值、互余两角正弦余弦之间的关系的过程,掌握其应用方法.发展学生观察、分析、发现的能力.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.3.情感、态度与价值观培养良好的数形结合的能力,体会锐角三角函数的应用价值.教学重难点重点:能够进行含30°,45°,60°角的三角函数值的计算;运用互余两角正弦余弦之间的关系解决问题.难点:进一步体会三角函数的意义.教学活动设计二次设计课堂导入如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)sin A= ,cos A= ,tan A= , sin B= ,cos B= ,tan B= . (2)若∠A=30°,则= .探索新知合作探究自学指导阅读教材P117~119的内容学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究1.如何得出30°,45°,60°角的三角函数值?2.教材第117页例4学习阅读教材P119的内容,回答以下问题:正弦和余弦的关系是怎样的?如何推导?3.教材第119页例5学习教师指导1.易错点:30°、45°、60°角的三角函数值的计算.2.归纳小结:(1)特殊角三角函数值;三角函数αsin αcos αtan α30°45°1 60°续表探索新知合作探究(2)互余两角的正弦余弦的关系任意一个锐角的正(余)弦值,等于它的余角的余(正)弦值.3.方法规律:熟记30°,45°,60°角的三角函数值是解决问题的关键.当堂训练1.已知α为锐角,tan(90°-α)=,则α的度数为.2.计算:(1)+= .(2)= .3.已知α,β为锐角,且sin(90°-α)=,sin β=,求的值.板书设计第3课时特殊角的三角函数值1.30°,45°,60°角的三角函数值2.例43.例5教学反思课题23.1 锐角的三角函数课时第4课时上课时间教学目标1.知识与技能会用计算器求一些锐角的三角函数值,运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角形问题.2.过程与方法运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角形,发展学生观察、分析、发现的能力.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.3.情感、态度与价值观培养良好的数形结合的能力,体会锐角三角函数的应用价值.教学重难点重点:会用计算器求一些锐角的三角函数值.难点:会用计算器求一些锐角的三角函数值.教学活动设计二次设计课堂导入1.填写下表三角函数αsin αcos αtan α30°45°160°2.我们学习了特殊锐角(30°,45°,60°)的三角函数值,那么你知道15°,55°等一般锐角的三角函数值吗?本节课就将学习它们的求法.探索新知合作探究自学指导阅读教材P120~121的内容学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一一般锐角的三角函数值的求法1.任作一直角三角形ABC,如图,用量角器量出∠A的角度,再用计算器求出它的正弦,量出并计算的值,你有什么发现?2.如何利用计算器求一般锐角三角函数值,举例说明.观察手中计算器的各种按键,了解它们的功能.例1:求sin 40°的值.(精确到0.000 1)解:按键顺序显示sin40=0.642 787 609所以sin 40°≈0.642 8.例2:求sin 63°52'41″的值.(精确到0.000 1)解:按下列顺序依次按键:sin63° ' ″52° ' ″41° ' ″=显示结果为0.897 859 012.所以sin 63°52'41″≈0.897 9.续表探索新知合作探究知识模块二利用三角函数值求角例3:已知锐角α的三角函数值,求锐角α的值:(1)sin α=0.632 5;(2)cos α=0.389 4;(3)tanα=3.5492.解:(1)依次按键2nd Fsin-1,然后输入函数值0.632 5,得到结果α=39.234 809 79°;(2)依次按键2nd Fcos-1,然后输入函数值0.389 4,得到结果α=67.082 829 2°;(3)依次按键2nd Ftan-1,然后输入函数值3.549 2,得到结果α=74.264 624 79°.教师指导1.易错点:计算器的各种按键.2.归纳小结:(1)计算器求一般锐角三角函数值,要先将角度单位状态设定为“度”.(2)利用三角函数值求角:依次按键2nd Fsin-1,然后输入函数值,得到结果.当堂训练1.cos 34°35'的值是.2.已知sin A=0.508 6,求锐角A的按键顺序是2nd F sin-10 . 5 0 8 6 =,结果是.3.菱形的周长为80,一条对角线长为15,求另一条对角线长和内角的度数(边精确到0.1,角精确到1°).板书设计第4课时一般锐角的三角函数值知识模块一一般锐角的三角函数值的求法知识模块二利用三角函数值求角教学反思课题23.2 解直角三角形及其应用课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.2.过程与方法通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.3.情感、态度与价值观渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.教学重难点重点:直角三角形的解法.难点:三角函数在解直角三角形中的灵活运用.教学活动设计二次设计课堂导入直角三角形ABC中,∠C=90°,a,b,c,∠A,∠B这五个元素间有哪些等量关系呢?(1)边角之间关系sin A=,cos A=,tan A=;(2)三边之间关系a2+b2=c2(勾股定理);(3)锐角之间的关系∠A+∠B=90°.探索新知合作探究自学指导阅读教材P124~125的内容学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一解直角三角形类型与解法1.什么叫解直角三角形?2.解直角三角形有哪些类型?试填写下表理解.在Rt△ABC中,∠C=90°已知选择的边角关系解题思路斜边和一直角边c,a两直角边a,b斜边和一锐角c,∠A一直角边和一锐角a,∠A课本例1学习知识模块二通过构造作图解直角三角形课本例2学习教师指导1.易错点:解直角三角形用到的边角关系.2.归纳小结:(1)在直角三角形中,除直角外,由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形.续表探索新知合作探究(2)解直角三角形类型在Rt△ABC中,∠C=90°已知选择的边角关系解题思路斜边和一直角边c,a由sin A=,求∠A;∠B=90°-∠A,b=两直角边a,b由tan A=,求∠A,∠B=90°-∠A,c=斜边和一锐角c,∠A∠B=90°-∠A;a=csin A,b=c·cos A 一直角边和一锐角a,∠A∠B=90°-∠A;b=;c=3.方法规律:三角形不是直角三角形时,要用解直角三角形的知识,需构造出直角三角形.当堂训练1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=,c=2,则∠A= ,b= .2.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=30°,∠C=60°,AD=4,AB=3,则下底BC的长为.3.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2,求AB的长.第2题图第3题图板书设计第1课时解直角三角形知识模块一解直角三角形类型与解法知识模块二通过构造作图解直角三角形教学反思课题23.2 解直角三角形及其应用课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能掌握仰角,俯角,方位角的概念.2.过程与方法会利用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题.3.情感、态度与价值观培养自主探索精神,提高合作交流和解决实际问题的能力.教学重难点重点:仰角、俯角、方位角,坡角和坡度的概念及运用.难点:转化思想在实际问题中的应用.教学活动设计二次设计课堂导入1.什么是解直角三角形?答:在直角三角形中,除直角外,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形.2.在下列所给的直角三角形中,不能求出解的是( B )(A)已知一直角边和所对的锐角 (B)已知一直角和斜边(C)已知两直角边 (D)已知斜边和一锐角探索新知合作自学指导阅读教材P126~127的内容探究学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一仰角、俯角、方位角的定义1.什么是仰角和俯角?2.什么是方位角?知识模块二仰角、俯角、方位角的应用1.课本例3学习2.课本例4学习3.课本例5学习教师指导1.易错点:利用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题.2.归纳小结:(1)什么是仰角和俯角?答:当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角.(2)什么是方位角?方位角:正北或正南方向与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫方位角.如图中的目标方向线OA,OB,OC,OD的方向角分别表示北偏东60°, 南偏东45°(或东南方向), 南偏西80°及北偏西30°.3.方法规律:测量底部可以到达的物体的高度“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离.续表探索新知合作探究要测旗杆MN的高度,可按下列步骤进行:(如图)1.在测点A处安置测倾器(即测角仪),测得M的仰角∠MCE=α.2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=1.3.量出测倾器(即测角仪)的高度AC=a.根据测量数据,就能求出物体MN的高度.测量底部不可以到达的物体的高度.所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.例如测量一个山峰的高度.可按下面的步骤进行(如图所示):1.在测点A处安置测角仪,测得此时物体MN的顶端M的仰角∠MCE=α.2.在测点A与物体之间的B处安置测角仪(A,B与N都在同一条直线上),此时测得M的仰角∠MDE=β.3.量出测角仪的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离AB=b,根据测量的AB的长度,AC,BD的高度以及∠MCE,∠MDE的大小,根据直角三角形的边角关系.即可求出MN的高度.当堂训1.练如图,小红从A地向北偏东30°方向走100 m到B地,再从B地向西走200 m到C地,这时小红距A地( )(A)150 m (B)100 m(C)100 m (D)50 m2.如图,在建筑平台CD的顶部C处,测得大树AB的顶部A的仰角为45°,测得大树AB的底部B的俯角为30°,已知平台CD的高度为5 m,则大树的高度为 m.(结果保留根号)3.某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°,然后沿AD方向前行10 m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角为60°(A,B,D三点在同一直线上).请你根据他们测量的数据计算这棵树CD的高度(结果精确到0.1 m).(参考数据:≈1.414,≈1.732)板书设计第2课时仰角、俯角与方位角知识模块一仰角、俯角、方位角的定义知识模块二仰角、俯角、方位角的应用教学反思课题23.2 解直角三角形及其应用课时第3课时上课时间教学目标1.知识与技能理解坡角、坡度的概念,会运用解直角三角形有关知识解决与坡角、坡度有关的实际问题.2.过程与方法经历运用解直角三角形有关知识解决与坡角、坡度有关的实际问题的过程,提升解决问题的能力.3.情感、态度与价值观培养自主探索精神,提高合作交流和解决实际问题的能力.教学重难点重点:坡角和坡度的概念及运用.难点:转化”思想在实际问题中的应用.教学活动设计二次设计课堂导入1.什么是坡度?如何表示?答:坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度,坡度i=.2.什么叫坡角?坡角与坡度有什么关系?答:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i=tan α=.3.小刚沿斜坡AB,每走10米,则他的高度上升10米,则该斜坡AB的坡角α为45°.探索新知合作探究自学指导阅读教材P128~130的内容学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一简单的坡度坡角问题1.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12 m,斜面坡度为1∶2,则斜坡AB的长为( B )(A)4 m (B)6 m(C)12 m (D)24 m2.如图,某铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,已知路基高AE为5米,左侧坡面AB 长10米,则左侧坡面AB的坡度为( C )(A)1∶2 (B)1∶(C)1∶(D)1∶知识模块二复杂的坡度坡角问题课本例6学习课本例7学习教师指导1.易错点:坡度的概念.2.归纳小结:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i=tan α=.续表探索新知合作探究3.方法规律:解决堤坝横断面的问题,首先要认真读题,弄清题意,特别是关键字、词;其次要正确地画出图形,将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系;最后,运用“转化”的思想方法,通过建立解直角三角形的数学模型使问题得到解决.当堂训练1.水库拦水坝的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,背水坡CD的坡比i=1∶1,已知背水坡的坡长CD=24 m,则背水坡的坡角α为,拦水坝的高度为 m.2.如图,在坡比为i=1∶2的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米,斜坡上相邻两树间的坡面距离是米.3.某人在D处测得山顶C的仰角为30°,向前走200米到山脚A处,测得山坡AC的坡度为i≈1∶0.5,求山的高度(不计测角仪的高度,≈1.73,结果保留整数).第1题图第2题图第3题图板书设计第3课时坡度、坡角与其他应用知识模块一简单的坡度坡角问题知识模块二复杂的坡度坡角问题教学反思。

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计4一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容，本节内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质和勾股定理的基础上进行讲解的。

本节主要让学生了解解直角三角形的各种方法，以及如何应用解直角三角形解决实际问题。

教材通过丰富的例题和练习题，引导学生掌握解直角三角形的方法，并能够灵活运用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形和勾股定理有一定的了解。

但是，解直角三角形的方法和应用可能还有一些学生不太清楚。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的掌握情况，对于不太理解的学生要及时进行讲解和辅导。

三. 教学目标1.让学生掌握解直角三角形的方法，并能够灵活运用。

2.培养学生解决实际问题的能力。

3.提高学生的数学思维能力。

四. 教学重难点1.解直角三角形的方法。

2.如何应用解直角三角形解决实际问题。

五. 教学方法采用讲解法、演示法、练习法、讨论法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作学习，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关练习题。

3.直角三角板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾直角三角形的性质和勾股定理，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）教师通过PPT课件展示解直角三角形的方法，并用直角三角板进行演示。

让学生直观地了解解直角三角形的过程。

3.操练（15分钟）教师给出一些例题，让学生独立完成，然后讲解答案，并引导学生总结解题方法。

4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成，教师巡回指导，对学生的掌握情况进行了解。

5.拓展（10分钟）教师引导学生运用解直角三角形的方法解决实际问题，如测量高度、距离等。

让学生体会数学在生活中的应用。

6.小结（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，让学生明确解直角三角形的方法和应用。

7.家庭作业（5分钟）教师布置一些练习题，让学生回家巩固所学知识。

沪科版数学九年级上册第23章《解直角三角形》复习教学设计一. 教材分析《解直角三角形》是沪科版数学九年级上册第23章的内容，本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数、直角三角形的性质等知识的基础上进行讲解的。

本节主要让学生了解解直角三角形的方法，以及如何运用解直角三角形解决实际问题。

教材通过生动的实例，引导学生掌握解直角三角形的方法，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了锐角三角函数、直角三角形的性质等知识，具备了一定的数学基础。

但是，对于解直角三角形的实际应用，学生可能还不够熟悉。

因此，在教学过程中，需要注重培养学生的实际应用能力，让学生能够将所学知识运用到实际问题中。

三. 教学目标1.让学生掌握解直角三角形的方法，并能够运用到实际问题中。

2.培养学生的实际应用能力，提高学生解决实际问题的能力。

3.激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.解直角三角形的方法。

2.如何将解直角三角形的方法运用到实际问题中。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探索解直角三角形的方法。

2.利用实例讲解，让学生了解解直角三角形在实际问题中的应用。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关的实例，用于讲解解直角三角形的方法和应用。

2.准备一些实际问题，用于巩固学生对解直角三角形的掌握。

3.准备教学PPT，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，引导学生思考如何解决。

例如：一个房间的长为10米，宽为8米，求房间的对角线长度。

2.呈现（10分钟）通过PPT呈现解直角三角形的方法，结合实例进行讲解。

讲解内容包括：（1）解直角三角形的定义和性质。

（2）解直角三角形的方法：勾股定理、锐角三角函数等。

（3）解直角三角形在实际问题中的应用。

3.操练（15分钟）让学生分组合作，解决一些实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计1一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。

本节主要让学生掌握直角三角形的性质，学会用勾股定理计算直角三角形的边长，以及学会用三角函数解决实际问题。

教材通过引入直角三角形的边长和角度的关系，引导学生探究并发现勾股定理，进一步运用勾股定理解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的认识有一定的基础。

同时，学生已经掌握了锐角三角函数的定义和性质，为本节学习解直角三角形提供了前提。

但在解决实际问题时，部分学生可能对将实际问题转化为数学模型有一定的困难。

三. 教学目标1.了解直角三角形的性质，掌握勾股定理及运用。

2.学会用三角函数解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：掌握勾股定理，会用勾股定理计算直角三角形的边长。

2.教学难点：将实际问题转化为数学模型，运用三角函数解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究直角三角形的性质。

2.运用实例分析法，让学生学会将实际问题转化为数学模型。

3.采用合作学习法，培养学生团队合作、交流分享的能力。

六. 教学准备1.准备相关直角三角形的图片和实例。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪等。

3.准备练习题和测试题，用于巩固和检验学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）–利用多媒体展示一些与直角三角形相关的图片，如建筑物的侧面、三角板等。

–提问：你们对这些图片有什么观察和发现？–引导学生关注直角三角形的特征，引发学生对直角三角形性质的兴趣。

2.呈现（10分钟）–介绍直角三角形的定义和性质。

–引导学生发现并总结直角三角形的边长关系，即勾股定理。

–通过实例演示，让学生理解并掌握勾股定理的运用。

3.操练（10分钟）–让学生分组讨论，尝试用勾股定理计算给定直角三角形的边长。

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计3一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。

本节课主要让学生掌握直角三角形的性质，学会运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。

教材通过引入直角三角形的边长关系和三角函数的概念，使学生能够理解直角三角形在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、勾股定理等知识，对直角三角形有一定的了解。

但是，学生对直角三角形的应用可能还不够深入，需要通过实例分析和练习来提高。

此外，学生可能对锐角三角函数的概念和应用还不够熟悉，需要通过引导和讲解来帮助他们理解和掌握。

三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理和锐角三角函数的概念。

2.学会运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，勾股定理和锐角三角函数的概念及应用。

2.教学难点：勾股定理的证明和锐角三角函数的运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入直角三角形的性质和应用，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生思考和探索直角三角形的性质，培养学生的逻辑思维能力。

3.小组合作学习：让学生在小组内讨论和解决问题，提高学生的团队合作能力。

4.巩固练习：通过适量练习，使学生掌握勾股定理和锐角三角函数的应用。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，展示直角三角形的性质和应用。

2.教学素材：准备相关的实际问题，用于引导学生解决实际问题。

3.练习题：准备适量的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个直角三角形，引导学生回顾直角三角形的性质。

然后，提出问题：“你能用勾股定理解决直角三角形的问题吗？”让学生思考并回答。

2.呈现（15分钟）展示教材中的实例，引导学生分析直角三角形的性质和应用。

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计2一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。

这部分内容是在学生已经掌握了锐角三角函数和直角三角形的性质的基础上进行讲解的。

本节主要让学生了解解直角三角形的各种方法，以及如何应用解直角三角形解决实际问题。

教材通过丰富的例题和练习，帮助学生巩固知识，提高解题能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形和锐角三角函数有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，可能会对将实际问题转化为数学问题这一步感到困难。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生将实际问题与数学知识相结合，提高学生解决问题的能力。

三. 教学目标1.让学生掌握解直角三角形的方法，并能灵活运用解决实际问题。

2.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

3.激发学生对数学的兴趣，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重难点：解直角三角形的方法和应用。

2.难点：如何将实际问题转化为数学问题，以及如何运用解直角三角形解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究解直角三角形的方法。

2.利用实例讲解，让学生了解解直角三角形在实际生活中的应用。

3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力。

4.利用多媒体辅助教学，提高学生的学习兴趣。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。

2.准备直角三角板和测量工具，以便学生进行实践操作。

3.设计好相关的练习题，以便在课堂上进行操练和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，如：“一个长为6米，底边为4米的直角三角形，求其面积。

”让学生思考如何解决这个问题，从而引出解直角三角形的方法。

2.呈现（10分钟）教师讲解解直角三角形的方法，如：利用勾股定理、锐角三角函数等。

并通过PPT展示相关的例题，让学生跟随教师一起解答。

3.操练（10分钟）教师给出一些有关解直角三角形的练习题，让学生独立完成。

第4课时 坡度问题1．理解并掌握坡度、坡比的定义；2．学会用坡度、坡比解决实际问题．(重点、难点)一、情境导入在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量．从F 处进行测量和从A 处进行测量的数据如图所示．你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？二、合作探究探究点：与坡度或坡角有关的实际问题一辆汽车从坡底走到坡顶共用30s ，车速是2m/s ，汽车行驶的水平距离是40m ，则这个斜坡的坡度是________．解析：坡面距离为30×2＝60m ，水平距离为40m ，∴铅直高度为602－402＝205(m)，∴坡度i ＝205∶40＝5∶2.方法总结：根据坡度的定义i ＝h l，解题时需先求得水平距离l 和铅直高度h. 如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m ，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为()A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m解析：由题知，水平距离l ＝4m ，i ＝0.75，∴铅直高度h ＝l ·i ＝4×0.75＝3(m)，∴坡面距离为32＋42＝5(m)．故选A.方法总结：解此类题，首先根据坡度的定义，求得水平距离或铅直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离．如图所示，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯长度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需多少元？解析：由于楼梯的长度已知，所以要求地毯的总面积，需求地毯的总长度，由题意知，地毯的总长度为BC 与AC 的和，而由坡度的定义知BC AC ＝11.5，所以AC 可求． 解：∵BC AC ＝11.5，∴AC ＝1.5BC ＝1.5×3＝4.5(米)． ∴AC ＋BC ＝4.5＋3＝7.5(米)．∴地毯的总面积为1.5×7.5＝11.25(平方米)．∴需要的钱数为8×11.25＝90(元)．答：铺完整个楼梯共需90元．三、板书设计坡度(坡比)的问题：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫坡度(或坡比)，即i ＝tan α＝错误!，坡面与水平面的夹角α叫坡角．本课时主要培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．进一步感知坡度、坡角与实际生活的密切联系，认识将知识应用于实践的意义．。

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第4课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质、勾股定理的基础上，进一步研究直角三角形的解法及其在实际应用中的重要性。

本节内容主要包括直角三角形的边角关系、直角三角形的解法以及直角三角形的应用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于直角三角形和勾股定理有一定的了解。

但是，对于直角三角形的解法及其应用可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究的方式，自主发现直角三角形的解法，并能够运用到实际问题中。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握直角三角形的解法，能够运用直角三角形解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、思考、探究的方式，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：直角三角形的解法及其应用。

2.难点：直角三角形的解法在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过创设情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与学习。

2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考、探究，培养学生的解决问题的能力。

3.合作学习法：学生进行小组合作学习，培养学生的团队合作意识和交流能力。

六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生的学习情况，设计教学方案。

2.学生准备：预习教材，了解直角三角形的相关知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过创设情境，引出直角三角形在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解、展示直角三角形的解法，使学生掌握解直角三角形的方法。

3.操练（10分钟）学生分组进行练习，运用直角三角形的解法解决实际问题。

4.巩固（10分钟）教师选取部分学生的练习进行讲解，帮助学生巩固直角三角形的解法。

23.2.2 视角在解直角三角形中的应用教学目标【知识与技能】使学生掌握仰角、俯角的概念,并学会正确地运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题.【过程与方法】让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途. 【情感、态度与价值】使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.重点难点【重点】将实际问题转化为解直角三角形问题.【难点】将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解.教学过程一、创设情境,导入新知教师多媒体课件出示:南浦大桥建桥时为世界第三大斜拉桥,桥全长8346米,6车道,主塔高154米,塔柱中间,由两根高8米、宽7米的上下拱梁牢牢地连接着,呈“H”型.南浦大桥于1991年12月1日建成通车.南浦大桥横卧在黄浦江上,它使上海人圆了“一桥飞架黄浦江”的梦想.问题:南浦大桥主塔高154米,最高的一根钢索与桥面的夹角为30°,问最高的钢索有多长?追问:第二根钢索与桥面的夹角为35°,如何求第二根钢索的长呢?教师带领学生看题目.二、共同探究师:请同学们思考这个问题.这是一个实际问题,我们将它转换为数学模型后是不是很简单了?你能求出最高的钢索长度吗?生:能.教师找一生回答.量:你能求出第二根钢索的长吗?生:能,与最长的一根钢索长的求法一样.教师多媒体课件出示:操场上有一根旗杆,老师让小明去测量旗杆的高度,小明站在离旗杆底部10米远处,目测旗杆的顶部,视线与水平线的夹角为34°,并已知目高为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了.师:请同学们思考这个问题,想想他是如何计算的.学生思考,讨论.师:如果我们把已知的条件转化为三角形的一些元素,你能不能算出?生:能.师:很好!现在请同学们想想已知了或容易算出哪些量,需要求的是什么量?生:已知了一个直角梯形的一条底边,一条腰长,并且容易算出它的一个内角,求它的另一底.师:对,那你知道小明是怎么算的吗?学生思考,交流.生:先把各个顶点用字母标出,然后作辅助线,构造直角三角形.教师找一生板演,并让他解释自己的思路.三、继续探究,层层推进1.讲解.师:在实际生活中,解直角三角形有着广泛的应用,例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形.教师在黑板上作图.师:当我们测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角;在水平线以下的角叫做俯角.注意:(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角,而不是与铅垂线所夹的角;(2)仰角和俯角都是锐角.师:我们自己测量角时用什么工具啊?生:量角器.量:测量仰角、俯角也有专门的工具,是测角仪.2.练习新知.教师多媒体课件出示:(1)如图,∠C=∠DEB=90°,FB∥AC,从A看D的仰角是 ;从B看D 的俯角是 ;从A看B的角是 ;从D看B的是 ;从B看A的角是 .师:你能根据仰角和俯角的概念回答这些问题吗?生:能.教师找一生回答,然后集体订正得到:从A看D的仰角是∠2,从B看D的俯角是∠FBD,从A看B的仰角是∠BAC,从D看B的仰角是∠3,从B看A的俯角是∠1.教师多媒体课件出示:(2)如图,线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼的高,AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°,测得乙楼底部D的俯角β=60°.已知甲楼的高AB=24米,求乙楼的高CD.学生看题思考.师:这道题也需要我们把它转化为解直角三角形来解决,但现在还没有直角三角形呢,你怎样求?生:因为AB⊥BD,CD⊥BD,所以过A作AE∥BD,即有AE⊥BD,得到 Rt△ACE和Rt△ADE,确定仰角和俯角.已知AB=24米,可知DE=24米,可求出AE,进而求出CE.教师作图.师:然后怎样做呢?老师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.解:在Rt△AEC中,∠AEC=90°∠EAC=α=30°.∵tanα==,∴CE=8tanα=8×tan30°=8×=8(米).∴CD=CE+DE=24+8=32(米).四、例题讲解【例1】如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8 m的E处,测得树顶的仰角∠ACD=52°.已知测角器的架高CE=1.6 m,问树高AB为多少米?(精确到0.1 m)解:在Rt△ACD中,∠ACD=52°,CD=EB=8 m.由tan∠ACD=,得AD=CD·tan∠ACD=8×tan52°=8×1.2799≈10.2(m).由DB=CE=16 m得AB=AD+DB=10.2+1.6=11.8(m).答:树高AB为11.8 m.【例2】解决本章引言所提问题.如图,某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB,因为不能直接到达塔底B处,他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C、D两处地面上,用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°,同时量得CD为50 m,已知测角器高为1 m,问电视塔的高度为多少米?(精确到1 m)解:设AB1=x m.在Rt△AC1B1中,由∠AC1B1=45°,得C1B1=AB1.在Rt△AD1B1中,由∠AD1B1=30°,得tan∠AD1B1==,即 =.解方程,得).答:电视塔的高度为69m.五、巩固提高师:同学们,刚才的讲解你们都听明白了吗?还有什么不懂的地方可以在下课后问我,现在让我们一起来解决几个关于直角三角形应用的问题.老师多媒体课件出示题目:1.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500 m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB长是( )A.250 mB.250 mC. mD.250 m【答案】A2.王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°,已知水平距离BD=10 m,楼高AB=24 m,则树CD的高度为( )A.(24-)mB.(24-10)mC.(24-5)mD.9 m【答案】B3.升国旗时,某同学站在距离旗杆底部24米处行注目礼,当国旗升到主旗杆顶端时,该同学视线的仰角恰为30°.若该同学的双眼距离地面1.5米,则旗杆的高度大约为 .(精确到0.1米)【答案】15.4米4.如图,某飞机在空中A处探测到地面的目标B,此时从飞机上看目标B的俯角为α,若测得飞机与目标B之间的距离AB大约为2400米,且sinα=0.52,求飞机的飞行高度.【答案】1248米5.如图,为测量某塔AB的高度,在距离该塔底部20米的C处目测塔的顶端A,仰角为60°.已知目高为1.5米,求该塔的高度.(≈1.7) 【答案】35.5米六、课堂小结师:本节课,我们学习了什么内容?学生回答.师:你还有什么不懂的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思多媒体课件简洁生动,通过图片形象地向学生展示出所提出的问题,吸引学生的注意,使学生解决问题的同时,吸收了数学中的转化思想、建模思想、方程思想,即把现实问题通过建立数学模型转化成数学问题,并运用构建方程的思想达到数与形的结合.解直角三角形的内容是初中阶段数学教学中的重点之一,使学生对所学知识有了更好的巩固,同时让学生体会到数学与实际的联系.例题设置具有一定坡度,由浅入深,步步深入.。

第23章 解直角三角形 23．1 锐角的三角函数 1．锐角的三角函数第1课时 正 切1．理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；(重点) 2．能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算；(重点)3．了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题．(重点)一、情境导入如图，这种方法可以用来测量物体的高度．由图我们想到在直角三角形中，它的边与角有什么关系？通过本章的学习，你就会明白其中的道理，并能应用所学知识解决相关问题．二、合作探究探究点一：正切的定义【类型一】 根据已知条件求锐角的正切值如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＋BC ＝7(AC >BC )，AB ＝5，求tan B 的值． 解析：要求tan B 的值，根据锐角三角函数的定义，则需要求出对边AC 和邻边BC 的长．已知斜边AB ＝5，且AC ＋BC ＝7，所以可以根据勾股定理进行计算．解：设AC ＝x ，则BC ＝7－x .根据勾股定理，得x 2＋(7－x )2＝52，解得x ＝3或4.∵AC >BC ，∴AC ＝4，BC ＝3.∴tan B ＝AC BC ＝43.方法总结：本题的解题思路是根据已知条件确定∠B 的对边和邻边的长，采用了一般的解题方法，并体现了方程思想在求三角函数值中的应用．实际上，根据以往做题的经验，不通过计算，直接观察就可以解决．因为斜边是5，且两条直角边的和为7，所以两条直角边的长分别是4和3.【类型二】已知锐角的正切值求解其他问题在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝0.75，△ABC的周长为24.求△ABC的面积．解析：因为△ABC为直角三角形，所以要求它的面积可求两直角边AC和BC的长．又tan A＝BCAC＝34，AC＋BC＋AB＝24，且AB2＝AC2＋BC2，故可求AC和BC的长，从而可求面积．解：∵∠C＝90°，tan A＝0.75，∴tan A＝BCAC＝34.设BC＝3k，则AC＝4k，∴AB＝AC2＋BC2＝16k2＋9k2＝5k.∵AC＋BC＋AB＝24，∴4k＋3k＋5k＝24，∴k＝2.∴AC＝8，BC＝6.∴S△ABC＝12AC·BC＝12×8×6＝24.方法总结：题目中已知锐角的正切值，通常利用正切的概念将其转化为边的比值，再根据周长求出各边的长度．这里采用了设参数(k)的方法．探究点二：坡度、坡角如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB 的长是()A．25米B．210米C．45米D．6米解析：先由i＝BCAC＝13，BC＝2米，求出AC，再利用勾股定理求出AB的长．∵∠ACB ＝90°，i＝1∶3，∴i＝BCAC＝13.∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．∴AB＝AC2＋BC2＝36＋4＝210(米)．故选B.方法总结：理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键．三、板书设计正切⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧正切：在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A.tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝BCAC＝ab坡度：坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度，记作i，即i＝hl坡角：坡面与水平面的夹角，记作α，i＝hl＝tanα.注重学生对锐角的正切概念的理解，引导学生积极主动地参与正切概念的探索过程．加强学生对数学思想方法的理解和应用，注意数形结合思想的应用．培养学生熟练运用方程思想求直角三角形中的某些未知元素的能力，并注意联系实际，提高运用数学知识解决实际问题的能力．第2课时 正弦和余弦1．理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计算；(重点、难点) 2．在直角三角形中求正弦值、余弦值．(重点)一、情境导入牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A )与水面(BC )的高度(AB )．斜坡与水面所成的角(∠C )可以用量角器测出来，水管的长度(AC )也能直接量得．你能求出它的高度(AB )吗？二、合作探究探究点一：正弦的定义 【类型一】 求正弦值在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝3，c ＝5，求sin A 和tan A 的值． 解析：先根据勾股定理求出b 的长，再根据锐角三角函数的定义求解． 解：在Rt △ABC 中，c ＝5，a ＝3， ∴b ＝c 2－a 2＝52－32＝4，∴sin A ＝a c ＝35，tan A ＝a b ＝34.方法总结：解决这类问题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的其他边的长，再利用锐角三角函数的定义求三角函数的值．【类型二】已知锐角三角形的一个三角函数值，求其他三角函数的值已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝35，则tan B的值为() A.43 B.45 C.54 D.34解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin A＝ac，tan B＝ba，a2＋b2＝c2；由sin A＝35知，若设a＝3x，则c＝5x.结合a2＋b2＝c2，得b＝4x.所以tan B＝ba＝4x3x＝43.故选A.方法总结：解决此类问题的关键是要正确地画出草图，根据条件将已知角的三角函数值转化为直角三角形中两边的关系，利用勾股定理求出第三边，然后计算出待求角的三角函数值．探究点二：余弦的定义【类型一】求余弦值如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB＝________.解析：如图所示，连接AB，设每个小正方形网格边长为1，则OA＝22＋42＝25，OB＝AB＝32＋12＝10，所以AB2＋OB2＝20，OA2＝20，AB2＋OB2＝OA2，故∠ABO＝90°，cos∠AOB＝OBOA＝1025＝22.方法总结：在不知道角度的情况下，求锐角的三角函数值，应先将其放置在直角三角形中，求出各边的长，再根据概念解题．【类型二】构造直角三角形求余弦值如图，已知点P在第一象限，其坐标是(a，b)，则cosα等于() A.ab B.baC.aa2＋b2D.ba2＋b2解析：图中无直角三角形，需构造直角三角形，然后结合勾股定理，利用锐角三角函数的定义求解．过点P作PH⊥x轴，垂足为点H，如图．在Rt△OPH中，∵PH＝b，OH＝a，∴OP＝OH2＋PH2＝a2＋b2，∴cosα＝OHOP＝aa2＋b2.故选C.方法总结：也可以过点P作PM⊥y轴于点M，注意点P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a |，若点P 不在第一象限，则要注意字母的符号．三、板书设计正弦和余弦⎩⎪⎨⎪⎧正弦：sin A ＝∠A 的对边斜边＝BC AB ＝ac 余弦：cos A ＝∠A 的邻边斜边＝AC AB ＝bc注重学生对锐角正弦、余弦概念的理解．加强学生对数学思想方法的理解和应用，注意数形结合思想的应用．培养学生熟练运用方程思想求直角三角形中的某些未知元素的能力．通过数学建模把一些实际问题抽象为数学模型，从而提高分析问题、解决问题的能力．2．30°，45°，60°角的三角函数值第1课时 30°，45°，60°角的三角函数值1．运用三角函数的概念，自主探索，求出30°、45°、60°角的三角函数值；(重点) 2．熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用．(难点)一、情境导入我们天天与三角板打交道，知道三角板有两大类型．如图，有30°角的三角板和45°角的三角板，但你是否留意，每副三角板中两直角边的比值是多少？二、合作探究探究点一：30°、45°、60°角的三角函数值计算：(1)12sin60°×22cos45°；(2)tan230°＋cos230°－sin245°tan45°.解析：把30°，45°，60°角的三角函数值代入上式进行计算，注意tan230°表示tan30°·tan30°.解：(1)12sin60°×22cos45°×32×22×22＝38；＝12(2)tan230°＋cos230°－sin245°tan45°＝(33)2＋(32)2－(22)2×1＝13＋34－12＝712.方法总结：这类问题一般分两步完成，第一步把值准确地代入；第二步就是根据实数的混合运算顺序及法则进行计算．探究点二：由特殊三角函数值确定锐角的度数在Rt△ABC中，若sin A＝32，则cosA2＝________．解析：由sin A＝32，得∠A＝60°，所以cosA2＝cos30°＝32.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin(90°－∠A)＝22，则∠A＝________．解析：因为sin45°＝22，所以90°－∠A＝45°，所以∠A＝45°.方法总结：熟练掌握特殊角的三角函数值，并能够由特殊的三角函数值来确定特殊角的度数．三、板书设计经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，让学生感受数学思考过程的合理性，逐步培养学生观察、分析、概括的思维能力．第2课时互余两角的三角函数值1．理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系；(重点)2．会利用互余的角进行正、余弦函数的互换，进行简单地三角变换或相应的计算．(难点)一、情境导入1．在△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝36°，则∠B＝________；若∠B＝53°28′，则∠A ＝________．2．sin30°＝cos60°＝________，sin60°＝cos30°＝________，sin45°＝cos45°＝________．完成上面两题我们不难发现，30°、45°、60°这三个角的正(余)弦的值，分别等于它们余角的余(正)弦的值．这个规律，是否适合任意一个锐角呢？二、合作探究探究点：互余的两个锐角三角函数间的关系【类型一】互余两角的正弦、余弦值的关系在△ABC中，∠C＝90°，若sin B＝13，则cos A的值为()A.13 B.233C．1 D.32解析：利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立．故选A.已知cosα＝35，α＋β＝90°，则cosβ＝()A.35 B.25 C.45 D.34解析：∵cosα＝35，α＋β＝90°，∴sinβ＝cosα＝35.设β是一个直角三角形中的锐角，且sinβ＝bc＝35，设b＝3k，c＝5k，则另一直角边的长度为a＝4k，∴cosβ＝ac＝4k5k＝45.故选C.方法总结：利用互为余角的锐角三角函数关系时，先判断两角关系，然后再寻求锐角三角函数之间的关系．将角放到直角三角形中，画出图形，根据图形设出比例式，表示出各边．【类型二】互余两个锐角的正切值的关系在△ABC中，∠A，∠B是锐角，tan A，tan B是方程3x2－tx＋3＝0的两个根，则∠C＝________．解析：∵tan A，tan B为方程3x2－tx＋3＝0的两根，∠A，∠B是锐角．∴tan A·tan B＝33＝1，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°.方法总结：利用tan A·tan(90°－∠A)＝1，可得∠A与∠B之间的关系，从而求出∠C的大小．三、板书设计互余两角的三角函数关系⎩⎪⎨⎪⎧任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值.sin A＝cos（90°－∠A）cos A＝sin（90°－∠A）tan A·tan（90°－∠A）＝1互为余角的正弦与余弦函数值之间的关系是锐角三角函数的重要关系之一．掌握这一关系，对学生全面系统了解锐角三角函数以及后继的学习与应用都是十分重要的．3．一般锐角的三角函数值1．会使用科学计算器求锐角的三角函数值；(重点)2．会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小；(重点)3．熟练掌握计算器的按键顺序．(难点)一、情境导入如图，有一个斜坡，现在要在斜坡OC上植树造林，要保持两棵树水平间的距离为2米，那么应沿斜坡方向每隔几米挖坑(已知坡面的倾斜角为16°18′，即图中的∠COD)？你能求出两坑的距离吗？二、合作探究探究点一：用计算器求一个锐角的三角函数值求sin63°52′41″的值．(精确到0.0001)解析：按照计算器的说明操作．解：按下列顺序依次按键：sin63D·M′S52D·M′S41D·M′S＝.显示结果为0.897859012.所以sin63°52′41″≈0.8979.计算sin20°－cos20°的值约为(保留4个有效数字)()A．－0.5976 B．0.5976C．－0.5977 D．0.5977解析：本题是一道运用计算器进行计算的题目，运用计算器可知其结果是－0.5977.故选C.方法总结：利用计算器求锐角的三角函数值时要注意：(1)参照计算器的说明书，掌握正确的按键顺序；(2)按键时要细心，不能输入错误的数据．探究点二：用计算器完成已知三角函数值求锐角已知sinα＝0.2，cosβ＝0.8，则α＋β≈________．(精确到1′)解析：已知一个角的三角函数值，求这个锐角，先按2ndF，然后选择有关三角函数的键，输入sin－1或cos－1后，再输入数字，得到这个锐角的度数．此题应填48°24′.探究点三：三角函数大小的比较(1)锐角的正弦值和余弦值随着锐角的变化而变化．试探索：随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；(2)根据你探索到的规律，试比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小关系和余弦值的大小关系；(3)比较大小：若α＝45°，则sinα________cosα；若α<45°，则sinα________cosα；若α>45°，则sinα________cosα(填“<”“>”或“＝”)；(4)利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°、cos30°、sin50°、cos70°.解：(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小；(2)sin18°<sin34°<sin50°<sin62°<sin88°，cos88°<cos62°<cos50°<cos34°<cos18°；(3)当α＝45°时，sinα＝cosα；当α<45°时，sinα<cosα；当α>45°时，sinα>cosα；(4)∵cos70°＝sin20°，cos30°＝sin60°，∴sin10°<cos70°<sin50°<cos30°.三、板书设计一般锐角的三角函数值⎩⎪⎨⎪⎧1.用计算器求锐角的三角函数2.已知三角函数值用计算器求锐角3.三角函数大小的比较本节重点在于掌握用计算器求三角函数值和根据三角函数值求锐角，让学生了解计算器的众多功能．23．2 解直角三角形及其应用第1课时 解直角三角形1．了解并掌握解直角三角形的概念；2．掌握解直角三角形的依据并能熟练解题．(重点、难点)一、情境导入在直角三角形中，除了直角外，一共有五个元素，即三角形的三条边和两个锐角．尝试探究已知哪些元素能够求出其他元素．二、合作探究探究点一：解直角三角形【类型一】 已知斜边和一直角边解直角三角形在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝23，a＝3，解这个直角三角形．解析：已知一条斜边和一条直角边，可以先利用勾股定理求出另一条直角边的长，再利用正弦或余弦求角的度数．解：在Rt△ABC中，b＝c2－a2＝12－9＝ 3.∵sin A＝ac＝323＝32，∴∠A＝60°.∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.方法总结：在解直角三角形时，可以画一个直角三角形的草图，按照题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，进而结合勾股定理、三角形内角和定理、锐角三角函数求解．【类型二】已知两直角边解这个直角三角形已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3－1，b＝3－3，解直角三角形．解析：根据直角三角形中各元素之间的关系，选择合适的式子求解．解：由tan B＝ba，得tan B＝3－33－1＝ 3.∴∠B＝60°，则∠A＝30°.由sin A＝ac，得c＝asin A＝3－112＝23－2.【类型三】已知直角三角形一边一锐角解直角三角形在Rt△ABC中，a、b、c是∠A、∠B、∠C的对边，∠C＝90°，∠B＝60°，a＝4，解这个三角形．解析：如图所示，本题实际上是要求∠A、b、c的值，可根据直角三角形中各元素之间的关系解决．解：∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°，∴c＝2a＝2×4＝8.由tan B＝ba，知b＝a·tan B＝4·tan60°＝4 3.(或b＝c2－a2＝82－42＝43) 方法总结：解直角三角形时，正确选择关系式是关键，选择关系式遵循以下原则：(1)尽量选可以直接应用原始数据的关系式；(2)选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法计算．探究点二：解直角三角形的简单应用【类型一】利用直角三角形求面积在△ABC中，∠A＝55°，b＝20cm，c＝30cm，求三角形ABC的面积S△ABC.(精确到0.1cm 2)解析：(1)求三角形面积需要作高；(2)需构造直角三角形． 解：作AB 上的高CD ，在Rt △ACD 中， ∵CD ＝AC ·sin A ＝b ·sin A .∴S △ABC ＝12AB ·CD ＝12bc ·sin A .∵∠A ＝55°，b ＝20cm ，c ＝30cm ， ∴S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×20×30·sin55°＝12×20×30×0.8192＝245.8(cm 2)． 方法总结：求三角形面积可先作高构造直角三角形，然后用已知量的三角函数表示出高，代入数据即可求得．【类型二】 构造直角三角形解决问题如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，将此矩形折叠，使C 点和A 点重合，求折痕EF 的长．解析：由题意可知A 点和C 点关于直线EF 对称，连接AC ，则AC ⊥EF ，且OA ＝OC ，于是构造了Rt △AOE ，利用解直角三角形的知识求出OE 即可．解：如图，连接AC ，则AC ⊥EF ，OA ＝OC ，∴∠AOE ＝90°.又∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝62＋82＝10，∴OA ＝5.在Rt △ADC 中，tan ∠DAC ＝DC AD ＝68＝34.在Rt △AOE 中，tan ∠EAO ＝OE AO ，∴OE ＝AO ·tan ∠EAO ＝AO ·tan ∠DAC ＝5×34＝154.在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOE ＝∠COF ，OA ＝OC ，∠OAE ＝∠OCF ，∴△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF .∴EF ＝2OE ＝2×154＝152.方法总结：折叠后折痕两边的图形成轴对称，从而利用对称性构造直角三角形，并利用解直角三角形求出线段的长．三、板书设计教学过程中引导学生对所学理论知识进行系统的复习，归纳整合成一个知识网络，能够清楚认识到各个知识点之间的联系，为接下来综合应用的学习打下基础．教学过程中还应当把握教学进度，确保学生能够牢牢把握基础知识．第2课时仰角与俯角问题1．巩固解直角三角形有关知识；2．能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角的问题．(重点、难点)一、情境导入秋千是我们生活中常见的娱乐器材，如图所示是秋千的简图，秋千拉绳(OA)的长为3m，静止时秋千踏板(B，大小忽略不计)距离地面(BE)的距离0.5m，秋千向两边摆动时，若最大的摆角(摆角是指秋千拉绳与铅垂线的夹角∠AOB或∠COB)约为52°.你能否通过所学知识求出秋千踏板与地面的最大距离约为多少？二、合作探究探究点：仰角、俯角问题 【类型一】 仰角问题如图所示，为了测量山的高度AC ，在水平面B 处测得山顶A 的仰角为30°，AC⊥BC ，自B 沿着BC 方向向前走1000m ，到达D 处，又测得山顶A 的仰角为45°，求山高．(结果保留根号)解析：要求AC ，无论是在Rt △ACD 中，还是在Rt △ABC 中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把AC 看成已知，用含AC 的代数式表示BC 和DC ，由BD ＝1000m 建立关于AC 的方程，从而求得AC .解：在Rt △ABC 中，AC BC ＝tan B ＝tan30°＝33，∴BC ＝3AC .在Rt △ACD 中，ACDC ＝tan∠ADC ＝tan45°＝1，∴DC ＝AC .∴BD ＝BC －DC ＝3AC －AC ＝(3－1)AC ＝1000，∴AC ＝10003－1＝500(3＋1)(m)． 答：山高为500(3＋1)m.方法总结：在解直角三角形时，若仰角、俯角不是直角三角形的内角时，应利用已知条件将它转化为直角三角形的内角，再利用直角三角形的边角关系列方程求解．【类型二】俯角问题如图，飞机A 在目标B 正上方1000m 处，飞行员测得地面目标C 的俯角为30°，则地面目标B ，C 之间的距离是________．解析：由题意可知，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝∠CAD ＝30°，AB ＝1000m ，∴BC ＝AB tan C ＝1000tan30°＝10003(m)，故填10003m.方法总结：解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形．如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB，已知观察点C到旗杆的距离(CE的长度)为8m，测得旗杆顶的仰角∠ECA为30°，旗杆底边的俯角∠ECB为45°，那么，旗杆AB的高度是()A．(82＋83)m B．(8＋83)mC．(82＋833)m D．(8＋833)m解析：由题意可知：在Rt△BCE中，∵CE＝8m，∠ECB＝45°，∠ACE＝30°，∴BE＝CE＝8(m)，AE＝EC·tan∠ACE＝8×tan30°＝833(m)，∴AB＝AE＋BE＝(8＋833)m.故选D. 方法总结：解此类问题，要作好辅助线，将问题分为仰角和俯角两个问题来解直角三角形．三、板书设计本次教学过程中涉及实际应用问题，在合作探究环节可引导学生探究几个具有代表性的数学模型，从这些数学模型中总结规律并积累解题技巧，培养学生的创新意识和逻辑思维能力．第3课时 方向角问题1．正确理解方向角的概念；(重点)2．灵活运用解直角三角形的知识构建直角三角形模型，会利用所学的知识解决现实生活中的问题．(难点)一、情境导入如图，一艘轮船从A 点出发，航行路线为AC 、CB ，你知道如何准确描述此过程轮船航行的方向吗？二、合作探究探究点：与方向角有关的实际问题一条东西走向的高速公路上有两个加油站A ，B ，在A 的北偏东45°方向还有一个加油站C ，C 到高速公路的最短距离是30km ，B ，C 间的距离是60km ，想要经过C 修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P 到B ，C 的距离相等，请求出交叉口P 到加油站A 的距离(结果保留根号)．解析：此题针对点P 的位置分两种情况讨论，即点P 可能在线段AB 上，也可能在BA 的延长线上．解：分两种情况：(1)如图①，在Rt △BDC 中，CD ＝30km ，BC ＝60km ，∴∠B ＝30°. ∵PB ＝PC ，∴∠BCP ＝∠B ＝30°.∴在Rt △CDP 中，∠CPD ＝∠B ＋∠BCP ＝60°，∴DP ＝CD tan ∠CPD ＝30tan60°＝103(km)．在Rt △ADC 中，∵∠A ＝45°，∴AD ＝DC ＝30km.∴AP ＝AD ＋DP ＝(30＋103)km ；(2)如图②，同理可求得DP ＝103km ，AD ＝30km. ∴AP ＝AD －DP ＝(30－103)km.答：交叉口P 到加油站A 的距离为(30±103)km. 方法总结：求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．如图，一架飞机从A 地飞往B 地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km 远了多少？(参考数据：3≈1.73，2≈1.41，要求在结果化简后再代入参考数据运算，结果保留整数)解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则AD ＝CD tan30°，BD ＝CDtan45°， ∵AD ＋BD ＝AB ，∴(3＋1)CD ＝600，∴CD ＝300(3－1)(km)．∴在Rt △BCD 中，BC ＝3002(3－1)(km)， 在Rt △ACD 中，AC ＝600(3－1)(km)，∴AC ＋BC ＝600(3－1)＋3002(3－1)≈747(km)，747－600＝147(km)． 答：飞机的飞行路程比原来的路程600km 远了147km. 方法总结：构造直角三角形，分别解两个直角三角形．三、板书设计方向角问题指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．通过学习本课时内容，让学生认识到日常生活中许多问题可以转化为直角三角形的问题，并从中体会直角三角形的边角关系在解决实际问题中的作用．第4课时 坡度问题1．理解并掌握坡度、坡比的定义；2．学会用坡度、坡比解决实际问题．(重点、难点)一、情境导入在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量．从F 处进行测量和从A 处进行测量的数据如图所示．你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？二、合作探究探究点：与坡度或坡角有关的实际问题一辆汽车从坡底走到坡顶共用30s ，车速是2m/s ，汽车行驶的水平距离是40m ，则这个斜坡的坡度是________．解析：坡面距离为30×2＝60m ，水平距离为40m ，∴铅直高度为602－402＝205(m)，∴坡度i ＝205∶40＝5∶2.方法总结：根据坡度的定义i ＝hl，解题时需先求得水平距离l 和铅直高度h.如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m ，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为()A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m解析：由题知，水平距离l ＝4m ，i ＝0.75，∴铅直高度h ＝l ·i ＝4×0.75＝3(m)，∴坡面距离为32＋42＝5(m)．故选A.方法总结：解此类题，首先根据坡度的定义，求得水平距离或铅直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离．如图所示，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯长度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需多少元？解析：由于楼梯的长度已知，所以要求地毯的总面积，需求地毯的总长度，由题意知，地毯的总长度为BC 与AC 的和，而由坡度的定义知BC AC ＝11.5，所以AC 可求．解：∵BC AC ＝11.5，∴AC ＝1.5BC ＝1.5×3＝4.5(米)．∴AC ＋BC ＝4.5＋3＝7.5(米)．∴地毯的总面积为1.5×7.5＝11.25(平方米)． ∴需要的钱数为8×11.25＝90(元)． 答：铺完整个楼梯共需90元．三、板书设计坡度(坡比)的问题：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫坡度(或坡比)，即i ＝tan α＝错误!，坡面与水平面的夹角α叫坡角．本课时主要培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．进一步感知坡度、坡角与实际生活的密切联系，认识将知识应用于实践的意义．。

第4课时 解直角三角形的应用教学目标1．了解横断面图、坡度、坡角和有关角度的问题，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．2．能够把实际问题转化为解直角三角形问题，从而把实际问题转化为数学问题来解决． 3．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．教学重难点理解坡度的有关术语，解决有关坡度的实际问题． 教学过程导入新课长江三峡水利枢纽，是当今世界上最大的水利枢纽工程．放眼世界，从大海深处到茫茫太空，人类征服自然、改造自然的壮举中有许多规模宏大技术高超的工程杰作．三峡工程在工程规模、科学技术和综合利用效益等许多方面都堪为世界级工程的前列．它不仅将为我国带来巨大的经济效益，还将为世界水利水电技术和有关科技的发展作出有益的贡献．这节我们将学习水库大坝的有关问题．推进新课一、合作探究【问题1】 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m ，坝高23 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度i′＝1∶2.5，求斜坡AB 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1 m)．通过前面的学习，学生已了解了坡度与坡角的概念，也基本了解了解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．引导学生分析例题，图中ABCD 是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC 和Rt△CFD，AD ＝AE ＋EF ＋FD ，AE ，DF 可在△ABE 和△CDF 中通过坡度求出，EF ＝BC ＝6 m ，从而求出AD ．以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生的运算能力．解：作BE⊥AD，CF⊥AD， 在Rt△ABE 和Rt△CDF 中， BE AE ＝13，CF FD ＝12.5， ∴AE＝3BE ＝3×23＝69(m)， FD ＝2.5CF ＝2.5×23＝57.5(m)．∴AD＝AE ＋EF ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．∵斜坡AB 的坡度i ＝tan α＝13≈0.333 3，查表得α≈18°26′.AB ＝BE÷sin α＝72.7(m)． 答：斜坡AB 的坡角α约为18°26′，坝底宽AD 为132.5 m ，斜坡AB 的长约为72.7 m .在求AB 时，也可由BE AE ＝13及勾股定理得出BE∶AB＝1∶10，∴AB＝2310≈72.7(m)．【问题2】 利用上面的方法，你能解决下面的问题吗？一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽．(精确到0.1米)给学生充分的时间，以便让学生思考，写出解答过程．让一名学生上台板演． 二、巩固提高利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图中阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶0.5，渠道底面宽BC 为1米，求：(1)横断面(等腰梯形)ABCD 的面积；(2)修一条长为100米的渠道要挖去的土方数． 分析：(1)引导学生将实际问题转化为数学问题．(2)要求等腰梯形ABCD 的面积，首先要求出AD ，如何利用条件求AD? (3)土方数=等腰梯形ABCD 的面积×100.解：(1)∵渠道内坡度为1∶0.5，渠深BE 为0.6米， ∴AE=0.5×0.6=0.3(米)． ∵等腰梯形ABCD ， ∴FD=AE=0.3(米)．∴AD=2×0.3+1=1.6(米)． ∴等腰梯形ABCD 的面积为12×(1.6+1)×0.6=0.78(米2)． (2)总土方数=截面积×渠长=0.78×100=78(米3)．答：横断面ABCD 面积为0.78平方米，修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为78立方米．三、达标训练1．一段河坝的断面为梯形ABCD ，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD ．(单位：米，结果保留根号)2．如图所示，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处．这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？(精确到0.01海里)分析：因为△APB 不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形：△ACP 与△PCB．PC 是东西走向的一条直线，AB 是南北走向的一条直线，所以AB 与PC 是相互垂直的，即∠ACP 与∠BCP 均为直角．再通过65°角与∠APC 互余的关系求∠APC；通过34°角与∠BPC 互余的关系求∠BPC．3．一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°.从斜坡的起点至屋门的最短的水平距离该是多少？(精确到0.1米)本课小结1．在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．2．利用解直角三角形的方法解决实际问题的步骤：(1)审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．(2)将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成的直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中．(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形．1．解直角三角形的依据在Rt△ABC 中，∠C＝90°，其边角关系如下：(1)三边关系：a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)． (2)三角关系：∠A＋∠B＝∠C＝90°.(3)边角关系：tan A ＝a b ，sin A ＝a c ，cos A ＝b c.2．常见解直角三角形的类型及解法(1)已知斜边和一个锐角(如c ，∠A)解直角三角形：∠B＝90°－∠A，a ＝c ·sin A，b ＝c ·cos A．(2)已知一条直角边和一个锐角(如a ，∠A)解直角三角形：∠B＝90°－∠A，c ＝asin A，b ＝a tan A. (3)已知两直角边(a ，b )解直角三角形：c ＝a 2＋b 2，tan A ＝a b，∠B＝90°－∠A． (4)已知斜边和一直角边(如a ，c )解直角三角形：b ＝c 2－a 2，sin A ＝a c，∠B＝90°－∠A．3．用三角函数表示的三角形面积公式如图，∵S △ABC=12AB ·CD=12c ·CD ，又∵sin A=CD b， ∴CD=b ·sin A ．∴S△ABC＝12c·CD＝12c·b·sin A＝12bc·sin A．由此可得三角形面积公式为S△ABC＝12bc·sin A，即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．4．利用“解直角三角形”解决实际问题的步骤(1)审题，通过图形(如果题目没有图形，要画出图形)，弄清已知和未知．(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题．(3)根据直角三角形元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形，其中找出有关的直角三角形是关键．注意正确理解有关角的含义：(1)坡角；(2)仰角、俯角；(3)方位角；(4)方向角．5．解直角三角形常作的几种辅助线解直角三角形解决问题时，有时没有直接能解的三角形，这时需要添加辅助线，构造直角三角形，现介绍几种常用的方法．(1)梯形作高法若梯形的内角中有特殊角时，一般过较短的底作梯形的高，可构造出含特殊角的直角三角形．【例1】如图，塔AB和楼CD的水平距离为80 m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A 的仰角分别为45°和60°，试求塔高和楼高．分析：在直角梯形ABDC中，有特殊角∠BAC，过较短底CD的端点C作梯形的高CE，可构造出含特殊角的Rt△AEC．解Rt△ABD和Rt△AEC，得AB，AE，从而获得塔高AB和楼高CD．解：作CE⊥AB于E，已知∠ACE=45°，∠ADB=60°，BD=CE=80 m.分别解Rt△ABD和Rt△AEC，得AB=m，AE=80 m.∴CD＝BE＝AB－AE＝80(3－1) m.故塔高为80 3 m，楼高为80(3－1) m.(2)延长四边形不相邻的两边使之相交法有一对角均为直角，或相邻的两角互余的四边形中有特殊角时，可延长不相邻的两边使之相交，构造含特殊角的直角三角形．【例2】如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝1，∠BAD＝30°，∠A BC＝60°，四边形ABCD的面积为53，求AD的长．分析：显然四边形ABCD中有特殊角∠DAB和∠CB A，且它们互余，延长AD，BC相交于E，可得Rt△AEB．解：延长AD，BC相交于E，则∠E=180°-(30°+60°)=90°.在Rt △AEB 中，sin 30°=BE AB ，cos 30°=AEAB，可得BE=4，AE=S 四边形ABCD =S △ABE －S △CED =12×4×12×3DE =∴DE=AD=AE －DE=奥赛链接1．高州大酒店要把一楼至三楼的楼梯表面铺上地毯．若每转(每层楼的楼梯分两转，楼梯转台不计)楼梯高度为2 m ，坡角为30°(如图所示)，求至少共要地毯长多少米？解：在Rt△ABC 中，BC ＝2，∠A＝30°，∴AC＝2ta n 30°＝233.∴AC＋BC ＝233＋2，即每转楼梯要地毯⎝⎛⎭⎪⎫233＋2 m . 从一楼到三楼共要地毯4×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫833＋8 m.2．我市为了引长坡水库的水到城区作生活用水，要铺设引水管线．如图，已知MN 为引水工程某段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向有一村庄A ，以A 为圆心，500 m 为半径的圆形区域为村民居住的范围．取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB ＝400 m ，通过计算回答：如果不改变方向，引水路线是否穿过该村庄？解：如图，过A 作AD⊥MN 于D ．∵∠1＝30°，∠AMC＝60°， ∴∠AMD＝30°.又∵∠2＝∠1＝30°，∴∠ABD＝75°－30°＝45°. 在Rt△ABD 中，BD ＝AD ．在Rt△AMD 中，设AD 为x ，则AM ＝2x .∴(400＋x )2＋x 2＝(2x )2，解得x 1＝200(1＋3)，x 2＝200(1－3)(不合题意，舍去)． ∵x ＝200(1＋3)＞500，∴引水路线不会穿过村庄．。