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二、连续带电体体系的静电能
Q2 Q1 Q3
体系
体系静电能 = 相互作用能＋自能
15
连续分布的电荷体系的静电能
— 各电荷元dq间的静电相互作用能
1 W＝ U dq 2（带电体）
式中U为在带电体上，所有电荷在电荷元dq 处 的电势。 【思考】为什么不考虑电荷元dq 的自能？
16
静电场的能量 均匀带电球面的静电能:
电磁学
第1章 静电场 -静止电荷的电场
3
目 录 §1.1 库伦定律 §1.2 电场、电场强度、场强叠加原理
§1.3 静电场的高斯定理
§1.4 静电场的环路定理、电势 §1.5 静电场的基本微分方程
§1.6 静电能
4
高斯定理的微分形式 1、电场的散度（divergence） 电场在P点的散度定义为
dq 【例】均匀带电球体的静电能 R 分割成同心薄球壳（dq） q 所在处的电势为 r dr q 2 2 U (r ) ( 3 R r ) ,静电能为 3 8 0 R q 1 1R q 2 2 2 W U (r )dq 3 R r 4 r dr 3 4 3 2q 2 0 8 0 R R 3 3q 2 2 3 q 20 0 R W 20 0 R
qU qU
U U E dl El cos , W p E （受力矩： M p E ）
【思考】势能W随p的取向如何变化？
11
qU U
电荷体系的静电能 一、点电荷体系的相互作用能 把 n 个静止点电荷从现有位置彼此分散到无穷 远时，它们间的静电力所作的功，称为这 n 个点 电荷间的相互作用能
E=0 q R
1 q 1 dq W Udq 2 ( 球面 ) 4 0 R 2 ( 球面 )
q2 8 0 R
W
q
2
Ein = 0
静电能贮存在电场中
8 0 R
静电能贮存在哪儿？
在真空中电场能量密度：
在区域V 中电场的能量：
we
0E2
2
W we dV
V
17
W U2q2 U1q1
写成对称形式即
1 W q1U 1 q2U 2 2
13
2、n=3
q3
q1
q2
1 W U12q1 U 21q2 U 23q2 U 32q3 U 31q3 U13q1 2 1 U12 U13 q1 U 21 U 23 q2 U 31 U 32 q3 2 1 U1q1 U 2q2 U 3q3 2 n 1 类推，得 W qi U i 14 2i 1
1 n W qi U i 2i 1
其中Ui 为 qi 所在处，由 qi 以外的其它电荷所产生的 电势。
12
证明：
1、n=2
q2 q1
r
固定q1，把q2移到无限远电场力做的功
q1q2 q1q2 W dr 2 4 0 r 4 0 r r
U2 4 0 r q1 , U1 4 0 r q2
e
2
4 0 rc
e2 15 m rc 2 . 82 10 2 4 0 me c
19
【作业二】1-15,1-26
div E lim
其中
E dS
S
V 0
V
P
S
V
S E
dS V 0
5
1
为通过包围P点的封闭曲面S的电通量
2、真空中高斯定理的微分形式
div E E
0
1
静电场是有源场，源头是电荷密度不为零的那
些点。
6
பைடு நூலகம்
静电场环路定理的微分形式
E 0
证明：由斯托科斯公式
E
dS
S
因域 S 任意，则 E 0
静电场是有源、无旋场：
( L)
E dr ( E ) dS 0
(S)
L
S 是以 L 为边界的
任意曲面
1 E , E 0
0
7
散度（直角坐标系）
原子核（质子）的电势： U (r )
e 4 0 r
电子的静电势能： W＝(e)U (r )
e2 4 0 r
10
“电子与电场（质子）的相互作用能”
【例】电偶极子在均匀外电场中的电势能
W p E
证明： W W W
-q
E
+q
l
p ql
旋度（直角坐标系）
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目 录 §1.1 库伦定律 §1.2 电场、电场强度、场强叠加原理
§1.3 静电场的高斯定理
§1.4 静电场的环路定理、电势 §1.5 静电场的基本微分方程
§1.6 静电能
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电荷在外场中的静电势能
W＝qU
电荷的电量×该点的电势
“电荷与电场的相互作用能”
【例】氢原子中电子的静电势能
若q不变, R 0 , W :点模型的发散困难
若不变, R 0, W 0 :电荷元dq 的自能为零
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【例】电子的经典半径
2 3 e me c 2 20 0 rc
3e 15 m rc 1 . 7 10 20 0 me c 2
另一种估算:
2
me
c2
