【精品】2018-2019年安徽省合肥一六八中学高二上学期期中考试文科数学(宏志班)试题和答案

合肥一六八中学2018—2019学年第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）一、选择题（共60题，每题5分。

每题仅有一个正确选项。

）1．已知a、b是两条平行直线，且a∥平面β，则b与β的位置关系是（）A．平行B．相交C．b在平面β内D．平行或b在平面β内2．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一条直线的两条直线互相平行B．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内C．空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两角相等或互补D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．如果ac＞0，bc＞0，那么直线ax+by+c=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．直线（a2+1）x﹣y+1=0（其中a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A．[0，]B．[，）C．（，]D．[，π）5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12πB．24πC．D．72π6．半径为5的球内有一个高为8的内接正四棱锥，则这个球与该内接正四棱锥的体积之比为（）A．B．C．D．7．三棱柱ABC﹣A'B'C′的所有棱长都等于2，并且AA'⊥平面ABC，M是侧棱BB′的中点，则直线MC′与A′B所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．8．直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），为端点的线段总有公共点，则直线l 斜率的取值范围是（）A．B．C．D．[1，+∞）9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是四边形BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，下列说法正确的个数是（）①点F的轨迹是一条线段②A1F与D1E不可能平行③A1F与BE是异面直线④当F与C1不重合时，平面A1FC1不可能与平面AED1平行A．1B．2C．3D．410．在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．411．生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，设O、H、G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项错误的是（）A．HG=2OGB．++=C．设BC边中点为D，则有AH=3ODD．S△ABG=S△BCG=S△ACG12．如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE和平面CDEF不重合）下面说法正确的是（）A．存在某一位置，使得CD∥平面ABFEB．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFEC．在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立D．在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF恒成立二、填空题（共20分，每题5分）13、已知直线与平行，则实数的取值是________14．球的半径为5cm，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为6cm和8cm，则这两个平面之间的距离是cm．15. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AB上一点，且AE=1，BE=3，以E为球心，线段EC的长为半径的球与棱A1D1，DD1分別交于F，G两点，则△AFG的面积为________三、解答题（共70分，每题必需要有必要的解答过程）17.（10分）设直线l的方程为(＋1)x＋y＋2－＝0 (∈R)．(1)若l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数的取值范围．18.（12分）在平面直角坐标系中，的边所在的直线方程是，（1）如果一束光线从原点射出，经直线反射后，经过点，求反射后光线所在直线的方程；（2）如果在中，为直角，求面积的最小值．19.（12分）如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：(Ⅰ)该几何体的体积；(Ⅱ)截面ABC的面积．20（12分）.如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F，并求四面体PDEF的体积．21.（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．22.（12分）如图，在三棱锥中，是正三角形，为其中心.面面，，，是的中点，.（1）证明：面；（2）求与面所成角的正弦值.合肥一六八中学2018—2019学年第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）参考答案一．选择题二、填空题13.－114.1或715.316.4三、解答题17.（1）3x＋y＝0或x＋y＋2＝0；（2）a≤－1.18（1）设点关于直线的对称点为，由题意应有，解得，所以点．因为反射后光线经过点和点，所以反射后光线所在直线的方程为．（2）设为的一条高，则，设，可得，所以的面积，当且仅当时，等号成立．所以，面积的最小值是．19.（Ⅰ）过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，则该几何体的体积V＝＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6，（Ⅱ）在△ABC中，AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝2.则S△ABC＝×2×＝20.（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=×DE×S△PEF=×2××2×2=．21.（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．∴DO=AC．∴DO2+BO2=AB2=BD2．∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为h D，h E．则=．∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，∴===1．∴点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E．=（﹣1，0，1），=，=（﹣2，0，0）．设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，取=．同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，）．∴cos===﹣．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．22.（1）连结，因为是正三角形的中心，所以在上且，又，所以在中有，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解法一：作交的延长线于，作交的延长线于，由面面知面，所以，又，所以所以面,所以面面，作，则面连结，则为与面所成角，∴，即所求角的正弦值为.解法二：以中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.∵，∴，，，，∴，，，.设面的法向量为，则取，∴，即所求角的正弦值为.。

未命名…………合肥一六八中学2018—2019学年第二学期期中考试高二数学(文科)试题（宏志班）命题人：章春审题人：史传奇（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡的相应位置.)1．已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为（）A ．i-B ．-1C ．1D ．i2．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：2456830405060根据表中的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为 6.517.5y x ∧=+，则表中m 的值为（）A ．45B ．50C ．55D ．703．若双曲线2221y x m-=(0m >)的焦点到渐近线的距离是2，则m 的值是A.1 C.2 D.44．下列函数在区间(0,)+∞上是增函数的是A ．2xy x e =+B ．cos xy x e =-C ．1y x x=-D ．24y x x=-5．若函数322()7f x x ax bx a a =++--在处取得极大值10，则ab的值为（）A ．23-B ．C ．或23-D ．不存在6．设a∈R，则“a=1”是“直线l 1：ax+2y-2=0与直线l 2：x+（a+1）y+1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．α，β为两个不同的平面，,m n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（）①若//αβ，m α⊂，则//m β；②若//,m n αα⊂，则//m n ；③若,,n m n αβαβ⊥⋂=⊥，则m β⊥④若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④未命名…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A ．B ．C ．D ．9.已知函数的导函数,且满足，则＝()A ．B ．C ．1D ．10.已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则的面积为（）A ．1B ．C ．2D ．11．函数是定义在上的函数,，且在上可导，为其导函数，若'()()(2)x xf x f x e x +=-且，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．12．已知函数()1323+-=x ax x f ，若()x f 存在唯一的零点0x ，且00x >，则∈a （）A.()+∞,2 B.()+∞,1 C.()2,-∞- D.()1,-∞-二、填空题（每题5分，共20分）13．抛物线24x y =的准线方程是_______14．已知函数32153y x x ax =++-在上总是单调函数，则a 的取值范围是________15．已知椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为12F F ，，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段1F A 为直径的圆交线段1F B 的延长线于点P ，若2//F B AP ，则该椭圆离心率是_________16．下列结论：“直线l 与平面平行”是“直线l 在平面外”的充分不必要条件；若p ：，，则：，；命题“设a ，，若，则或”为真命题；“”是“函数在上单调递增”的充要条件．其中所有正确结论的序号为______三、解答题（17题10分，18,19,20,21,22每题12分共70分）17．已知命题，，命题实数满足：方程22114x y m m+=--表示双曲线．1若命题为真命题，求实数的取值范围；未命名…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………18．如图，在三棱柱中，底面ABC,，点分别为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积.19．已知过点的圆的圆心在轴的非负半轴上，且圆截直线所得弦长为．（1）求的标准方程；（2）若过点且斜率为的直线交圆于、两点，若的面积为，求直线的方程．20．已知函数2()x f x x ax e =+-，()ln g x x =．当1a e =-时，求曲线在点处的切线方程；若函数在区间上是单调递减函数，求实数a 的取值范围．未命名…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………21．已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为.求椭圆的方程；过椭圆内一点，斜率为的直线交椭圆于两点，设直线,OM ON （为坐标原点）的斜率分别为，若对任意，存在实数，使得，求实数λ的取值范围.22．已知函数2()ln (21)1f x x x a x ax a =+---+(Ⅰ)若12a =,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若[1,)x ∈+∞时,恒有()0f x ≤,求实数a 的取值范围.。

合肥一六八中学2018—2019学年第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）一、选择题（共60题，每题5分。

每题仅有一个正确选项。

）1．已知a、b是两条平行直线，且a∥平面β，则b与β的位置关系是（ ）A．平行 B．相交C．b在平面β内 D．平行或b在平面β内2．在下列命题中，不是公理的是（ ）A．平行于同一条直线的两条直线互相平行B．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内C．空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两角相等或互补D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．如果ac＞0，bc＞0，那么直线ax+by+c=0不通过（ ）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．直线（a2+1）x﹣y+1=0（其中a∈R）的倾斜角的取值范围是（ ）A．[0，] B．[，） C．（，] D．[，π）5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．12π B．24π C． D．72π6．半径为5的球内有一个高为8的内接正四棱锥，则这个球与该内接正四棱锥的体积之比为（ ）A．B．C．D．7．三棱柱ABC﹣A'B'C′的所有棱长都等于2，并且AA'⊥平面ABC，M是侧棱BB′的中点，则直线MC′与A′B所成的角的余弦值是（ ）A．B．C．D．8．直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），为端点的线段总有公共点，则直线l斜率的取值范围是（ ）A． B．C． D．[1，+∞）9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是四边形BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，下列说法正确的个数是（ ）①点F的轨迹是一条线段②A1F与D1E不可能平行③A1F与BE是异面直线④当F与C1不重合时，平面A1FC1不可能与平面AED1平行A．1 B．2 C．3 D．410．在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．411．生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，设O、H、G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项错误的是（ ）A．HG=2OG B．++=C．设BC边中点为D，则有AH=3OD D．S△ABG=S△BCG=S△ACG12．如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE和平面CDEF不重合）下面说法正确的是（ ）A ．存在某一位置，使得CD ∥平面ABFEB ．存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFEC ．在翻折的过程中，BF ∥平面ADE 恒成立D ．在翻折的过程中，BF ⊥平面CDEF 恒成立二、填空题（共20分，每题5分）13、已知直线1:260l ax y ++=与()22:110l x a y a +-+-=平行，则实数a 的取值是________14．球的半径为5cm ，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为6cm 和8cm ，则这两个平面之间的距离是 cm ．15. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；② 一尺等于十寸)16．在正方体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AB 上一点，且AE=1，BE=3，以E 为球心，线段EC 的长为半径的球与棱A 1D 1，DD 1分別交于F ，G 两点，则△AFG 的面积为________ 三、解答题（共70分，每题必需要有必要的解答过程）17.（10分） 设直线l 的方程为(＋1)x ＋y ＋2－＝0 (∈R)． a a a (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数的取值范围． a18.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，OBC ∆的边BC 所在的直线方程是03:=--y x l ， （1）如果一束光线从原点O 射出，经直线l 反射后，经过点)3,3(，求反射后光线所在直线的方程；（2）如果在OBC ∆中，BOC ∠为直角，求OBC ∆面积的最小值．19.（12分）如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：(Ⅰ)该几何体的体积；(Ⅱ)截面ABC的面积．20（12分）.如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F，并求四面体PDEF的体积．21.（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．22.（12分）如图，在三棱锥中，是正三角形，为其中心.面面，，，是的中点，.（1）证明：面；（2）求与面所成角的正弦值.合肥一六八中学2018—2019学年第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）参考答案一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCABCBABCCCC二、填空题 13. －114. 1或7 15. 3 16. 4三、解答题17.（1）3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0；（2）a ≤－1.18（1）设点O 关于直线l 的对称点为),(00y x A ，解得⎩⎨⎧-==3300y x，所以点)3,3(-A ．因为反射后光线经过点)3,3(-A 和点)3,3(，所以反射后光线所在直线的方程为3=x ．（2）设OD 为OBC ∆的一条高，则当且仅所以，OBC ∆面积的最小值是19.（Ⅰ）过C 作平行于A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ，交AA 1，BB 1分别于点A 2，B 2. 由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1＝90°可知B 2C ⊥平面ABB 2A 2， 则该几何体的体积V ＝＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6， （Ⅱ）在△ABC 中，AB ＝＝，BC ＝＝，AC＝＝2.则S△ABC＝×2×＝20.（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=×DE×S△PEF=×2××2×2=．21.（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．∴DO=AC．∴DO2+BO2=AB2=BD2．∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为h D，h E．则=．∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，∴===1．∴点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E ．=（﹣1，0，1），=，=（﹣2，0，0）．设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，取=．同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，）．∴cos===﹣．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．22.（1）连结，因为是正三角形的中心，所以在上且，又，所以在中有，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解法一：作交的延长线于，作交的延长线于，由面面知面，所以，又，所以所以面,所以面面，作，则面连结，则为与面所成角，∴，即所求角的正弦值为.解法二：以中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.∵，∴，，，，∴，，，.设面的法向量为，则取，∴，即所求角的正弦值为.- 11 -。

2019-2020学年安徽省合肥168中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共60分，每题只有一个正确选项）1．（5分）空间内三点可以确定平面的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．1个或无数个2．（5分）已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α3．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示，则该阳马的体积为（）A．B．C．24D．724．（5分）已知A（λ，5），B（4，12），C（﹣λ，13）三点，其中λ＜0．若A，B，C三点在同一条直线上，则实数λ的值为（）A．B．C．D．5．（5分）下列说法正确的是（）A．两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线B．不共线三点到平面α的距离相等，则这三点确的平面不一定与平面α平行C．对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行D．两个相交平面的交线是一条线段6．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝5，则V的最大值是（）A．4πB．C．D．7．（5分）已知a，b是两条异面直线，且a⊥b，直线c与直线a成30°角，则c与b所成的角的大小范围是（）A．[60°，90°]B．[30°，90°]C．[30°，60°]D．[45°，90°] 8．（5分）已知两点A（2，﹣1），B（3，m），若实数，则直线AB 的倾斜角α的取值范围为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC＝2，平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，点A1到平面BCC1B1距离是，则直线A1C1与平面BCC1B1所成角的大小为（）A．B．C．D．10．（5分）已知直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m＝0与两坐标轴交于A，B两点，当点M（﹣1，﹣2）满足|AM|＝|BM|时，实数m的值为（）A．B．0C．D．211．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，Q为棱AA1的中点，P为棱CC1的动点，设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，直线n为平面ABCD与平面B1D1Q的交线，下列结论中错误的是（）A．m∥平面B1D1QB．平面PBD与平面B1D1P不垂直C．平面PBD与平面B1D1Q可能平行D．直线m与直线n可能不平行12．（5分）如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，则（）A．存在点G，使PG⊥EF成立B．存在点G，使FG⊥EP成立C．不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立D．不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）水平放置的△ABC，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的△A'B'C'，其中O'A'＝O'B'＝1，O'C'＝，则△ABC面积为．14．（5分）棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AA1上的点，且A1M＝2MA，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是．15．（5分）已知点P是直线l上的一点，将直线l绕点P逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），所得直线方程是x﹣y﹣2＝0，若将它继续旋转90°﹣α角，所得直线方程是2x+y﹣1＝0，则直线l的方程是．16．（5分）已知四面体ABCD的三组对棱的长分别相等且依次为3，2，x，则x的取值范围是．三、解答题（共70分）17．已知点P（2，﹣1），求：（1）过P点且与直线x﹣y+5＝0平行的直线l的方程；（2）过P点与原点距离为2的直线l的方程；18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，点E，F分别为AB和PD中点．（1）求证：直线AF∥平面PEC；（2）求证：平面AEF⊥平面PDE．19．从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为h米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为．（1）求圆锥筒的容积；（2）在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为x的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积最大时x的值．20．光线从A（1，1）点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点D（1，7）．（1）求BC所在直线的方程；（2）过点A（1，1）且斜率为﹣m（m＞0）的直线L与x，y轴分别交于P、Q，过P、Q作直线BC的垂线，垂足为R、S，求线段|RS|长度的最小值．21．如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，P A，NC都垂直于平面ABCD，且P A＝AB＝4，NC＝2，M是线段P A上一动点．（1）当MO⊥平面EFN，求AM：MP的值；（2）当M是P A中点时，求四面体M﹣EFN的体积．22．在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝60°，P A＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE：ED＝2：1．（1）点F在棱PC上，且BF∥平面AEC，求线段CF的长度；（2）在（1）的条件下，求点F到平面ACE的距离．2019-2020学年安徽省合肥168中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分，每题只有一个正确选项）1．（5分）空间内三点可以确定平面的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．1个或无数个【分析】当空间的三个不同的点共线时，过这三个点能确定无数个平面．当空间的三个不同的点不共线时，过这三个点能确定1个平面．【解答】解：当三个点重合时，有无数个平面；当空间的三个不同的点共线时，过这三个点能确定无数个平面；当空间的三个不同的点不共线时，过这三个点能确定1个平面；∴当空间的三个不同的点，能确定1个或无数个平面；故选：D．【点评】本题考查平面的基本性质及其推论的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意全面考虑，不要遗漏．2．（5分）已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在C中，n∥α或n⊂α；在D中，n与α相交、平行或n⊂α．【解答】解：由m，n表示两条不同的直线，α表示平面，知：在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理得m∥n，故B正确；在C中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；在D中，若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力及数形结合思想，是中档题．3．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示，则该阳马的体积为（）A．B．C．24D．72【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以V＝．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．4．（5分）已知A（λ，5），B（4，12），C（﹣λ，13）三点，其中λ＜0．若A，B，C三点在同一条直线上，则实数λ的值为（）A．B．C．D．【分析】根据A，B，C三点在同一条直线上，利用斜率相等列方程求出λ的值．【解答】解：由A，B，C三点在同一条直线上，且λ＜0，所以直线AB的斜率存在，即k AB＝k BC，所以＝，解得λ＝﹣．故选：C．【点评】本题考查了三点共线的条件与应用问题，也考查了方程思想和运算能力，是基础题．5．（5分）下列说法正确的是（）A．两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线B．不共线三点到平面α的距离相等，则这三点确的平面不一定与平面α平行C．对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行D．两个相交平面的交线是一条线段【分析】A．两条相交直线在同一平面内的射影也可能为同一条直线，即可判断出正误；B．不共线三点到平面α的距离相等，这三点确的平面可能与平面α相交；即可判断出正误；C．对确定的两异面直线，过空间一点的平面可能经过其中一条直线而与另一条直线平行，即可判断出正误；D．两个相交平面的交线是一条直线，而不是线段，即可判断出正误；【解答】解：A．两条相交直线在同一平面内的射影可能为相交直线、同一条直线，因此不正确；B．不共线三点到平面α的距离相等，则这三点确的平面不一定与平面α平行，可能与平面α相交；C．对确定的两异面直线，过空间一点的平面可能经过其中一条直线而与另一条直线平行，因此不正确；D．两个相交平面的交线是一条直线，而不是线段，因此不正确．故选：B．【点评】本题考查了空间线面位置关系、命题真假判断方法，考查了推理能力，属于基础题．6．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝5，则V的最大值是（）A．4πB．C．D．【分析】先保证截面圆与△ABC内切，记圆O的半径为r，由等面积法得（AC+AB+BC）r＝6×8，解得r＝2．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，球的最大半径为2，由此能求出结果．【解答】解：如图，由题知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切．先保证截面圆与△ABC内切，记圆O的半径为r，则由等面积法得，所以（AC+AB+BC）r＝6×8，又AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，所以r＝2．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，若r增大，则无法保证球在三棱柱内，故球的最大半径为2，所以．故选：D．【点评】本题考查球的最大体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．（5分）已知a，b是两条异面直线，且a⊥b，直线c与直线a成30°角，则c与b所成的角的大小范围是（）A．[60°，90°]B．[30°，90°]C．[30°，60°]D．[45°，90°]【分析】构造一个圆锥满足直线a为圆锥的中心轴，直线c为圆锥的母线，直线b为圆锥底面上的一条直线BC，且BC∥OD；分c位于AD的位置和c位于AC的位置，求出c 与b所成的角，再利用最小角定理求解．【解答】解：如图所示，直线a为圆锥的中心轴，直线c为圆锥的母线，直线b为圆锥底面上的一条直线BC，且BC∥OD．∵直线c与直线a成30°角，∴∠DAO＝∠CAO＝30°，∴∠ADO＝∠ACO＝60°．当c位于AD的位置时，c与b所成的角为∠ADO＝60°；当c位于AC的位置时，c与b所成的角为∠ACB，由最小角定理知，cos∠ACB＝cos∠ACO•cos∠BCO＜cos∠ACO＝cos60°，∴∠ACB＞60°，又异面直线夹角的取值范围是（0，90°]，∴60°＜∠ACB≤90°．综上，c与b所成的角的大小范围是[60°，90°]，故选：A．【点评】本题考查异面直线夹角问题，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．（5分）已知两点A（2，﹣1），B（3，m），若实数，则直线AB 的倾斜角α的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由点A、B的坐标求出直线AB的斜率，由斜率k的取值范围得出倾斜角α的取值范围．【解答】解：由点A（2，﹣1），B（3，m），所以直线AB的斜率为k＝＝m+1；又m∈[﹣﹣1，﹣1]，所以m+1∈[﹣，]，即k∈[﹣，]，且α∈[0，π），所以倾斜角α的取值范围是[0，]∪[，π）．故选：B．【点评】本题考查了由两点的坐标求出直线斜率以及倾斜角的取值范围问题，是基础题．9．（5分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC＝2，平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，点A1到平面BCC1B1距离是，则直线A1C1与平面BCC1B1所成角的大小为（）A．B．C．D．【分析】过A1作A1O⊥CC1于O，由已知可得A1O⊥平面BCC1B1，可得∠A1C1O为所求，解Rt△A1C1O即可．【解答】解：过A1作A1O⊥CC1于O，平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，平面ACC1A1∩平面BCC1B1＝CC1，A1O⊂平面ACC1A1，∴A1O⊥平面BCC1B1，∴∠A1C1O为直线A1C1与平面BCC1B1所成的角，又点A 1到平面BCC1B1距离是，∴，在Rt△A1C1O中，A1C1＝AC＝2，∴，∴，即直线A1C1与平面BCC1B1所成的角为．故选：C．【点评】本题考查直线与平面所成的角，将空间角转化为平面角是解题的关键，属于基础题．10．（5分）已知直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m＝0与两坐标轴交于A，B两点，当点M（﹣1，﹣2）满足|AM|＝|BM|时，实数m的值为（）A．B．0C．D．2【分析】求出直线l过定点M，由题意知M为线段AB的中点，利用中点坐标求出点A、B，再代入直线l方程求出m的值．【解答】解：直线l的方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m＝0，所以2x+mx+y﹣2my+4﹣3m＝0，所以（x﹣2y﹣3）m+（2x+y+4）＝0，所以，解得x＝﹣1，y＝﹣2；所以直线过定点M（﹣1，﹣2）；因为过M点的直线分别与两坐标轴交于A点和B点，则M为线段AB的中点，所以A（﹣2，0），B（0，﹣4），代入直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m＝0中，解得m＝0．故选：B．【点评】本题考查了直线过定点以及直线方程的应用问题，是中档题．11．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，Q为棱AA1的中点，P为棱CC1的动点，设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，直线n为平面ABCD与平面B1D1Q的交线，下列结论中错误的是（）A．m∥平面B1D1QB．平面PBD与平面B1D1P不垂直C．平面PBD与平面B1D1Q可能平行D．直线m与直线n可能不平行【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可得BD∥B1D1，根据线面平行的判定定理和性质定理可得m∥BD∥B1D1，可判断选项A结论；分别取BD，B1D1中点O，O1，连OP，O1P，则∠OPO1为平面PBD与平面B1D1P的平面角，判断∠OPO1是否为直角，即可判断选项B的结论；若P为CC1中点时，可证平面PBD与平面B1D1Q 平行，即可判断选项C的结论，根据面面平行的性质定理可得n∥B1D1，即可判断选项D的结论．【解答】解：A．∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BD∥B1D1，∴m∥BD∥B1D1，∵m⊄平面B1D1Q，B1D1⊂平面B1D1Q，∴m∥平面B1D1Q．B．分别取BD，B1D1中点O，O1，连接OP，O1P，OO1，设正方体的边长为2，设CP＝h，则，∴PO⊥BD，PO⊥m，同理PO1⊥m，∴∠OPO1为平面PBD与平面B1D1P的平面角，在△OO1P中，，，∴∠OPO1不是直角，所以平面PBD与平面B1D1P不垂直，选项B结论正确；C．若P为CC1中点，取BB1中点E连C1E，QE，则C1E∥BP，又Q为棱AA1的中点，∴QE∥C1D1，QE＝C1D1，四边形C1D1QE为平行四边形，∴D1Q∥C1E，∴D1Q∥BP，D1Q⊄平面PBD，BP⊂平面PBD，∴D1Q∥平面PBD，同理B1D1∥平面PBD，B1D1∩D1Q＝D1，B1D1，D1Q⊂平面B1D1Q，∴平面PBD∥平面B1D1Q，选项C结论正确；D．在正方体中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面B1D1Q＝n，平面A1B1C1D1∩平面B1D1Q＝B1D1，∴n∥B1D1，∴n∥m，选项D结论不正确．故选：D．【点评】本题考查空间线、面位置关系，涉及到线线平行、线面平行、面面平行、面面垂直的判定，掌握平行、垂直的判定定理和性质定理是解题的关键，属于中档题．12．（5分）如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，则（）A．存在点G，使PG⊥EF成立B．存在点G，使FG⊥EP成立C．不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立D．不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解．【解答】解：正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，在A中，取BD中点O，连结AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC，∵PG∩BD＝G，∴不存在点G，使PG⊥EF成立，故A错误；在B中，连结BF，则BF∥PE，∵G是BD上的动点，∴存在点G，使FG⊥BF成立∴存在点G，使FG⊥EP成立，故B正确；在C中，∵G是BD上动点，∴存在点G，使FG⊥平面ACD成立，∴存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C错误；在D中，∵G是BD上动点，∴存在点G，使FG⊥平面ABD成立，∴存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）水平放置的△ABC，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的△A'B'C'，其中O'A'＝O'B'＝1，O'C'＝，则△ABC面积为．【分析】把直观图还原为原图形，再计算对应图形的面积．【解答】解：用斜二测画法作出的直观图，还原为原图形，如图所示；△ABC中，OA＝O'A'＝1，OB＝O'B'＝1，OC＝2O'C'＝，且OC⊥AB，所以△ABC的面积为S△ABC＝AB•OC＝×2×＝．故答案为：．【点评】本题考查了利用斜二测画法作出的直观图，求原图形面积的应用问题，是基础题．14．（5分）棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AA1上的点，且A1M＝2MA，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是2．【分析】根据面面平行的性质作出截面多边形，再根据多边形的特点计算面积．【解答】解：连接A1B，则A1B∥CD1，在AB上取点N，使得＝＝，则MN∥A1B，故MN∥CD1，连接CN，则过C、M、D1的平面与正方体的截面为梯形MNCD1，∵正方体棱长为3，∴A1B＝CD1＝3，故MN＝，且CN＝MD1＝，∴等腰梯形MNCD1的高为＝，∴等腰梯形MNCD1的面积为＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了面面平行的性质，属于基础题．15．（5分）已知点P是直线l上的一点，将直线l绕点P逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），所得直线方程是x﹣y﹣2＝0，若将它继续旋转90°﹣α角，所得直线方程是2x+y﹣1＝0，则直线l的方程是x﹣2y﹣3＝0．【分析】由直线l绕点P逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），所得直线方程是x﹣y﹣2＝0，若将它继续旋转90°﹣α角，所得直线方程是2x+y﹣1＝0，我们不难分析出直线l经过直线x﹣y﹣2＝0和2x+y﹣1＝0的交点（1，﹣1），且又与直线2x+y﹣1＝0垂直，则我们易给出直线l的点斜式方程．【解答】解：由已知易得：直线l经过直线x﹣y﹣2＝0和2x+y﹣1＝0的交点（1，﹣1），且又与直线2x+y﹣1＝0垂直，∴l的方程为y+1＝（x﹣1），即x﹣2y﹣3＝0．【点评】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．16．（5分）已知四面体ABCD的三组对棱的长分别相等且依次为3，2，x，则x的取值范围是．【分析】将此四面体ABCD还原成长方体，利用体对角线大于面对角线，即可求得x的范围．【解答】解：将此四面体ABCD还原成长方体（如图），则有，∴长方体的对角线l＝，则有，解得，则x的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查四面体中边长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思，是中档题．三、解答题（共70分）17．已知点P（2，﹣1），求：（1）过P点且与直线x﹣y+5＝0平行的直线l的方程；（2）过P点与原点距离为2的直线l的方程；【分析】（1）利用平行直线的斜率相等求解；（2）对直线的斜率是否存在分情况讨论，过P（2，﹣1）垂直于x轴的直线满足条件即方程为x＝2，斜率存在，设l的方程为y+1＝k（x﹣2），再利用点到直线距离公式即可求出k的值，从而得到直线l的方程．【解答】解：（1）因为所求直线与直线x﹣y+5＝0平行，所以所求直线的斜率k＝1，所以所求直线的方程为：x﹣y﹣3＝0；（2）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，﹣1），可见，过P（2，﹣1）垂直于x轴的直线满足条件．此时l的斜率不存在，其方程为x＝2．若斜率存在，设l的方程为y+1＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣1＝0．由已知，得，解之得．此时l的方程为3x﹣4y﹣10＝0．综上，可得直线l的方程为x＝2或3x﹣4y﹣10＝0．【点评】本题主要考查了两直线的位置关系，考查了直线方程的求法以及点到直线距离公式，是基础题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，点E，F分别为AB和PD中点．（1）求证：直线AF∥平面PEC；（2）求证：平面AEF⊥平面PDE．【分析】（1）作FM∥CD交PC于M，根据已知可得，可证四边形AEMF为平行四边形，从而有AF∥EM，即可证明结论；（2）根据已知可得AE⊥DE，PD⊥AE，可证AE⊥平面PED，即可证明结论．【解答】（1）证明：作FM∥CD交PC于M．∵点F为PD中点，∴．∵点E为AB的中点．∴，又AE∥FM，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．（2）因为底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，所以AE⊥DE，因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AE，又PD与PE相交于P，所以AE⊥平面PED，又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PDE．【点评】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及平面与平面垂直，要注意空间垂直关系的相互转化，属于基础题．19．从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为h米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为．（1）求圆锥筒的容积；（2）在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为x的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积最大时x的值．【分析】（1）设圆锥筒的半径为r，容积为V，由扇形的弧长等于圆锥底面周长列式求得r，进一步求出高，可得圆锥体积；（2）设内接圆柱高为h，由三角形相似列式，把h用含有x的代数式表示，代入圆柱侧面积公式，利用二次函数求最值．【解答】解：（1）设圆锥筒的半径为r，容积为V，∵所裁剪的扇形铁皮的圆心角为，∴，解得r＝1，∴，∴．故圆锥筒的容积为；（2）设内接圆柱高为h，则有：，∴内接圆柱侧面积，∴当时内接圆柱侧面积最大值．【点评】本题考查扇形弧长、圆锥体积及圆柱侧面积公式的应用，考查运算求解能力，是中档题．20．光线从A（1，1）点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点D（1，7）．（1）求BC所在直线的方程；（2）过点A（1，1）且斜率为﹣m（m＞0）的直线L与x，y轴分别交于P、Q，过P、Q作直线BC的垂线，垂足为R、S，求线段|RS|长度的最小值．【分析】（1）利用对称性求出点E，F的坐标，从而得出直线BC的方程；（2）设l的方程为y﹣1＝﹣m（x﹣1），求出点P，Q的坐标，从而可得直线PR和QS 的方程，再利用PR∥QS结合基本不等式即可求出线段|RS|长度的最小值．【解答】解：（1）点A关于x轴对称为E（1，﹣1），点D关于y轴对称点为F（﹣1，7），又直线BC经过F，E两点，故直线BC：y+4x﹣3＝0；（2）设l的方程为y﹣1＝﹣m（x﹣1），则，Q（0，1+m），从而可得直线PR和QS的方程分别为和4y﹣x﹣4（1+m）＝0，又PR∥QS，∴，当且仅当取等号，∴线段|RS|长度的最小值为．【点评】本题主要考查了直线的方程，以及基本不等式的应用，是中档题．21．如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，P A，NC都垂直于平面ABCD，且P A＝AB＝4，NC＝2，M是线段P A上一动点．（1）当MO⊥平面EFN，求AM：MP的值；（2）当M是P A中点时，求四面体M﹣EFN的体积．【分析】（1）由题意可知△MAO～△OCN，再由已知求得AO，OC的值，利用三角形的相似比求得AM，则答案可求；（2）M是P A中点时，可得AC∥MN，且AC＝MN，求出三角形MON的面积，由求四面体M﹣EFN的体积．【解答】解：（1）∵MO⊥平面EFN，∴MO⊥ON，又∵P A，NC都垂直于平面ABCD，∴△MAO～△OCN，又E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，且P A＝AB＝4，NC＝2，∴AO＝，，∴，则MP＝P A﹣AM＝4﹣3＝1．得AM：MP＝3；（2）∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴EF⊥AC，又∵P A，NC都垂直于平面ABCD，EF⊥CN，且AC∩CN＝C，∴EF⊥平面ACN，∴四面体M﹣EFN的体积，∵，又M是P A中点，∴AM＝CN，且已知AM∥CN，∴四边形MACN为平行四边形，则AC∥MN，且AC＝MN，∴，∴．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．22．在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝60°，P A＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE：ED＝2：1．（1）点F在棱PC上，且BF∥平面AEC，求线段CF的长度；（2）在（1）的条件下，求点F到平面ACE的距离．【分析】（1）连接BD交AC与O，连接EO，平面PBD中作BH∥OE交PD与H，过H 在平面PCD内作HF∥EC交PC与F，则点F即为所求，（2）由已知可得P A⊥平面ABD，将已知四棱锥补形成直四棱柱，可得点F到平面ACE 的距离就是F到OM的距离．【解答】解：（1）连接BD交AC与O，连接EO，平面PBD中作BH∥OE交PD与H，过H在平面PCD内作HF∥EC交PC与F，所以BH∥平面ACE，HF∥平面ACE，且BH∩HF＝H，故平面BHF∥平面ACE，所以，BH∥平面AEC，点F即为所求的点，由O为BD中点，则E为DH中点，又PE：ED＝2：1．故H为PE中点，所以F为PC中点，所以．（2）因为P A＝AC＝a，PB＝PD＝a，所以P A⊥AB，P A⊥AD，又AB∩AD＝A，所以P A⊥平面ABD，如图补形成直四棱柱，延长AE交DD1于M，连接CM，OM，则DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1．因为底面是菱形，所以AC⊥BD，所以AC⊥平面BDD1，又AC⊂平面ACM，所以平面BDD1⊥平面ACM，由（1）知F是PC中点，所以F∈平面BDD1，所以F到平面ACM的距离就是F到OM的距离，且ODMF矩形，所以F到平面ACE的距离为．【点评】本题主要考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，点到平面距离的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，属于中档题．。

高二数学(文科)试题（宏志班）参考答案1．B 2．D 3．C 4．A 5．A 6．C 7．B 8．D 9．B 10．D 11．B 12．Ca 15． 16．13． 14．117．（1）；（2）．18．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.（1）证明：因为三棱柱中，,又因为分别为的中点，所以,于是 ,平面，平面,所以平面.(2) 在三棱柱中，平面，平面，平面所以，,又,，平面,所以平面 ,平面,所以 ,又因为，，所以侧面为正方形，故 ,而分别为的中点，连结，所以‖,所以，又，平面,所以平面 ,又平面,所以平面平面 .（3） .19．（1）；（2）.（1）根据题意，圆的圆心且经过点，则圆的方程为，圆心到直线的距离，若圆截直线所得弦长为，则有，解可得：，则，则圆的方程为；（2）根据题意，设直线的方程为，即，圆的方程为，则圆心到直线的距离，则，又由，则到直线的距离，若的面积为，则，解可得：，则直线的方程为．20．（1）；（2）.解：由，且．有：，且，，故切线方程为即，函数在区间上是单调递减函数，对恒成立，令，则，由于，故，在上单调递减，，．21．（1）；（2）【详解】由题意得，解得.所以椭圆的方程为：设直线的方程为由消元可得 设，则 而 由得 因为此等式对任意的都成立，所以，即 由题意，点在椭圆内，故，解得 所以的取值范围是22(1)0+122a ∞≥单调减区间（，）（）。

安徽省合肥一六八中学2018—2019学年高二数学上学期期中试题 文（凌志班）(考试时间：120分钟 满分:150分）注意事项：1、 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2、 选择题答案请用2B 铅笔准确地填涂在答题卡上相应位置，非选择题答案必须填写在答题卷上相应位置,否则不得分.3、考试结束后，请将答题卡和答题卷一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（共60题,每题5分。

每题仅有一个正确选项.）1。

下列说法正确的是（B ）A 。

有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B 。

四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C.有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点2。

如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图, 其中O′A′＝6 cm ，O′C′＝2 cm ，则原图形是（C )A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形3.已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( C )A ．120°B ．150° C．180° D．240°4。

已知直线是异面直线，直线分别与都相交，则直线的位置关系A 。

可能是平行直线 B.一定是异面直线C 。

可能是相交直线D 。

平行、相交、异面直线都有可能 答案 C5．在正四面体的6条棱中随机抽取2条,则其2条棱互相垂直的概率为 ( ）A ．B ．C ．D ． C6。

已知互相垂直的平面交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ）a b 、c d 、a b 、c d 、34231513αβ，A 。

m ∥l B.m ∥n C 。

n ⊥l D.m ⊥n【答案】C7．直线与的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．与的值有关 B8．设△ABC 的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为（ )A ．y ＝2x ＋5B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝－错误!x ＋错误! 答案:A9。

安徽省合肥一六八中学高二数学上学期期中试题 文（凌志班）（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1、 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2、 选择题答案请用2B 铅笔准确地填涂在答题卡上相应位置，非选择题答案必须填写在答题卷上相应位置，否则不得分。

3、考试结束后，请将答题卡和答题卷一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（共60题，每题5分。

每题仅有一个正确选项。

）1.下列说法正确的是(B )A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C.有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点2.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图， 其中O′A′＝6 cm ，O′C′＝2 cm ，则原图形是(C )A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形3.已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( C )A ．120°B ．150°C ．180°D ．240°4.已知直线a b 、是异面直线，直线c d 、分别与a b 、都相交，则直线c d 、的位置关系 A.可能是平行直线 B.一定是异面直线C.可能是相交直线D.平行、相交、异面直线都有可能 答案 C5．在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为 （ ） A ．34 B ．23 C ．15 D ．13C6.已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则（ ） A.m ∥l B.m ∥n C.n ⊥l D.m ⊥n【答案】C7．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．与,,a b θ的值有关B8．设△ABC 的一个顶点是A(3，－1)，∠B ，∠C 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为( )A ．y ＝2x ＋5B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝－12x ＋52答案：A9.βα,是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面βα,平行的是 ( ) A.n m ,是平面α内两条直线，且ββ//,//n m B.α内不共线的三点到β的距离相等 C.βα,都垂直于平面γ D.n m ,是两条异面直线，βα⊂⊂n m ,，且αβ//,//n m D10．已知圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是( D )A.23π3 B ．23π C.73π6 D.73π311.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(C )A ．64＋32πB ．64＋64πC ．256＋64πD ．256＋128π12.在单位正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP+D 1P 取得最小值,则此最小值是（ ） 2+6C.2+22+2 D第Ⅱ卷二、填空题（共20分，每题5分）13.直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________________. 答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞)14. 四棱锥S ABCD -2，点,,,,S A B C D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________．解析：如图所示，根据对称性，只要在四棱锥的高线SE 上找到一个点O 使得OA OS =，则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上．在Rt SEA ∆中，2,1SA AE ==，故1SE =．设球的半径为R ，则,1OA OS R OE R ===-Rt OAE ∆中，221(1)1R R R =+-=>=，0OE =，即点E 即为球心，故这个球的体积43V π=15.如图，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________cm.答案：1316. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；② 一尺等于十寸)答案：3解析：本题考查圆台的体积公式．做出圆台的轴截面如图，由题意知，BF ＝14(单位寸，下同)，OC ＝6，OF ＝18，OG ＝9，即G 是OF 中点，所以GE 为梯形的中位线，所以GE ＝14＋62＝10，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为13(100π＋36π＋100π×36π)＝588π.盆口的面积为142π＝196π，所以588π196π＝3，即平地降雨量是3寸．三、解答题（共70分，每题必需要有必要的解答过程）17（10分）.已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高. 棱台的高为4 3 cm.18（12分）.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，0,60AB AD BAD =∠=，,E F 分别是,AP AD 的中点．求证：（1）直线EF ∥平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD . 解析：（1）如图，在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD .又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以直线EF ∥平面PCD .（2）连接BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD .因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以BF ⊥平面PAD . 又因为BF ⊂平面BEF ， 所以平面BEF ⊥平面PAD .19（12分）.如图，在三棱锥P ABC -中，PAC ABC ⊥平面平面，60PAC BAC ∠=∠=o ，4AC =，3AP =，2AB =.（1）求三棱锥P ABC -的体积； （2）求点C 到平面PAB 距离.19.解：（1）过P 作PH AC ⊥交AC 于一点H ，PAC ABC ⊥Q 平面平面， PH ABC ∴⊥平面.在PAC ∆中，60PAC ∠=o ，3PA =，则3333PH ==，32AH =. ABC ∆面积11sin 6024sin 602322S AB AC =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=o o V .∴四面体P ABC -体积113323333ABC V S PH =⋅⋅=⋅=V . （2）在ABC ∆中，连接BH .则2223222BH ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,3132cos 6024⋅⋅=o .22223313104PB PH HB =+=+=，10PB ∴=在PAB ∆中，3PA =，2AB =，10PB =2232101cos 2324PAB +-∴∠==⨯⨯，15sin PAB ∠=115315232PAB S ∴=⋅⋅=V . 设C 点到平面PAB 距离为h ，由等体积法可知.11333PAB ABC S h S PH ⋅=⋅⋅=V .1315334h ∴⋅⋅=.从而4155h =. C ∴点到平面PAB 距离为4155. 20(本题满分12分)已知点P 到两个定点M (－1，0)，N (1，0)距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1.求直线PN 的方程．解：设点P 的坐标为(x ，y )，由题设有|PM ||PN |＝2，即（x ＋1）2＋y 2＝2·（x －1）2＋y 2，整理得x 2＋y 2－6x ＋1＝0.①因为点N 到PM 的距离为1，|MN |＝2，所以∠PMN ＝30°，直线PM 的斜率为±33， 直线PM 的方程为y ＝±33(x ＋1)．② 将②式代入①式整理得x 2－4x ＋1＝0，解得x ＝2±3，代入②式得点P 的坐标为(2＋3，1＋3)或(2－3，－1＋3)或(2＋3，－1－3)或(2－3，1－3)，∴直线PN 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.21（12分）.如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2AD BC BAD AB BC π∠==12AD a ==，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -. (I)证明：CD ⊥平面1AOC ； (II)当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为362，求a 的值.【答案】(I) 证明略，详见解析；(II) 6a =.22（12分）．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB=60°，PA=PD ，M 为CD 的中点，BD ⊥PM ．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若∠APD=90°，四棱锥P﹣ABCD的体积为，求三棱锥A﹣PBM的高．证明：（１）取AD的中点E，连接PE，EM，AC.底面ABCD为菱形，又 EM ∥AC，又BD⊥PM，则., 平面PAD⊥平面ABCD（2）设, 由∠APD=90°，可得由（1）知，则，则连接，可得.设三棱锥A﹣PBM的高为,则由,可得即.。