2019届高考数学一轮总复习冲刺第七章不等式第四节基本不等式及其应用夯基提能作业布置讲解本文

课时跟踪检测（三十九） 基本不等式及应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________．解析：∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，∴ab 的最大值为14.答案：142．(2016·盐城调研)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为________．解析：因为a >0，b >0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，则4a －1＋16b －1＝4b －1＋16a －1a －1b －1＝4b ＋16a －20ab －a ＋b ＋1＝4b ＋16a －20.又4b ＋16a ＝4(b ＋4a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝20＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫b a＋4a b ≥20＋4×2b a ·4a b ＝36，当且仅当b a＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号，所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16. 答案：163．已知a ＋b ＝t (a ＞0，b ＞0)，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t ＝________. 解析：因为a >0，b >0时，有ab ≤a ＋b24＝t 24，当且仅当a ＝b ＝t2时取等号．因为ab的最大值为2，所以t 24＝2，t 2＝8，所以t ＝8＝2 2.答案：2 24．(2016·常州一模)已知x >0，则xx 2＋4的最大值为________．解析：因为x x 2＋4＝1x ＋4x，又x ＞0时，x ＋4x≥2x ×4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号，所以0<1x ＋4x≤14，即x x 2＋4的最大值为14. 答案：145．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．解析：依题意得a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20，当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号，因此|a ＋2b |的最小值是20.答案：20二保高考，全练题型做到高考达标1．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是________．解析：由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4.当且仅当a ＝b ＝1时取等号． ∴m ＋n 的最小值是4. 答案：42．(2015·湖南高考改编)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为________．解析：由1a ＋2b＝ab ，知a ＞0，b ＞0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2. 答案：2 23．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：每批生产x 件，则平均每件产品的生产准备费用是800x元，每件产品的仓储费用是x 8元，则800x ＋x 8≥2 800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时“＝”成立，∴每批生产产品80件．答案：804．(2016·重庆巴蜀中学模拟)若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是________．解析：1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1a ＋1＋4b ＋1 a ＋1＋b ＋14＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4＋b ＋1a ＋1＋ 4a ＋1b ＋1 ≥14(5＋24)＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4a ＋1b ＋1，即a ＝13，b ＝53时取等号．所以1a ＋1＋4b ＋1的最小值是94. 答案：945．若一元二次不等式ax 2＋2x ＋b >0(a >b )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－1a ，则a 2＋b 2a －b 的最小值是________．解析：由一元二次不等式ax2＋2x ＋b >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－1a ，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4ab ＝0且a >0，a ×1a 2－2a＋b ＝0，所以ab ＝1且a >0.又已知a >b ，所以a 2＋b 2a －b ＝a －b 2＋2aba －b＝(a －b )＋2a －b ≥22，当且仅当a －b ＝2a －b 时取等号．所以a 2＋b2a －b的最小值是2 2.答案：2 26．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________． 解析：因为x 2＋y 2－xy ＝1，所以x 2＋y 2＝1＋xy . 所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2. 当且仅当x ＝y ＝1时等号成立． 所以x ＋y 的最大值为2. 答案：27．(2016·青岛模拟)已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为________．解析：因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 2 2－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2，y ＝1时等号成立， 所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1. 答案：18．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．解析：1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0， ∴k ＝1或k ＝－2(舍)， ∴k ＝1.∴f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立．答案：1 39．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x4－2x 的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥2 3－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵0<x <2， ∴2－x >0， ∴y ＝x4－2x ＝2·x2－x≤ 2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x4－2x 的最大值为 2.10．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·南京名校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则3a ＋2b的最小值为________．解析：不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由z ＝ax ＋by 得y ＝－a b x ＋z b，当z 变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－a b ，在y 轴上的截距为z b，由图可知当直线经过点A (4,6)时，在y 轴上的截距最大，从而z 也最大，所以4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，所以3a ＋2b ＝2a ＋3b 6·⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋6＋4a b ＋9b a ≥4，当且仅当a ＝32，b ＝1时等号成立．所以3a ＋4b的最小值为4.答案：42．(2015·南京二模)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)．若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1≥3(x ∈N *)，则(3－a )x ≤x 2＋8，即3－a ≤x ＋8x .因为x ＋8x≥28＝42，当且仅当x ＝22时取等号，又x ∈N *，当x ＝2时，x ＋8x＝6；当x ＝3时，x＋8x ＝3＋83<6，因此x ＋8x 的最小值为3＋83，于是3－a ≤3＋83，即a ≥－83. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞3．(2016·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积．．．为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．解：(1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450， 所以2x ＋7 200x≥22x ×7 200x＝240，当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形为区域的总面积最大，最大为676 m 2.。

第四节基本不等式及其应用A组基础题组1.下列不等式一定成立的是( )A.lg>lg x(x>0)B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.>1(x∈R)2.当x>0时,函数f(x)=有( )A.最小值1B.最大值1C.最小值2D.最大值23.(-6≤a≤3)的最大值为( )A.9B.C.3D.4.若正实数x,y满足x+y=2,且≥M恒成立,则M的最大值为( )A.1B.2C.3D.45.已知直线ax+by-6=0(a>0,b>0)被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为2,则ab的最大值是( )A.9B.C.4D.6.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是.7.已知0<x<1,则x(4-3x)取得最大值时x的值为.8.已知y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b等于.9.(1)当x<时,求函数y=x+的最大值;(2)设0<x<2,求函数y=的最大值.10.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.B组提升题组1.若正数a,b满足a+b=2,则+的最小值是( )A.1B.C.9D.162.不等式x2+x<+对任意a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数x的取值范围是.3.(2018湖北武汉调研)已知x>0,y>0,且2x+5y=20.求:(1)u=lg x+lg y的最大值;(2)+的最小值.4.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周的围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2)若由于地形限制,该水池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.答案精解精析A组基础题组1. C lg>lg x⇒x2+>x(x>0),即4x2-4x+1>0.当x=时,4×-4×+1=0,∴A错;当sin x=-1时,sin x+=-2<2,∴B错;x2+1≥2|x|⇒(|x|-1)2≥0,∴C正确;当x=0时,=1,∴D错.2.B ∵x>0,∴f(x)=≤=1.当且仅当x=,即x=1时取等号.所以f(x)有最大值1.3.B 因为-6≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥0,则由基本不等式可知,≤=,当且仅当a=-时等号成立.4.A 因为正实数x,y满足x+y=2,所以xy≤==1,所以≥1;又≥M恒成立,所以M≤1,即M的最大值为1.5.B 将圆的一般方程化为标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,圆心坐标为(1,2),半径为,故直线过圆心,即a+2b=6,∴a+2b=6≥2,可得ab≤,当且仅当a=2b=3时等号成立,即ab的最大值是,故选B.6.答案(-∞,-2]解析∵1=2x+2y≥2=2(当且仅当2x=2y时等号成立),∴≤,∴2x+y≤,∴x+y≤-2.7.答案解析x(4-3x)=(3x)(4-3x)≤·=,当且仅当3x=4-3x,即x=时,取等号.8. 答案 3解析y=x-4+=x+1+-5,因为x>-1,所以x+1>0,>0,所以由基本不等式,得y=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时取等号,所以a=2,b=1,则a+b=3.9.解析(1)y=(2x-3)++=-+. 当x<时,3-2x>0,此时+≥2=4,当且仅当=,即x=-时取等号.于是y≤-4+=-,故函数的最大值为-.(2)∵0<x<2,∴2-x>0,∴y==·≤·=,当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,∴函数y=的最大值为.10.解析(1)由2x+8y-xy=0,得+=1,又因为x>0,y>0,所以1=+≥2=,所以xy≥64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立,所以xy的最小值为64.(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,则x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18,当且仅当x=12,y=6时,等号成立,所以x+y的最小值为18.B组提升题组1.B +=·= ≥=.当且仅当=,即a=,b=时取等号,故选B.2.答案 (-2,1) 解析 由于不等式x 2+x<+对任意a,b∈(0,+∞)恒成立,则x 2+x<,因为+≥2=2,当且仅当a=b 时等号成立,所以x 2+x<2,求解此一元二次不等式知-2<x<1,所以x 的取值范围是(-2,1). 3.解析 (1)因为x>0,y>0,所以由基本不等式,得2x+5y≥2. 因为2x+5y=20,所以2≤20,xy≤10,当且仅当2x=5y 时,等号成立. 因此有解得 此时xy 有最大值10.所以u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1.所以当x=5,y=2时,u=lg x+lg y 有最大值1.(2)因为x>0,y>0, 所以+=·=≥7+2=. 当且仅当=时,等号成立.由解得所以+的最小值为.4.解析(1)设总造价为f(x)元,污水处理池的宽为x米,则长为米.f(x)=400×+248×2x+80×162=1 296x++12 960=1 296+12 960,∵x>0,∴f(x)≥1 296×2+12 960=38 880,当且仅当x=,即x=10时取等号.∴当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38 880元.(2)由限制条件知∴≤x≤16.设g(x)=x+,则g'(x)=1-,因为g'(x)=1-在上恒大于零,故g(x)在上是增函数,∴当x=时,g(x)取最小值,即f(x)取最小值,为1 296×+12 960=38 882. ∴当污水处理池的长为16米,宽为米时总造价最低,最低总造价为38 882元.。

§ 基本不等式及其应用考纲解读考点内容解读 要求五年高考统计 常考题型 预测热度基本不等式及其应用.利用基本不等式求最值.基本不等式的实际运用.基本不等式的变形运用题 分 填空题解答题★★★分析解读 基本不等式是求函数最值的重要工具,在实际应用题中也经常用到,是高考的热点,复习这部分内容要注意基本不等式的灵活运用.五年高考考点 基本不等式及其应用.(江苏分)某公司一年购买某种货物吨,每次购买吨,运费为万元次,一年的总存储费用为万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则的值是. 答案.(山东文分)若直线(>>)过点(),则的最小值为.答案.(天津理改编分)已知函数()设∈,若关于的不等式()≥在上恒成立,则的取值范围是.答案.(山东理改编分)设正实数满足,则当取得最大值时的最大值为.答案.(山东理分)在△中,角的对边分别为.已知( ).()证明;()求 的最小值.解析 ()证明:由题意知,化简得( ) , 即() . 因为π,所以()(π) . 从而 .由正弦定理得.()由()知,所以≥,当且仅当时,等号成立.故的最小值为.三年模拟组—年模拟·基础题组考点基本不等式及其应用.(江苏盐城时杨中学高三月考)已知>>,则的最大值为.答案.(江苏南京溧水中学质检)已知为正实数,且,则的最小值是.答案.(江苏南京师范大学附中期中)等比数列{}的首项为,公比为,前项和为,若,则的最小值是. 答案.(苏教必,三,变式)若实数满足>>,且,则的最小值为.答案.(江苏南通、扬州、泰州第三次模拟考试)若正实数满足,则的最小值是.答案.(江苏无锡期中)已知正实数满足,则的最小值为.答案.(江苏苏州一模)已知∈(),则的最小值为.答案.(江苏徐州沛县中学质检)已知函数().()解不等式()()≥;()已知(>),且∀∈()()≤恒成立,求实数的取值范围.。