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1 tan x 1 sin x 例 23 (1) 求 lim 2 x 0 x sin x
(2) 求
e e lim x 0 x sin x
x
sin x
例24 函数 f (x) 在点 x 0 可导, 为趋于零的正数数列,求
n , n
f ( x0 n ) f ( x0 n ) lim n n n
n
，
lim
n
xn xn 1 f (a ) 2 2 f (a) xn1 xn2
例14 设 x1 0 , xn 1 证明
n
1 1 (2 x n 2 ) , n 1 , 2 , 3 xn
lim x n 存在并求此极限.
例15 设 a k (k 1 , 2 , ,1999 ) 是给定的正 数, 求
2 2 ai bi ai bi i 1 i 1 i 1
n n n 2
２、
三、常用等价无穷小
x 0
时
sin x ~ x , tan x ~ x , arcsin x ~ x
x arctan x ~ x , 1 cos x ~ , ln(1 x) ~ x 2
求
(a 0)
f ( x) lim x 3 a x 3a
例43 设 f ( x) , g ( x) 为有界闭区间 a , b 上 的连续函数，且有数列 xn a , b ，使
g ( xn ) f ( xn1 ) , n 1, 2,
证明：至少存在一点 x0 a , b ，使
2 2
例5
设 a n 为一个正项的数列,如果
a n 1 lim n a n 也存在, lim 存在,试证 n n a n
并且 lim n a n n
a n 1 = lim n a n
例 6 求
设 f ( x)
lim
ln(e x )
x n
n
n
f (x)
的定义域.
３、用积分、级数表示的函数
x sin x x2 dx , g ( x) e dx 0 x
f ( x)
x
1
x h( x) (1) (2n 1)( 2n 1)! n 0
n
2 n 1
二、常用不等式
１、设 x1 , x2 , , xn 是ｎ个正数，则有
n
x1 x2 xn x1 x2 xn n
1 , a2 2 ,
当n
3
时,
a n a n1 a n2 ,证明:
(1) 3 a n 1 a n 2a n 1 2
1 (2) lim 0 n a n
例30 设
f (x) 具有连续的二阶导数,且
1 x
f ( x) 3 lim 1 x e ,试求 x 0 x
e 1 ~ x , a 1 ~ x ln a , (1 x) 1 ~ ax
x x a
2
四、求极限的一般方法
1．利用极限的四则运算法则．
2．利用无穷小的运算法则．
3．利用无穷小与无穷大的关系． 4．利用 lim f ( x) A f ( x) A 无穷小． 5．利用两个重要极限．
例19 计算
1 2 2 2 2 2 lim 2 n 1 n 2 n (n 1) n n
例20 设 f (x)是连续函数, F (x) 是 f (x) 的原函
数, 则
(A) 当 f (x) 是奇函数时, F (x) 必是偶函数. (B) 当 f (x) 是偶函数时, F (x) 必是奇函数.
f ( x0 ) g ( x0 )
lim a 2a 1999 a
n n 1 n 2
n 1999
1 n
.
例16 已知 lim 1 x x 0 , x
3 3
则
,
.
例 17
1 计算极限lim n ! n n
1 n
例18 计算
2 sin sin n n sin lim n n 1 1 1 n n 2 n
(C) 当 f (x)是周期函数时, F (x) 必是周期函数. (D) 当 f (x) 是单调增函数时, F (x) 必是单调
增函数.
例21 求
e sin x x(1 x) lim 3 x 0 x
x
2
x 2 1 1 x lim 2 例22 求 x2 2 x 0 (cos x e ) sin x
… ， xn1
,
1
3 xn
4
，…
求证：（1）数列 {xn } 收敛；
（2）{xn } 的极限值a是方程
x 4 x 1 0 的根.
4
例34
n a n b lim n 2
n
其中 a 0 , b 0 为常数,且 a 1 , b 1
(n 2 , 3 ,)
(1) 证明方程 f n ( x) 1 在 [0 , ) 内有唯 一的实根
xn
xn
(2) 求 lim n
例11
设曲线 y f (x)在原点处与 相切，计算:
y sin x
2 lim x f ( ) x x
1 2
例12 设曲线 与
f ( x) x 在点(1 , 1) 处的切线
n
n
x 轴的交点为 (
n
, 0) , 则
lim f ( n )
.
例13 设函数 f (x) 具有二阶连续导数，
f ( a) 0 ,
f (a) 0 ，若x n 满足
f ( xn 1 ) ， n 1,2,3, xn xn-1 f ( xn 1 )
且 lim xn a ,求证：
例32 设
f (x) 是 (0 , ) 上递减的连续
n
函数,且 f ( x) 0 , 证明数列 a n 收敛, 其中 a n f (k ) 1 f ( x)dx
n k 1
1 1 , x2 3 例33 已知 x0 1 , x1 3 x0 4 x1 4
x x0
lim f ( x) A
14．利用函数极限与数列极限的关系，即
x x0
lim f ( x ) A ,
n
lim x n x0 ( x n x0 )
n
lim f ( x n ) A ;
lim f ( x ) A , lim x n n
函数 极限与连续
一、初等函数以外的函数称为非初等函数。 其中有分段函数、用积分表示的函数、用级 数表示的函数。 １、符号函数
1 , x 0 sgn x 0 , x 0 1 , x 1
２、 Dirichlet 函数
1 , x为有理数 D( x) 0 , x为无理数
x ( , ) , 有
( ) x ( x)
n n
例9 (1)
e e e 求 lim x 0 n
x 2x
nx
1 x
其中n是给定的自然数.
1 x
(2) 求
(1 x) e lim x 0 x
f n ( x) x x 2 x n 例10 设
x
lim f ( x n ) A
n
15、利用洛必达法则. 16、利用导数定义. 17、利用微分中值定理与泰勒公式. 18 、利用定积分定义、性质. 19 、利用收敛级数的性质.
五、例题
例1 如果 f
(x) 是 ( , ) 上的周期函数, f (x)
1 且 lim f ( ) 0 , 求 x 0 x
n
n
则
lim u n
n
例40 当
n
x 0 时, e ln(1 x) 1
x
与 ax 是等价无穷小,则
n
,a
.
例41 求
k 6k 11k 5 lim n (k 3)! k 1
n 3 2
例42 已知 f (x) 是三次多项式,且有
f ( x) f ( x) lim lim 1 x 2 a x 2a x 4 a x 4a
例37
填空
2 n! lim n n n
n
例38 设
n n n xn 2 2 2 , n n 1 n 2n 2 n nn n
n 1, 2 ,
求
lim x n
n
1 例39 设 u n k 1 2(1 2 k )
f (0) , f (0) , f (0) 及
f ( x) lim 1 x 0 x
1 x
例31 设数列x n 满足:
1 1 n sin xn (n 2) sin n 1 n 1
则
1 k n lim xk n n 1 k 1
6．利用夹逼准则．
7．利用单调有界准则及解方程． 8．利用等价无穷小代换．
9．利用函数的连续性． 10．利用递推公式． 11．利用合并或分项，因式分解，约分，变 量代换，取对数等技巧．
x1 x2 xn A 12．利用 lim xn A lim n n n
lim 13．利用 x x0 f ( x) A
例2 求
x
lim arctan(x ln x sin x)
