4.1实数指数幂

【课题】4.1 实数指数幂(2)【教学目标】知识目标：⑴掌握实数指数幂的运算法则；⑵通过几个常见的幂函数，了解幂函数的图像特点 .能力目标：⑴正确进行实数指数幂的运算；⑵ 培养学生的计算技能；⑶通过对幂函数图形的作图与观察，培养学生的计算工具使用能力与观察能力 . 【教学重点】有理数指数幂的运算．【教学难点】有理数指数幂的运算．【教学设计】⑴ 在复习整数指数幂的运算中，学习实数指数幂的运算；⑵ 通过学生的动手计算，巩固知识，培养计算技能；⑶通过“描点法”作图认识幂函数的图像，通过利用软件的大量作图，总结图像规律；⑷通过知识应用巩固有理数指数幂的概念 .【教学备品】教学课件．【课时安排】2 课时． (90 分钟)【教学过程】教过*揭示课题4.1 实数指数幂．*回顾知识复习导入知识点整数指数幂，当n N* 时，a n = ；规定当a 0 时，a0 = ； a n =教学意图复习已有知识教师行为介绍学生行为了解学程时间；m 分数指数幂：a n =m ；a0时，a n=其中m、n N*且n＞1．当n 为奇数时， a R；当n 为偶数时， a 0．问题1.将下列各根式写成分数指数幂：(1) ； (2) ．20 4 32．将下列各分数指数幂写成根式：3(2) (2.3) 3．扩展整数指数幂的运算法则为：(1) a m . a n = ；(2) (a m )n = ；(3) (ab)n = ．其中(m、n Ζ)．归纳运算法则同样适用于有理数指数幂的情况．*动脑思考探索新知概念当p 、q 为有理数时，有a p . a q = a p+q ；(a p )q = a pq ；(ab)p = a p .b p．教师行为提问巡视解答引导学生行为回忆求解交流思考领会教学意图知识建构基础了解学生指数运算掌握情况回顾整数指数幂为后续做好3 2(1) 65 4；a2教过时间学程．运算法则成立的条件是，出现的每个有理数指数幂都有意义．说明可以证明，当p 、q 为实数时，上述指数幂运算法则也成立．*巩固知识典型例题例 4 计算下列各式的值：说明总结归纳说明了解思考理解记忆领会准备自然过渡到实数指数幂通过115 说明观察例题13 根 3 6(1) 0.1253； (2)． 3 9 根 3 2分析 (1)题中的底为小数，需要首先将其化为分数，有利于运算法则的利用； (2)题中，首先要把根式化成分数指数幂，然后再进行化简与计算．解 (1)1 -3根 1 8 21 1 1 1 1(2) 3 根 3 6 = 32 根 (3 根 2)3 =32 根 33 根 233 9 根 3 2 1 1 2 1(32 )3 根 23 33 根 231 12 1 1 1 1说明 (2)题中，将 9 写成 32 ，将 6 写成 2根3 ，使得式子中只出现两种底，方便于化简及运算．这种尽可能将底的化同的做法，体现了数学中非常重要的“化同”思想． 例 5 化简下列各式： (1)； (2) (||(a 21 +b 21))|| (||(a 21 -b 21))||；(3) 5 a -3b 2 合 5 a 2 合 5 b 3 ．分析 化简要依据运算的顺序进行，一般为“先括号内，再括教师 行为分析强调引领讲解质疑学生 行为思考主动 求解领会了解观察教学 意图进一步使 学生 理解指数 幂的 运算 法则引导 学生 体会 化同 的的数学 思想= 32+ 3- 3 根 23-3 = 36 根 20 = 36．1 1 1 1教 过学 程0.1253 = ( )3 = (2-3 )3 = 2 3 = 2-1 = ；时 间号外；先乘方，再乘除，最后加减”，也可以利用乘法公式． 解 (2a 4b 3 )4= 24 a 4根4b 3根4 = 16a 16b 12 = 16 a 16-6b 12-2 = 16 a 10b 10．(3a 3b )2 32 a 3根2b 1根2 9a 6b 2 9 9(||(a 21 + b 21))|| (||(a 21 -b 21))|| = (||(a 21))||2- (||(b 21))||2= a 21根2 - b 21根2= a - b ．1 2 35 a -3b 2 合 5 a 2 合 5 b 3 = (a -3b 2 )5 合 a 5 合 b 51 123 3 2 2 3= (a -3 )5 (b 2 )5 合 a 5 合 b 5 = a -5 b 5 合 a 5 合 b 5= a (- 53 - 52)b 52 - 53 = a -1b -51．说明 作为运算的结果，一般不能同时含有根号和分数指数分析强调讲解思考主动 求解领会了解注意 观察 学生 是否 理解 知识点可以 适当 交给 学生自我 探究幂． (3)题的结果也可以写成1 ，但是不能写成a一 1 ，本章a 5b 5 b中一般不要求将结果中的分数指数幂化为根式．*运用知识强化练习教材练习4.1.21．计算下列各式:2 1 1 5(1) 3 人3 9 人4 27； (2) (23 42 )3 (2一2 48 )4．2 ．化简下列各式：( 2 1 )3 ( 1 5 )4 (1) a3 . a一3 . a2 . a0；(3) 3 b2 . 3 a 政a3b．a*知识回顾复习导入问题观察函数y = x、相关性质．探究由于 y = x =x1，y = x2 、y = ，回忆三个函数的图像和xy = = x一1 ，故这三个函数都可以写成xy = x a ( a 仁R )的形式．教师行为强调提问巡视指导质疑学生行为动手求解交流思考教学意图及时了解学生知识掌握情况引导学生用所345 (2)|a 3 b2|.|2a一2 b8|；( ) ( )1 2学程时间11教过*动脑思考探索新知概念一般地，形如 y = x a ( a 仁R )的函数叫做幂函数．其中指数 a 为常数，底x 为自变量．*巩固知识典型例题1例 6 指出幂函数 y=x 3 和 y=x 2 的定义域，并在同一个坐标系中作出它们的图像．分析首先分别确定各函数的定义域，然后再利用“描点法”分别作出它们的图像．引导分析总结归纳说明分析体会理解记忆观察思考学的知识进行判断特别强调关键词汇通过例题555教学 意图 进一 步使学生 感知 幂函引领数的图像…特点y= x 2引导领会掌握描点 作图 的方 法观察突出 数形 结合的数 学思 想质疑总结：这两个函数的定义域不同,在定义域内它们都是增函 数．两个函数的图像都经过坐标原点和点 (1,1)． 例 7 指出幂函数 y = x 2 的定义域，并作出函数图像．以表中的每组 x, y 的值为坐标， 描出相应的点 (x, y)， 再用1光滑的曲线依次联结这些点， 分别得到函数y=x 3 和函数 y = x 2 的图像，如下图所示．1解 函数 y =x 3 的定义域为 R ，函数 y=x 2 的定义域为 [0,+)．分别设值列表如下： 教师 行为 学生 行为 xy=x 3 主动求解学 程教 过时 间−2 −8−1 −1… ………1 41体会讲解学生 强调归纳引领了解4 20 09 30 02 81 11 1…x1于 = ，故函数为偶函数．其图像关于 y 轴对称， 可以注意是否理解 知识解 y = x 2 的定义域为 (，0) (0，+ )． 由分析过程知道函1 1 (x)2 x 2先作出区间 (0, + ) 内的图像， 然后再利用对称性作出函数在区 间 (,0) 内的图像．分析 考虑到 x 2 = ， 因此定义域为 ( ，0) (0，+ )， 由 分析思考2x数为偶函数．在区间 (0, + ) 内，设值列表如下：1…2 1…以表中的每组 x, y 的值为坐标， 描出相应的点(x, y)， 再用光滑的曲线依次联结各点，得到函数在区间(0, + ) 内 的图 像．再作出图像关于 y 轴对称图形，从而得到函数 y = x 2的图像，如下图所示．引导观察学生 总结 函数图像 的特 点*理论升华 整体建构总结： 这个函数在 (0, + ) 内是减函数；函数的图像不经过坐标 原点，但是经过点 (1,1)．可以 适当 交给学生 自我 探究教学 意图点教师行为 学生行为主动求解学 程教 过时间x …y …领会体会讲解 理解强调归纳引领704 421 1及时 总结例题 中的 规律75了解 学生 知识一般地，幂函数 y = x a具有如下特征：(1) 随着指数 a 取不同值，函数 y = x a 的定义域、单调性 和奇偶性会发生变化；(2) 当 a ＞0 时， 函数图像经过原点(0,0)与点(1,1)； 当 a ＜0 时，函数图像不经过原点(0,0)，但经过(1,1)点．*运用知识 强化练习 教材练习 4.1.31．用描点法作出幂函数 y = x 4 的图像并指出图像具有怎样的对领会理解 记忆动手引领总结提问2．用描点法作出幂函数 y = x3 的图像并指出图像具有怎样的对称性?*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？*继续探索活动探究(1)读书部分：教材章节4.1；(2)书面作业：学习与训练 4.1；(3)实践调查：了解常见幂函数的性质特点．教师行为指导引导提问说明学生行为交流回忆反思交流记录教学意图掌握情况培养学生总结反思学习过程能力8859学程时间教过。

实数指数幂及其运算法则实数指数幂是数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

本文将介绍实数指数幂的定义、性质以及运算法则。

一、实数指数幂的定义。

实数指数幂指的是形如a^b的数，其中a为实数，b为实数。

其中a称为底数，b称为指数。

当指数为正整数时，实数指数幂可以用连乘的形式表示，即a^b=aa...a，其中a出现了b次。

当指数为零时，实数指数幂定义为1。

当指数为负整数时，实数指数幂可以用连除的形式表示，即a^(-b)=1/(a^b)。

当底数为正数且指数为实数时，实数指数幂可以用连续开方的形式表示，即a^b=sqrt(sqrt(...(sqrt(a))...)，其中开方的次数为b。

二、实数指数幂的性质。

1.相同底数的实数指数幂相乘，指数相加。

即a^m a^n =a^(m+n)。

2.相同底数的实数指数幂相除，指数相减。

即a^m / a^n =a^(m-n)。

3.不同底数的实数指数幂相乘，底数不变，指数相加。

即a^m b^m = (ab)^m。

4.不同底数的实数指数幂相除，底数不变，指数相减。

即a^m / b^m = (a/b)^m。

5.实数指数幂的乘方，指数相乘。

即(a^m)^n = a^(mn)。

6.实数指数幂的除法，指数相除。

即(a^m)^n = a^(m/n)。

7.任何数的零次幂都等于1。

即a^0 = 1。

8.任何数的一次幂都等于它本身。

即a^1 = a。

以上性质是实数指数幂运算的基本法则，可以帮助我们简化实数指数幂的运算，并且也可以推广到复数指数幂的运算中。

三、实数指数幂的运算法则。

实数指数幂的运算法则包括加减、乘除、乘方和开方等运算。

1.加减法。

对于相同底数的实数指数幂，可以直接对指数进行加减运算。

例如，2^3 + 2^4 = 2^7，2^5 2^3 = 2^2。

2.乘法。

对于相同底数的实数指数幂，可以直接对指数进行加法运算。

例如，2^3 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。

4.1.1 实数指数幂及其运算课标解读课标要求核心素养1.理解n次方根及根式的概念.2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.(重点)3.掌握根式与分数指数幂的互化.(重点、易错点)4.掌握有理指数幂的运算性质.(重点、难点)1.通过根式与分数指数幂互化的学习,培养数学运算的核心素养.2.通过利用指数式的条件解决求值问题,提升逻辑推理的核心素养.公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希帕索斯思考了一个问题:边长为1的正方形的对角线的长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数表示,也不能用分数表示,希帕索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了.问题:若x2=3,则这样的x有几个?它们叫做3的什么?如何表示?答案这样的x有2个,它们都称为3的平方根,记作±.1.有关幂的概念一般地,a n中的a 称为①底数,n称为②指数.2.根式的相关概念和性质(1)根式的概念:一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得x n=a,则③x称为a的n 次方根;当有意义的时候,④称为根式,n称为⑤根指数,a称为⑥被开方数.(2)根式的性质:(i)()n=⑦a.(ii)=思考1:类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个?当n为奇数时呢?提示a为正数:a为负数:零的n次方根为零,记为=0.3.分数指数幂(1)定义:一般地,如果n是正整数,那么:当有意义时,规定=⑧;当没有意义时,称没有意义.(2)意义:分数指数幂正分数指数幂=(a>0),=()m =⑨负分数指数幂a-s =⑩(a s有意义且a≠0)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(3)运算法则:(i)前提:s,t为任意有理数.(ii)法则:a s a t=a s+t;(a s)t=a st;(ab)s=a s b s.思考2:分数指数幂的运算性质是什么?提示分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样.记忆分数指数幂的运算性质的口诀:乘相加,除相减,幂相乘.4.实数指数幂一般地,无理指数幂a t(a>0,t是无理数)是一个确定的实数,有理指数幂的运算性质对于无理指数幂同样适用.因此当a>0,t为任意实数时,实数指数幂a t 都有意义,对任意实数s和t,类似有理指数幂的运算法则仍然成立.探究一n次方根的化简与求值例1 (易错题)化简:(1);(2)()2++(a-1≥0).解析(1)=|3-π|=π-3.(2)原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1+a-1+1-a=a-1.易错点拨n的奇偶性a的n次方根的表示a的取值范围n为奇数a∈Rn为偶数±[0,+∞)1.已知-3<x<3,求-的值.解析原式=-=|x-1|-|x+3|,∵-3<x<3,∴当-3<x<1时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;当1≤x<3时,原式=x-1-(x+3)=-4,∴原式=探究二根式与指数幂的互化例2 (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.-=(-x(x>0)B.=(y<0)C.=(x>0)D.=-(x≠0)(2)用指数幂的形式表示(x>0,y>0).答案(1)C解析(1)A选项,-=-(x>0);B选项,=(y2=-(y<0);C选项,=(x-3=(x>0);D选项,=(x≠0).故C正确.(2)解法一:由里向外化为分数指数幂.===.解法二:由外向里化为分数指数幂.===·=.思维突破(1)记结论:=和==(a>0).(2)明途径:一是由里向外化为分数指数幂;二是由外向里化为分数指数幂.2.化简:(1)(a>0);(2)(2)(-6)÷(-3).解析(1)===(=.(2)原式=[2×(-6)÷(-3)]·=4ab0=4a.探究三指数幂的化简与求值例3 已知x+x-1=3,求x2+x-2的值.解析∵(x+x-1)2=x2+x-2+2,∴x2+x-2=(x+x-1)2-2=9-2=7.思维突破式子中包含的指数互为相反数时,通常用平方法进行解决,平方后观察条件和结论的关系,变形求解即可.3.(1)(变结论)已知x+x-1=3,求x2-x-2的值.(2)(变条件)已知x-x-1=3,求x2+x-2的值.解析(1)由例3知x2+x-2=7,∴x4+x-4=47,∴(x2-x-2)2=x4-2+x-4=45,即x2-x-2=±3.(2)∵(x-x-1)2=x2+x-2-2=9,∴x2+x-2=11.1.下列各式正确的是( )A.=-3B.=aC.()3=-2D.=2答案 C2.已知a>0,则=( )A. B.C. D.答案 D =,则===.故选D.3.化简(a3÷()(a>0,b>0)结果为( )A.aB.bC.D.答案 A 原式=÷()==a.故选A.4.化简:(x>0,y>0)= .答案2x2y解析∵x>0,y>0,∴==(24·x8y4=2x2y.5.若10m=2,10n=3,则103m-n= .答案解析由已知得103m=(10m)3=23=8,∴103m-n==.逻辑推理——指数运算与均值不等式的应用已知a>0,b>0,若2a·2b=2,则ab的最大值是.审:由指数运算法则以及2a·2b=2,可得a+b=1,再根据均值不等式ab≤,当且仅当a=b时取得最大值得出答案.联:求积的最值,会联想到基本不等式,那就需要和为常数,这个和刚好由指数运算求得.解:∵函数g(x)=2x,且有g(a)·g(b)=2,∴①2=2a·2b=2a+b,∴a+b=1,∵a>0且b>0,∴②ab≤=,当且仅当a=b=时,ab取得最大值.思:从已知条件中解出字母的值,然后代入求值,这种方法一般是不可取的,应设法从整体寻求结果与条件的联系,进而整体代入求值,体现了数据分析、逻辑推理的核心素养.设x∈R且x≠0,若x+x-1=3,猜想x2n+x-2n(n∈N*)的个位数字是( )A.2B.5C.6D.7答案 D ∵x+x-1=3,∴当n=1时,x2+x-2=(x+x-1)2-2=32-2=7,当n=2时,x4+x-4=(x2+x-2)2-2=72-2=47,当n=3时,x8+x-8=(x4+x-4)2-2=472-2=2207,……则x2n+x-2n(n∈N*)的个位数字是7.——————————————课时达标训练—————————————1.计算:++(2019)0=( )A.6B.7C.8D.答案 B2.下列各式正确的是( )A.=aB.a0=1C.=-4D.=-π答案 D 对于A,当a为负数时等式不成立,故不正确;对于B,当a=0时,a0无意义,故不正确;对于C,=4,故不正确.故选D.3.若(3-2x有意义,则实数x的取值范围是( )A.(-∞,+∞)B.∪C. D.答案 C 要使(3-2x=有意义,需使3-2x>0,解得x<,即实数x的取值范围是.故选C.4.化简(2a-3)·(-3a-1b)÷(4a-4)=( )A.-b2B.b2C.-D.答案 A 原式==-b2.5.设α,β是方程2x2+3x+1=0的两根,则的值为( )A.8B.C.-8D.-答案 A 由题意可知α+β=-,则====8,故选A.6.(x>0)用分数指数幂表示为.答案解析=(x·=·=·==.7.化简:(1)π0+2-2×= ;(2)()4()4(a>0)= .答案(1)(2)a4解析(1)π0+2-2×=1+×=1+×=.(2)()4()4=()4()4=()4()4=a2×a2=a4.8.已知2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y= .答案27解析由2x=8y+1得2x=23y+3,所以x=3y+3,①由9y=3x-9得32y=3x-9,所以2y=x-9,②由①②解得x=21,y=6,所以x+y=27.9.计算下列各式的值:(1)(×(÷;(2)2(×)6+(-4×-×80.25+(-2019)0.解析(1)原式=(×(1÷1=2-1×103×1=2-1×1=.(2)原式=2(×)6+(×-4×-×+1=2×22×33+2-7-2+1=210.10.(多选)下列各式中正确的是( )A.=n7B.=C.=(x+yD.=答案BD =n7m-7,A错误;==,B正确;=(x3+y3,C错误;=(=(=,D正确.故选BD.11.x=1+2b,y=1+2-b,则y=( )A. B.C. D.答案 D ∵x=1+2b,∴2b=x-1.∴y=1+2-b=1+==.12.化简(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)的结果是( )A.(1-)-1B.(1-)-1C.1-D.(1-)答案 B 因为(1+)(1-)=1-,故将原式化为分数形式,并且分子、分母同乘(1-),得原式===(1-)-1.故选B.13.已知实数x满足x2-3x+1=0,则x2+x-2= ;= .答案7;4解析因为实数x满足x2-3x+1=0,所以x2+1=3x,即x+x-1=3,两边平方,得x2+x-2+2=9,所以x2+x-2=7.又===x+x-1+1=4.14.若x>0,y>0,且x--2y=0,求的值.解析∵x--2y=0,x>0,y>0,∴()2--2()2=0,∴(+)(-2)=0,由x>0,y>0得+>0,∴-2=0,∴x=4y,∴==.15.若a,b,c为正实数,a x=b y=c z,++=0,则abc= .答案 1解析设a x=b y=c z=k,则k>0,则a=,b=,c=,因此abc===k0=1.16.已知实数x,y满足(x+2y)3+x3+2x+2y=0,则x+y-1= .答案-1解析因为(x+2y)3+x3+2x+2y=(2x+2y)[(x+2y)2-x(x+2y)+x2]+2(x+y)=2(x+y)[(x+2y)2-x(x+2y)+x2+1] =2(x+y)(x2+2xy+4y2+1)=2(x+y)[(x+y)2+3y2+1]=0,又易知(x+y)2+3y2+1>0,所以x+y=0,所以x+y-1=-1.。

中职数学（基础模块）上册第四章《指数函数与对数函数》教学设计4.1实数指数幂(1)教学目标:⑴复习整数指数幂的知识；⑵了解n次根式的概念；⑶理解分数指数幂的定义.教学重点:分数指数幂的定义．教学难点:根式和分数指数幂的互化．课时安排:2课时．教学过程:120．、且∈Nn+这样就将整数指数幂推广到有理数指数幂．44.1实数指数幂（2）教学目标:⑴掌握实数指数幂的运算法则；⑵通过几个常见的幂函数，了解幂函数的图像特点. 教学重点:有理数指数幂的运算．教学难点:有理数指数幂的运算．课时安排:2课时．5教学过程:0．将下列各根式写成分数指数幂：；20将下列各分数指数幂写成根式：79过 程活动 活动 意图以表中的每组,x y 的值为坐标，描出相应的点),(y x ，再用光滑的曲线依次联结这些点，分别得到函数y =x 3和函数21xy =的图像，如下图所示．总结：这两个函数的定义域不同,在定义域内它们都是增函数．两个函数的图像都经过坐标原点和点(1,1)． 例7 指出幂函数2y x -=的定义域，并作出函数图像．分析 考虑到221x x-=，因此定义域为00-∞+∞（，）（，），由于2211()x x =-，故函数为偶函数．其图像关于y 轴对称，可以先作出区间(0,)+∞内的图像，然后再利用对称性作出函数在区间(,0)-∞内的图像．解 2y x -=的定义域为00-∞+∞（，）（，）．由分析过程知道函数为偶函数．在区间(0,)+∞内，设值列表如下：x 0 41 1 4 9 … y =21x21123…x…121 2 …y… 4 114… 讲解 引领 归纳质疑分析强调 讲解领会 了解 观察 体会 思考 理解 主动 求解特点 引导 学生 掌握 描点 作图 的方 法 突出 数形 结合 的数 学思 想 注意 是否 理解 知识 点 可以 适当10过 程活动 活动 意图以表中的每组,x y 的值为坐标，描出相应的点),(y x ，再用光滑的曲线依次联结各点，得到函数在区间(0,)+∞内的图像．再作出图像关于y 轴对称图形，从而得到函数2-=x y 的图像，如下图所示．总结：这个函数在(0,)+∞内是减函数；函数的图像不经过坐标原点，但是经过点(1,1)． 引领 归纳领会 观察 体会交给 学生 自我 探究 引导 学生 总结 函数 图像 的特点*理论升华 整体建构一般地，幂函数y x α=具有如下特征：(1) 随着指数α取不同值，函数y x α=的定义域、单调性和奇偶性会发生变化；(2) 当α＞0时，函数图像经过原点(0,0)与点(1,1)；当α＜0时，函数图像不经过原点(0,0)，但经过(1,1)点．引领 总结 强调 领会 理解 记忆 及时 总结 例题 中的 规律*运用知识 强化练习 教材练习4.1.31．用描点法作出幂函数4y x =的图像并指出图像具有怎样的对称性?2．用描点法作出幂函数3y x =的图像并指出图像具有怎样的对称性?提问 巡视 指导 动手 求解 交流了解 学生 知识 掌握 情况*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？ 重点和难点各是什么？引导回忆培养 学生 总结114．2指数函数教学目标:⑴ 理解指数函数的图像及性质； ⑵ 了解指数模型，了解指数函数的应用．教学重点:⑴指数函数的概念、图像和性质； ⑵ 指数函数的应用实例．教学难点:指数函数的应用实例．课时安排:2课时．教学过程:13过 程活动 活动 意图归纳观察函数图像发现：1．函数2x y =和y =1()2x 的图像都在x 轴的上方，向上无限伸展，向下无限接近于x 轴；2．函数图像都经过（0，1）点；3．函数y =x 2的图像自左至右呈上升趋势；函数y =1()2x 的图像自左至右呈下降趋势．推广利用软件可以作出a 取不同值时的指数函数的图像． 展示 引导 分析 说明观察 体会 理解可以 由学 生独 立完 成 引导学生仔细观察函数图象的特点数形结合*动脑思考 明确新知 一般地，指数函数xy a =()01a a >≠且具有下列性质：(1) 函数的定义域是(),-∞+∞．值域为(0,)+∞；(2) 函数图像经过点(0,1)，即当0x =时，函数值1y =； (3) 当>1a 时，函数在(),-∞+∞内是增函数；当0<<1a 时，函数在(),-∞+∞内是减函数． 归纳强调体会 记忆结合 图形 由学 生自 我归 纳强 调关 键点*巩固知识 典型例题例1 判断下列函数在(),-∞+∞内的单调性： (1) 4xy =； （2）3xy -=； （3）32xy =． 说明观察通过 例题 进一 步理14x．10)年该市国内生产总值为（亿元）．年该市国民生产总值为（亿元）．164．3 对数教学目标:⑴理解对数的概念，理解常用对数和自然对数的概念；⑵掌握利用计算器求对数值的方法；⑶了解积、商、幂的对数．教学重点:指数式与对数式的关系．教学难点:17对数的概念．课时安排:2课时．教学过程:19204．4 对数函数教学目标:（1）了解对数函数的图像及性质特征；（2）了解对数函数的实际应用.教学重点:对数函数的图像及性质.教学难点:对数函数的应用中实际问题的题意分析．课时安排:2课时．教学过程:2224过 程活动 活动 意图(,)x y ，用光滑曲线依次联结各点，得到函数12log y x =的图像，如下图所示：观察函数图像发现：1．函数2log y x =和12log y x =的图像都在x 轴的右边；2．图像都经过点()1,0；3．函数2log y x =的图像自左至右呈上升趋势；函数12log y x =的图像自左至右呈下降趋势．展示 分析观察 体会引导 学生 细观 函数 象的 特点*动脑思考 探索新知一般地，对数函数log a y x =( a >0且a ≠1)具有下列性质：（1）函数的定义域是(0,)+∞，值域为R ；（2）当1x =时，函数值0y =；（3）当a >1时，函数在(0,)+∞内是增函数；当0<a <1时，函数在(0,)+∞内是减函数． 引导 总结 强调体会 理解 记忆结合 图形 自我 归纳*运用知识 强化练习 例1 求下列函数的定义域：（1）2log (4)y x =+； （2）ln y x =． 分析 要依据“对数的真数大于零”求函数的定义域． 解 （1）由x +4>0得4x >-，所以函数2log (4)y x =+的定义域为(4,)-+∞；说明 强调 引领观察 思考 主动通过 例题 进一 步理 解对 数函0, 0. >得1,0.xx⎧⎨>⎩，ln x的定义域为[1,强化练习252627。

实数指数幂知识点总结一、实数指数幂的定义实数指数幂是指数运算的一种特殊形式，它是指数和幂的运算。

在数学中，我们知道一个数的乘方是指这个数连乘多次自己，而指数运算是一种简便的表示连乘的方法。

当指数为实数时，就形成了实数指数幂。

其定义如下：对于任意实数a和b，其中a称为底数，b称为指数，实数指数幂定义为\[a^b = e^{b\ln a}\]其中e为自然对数的底，ln表示自然对数。

这个定义其实是一个转换的过程，将实数指数幂转化为自然指数幂来表示，e是一个常数，取值约为2.71828。

二、实数指数幂的性质实数指数幂具有很多重要的性质，包括但不限于以下几点：1. 底数为正实数时，指数运算仍然满足指数运算的基本性质，如相同底数相乘，指数相加，指数相减等。

2. 底数为负实数时，指数运算中需要考虑符号，具体运算时需要注意。

3. 底数为0时，指数为正数时结果为0，指数为负数时结果不存在，需要注意0的指数运算的特殊性。

4. 底数为1时，任何指数幂的结果都是1。

5. 底数为自然对数e时，实数指数幂的运算比较简便，易于计算。

6. 实数指数幂的值域是正实数，即结果大于0。

以上是实数指数幂的一些基本性质，这些性质在实际运算中有很大的帮助，可以简化计算，提高计算效率。

三、实数指数幂的运算规则实数指数幂的运算规则也是实数指数幂的重要内容，在实际应用中需要灵活运用这些规则进行计算。

实数指数幂的运算规则主要包括以下几点：1. 底数相同、指数相加：\[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\]2. 底数相同、指数相减：\[a^m / a^n = a^{m-n}，a!=0\]3. 底数不同、指数相同：\[a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m\]4. 底数不同、指数相同：\[a^m / b^m = (a / b)^m，b!=0\]5. 底数相同、指数相乘：\[(a^m)^n = a^{m \cdot n}\]6. 底数相同、指数相除：\[(a / b)^m = a^m / b^m，b!=0\]实数指数幂的运算规则在实际运算中非常有用，可以简化运算，减少出错的可能性。

实数指数幂的所有公式实数指数幂是数学中的一个重要概念，它描述了一个数的自乘运算，充满了神奇的数学魅力。

在这篇文章中，我们将生动、全面地介绍实数指数幂的所有公式，并探讨它们的指导意义。

实数指数幂的第一个公式是指数为0时的情况。

任何非零实数的0次方都等于1。

这个公式可以表示为：a^0 = 1其中，a是任意非零实数。

这个公式的指导意义在于，无论数值如何，任何量的0次方都等于1，它是指数幂中的基本规律。

接下来，我们考虑指数为正整数的情况。

当指数为正整数时，实数的指数幂定义为连乘该实数的因子，次数由指数决定。

具体而言，我们有以下公式：a^1 = aa^2 = a * aa^3 = a * a * a...a^n = a * a * ... * a (n个a相乘)其中，n是任意正整数。

这些公式是实数指数幂的基本规律，它们指明了在正整数指数情况下，实数指数幂的运算方式。

当指数为负整数时，实数的指数幂定义为取倒数后连乘该实数的因子，次数由指数的绝对值决定。

具体而言，我们有以下公式：a^(-1) = 1/aa^(-2) = 1/(a * a)a^(-3) = 1/(a * a * a)...a^(-n) = 1/(a * a * ... * a) (n个a相乘)这些公式表明，当指数为负整数时，实数的指数幂的运算方式是取倒数后连乘。

这在实际问题中十分有用，可以帮助我们处理一些复杂的数学运算。

接下来，我们考虑指数为分数的情况。

当指数为分数时，实数的指数幂定义为开n次方，这里n是指数的分母，开方次数由指数的分子决定。

具体而言，我们有以下公式：a^(1/n) = 开n次方的a其中，a是任意实数，n是任意不为0的整数。

这个公式表明，当指数为分数时，实数的指数幂可以通过求根号来表达。

这在计算机科学、物理学等领域有着广泛的应用。

最后，我们考虑指数为无理数的情况。

当指数为无理数时，我们可以将其表示为连分数或无限循环小数，然后使用极限的概念进行计算。

第4章指数函数与对数函数4.1实数指数幂及运算法则练习题班级：_____________姓名:_____________知识点1：根式1、下列说法中正确的有：；①3273=-；②16的4次方根是2±；③3814±=；④()yx y x +=+22、若2<x ，则x x x --+-3442的值是.3、若a a a 211442-=+-，则实数a 的取值范围是.4、化简下列各式：（1）()334-；（2）()444-；（3）()332-a ；（4）()2b a -，（b a <）.知识点2：整数指数幂1、计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式（a,b 均不为0）.（1）()()343a a a -⨯-÷；（2）()012+a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-≠21a ；（3）()31332-abb a ；（4）()32122393------ba b a b a ；知识点3：分数指数幂及其运算1、将下列根式写成分数指数幂的形式（a >0）；（1）32x ；（2）31a；（3）842222⋅⋅；（4）4432733⋅⋅2、将下列分数指数幂写成根式的形式；（1）433-；（2）354；（3）52)7(--；（4）5323、计算下列各式：（1）432981⨯；（2）63125.132⨯⨯；4、化简下列各式：（1）()()2143231311.0481---⋅⎪⎭⎫⎝⎛b a ab ；知识点4：实数指数幂运算法则1、计算下列各式的值：（1）405)97(218()37(÷⨯；（2）21431326416⨯⨯-；（3）2)21(2922(4212211-+⨯+-⨯---；（4）()5.0313297212527027.0⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-；（5）()4332132811625.01008---⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯；2、化简下列各式：（1）2123213)()()(--÷⋅ab ab b a ；（2）31212131baba ba ；（3）)221(2323131---x x x （4）))((212212b a b a -+.4.1实数指数幂及运算法则练习题(参考答案)知识点1：根式1、②④；2、-1；3、21<a ；4、（1）-4；（2）4；（3）｜a -2｜；（4）b-a .知识点2：整数指数幂1、（1）-a 2；（2）1；（3）8a 6；（4）a31-知识点3：分数指数幂及其运算1、（1）32x ；（2）31-a；（3）872；（4）343.2、（1）4331；（2）354；（3）52)7(1-；（4）532.3、（1）432981⨯=4121344])3(3[⨯=6674131441324333)3()3(===+；（2）61231216323)23(32125.132）（⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=6323261312131311=⨯=⨯++-；4、（1）()()2143231311.0481---⋅⎪⎭⎫⎝⎛b a ab ==⨯⨯----22332121313)2(100)2(b a b a bb a b a 1600810022232323=⨯⨯⨯--知识点4：实数指数幂运算法则1、（1）405)97(218()37(÷⨯=189377313734855=⨯=⨯⨯；（2）21431326416⨯⨯-=8222232154364==⨯⨯⨯⨯-；（3）2)21(2922(4212211-+⨯+-⨯---=1434122413141=+=-+⨯+⨯；（4）()5.0313297212527027.0⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=09.0353509.092527125)03.0(3323=-+=-+；（5）()4332132811625.01008---⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯=43431212323])32[()4()10()2(----⨯⨯⨯=33123(4104⨯⨯⨯-=54322、（1）2123213)()()(--÷⋅ab ab b a =213121233212132313++-++---=bab a b a b a =251b a -；（2）31212131aba ba =65673112121131-----=ba ba；（3）)221(2323131---x x x =x x 41411-=--；（4）))((212212b a b a -+=b a b a -=-422122)()(.。

授课班级21机1、汽1 授课内容 4.1实数指数授课地点835、803 授课时间12.20-12.21教学目标知识目标1.理解整数指数幂及其运算律，并会进行有关运算．了解根式的概念和性质；2.理解分数指数幂的概念；掌握有理数指数幂的运算性质．能力目标会对根式、分数指数幂进行互化．素质目标1.培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力；2.培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；3.培养学生合作交流等良好品质．教学重难点教学重点零指数幂、负整指数幂的定义，分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质．教学难点零指数幂及负整指数幂的定义过程，整数指数幂的运算．对分数指数幂概念的理解．教学过程教学环节教学内容学生活动教师活动设计意图一、回顾旧知，做实铺垫（情景导入）在一个国际象棋棋盘上放一些米粒，第一格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒……一直到第64格，那么第64格应放多少粒米？第1格放的米粒数是1；第2格放的米粒数是2；第3格放的米粒数是2×2；第4格放的米粒数是2×2×2；学生在教师的引导下观察图片，明确教师提出的问题，通过观察课件，归纳、探究答案．师：通过上面的解题过程，你能发现什么规律？那么第64格放多少米粒，怎么表示？学生回答，教师针对学生通过问题的引入激发学生学习的兴趣．课程思政：在问题的分析过程中，培养学生归纳推理的能力．2个23个2二、引课示标，明确方向三、自学质疑，合作探究第5格放的米粒数是2×2×2×2；……第64格放的米粒数是2×2×2× (2)1.分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质．2.对分数指数幂概念的理解．自学范围：课本P62-P64自学时间：6分钟自学要求：1、找出正整数，负整数指数的运算法则并做标记；2、圈画出它们的运算法则字母表示方法；自学问题：1.正整数，负整数指数的运算法则2.根式有关概念3.根式的性质4.分数指数幂5.实数指数幂的运算法则自学分享一、根式1.当n是正整数时，a n叫正整指数幂．2规定：a0＝1 (a≠0)3.我们规定：a－1＝1a(a≠0)学生解答．全班齐读学习目标，30秒内内化学生在6分钟内自学记录自学过程中产生的疑惑完成自学要求预设问题：学生对于幂的认识不足的回答给予点评．并归纳出第64格应放的米粒数为263．教师讲解重难点，解析目标，让学生明确学习方向。

4.1.1 实数指数幂及其运算【自主学习】知识点1 根式 1．n 次方根：给定大于1的正整数n 和实数a ，如果存在实数x ，使得x n ＝a ，则x 称为a 的n 次方根． 2．根式：当n a 有意义的时候，n a 称为根式，n 称为根指数，a 称为被开方数．3．根式的性质：(1)⎝⎛⎭⎫n a n ＝a ；(2)当n 为奇数时，n a n ＝a ；当n 为偶数时， . [微体验]1．已知m 10＝2，则m 等于( )A ．102B ．－102C ．210D ．±1022．若m <n ，则(m －n )2＝________.知识点2 分数指数幂1．定义：如果n 是正整数，那么：当n a 有意义时，规定a 1n ＝n a ；当n a 没有意义时，称a 1n 没有意义．对于一般的正分数m n，规定 . 2．有理数指数幂的运算法则(1)a s a t ＝ (a >0，s ，t ∈Q )；(2)(a s )t ＝ (a >0，s ，t ∈Q )；(3)(ab )s ＝ (a >0，b >0，s ∈Q )．[微体验]1．332 可化为( )A ．2B ．33C ．327D ．272．把根式a a 化成分数指数幂是( )A ．(－a ) 32B ．－(－a ) 32C ．a 32D ．－a 32知识点3 实数指数幂实数指数幂的运算法则(1)a s a t ＝ (a ＞0，s ，t ∈R )．(2)(a s )t ＝ (a ＞0，s ，t ∈R )．(3)(ab )s ＝ (a ＞0，b ＞0，s ∈R )．[微体验]1．式子a 2a ·3a 2(a ＞0)经过计算可得到( ) A ．a B ．－6a 5C ．5a 6D ．6a 52．若10x ＝3,10y ＝4，则102x －y ＝________.【互动探究】探究一 根式的性质[例1] 求下列各式的值：(1) 3(－7)3＋4(5－2π)4；(2)⎝⎛⎭⎫5a －b 5＋⎝⎛⎭⎫6b －a 6(b >a )．[方法总结]1．化简n a n 时，首先明确根指数n 是奇数还是偶数，然后再依据根式的性质进行化简． 2．化简(n a )n 时，关键是明确n a 是否有意义，只要n a 有意义，则(n a )n ＝a .[跟踪训练1] 求下列各式的值： (1) (π－4)2＋3(π－4)3；(2)|x |－x 2＋x 2|x |.探究二 根式与分数指数幂的互化[例2] 下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式(式中字母都是正数)．(1)3x 5；(2)1x 3；(3)x －34 ；(4)x 12 y －23 .[方法总结]根式与分数指数幂互化的规律与技巧(1)规律：根指数←→化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数←→化为分数指数的分子．(2)技巧：当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出.[跟踪训练2] 下列各式正确的是( )A ．3m 2＋n 2＝(m ＋n )23 B ．⎝⎛⎭⎫b a 2＝a 12 b 12 C ．6(－3)2＝(－3)13 D ．34＝213探究三 分数指数幂的运算法则及应用[例3] 用分数指数幂表示下列各式(a >0，b >0)，(1)a 2a ；(2) a a ；(3)3a 2·a 3；(4)(3a )2·ab 3.[方法总结] 将根式转化为分数指数幂，再利用分数指数幂的运算法则进行化简． ,[跟踪训练3] 将下列各式化为分数指数幂的形式． (1)13x ·(5x 2)2(x >0)； (2)ab 3ab 5(a >0，b >0)．探究四 利用分数指数幂的运算法则化简、求值[例4] 下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫－338 －23 ＋0.002－12 －10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )．[变式探究] 已知a 12 ＋a －12 ＝5，求a 32－a －32a 12 －a －12的值．[方法总结](1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.[跟踪训练4] 设a 12 －a －12 ＝m ，则a 2＋1a＝( ) A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2 【课堂小结】1．当n 为奇数时，n a n ＝a ；当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0. 2．在利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式的形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂．3．无理数指数幂a t (a ＞0，t 是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．【参考答案】【自主学习】知识点1 根式3． n a n ＝|a |[微体验]1．D [由m 10＝2，所以m ＝±102.]2．n －m [∵m <n ，∴m －n <0,(m －n )2＝|m －n |＝n －m .] 知识点2 分数指数幂1． a m n ＝⎝⎛⎭⎫n a m ＝n a m 2．(1) a s ＋t(2) a s _t ；(3) a s b s[微体验]1．D [332 ＝33＝27.] 2．C [由题意可知a ≥0，a ·a ＝a ·a 12 ＝a 32 .]知识点3 实数指数幂(1) a s ＋t(2)a s _t(3) a s b s[微体验]1．D [原式＝a 2a 12·a 23＝a 2a 12+a 23＝a 2a 76＝a 56 ＝6a 5.] 2．94 [∵10x ＝3,10y ＝4，∴102x －y ＝102x 10y ＝324＝94.] 【互动探究】探究一 根式的性质[例1] 解 (1)原式＝－7＋|5－2π|＝－7＋2π－5＝2π－12.(2)原式＝a －b ＋b －a ＝0.[跟踪训练1] 解 (1)原式＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0.(2)原式＝|x |－|x |＋1＝1.探究二 根式与分数指数幂的互化[例2] 解 (1)3x 5＝x 53 . (2)1x 3＝1x 12＝x －23 . (3)x －34 ＝1x 34＝14x 3 . (4)x 12 y －23 ＝x 13y 2＝x 3y 2. [跟踪训练2] D [A ．(m ＋n )23 ＝3(m ＋n )2，因此不正确；B ．⎝⎛⎭⎫b a 2＝b 2·a －2，因此不正确；C ．6(－3)2＝632＝313 ，因此不正确；D ．34＝223 ×12 ＝213 ，正确．]探究三 分数指数幂的运算法则及应用[例3] 解 (1)原式＝a 2a 12 ＝a 2＋12 ＝a 52 .(2)原式＝ a ·a 12＝a 32＝a 34 . (3)原式＝a 23 ·a 32 ＝a 23 ＋32 ＝a 136 .(4)原式＝(a 13 )2·(ab 3) 12 ＝a 23 ·a 12 b 32 ＝a 23 ＋12 b 32 ＝a 76 b 32 .[跟踪训练3] 解 (1)原式＝13x ·(x 25)2＝13x ·x 45＝13x 95＝1(x 95)13＝1x 35＝x －35 . (2)原式＝[ab 3(ab 5)12 ]12 ＝(a ·a 12 ·b 3·b 52 )12 ＝(a 32 b 112 )12 ＝a 34 b 114 . 探究四 利用分数指数幂的运算法则化简、求值[例4] 解 (1)原式＝(－1)－23 ×⎝⎛⎭⎫338－23 ＋⎝⎛⎭⎫1500－12 －105－2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫278－23 ＋50012 －10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝－4a －2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c.[变式探究] 解 因为a 32 －a －32 ＝(a 12 )3－(a －12 )3，所以a 32－a －32a 12 －a －12＝(a 12－a －12)(a ＋a 12·a －12＋a －1)a 12－a －12＝a ＋a －1＋1＝(a 12 ＋a －12 )2－2＋1＝52－1＝24. [跟踪训练4] C [将a 12 －a －12 ＝m 两边平方得⎝⎛⎭⎫a 12－a －122＝m 2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2，即a ＋1a ＝m 2＋2⇒a 2＋1a ＝m 2＋2.]。

课题名称 4.1 实数指数幂授课班级13机电 1授课时间课题序号授课课时第到授课形式启迪、类比使用教具课件1. 识记 n 次方根的观点，能划分奇次方根、偶次方根和n 次根算式根。

教学目的 2. 能描绘分数指数幂的定义，会进行根式与分数指数幂的互化。

3.识记有理数指数幂的运算性质，会进行简单的有理数指数幂的运算。

教学重点有理数指数幂的运算、实数指数幂的综合运算教学难点有理数指数幂的运算、实数指数幂的综合运算更新、补充、删减无内容课外作业1． P 96 习题。

实数指数幂授课主要思虑沟通例题讲堂小结观点内容或板书设计问题解决练习教学后记教课过程师生活动设计意主要教学内容及步骤图等一、复入：二、新：研究（本 90 ）引学生回初中1．观点学的平方根、立方根的一般地，假如 x n a( n N , 且 n1) ,称x a桂梅观点，启学生思虑当指数分取 4,5 ，⋯，的 n 次方根。

x 的名称确立，比如：指数分取奇数和偶数底数的异同。

当n 奇数，正数的n 次方根是一个正数，数的n次方根是一个数。

， a 的 n 次方根只有一个，作n a 。

比如：当 n 偶数，正数 a 的 n 次方根有两个，它互相反数，作±n a的形式。

数没有偶次方根。

0 的任何次方根都是0.正数 a 的正的 n 次方根叫做 a 的 n 次算式根。

作n a 。

当n a 存心，把n a 叫做根式，此中n叫做根指数，a 叫做被开方数。

性：（1）(na) n(,且n1)a n N（2）当 n 奇数，(n a)n a ；当 n 为偶数时， (n a )na (a 0 ), | a |a( a 0).m（3） a nna m ；m11 （4） anmna ma n例 1 将以下各分数指数幂写成根式的形式：22(1) a 3 ；(2) b 3 ．例 2 将以下各根式写成分数指数幂的形式：(1)5a 2； (2)1．3a 5思虑沟通1. 0 的正分数指数幂是。