NormalDistribution

正态分布英文表达IntroductionNormal distribution, also known as Gaussian distribution, is a probability distribution used to describe the distribution of continuous variablesin the natural world. It is a fundamental conceptin statistics and plays a critical role in empirical research across a wide range of disciplines, including economics, psychology, and physics. This article will provide an overview of normal distribution, including its properties, characteristics, and applications.Properties of the Normal DistributionThe normal distribution is an infinite probability distribution, meaning that it extends indefinitely in both positive and negative directions. It is defined by two parameters: the mean and the standard deviation. The mean represents the average value or center of the distribution, while the standard deviation represents the spread or dispersion of the distribution.The probability density function of the normal distribution is bell-shaped, with a single peak at the mean. The curve is symmetric around the mean and the area under the curve is equal to one. The standard normal distribution, which has a mean of zero and a standard deviation of one, is often used as a baseline for comparison in statistical analyses.The empirical rule, also known as the 68-95-99.7 rule, provides a rough guideline for the proportion of data that falls within a certain number of standard deviations from the mean. Specifically, about 68% of the data falls within one standard deviation, 95% falls within two standard deviations, and almost all (99.7%) falls within three standard deviations.Characteristics of the Normal DistributionOne of the most important characteristics of the normal distribution is that it is a continuous distribution. This means that the random variable can take on any value within a certain range, and the probability of any given value occurring isinfinitesimal. Another characteristic of the normal distribution is that it is unimodal, meaning thatit has a single mode or peak.Additionally, the normal distribution is asymptotic. This means that as the tails of the distribution extend further away from the mean, the probability of a given data point occurring becomes increasingly small. However, the curve never touches the x-axis or reaches zero probability, making it an open-ended distribution.Applications of the Normal DistributionThe normal distribution has many applications in both theoretical and applied statistics. One of the most common applications is in hypothesis testing. For example, if we want to test whether the mean of a sample of data is significantly different from a known population mean, we can use the normal distribution to calculate theprobability of obtaining our sample mean given the population mean and standard deviation.Another application of the normal distribution is in the construction of confidence intervals. Aconfidence interval is a range of values that is likely to contain the true population parameterwith a certain degree of confidence. By using the normal distribution, we can construct confidence intervals around the sample mean or other statistics.The normal distribution is also frequently used in regression analysis, where it is assumed thatthe errors follow a normal distribution. This assumption is necessary for many statistical models, including linear regression and logistic regression.Finally, the normal distribution is a useful tool in quality control and process improvement. It can be used to model the distribution of defects, errors, or other measures of quality in a process, and to identify outliers or deviations from expected performance.ConclusionThe normal distribution is a basic but powerful concept in statistics that is applicable to a wide range of fields. Its properties and characteristicsmake it a useful tool for hypothesis testing, confidence interval construction, regression analysis, quality control, and many other applications. By understanding the normal distribution, researchers and practitioners can better analyze and interpret their data, leading to more accurate and reliable results.。

1、正态分布正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussiandistribution），若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。

其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。

我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

当μ=0，σ=1时，正态分布就成为标准正态分布N（0，1)。

概率密度函数为：正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。

2、伯努利分布如果随机变量X只取0和1两个值，并且相应的概率为：则称随机变量X服从参数为p的伯努利分布，若令q=1一p，则X的概率函数可写为：伯努利分布（二点分布）的期望E(X)=p，D(X)=p(1-p)。

（其中，离散数据的方差计算公式为D(X)=E{[X-E(X)]^2}）n重伯努利分布（二项分布）的期望E(X)=np，D(X)=np(1-p)。

3、泊松分布在统计学上，只要某类事件满足三个条件，它就服从"泊松分布"。

三个条件分别是：①事件X的发生是小概率事件②事件X的发生是随机而且互相独立的③事件X发生的概率相对稳定。

泊松分布的公式为：各个参数的含义：单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率，即P（X=k）事件X发生k次的概率，λ表示事件X稳定发生的概率。

当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似。

设X~B（n,p)，当n很大,p很小,且λ＝np适中时,有P(x=k)≈λ^k/k! ·e^(-λ)，推导过程如下所示：为第二重要极限公式，上面的推到会涉及到。

C++normal_distribution⾼斯正态分布函数的⽤法⽰例图 1 显⽰的是正态(或⾼斯)分布。

它是⼀条连续的贝尔曲线，期望两边的值是相等的，可以理解为期望就是平均值。

它是⼀个概率分布，因此曲线下⽅的⾯积是1。

正态分布是由两个参数完全定义的：期望和标准差，它们是衡量期望两边的值如何分布的⼀种⽅式。

图 1 正态分布期望和标准差分别是⽤希腊字母 µ 和σ来表⽰的，变量 x 有 n 个样本，这些是由下⾯的公式定义的：因此，期望就是值的和除以值的个数⼀换句话说，也就是平均值。

可以通过值和期望的差值的平⽅⼦和除以 n-1，然后对结果开⽅来得到标准差。

对于不同的期望和标准差的值，正态分布的相对宽度和⾼度分布曲线的变化是相当⼤的。

但是，分布值总是如图 1 所⽰。

这意味着，如果知道⼀个符合正态分布的变量的期望和标准差，例如在⼤量⼈⼝中个体的⾝⾼，就可以知道95% 的⼈⾝⾼不超过期望的 2σ。

标准正态分布的期望为 0，标准差为 1。

uniform_distribution 模板定义了可以产⽣随机浮点值的分布对象类型，默认是 double 类型。

默认构造函数创建的是标准正态分布，因此期望是 0，⽅差是 1.0:std::normal_distribution<> dist; // mu: 0 sigma: 1下⾯展⽰了如何创建⼀个有特定值和标准差的正态分布：double mu {50.0}, sigma {10.0};std::normal_distribution<> norm {mu, sigma};这⾥定义了⼀个⽣成 double 值的分布对象，期望为 50.0，标准差是 10.0。

为了⽣成值，可以将⼀个随机数⽣成器传给 norm 函数对象。

例如：std::random_device rd;std::default_random_engine rng {rd()};std::cout << "Normally distributed values: "<< norm (rng) << " " << norm (rng) << std::endl; // 39.6153 45.5608可以通过调⽤对象的成员函数 mean() 和 stddev() 来获取它的期望值和标准差：std::cout<<"mu: "<< norm.mean () << " sigma: " << norm.stddev ()<< std::endl; // mu: 50 sigma: 10通过调⽤⽆参数的成员函数 param()，可以得到⼀个封装了这两个值的 param_type 对象。

probability distribution的表达式-回复Probability distribution（概率分布）是概率论中用来描述随机变量（random variable）所有可能取值及其对应概率的函数或规律。

概率分布可以用数学公式、图形、表格等形式来表示，它是概率论的基础，广泛应用于统计学、工程学、经济学、自然科学等领域。

概率分布主要分为离散概率分布和连续概率分布两类。

1. 离散概率分布（Discrete Probability Distribution）离散概率分布用于描述离散型随机变量，即随机变量只能取有限个或可数个值的情况。

离散概率分布的表达式通常用概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）表示。

概率质量函数是一个函数，它给出了在每一个可能取值上的概率。

常见的离散概率分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。

伯努利分布（Bernoulli distribution）是最简单的二值离散概率分布。

它描述了一次实验的结果只有两种可能性（成功或失败）的情况。

伯努利分布的概率质量函数表达式为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)其中，X为随机变量，k为随机变量的取值（0或1），p为成功的概率。

二项分布（Binomial distribution）描述了一系列独立的伯努利试验中成功的次数的概率分布。

二项分布的概率质量函数表达式为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，X为随机变量，k为随机变量的取值，n为试验的次数，p为成功的概率，C(n,k)为组合数。

泊松分布（Poisson distribution）用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数的概率分布。

泊松分布的概率质量函数表达式为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!其中，X为随机变量，k为随机变量的取值，λ为单位时间（或单位空间）内事件的平均发生率。

C++⽣成随机数：正态分布（normaldistribution）⾸次写博客，见谅！win32控制台程序1 #include "stdafx.h"2 #include <stdio.h>3 #include <iostream>4 #include <time.h>5 #include <stdlib.h>6 #include <math.h>78using namespace std;91011double gaussrand()12 {13static double V1, V2, S;14 static int phase = 0;15 double X;16double a[100];17 srand((unsigned)time(NULL));1819for (int i = 0; i<100; i++)20 {21 if ( phase == 0 )22 {23 do24 {25 double U1 = (double)rand() / RAND_MAX;26 double U2 = (double)rand() / RAND_MAX;27 V1 = 2 * U1 - 1;28 V2 = 2 * U2 - 1;29 S = V1 * V1 + V2 * V2;30 }31 while(S >= 1 || S == 0);32 X = V1 * sqrt(-2 * log(S) / S);33 }34 else35 X = V2 * sqrt(-2 * log(S) / S);36 phase = 1 - phase;37 //X = X * 0.04 + 40;38 a[i] = X;39 cout<<a[i]<<endl;40 }41return0;42 }4344int main(int argc, char* argv[])45 {47 gaussrand();48 return0;49 }这样⽣成的⾼斯分布随机数序列的期望为0.0，⽅差为1.0。

对数正态分布lognormaldistribution为了⽅便后⾯的描述，我们先定义正态分布的两个参数为：均值mean表⽰为µN, 标准差standard deviation 表⽰为σN（对应⽅差Variance 表⽰为σ2N）。

为了区分，我们⽤m和v分别表⽰对数正态分布的均值和⽅差, 他们与其对应的正太分布的关系如下：lognormal均值: m LogN=eµN+σ2N/2；lognormal⽅差: v LogN=(eσ2N−1)e2µN+σ2N.另外：lognormal 众数(mode) = eµN−σ2N;lognormal 中位数(median) = eµN.⽣成符合lognromal distribution 的随机数(n个数)，⽆论是Python还是Matlab, 都利⽤µN和σN来⽣成对数正态分布随机数：1. Python (numpy)import numpy as npy0 = np.random.lognormal(mu_N, sigma_N, n)⽰例：我们取µN=0.5，σN=0.5, n=10000, 执⾏并画出Python⽣成的随机数histogram (bin数量取50)如下:2. Matlab%% method 1: build-in matlab makedist functionpd = makedist('Lognormal', 'mu' ,mu_N,'sigma',sigma_N);rng('default'); % For reproducibilityy1 = random(pd,n,1);% logx = log(y1); %logx distributed as normal distribution with mu and sigma% mean(logx); % 可以验证为 mu_N%% method 2: build-in matlab lognrnd functionrng('default'); % For reproducibilityy2 = lognrnd(mu_N, sigma_N, [n,1]);%% method 3: from normal distriutionrng('default'); % For reproducibilityz = randn([n,1]); %standard normalx = mu_N + sigma_N.*z;% x follows normal distribution N(mu_N, sigma_N)y3 = exp(x); % y follows lognormal distribution⽰例：我们取µN=0.5，σN=0.5, n=10000, 执⾏并画出Matlab⽣成的随机数histogram (bin数量取50)如下:Processing math: 100%。

java 正态分布计算Java是一种非常流行的编程语言，被广泛应用于各种领域。

在Java 中，我们可以使用正态分布来进行统计分析和概率计算。

正态分布（也称为高斯分布）是一种连续概率分布，常用于描述自然界和社会现象中的许多随机变量。

本文将介绍如何在Java中使用正态分布进行计算。

一、导入相关库在Java中，我们可以使用Apache Commons Math库来进行正态分布的计算。

首先，我们需要导入相关的库文件。

在Java中，可以使用以下代码导入Apache Commons Math库：importmons.math3.distribution.NormalDistribution;二、创建正态分布对象在使用正态分布进行计算之前，我们需要创建一个正态分布对象。

在Apache Commons Math库中，可以使用NormalDistribution 类来创建正态分布对象。

以下是创建正态分布对象的代码示例：NormalDistribution normalDistribution = new NormalDistribution();三、计算概率密度函数（PDF）概率密度函数（Probability Density Function，PDF）是正态分布的核心概念之一，用于描述随机变量在某个特定取值点的概率密度。

在Java中，可以使用normalDistribution对象的density方法来计算概率密度函数。

以下是计算概率密度函数的代码示例：double x = 1.5; // 需要计算概率密度函数的取值点double pdf = normalDistribution.density(x); // 计算概率密度函数System.out.println("概率密度函数的值为：" + pdf);四、计算累积分布函数（CDF）累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）用于描述随机变量小于等于某个特定取值点的概率。