柱锥台球的习题课

高一数学柱锥台球的结构特征试题答案及解析1.一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点。

【答案】5，4，3【解析】面最少的三棱柱是三棱柱，它有五个面；面数最少的棱锥是三棱椎，它有4个顶点；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有三条侧棱．故答案为：5，4，3.【考点】棱锥的结构特征.2.如图，三个半径都是10cm的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同于水平面，则这个碗的半径R是________________cm【答案】【解析】依题意可得碗的球心为O,半径为R.其它三个球的球心分别是.这四个点构成了一个正三棱锥，其中侧棱表示两个球内切的圆心距关系.底面长为两个外切求的圆心距.所以="R-10." .通过解直角三角形可得.故填.【考点】1.球的内切、外切.2.球的知识转化为圆的相应知识.3.解三角形的知识.3.下列判断正确的是（）A．棱柱中只能有两个面可以互相平行B．底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱C．底面是正六边形的棱台是正六棱台D．底面是正方形的四棱锥是正四棱锥【答案】B【解析】在四棱柱中A不正确；正六棱台的底面是正六边形且上下底面中心的连线与两底面垂直C不正确；正四棱锥底面是正方形且顶点在底面的射影是底面的中心D不正确.【考点】本题考查棱柱、棱锥的性质.4.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E,、F，且,则下列结论中错误的是（）A．B．C．三棱锥的体积为定值D．的面积与的面积相等【答案】D【解析】A．AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面，故可得出AC⊥BE，此命题正确，不是正确选项；B．EF∥平面ABCD，由正方体的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确，不是正确选项；C．三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；D．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故D是错误的．综上应选D.【考点】棱柱的结构特征．5.如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是()A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱【答案】C【解析】利用几何体的结构特征进行分析判断，能够求出结果解：图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥．图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱．故选C【考点】几何体的结构特征点评：本题考查几何体的结构特征，解题时要认真审题，注意熟练掌握基本概念．6.下列说法正确的是( )A．有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.B．有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.C．有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.D．棱台各侧棱的延长线交于一点.【答案】D【解析】 A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.不符合棱柱的定义，不正确；结合下图可知B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.不正确；棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体，故C不正确；棱台是由棱锥截得的，故棱台各侧棱延长后要交与一点，故D正确，故选D。

第一章空间几何体§1.1 空间几何体的结构1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征【课时目标】认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．1．一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都________________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．2．一般地，有一个面是多边形，其余各面都是________________________________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．3．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫________．4．以直角三角形的一条________所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体叫做圆锥．5．(1)用一个________________________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台．(2)用一个________于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．6．以半圆的________所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．一、选择题1．棱台不具备的性质是()A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点2．下列命题中正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台3．下列说法正确的是()A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线4．下列说法正确的是()A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的5．观察下图所示几何体，其中判断正确的是()A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱6．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下二、填空题7．由若干个平面图形围成的几何体称为多面体，多面体最少有________个面．8．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________．9．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是________．三、解答题10．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．11．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．能力提升12．下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个正方体的图形的是()13．如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A 点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？1．学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系．2．棱柱、棱锥、棱台中的基本量的计算，是高考考查的热点，要注意转化，即把三维图形化归为二维图形求解．在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键．3．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连接两点的线段长求解．第一章空间几何体§1．1空间几何体的结构1．1．1柱、锥、台、球的结构特征答案知识梳理1．互相平行2．有一个公共顶点的三角形3．圆柱4．直角边5．(1)平行于棱锥底面(2)平行6．直径作业设计1．C[用棱台的定义去判断．]2．C[A、B的反例图形如图所示，D显然不正确．]3．C[圆锥是直角三角形绕直角边旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥，A不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故B不正确，通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故D不正确．]4．D[两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误．半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B不正确，C不符合棱台的定义，所以应选D．] 5．C6．B7．48．圆锥9．①②10．解 截面BCFE 右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义． 它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面． EF ，B′C′，BC 是侧棱， 截面BCFE 左侧部分也是棱柱． 它是四棱柱ABEA′—DCFD′．其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面． A′D′，EF ，BC ，AD 为侧棱． 11．解圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延长AA 1交OO 1的延长线于点S ．在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°．∴SO ＝AO ＝3x cm ，OO 1＝2x cm ．∴12(6x ＋2x)·2x ＝392，解得x ＝7，∴圆台的高OO 1＝14 cm ，母线长l ＝2OO 1＝14 2 cm ，底面半径分别为7 cm 和21 cm ．12．C13．解 把圆柱的侧面沿AB 剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB ＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π， ∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋(2π)2＝21＋π2， 即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2．。

柱、锥、台、球的的结构特征和三视图练习题班级姓名编号一、选择题1.下列对棱柱说法正确的是（）A．只有两个面互相平行 B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行，且各侧棱也平行2.一个等腰三角形绕它的底边所在的直线旋转360。

形成的曲面所围成的几何体是（）A．球体 B.圆柱 C.圆台 D.两个共底面的圆锥组成的组合体3.下列命题正确的是（）A．平行与圆锥的一条母线的截面是等腰三角形B. 平行与圆台的一条母线的截面是等腰梯形C. 过圆锥母线及顶点的截面是等腰三角形D. 过圆台的一个底面中心的截面是等腰梯形4.棱台不具备的特点是（）A．两底面相似 B. 侧面都是梯形 C. 侧棱都相等 D. 侧棱延长后交于一点5.以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（）A．球体 B.圆柱 C.圆锥 D.圆柱、圆锥及球体的组合体6.将装有水的长方体槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（）A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱台的组合体D.不能确定7．下列命题正确的是（）A.矩形的平行投影一定是矩形B.梯形的平行投影一定是梯形C.两条相交直线的平行投影可能平行D.一条线段中点的平行投影仍是投影线段的中点8.将等腰三角形绕它的底边上的高旋转一周, 形成的几何体一定是（）A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．上均不正确9.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（）A．圆锥 B．圆柱 C．球体 D．以上都可能10.下列图形中，不是三棱柱的展开图的是（）11．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④12.一个几何体的正视图与侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体是（）A.圆柱B.三棱柱C.圆锥D.球体13. (1)如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；(2)如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；(3)如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体;(4)如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．其中正确命题的个数是（）Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．314.三视图均相同的几何体有（）Ａ．球Ｂ．正方体Ｃ．正四面体Ｄ．以上都对15.用一个平面去截一个正方体，截法不同，所得截面的形状不一定相同，在各种截法中，边数最多的截面是（）Ａ．四边形Ｂ．五边形Ｃ．六边形Ｄ．八边形16.用一个平面截去正方体一角，则截面是（）Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．正三角形17.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（）A ．①②Ｂ．②④Ｃ．①②③Ｄ．②③④20.有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )①正方形②圆锥③三棱台④正四棱锥A棱台B棱锥C棱柱D都不对二．填空题21.命题：①底面是正多边形，而且侧棱长与底面边长都相等的棱锥是正多面体；②正多面体的面不是三角形，就是正方形；③若长方体的各侧面都是正方形，它就是正多面体；④正三棱锥就是正四面体，其中正确的序号是．22.已知三棱锥的底面是边长为a的等边三角形，则过各侧棱中点的截面的面积为 .23.一个棱柱至少有个面，面数最少的棱柱有个顶点，有条棱.24.棱柱的侧面是形，长方体的侧面是形，正方体的侧面是形.25.如图是一个多面体的展开图，每个面内都标注了字母，请根据要求回答问题：1 这个几何体是什么体？2 如果面A在几何体的底部，那么哪一个面会在上面？3 如果面F在前面，从左面看是面B4 从右边看是面C，面D在后面，那么哪一面会在上面？26.如图所示，绕虚线旋转一周后形成的立体图形是由哪些简单几何体构成的？27.已知正三棱柱111ABC A B C的底面边长为1，侧棱为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一圈．．到达1A点的最短路线的长为..28.图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;图（2）中的三视图表示的实物为_____________29. 图是几何体的直观图，画出它的三视图．图（1） 图（2）。

第1章 立体几何初步§1.3柱、锥、台、球的表面积和体积考纲要求：了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；会求一些简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积和体积的运用．重难点：了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式，会求一些简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积和体积的运用．经典例题：在三棱柱ABC —DEF 中，已知AD 到面BCFE 的距离为h ，平行四边形BCFE 的面积为S ． 求：三棱柱的体积V ．当堂练习：1．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的AB=3，AD=2，CC 1=1，一条绳子从A 沿着表面拉到点C 1，绳子的最短长度是（ ）A D 2．若球的半径为R ，则这个球的内接正方体的全面积等于（ ） A ．8R 2B ． 9R 2C ．10R 2D ．12R 23．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面, 则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是（ ）A ． 10cmB ． 52cmC ． 512+πcm D cm4．球的大圆面积扩大为原大圆面积的4倍，则球的表面积扩大成原球面积的（ ） A ．2倍 B ． 4倍 C ． 8倍 D ．16倍5．三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ） A ．1倍 B ．2倍 C ．154倍 D ．143倍 6．正方体的全面积是a 2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）A ．32a π B ．22a π C ． D ．7．两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,这两个球的半径之差为（ ）A ．4B ． 3C ． 2D ． 18．已知正方体的棱长为a ，过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去8个角，则剩余部分的体积是（ ） A ．21a 3 B ．32a 3 C ．65a 3 D ．1211a 39.正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 折成一个三棱锥，使B ，C ，D 三点重合，那么这个三棱锥的体积为（ ） A ．81 B ．241 C ．242 D ．485 10.棱锥V-ABC 的中截面是∆A 1B 1C 1，则三棱锥V-A 1B 1C 1与三棱锥A-A 1BC 的体积之比是（ ） A ．1：2 B ． 1：4 C ．1：6 D ．1：8 11. 两个球的表面积之比是1：16，这两个球的体积之比为（ ）A ．1：32B ．1：24C ．1：64D ． 1：256 12．两个球的体积之比为8：27，那么，这两个球的表面积之比为（ ）A ．2：3B ．4：9 C13．棱长为a 的正方体内有一个球，与这个正方体的12条棱都相切，则这个球的体积应为（ ） A ． 4a π 3B ．34a π C33a D34a 14．半径为R 的球的外切圆柱的表面积是______________．15．E 是边长为2的正方形ABCD 边AD 的中点，将图形沿EB 、EC 折成三棱锥A-BCE （A ，D 重合）， 则此三棱锥的体积为____________． 16.直三棱柱C B A ABC '''-的体积是V ，D 、E 分别在A A '、B B '上，线段DE 经过矩形A B AB ''的中心，则四棱锥C-ABED 的体积是________________．17．一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm 和4cm, 将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周,所得旋转体的体积是________________．18．圆锥的底面半径为5cm, 高为12cm, 当它的内接圆柱的底面半径为何值时, 圆锥的内接圆柱的全面积有最大值?最大值是多少?19．A 、B 、C 是球面上三点，已知弦AB=18cm ，BC=24cm ，AC=30cm ，平面ABC 与球心O 的距离恰好为球半径的一半，求球的面积．20．圆锥轴截面为顶角等于1200的等腰三角形, 且过顶点的最大截面面积为8, 求这圆锥的全面积S 和体积V ．21．已知ABCD-A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体， E 、F 分别为棱AA 1与CC 1的中点，求四棱锥A 1-EBFD 1的体积．§1.3柱、锥、台、球的表面积和体积经典例题： 解法一：把三棱柱补成一平行六面体EFDG —BCAH ，可看成以s 为底，以h 为高，则体积为sh ． V ABC-DEF =.21sh 这就是用补的方法求体积． 解法二：连DB 、DC 、BF ，把三棱柱分割成三个等体积的三棱锥，如D —BEF 就是以21s 为底，高为h 的三棱锥，则V D-BEF =,61sh 则V ABC-DEF =3 V D-BEF =12sh ． 当堂练习：1.C;2.A;3.D;4.B;5.C;6.B;7.C;8.C;9.B; 10.B; 11.C; 12.B; 13.C; 14. 6πR 2; 15.33; 16. 3V ; 17.3485cm π;18. 如图 ,SAB 是圆锥的轴截面, 其中SO=12, OB=5.设圆锥内接圆柱底面半径为O 1C=x , 由C SO 1∆与SOB ∆相似, 则111112,,.5SO SO SO SO O C x O COBOB===∴ OO 1=SO-SO 1=12-x 512,则圆柱的全面积S=S 侧+2S 底=222127(12)22(12).55x x x x x πππ-+=-则当207x cm =时,S 取到最大值23607cm π．19. 解： AB 2+BC 2=AC 2， ∆∴ABC 为直角三角形， ∆∴ABC 的外接圆O 1的半径r=15cm ， 因圆O 1即为平面ABC 截球O 所得的圆面，因此有R 2=（2R ）2+152，∴R 2=300，∴S 球=4πR 2=1200π（cm 2）.20. 解:设母线长为 , 当截面的两条母线互相垂直时, 有最大的截面面积. 此时, ,4,8212=∴= 底面半径32=r ,高.2=h 则S 全=.831,)323(422πππππ==+=+h r V r r 21.解：11,2EB BF FD D E =====∴四棱锥A 1-EBFD 1的底面是菱形，连接EF ，则1EFD EFB ∆≅∆，||,1111CC V V EFD A EFB A --=∴平面ABB 1A 1，∴ 三棱锥F-EBA 1的高是CC 1到平面AB 1的距离，即棱长a ，S .4122121211a a a AB E A EBA =⋅⋅=⋅=∆∴.12141313211a a a V V EBA F EFB A =⋅⋅==-- .6123111a V V EFB A EBFD A ==∴--。

【课时训练】第一章空间几何体 第1.1.1节 柱、锥、台、球的结构特征一、选择题1. 如图，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）A.（1）是棱台B.（2）是圆台C.（3）是棱锥D.（4）不是棱柱2.下面几何体中，过轴的截面一定是圆面的是（ ）A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台3. 正方体的截平面不可能．．．是：①钝角三角形；②直角三角形；③菱形；④正五边形；⑤正六边形.下述选项正确的是（ ）A.①②⑤B.①②④C.②③④D.③④⑤4.长方体AC 1的长、宽、高分别为3、2、1，从A 到C 1沿长方体的表面的最短距离为（ ）A.31+B.102+C.23D.32二、填空题5. 一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如图14所示，A 、B 、C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC=____________.图146.有一粒正方体的骰子每一个面有一个英文字母，如图16所示.从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H 反面的字母是___________.图167 .如图17所示，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达A 1点的最短路线的长为_________.图17三、解答题8.有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗？9.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？10.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径.11. 如图21，甲所示为一几何体的展开图.图21(1)沿图中虚线将它们折叠起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画出示意图.(2)需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6 cm的正方体？请在图乙棱长为6 cm 的正方体ABCD—A1B1C1D1中指出这几个几何体的名称.12. 如图23，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=3，AA1=4.M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC1的交点为N，求P点的位置.图23《柱、锥、台、球的结构特征》参考答案 1. 解：图（1）不是由棱锥截来的，所以（1）不是棱台；图（2）上下两个面不平行，所以（2）不是圆台；图（4）前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以（4）是棱柱；很明显（3）是棱锥.答案：C2.解：圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是圆面，所以A 、B 、D 均不正确.答案：C3.解：正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）.答案：B4. 解：如图3，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=3，BC=2，BB 1=1.图3如图4所示，将侧面ABB 1A 1和侧面BCC 1B 1展开,图4则有AC 1=261522=+，即经过侧面ABB 1A 1和侧面BCC 1B 1时的最短距离是26； 如图5所示，将侧面ABB 1A 1和底面A 1B 1C 1D 1展开,则有AC 1=233322=+，即经过侧面ABB 1A 1和底面A 1B 1C 1D 1时的最短距离是23；图5如图6所示，将侧面ADD 1A 1和底面A 1B 1C 1D 1展开,图6则有AC 1=522422=+，即经过侧面ADD 1A 1和底面A 1B 1C 1D 1时的最短距离是52.由于23＜52，23＜26，所以由A 到C 1在正方体表面上的最短距离为23.答案：C5. 解：如图15所示，折成正方体，很明显点A 、B 、C 是上底面正方形的三个顶点， 则∠ABC=90°.图15答案：90°6.解：正方体的骰子共有6个面，每个面都有一个字母，从每一个图中都看到有公共顶点的三个面，与标有S 的面相邻的面共有四个，由这三个图,知这四个面分别标有字母H 、E 、O 、p 、d ，因此只能是标有“p”与“d”的面是同一个面，p 与d 是一个字母；翻转图②，使S 面调整到正前面，使p 转成d ，则O 为正下面，所以H 的反面是O.答案：O7.解：将正三棱柱ABC —A 1B 1C 1沿侧棱AA 1展开，其侧面展开图如图所示，则沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达A 1点的最短路线的长就是图17（1）中AD+DA 1.延长A 1F 至M ，使得A 1F=FM ，连接DM ，则A 1D=DM ，如图17（2）所示.图17（1） 图17（2）则沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达A 1点的最短路线的长就是图12中线段AM 的长.在图17（2）中,△AA 1M 是直角三角形，则AM=222121)111111(8++++++=+M A AA =10. 答案：108. 解：如图18所示，此几何体有两个面互相平行，其余各面是平行四边形，很明显这个几何体不是棱柱，因此说有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱.图18 由此看，判断一个几何体是否是棱柱，关键是紧扣棱柱的3个本质特征：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行.这3个特征缺一不可，图18所示的几何体不具备特征③.9. 解：如图19所示，将正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1截去两个三棱锥A —A 1B 1D 1和C —B 1C 1D 1，得如图20所示的几何体.图19 图20图20所示的几何体有一个面ABCD 是四边形，其余各面都是三角形的几何体，很明显这个几何体不是棱锥，因此说有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥. 由此看，判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的3个本质特征：①有一个面是多边形；②其余各面都是三角形；③这些三角形面有一个公共顶点.这3个特征缺一不可，图18所示的几何体不具备特征③.10.解：圆台的轴截面如图21，图21设圆台上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延长AA 1交OO 1的延长线于S.在Rt△SOA 中，∠ASO=45°，则∠SAO=45°.所以SO=AO=3x.所以OO 1=2x.又21（6x+2x ）·2x=392，解得x=7， 所以圆台的高OO 1=14 cm ，母线长l=2OO 1=214cm ，而底面半径分别为7 cm 和21 cm, 即圆台的高14 cm ，母线长214cm ，底面半径分别为7 cm 和21 cm.11. 答案：(1)有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，如图22甲所示.图22(2)需要3个这样的几何体，如图22乙所示.分别为四棱锥：A 1—CDD 1C 1，A 1—ABCD ，A 1—BCC 1B 1.12.分析：把三棱锥展开后放在平面上，通过列方程解应用题来求出P到C点的距离,即确定了P点的位置.解：如图24所示，把正三棱锥展开后，设CP=x,图24根据已知可得方程22+（3+x)2=29.解得x=2.所以P点的位置在离C点距离为2的地方.。

课后训练1．若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积之比为( ）．A ．1∶3∶4B ．1∶3∶2C ．1∶2∶4D ．1∶4∶22．正方体的内切球的体积为36π，则此正方体的表面积是( )．A ．216B ．72C ．108D ．6483．三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，则三棱锥A 1－ABC ,B －A 1B 1C ，C －A 1B 1C 1的体积之比为（ ）．A ．1∶1∶1B ．1∶1∶2C ．1∶2∶4D ．1∶4∶44．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ）．A ．2π+ B ．4π+C ．2π3+D ．4π3+5．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ,32EF =，EF 与平面AC 的距离为2，则该多面体的体积是( )．A ．92B ．5C ．6D ．152 6．某圆台的体积为52，上、下底面面积之比为1∶9，则截得该圆台的圆锥的体积为__________．7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是________ cm 。

8．四面体ABCD 中，以A 为顶点的三条棱两两相互垂直,且其长分别为1，3，四面体的四个顶点在同一个球面上，则这个球的体积为__________．9．正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC ，CD 的中点E ，F ,连接AE ，EF ，AF ,以AE ，EF ，FA 为折痕，折叠这个正方形，使B ，C ,D 重合于一点P ，得到一个三棱锥如图所示，求此三棱锥的体积．10．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的32，此梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5π，求此旋转体的体积．。

1．1.7 柱、锥、台和球的体积一、基础过关1．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．72 cm 3B ．90 cm 3C ．108 cm 3D ．138 cm 3 答案 B 解析该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示．V ＝V 三棱柱＋V 长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90 cm 3.2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3 D ．1∶1 答案 A解析 S 1S 2＝4πr 214πr 22＝(r 1r 2)2＝(13)2＝19.3．已知直角三角形的两直角边长为a 、b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( ) A ．a ∶b B ．b ∶a C ．a 2∶b 2 D ．b 2∶a 2 答案 B解析 以长为a 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πb 2a ，以长为b 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πa 2b .所以13πb 2a ∶13πa 2b ＝b ∶a .4．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则球的表面积为( ) A ．4π(r ＋R )2 B ．4πr 2R 2 C ．4πrR D ．π(R ＋r )2 答案 C解析 方法一 如图，设球的半径为r 1，则在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC ＝R＋r .由勾股定理得4r 21＝(R ＋r )2－(R －r )2，解得r 1＝Rr .故球的表面积为S 球＝4πr 21＝4πRr .方法二 如图，设球心为O ，球的半径为r 1，连接OA ，OB ，则在Rt △AOB 中，OF 是斜边AB 上的高．由相似三角形的性质得OF 2＝BF ·AF ＝Rr ，即r 21＝Rr ，故r 1＝Rr ，故球的表面积为S 球＝4πRr .5．将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm ，则钢球的半径是________ cm. 答案 3解析 设球的半径为r ，则36π＝43πr 3，可得r ＝3 cm.6．已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的体积为________．答案 32π解析 如图，构造正方体ANDM —FBEC .因为三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，所以正方体ANDM —FBEC 的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为32.易知三棱锥A —BCD 的外接球就是正方体ANDM —FBEC 的外接球，所以三棱锥A —BCD的外接球的半径为32.所以三棱锥A —BCD 的外接球的体积为S 球＝43π⎝⎛⎭⎫323＝32π.7．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中， AA 1⊥平面ABD ， AB ＝AD ＝AA 1＝a ， A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵VA 1－ABD ＝VA －A 1BD ， ∴13×12a 2×a ＝13×12×2a ×32×2a ×d . ∴d ＝33a .二、能力提升8．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4答案 B解析 这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V ＝23－14×π×12×2×2＝8－π.9. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3 cm 3答案 A解析 作出该球轴截面的图象如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．10．一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________ m 3.答案 9π＋18解析 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，所以V ＝43π×278×2＋1×3×6＝9π＋18.11. 如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ， A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵VA 1－ABD ＝VA －A 1BD ， ∴13×12a 2×a ＝13×12×2a ×32×2a ×d . ∴d ＝33a .即A 到平面A 1BD 的距离为33a .12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度． 解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3，而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r .即容器中水的深度为315r . 三、探究与拓展13．在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD,2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E —ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M —EBC 的体积为多少？ 解 连接MC ，MD .设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2.因为M 是AE 的中点，所以V M —ABCD ＝12V .所以V E —MBC ＝12V －V E —MDC .而V E —MBC ＝V B —EMC ， V E —MDC ＝V D —EMC ，所以V E —MBC V E —MDC ＝V B —EMC V D —EMC ＝h 1h 2.因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，所以h 1h 2＝32， 所以V E －MBC V E －MDC ＝32.所以V E －MBC ＝V M －EBC ＝12V －23V E －MBC .即V E －MBC ＝V M －EBC ＝310V .。

第一章空间几何作业一柱锥台球的结构特征一、选择题1、用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是（）.A. 六边形B. 菱形C. 梯形D. 直角三角形2、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（）A 1 个B 2 个C 3个D 4个3、下列说法错误的是（）A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成4、下列说法正确的是（）.A.平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B.平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C.过圆锥顶点的截面是等腰三角形D.过圆台上底面中心的截面是等腰梯形二、填空题1、一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为————————————2、若长方体的三个面的面积分别为6 cm ,3 cm ,2 cm ，则此长方体的对角线长为 ；3、水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示。

图中是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面， “锦”表示右面，“程”表示下面。

则“祝”“你”“前”分别表示正 方体的—————三、解答题1、下列多面体一定是棱台吗？如何判断？图1 图22、在直角三角形ABC 中，已知AC=2，C=90°，以直线AC 为轴，将△ABC 旋转一周得到一个圆锥，求经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值.祝 你前程 似锦3、将下列平面图形绕直线AB 旋转一周，所得的几何体分别是什么？请在图中画出来。

四、思考题长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，BB 1＝1，由A 到C 1在长方体ABCA B图1AB 图2A B 图3表面上的最短距离为多少？AA 1B 1BCC 1D 1D。

必修2(1。

1。

1柱、锥、台、球的结构特征)课后导练含解析 基础达标1下列命题中的假命题是( ）A 。

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆柱B.以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥 C 。

以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥D 。

以圆的任意一条直径所在直线为旋转轴，圆面旋转一周形成的几何体叫做球体解析：由柱、锥、球的定义可知，选项B 是假命题，因为圆锥是以直角三角形的一直角边所在直线为轴旋转而成的.故选B.答案：B2将长与宽分别为6和4的矩形卷成一个圆柱,则该圆的底面半径为( ) A.π2 B 。

π3 C.π2或π3 D.π6 解析:该题分类讨论，若以6为圆周长,则半径为π3；若以4为圆周长,则半径为π2，故选C 。

答案：C3下列命题中正确的是（ )A 。

有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱都相等,侧面是平行四边形解析:由棱柱的定义可知，选D 。

答案:D4在下面的四个图形中，不是正方体表面展开图的是( ）解析：利用排除筛选,将展开图一一折叠可选C 。

答案：C5“两底面直径之差等于母线长"的圆台( )A 。

是不存在的B 。

其母线与高线必成60°角C.其母线与高线必成30°角D.其母线与高线所成的角不是定值解析：画出轴截面则AB 、CD 分别为两底直径.AD 为母线,由条件知AE=21(AB —CD ）=21AD ，故选C 。

答案:C6如图，右边哪一个长方体是由左边的平面图形围成的（ ）解析：将下面两矩形向上折起，则阴影面为上底面，非阴影面为侧面，再将左、右面折起即可选D.答案:D7下图是同一个正方体的不同放法,且正方体的六个面上分别标有字母A 、B 、C 、D 、E 、F,则与面E 相对的面上的字母是______________。

1.1.2-1.1.3柱、锥、台球的结构特征1.下列命题正确的是【】A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱2．下列几何体的轴截面一定是圆面的是【】A. 圆柱B. 圆锥C. 球D. 圆台3．对于棱锥，下列叙述正确的是【】A．四棱锥共有四条棱B．五棱锥共有五个面C．六棱锥的顶点有六个D．多面体至少有四个面4．给出如下四个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个共同的公共点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.其中正确的命题个数有【】A．1个B．2个C．3个D．4个5．下列说法错误的是【】A. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面的面积相等B. 九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C. 六角螺帽、三棱镜都是棱柱D. 三棱柱的侧面为三角形6．用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是【】A. 六边形B. 菱形C. 梯形D. 直角三角形7.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长之和为60cm，则每条侧棱的长为cm.l，过圆锥的两条母线作一8．设圆锥母线长为l，高为2个截面，则截面面积的最大值为.9.已知圆柱的底面半径为3cm,,轴截面面积为24cm,求圆柱的母线长.10. 这顶可爱的草帽又是由什么样的曲线旋转而成的呢？11．如图所示，长方体1111ABCD A B C D .（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？（2）用平面BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示. 如果不是，说明理由.12. 如图，将直角梯形ABCD 绕AB 所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？参考答案1. D2. C3. D4. D5. D6. D7. 12 8. 212l 9. 4cm 10. 略11. （1）是棱柱，并且是四棱柱. 因为以长方体相对的两个面作底面都是全等的四边形，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱定义.（2）截面BCNM 的上方部分是三棱柱11BB B CC M -，下方部分是四棱柱11ABMA DCND -.12.一个圆柱和一个等底的圆锥.。

A 级 课时对点练一.选择题(本题共5小题,每小题5分,共25分)1．母线长为1的圆锥的正面睁开图的圆心角等于43π,则该圆锥的体积为( )A.2281πB.881πC.4581πD.1081π 解析：设圆锥的底面半径为r ,则2πr 1＝43π,∴r ＝23,∴圆锥的高h ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53. ∴圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝4581π.答案：C2．如图,是一个几何体的三视图,侧视图和正视图均为矩形, 俯视图为正三角形,尺寸如图,则该几何 体的正面积为( )A ．6B ．123C ．24D ．3解析：留意到此题的几何体是底面边长为2的正三角 形,于是正面积为S ＝6×4＝24. 答案：C3．下图为一个几何体的三视图,则该几何体的概况积为(不斟酌接触点)( )A ．6＋3＋π B．18＋3＋4πC ．18＋23＋π D．32＋π解析：据三视图可得几何体为一正三棱柱和其上方放置一个直径为1的球,个中正三棱柱底面边长为2,侧棱长为3,故其概况积S ＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×34×22＋3×2×3＝18＋23＋π.4．一个多面体的三视图分离为正方形.等腰三角形和矩形, 如图所示．则该多面体的体积( )A ．48 cm 3B ．24 cm 3C ．32 cm 3D ．28 cm 3解析：据已知三视图可知几何体为一个三棱柱,如图．个中正面矩形ABCD 中,AD ＝6(cm ),AB ＝4(cm ),底面等腰三角形ADF 的底边AD 上的高为4(cm ),则其体积V ＝12×4×4×6＝48(cm 3)． 答案：A5．已知某几何体的三视图如图,个中正(主)视图中半圆 的半径为1,则该几何体的体积为( )A ．24－32πB．24－π3C ．24－πD．24－π2解析：据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱,个中长方体的棱长分离为：2,3,4,半圆柱的底面半径为1,母线长为3,故其体积V ＝2×3×4－12×π×12×3＝24－3π2.答案：A 二.填空题：6．如图,一个空间几何体的正视图和侧视 图都是边长为1的正方形,俯视图是直径为1的圆,那么这个几何体的正面积为________．解析：由三视图的常识,它是底面直径与高均为1的圆柱,所以 正面积S ＝π.7．若球O 1.O 2概况积之比S 1S 2＝4,则它们的半径之比R 1R 2＝________.解析：∵S 1＝4πR 21,S 2＝4πR 22,∴S 1S 2＝R 21R 22＝4,∴R 1R 2＝2.答案：28．下图是一个几何体的三视图,依据图中数据,可得该几何体的体积为________．解析：由三视图知该几何体是一个半圆柱,是以V ＝12×π×12×2＝π. 答案：π三.解答题(本题共2小题,每小题10分,共20分) 9．已知某几何体的俯视图是如右图所 示的矩形,正视图(或称主视图)是一个 底边长为8.高为4的等腰三角形,侧 视图(或称左视图)是一个底边长为6. 高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V ; (2)求该几何体的正面积S .解：由题设可知,几何体是一个高为4的四棱锥,其底面是长.宽分离为8和6的矩形,正正面及其相对正面均为底边长为8,高为h 1的等腰三角形,左.右正面均为底边长为6.高为h 2的等腰三角形, 如右图所示．(1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝13×6×8×4＝64.(2)正正面及相对正面底边上的高为：h 1＝42＋32＝5. 左.右正面的底边上的高为：h 2＝42＋42＝4 2.故几何体的正面面积为：S ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2.10．某高速公路收费站进口处的安然标识墩如图1所示,墩的上半部分是正四棱锥P —EFGH ,下半部分是长方体ABCD —EFGH .图2.图3分离是该标识墩的正视图和俯视图． (1)请画出该安然标识墩的侧视图; (2)求该安然标识墩的体积．解：(1)侧视图同正视图,如图所示： (2)该安然标识墩的体积为 V ＝V P －EFGH ＋V ABCD －EFGH ＝13×402×60＋402×20 ＝64 000(cm 3)．B 级 素能晋升练(时光：30分钟 满分：40分)一.选择题(本题共2小题,每小题5分,共10分)1．设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a ,极点都在一个球面上,则该球的概况积为( )A ．πa 2B.73πa 2 C.113πa 2D ．5πa 2答案：B2．如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2,动点E .F 在棱A 1B 1上,动点P ,Q 分离在棱AD ,CD 上,若EF ＝1,A 1E ＝x ,DQ ＝y ,DP ＝z (x ,y ,z 大于零),则四面体PEFQ 的体积( ) A ．与x ,y ,z 都有关B ．与x 有关,与y ,z 无关C ．与y 有关,与x ,z 无关D ．与z 有关,与x ,y 无关解析：从题图中可以剖析出,△EFQ 的面积永久不变,为面A 1B 1CD 面积的14,而当P 点变更时,它到面A 1B 1CD 的距离是变更的,是以会导致四面体体积的变更． 答案：D二.填空题(本题共2小题,每小题5分,共10分)3．在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.相似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶84．已知一几何体的三视图如图所示,正视图与侧视图为全等的等腰直角三角形,直角边长为6,俯视图为正方形,一个小正四棱柱内接于这个几何体,棱柱底面在面ABCD 内,其余极点在几何体的棱上,当棱柱的底面边长为________,高为________时,棱柱的体积最大,这个最大值是________．解析：依据前提可知这是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥,设内接于这个几何体的小正四棱柱底面边长为x ,则高为6－x ,从而由V ＝x 2(6－x )知,当x ＝4时,即底面边长为4,高为2时,棱柱的体积最大,最大体积为32. 答案：4 2 32三.解答题(本题共2小题,每小题10分,共20分)5．直三棱柱高为6 cm ,底面三角形的边长分离为3 cm ,4 cm ,5 cm ,将棱柱削成圆柱,求削去部分体积的最小值．解：如图所示,只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时,圆柱的体积最大,削去部分体积才干最小,设此时圆柱的底面半径为R ,圆柱的高即为直三棱柱的高．∵在△ABC 中,AB ＝3(cm ),BC ＝4(cm ),AC ＝5(cm ),∴△ABC 为直角三角形．依据直角三角形内切圆的性质可得7－2R ＝5,∴R ＝1(cm )．∴V 圆柱＝πR 2·h ＝6π(cm )．而三棱柱的体积为V 三棱柱＝12×3×4×6＝36(cm 3)．∴削去部分体积为36－6π＝6(6－π)(cm 3)．即削去部分体积的最小值为6(6－π)cm 3.6．如图所示,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱 AA 1AA 1B 1B 程度放置时,液面正好过AC .BC .A 1C 1.B 1C 1的中点,当底面ABC 程度放 置时,液面高为若干？解：当正面AA 1B 1B 程度放置时,水的外形为四棱柱形,底面ABFE 为梯形．设△ABC 的面积为S ,则S 梯形ABFE ＝34S , V 水＝34S ·AA 1＝6S .当底面ABC 程度放置时,水的外形为三棱柱形,设水面高为h ,则有V 水＝Sh ,∴6S ＝Sh ,∴h ＝6.故当底面ABC 程度放置时,液面高为6.。

§1.1 柱、锥、台、球的结构特征训练案(时间：50分钟 满分100分)一、选择题（每小题6分，共30分）1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ）.A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形B ．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱2．下列说法中正确的是（ ）.A. 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D. 圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径3．右图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的（ ）.4．下列说法正确的是（ ）.A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形5．用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是（ ）.A ．六边形B ．菱形C ．梯形D ．直角三角形二、填空题（每小题6分，共30分）6．圆锥母线长为R ，侧面展开图圆心角的正弦值为23则高等于__________ 7．设圆锥母线长l ，高为2l ，过圆锥的两条母线作一截面，则截面面积的最大值为_____.8．长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长____.9．求底面半径为１cm ，高为2cm 的圆锥内接正方体的棱长___.10.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有____个三、解答题11.（满分20分）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16 截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长.附加题（满分20分）在边长为a正方形ABCD 中，E、F 分别为AB、BC 的中点，现在沿DE、DF 及EF 把△ADE、△CDF 和△BEF 折起，使A、B、C 三点重合，重合后的点记为P .问折起后的图形是个什么几何体？它每个面的面积是多少？§1.1 柱、锥、台和球的结构特征答案C CACD 6.. R R 322635或 7. 221l 8. 5 9.2 10. 4 11. 解：设圆台的母线为l ，截得圆台的上、下底面半径分别为r ， 4r . 根据相似三角形的性质得，334r l r=+，解得9l = 所以，圆台的母线长为9cm .附加题 解：折起后的图形是个棱锥AEF l -，281212121a a a S AEF == 2412121a a a S S lAF lAE === 2222283414181a a a a a S S S S S lAF lAE AEF ABCl lEF =---=---=。