函数的极值与导数 (3)上课用

第五章 5.3 5.3.2 第3课时A 级——基础过关练1．将8分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5 D ．以上都不对【答案】B2．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(140－x )件，要使利润最大每件定价为( )A ．80元B ．85元C ．90元D ．95元 【答案】B3．(2021年合肥期末)设正三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A ．12V B ．4V C ．23VD ．34V【答案】D 【解析】设底面边长为x ，则高为h ＝4V 3x2，S 表＝3×4V 3x2·x ＋2×34x 2＝43V x ＋32x 2，所以S ′表＝－43V x 2＋3x ，令S ′表＝0，得x ＝34V ，经检验得，当x ＝34V时，S 表取得最小值．4．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x (x ∈N *)满足y ＝－x 2＋12x －25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】由题意得，年平均利润为f (x )＝－x 2＋12x －25x ＝－x ＋12－25x(x >0)，f ′(x )＝－1＋25x2，令f ′(x )＝0，得x ＝5，经检验得，当x ＝5时，年平均利润最大．5．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，且Q 与p 有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28000元D ．23000元【答案】D 【解析】由题意知，毛利润等于销售额减去成本，即L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，所以L ′(p )＝－3p2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )＞0，右侧L ′(p )＜0.所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值．6．现要做一个容积为256m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( ) A ．6m B ．8m C ．4mD ．2m【答案】C 【解析】设底边长为x (x ＞0)，由题意可得，高h ＝256x2，用料y ＝x 2＋4xh＝x 2＋4×256x ＝x 2＋512x ＋512x ≥335122＝192，当且仅当x 2＝512x即x ＝8时，取等号，故它的底边长为8，高为4时最省材料．故选C ．7．(多选)一艘船的燃料费y (单位：元/时)与船速x (单位：千米/时)的关系是y ＝1100x 3＋x .若该船航行时其他费用为540元/时，航程为100千米，设航行总费用为L (x )，则下列说法正确的是( )A ．L (x )＝x 2＋540x＋100(x ＞0)B ．L (x )＝x 2＋54000x＋100(x ＞0)C ．要使得航行的总费用最少，航速应为20千米/时D ．要使得航行的总费用最少，航速应为30千米/时 【答案】BD 【解析】由题意可得，航行的总费用L (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1100x 3＋x ＋540100x＝x 2＋54 000x ＋100(x ＞0)，故A 错误，B 正确；L ′(x )＝2x －54 000x2，令L ′(x )＝0，得x ＝30，当0＜x ＜30时，L ′(x )＜0，L (x )单调递减，当x ＞30时，L ′(x )＞0，L (x )单调递增，所以当x ＝30时，L (x )取得极小值，也是最小值，所以要使得航行的总费用最小，航速应为30千米/时，故C 错误，D 正确．故选BD ．8．用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面一边比高长出0.5m ，则当高为__________m 时，容器的容积最大．【答案】1 【解析】由题意列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x m ，则体积V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )，V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，解得x ＝1或x ＝－415(舍去)．9．某车间要盖一间长方形小屋，其中一边利用已有的墙壁，另三边新砌，现有存砖只够砌20m 长的墙壁，问应围成长为________m ，宽为________m 的长方形才能使小屋面积最大．【答案】10 5 【解析】要使长方形的小屋面积最大，已有的墙壁一定是小屋的长，设小屋宽为x m ，则长为(20－2x )m ，小屋面积S ＝x (20－2x )，S ′＝－4x ＋20，令S ′＝0，解得x ＝5，∴20－2x ＝10，∴当小屋长为10 m ，宽为5 m 时，面积最大．10．已知某工厂生产x 件产品的成本(单位：元)为C (x )＝25000＋200x ＋140x 2.(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 解：(1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x2x ＝25 000x ＋200＋x 40，所以y ′＝－25 000x 2＋140.令y ′＝0，得x ＝1000.当在x ＝1000附近左侧时，y ′<0，在x ＝1000附近右侧时y ′>0， 故当x ＝1000时，y 取极小值也是最小值， 所以要使平均成本最低，应生产1000件产品． (2)利润函数为S ＝500x －⎝⎛⎭⎪⎫25 000＋200x ＋x 240＝300x －25 000－x 240.令S ′＝300－x20＝0，得x ＝6000.当在x ＝6000附近左侧时，S ′>0，在x ＝6000附近右侧时S ′<0，故当x ＝6000时，S 取极大值也是最大值，所以要使利润最大，应生产6000件产品．B 级——能力提升练11．(2021年长沙期末)一个帐篷，它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为( )A ．32m B ．1m C ．3mD ．2m【答案】D 【解析】设OO 1为x m(1<x <4)，底面正六边形的面积为S m 2，帐篷的体积为V m 3.由题设得正六棱锥底面边长为32－(x －1)2＝8＋2x －x 2(m)，所以底面正六边形的面积为S ＝6×34(8＋2x －x 2)2＝332(8＋2x －x 2)．帐篷的体积V ＝13×332(8＋2x －x 2)(x －1)＋332(8＋2x －x 2)＝32(8＋2x －x 2)[(x －1)＋3]＝32(16＋12x －x 3)，V ′＝32(12－3x 2)．令V ′＝0，解得x ＝2或x ＝－2(不合题意，舍去)．当1＜x ＜2时，V ′＞0；当2＜x ＜4时，V ′＜0，所以当x ＝2时，V 最大．12．(多选)(2021年北京期中)将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，做成一个无盖方盒．设方盒的容积为V (x )，则下列结论正确的是( )A ．V (x )＝(a －2x )2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2B ．V ′(x )＝12x 2－8ax ＋a 2C ．V (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a 4上单调递增D ．V (x )在x ＝a6时取得最大值【答案】ABD 【解析】依题意，折成无盖盒子的底面是边长为a －2x 的正方形，高为x ，则V (x )＝(a －2x )2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜a 2，选项A 正确；由V (x )＝4x 3－4ax 2＋a 2x ，得V ′(x )＝12x 2－8ax ＋a 2，选项B 正确；令V ′(x )＞0，解得0＜x ＜a 6，令V ′(x )＜0，解得a 6＜x ＜a2，故V (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 6单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，a 2单调递减，且在x ＝a 6处取得最大值，选项C 错误，选项D正确．故选ABD ．13．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件的收益为200元，对于多于150件的订购合同，每超过1件，则每件的收益比原来减少1元，那么订购________件的合同会使公司的收益最大．【答案】175 【解析】设订购x 件商品，则单件商品的收益为P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧200(0≤x ≤150)，200－(x －150)(x ＞150)，故总收益R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧200x (0≤x ≤150)，350x －x 2(x ＞150).当0≤x ≤150时，x ＝150，R (x )取得最大值30 000；当x ＞150时，x ＝175，R (x )取得最大值30 625.故订购175件的合同会使总收益最大．14．(2022年湖南模拟)中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效．已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成(其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中)，容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为12cm ，则当圆柱的底面半径r ＝________时，该容器的容积最大，最大值为________．【答案】8π＋2cm 128π(π＋2)2cm 3【解析】设圆柱的底面半径为r cm ，圆柱的高为h cm ，则由题意可得πr ＋2h ＋2r ＝12，∴h ＝12－(π＋2)r 2＝6－π＋22r ，由h ＞0，得r ＜12π＋2，故容器的容积V ＝πr 2h ＝πr 2⎝ ⎛⎭⎪⎫6－π＋22·r ＝6πr 2－(π＋2)π2·r 3，其中0＜r ＜12π＋2，V ′(r )＝12πr －3π(π＋2)2·r 2，令V ′(r )＝0，得r ＝0(舍)或r ＝8π＋2，当r ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，8π＋2时，V ′(r )＞0，函数单调递增；当r ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋2，12π＋2时，V ′(r )＜0，函数单调递减，∴当r ＝8π＋2时，V 有最大值为128π(π＋2)2 cm 3. 15．水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t 的近似函数关系式为V (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50，0<t ≤10，4(t －10)(3t －41)＋50，10<t ≤12.(1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i －1<t <i 表示第i 月份(i ＝1，2，…，12)，问一年内哪几个月份是枯水期？(2)求一年内该水库的最大蓄水量(取e ≈2.7计算)． 解：(1)根据t 的范围分段求解． ①当0<t ≤10时，V (t )＝(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50<50，化简得t 2－14t ＋40>0，解得t <4或t >10. 又∵0<t ≤10，故0<t <4.②当10<t ≤12时，V (t )＝4(t －10)(3t －41)＋50<50， 化简得(t －10)(3t －41)<0，解得10<t <413.又∵10<t ≤12，故10<t ≤12. 综上，0<t <4或10<t ≤12.∴枯水期为1月，2月，3月，11月，12月，共5个月． (2)由(1)知V (t )的最大值只能在(4，10)内达到．V ′(t )＝e 14t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14t 2＋32t ＋4＝－14e 14t (t ＋2)(t －8)．令V ′(t )＝0，解得t ＝8(t ＝－2舍去)． 当t 变化时，V ′(t )与V (t )的变化情况如下表，∴V (t )在t ＝8时取得最大值V (8)＝8e 2＋50≈108.32(亿立方米)． ∴一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米． 函数的极值与最大(小)值综合练习A 级——基础过关练1．函数y ＝(x ＋1)e x ＋1，x ∈[－3，4]的最大值为( )A ．2e －2B ．5e 5C ．4e 5D ．－e －1【答案】B 【解析】由y ＝f (x )＝(x ＋1)e x ＋1，得y ′＝ex ＋1＋(x ＋1)ex ＋1＝(x ＋2)ex ＋1，当－3<x <－2时，y ′<0，当－2<x <4时，y ′>0，所以函数y ＝(x ＋1)ex ＋1在(－3，－2)上单调递减，在(－2，4)上单调递增，因为f (－3)＝－2e －2<f (4)＝5e 5，所以函数y ＝(x ＋1)ex＋1，x ∈[－3，4]的最大值为5e 5.故选B ．2．如图是函数y ＝f (x )的导数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在(－3，1)内f (x )是增函数B ．在(4，5)内f (x )是减函数C ．在x ＝1时f (x )取得极大值D ．在x ＝2时f (x )取得极大值【答案】D 【解析】由图可知，f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32，(2，4)上f ′(x )<0，f (x )单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2，(4，5)上f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以x ＝1不是f (x )的极值点，x ＝2是f (x )的极大值点，所以A 、B 、C 选项错误，D 选项正确．故选D ．3．已知函数f (x )＝(x 2＋a )e x有最小值，则函数y ＝f ′(x )的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定【答案】C 【解析】由题意，f ′(x )＝(x 2＋2x ＋a )e x，因为函数f (x )有最小值，且e x>0，所以函数存在单调递减区间，即f ′(x )<0有解，所以x 2＋2x ＋a ＝0有两个不等实根，所以函数y ＝f ′(x )的零点个数为2.故选C ．4．(2021年河南三模)设函数f (x )＝e xx ＋a ，若f (x )的极小值为e ，则a ＝( )A ．－12B ．12C ．32D ．2【答案】B 【解析】由已知得f ′(x )＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2(x ≠－a )，令f ′(x )＝0，有x ＝1－a ，且x <1－a 上单调递减，x >1－a 上单调递增，∴f (x )的极小值为f (1－a )＝e 1－a＝e ，即1－a ＝12，解得a ＝12.故选B ．5．现需建造一个容积为V 的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍．要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径r 与高h 的比值为( )A ．12 B ．13 C ．23D ．14【答案】D 【解析】设单位面积铁的价格为a ，h ＝Vπr2，则造价w (r )＝πr 2·a ＋2πrh ·a ＋πr 2·3a ＝4a πr 2＋2aV r ，w ′(r )＝8a πr －2aV r 2，取w ′(r )＝8a πr －2aVr2＝0，得到r＝3V4π，当0<r <3V4π时，函数单调递减，当r >3V4π时，函数单调递增，故r ＝3V4π时，造价最小，此时h ＝V πr 2＝4πr3πr2＝4r .6．(多选)(2022年保定开学)已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋2，下列说法中正确的有( )A ．函数f (x )的极大值为223，极小值为－103B ．当x ∈[3，4]时，函数f (x )的最大值为223，最小值为－103C ．函数f (x )的单调减区间为[－2，2]D ．曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y ＝－4x ＋2【答案】ACD 【解析】因为f (x )＝13x 3－4x ＋2，所以f ′(x )＝x 2－4，由f ′(x )>0，得x <－2或x >2，由f ′(x )<0，得－2<x <2，所以函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，故选项C 正确；当x ＝－2时，f (x )取得极大值f (－2)＝13×(－2)3－4×(－2)＋2＝223，在x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝13×23－4×2＋2＝－103，故选项A 正确；当x ∈[3，4]时，f (x )为单调递增函数，所以当x ＝3时，f (x )取得最小值f (3)＝13×33－4×3＋2＝－1，当x ＝4时，f (x )取得最大值f (4)＝13×43－4×4＋2＝223，故选项B 不正确；因为f ′(0)＝－4，所以曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y －2＝－4(x －0)，即y ＝－4x ＋2，故选项D 正确．故选ACD ．7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3【答案】C 【解析】因为不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，所以a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，所以a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.又因为f (x )＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52，所以a ≥－52，所以a 的最小值为－52.8．函数f (x )＝x sin x ＋cos x －3x 2的极值点为________．【答案】0 【解析】依题意，f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x －6x ＝x cos x －6x ，令f ′(x )＝x (cos x －6)＝0，解得x ＝0，符合题意，∴函数f (x )的极值点为0.9．已知函数f (x )＝exx，g (x )＝a －|x －1|，若∃x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[e ，＋∞) 【解析】∃x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)≤g (x 2)成立⇔当x ∈(0，＋∞)时，f (x )min ≤g (x )max .由题意得f ′(x )＝e x(x －1)x2，当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )＝exx在(0，＋∞)上的最小值为f (1)＝e.又因为函数g (x )在(0，＋∞)上的最大值为g (1)＝a ，故a ≥e.10．(2022年浦江月考)已知函数f (x )＝x 3＋x 2＋ax ， (1)若a ＝－1，求f (x )的极值；(2)当－83<a <0时，f (x )在[0，2]上的最大值为10，求f (x )在该区间上的最小值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 3＋x 2－x ，f ′(x )＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝13，则x ，f ′(x )，f (x )变化情况如下表，∴f (x )的极大值为f (－1)＝1，极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝127＋19－13＝－527.(2)∵f ′(x )＝3x 2＋2x ＋a ，∴Δ＝4－12a . 又－83<a <0，∴Δ>0.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1－1－3a 3，x 2＝－1＋1－3a3，则x ，f ′(x )，f (x )变化情况如下表，∴f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减． ∵－83<a <0，x 1<0<x 2<2，∴f (x )min ＝f (x 2)．又∵f (0)＝0，f (2)＝12＋2a >0，∴f (x )在[0，2]上的最大值为f (2)＝12＋2a ＝10，解得a ＝－1， ∴f (x )min ＝f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－527. B 级——能力提升练11．(多选)(2022年重庆月考)定义在[－1，5]上的函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，函数f (x )的部分对应值如下表．下列关于函数f (x )的结论正确的是( )A ．函数f (x )的极大值点的个数为2B ．函数f (x )的单调递增区间为(－1，0)∪(2，4)C ．当x ∈[－1，t ]时，若f (x )的最小值为1，则t 的最大值为2D ．若方程f (x )＝a 有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是(1，2)【答案】AD 【解析】由图知函数f (x )在区间[－1，0]上单调递增，在区间[0，2]上单调递减，在区间[2，4]上单调递增，在区间[4，5]上单调递减，所以在x ＝0，x ＝4处有极大值，故A 正确；单调区间不能写成并集，故B 错误；因为函数f (2)＝1，f (4)＝3，且f (x )在区间[2，4]上单调递增，所以存在x 0∈[2，4]使得f (x 0)＝2，易知，当t ＝x 0时，f (x )在区间[－1，t ]的最小值为1，故C 不正确；由函数值表结合单调性作出函数草图可知D 正确．故选AD ．12．(2022年咸阳月考)已知函数y ＝f (x )在R 上可导且f (0)＝1，其导函数f ′(x )满足(x ＋1)[f ′(x )－f (x )]>0，对于函数g (x )＝f (x )ex，下列结论正确的是( )A ．函数g (x )在(－∞，－1)上为增函数B ．x ＝－1是函数g (x )的极大值点C ．函数g (x )必有2个零点D ．e 2f (e)>e ef (2)【答案】D 【解析】因为g (x )＝f (x )ex，所以g ′(x )＝f ′(x )－f (x )ex.因为(x ＋1)[f ′(x )－f (x )]>0，所以当x <－1时，f ′(x )－f (x )<0，当x >－1时，f ′(x )－f (x )>0，所以当x <－1时，g ′(x )<0，当x >－1时，g ′(x )>0，所以g (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，故A 错误；x ＝－1是g (x )的极小值点，故B 错误；当g (－1)>0时，g (x )无零点，故C 错误；由g (x )在(－1，＋∞)递增，得g (2)<g (e)，即f (2)e2<f (e)ee ，所以e ef (2)<e 2f (e)，故D 正确．故选D ．13．(2022年遵义开学)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x |－m ，x <12x 3ln x －m ，x ≥12恰有3个零点，则m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤－13e ，－ln28∪(0，1) 【解析】设函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x |，x <12，x 3ln x ，x ≥12，根据题意函数f (x )恰有3个零点，即为函数g (x )的图象与直线y ＝m 有3个公共点，当x ≥12时，可得g ′(x )＝x 2(3ln x ＋1)，令g ′(x )＝0，得x ＝e －13 >12，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，e －13 时，函数g (x )单调递减；当x ∈(e －13 ，＋∞)时，函数g (x )单调递增，所以当x ＝e －13 时，函数g (x )取得极小值，极小值为g (e －13 )＝－13e ，又由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－18ln2<0，作出g (x )的图象，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－13e ，－ln 28∪(0，1)．14．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的．这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12cm 且以每秒1cm 的速率缩短，而长度以每秒20cm 的速率增长．已知神针的底面半径只能从12cm 缩到4cm 为止，已知在这段变形过程中，当底面半径为10cm 时其体积最大．该定海神针原来的长度为__________cm ；假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________cm.【答案】60 4 【解析】设定海神针原来的长度为x cm ，则t 秒后其长度变为(x ＋20t )cm ，其底面半径变为(12－t )cm ，∴t 秒后定海神针的体积V ＝πR 2h ＝π(12－t )2(x ＋20t )，0≤t ≤8，又V ′＝π[(2t －24)(x ＋20t )＋20(12－t )2]＝π(t －12)(2x ＋60t －240)，令V ′＝0，可得t ＝12(舍去)或t ＝4－x30，变形过程中，当底面半径为10 cm 时其体积最大，即t ＝2时体积最大，∴4－x30＝2，解得x ＝60，∴V ′＝60π(t －12)(t －2)．当0≤t <2时，V ′>0，函数V ＝20π(12－t )2(3＋t )单调递增，当2<t ≤8时，V ′<0，函数V ＝20π(12－t )2(3＋t )单调递减，又t ＝0时，V ＝8640π，t ＝8时，V ＝3520π，∴t ＝8时，定海神针的体积最小，即t ＝8时形成金箍棒，此时底面半径为4 cm.15．已知函数f (x )＝x ln x －ax ＋2(a 为实数) (1)若a ＝2，求f (x )在[1，e 2]的最值； (2)若f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2 时，f (x ) ＝x ln x －2x ＋2，f ′(x )＝ln x －1.由f ′(x )<0得0<x <e ，由f ′(x )>0得x >e ，所以f (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，且f (e) ＝eln e －2e ＋2 ＝2－e ，f (1)＝1ln 1－2＋2＝0，f (e 2)＝e 2ln e 2－2e 2＋2 ＝2，则函数f (x )在区间[1，e 2]上的最小值为 2－e ，最大值为2.(2)由题意得函数的定义域为(0，＋∞)，若f (x )≥0恒成立，则x ln x －ax ＋2≥0，即ln x ＋2x≥a 恒成立．令g (x )＝ln x ＋2x，x ∈(0，＋∞)则g ′(x )＝1x －2x 2＝x －2x2.当 0<x <2时，g ′(x )<0； 当x >2时，g ′(x )>0，所以g (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 则g (x )min ＝g (2)＝1＋ln 2，所以a ≤1＋ln 2 ，故a 的取值范围为(－∞，1＋ln 2]．。

函数的极值与导数一、教学目标：1. 理解极值的概念，掌握求函数极值的方法。

2. 掌握导数的定义，了解导数与函数极值的关系。

3. 能够运用导数判断函数的单调性，解决实际问题。

二、教学内容：1. 极值的概念：局部最小值、局部最大值、全局最小值、全局最大值。

2. 求函数极值的方法：（1）利用导数求极值；（2）利用二阶导数判断极值类型；（3）利用图像观察极值。

3. 导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。

4. 导数与函数极值的关系：（1）函数在极值点处的导数为0；（2）函数在极值点附近的导数符号发生变化。

5. 利用导数判断函数的单调性：（1）导数大于0，函数单调递增；（2）导数小于0，函数单调递减。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）极值的概念及求法；（2）导数的定义及求法；（3）导数与函数极值的关系；（4）利用导数判断函数的单调性。

2. 教学难点：（1）二阶导数判断极值类型；（2）利用导数解决实际问题。

四、教学方法：1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法；2. 使用多媒体课件辅助教学，增强直观性；3. 设置典型例题，引导学生思考、探究；4. 注重引导学生发现规律，提高学生解决问题的能力。

五、教学安排：1. 课时：本章共需4课时；2. 教学过程：第一课时：极值的概念及求法；第二课时：导数的定义及求法；第三课时：导数与函数极值的关系；第四课时：利用导数判断函数的单调性，解决实际问题。

六、教学评价：1. 课堂讲解：观察学生对极值概念、导数定义及应用的理解程度，以及他们在课堂上的参与度和提问反馈。

2. 作业练习：通过布置相关的习题，评估学生对求极值方法、导数计算和单调性判断的掌握情况。

3. 小组讨论：评估学生在小组内的合作能力和解决问题的创造性思维。

4. 课后反馈：收集学生的疑问和反馈，以便对教学方法和内容进行调整。

七、教学反思：1. 教学方法是否适合学生的学习水平，是否需要调整以提高教学效果。

函数极值与导数的教学设计一、教材分析1、教材的地位和作用本节是整个中学数学对函数研究的进一步深化。

在此之前学生已经掌握了导数的基本概念，初步具备了运用导数研究函数的能力，这为《函数的最值与导数》奠定了坚实的基础，具有承上启下的作用。

本节课用导数的方法来研究函数的性质，是对函数研究的深化与提升。

同时本节教材是贯彻实施素质教育，充分体现新课标精神，培养学生探究能力很好的教学载体，有利于培养学生用观察、比较、分析、归纳等方法解决一些实际问题。

2.教学目标：(1) 知识与能力：①掌握函数极值的定义,了解可导函数极值点的必要条件和充分条件；②掌握利用导数求不超过三次多项式函数极值的一般方法；③通过对比原函数的增减和导函数的正负，利用函数的图像，给函数的极值以直观的验证。

（2）过程与方法：培养学生观察,分析,探究,归纳得出数学概念和规律的学习能力。

（3）情感态度与价值观：培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；体会数学中的局部与整体的辨证关系.3.教学重、难点本着新课程标准的教学理念和考试大纲的要求，针对教学内容的特点，我确立了如下的教学重点、难点：教学重点：掌握求可导函数的极值的一般方法.教学难点：1、 0x 为函数极值点与)(0x f =0的逻辑关系2、将知识和方法内化为技能。

二、学情分析学生已经初步学习了运用导数去研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。

本节课能进一步提高学生运用导数研究函数的能力,让学生体会导数的工具作用。

三、教法、学法分析（一）教法分析根据本节课的特点，为了提高教学效率，让学生在轻松的环境下获得直观的感受，使数学的课堂富有趣味性，采用师生互动探究式教学，遵循“教师为主导、学生为主体”的原则，结合高中学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。

由于学生对极限和导数的知识学习还十分的有限（大学里还将继续学习），因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明，教师的主导作用和学生的主体作用都必须得到充分发挥.利用多媒体辅助教学.电脑演示动画图形，直观形象，便于学生观察.幻灯片打出重要结论，清楚明了，节约时间，提高课堂效率.（二）学法分析1. 采用体验学习及问题探究的学习方式，通过学生亲历教师预设的各种问题情境，引导学生开展创造性的学习活动，不但使学生主动掌握知识，而且要培养的独立探究能力和态度。

1.3.2 函数的极值与导数一、教学目标1 知识与技能〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值2过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。

3情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

二、重点：利用导数求函数的极值难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件三、教学基本流程四、教学课时：1课时五、教学类型：新授课六、教学过程〈一〉、创设情景，导入新课1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提高学生回答）2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数()h t =-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下问题（1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢？（2）在点t=a 附近的图象有什么特点？ （3）点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？共同归纳:函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增,()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0.3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：（1）函数y=f(x)在a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?（3）在a.b 点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?ao h t2、极值的定义:我们把点a 叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值； 点b 叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。