四川省富顺县第三中学高二数学 3.1.2 空间向量的数乘运算(一)学案

《3.1.2 空间向量的数乘运算》教学案3［教学目标］：１.知识与技能：正确理解共线、方向向量等基本概念；初步掌握数乘运算，理解运算率；熟练掌握共线向量基本定理、推论及应用。

２.过程与方法：经历知识形成探索过程，体验“类比”思想，并逐步学会“分析、归纳、抽象、概括等思维方法。

３.情感、态度和价值观：⒈通过自主探究与合作交流等教学环节的设置，不断体验“成功“，激发学的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；⒉通过类比思想和方法的应用，让学生感受和体会数学思想的魅力，培养学“做数学”的习惯和热情.[教学重点]：共线向量概念、基本定理及推论．[教学难点]：共线概念的正确理解及较复杂的三点共线判定[教学方法]：启发引导式+讲练结合本节学习的关键是启发学生理解共线向量的定义，理解定义之后便可引导学生推导共线向量基本定理及推论，然后通过习题加深学生对于空间共线向量的认识.［教学过程］：一．复习上一节课,我们借助＂类比思想＂把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间.(1) 加法法则及减法法则平行四边形法则或三角形法则(2) 运算率加法交换率及结合率注意:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.因为：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量。

因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。

二：创设问题情境，引入新知．我们知道平面向量还有数乘运算及相应的运算率.借助类比思想,同样可以定义空间向量的数乘运算及相应的运算律．三．新课讲解．１.空间向量数乘运算的定义倍长度的大小：是零向量时，＝ 当方向相反；与时，＜ 当方向相同；与时，＞方向：当结果仍然是一个向量注：的乘积，即与空间向量 实数||)3(000)2()1(λλλλλλλλλλ２.数乘运算的运算律显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律思考： λ与之间的关系？所在直线之间的关系？进而引出共线向量定义。

3.1.2 空间向量的数乘运算内容标准学科素养1.掌握空间向量数乘运算的定义及运算律．2.理解向量共线、向量共面的定义．3.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面.提升逻辑推理发展直观想象授课提示：对应学生用书第54页[基础认识]知识点一空间向量的数乘运算预习教材P86－87，思考并完成以下问题平面向量的数乘运算是什么？满足哪些运算律？提示：(1)实数λ和向量a的乘积仍是一个向量．(2)|λa|＝|λ||a|.(3)λa的方向．当λ>0时，λa的方向与a方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．(4)数乘运算的运算律λ(μa)＝(λμ)a；λ(a＋b)＝λa＋λb.知识梳理空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系λ的范围方向关系模的关系λ>0方向相同λa的模是a的模的|λ|倍λ＝0λa＝0，其方向是任意的λ<0方向相反若λ，μ是实数，a，b是空间向量，则有①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；(λ＋μ)a＝λa＋μa；②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.知识点二共线向量与共面向量思考并完成以下问题(1)在学习平面向量时，共线向量是怎样定义的？如何规定0与任何向量的关系？提示：方向相同或相反的两向量称为共线向量；0与任何向量是共线向量．(2)对空间任意两个向量a与b，如果a＝λb，a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，a＝λb?提示：类似于平面向量共线的充要条件，对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb(b≠0)．(3)对空间任意两个不共线的向量a，b，如果p＝x a＋y b，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝x a＋y b?提示：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.知识梳理共线向量与共面向量共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b推论如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP→＝OA→＋t a①，其中a叫做直线l的方向向量，如图所示．若在l上取AB→＝a，则①式可化为OP→＝OA→＋tAB→如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP→＝xMA→＋yMB→或对空间任意一点O来说，有OP→＝OM→＋xMA→＋yMB →1．已知空间四边形ABCD ，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，连接AM ，AG ，MG ，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( ) A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 答案：A2．满足下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC → C.AB →＝BC → D ．|AB →|＝|BC →| 答案：C3．对于空间的任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量 答案：A授课提示：对应学生用书第55页 探究一 空间向量的数乘运算[教材P 89练习2]如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，点E ，F 分别是上底面A ′C ′和侧面CD ′的中心．求下列各式中x ，y 的值：(1)AC ′→＝x (AB →＋BC →＋CC ′→)； (2)AE →＝AA ′→＋xAB →＋yAD →；(3)AF →＝AD →＋xAB →＋yAA ′→.解析：(1)在正方体中，AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→， ∴x ＝1.(2)AE →＝AA ′→＋12A ′C ′＝AA ′→＋12AC →＝AA ′→＋12(AB →＋AD →)∴x ＝y ＝12.(3)AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12DC ′→＝AD →＋12(DD ′→＋DC →)＝AD →＋12AA ′→＋12AB →，∴x ＝y ＝12.[例1] 已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外的一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值．(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.[解析] (1)如图所示，OQ →＝PQ →＋OP →，由向量加法的平行四边形法则可得PO →＝12(PC →＋P A →)，∴OP →＝－12PC →－12P A →，∴OQ →＝PQ →＋OP →＝PQ →－12PC →－12P A →.∴x ＝－12，y ＝－12.(2)∵P A →＝PD →＋DA →＝PD →＋2QO → ＝PD →＋2(PO →－PQ →)＝PD →＋2PO →－2PQ →. ∴x ＝2，y ＝－2.方法技巧 1.对向量进行分解或对向量表达式进行化简时，要准确运用空间向量加法、减法的运算法则，要熟悉数乘向量运算的几何意义，同时还要注意将相关向量向选定的向量进行转化．2．在△ABC 中，若D 为BC 边的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)，这一结论可视为向量形式的中点公式，应用非常广泛，应熟练掌握．跟踪探究 1.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求实数x ，y ，z 的值．解析：(1)A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1A →.(2)EO →＝AO →－AE →＝12(AB →＋AD →)－AD →－23AA 1→＝12AB →－12AD →－23AA 1→， 所以x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.探究二 空间共线向量定理及其应用[教材P 99习题3.1B 组2题改编]如图，已知空间四边形OABC 中，OA ＝OB ，CA ＝CB ，点E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形． 证明：∵E ，F ，G ，H 分别为OA ，OB ，BC ，CA 的中点， ∴OE →＝12OA →，OF →＝12OB →，CG →＝12CB →，CH →＝12CA →.∵AB →＝OB →－OA →＝2OF →－2OE → ＝2(OF →－OE →)＝2EF →， ∴AB ∥EF ，且|AB →|＝2|EF →|. 同理HG ∥AB ，且|AB →|＝2|HG →|，∴四边形EFGH 是平行四边形．[例2] 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，点F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c .所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →.因为EF →与EB →有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线．方法技巧 1.本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．2．判断或证明两向量a ，b (b ≠0)共线，就是寻找实数λ，使a ＝λb 成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．跟踪探究 2.如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．解析：∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形，∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴2MN →＝12CA →＋AF →＋12FB →－12CA →＋CE →－AF →－12FB →＝CE →，即CE →＝2MN →.∴CE →与MN →共线．探究三 空间共面向量定理及其应用[阅读教材P 88例1]如图，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD ＝k ，求证：E ，F ，G ，H 四点共面．题型：空间四点共面的判定方法步骤：(1)由数乘运算表示出向量OE →，OF →，OG →，OH →. (2)由向量减法运算得出EG →.(3)由AB →、AC →、AD →的关系得出EG →、EF →、EH →的关系，从而判定E ，F ，G ，H 四点共面． [例3] 已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点M 满足OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． [解析] (1)因为OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →，所以6OM →＝3OA →＋2OB →＋OC →，所以3OA →－3OM →＝(2OM →－2OB →)＋(OM →－OC →)， 因此3MA →＝2BM →＋CM →＝－2MB →－MC →. 故向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，三个向量又有公共点M ，故M ，A ，B ，C 共面，即点M 在平面ABC 内．方法技巧 1.证明空间三个向量共面，常用如下方法：(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a ＝x b ＋y c ，则向量a ，b ，c 共面；(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．2．对空间四点P ，M ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面：(1)MP →＝xMA →＋yMB →；(2)对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →； (3)PM →∥AB →(或P A →∥MB →，或PB →∥AM →)．跟踪探究 3.已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，确定在下列条件下，点P 是否与A ，B ，M 一定共面．(1)OM →＋OB →＝3OP →－OA →；(2)OP →＝4OA →－OB →－OM →. 解析：(1)∵OM →＋OB →＝3OP →－OA →， ∴OP →＝OM →＋(OA →－OP →)＋(OB →－OP →) ＝OM →＋P A →＋PB →， ∴OP →－OM →＝P A →＋PB →， ∴MP →＝P A →＋PB →，∴MP →，P A →，PB →为共面向量， ∴P 与A ，B ，M 共面．(2)OP →＝2OA →＋(OA →－OB →)＋(OA →－OM →)＝2OA →＋BA →＋MA →，根据空间向量共面的推论，点P 位于平面ABM 内的充要条件是OP →＝OA →＋xBA →＋yMA →， ∴P 与A ，B ，M 不共面．授课提示：对应学生用书第56页[课后小结]利用向量的数乘运算可以判定两个向量共线、三个向量共面问题，进而解决几何中的点共线、点共面、线面平行等问题．[素养培优]混淆共面向量与共线向量的相关结论致误已知e 1，e 2是两个非零空间向量，如果AB →＝e 1－2e 2，AC →＝3e 1＋4e 2，AD →＝－e 1－8e 2，则下列结论正确的是( )A ．A ，B ，C ，D 四点共线 B ．A ，B ，C ，D 四点共面C ．A ，B ，C ，D 不一定共面D ．无法确定A ，B ，C ，D 四点的位置关系易错分析 由已知条件，AC →与AD →不共线，且AC →＋AD →＝2e 1－4e 2＝2(e 1－2e 2)＝2AB →，由此得(AC →＋AD →)∥AB →.若设AC →＋AD →＝AE →，则A ，B ，E 三点共线，并不是A ，B ，C ，D 四点共线．考查逻辑推理的学科素养．自我纠正 因为AC →＋AD →＝2e 1－4e 2＝2(e 1－2e 2)＝2AB →，即AB →＝12AC →＋12AD →，所以由共面向量定理可知AB →，AC →，AD →三个向量共面．又因为A 是公共点，所以A ，B ，C ，D 四点共面，故选B. 答案：B。

《3.1.2 空间向量的数乘运算》教学案1 教学目标1.知识与技能了解空间向量基本定理及其推论，理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示；2.过程与方法通过分析、推导让学生理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出示。

3.情感、态度与价值观通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。

教学重点共线、共面定理及其应用教学难点共线、共面定理及其应用教学方法通过观察.类比.思考.交流和讨论等.教学过程：活动一：创设情景、引入课题（5分钟）问题1：回忆上一节课学习过的内容：什么叫空间向量？空间向量的分类？空间向量的加减运算？问题2：说说平面向量的数乘运算：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.问题4：关于向量的数乘有哪些运算律呢？(1)λ(μa)= (λμ)a(2) (λ+μ)a＝λa+μa(3)λ(a＋b)＝λa＋λb问题5：什么叫平行向量？共线向量？今天我们将在前一节课的基础上，进一步学习空间向量的数乘以及共线的运算率并进行一些简单的应用．点题：今天我们学习“空间向量的数乘运算”活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）一、空间向量1、数乘： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |(2)当λ＞0时，λa 与a 同向；当λ＜0时，λa 与a 反向；当λ＝0时，λa ＝0.2、数乘运算律：(1) 分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb ；(2)结合律：λ(μa)= (λμ)a3、共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

3.1.2 空间向量的数乘运算学习目标 1.了解空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．知识点一空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘几何定义λ＞0 λa与向量a的方向相同λ＜0λa与向量a的方向相反λa的长度是a的长度的|λ|倍λ＝0λa＝0，其方向是任意的运算律分配律λ(a＋b)＝λa＋λb结合律λ(μa)＝(λμ)a知识点二共线向量与共面向量思考1 回顾平面向量中关于向量共线的知识，给出空间中共线向量的定义．答案如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．思考2 空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？答案正确．根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量．梳理平行(共线)向量与共面向量共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b推论如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP→＝OA→＋t a，①其中a叫做直线l的方向向量，如图所示．若在l上取AB→＝a，则①式可化为OP→＝OA→＋tAB→如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP→＝xMA→＋yMB→，或对空间任意一点O来说，有OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→(1)若p＝x a＋y b，则p与a，b共面．(√)(2)若p与a，b共面，则p＝x a＋y b.(×)(3)若MP→＝xMA→＋yMB→，则P，M，A，B共面．(√)(4)若P，M，A，B共面，则MP→＝xMA→＋yMB→.(×)类型一共线问题例1 (1)已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是( )A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D(2)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB→＝e1＋k e2，BC→＝5e1＋4e2，DC→＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________.考点线线、线面平行的判断题点线线平行的判断答案(1)A (2)1解析 (1)∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，故AD →∥AB →，又AD →与AB →有公共点A ， 所以A ，B ，D 三点共线．(2)∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2， 且AB →与AD →共线，故AD →＝xAB →， 即7e 1＋(k ＋6)e 2＝x e 1＋xk e 2， 故(7－x )e 1＋(k ＋6－xk )e 2＝0， 又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧7－x ＝0，k ＋6－kx ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，k ＝1，故k 的值为1.反思与感悟 (1)判断向量共线的策略①熟记共线向量的充要条件：(ⅰ)若a ∥b ，b ≠0，则存在唯一实数λ使a ＝λb ；(ⅱ)若存在唯一实数λ，使a ＝λb ，b ≠0，则a ∥b . ②判断向量共线的关键：找到实数λ. (2)证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． ①存在实数λ，使PA →＝λPB →成立． ②对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． ③对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．跟踪训练1 如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？ 考点 线线、线面平行的判断 题点 线线平行的判断解 设AC 的中点为G ，连接EG ，FG ， ∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →，又∵GF →，EG →，EF →共面，∴EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →)，∴EF →与AD →＋BC →共线．类型二 空间向量的数乘运算及应用例2 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1-→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N -→；(3)MP →＋NC 1-→. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 解 (1)AP →＝AD 1-→＋D 1P -→＝(AA 1-→＋AD →)＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)A 1N -→＝A 1A -→＋AN →＝－AA 1-→＋AB →＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)MP →＋NC 1-→＝(MA 1-→＋A 1D 1--→＋D 1P -→)＋(NC →＋CC 1-→) ＝12AA 1-→＋AD →＋12AB →＋12AD →＋AA 1-→ ＝32AA 1-→＋32AD →＋12AB →＝32a ＋12b ＋32c . 引申探究若把本例中“P 是C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝12”，其他条件不变，如何表示AP →？解 AP →＝AD 1-→＋D 1P -→＝AA 1-→＋AD →＋23AB →＝a ＋c ＋23b .反思与感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E -→＝2ED 1-→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F -→＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线． 考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用 证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1-→＝c . 因为A 1E -→＝2ED 1-→，A 1F -→＝23FC →，所以A 1E -→＝23A 1D 1--→，A 1F -→＝25A 1C -→，所以A 1E -→＝23AD →＝23b ，A 1F -→＝25(AC →－AA 1-→)＝25(AB →＋AD →－AA 1-→)＝25a ＋25b －25c ， 所以EF →＝A 1F -→－A 1E -→＝25a －415b －25c＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1-→＋A 1A -→＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，又因为EF →与EB →有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线． 类型三 空间向量共面问题例3 (1)已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，确定在下列条件下，点P 是否与A ，B ，M 一定共面．①OM →＋OB →＝3OP →－OA →； ②OP →＝4OA →－OB →－OM →.(2)已知A ，B ，C 三点不共线，点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.①MA →，MB →，MC →三个向量是否共面？ ②点M 是否在平面ABC 内？ 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共面向量定理及应用 解 (1)①∵OM →＋OB →＝3OP →－OA →， ∴OP →＝OM -→＋(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＝OM -→＋PA →＋PB →， ∴OP →－OM -→＝PA →＋PB →， ∴MP -→＝PA →＋PB →，∴MP -→，PA →，PB →为共面向量， ∴P 与A ，B ，M 共面．②OP →＝2OA →＋(OA →－OB →)＋(OA →－OM -→) ＝2OA →＋BA →＋MA -→，根据空间向量共面的推论，点P 位于平面ABM 内的充要条件是OP →＝OA →＋xBA →＋y MA -→， ∴P 与A ，B ，M 不共面． (2)①∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM -→， ∴OA →－OM -→＝(OM -→－OB →)＋(OM -→－OC →)， ∴MA -→＝BM -→＋CM -→＝－MB -→－MC -→， ∴向量MA -→，MB -→，MC -→共面． ②由①知向量MA -→，MB -→，MC -→共面， 又它们有共同的起点M ， 且A ，B ，C 三点不共线， ∴M ，A ，B ，C 四点共面， 即点M 在平面ABC 内．反思与感悟 向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值． 跟踪训练3 如图所示，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，点H 为PC 上的点，且PHHC＝12，点G 在AH 上，且AGAH＝m ，若G ，B ，P ，D 四点共面，求m 的值．考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共面向量定理及应用 解 连接BG .因为AB →＝PB →－PA →，AB →＝DC →， 所以DC →＝PB →－PA →， 因为PC →＝PD →＋DC →，所以PC →＝PD →＋PB →－PA →＝－PA →＋PB →＋PD →.因为PH HC ＝12，所以PH →＝13PC →，所以PH →＝13(－PA →＋PB →＋PD →)＝－13PA →＋13PB →＋13PD →.又因为AH →＝PH →－PA →， 所以AH →＝－43PA →＋13PB →＋13PD →，因为AG AH＝m ，所以AG →＝mAH →＝－4m 3PA →＋m 3PB →＋m 3PD →，因为BG →＝－AB →＋AG →＝PA →－PB →＋AG →， 所以BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4m 3PA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3－1PB →＋m 3PD →.又因为G ，B ，P ，D 四点共面， 所以1－4m 3＝0，m ＝34.即m 的值是34.1．下列命题中正确的是( )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb 考点 空间向量的数乘运算 题点 线线平行的判定答案 C解析零向量的方向是任意的．2．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共面向量定理及应用 答案 B解析 OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →＝34OA →＋18(OA →＋AB →)＋18(OA →＋AC →)＝OA →＋18AB →＋18AC →，∴OP →－OA →＝18AB →＋18AC →，∴AP →＝18AB →＋18AC →.由共面的充要条件，知P ，A ，B ，C 四点共面．3．下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC →B.AB →－BC →＝AC →C.AB →＝BC →D.|AB →|＝|BC →|考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 C解析 由AB →＝BC →知AB →与BC →共线，又因有一共同的点B ，故A ，B ，C 三点共线．4．若非零空间向量e 1，e 2不共线，则使2k e 1－e 2与e 1＋2(k ＋1)e 2共线的k 的值为________． 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 －12解析 若2k e 1－e 2与e 1＋2(k ＋1)e 2共线， 则2k e 1－e 2＝λ[e 1＋2(k ＋1)e 2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝λ，－1＝2λ(k ＋1)，∴k ＝－12.5．若非零空间向量e 1，e 2不共线，则使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k ＝________. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 ±1解析 由k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，得k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，故k ＝±1.1．四点P ，A ，B ，C 共面⇔对空间任意一点O ，都有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1. 2.OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．3．证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明三点A ，B ，C 共线． 4．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．一、选择题1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量D 1A -→，D 1C -→，A 1C 1--→是( ) A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量D ．不共面向量考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共面向量定理及应用 答案 C解析 因为D 1C -→－D 1A -→＝AC →，且AC →＝A 1C 1--→， 所以D 1C -→－D 1A -→＝A 1C 1--→， 即D 1C -→＝D 1A -→＋A 1C 1--→. 又D 1A -→与A 1C 1--→不共线，所以D 1C -→，D 1A -→，A 1C 1--→三向量共面．2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若A 1B 1--→＝a ，A 1D 1--→＝b ，A 1A -→＝c ，则下列向量中与B 1M -→相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋c C ．12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c 考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 A解析 B 1M -→＝B 1B -→＋BM →＝A 1A -→＋12(BA →＋BC →) ＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c . 3．如图所示，在四面体A －BCD 中，点E 是CD 的中点，记AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则BE →等于( )A ．a －12b ＋12c B ．－a ＋12b ＋12c C ．12a －b ＋12c D ．－12a ＋b ＋12c 考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 B解析 连接AE ，∵E 是CD 的中点，AC →＝b ，AD →＝c ，∴AE →＝12(AC →＋AD →)＝12(b ＋c )．在△ABE 中，BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋AE →，又AB →＝a ，∴BE →＝－a ＋12(b ＋c )＝－a ＋12b ＋12c . 4．设点M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，则AM -→等于( )A.b －c 2B.c －b 2C.b －c 3D.c －b 3考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 D解析 设D 是BC 边的中点，∵M 是△ABC 的重心，∴AM -→＝23AD →.而AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )，∴AM -→＝13(c －b )．5．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．点P 一定在直线AB 上B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D ．AB →与AP →的方向一定相同考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用答案 A解析 已知m ＋n ＝1，则m ＝1－n ，OP →＝(1－n )OA →＋nOB →＝OA →－nOA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →.因为AB →≠0，所以AP →和AB →共线，又AP 和AB 有公共点A ，所以点A ，P ，B 共线，故选A.6．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM -→＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为() A ．1B ．0C ．3D.13题点 空间共面向量定理及应用答案 D解析 ∵OM -→＝xOA →＋13OB →＋13OC →， 且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1， ∴x ＝13，故选D. 7．在下列命题中：①若a ，b 共线，则a ，b 所在的直线平行；②若a ，b 所在的直线是异面直线，则a ，b 一定不共面；③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；④已知三向量a ，b ，c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用答案 A解析 根据空间向量的基本概念知四个命题都不对．二、填空题8．以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．其中正确命题的序号是________．考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量共面定理及应用答案 ②④解析 根据共面与共线向量的定义判定，知②④正确．9．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的点P 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.题点 空间共面向量定理及应用答案 215 解析 ∵A ，B ，C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，由向量OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的点P 与A ，B ，C 共面，∴15＋23＋λ＝1，解得λ＝215. 10．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点．用AB →，AD →，AA 1-→表示MN -→，则MN -→＝__________.考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 12AB →＋12AD →＋12AA 1-→ 解析 MN -→＝MB -→＋BC →＋CN →＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1-→) ＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1-→) ＝12AB →＋12AD →＋12AA 1-→. 11．设棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的八个顶点所成的集合为S .向量的集合P ＝{m |m ＝P 1P 2--→，P 1，P 2∈S }，则P 中长度为3a 的向量有________个．考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 8解析 每一条体对角线对应两个向量，正方体共有4条体对角线．三、解答题12．设e 1，e 2，e 3三向量不共面，而AB →＝e 1＋2e 2＋3e 3，BC →＝2e 1＋λe 2＋μe 3，CD →＝3λe 1－e 2－2μe 3，如果A ，B ，D 三点共线，试求λ，μ的值．题点 空间共线向量定理及应用解 BD →＝BC →＋CD →＝(2e 1＋λe 2＋μe 3)＋(3λe 1－e 2－2μe 3)＝(2＋3λ)e 1＋(λ－1)e 2－μe 3. ∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →是共线向量．∴存在实数k ，使得AB →＝kBD →，即e 1＋2e 2＋3e 3＝k [(2＋3λ)e 1＋(λ－1)e 2－μe 3]．∴(1－2k －3kλ)e 1＋(2－kλ＋k )e 2＋(3＋kμ)e 3＝0.∵e 1，e 2，e 3三向量不共面，∴1－2k －3kλ＝0,2－kλ＋k ＝0,3＋kμ＝0.将k ＝－3μ代入前两式， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ 9λ＋μ＋6＝0，3λ＋2μ－3＝0，解得λ＝－1，μ＝3.13.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，H 为BC 的中点．求证：FH ∥平面EDB .考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量共面定理及应用证明 因为H 为BC 的中点，所以FH →＝12(FB →＋FC →)＝12(FE →＋EB →＋FE →＋ED →＋DC →)＝12(2FE →＋EB →＋ED →＋DC →)． 因为EF ∥AB ，CD ∥AB ，且AB ＝2EF ，所以2FE →＋DC →＝0，所以FH →＝12(EB →＋ED →)＝12EB →＋12ED →. 因为EB →与ED →不共线，所以由共面向量定理知FH →，EB →，ED →共面．因为FH ⊄平面EDB ，所以FH ∥平面EDB .四、探究与拓展14.如图所示，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为一定点，O 为平面ABC外任一点，则下列能表示向量OP →的为________．①OA →＋2AB →＋2AC →；②OA →－3AB →－2AC →；③OA →＋3AB →－2AC →；④OA →＋2AB →－3AC →.考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 ③解析 因为A ，B ，C ，P 四点共面，所以可设AP →＝xAB →＋yAC →，即OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →，由题图可知x ＝3，y ＝－2.15.如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：MN ∥平面CDE . 考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量共面定理及应用证明 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ， 所以MB -→＝13DB →＝13DA →＋13AB →. 同理AN -→＝13AD →＋13DE →. 所以MN -→＝MB -→＋BA →＋AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD →＋13DE → ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，根据共面向量定理可知MN -→，CD →，DE →共面．因为MN 不在平面CDE 内，所以MN ∥平面CDE .。

3.1.2空间向量的数乘运算1．空间向量的数乘运算(1)定义：□01实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系λ的范围方向关系模的关系λ>0方向□02相同λ＝0λa＝0，其方向是任意的λa的模是a的模的□04|λ|倍λ<0方向□03相反(3)空间向量的数乘运算律设λ，μ是实数，则有：①分配律：λ(a＋b)＝□05λa＋λb.②结合律：λ(μa)＝□06(λμ)a.2．共线向量与共面向量(1)共线(平行)向量(2)共面向量1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．()(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．()(3)如果OP→＝OA→＋t AB→，则P，A，B共线．()(4)空间中任意三个向量一定是共面向量．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b.(2)已知b＝－5a(|a|＝2)，则向量b的长度为________，向量b的方向与向量a的方向________．(3)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E→＝14A1C1→，若AE→＝x AA1→＋y(AB→＋AD→)，则x＝______，y＝______.(4)(教材改编P89T1)已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则AB→＋12( BD→＋BC→)等于________．答案(1)－57(2)10相反(3)114(4)AG→解析(4)AB→＋12(BD→＋BC→)＝AB→＋12×(2BG→)＝AB→＋BG→＝AG→.探究1空间向量的数乘运算例1已知正四棱锥P－ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．(1)OQ→＝PQ→＋y PC→＋z PA→；(2)PA→＝x PO→＋y PQ→＋PD→.[解] (1)如图，∵OQ→＝PQ→－PO→＝PQ→－12(PA→＋PC→)＝PQ→－12PC→－12PA→，∴y＝z＝－12.(2)∵O为AC的中点，Q为CD的中点，∴PA→＋PC→＝2PO→，PC→＋PD→＝2PQ→，∴PA→＝2PO→－PC→，PC→＝2PQ→－PD→，∴PA→＝2PO→－2PQ→＋PD→，∴x＝2，y＝－2.拓展提升利用向量的线性运算求参数的技巧利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．【跟踪训练1】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC 的中点．(1)化简：A1O→－12AB→－12AD→；(2)设E是棱DD1上的点，且DE→＝23DD1→，若EO→＝x AB→＋y AD→＋z AA1→，试求实数x，y ，z 的值．解 (1)A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1O →＋OA →＝A 1A →.(2)连接AE ，则EO →＝AO →－AE →＝12(AB →＋AD →)－AD →－23AA 1→＝12AB →－12AD →－23AA 1→， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.探究2 共线向量例2 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 连接EF ，EB ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c .∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →， ∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →. ∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→) ＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ， ∴EF →＝25EB →，∴E ，F ，B 三点共线．[条件探究] 将例2的条件改为“O为A1C上一点，且A1O→＝23A1C→，BD与AC交于点M”．求证：C1，O，M三点共线．证明连接AO，AC1，A1C1.∵A1O→＝23A1C →，∴AO→＝AA1→＋A1O→＝AA1→＋23A1C→＝AA1→＋23(A1A→＋AC→)＝13AA1→＋23AC→.∵AC→＝2AM→，AA1→＝AC1→＋C1A1→＝AC1→－AC→＝AC1→－2AM→，∴AO→＝13(AC1→－2AM→)＋43AM→＝13AC1→＋23AM→.∵1 3＋23＝1，∴C1，O，M三点共线．拓展提升1.判断向量共线的策略(1)熟记共线向量的充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ，使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.(2)判断向量共线的关键：找到实数λ.2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使PA→＝λPB→成立．(2)对空间任一点O，有OP→＝OA→＋t AB→(t∈R)．(3)对空间任一点O ，有OP →＝x OA →＋y OB →(x ＋y ＝1)．【跟踪训练2】 已知向量e 1，e 2不共线，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝－3e 1＋8e 2，判断a 与b 是否共线．解 设a ＝λb ，即3e 1＋4e 2＝λ(－3e 1＋8e 2)， ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3λ＝3，8λ＝4无解．∴不存在λ，使a ＝λb ，即a 与b 不共线． 探究3 共面向量例3 如图所示，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD ＝k ，求证：E ，F ，G ，H 四点共面．[证明] 因为OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD ＝k ， 所以OE →＝k OA →，OF →＝k OB →，OG →＝k OC →，OH →＝k OD →. 由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，因此EG →＝OG →－OE →＝k OC →－k OA →＝k AC →＝k (AB →＋AD →)＝k (OB →－OA →＋OD →－OA →)＝OF →－OE →＋OH →－OE →＝EF →＋EH →.由向量共面的充要条件知E ，F ，G ，H 四点共面． 拓展提升证明向量共面、点共面的常用方法(1)证明空间三个向量共面，常用如下方法①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a ＝x b ＋y c，则向量a，b，c共面；②寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．(2)对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面①MP→＝x MA→＋y MB→；②对空间任一点O，OP→＝OM→＋x MA→＋y MB→；③对空间任一点O，OP→＝x OA→＋y OB→＋z OC→(x＋y＋z＝1)；④PM→∥AB→(或PA→∥MB→，或PB→∥AM→)．【跟踪训练3】(1)已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由OP→＝15OA→＋23OB→＋λOC→确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.答案2 15解析∵点P与A，B，C三点共面，∴1 5＋23＋λ＝1，解得λ＝215.(2)已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点O满足OM→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.①判断MA→，MB→，MC→三个向量是否共面；②判断点M是否在平面ABC内．解①∵OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，∴OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)＝BM→＋CM→，即MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→，∴向量MA→，MB→，MC→共面．②由①知向量MA→，MB→，MC→共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．1.四点P，A，B，C共面⇔对空间任意一点O，都有OP→＝x OA→＋y OB→＋z OC→，且x＋y＋z＝1.2.OP→＝OA→＋x AB→＋y AC→称为空间平面ABC的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.3.证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数λ，使AB→＝λBC→(或AB→＝λAC→)即可，也可用“对空间任意一点O，有OC→＝t OA→＋(1－t)OB→”来证明A，B，C三点共线.4.空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP→＝x MA→＋y MB→，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面.1．给出下列命题：①a＝“从上海往正北平移9 km”，b＝“从北京往正北平移3 km”，那么a ＝3b；②(a＋b)＋λc＋λ(a＋d)＝b＋(1＋λ)a＋λ(c＋d)；③把正方形ABCD平移向量m到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体叫做正方体；④有直线l，且l∥a，在l上有点B，若AB→＋CA→＝2a，则C∈l.其中正确的命题是()A．①②B．③④C．①②④D．①②③答案C解析由向量相等与起点无关易知①正确；由向量的数乘运算满足分配律及向量的加减运算满足交换律和结合律易知②正确；③中轨迹形成的几何体是平行六面体，不一定是正方体，③错误；由AB→＋CA→＝CA→＋AB→＝CB→＝2a知CB→与l直线平行，又B在l上，所以C∈l，故④正确．故选C.2．已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D答案A解析由已知可得AB→＝a＋2b，BD→＝BC→＋CD→＝2a＋4b，所以BD→＝2AB→，即BD→，AB→是共线向量，所以A，B，D三点共线．3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝x OA →＋12OB →＋16OC →，则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3 D.13 答案 D解析 ∵OM →＝x OA →＋12OB →＋16OC →，且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋12＋16＝1，x ＝13.4．在平行六面体ABCD －EFGH 中，若AG →＝x AB →－2y BC →＋3z DH →，则x ＋y ＋z 等于( )A.76B.23C.56 D ．1 答案 C解析 由于AG →＝AB →＋AD →＋CG →＝AB →＋BC →＋DH →，对照已知式子可得x ＝1，－2y ＝1,3z ＝1，故x ＝1，y ＝－12，z ＝13，从而x ＋y ＋z ＝56.5．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．证明 EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→ ＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B →＝12B 1C →－A 1B →.由向量共面的充要条件知，A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．A 级：基础巩固练一、选择题1．下列命题正确的有( ) ①平面内的任意两个向量都共线；②若a ，b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )； ③|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件； ④空间中的任意三个向量都共面． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 A解析 ①显然不正确．②不正确，由p ，a ，b 共面的充要条件知，当p ，a ，b 共面时才满足p ＝λa ＋μb .③正确，a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/a ＝b .④不正确，由共面向量的充要条件知可以化成p ＝x a ＋y b 的三个向量共面． 2．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝m OA →＋n OB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．P ∈直线ABB ．P ∉直线ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对答案 A解析 因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )OA →＋n OB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝n AB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB .3．若a 与b 不共线，且m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，p ＝a ，则( ) A ．m ，n ，p 共线 B ．m 与p 共线 C ．n 与p 共线 D ．m ，n ，p 共面 答案 D解析 由于(a ＋b )＋(a －b )＝2a ，即m ＋n ＝2p ，即p ＝12m ＋12n ，又m 与n 不共线，所以m ，n ，p 共面．4. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c答案 A解析 B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c . 5．如图所示，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为平面ABC 内一定点，O 为平面ABC 外任一点，且平面ABC 中的小方格为单位正方形，则下列能正确表示向量OP →的为( )A.OA →＋2AB →＋2AC →B.OA →－3AB →－2AC →C.OA →＋3AB →－2AC →D.OA →＋2AB →－3AC → 答案 C解析 连接AP ，∵A ，B ，C ，P 四点共面，∴可设AP →＝x AB →＋y AC →，即OP →＝OA →＋x AB →＋y AC →，由题图可知x ＝3，y ＝－2.6．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量D 1A →，D 1C →，A 1C 1→是( ) A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 答案 C解析 如图所示，因为D 1C →－D 1A →＝AC →，而AC →＝A 1C 1→， 所以D 1C →－D 1A →＝A 1C 1→，即D 1C →＝D 1A →＋A 1C 1→.而D 1A →与A 1C 1→不共线，所以D 1C →，D 1A →，A 1C 1→三向量共面． 二、填空题7．已知i ，j ，k 是三个不共面向量，已知向量a ＝12i －j ＋k ，b ＝5i －2j －k ，则4a －3b ＝________.答案 －13i ＋2j ＋7k解析 4a －3b ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫12i －j ＋k －3(5i －2j －k )＝2i －4j ＋4k －15i ＋6j ＋3k ＝－13i ＋2j ＋7k .8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.答案 23解析 CD →＝CB →－DB →＝CB →－13AB →＝CB →－13(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →，又CD →＝13CA →＋λCB →，所以λ＝23.三、解答题9．在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．解∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，∴GE→＝1BE→.3又1AC→＝12(DC→－DA→)＝12DC→－12DA→＝DE→－DF→＝FE→，2∴AG→＋1BE→－12AC→＝AG→＋GE→－FE→＝AF→(如图所示)．3B级：能力提升练如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为PD 的中点，证明：PB∥平面ACM(用向量法)．证明∵M是PD的中点，∴PM→＝MD→.又∵PB→＝PM→＋MA→＋AB→＝PM→＋MA→＋AC→＋CB→＝PM→＋MA→＋AC→＋DA→＝PM→＋MA→＋AC→＋MA→－MD→.∴PB→＝2MA→＋AC→.∴PB→，MA→，AC→共面．又∵PB⊄平面ACM，∴PB∥平面ACM.。

第三章 空间向量与立体几何3.1.2 空间向量的数乘运算一、学习目标1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的数乘运算.2．用空间向量的运算意义和运算律解决立体几何问题.【重点、难点】重点：空间向量的数乘运算及运算律；难点：用向量解决立体几何问题.二、学习过程【复习回顾】(1)平面向量有加减运算，空间向量也有；平面向量有数乘运算，那空间向量有吗？它们相同吗？(2)向量经加法以后仍然是向量，经减法运算以后也是向量，那经数乘运算以后呢?【探究新知】1．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个 ，称为向量的数乘运算．(2)向量a 与λa 的关系.λ的范围 方向关系 模的关系λ>0 方向λa 的模是a 的模的 倍λ＝0 λa ＝0，其方向是任意的 λ<0 方向 (3)空间向量的数乘运算律设λ、μ是实数，则有①分配律：λ(a ＋b )＝ ; ②结合律：λ(μa )＝ .2．共线向量与共面向量共线(平行)向量 共面向量定义 表示空间向量的有向线段所在的直线 ，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于 的向量叫做共面向量充要 条件 对于空间任意两个向量a ，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb 若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y)，使p ＝xa ＋yb推论 如果l 为经过点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于空间任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋ta①，其中a 叫做直线l 的方向向量如图所示． 若在l 上取AB →＝a ，则①式可化为OP →＝OA →＋tAB →如图，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y)，使AP →＝xAB →＋yAC →，或对空间任意一点O 来说，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.【典型例题】例1． 已知在空间四边形OABC 中，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，如图所示，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →.例2．如图所示，已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.利用向量法求证四边形EFGH 是梯形．例3. 如图所示，P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点，连结PA ，PB ，PC ，PD ，点E ，F ，G ，H 分别是△PAB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心，分别延长PE ，PF ，PG ，PH ，交对边于M ，N ，Q ，R ，并顺次连结MN ，NQ ，QR ，RM .应用向量共面定理证明：E 、F 、G 、H 四点共面．例4.已知在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是对角线AC ，A 1D 的三等分点，且满足AM →＝12MC →，A 1N →＝2ND →.记AB →＝a, AD →＝b ，AA1→＝c ，试用a ，b ，c 来表示向量MN →.【变式拓展】1. 在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )．A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c 2. 设两非零向量e 1、e 2不共线，AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)．试问：A 、B 、D 是否共线，请说明理由．3. 已知平行四边形ABCD (如图)，从平面AC 外一点O 引向量OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OG →＝kOC →，OH →＝kOD →，求证：(1)四点E 、F 、G 、H 共面； (2)平面EG ∥平面AC .三、总结反思1．向量共线的充要条件及其应用(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a ，b 共线时，表示a ，b 的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a ∥b 时，也具有同样的意义．(2)“共线”这个概念具有自反性a ∥a ，也具有对称性，即若a ∥b ，则b ∥a .(3)如果应用上述结论判断a ，b 所在的直线平行，还需说明a (或b )上有一点不在b (或a )上．AB ＝λBC →或AB ＝μAC →即可．也可用“对空间任意一点O ，有OB →＝tOA →＋(1－t )OC →”来证明三点共线．2．向量共面的充要条件的理解MP ＝xMA →＋yMB →.满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任意一点O ，有OB ＝(1－t )OA →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．四、随堂检测1．设空间四点O ，A ，B ，P 满足,OP mOA nOB =+其中m+n=1，则（ ）A ．点P 一定在直线AB 上B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D. AB 与AP →与AP →的方向一定相同2．如图所示,平行六面体A 1B 1C 1D 1- ABCD ，M 分AC 成的比为12，N 分A 1D →成的比为12，N 分A 1D →成的比为2，设AB ＝ a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a 、b 、c 表示MN .3. 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：BD ∥平面EFGH .。

3．1.2 空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算[提出问题]作向量AB ―→＝a ＋a ＋a ，CD ―→＝(－a )＋(－a )＋(－a )(a ≠0)． 问题1：AB ―→的模是a 的模的几倍？ 提示：3倍．问题2：AB ―→的方向与a 的方向一致吗？ 提示：一致．问题3：|CD ―→|是|a |的几倍？CD ―→与a 的方向有怎样的关系？ 提示：3倍，相反． [导入新知] 定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘几何 意义 λ＞0λa 与向量a 的方向相同 λa 的长度是a 的长度的|λ|倍λ＜0 λa 与向量a 的方向相反 λ＝0λa ＝0，其方向是任意的运算 律分配律 λ(a ＋b )＝λa ＋λb 结合律λ(μa )＝(λμ)a[化解疑难]对空间向量数乘运算的理解(1)任何实数与向量的积仍是一个向量，当λ＝0时，λa ＝0. (2)向量数乘运算满足以下运算律：λ(μ a )＝λμ a ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .(3)运算律中是实数与向量的乘积，不是向量与向量的乘法运算.共线、共面向量[提出问题]空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．问题1：向量a与b共线的条件是什么？提示：存在唯一实数λ，使a＝λb.问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．问题3：空间两非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)?提示：不能．[导入新知]共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb推论共线(平行)向量共面向量如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP―→＝OA―→＋ta，①其中a叫做直线l的方向向量，如图所示．若在l上取AB―→＝a，则①式可化为OP―→＝OA―→＋t AB―→如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP―→＝x MA―→＋y MB―→，或对空间任意一点O来说，有OP―→＝OM―→＋x MA―→＋y MB―→[化解疑难]对共线、共面向量的理解(1)共面向量不具有传递性．(2)共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件a ≠0不可遗漏．(3)直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．(4)空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面． (5)向量p 与a ，b 共面的充要条件是在a 与b 不共线的前提下才成立的，若a 与b 共线，则不成立．空间向量的线性运算[例1] 中x ，y ，z 的值．(1)OQ ―→＝PQ ―→＋y PC ―→＋z PA ―→； (2) PA ―→＝x PO ―→＋y PQ ―→＋PD ―→. [解] 如图．(1)∵OQ ―→＝PQ ―→－PO ―→＝PQ ―→－12(PA ―→＋PC ―→)＝PQ ―→－12PC ―→－12PA ―→，∴y ＝z ＝－12.(2)∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点， ∴PA ―→＋PC ―→＝2PO ―→，PC ―→＋PD ―→＝2PQ ―→， ∴PA ―→＝2PO ―→－PC ―→，PC ―→＝2PQ ―→－PD ―→， ∴PA ―→＝2PO ―→－2PQ ―→＋PD ―→，∴x ＝2，y ＝－2. [类题通法]利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法．一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握．[活学活用]如图所示，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)化简：A 1O ―→－12AB ―→－12AD ―→；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE ―→＝23DD 1―→，若EO ―→＝x AB ―→＋y AD ―→＋z AA 1―→，试求实数x ，y ，z 的值．解：(1)原式＝A 1O ―→－12(AB ―→＋AD ―→)＝A 1O ―→－AO ―→＝A 1A ―→.(2) EO ―→＝AO ―→－AE ―→＝12(AB ―→＋AD ―→)－AD ―→－23AA 1―→＝12AB ―→－12AD ―→－23AA 1―→， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.空间向量共线问题[例2] 如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE ―→与MN ―→是否共线．[解] 因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN ―→＝MA ―→＋AF ―→＋FN ―→＝12CA ―→＋AF ―→＋12FB ―→.又因为MN ―→＝MC ―→＋CE ―→＋EB ―→＋BN ―→＝－12CA ―→＋CE ―→－AF ―→－12FB ―→，以上两式相加得CE ―→＝2MN ―→，所以CE ―→∥MN ―→，即CE ―→与MN ―→共线．[类题通法](1)判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a ＝λb 成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a ＝λb ，从而得出a ∥b .(2)当两个空间向量共线时，即存在实数λ，使得a ＝λb 成立，既可以用于证明，也可以用待定系数法求参数的值．[活学活用]如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 在A 1D 1上，且A 1E ―→＝2ED 1―→，点F 在对角线A 1C 上，且A 1F ―→＝23FC ―→.求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c . ∵A 1E ―→＝2ED 1―→，A 1F ―→＝23FC ―→，∴A 1E ―→＝23A 1D 1―→，A 1F ―→＝25A 1C ―→，∴A 1E ―→＝23AD ―→＝23b ，A 1F ―→＝25(AC ―→－AA 1―→)＝25(AB ―→＋AD ―→－AA 1―→) ＝25a ＋25b －25c . ∴EF ―→＝A 1F ―→－A 1E ―→ ＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c .又∵EB ―→＝EA 1―→＋A 1A ―→＋AB ―→＝－23b －c ＋a＝a －23b －c ，∴EF ―→＝25EB ―→.又∵EF ∩EB ＝E ，∴E ，F ，B 三点共线.空间向量共面问题[例3] 已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足OM ＝3OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→.(1)判断MA ―→，MB ―→，MC ―→三个向量是否共面； (2)判断M 点是否在平面ABC 内． [解] (1)∵OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝3OM ―→，∴OA ―→－OM ―→＝(OM ―→－OB ―→)＋(OM ―→－OC ―→)＝BM ―→＋CM ―→， ∴MA ―→＝BM ―→＋CM ―→＝－MB ―→－MC ―→， ∴向量MA ―→，MB ―→，MC ―→共面．(2)由(1)知向量MA ―→，MB ―→，MC ―→共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线， ∴点M ，A ，B ，C 共面，即点M 在平面ABC 内． [类题通法](1)证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明．(2)向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面)．[活学活用]已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面． (2)BD ∥平面EFGH . 证明：如图，连接EG ，BG .(1)因为EG ―→＝EB ―→＋BG ―→ ＝EB ―→＋12(BC ―→＋BD ―→)＝EB ―→＋BF ―→＋EH ―→ ＝EF ―→＋EH ―→，由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH ―→＝AH ―→－AE ―→＝12AD ―→－12AB ―→＝12BD ―→，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .5.空间向量共线、共面充要条件的应用[典例] (8分)空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别在边CB ，CD 上，且CF ―→＝23CB ―→，CG ―→＝23CD ―→.求证：四边形EFGH 为梯形． [解题流程][规范解答]根据题意，∵EH ―→＝AH ―→－AE ―→，BD ―→＝AD ―→－AB ―→，又∵AH ―→＝12AD ―→，AE ―→＝12AB ―→，∴EH ―→＝12BD ―→.(2分) ①∵FG ―→＝CG ―→－CF ―→，BD ―→＝CD ―→－CB ―→，又∵CG ―→＝23CD ―→，CF ―→＝23CB ―→，[活学活用]对于任意空间四边形ABCD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，试判断EF ―→与BC ―→，AD ―→的关系．解：如图所示，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，利用多边形加法法则可得，EF ―→＝EA ―→＋AD ―→＋DF ―→， EF ―→＝EB ―→＋BC ―→＋CF ―→.又∵EA ―→＝－EB ―→，DF ―→＝－CF ―→， ∴EF ―→＝－EB ―→＋AD ―→－CF ―→， ∴2EF ―→＝AD ―→＋BC ―→， 所以EF ―→＝12AD ―→＋12BC ―→，∴EF ―→与BC ―→，AD ―→共面．[随堂即时演练]1．已知空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB ―→＋12(BD ―→＋BC ―→)等于( )A ．AG ―→B ．CG ―→C ．BC ―→D.12BC ―→ 解析：选A AB ―→＋12(BD ―→＋BC ―→)＝AB ―→＋12×(2BG ―→)＝AB ―→＋BG ―→＝AG ―→.2．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM ―→＝x OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→，则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3D.13解析：选D ∵OM ―→＝x OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→，且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1，即x ＝13.3．在三棱锥A ­BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB ―→＋12BC ―→－32DE ―→－AD―→化简的结果为________．解析：延长DE 交边BC 于点F ， 则有AB ―→＋12BC ―→＝AF ―→，32DE ―→＋AD ―→＝AD ―→＋DF ―→＝AF ―→， 故AB ―→＋12BC ―→－32DE ―→－AD ―→＝0.答案：04．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB ―→＝e 1＋ke 2，BC ―→＝5e 1＋4e 2，DC ―→＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值是________．解析：∵BC ―→＝5e 1＋4e 2，DC ―→＝－e 1－2e 2，∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝6e 1＋6e 2. ∵A ，B ，D 三点共线， ∴AB ―→＝λBD ―→，∴e 1＋ke 2＝λ(6e 1＋6e 2)． ∵e 1，e 2是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝6λ，k ＝6λ，∴k ＝1.答案：15.如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B ―→，B 1C ―→，EF ―→是共面向量．解：EF ―→＝EB ―→＋BA 1―→＋A 1F ―→ ＝12B 1B ―→－A 1B ―→＋12A 1D 1―→＝12(B 1B ―→＋BC ―→)－A 1B ―→ ＝12B 1C ―→－A 1B ―→. 由向量共面的充要条件知，A 1B ―→，B 1C ―→，EF ―→是共面向量．[课时达标检测]一、选择题1．下列命题中正确的个数是( )①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； ②向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面； ③若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A ①当b ＝0时，a 与c 不一定共线，故①错误；②中a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；③当b 为零向量，a 不为零向量时，λ不存在．2．已知空间向量a ，b ，且AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－5a ＋6b ，CD ―→＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析：选A ∵BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋4b ＝2AB ―→， ∴A ，B ，D 三点共线．3．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对解析：选A 因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP ―→＝(1－n )OA ―→＋n OB ―→，即OP ―→－OA ―→＝n (OB ―→－OA ―→)，即AP ―→＝n AB ―→，所以AP ―→与AB ―→共线．又有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB .4．在下列条件中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM ―→＝3OA ―→－2OB ―→－OC ―→B ．OM ―→＋OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0C ．MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0D ．OM ―→＝14OB ―→－OA ―→＋12OC ―→ 解析：选C ∵MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0，∴MA ―→＝－MB ―→－MC ―→，∴点M 与点A ，B ，C 必共面．5．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，A 1E ―→＝14A 1C 1―→，若AE ―→＝x AA 1―→＋y (AB ―→＋AD ―→)，则( ) A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝12，y ＝1C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝14解析：选D AE ―→＝AA 1―→＋A 1E ―→＝AA 1―→＋14A 1C 1―→＝AA 1―→＋14(AB ―→＋AD ―→)．所以x ＝1，y ＝14. 二、填空题6．化简：12(a ＋2b －3c )＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝________. 解析：原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c －3a ＋6b －3c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋103－3a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52＋6b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋103－3c ＝56a ＋92b －76c . 答案：56a ＋92b －76c 7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ―→＝2DB ―→，CD ―→＝13CA ―→＋λCB ―→，则λ＝________.解析：CD ―→＝CB ―→－DB ―→＝CB ―→－13AB ―→＝CB ―→－13(CB ―→－CA ―→)＝23CB ―→＋13CA ―→，又CD ―→ ＝13CA ―→＋λCB ―→，所以λ＝23. 答案：238．有下列命题：①若AB ―→∥CD ―→，则A ，B ，C ，D 四点共线；②若AB ―→∥AC ―→，则A ，B ，C 三点共线；③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b ； ④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．解析：根据共线向量的定义，若AB ―→∥CD ―→，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故①错；AB ―→∥AC ―→且AB ―→，AC ―→有公共点A ，所以②正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故③正确；易知④也正确．答案：②③④三、解答题9.如图所示，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)CB ―→＋BA 1―→；(2)AC ―→＋CB ―→＋12AA 1―→； (3)AA 1―→－AC ―→－CB ―→.解：(1)CB ―→＋BA 1―→＝CA 1―→.(2)因为点M 是BB 1的中点，所以BM ―→＝12BB 1―→. 又因为AA 1―→＝BB 1―→，所以AC ―→＋CB ―→＋12AA 1―→＝AB ―→＋BM ―→＝AM ―→. (3)AA 1―→－AC ―→－CB ―→＝CA 1―→－CB ―→＝BA 1―→.向量CA 1―→，AM ―→，BA 1―→如图所示．10.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接PA ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△PAB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 证明：(1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE ―→＝23PM ―→，PF ―→＝23PN ―→，PG ―→＝23PQ ―→，PH ―→＝23PR ―→. 由题意知四边形MNQR 是平行四边形，∴MQ ―→＝MN ―→＋MR ―→＝(PN ―→－PM ―→)＋(PR ―→－PM ―→)＝32(PF ―→－PE ―→)＋32(PH ―→－PE ―→) ＝32(EF ―→＋EH ―→)． 又MQ ―→＝PQ ―→－PM ―→＝32PG ―→－32PE ―→＝32EG ―→. ∴EG ―→＝EF ―→＋EH ―→，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ ―→＝32EG ―→，∴MQ ―→∥EG ―→， ∴EG ―→∥平面ABCD .又MN ―→＝PN ―→－PM ―→＝32PF ―→－32PE ―→ ＝32EF ―→，∴MN ―→∥EF ―→.即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行．。

§3.1.2 空间向量的数乘运算利用10分钟阅读教材86~89面，并完成本学案 班级： 姓名： 一、学习目标(1)掌握空间向量的线性运算；(2)掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题； 二、知识要点1、空间向量的数乘运算（1）向量的数乘：实数λ与空间向量a 的乘积仍然是一个向量，记作 ，称为 .当0λ>时，a λ与向量a 方向 ；当0λ<时，a λ与向量a 方向 ；a λ的长度是a 的长度的 倍. （2）空间向量的数乘运算满足分配率与结合律：分配率： ；结合律： ； 2、共线向量（1）共线向量定义空间向量,a b 的有向线段所在的直线 ，则向量,a b 叫做 或 ，记作 . （2）两向量共线的充要条件对于空间任意两个向量,(0)a b b ≠，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得 . （3）共线向量的推论如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a 的直线，那么对于空间任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数λ使得O P O A a λ=+，其中a 叫做直线l 的 ；在l 上取A B a =，则上式可化为 ；此推论可以用来判断B A P ,,三点共线. 3、共面向量（1）共面向量的概念平行于 的向量，叫做共面向量. （2）三个向量共面的充要条件若两个向量,a b 不共线，则向量与向量,a b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)x y ，使得 .（3）共面向量的推论空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对),(y x ，使得 或对空间任意一点O 来说，有MB y MA x OM OP ++=. 三、 典型例题例1.已知正四棱锥ABCD P -，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，若y x ++=，求y x ,的值.例2．在下列命题中正确命题的是 . ①若向量,共线，则向量,所在的直线平行；②若向量,所在的直线是异面直线，则向量,一定不共面； ③若,,三向量两两共面，则,,三向量一定也共面； ④若向量,,共面，则存在实数y x ,，使得a xb yc =+；⑤若有a xb yc =+，则向量,,共面.例3.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 在11D A 上，且112A =,F 在对角线C A 1上，且A 321=,求证：B F E ,,三点共线.变式：已知四边形ABCD 是空间四边形，H E ,分别是边,AB AD 的中点，,F G 分别是边,CD CB 上的点，且22,33CF CB CG CD ==。

3.1.2 空间向量的数乘运算教学目标：1.掌握空间向量的数乘运算及其几何意义； 2．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式． 教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 教学过程： 一.复习引入空间向量的概念及表示；向量的加减运算的几何意义． 二.思考分析问题1：向量a 与b 共线的条件是什么？ 提示：存在唯一实数λ，使a ＝λb .问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？ 提示：一定；不一定．问题3：空间两非零向量a ，b 共面，能否推出a ＝λb (λ∈R)? 提示：不能． 三.抽象概括1．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积 λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． (2)向量a 与λa 的关系：(3)①分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . ②结合律：λ(μ a )＝(λμ)a. 2．共线向量如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP＝OA＋ta，①其中a叫做直线l的方向向量，如图所示. 若在l上取AB＝a，则①式可化为OP＝OA＋t AB.如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP＝x MA＋y MB，或对空间任意一点O来说，有OP＝OM＋x MA＋y MB.是一个向量．当λ＝0或a＝0时，λa＝0.2．平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运算，结论仍然成立．3．共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b≠0不可遗漏．4．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．5．共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面向量表示出来．另外，还可以用OP＝x OA＋y OB＋z OC，且x＋y＋z＝1判断P，A，B，C四点共面．四.例题分析及练习[例1]如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AM＝12MC，1A N＝2 ND.设AB＝a，AD＝b，1AA＝c，试用a，b，c表示MN.[思路点拨]先利用三角形法则进行向量的加减运算，将MN表示成其他向量，然后进一步用a，b，c表示MN.[精解详析]如图所示，连接AN，则MN ＝AN －AM ＝1AA ＋1A N －13AC＝1AA ＋231A D －13(AB ＋BC )＝1AA ＋23(AD －1AA )－13(AB ＋AD )＝c ＋23(b －c )－13(a ＋b )＝－13a ＋13b ＋13c .[感悟体会] 用已知向量表示未知向量，体现了向量的数乘运算．解题时要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量逐渐转化为已知向量．本题也可以先将MN 表示为MN ＝MA ＋1AA ＋1A N . 训练题组11.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若11A B ＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c解析：1B M ＝1B B ＋BM ＝1B B ＋12(AD －AB )＝1B B ＋12AD －12AB ＝－12a ＋12b ＋c .答案：A2．已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值： (1) OQ ＝PQ ＋x PC ＋y PA ； (2) PA ＝x PO ＋y PQ ＋PD .解：(1)∵OQ ＝PQ －PO ＝PQ －12(PA ＋PC )＝PQ －12PA －12PC ，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA ＋PA ＝2PO ，∴PA ＝2PO －PC . 又∵PC ＋PD ＝2PQ ，∴PC ＝2PQ －PD .从而有PA ＝2PO －(2PQ －PD )＝2PO －2PQ ＋PD . ∴x ＝2，y ＝－2.[例2] 如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE 与MN 是否共线．[思路点拨] 分析题意→[精解详析] ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形， ∴MN ＝MC ＋CB ＋BN ＝12AC ＋CB ＋12BF ＝12(BC －BA )＋CB ＋12(BA ＋BE )＝12BC ＋CB ＋12BE ＝12(CB ＋BE )＝12CE . ∴CE ∥MN ，即CE 与MN 共线．[感悟体会] 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x ，使a ＝xb 成立，同时要充分利用空间向量运算法则，结合具体的图形，化简得出a ＝xb ，从而得出a ∥b ，即a 与b 共线． 训练题组23．已知空间向量a ，b ，且AB ＝a ＋2b ，BC ＝－5a ＋6b ，CD ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D 解析：BD ＝BC ＋CD ＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b ) ＝2a ＋4b ＝2AB ，∴A ，B ，D 三点共线． 答案：A4.已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF ＝23CB ，CG ＝23CD .求证：四边形EFGH 是梯形．证明：∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴AE ＝12AB ，AH ＝12AD ，EH ＝AH －AE ＝12AD －12AB ＝12(AD －AB )＝12BD ＝12(CD －CB )＝12(32CG －32CF )＝34(CG －CF )＝34FG ，∴EH ∥FG 且|EH |＝34|FG |≠|FG |.又点F 不在EH 上，∴四边形EFGH 是梯形.[例3] 对于任意空间四边形ABCD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点． 试证：EF 与BC ，AD 共面．[思路点拨] 分析题意→应用向量共面的充要条件→得出结论[精解详析] 空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 上的点， 则EF ＝EA ＋AD ＋DF ，EF ＝EB ＋BC ＋CF .①又E ，F 分别是AB ，CD 的中点，故有EA ＝－EB ，DF ＝－CF .② 将②代入①中，两式相加得2 EF ＝AD ＋BC . 所以EF ＝12 AD ＋12BC ，即EF 与BC ，AD 共面．[感悟体会] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解答本题实质上是证明存在实数x ，y 使向量EF ＝x AD ＋y BC 成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用AD ，BC 表示EF . 训练题组35．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM ＝3OA －2OB －OC B ．OM ＋OA ＋OB ＋OC ＝0 C ．MA ＋MB ＋MC ＝0D ．OM ＝14OB －OA ＋12OC解析：∵MA ＋MB ＋MC ＝0，∴MA ＝－MB －MC ，∴M 与A ，B ，C 必共面． 答案：C6．已知e 1，e 2为两个不共线的非零向量，且AB ＝e 1＋e 2，AC ＝2e 1＋8e 2，AD ＝3e 1－3e 2 ，求证：A ，B ，C ，D 四点共面．证明：设存在实数λ，μ，使得AB ＝λAC ＋μAD ， 即e 1＋e 2＝λ(2e 1＋8e 2)＋μ(3e 1－3e 2)＝(2λ＋3μ)e 1＋(8λ－3μ)e 2. ∵e 1，e 2为两个不共线的非零向量，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋3μ＝1，8λ－3μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝15，μ＝15，即AB ＝15AC ＋15AD .从而点B 位于平面ACD 中，即A ，B ，C ，D 四点共面． 五.课堂小结与归纳1．共线向量定理包含两个命题，特别是对于两个向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb (b ≠0)⇒a ∥b ，可以作为以后证明线线平行的依据．2．共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据．其推论是判定空间四点共面的依据(若对空间任一点O ，有OP ＝αOA ＋βOB ＋γOC (α＋β＋γ＝1)成立，则P ，A ，B ，C 共面)．3．在讨论向量共线或共面时，必须注意零向量与任意向量都共线．要注意：向量的共线与共面不具有传递性． 六.当堂训练1．下列命题中正确的个数是( )①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线． ②向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面． ③若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 ①当b ＝0时，a 与c 不一定共线，故①错误；②中a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误； ③当b 为零向量，a 不为零向量时，λ不存在． 解析：①当b ＝0时，a 与c 不一定共线，故①错误；②中a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误； ③当b 为零向量，a 不为零向量时，λ不存在． 答案：A2．在四面体O －ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝( )A.12a －14b ＋14c B ．a －12b ＋12c C.12a ＋14b ＋14c D.14a ＋12b ＋14c 解析：OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋12AD ＝OA ＋12×12(AB ＋AC )＝OA ＋14(OB －OA ＋OC －OA )＝12OA ＋14OB ＋14OC ＝12a ＋14b ＋14c .答案：C3．已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R 且λ，μ≠0)，则( ) A ．a ∥e 1 B ．a ∥e 2 C ．a 与e 1，e 2共面 D ．以上三种情况均有可能 解析：若a ∥e 1，则存在实数t 使得a ＝te 1，∴te 1＝λe 1＋μe 2，∴(t －λ)e 1＝μe 2，则e 1与e 2共线，不符合题意．同理，a 与e 2也不平行．由向量共面的充要条件知C 正确． 答案：C4．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP ＝34OA ＋18OB ＋18OC ，则P ，A ，B ，C四点( ) A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面解析：OP ＝34OA ＋18OB ＋18OC ＝34OA ＋18(OA ＋AB )＋18(OA ＋AC )＝OA ＋18AB ＋18AC ，∴OP －OA ＝18AB ＋18AC ，∴AP ＝18AB ＋18AC .由共面的充要条件知P ，A ，B ，C 四点共面． 答案：B5．在三棱锥A －BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB ＋12BC －32BE －AD 化简的结果为________．解析：延长DE 交边BC 于点F ，则有AB ＋12BC ＝AF ，32DE ＋AD ＝AD ＋DF ＝AF ，故AB ＋12BC －32 DE －AD ＝0.答案：06．设e 1，e 2是平面内不共线的向量，已知AB ＝2e 1＋ke 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.解析：AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝AB －CB ＋CD ＝3e 1＋(k －4)e 2.由A ，B ，D 三点共线可知，存在λ使AB ＝λAD ，即2e 1＋ke 2＝3λe 1＋λ(k －4)e 2.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝3λ，k ＝λk －4，可得k ＝－8.答案：－87.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.证明：A ，E ，C 1，F 四点共面．证明：∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体， ∴1AA ＝1BB ＝1CC ＝1DD ， ∴BE ＝13 1AA ，DF ＝231AA ，∴1AC ＝AB ＋AD ＋1AA ＝AB ＋AD ＋131AA ＋231AA＝(AB ＋131AA )＋(AD ＋231AA )＝AB ＋BE ＋AD ＋DF ＝AE ＋AF .由向量共面的充要条件知A ，E ，C 1，F 四点共面．8.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且1A E ＝21ED ，F 在对角线A 1C 上，且1A F ＝23FC .求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c .∵1A E ＝21AA ，1A F ＝23FC ，∴1A E ＝2311A D ，1A F ＝251AC ，∴1A E ＝23AD ＝23b ， 1A F ＝25(AC －1AA )＝25(AB ＋AD －1AA )＝25a ＋25b －25c .∴EF ＝1A F －1A E ＝25a －415b －25c ＝25(a －23b －c )．又EB ＝1EA ＋1A A ＋AB ＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF ＝25EB .所以E ，F ，B 三点共线．。

3.1.2 空间向量的数乘运算一、学习目标：1.掌握空间向量数乘运算的定义及运算律； 2.理解向量共线、向量共面的定义；3.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面.学习重点：空间向量的数乘运算及其运算律，空间向量共线定理与共面定理；学习难点：空间向量的数乘运算及其运算律的应用，空间向量共线定理与共面定理的应用. 二、导学指导与检测 导学指导导学检测及课堂展示阅读教材86P 完成右框内容一、空间向量的数乘运算（1）定义：实数λ与空间向量a ⃗的乘积λa ⃗仍然是一个 ，称为向量的数乘运算，记作 ，其长度和方向规定如下： |当λ>0时，λa ⃗与向量a ⃗方向 ；当λ<0时，λa ⃗与向量a ⃗方向 ；当λ＝0时，λa ⃗＝ . (2)空间向量数乘运算满足以下运算律：λ(λa ⃗)＝ ； λ(a ⃗＋b ⃗⃗)＝ ； (λ1＋λ2)a ⃗＝ .【即时训练1】已知在空间四边形OABC 中，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，如图所示，记OA →＝a ⃗，OB →＝b ⃗⃗，OC →＝c ⃗，试用向量a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗表示向量OG →.阅读教材8887-P P 完成右框内容二、共线向量与共面向量 (1)平行(共线)向量定义 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相 . 充要条件对空间任意两个向量a ⃗，b ⃗⃗(b ⃗⃗≠0⃗⃗)，存在唯一实数λ，使 .点P 在直线l 上的充要条件 存在实数t 满足等式OP →＝OA →＋t a⃗在直线l 上取向量AB →＝a ⃗，则OP →＝OA→＋tAB →向量a ⃗为直线的 向量(2)共面向量定义平行于同一个 的向量三个向量共面的充要条件向量p 与不共线向量a ⃗，b⃗⃗共面的充要条件是存在 的有序实数对(x ，y )使 .点P 位于平面ABC 内的充要条件存在有序实数对(x ，y )，使AP→＝xAB →＋yAC →对空间任一点O ，有OP→＝OA →＋xAB →＋yAC →【即时训练2】教材P 99习题3.1B 组第2题【即时训练3】教材P 88例1.课堂小结 1、如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设1AA ＝a⃗，＝b ⃗⃗，＝c ⃗，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗表示以下各向量： (1；(2)N A 1；(3)＋1NC .2、如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且E A 1＝21ED ，F在对角线A 1C 上，且F A 1＝23FC .求证：E ，F ，B 三点共线.闯关题：已知A ，B ，C 三点不共线，空间中一点M 满足OC OB OA OM 313131++=(1)判断MA MB MC 三个向量是否共面；(2)判断M 是否在平面ABC 内．。

3。

1.1空间向量及其加减运算3。

1。

2空间向量的数乘运算教学目标：㈠知识目标:⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念,掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律;⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ。

复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？[生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示;②用字母a、b等表示;③用有向线段的起点与终点字母:AB．［师]数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下:（1）|λa｜＝｜λ｜｜a|(2）当λ＞0时,λa与a同向；当λ＜0时,λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0。

［师]关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律:a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c)数乘分配律:λ（a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念,我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢?相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．［师]空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？[生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： AB OA OB +==a +b , OA OB AB -=(指向被减向量），=OP λa )(R ∈λ[师]空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律： ⑴加法交换律:a + b = b + a ；⑵加法结合律:(a + b ) + c =a + (b + c );（课件验证）⑶数乘分配律：λ(a + b ） =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即:011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此,求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图）,化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB +；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD —A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱．说明：由第2小题可知,始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．例2、如图中，已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1体对角线的交点，点P是任意一点，则．分析：将要证明等式的左边分解成两部分:与，第一组向量和中各向量的终点构成平行四边形ABCD，第二组向量和中的各向量的终点构成平行四边形A1B1C1D1，于是我们就想到了应该先证明:将以上所述结合起来就产生了本例的证明思路．解答：设E,E1分别是平行六面体的面ABCD与A1B1C1D1的中心，于是有3。

3.1.2 空间向量的数乘运算[目标] 1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量的意义.2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，会证明空间三点共线与四点共面问题．[重点] 应用共线定理与共面定理解决共线问题与共面问题．[难点] 证明线面平行与面面平行．知识点一空间向量的数乘运算[填一填][答一答]1．空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算有什么关系？提示：相同．2．类比平面向量，空间向量的数乘运算满足(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)，对吗？提示：正确．类比平面向量的运算律可知．知识点二共线、共面定理[填一填][答一答]3．a ＝λb 是向量a 与b 共线的充要条件吗？提示：不是．由a ＝λb 可得出a ，b 共线，而由a ，b 共线不一定能得出a ＝λb ，如当b ＝0，a ≠0时．4．空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：空间任意两个向量一定共面，但空间任意三个向量不一定共面． 5．共面向量定理中为什么要求a ，b 不共线？提示：如果a ，b 共线，则p 一定与向量a ，b 共面，却不一定存在实数组(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ，所以共面向量基本定理的充要条件要去掉a ，b 共线的情况．6．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)的点P 与点A ，B ，C 是否共面？提示：四点共面．∵x ＋y ＋z ＝1，∴x ＝1－y －z ，又∵OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →∴OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC →∴OP →－OA →＝y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →) ∴AP →＝yAB →＋zAC →， ∴点P 与点A ，B ，C 共面．1．共线向量、共面向量不具有传递性．2．共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件a ≠0不可遗漏．3．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．4．空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面． 5．向量p 与a ，b 共面的充要条件是在a 与b 不共线的前提下才成立的，若a 与b 共线，则不成立．类型一 空间向量的数乘运算【例1】 设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，试用向量OA →，OB →，OD →表示AE →.【分析】 将向量AE →分解成OA →，OB →，OD →的线性组合的形式． 【解】 由题意，可以作出如下图所示的几何图形．在封闭图形ADOE 中，有：AE →＝AD →＋DO →＋OE →， ①在△AOD 中，AD →＝OD →－OA →. ②在△BOC 中，OC →＝BC →－BO →，∵AD →＝BC →，∴OC →＝AD →＋OB →＝OD →－OA →＋OB →. 又∵OE →＝12OC →，∴OE →＝12(OD →－OA →＋OB →)＝－12OA →＋12OB →＋12OD →. ③又DO →＝－OD →， ④ 将②、③、④代入①可得： AE →＝(OD →－OA →)－OD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12OA →＋12OB →＋12OD →＝－32OA →＋12OB →＋12OD →，∴AE →＝－32OA →＋12OB →＋12OD →.寻找到以欲表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的.但需知，无论哪一种途径，结果应是唯一的.如下图所示，在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，设AB →＝a ，AD →＝b, AA ′→＝c ，E 和F分别是AD ′和BD 的中点，用向量a ，b ，c 表示D ′B →，EF →.解：D ′B →＝D ′A ′→＋A ′B ′→＋B ′B →＝－b ＋a －c .EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝12D ′A →＋a ＋12BD →＝12(－b －c )＋a ＋12(－a ＋b )＝12(a －c )．类型二 空间向量的共线问题【例2】 如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．【解】 因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，以上两式相加得CE →＝2MN →，所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a ＝λb 成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a ＝λb ，从而得出a ∥b .如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →.∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25(a －23b －c )．又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线．类型三 空间向量的共面问题【例3】 已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．【解】 (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)＝BM →＋CM →，∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．1证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明.2向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面向量的起点、终点共面.已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面． (2)BD ∥平面EFGH .证明：如下图，连接EG ，BG .(1)因为EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .1．下列命题中正确的是( C )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb解析：A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ.2．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( A ) A ．共面 B ．不共面 C ．共线D ．无法确定解析：a ＋b 与a －b 不共线，则它们共面．3．设O ­ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( A )A ．(14，14，14)B ．(34，34，34)C ．(13，13，13)D ．(23，23，23)解析：因为OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34OA →＋34×23[12(AB →＋AC →)]＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝14OA →＋14OB →＋14OC →，而OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝14，y ＝14，z ＝14.4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A 、B 、C 共面，则λ＝2.解析：M 与A 、B 、C 共面，则OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，其中x ＋y ＋z ＝1，结合题目有－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.5．如下图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．证明：EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B →＝12B 1C →－A 1B →.由向量共面的充要条件知，A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．。

《空间向量的数乘运算》导学案制作人王维审核高二数学组 2016-02-27【学习目标】1、了解空间向量的数乘运算、共线向量定理及推论、共面向量定理及推论.；2、运用类比的思想，类比平面向量的数乘运算学习空间向量的数乘运算；3、培养类比联想的探究意识和能力.【学习重点】间向量的数乘运算、共线向量定理及推论.【学习难点】利用空间向量的数乘运算解决有关问题.【预习导航】1、复习回顾：平面向量的数乘运算2、如何进行空间向量的数乘运算？【问题探究】探究活动一：空间向量的数乘运算探究活动二：何谓共面向量？探究活动三：对于不共线的三点A、B、C与平面ABC外的一点O，空间一点P满足OCzOByOAxOP++=,请问点P在平面ABC内的充要条件是什么？【思考】如何运用空间向量的数乘运算处理有关问题？【应用训练】1、若对任一点O和不共线的三点A，B，C，有OCzOByOAxOP++=，由则1=++zyx是四点P，A，B，C 共面的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2、 已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外的一点O ，作射线OA ， OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E，F ，G ，H ，并且使k OD OHOC OG OB OF OA OE ====，求证：E，F ，G ，H四点共面.【练习题】1、下列命题中正确的个数是( ) ① 若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与 c 共线；② 向量 、、共面，即它们所在的直线共面；③ 若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使 a ＝λb .A ．1B ．2C ．3D ．02、下列说法正确的是（ ） A.在平面内共线的向量在空间不一定共线B.在空间共线的向量在平面内不一定共线C.在平面内共线的向量在空间一定不共线D.在空间共线的向量在平面内一定共线3.下列说法正确的是（ ） A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面 4、已知A 、B 、P 三点共线，O 为空间任一点，β+=31，试求实数β的值.【总结概括】 本节课的收获：【分层作业】 必做题：教材第89页 习题 第2,3题 选做题：同步练习册课后作业提升习题。

空间向量的数乘运算教案一、教学目标：1.知识与技能：理解空间向量的数乘运算，掌握相关公式和概念。

2.过程与方法：通过讲解、示例和练习的方式，引导学生深入理解空间向量的数乘运算。

3.情感态度价值观：培养学生对数乘运算的兴趣，认识到数乘运算在计算中的重要性。

二、教学重难点：1.重点：空间向量的数乘运算的概念和性质。

2.难点：空间向量的数乘运算与其他运算的联系和差异。

三、教学过程：Step 1 引入知识：通过提问和示例引出空间向量的数乘运算。

本节课我们将学习空间向量的一个重要运算--数乘运算。

首先回顾一下空间向量的概念：空间向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。

那么，在空间中，我们能不能给向量乘以一个数呢？Step 2 讲解概念及性质：1.空间向量的数乘：给定一个向量a和一个实数k，我们称ka 为向量a的数乘。

数乘的结果是一个新的向量，它的大小等于原向量的大小乘以实数k，方向与原向量相同或相反，具体取决于k的正负。

2.数乘运算的性质：空间向量的数乘运算具有以下性质：（1）数乘的封闭性：给定任意向量a和实数k，ka仍然是一个向量；（2）交换律：ka = ak；（3）结合律：(k1k2)a = k1(k2a) = k2(k1a)；（4）分配律：(k1+k2)a = k1a + k2a。

Step 3 解题实例：例1：已知向量a(1,2,-1)，求2a、(-3)a。

解答：2a = 2(1,2,-1) = (2,4,-2)；(-3)a = -3(1,2,-1) = (-3,-6,3)。

例2：已知向量a(3,0,2)，向量b(1,1,-1)，求4a + 2b。

解答：4a + 2b = 4(3,0,2) + 2(1,1,-1) = (12,0,8) + (2,2,-2) = (14,2,6)。

Step 4 练习训练：1.已知向量a(2,1,-3)，求-3a。

2.已知向量a(0,4,-1)，向量b(1,0,2)，求3a - 2b。

四川省富顺县第三中学高二学案：3.1.2 空间向量的数乘运算（一）【学习目标】1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．【重点难点】重点共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；难点用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题【导学过程】一、自主学习（预习教材P86~ P87，找出疑惑之处）复习1：化简：⑴ 5（32b a-）；-）+4（23a b⑵()()-+--+-.63a b c a b c复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量,a b，若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是二、小组合作探究任务一：空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？新知：空间向量的共线：1. 如果表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.2. 空间向量共线：定理：对空间任意两个向量,a b（0a b的充要条件是存在唯一实数λ，使得b≠），//推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是班级 小组 姓名试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+()3CD a b =-，求证: A,B,C 三点共线.反思：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠，注意零向量与任何向量共线.三、知识整合例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+，且x +y ＝1，试判断A,B,P 三点是否共线？变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12OP OA tOB =+，那么t ＝例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG .变式1：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式： ⑴ 'AA CB - ;⑵ '''''AB B C C D ++⑶ '111222AD AB A A +-变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得： ⑴22OP OA AB AC =++⑵32OQ OA AB AC =--⑶32OR OA AB AC =+-⑷23OS OA AB AC =+-.小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.四、课堂训练1. 下列说法正确的是（ ）A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；C. 任意两个共线向量相等；D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=.2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++，0a ≠，若//a b ，求实数.x五、课外拓展训练1. 下列说法正确的是（ ）A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线B. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D.若向量a 与b 共线，则a b λ=2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面'''A B C D 的中心，若''BB xAD yAB zAA =++,则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP OA + OB .4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D 的交点,则'1()3AB AD AA ++= AO5. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 交点，若',,AB a AD b AA c ===，则与'B M 相等的向量是（ ）A. 1122a b c -++；B. 1122a b c ++；C. 1122a b c -+；D. 1122a b c --+.。

3.1.2空间向量的数乘运算（1）一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。

在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。

教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。

进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。

二、教学目标：1、知识与技能：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法2、过程与方法：理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．3、情感、态度与价值观：理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学应用意识。

三、教学重点：空间向量数乘运算及运算律．四、教学难点：运用共线向量定理和共面向量定理及其推论证明空间向量的共线和共面的问题五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择：六、教学方法：七、教学过程1、自主导学：2、合作探究复习引入（1）. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a 是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.称平面向量共线定理，新课讲授（1）.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作a //b．（2）．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a、b （b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.理解：1）上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a≠0），则有b ＝λa，其中λ是唯一确定的实数。

四川省富顺县第三中学高二学案：3.1.11空间向量及其运算【学习目标】1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．【重点难点】重点会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；难点能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．【导学过程】一、自主学习（预习教材P84~ P86，找出疑惑之处）复习1：平面向量基本概念：具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记作；叫单位向量. 叫相反向量a的相反向量记作 . 叫相等向量.向量的表示方法有，，和共三种方法. 复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.2. 实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝ .(2)当λ＞0时，λa与a；当λ＜0时，λa与a；当λ＝0时，λa＝.3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb二、小组合作探究任务一：空间向量的相关概念问题：什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如下图中，OB=，AB=，班级 小组 姓名 试试：1.分别用平行四边形法则和三角形法则求.2. 点C 在线段AB 上，且52AC CB =,则AC = AB , BC = AB . 反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 三、知识整合例1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：AB BC +⑴；'AB AD AA ++⑵；1'2AB AD CC ++⑶1(')2AB AD AA ++⑷．变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',ACBD 和'DB .,.a b a b +-a b小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例2 化简下列各式：⑴ AB BC CA ++; ⑵;AB MB BO OM +++ ⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC --.变式：化简下列各式： （1）OA OC BO CO +++; （2） AB AD DC --;（3） NQ QP MN MP ++-.小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.练1. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -, M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列表达式： ⑴ 111AA A B +;⑵ 11111122A B A D +;⑶ 111111122AA A B A D ++⑷ 1111AB BC CC C A A A ++++.四、课堂训练1. 下列说法中正确的是（ ）A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同;B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=.2. 长方体''''ABCD A B C D -中，化简'''''AA AB AD++= 3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）A. 00a b =B. 00a b =或00a b =-C. 01a =D. ∣0a ∣=∣0b ∣4. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+,则四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形5. 下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量五、课外拓展训练1. 在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N 分别为BC ,B'C'的中点，化简下列式子： ⑴ AM + BN ⑵'A N －'MC + 'BB2. 如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 为AC 与的BD 的交点，AB a =，AD b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的是（ ）A. 1122a b c -++B. 1122a b c ++C. 1122a b c -+D. 1122a b c --+。

四川省富顺县第三中学高二学案：3.1.3．空间向量的数量积（1）【学习目标】1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．【重点难点】重点空间向量夹角和模的概念及表示方法和两个向量的数量积的计算方法；难点利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．【导学过程】一、自主学习（预习教材P 90~ P 92，找出疑惑之处） 复习1：什么是平面向量a r 与b r 的数量积？复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC 中，求AB BC •u u u r u u u r .二、小组合作探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？新知： 1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量,a b r r ，在空间 一点O ，作,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ，则AOB ∠叫做向量a r 与b r 的夹角，记作 .试试： ⑴ 范围: ,a b ≤<>≤r r ,a b 〈〉r r =0时,a b r r 与 ;,a b 〈〉r r =π时,a b r r 与 ⑵ ,,a b b a <>=<>r r r r 成立吗？⑶,a b <>=r r ，则称a r 与b r 互相垂直，记作 .2) 向量的数量积： 已知向量,a b r r ，则 叫做,a b r r 的数量积，记作a b ⋅r r ，即a b ⋅=r r .规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思：⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？ ⑵ 0a •=r r （选0还是0r ） ⑶ 你能说出a b ⋅r r 的几何意义吗？3) 空间向量数量积的性质： （1）设单位向量e r ，则||cos ,a e a a e ⋅=<>r r r r r ． （2）a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ．（3）a a ⋅=r r ＝ .班级 小组 姓名4) 空间向量数量积运算律： （1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ．（2）a b b a ⋅=⋅r r r r （交换律）． （3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅r r r r r r r （分配律）反思： ⑴)()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r （ 成立吗？举例说明.⑵ 若a b a c ⋅=⋅r r r r ，则b c =r r 成立吗？举例说明.⑶ 若0a b ⋅=r r ，则00a b ==r r r r 或成立吗？为什么？三、知识整合例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式1：用向量方法证明：已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥.求证：l α⊥．例2 如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，23BD =，3CD =，30ABD ∠=o ，60ABC ∠=o ，求AB 与CD 的夹角的余弦值D变式：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB =2BB 1, 则AB 1与C 1B 所成的角为（ ） A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°例3 如图，在平行四边形ABCD-A 1B 1C 1D 1中4,3AB AD ==,'5AA =,90BAD ∠=︒,'BAA ∠= 'DAA ∠=60°,求'AC 的长.四、课堂训练 1. 已知向量,a b u u r u u r 满足1a =r ，2b =r ，3a b +=r r ，则a b -=r r _ ___.2. 222,,22a b a b ==⋅=-r r r r 已知, 则a b r r 与的夹角大小为__ ___. 3. 已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥.4. 已知线段AB 、BD 在平面α内,BD ⊥AB , 线段AC α⊥,如果AB ＝a ,BD ＝b ,AC ＝c ,求C 、D 间的D A B C距离.※ 学习小结1..向量的数量积的定义和几何意义.2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法.五、课外拓展训练1. 下列命题中： ①若0a b •=r r ，则a r ，b r 中至少一个为0r ②若a r 0≠r 且a b a c •=•r r r r ，则b c =r r ③()()a b c a b c ••=••r r r r r r ④22(32)(32)94a b a b a b +•-=-r r r r r r正确有个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 已知1e u r 和2e u u r 是两个单位向量，夹角为3π，则下面向量中与212e e -u u r u r 垂直的是（ ） A. 12e e +u r u u r B. 12e e -u r u u r C. 1e u r D. 2e u u r3.已知ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边为,,a b c ，且3,1a b ==,30C ∠=︒,则BC CA •u u u r u u u r =4. 已知4a =r ，2b =r ，且a r 和b r 不共线，当 a b λ+r r 与a b λ-r r 的夹角是锐角时，λ的取值范围是 .5. 已知向量,a b u u r u u r 满足4a =r ，2b =r ，3a b -=r r ，则a b +=r r __ __。