七年级数学北师大版第一章1.5平方差公式教学设计Microsoft Word 文档

北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》说课稿1一. 教材分析《平方差公式》是北师大版数学七年级下册第1章第5节的内容。

这一节主要介绍平方差公式的概念、推导过程及其应用。

平方差公式是初等数学中的一个重要公式，它不仅在代数学习中占有重要地位，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用。

本节课的内容为后续学习完全平方公式、二次方程等知识打下基础。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数的乘法运算，对因式分解有一定的了解。

但是，对于平方差公式的推导过程和应用，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，引导他们通过观察、分析、归纳等方法，自主探索并掌握平方差公式。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平方差公式的概念和推导过程，能够运用平方差公式进行简单的计算和问题求解。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生自主探索和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于挑战、积极进取的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程和应用。

2.教学难点：平方差公式的推导过程，以及如何运用平方差公式解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、启发式教学法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索平方差公式。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合几何画板等软件，直观展示平方差公式的推导过程。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对平方差公式的思考，激发他们的学习兴趣。

2.自主探索：引导学生观察、分析实际问题，鼓励他们尝试用自己的方法解决。

3.小组讨论：学生分组讨论，分享各自的方法和思路，互相学习，共同进步。

4.讲解与示范：教师对学生的方法进行点评，并进行平方差公式的讲解和示范。

5.练习与反馈：学生进行课堂练习，教师及时给予反馈，巩固所学知识。

6.拓展与应用：引导学生运用平方差公式解决实际问题，提高他们的应用能力。

第一章整式的乘除5 平方差公式（第2课时）陕西省榆林市第五中学王建江学生起点分析学生的知识技能基础：学生通过上一节课的学习，已经经历了探索和推导平方差公式的过程，并能运用公式进行简单的计算，同时前面有理数运算、整式运算等基础知识以及基本技能的学习，为本节课的学习奠定了知识技能基础.学生活动经验基础：学生在前面的学习中，已经经历了探索和应用平方差公式的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力，具有了一定自主探究意识以及与同伴合作交流的能力.前期数形结合思想的渗透，为本节课的探究活动做好了知识、经验准备.一、教学任务分析学生在上节课经历了平方差公式的探索和推导过程，并能够运用平方差公式进行简单计算.在此基础上，教材提出本节课的学习任务，是对上一节课平方差公式的进一步巩固，并拓展到有关数的简便运算当中去.本节课又通过拼图游戏，对平方差公式进行几何意义解释，目的是使学生对平方差公式有一个直观的认识，进一步体会数形结合的数学思想.本节课的教学目标是：1.知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并会运用所学的知识，进行简单的混合运算.2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，通过探索规律，归纳出利用平方差公式，解决数字运算问题的方法，培养学生观察、归纳、应用能力.3.情感与态度：了解平方差公式的几何背景，培养学生的数形结合意识.在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.三、教学过程设计基于对教材以及教学任务的分析，本节课设计了五个教学环节：复习旧知、引入新课；创设情境、探究结论；观察思考、拓展延伸；典例分析、巩固提高；当堂达标、自我检测；课堂小结、布置作业.第一环节 复习旧知、引入新课活动内容：回顾上节课平方差公式平方差公式：（a +b ）（a -b ）=a 2-b 21.公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差.2．应用平方差公式的注意事项：1）注意平方差公式的适用范围2）字母a 、b 可以是数，也可以是整式3）注意计算过程中的符号和括号实际教学效果：采用组内督查，提问反馈的形式进行复习，做好知识准备，匹配相应的练习题，从而为本节课平方差公式的应用做好准备.第二环节 创设情境、探究结论活动内容：如图1-3，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形.（1）请表示图1-3中阴影部分的面积小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图1-4），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？实际教学效果：为了引领学生思路，教材采用问题串形式，逐层深入，问题提出后，学生能够主动地去寻找解决问题的方法，根据图形的拼接原理，利用阴图1-3 图1-4影部分面积相等的思想，得到等量关系，进而化简得到平方差公式，情境的设计，为平方差公式赋予几何背景，渗透数形结合的思想，进一步验证平方差公式存在的合理性.第三环节观察思考、拓展延伸活动内容：（1）计算下列各组算式，并观察它们的共同特点7×9= 11×13= 79×81=8×8= 12×12= 80×80=（2）从以上过程中，你发现了什么规律？（3）请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？实际教学效果：学生能够利用小学时已有的数的计算经验，得到两个算式值差1的规律，并利用字母表示数的知识，将这一发现进行符号表示，进而再利用上节课平方差公式的知识，对猜想进行证明，从而体会到平方差公式在数的计算中的简便性.整个环节循序渐进，符合学生的认知规律.并进一步认识两数积的新算法。

北师大版七下数学1.5平方差公式（1）教案一. 教材分析平方差公式是初中数学中的一个重要概念，对于学生理解代数的基本性质和解决实际问题具有重要意义。

北师大版七下数学1.5平方差公式（1）教案以平方差公式为主题，通过引导学生探究、发现和总结平方差公式的规律，让学生在理解的基础上掌握并应用平方差公式。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘方、完全平方公式等基础知识，具备一定的代数运算能力。

但平方差公式与完全平方公式相似，学生容易混淆。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，引导学生区分平方差公式与完全平方公式的异同，帮助学生更好地理解和掌握平方差公式。

三. 教学目标1.让学生理解平方差公式的概念，掌握平方差公式的运用。

2.培养学生运用平方差公式解决实际问题的能力。

3.提高学生分析问题、解决问题的能力。

四. 教学重难点1.掌握平方差公式的推导过程。

2.理解平方差公式与完全平方公式的区别与联系。

3.运用平方差公式解决实际问题。

五. 教学方法1.启发式教学：教师通过提问、引导学生思考，激发学生的学习兴趣，提高学生的思维能力。

2.案例分析法：教师通过列举实例，让学生在实际问题中感受平方差公式的应用，培养学生的解决问题的能力。

3.小组合作学习：教师学生进行小组讨论，让学生在合作中学习，提高学生的沟通能力和团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关案例和实际问题，用于引导学生运用平方差公式解决实际问题。

2.准备课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问，引导学生回顾完全平方公式，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师展示平方差公式的定义和推导过程，让学生初步了解平方差公式。

3.操练（10分钟）教师给出几个简单的例子，让学生运用平方差公式进行计算，巩固学生对平方差公式的掌握。

4.巩固（10分钟）教师设计一些练习题，让学生独立完成，检测学生对平方差公式的理解程度。

2024北师大版数学七年级下册1.5.1《平方差公式》教案1一. 教材分析《平方差公式》是北师大版数学七年级下册第1章第5节的内容，本节课主要让学生掌握平方差公式的推导过程和应用。

平方差公式是初中学历阶段非常重要的一个公式，它不仅在数学计算中有着广泛的应用，而且为学生以后学习更高深的数学知识打下基础。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的代数基础，对因式分解、有理数运算等概念有一定的了解。

但学生在学习新知识时，往往还依赖于死记硬背，对于公式的推导和证明过程缺乏理解。

因此，在教学过程中，需要引导学生主动探索，理解平方差公式的推导过程，提高学生的逻辑思维能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平方差公式的推导过程，理解并熟练运用平方差公式进行计算。

2.过程与方法目标：通过合作交流、探究学习，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。

四. 教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程和运用。

2.教学难点：平方差公式的灵活运用，以及理解公式背后的数学思想。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、探究学习法等，引导学生主动探索，提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。

2.学具准备：笔记本、笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中的一些实际问题，引导学生思考如何用数学知识解决这些问题。

例如，一块正方形的土地，如果每边减少3米，新的土地面积是多少？让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）引导学生列出正方形土地面积的计算公式，然后展示平方差公式的推导过程。

通过示例，让学生理解平方差公式的含义，并学会如何运用。

3.操练（10分钟）让学生独立完成一些关于平方差公式的练习题，巩固所学知识。

教师及时给予解答和指导，帮助学生掌握平方差公式的运用。

北师大版七下数学1.5平方差公式（1）教学设计一. 教材分析北师大版七下数学1.5平方差公式是本节课的主要内容。

平方差公式是代数中的一个重要公式，它反映了两个数的平方差与这两个数的关系。

本节课通过平方差公式的学习，让学生了解并掌握公式的推导过程及其应用，为后续学习完全平方公式和二次方程打下基础。

二. 学情分析学生在六年级已经学习了有理数的乘方，对平方运算有了初步的认识。

但他们对平方差公式的推导过程及应用还不够了解。

因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，引导他们通过观察、分析、归纳等方法，发现并掌握平方差公式。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握平方差公式，并能灵活运用公式进行计算。

2.过程与方法：培养学生观察、分析、归纳的能力，提高他们解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程及其应用。

2.教学难点：平方差公式的灵活运用，解决实际问题。

五. 教学方法采用启发式教学法、小组合作学习法和案例教学法。

通过引导学生观察、分析、归纳，培养学生独立思考、合作学习的能力。

同时，结合具体案例，让学生在实际应用中掌握平方差公式。

六. 教学准备1.准备平方差公式的课件和教学素材。

2.准备练习题和拓展题，以便学生在课堂上进行操练和巩固。

3.准备黑板和粉笔，以便在课堂上进行板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“小明买了一本书，原价是25元，书店搞活动满50元减10元。

小明最后实付了35元，他实际上节省了多少钱？”让学生思考并解答这个问题，从而引出平方差公式。

2.呈现（10分钟）教师展示平方差公式的推导过程，引导学生观察、分析并归纳出公式。

例如，通过计算（a+b）（a-b）和（a-b）（a+b），让学生发现它们的差是a2-b2，从而得出平方差公式。

3.操练（10分钟）教师发放练习题，让学生独立完成。

1.5 平方差公式(二)●教学目标(一)教学知识点1.了解平方差公式的几何背景.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.体会符号运算对证明猜想的作用.(二)能力训练要求1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感与价值观要求1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.●教学重点平方差公式的几何解释和广泛的应用.●教学难点准确地运用平方差公式进行简单运算，培养根本的运算技能.●教学方法启发——探究相结合●教具准备一块大正方形纸板，剪刀.投影片四张第一张：想一想，记作(§1.5.2 A)第二张：例3，记作(§1.5.2 B)第三张：例4，记作(§1.5.2 C)第四张：补充练习，记作(§ D)●教学过程Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.这个正方形的面积是多少？［生］a2.［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影局部)，你能表示出阴影局部的面积吗？图1－23［生］剪去一个边长为b的小正方形，余以以下列图形的面积，即阴影局部的面积为(a2－b2).［师］你能用阴影局部的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)［生］老师，我们拼出来啦.［师］讲给大伙听一听.［生］我是把剩下的图形(即上图阴影局部)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影局部)，它的长和宽分别为(a+b),(a－b),面积为(a+b)(a－b).图1－24［师］比较上面两个图形中阴影局部的面积，你发现了什么？［生］这两局部面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法那么验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇〞的作用.Ⅱ.讲授新课［师］出示投影片(§1.5.2 A)想一想：(1)计算以下各组算式，并观察它们的特点⎩⎨⎧=⨯=⨯8897 ⎩⎨⎧=⨯=⨯12121311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯80808179 (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？［生］(1)中算式算出来的结果如下⎩⎨⎧=⨯=⨯64886397 ⎩⎨⎧=⨯=⨯14412121431311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯6400808063998179 ［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？［生］我猜想是.我又找了几个例子如：⎩⎨⎧=⨯=⨯422331 ⎩⎨⎧=⨯=⨯10000100100999910199 ⎩⎨⎧=⨯=⨯62525256242624 ［师］你能用字母表示这一规律吗？［生］设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a －1,a+1,那么有(a+1)(a －1)=a 2－1.［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.［生］可是，我有一个疑问，a 必须是一个自然数，还必须大于2吗？(同学们惊讶，然后讨论)［生］a 可以代表任意一个数.［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡.［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？(陷入沉思)［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899.［师］确实如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工〞的方法，太好了.我们不妨再做几个类似的练习.出示投影片(§1.5.2 B)［例3］用平方差公式计算：(1)103×97 (2)118×122［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的微妙.［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991.太简便了！［生］我观察也发现了第(2)题的“微妙〞.118=120－2,122=120+2118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396.［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.［师］我们再来看一个例题(出示投影片§1.5.2 C).［例4］计算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3).分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)=(2x)2－52－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25注意：在(2)小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.［例5］公式的逆用(1)(x+y)2－(x －y)2 (2)252－242分析：逆用平方差公式可以使运算简便.解：(1)(x+y)2－(x －y)2=［(x+y)+(x －y)］［(x+y)－(x －y)］=2x ·2y=4xy(2)252－242=(25+24)(25－24)=49Ⅲ.随堂练习1.(课本P 22)计算(1)704×696(2)(x+2y)(x －2y)+(x+1)(x －1)(3)x(x －1)－(x －31)(x+31)(可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠)解：(1)704×696=(700+4)(700－4)=490000－16=489984(2)(x+2y)(x －2y)+(x+1)(x －1)=(x 2－4y 2)+(x 2－1)=x 2－4y 2+x 2－1=2x 2－4y 2－1(3)x(x －1)－(x －31)(x+31)=(x 2－x)－［x 2－(31)2］=x 2－x －x 2+91=91－x2.(补充练习)出示投影片(§1.5.2 D)解方程：(2x+1)(2x －1)+3(x+2)(x －2)=(7x+1)(x －1)(先由学生试着完成)解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)(2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－14x2－1+3x2－12=7x2－6x－16x=12 x=2Ⅳ.课时小结［师］同学们这节课一定有不少体会和收获.［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.［生］平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇.a(a+1)－(a+b)(a－b)一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a－b),算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了.……Ⅴ.课后作业课本习题1.10.Ⅵ.活动与探究计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1.［过程］先做乘方运算，再做减法，那么计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式.［结果］原式=(19902－19892)+(19882－19872)+…+(22－1)=(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)=1990+1989+1988+1987+…+2+1=2)11990(1990+⨯=1981045●板书设计§1.5.2 平方差公式(二) 一、平方差公式的几何解释：二、想一想特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明即(a+1)(a －1)=a 2－1三、例题讲解：例3 例4四、练习●备课资料参考练习(1)在以下多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是( )A.(－a －b)(a －b)B.(c 2－d 2)(d 2+c 2)C.(x 3－y 3)(x 3+y 3)D.(m －n)(－m+n)(2)用平方差公式计算(x －1)(x+1)(x 2+1)结果正确的选项是( )A.x 4－1B.x 4+1C.(x －1)4D.(x+1)4 (3)以下各式中，结果是a 2－36b 2的是( )A.(－6b+a)(－6b －a)B.(－6b+a)(6b －a)C.(a+4b)(a －4b)D.(－6b －a)(6b －a)(4)(5x+3y )·( )=25x 2－9y 2xyy 2x 2(6)(－23x －11y)( )=－49x 2+121y 2(7)假设(－7m+A)(4n+B)=16n 2－49m 2,那么A= ，B= .(8)(2x 2+3y)(3y －2x 2).(9)(p －5)(p －2)(p+2)(p+5).(10)(x 2y+4)(x 2y －4)－(x 2y +2)·(x 2y －3).(11)(上海市中考题)x 2－2x=2,将下式先化简，再求值(x －1)2+(x+3)(x －3)+(x －3)(x －1)(12)(北京市中考)观察以下顺序排列的等式：9×0+1=19×1+2=119×2+3=219×3+4=319×4+5=41……猜想：第n个等式(n为正整数)应为 .答案：1.(1)D (2)A (3)D2.(4)(5x－3yxy)3x－11y) (7)A=4n,B=7m(6)(23.(8)9y2－4x4 (9)p4－29p2+100(10)x2y－104.(11)原式=3(x2－2x)－5=3×2－5=15.(12)9×(n－1)+n=(n－1)×10+1(n为正整数).字母表示数【学习目标】课标要求：1.能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计算公式。

2024年北师大版七下数学1.5平方差公式第1课时平方差公式的认识教学设计一. 教材分析平方差公式是初中数学中的重要内容，对于学生来说，掌握平方差公式对于理解和掌握后续的代数知识有着重要的意义。

本节课的内容是在学生已经掌握了有理数的乘法、平方的知识基础上进行讲解的，通过平方差公式的学习，使学生能够掌握两个数的平方差可以表示为它们的和与差的乘积的两倍，并能够运用平方差公式解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法、平方的知识，对于新的知识有一定的接受能力。

但部分学生在理解上可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，引导他们理解和掌握平方差公式。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握平方差公式，能够运用平方差公式解决实际问题。

2.过程与方法：通过小组合作、探究的学习方式，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：平方差公式的理解和运用。

2.难点：理解平方差公式的推导过程和背后的数学思想。

五. 教学方法采用问题驱动法、小组合作学习法、引导发现法等，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。

2.准备平方差公式的推导过程的动画或视频。

3.准备一些实际问题，用于引导学生运用平方差公式解决。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用问题驱动法，引导学生回顾有理数的乘法和平方的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）利用课件呈现平方差公式，引导学生观察和思考，引导学生发现平方差公式的规律。

3.操练（10分钟）利用平方差公式的推导过程的动画或视频，引导学生直观地理解平方差公式的推导过程，使学生能够理解和掌握平方差公式。

4.巩固（10分钟）设计一些练习题，让学生运用平方差公式进行计算，巩固所学知识。

北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》教学设计一. 教材分析北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》是学生在学习了有理数的乘法、完全平方公式的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是平方差公式的探究和应用。

平方差公式是代数学习中一个重要的公式，它不仅在解决数学问题中有着广泛的应用，而且也为学生今后学习多项式乘法、因式分解等知识奠定了基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式的知识，具备了一定的代数基础。

但学生对于公式的探究和推导过程可能还不够熟悉，因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、猜想、验证等方法，积极主动地参与到平方差公式的探究过程中来。

三. 教学目标1.让学生掌握平方差公式及其应用。

2.培养学生观察、猜想、验证的数学思维能力。

3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。

四. 教学重难点1.重难点：平方差公式的探究和应用。

2.难点：平方差公式的推导过程和灵活运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法、讲解法等教学方法，引导学生积极主动地参与到学习过程中来。

六. 教学准备1.教师准备：平方差公式的相关知识、教学课件、练习题等。

2.学生准备：预习平方差公式的相关知识，准备进行课堂讨论和练习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾有理数的乘法、完全平方公式的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过课件展示平方差公式，引导学生观察、猜想公式的规律，并学生进行验证。

3.操练（10分钟）教师给出一些具体的例子，让学生运用平方差公式进行计算，巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，总结平方差公式的应用，并解决一些实际问题。

5.拓展（10分钟）教师引导学生运用平方差公式进行一些拓展练习，提高学生的应用能力。

6.小结（5分钟）教师学生进行课堂小结，回顾本节课所学内容，总结学习方法。

7.家庭作业（5分钟）教师布置一些有关平方差公式的练习题，让学生课后进行巩固。

1.5 平方差公式教学设计为了落实劳动教育，某班主任先把清洁区分成一块块边长为a米的正方形，然后再平均分给每一个值日组的同学.下面有两位值日组同学的对话是这样的......教师引导学生回答：变化前的面积：a2平方米；变化后的面积：(a+5)(a-5)平方米；变化前后的面积相等吗？减掉的面积：5a平方米；补上的面积：5(a-5)=(5a-52)平方米；少了25平方米的面积都去哪儿了？(a+5)(a-5)= a2-52把上式中的5改为b(b＜a)，等式还成立吗？学生们大胆提出猜想: (a+b)(a-b)=a2-b2教师提问：牛顿曾说没有猜想就没有伟大的发现，有学生通过填表活动，帮助其深化理解平方差公式的结构特点，并能准确找出平方差公式中的相同项a，和符号相反项b，进而确定最终结果.表格中有5组题目，第1组题目是对平方差公式的直接应用，后面四组题分别从符号变化，位置变化，系数变化和指数变化层面对平方差公式的应用情景进行变式，但万变不离其宗，应用平方差公式的关键仍是识别相同项a，和符号相反项b，并用相同项的平方减去相反项的平方.教师追问4：(a+b)(-a－b)能用平方差公式计算吗？(a+b)(-a－b)不能利用平方差公式，因为其不具备平方差公式的结构特点，只有符号相反项，没有相同项，因为应用平方差公式前首先要识别其是否具备平方差公式的结构特点，具备才可以用，不具备只能按照多项式乘多项式的运算法则进行运算.接下来学生通过做下面一组判断题，进一步深化对平方差公式结构特征的理解.通过板书，展示应用平方差公式计算时的过程步骤.巩固提高：运用平方差公式计算.(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ;(2) (b+2a)(2a－b);(3) (-x+2y)(-x-2y);(4)（a-2)(a+2)(a2 +4).问题2：结合刚刚我们做的题目，你认为在运用平方差公式的过程中应注意什么细节问题才能避免出错？老师引导学生总结做题过程中的的易错点，培养学生归纳总结反思的能力,提高学生的学习主动性和成就感.通过几何图形的剪切与拼接揭示平方差公式，了解平方差公式的几何背景，进而感受数形结合思想.。

北师大版七年级下册5平方差公式第一章：1.5平方差公式课
程设计
一、教学目标
本节课的教学目标如下：
1.了解平方差公式的概念和公式表达方式；
2.能够应用平方差公式解决简单的算术问题；
3.培养学生的运算能力和思维逻辑能力。

二、教学重点
1.平方差公式的概念和公式表达方式；
2.平方差公式的应用。

三、教学难点
平方差公式的应用，例如：应用平方差公式求解边长为a和b的直角三角形的斜边长。

四、教学过程
4.1 引入
通过举例子来引入平方差公式的概念，例如：如果要计算(5+3)*(5-3)，我们该怎么做？
4.2 发现规律
在引入过程中，引导学生进行思考和类比，引导学生发现下面的规律：•(a+b)*(a-b) = a2-b2
这就是著名的平方差公式。

4.3 讲解与应用
讲解平方差公式的公式表达方式和应用方法，并应用在简单的算术问题中。

4.4 练习
通过练习强化学生对平方差公式的掌握情况。

4.5 拓展练习
通过拓展练习，提高学生的运算能力和思维逻辑能力。

五、教学效果评估
通过学生课堂表现、练习、考试等方式，全面评估学生对本节课的掌握情况。

六、教学总结
在本节课中，我们学习了平方差公式的概念和应用，通过引导学生发现规律和练习等方式，提高了学生的运算能力和思维逻辑能力。

希望同学们在日后的学习中能够继续努力，取得更好的成绩。

平方差公式1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解；(重点)2．掌握平方差公式的应用．(重点)一、情境导入1．教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则．学生积极举手回答．多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．2．教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式．二、合作探究探究点：平方差公式 【类型一】 直接运用平方差公式进行计算 利用平方差公式计算： (1)(3x －5)(3x ＋5)；(2)(－2a －b )(b －2a )；(3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )；(4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)．解析：直接利用平方差公式进行计算即可．解：(1)(3x －5)(3x ＋5)＝(3x )2－52＝9x 2－25；(2)(－2a －b )(b －2a )＝(－2a )2－b 2＝4a 2－b 2；(3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )＝(－7m )2－(8n )2＝49m 2－64n 2；(4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16.方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型二】 利用平方差公式进行简便运算利用平方差公式计算：(1)2013×1923； (2)13.2×12.8. 解析：(1)把2013×1923写成(20＋13)×(20－13)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝202－(13)2＝400－19＝39989； (2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96.方法总结：熟记平方差公式的结构是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第12题【类型三】 化简求值先化简，再求值：(2x －y )(y ＋2x )－(2y ＋x )(2y －x )，其中x ＝1，y ＝2.解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x 、y 的值代入进行计算即可得解．解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型四】平方差公式的几何背景如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________．解析：∵图①中阴影部分的面积是a2－b2，图②中梯形的面积是12(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型五】平方差公式的实际应用王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题三、板书设计1．平方差公式：两数和与这两数差的积等于它们的平方差．即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.2．平方差公式的应用学生通过“做一做”发现平方差公式，同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正确性．通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式．本节教学内容较多，因此教材中的练习可以让学生在课后完成。

1.5平方差公式教学目的进一步使学生理解掌握平方差公式，并通过小结使学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异．教学重点和难点：公式的应用及推广教学方法：讲练结合教学过程一、复习提问1．(1)用较简单的代数式表示下图纸片的面积．(2)沿直线裁一刀，将不规则的右图重新拼接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形的面积．这样裁开后才能重新拼成一个矩形．希望推出公式：2．(1)叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；(2)试比较公式的两种表达式在应用上的差异．说明：平方差公式的数学表达式在使用上有三个优点．(1)公式具体，易于理解；(2)公式的特征也表现得突出，易于初学的人“套用”；(3)形式简洁．但数学表达式中的a 与b有概括性及抽象性，这样也就造成对具体问题存在一个判定a、b的问题，否则容易对公式产生各种主观上的误解．依照公式的文字表达式可写出下面两个正确的式子：3．判断正误：(1)(4x+3b)(4x－3b)＝4x2－3b2；(×) (2)(4x+3b)(4x－3b)＝16x2－9；(×)(3)(4x+3b)(4x－3b)＝4x2+9b2；(×) (4)(4x+3b)(4x－3b)＝4x2－9b2；(×)二、新课例1 运用平方差公式计算：(1)102×98； (2)(y +2)(y －2)(y 2+4)．解：(1)102×98 (2)(y +2)(y －2)(y 2+4)＝(100+2)(100－2) ＝(y 2－4)(y 2+4)＝1002－22＝10000－4 ＝(y 2) 2－42＝y 4－16． ＝9996；2．运用平方差公式计算：(1)103×97；(2)(x +3)(x －3)(x 2+9)；(3)59.8×60.2；3．请每位同学自编两道能运用平方差公式计算的题目．例2 填空：(1)a 2－4＝(a +2)( )；(2)25－x 2＝(5－x )( )；(3)m 2－n 2＝( )( )； 思考题：什么样的二项式才能逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积？ (某两数平方差的二项式可逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积)三、随堂练习1．x 2－25＝( )( )；2．4m 2－49＝(2m －7)( )；3．a 4－m 4＝(a 2+m 2)( )＝(a 2+m 2)( )( )；四、小结1．什么是平方差公式？一般两个二项式相乘的积应是几项式？2．平方差公式中字母a 、b 可以是那些形式？3．怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？五、作业：P 32 1、2六、板书设计七、教学后记：。

整式的乘除1.5平方差公式1.5.1平方差公式（1） 【教学目标】 知识与技能会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算 过程与方法利用整式的乘法探索平方差公式，体会平方差公式的内涵。

情感、态度与价值观培养良好的计算能力，归纳概括能力，感受数学的美。

【教学重难点】重点：掌握平方差公式的特点，能熟练运用公式难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式 【导学过程】 【知识回顾】多项式乘多项式法则两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明。

【新知探究】 探究一、1、计算下列各题： （1）(x+2)(x －2) （2）(1+3a)(1－3a) （3）(x+5y)(x －5y) （4）(2y+z)(2y －z)以上习题都是求两数和与两数差的积，大家发现什么规律？ ①上面四个算式中每个因式都是 项.②它们都是两个数的 与 的 .(填“和”“差”“积”) 根据大家作出的结果，你能猜想（a+b ）（a －b ）的结果是多少吗？ 为了验证大家猜想的结果，我们再计算： （ a+b ）（a －b ）= = . 得出：()()=-+b a b a 。

其中a 、b 表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式，这个公式叫做整式乘法的 公式，用语言叙述为 。

2、计算：（1）(23)(32)x x -++ （2）(32)(23)b a a b +- （3）1111()()2323x y x y -+探究二、利用平方差公式计算： （1）(41)(41)a a ---+（2）(－mn+3)(－mn －3)注意：（1）公式的字母a b 、可以表示数，也可以表示单项式、多项式； （2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式 计算1、 (5m －n)(－5m －n)2、 (a+b)(a －b)(a2+b2)【知识梳理】 你有什么收获？ 【随堂练习】 1、判断（1）()()22422b a a b b a -=-+ （ ） （2）1211211212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+x x x （ ）（3）()()22933y x y x y x -=+-- （ ） （4）()()22422y x y x y x -=+---（ ） （5）()()6322-=-+a a a （ ） （6）()()933-=-+xy y x （ ）2、用平方差公式计算：（1）(3x+2)(3x-2) （ 2）（b+2a ）（2a-b ） （3）（-x+2y ）（-x-2y ） （4）（-m+n ）(m+n ）（5) (-0.3x +y )(y +0.3x ) （6) (-21a -b )(21a -b )。

1.5平方差公式教学目的1.知识与技能：会推导平方差公式，并会运用公式进行简单的计算与应用：2.过程与方法：通过推导平方差公式，加强符号感与推理能力；3.情感态度与价值观：经历平方差公式的学习过程，感受数学的简洁美，提升学习兴趣。

教学重点：公式的推导与及应用教学难点：公式使用条件的准确判别与应用教学过程一、复习引入计算：（1）(x+2)(x-2）（2）(1-3a)(1+3a)（3）(x+5y)(x-5y)（4）(2y+z)(2y-z)观察以上计算结果，你有什么发现？再举两例验证你的发现。

像这种两数之和与两数之差相乘的形式，我们称之为平方差，既然我们发现了计算结果具有特殊性，那么本节课我们就来学习平方差公式。

二、新知讲授1、叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；两数之和与这两数差的积，等于它们的平方差。

依照公式的文字表达式可写出下面两个正确的式子：注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等．2、几何表示：之前我们在探索整式的乘法法则时，都可以应用图形的面积对公式进行解释，那么平方差公式是否可以用几何图形的面积来解释呢？这样裁开后才能重新拼成一个矩形．推出公式：想一想：计算下列各式，并观察他们的共同特点：7×9=63 11×13=143 79×81=63998×8=64 12×12=144 80×80=6400从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？(a+b)(a−b)=a2−b2三、巩固练习例1 利用平方差公式计算：(1)（5+6x）（5-6x）(2)（x-2y）（x+2y）(3)（-m+n）（-m-n）解：（1）（5+6x）(5-6x) = 52-(6x)2=25-36x2（2）（x-2y）(x+2y) = x2-（2y）2=x2-（2y）2=x2-4y2（3）（-m+n）（-m-n）= （-m）2-n2=m2-n2例2 运用平方差公式计算：(1)1002×98； (2)(y+2)(y-2)(y2+4)．解：(1)102×98 (2)(y+2)(y-2)(y2+4)＝(100+2)(100-2) ＝(y2-4)(y2+4)＝1002-22＝10000-4 ＝(y2) 2-42＝y4-16．＝9996；2．运用平方差公式计算：(1)103×97；(2)(x+3)(x-3)(x2+9)；(3) 20162－2017×2015(4) (y+2)(y－2)–(y－1)(y+5)例2 填空：(1)a2-4＝(a+2)( )；(2)25-x2＝(5-x)( )；(3)m2-n2＝( )( )；三、随堂练习1．x2-25＝( )( )；2．4m2-49＝(2m-7)( )；3.a4-m4＝(a2+m2)( )＝(a2+m2)( )( )；4.a2（a+b）（a-b）+a2b25.（2x-5）(2x+5)-2x(2x+3)拓展练习：拓展：1.(x－y)(x+y)(x2+y2)；解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4；2.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是______．解析：A=(2+1)(22+1)(24+1)=[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)=[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)=[(24－1)(24+1)]÷(2－1)=(28－1)÷(2－1)=28－1．四、小结1．什么是平方差公式？一般两个二项式相乘的积应是几项式？2．平方差公式中字母a、b可以是那些形式？3．怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？五、作业：随堂练习、习题1.10六、板书设计平方差公式(2)复习引入三、作业二、新课讲解。