11.2复数及其运算,( 高三理科)

数学复数高考知识点总结一、复数的概念和表示方法1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。

1.2 复数的表示方法复数可以用直角坐标系和极坐标系表示。

在直角坐标系中，复数z=a+bi可以表示为有序数(a,b)，其中a为实部，b为虚部；在极坐标系中，复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。

1.3 复数的加减法复数的加减法与实数的加减法类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

1.4 复数的乘法复数的乘法可利用分配律和i²=-1进行计算，即(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。

1.5 复数的除法复数的除法需要将除数与被除数同时乘以共轭复数，然后利用分配律进行计算。

1.6 复数的共轭复数z=a+bi的共轭是z的实部不变，虚部取负数，即z的共轭为a-bi。

1.7 复数的模和幅角复数z=a+bi的模是z距离原点的长度，又可以表示为|z|=√(a²+b²)；复数z的幅角是z与正实轴之间的夹角，一般取在-π<θ≤π的区间内。

1.8 二次根式对于复数z=a+bi，其二次根式为±√z=±(√r)(cos(θ/2)+isin(θ/2))，其中r为z的模，θ为z 的幅角。

二、复数的应用2.1 复数的几何意义复数可以表示平面上的点，实部代表横坐标，虚部代表纵坐标；复数的模代表点到原点的距离，复数的幅角代表点与正实轴之间的夹角。

2.2 解析式解析式是指利用复数形式的代数式表示函数值，在一些复杂的数学问题中，可以利用复数的解析式简化计算。

2.3 需解方程部分方程的解需要引入复数，如一元二次方程的解可能为复数，解方程时需考虑复数根的情况。

2.4 矩阵计算在一些特定矩阵的计算中，可能出现复数，需要利用复数的运算规则进行计算。

复数运算公式大全复数运算是数学中一个很重要的知识点，下面是整理的一些复数运算公式，希望能在数学的学习上给大家带来帮助。

一.复数运算法则复数运算法则有加减法、乘除法。

两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。

复数的加法满足交换律和结合律。

二.复数运算公式1.加法法则复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的和是(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。

2、减法法则复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。

3、乘法法则规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi2，因为i2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。

两个复数的积仍然是一个复数。

4、除法法则复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。

运算方法：可以把除法换算成乘法做，在分子分母同时乘上分母的共轭.。

所谓共轭你可以理解为加减号的变换，互为共轭的两个复数相乘是个实常数。

高中数学中的复数及其运算规则在高中数学中，复数是一个重要的概念，它不仅可以用来解决实数范围内无解的方程，还可以应用于许多实际问题中。

本文将介绍复数的定义、运算规则以及一些常见的应用。

一、复数的定义复数是由实数和虚数部分组成的数，通常用 a+bi 的形式表示，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。

实数部分 a 是复数的实部，虚数部分 b 是复数的虚部。

二、复数的运算规则1. 复数的加法和减法设有两个复数 z1 = a1+bi1 和 z2 = a2+bi2，则它们的和为 z1+z2 =(a1+a2)+(b1+b2)i，差为 z1-z2 = (a1-a2)+(b1-b2)i。

2. 复数的乘法设有两个复数 z1 = a1+bi1 和 z2 = a2+bi2，则它们的乘积为 z1*z2 = (a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i。

3. 复数的除法设有两个复数 z1 = a1+bi1 和 z2 = a2+bi2，则它们的商为 z1/z2 =(a1a2+b1b2)/(a2^2+b2^2) + ((a2b1-a1b2)/(a2^2+b2^2))i。

4. 复数的共轭复数 z = a+bi 的共轭复数记作 z* = a-bi。

共轭复数的实部与原复数相同，虚部的符号相反。

5. 复数的模复数 z = a+bi 的模记作 |z|，定义为|z| = √(a^2+b^2)。

复数的模表示复数到原点的距离。

6. 复数的幂运算设有一个复数 z = a+bi 和一个正整数 n，则 z 的 n 次幂定义为 z^n = (a+bi)^n = r^n(cos(nθ)+isin(nθ))，其中 r = |z|，θ 是 z 的辐角。

三、复数的应用1. 解方程复数可以用来解决实数范围内无解的方程，如 x^2+1=0。

设 x = a+bi 是方程的解，则代入方程得到 (a+bi)^2+1=0，展开后得到 a^2-b^2+2abi+1=0，由此可得到两个方程 a^2-b^2+1=0 和 2ab=0。

高中数学中的复数运算公式总结高中数学中，复数运算是一个重要的内容。

复数的引入为解决实数域内无解的方程提供了新的解决方法，拓展了数学的领域。

复数运算涉及到复数的加减乘除、幂运算等多个方面，下面将对这些复数运算公式进行总结。

一、复数的加减运算复数的加减运算是指两个复数相加或相减的运算。

设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d均为实数。

则复数的加法运算公式为：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

复数的减法运算公式为：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

二、复数的乘法运算复数的乘法运算是指两个复数相乘的运算。

设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d均为实数。

则复数的乘法运算公式为：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

三、复数的除法运算复数的除法运算是指一个复数除以另一个复数的运算。

设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d均为实数。

则复数的除法运算公式为：(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)/(c^2+d^2))+((bc-ad)/(c^2+d^2))i。

四、复数的幂运算复数的幂运算是指一个复数的指数为整数或分数的运算。

设有一个复数a+bi，其中a、b为实数，n为整数或分数。

则复数的幂运算公式为：(a+bi)^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ))，其中r为复数的模，θ为复数的辐角。

五、复数的共轭运算复数的共轭运算是指一个复数的实部保持不变，虚部取负的运算。

设有一个复数a+bi，其中a、b为实数。

则复数的共轭运算公式为：(a+bi)*=(a-bi)。

六、复数的模运算复数的模运算是指计算一个复数的绝对值的运算。

设有一个复数a+bi，其中a、b为实数。

则复数的模运算公式为：|a+bi|=√(a^2+b^2)。

综上所述，高中数学中的复数运算涉及到复数的加减乘除、幂运算、共轭运算和模运算等多个方面。

这些运算公式为解决实数域内无解的方程提供了新的解决方法，也为数学的发展提供了重要的基础。

新高考数学复数知识点总结数学，作为一门重要的学科，对于每一个学生来说都至关重要。

而在数学中，复数是一个重要的概念，它有着广泛的应用和深远的意义。

本文将对新高考中的复数知识点进行总结。

一、复数的定义和表示方式复数是由实数和虚数单位i组成的数。

其中，虚数单位i满足i^2 = -1。

复数一般用a+bi的形式表示，其中a为实部，bi为虚部。

二、复数的基本运算1. 复数的加法和减法对于两个复数a+bi和c+di，它们的加法和减法分别为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i，(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。

2. 复数的乘法对于两个复数a+bi和c+di，它们的乘法为：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。

3. 复数的除法对于两个复数a+bi和c+di，它们的除法为：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。

三、复数的共轭与模1. 复数的共轭对于复数a+bi，它的共轭复数为a-bi。

共轭复数的实部相同，虚部符号相反。

2. 复数的模对于复数a+bi，它的模为√(a^2+b^2)，即复数与原点的距离。

四、复数的乘方和根式1. 复数的乘方对于复数a+bi，它的n次幂为：(a+bi)^n = [(a^2+b^2)^(n/2)] * (cos(nθ) + sin(nθ)i)，其中θ为复数的辐角。

2. 复数的开方对于复数a+bi，它的平方根为：√(a+bi) = ±[√(√(a^2+b^2)+a)/2] + ±[√(√(a^2+b^2)-a)/2]i。

五、复数与方程1. 一元二次方程对于形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程，其中a、b、c为实数且a≠0，如果它的解不是实数，那么方程有两个共轭复数解。

2. 方程组对于形如ax+by=c和dx+ey=f的方程组，其中a、b、c、d、e、f 为实数且ad-be≠0。

高三数学复数知识点总结大全复数是数学中一个重要的概念，它是由实数和虚数构成的，可以用来解决实数范围内无法解决的问题。

在高三数学学习中，复数也是一个重要的知识点。

下面将对高三数学中的复数知识点进行总结和归纳，以供参考。

一、复数的定义和表示方法复数由实部和虚部组成，可以用(a+bi)的形式表示，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，i^2=-1。

复数可以用复平面上的点表示，实部和虚部分别对应坐标轴上的横坐标和纵坐标。

二、复数的四则运算法则1.加法和减法：实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）。

例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

2.乘法：使用分配率进行计算。

例如：(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i-bd。

3.除法：将除数与被除数乘以共轭复数，然后利用分子分母有理化的方法进行计算。

例如：(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。

三、复数的模、辐角和共轭复数1.模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a^2+b^2)，表示复数到原点的距离。

2.辐角：复数z=a+bi的辐角定义为arg(z)=arctan(b/a)，表示复数与实轴正向之间的夹角。

3.共轭复数：复数z=a+bi的共轭复数定义为z的实部不变，虚部变号，即z的共轭复数为a-bi。

四、复数的指数形式和三角形式1.指数形式：复数z=a+bi可以表示为z=r·exp(iθ)，其中r=|z|为模，θ=arg(z)为辐角。

2.三角形式：复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|为模，θ=arg(z)为辐角。

五、复数的乘方和根式表示1.复数的乘方：(a+bi)^n可以使用二项式定理进行展开，然后进行化简。

2.复数的根式表示：复数的根式表示可以通过化简复数的乘方得到。

例如，对于z^2=a+bi，可以先求出z^2=(x+yi)^2，再解一元二次方程求得x和y。

高考复数公式知识点复数是数学中的一种数形式，由实部和虚部组成。

在高中数学中，学生需要掌握复数的基本概念、运算法则以及常见的复数公式。

本文将介绍几个高考重要的复数公式知识点。

一、复数的定义复数是由实数和虚数构成的，记作a+bi。

其中，a为实部，b为虚部，i为单位虚数，满足i²=-1。

二、复数的四则运算复数的加法：（a+bi）+（c+di）= (a+c) + (b+d)i复数的减法：（a+bi）-（c+di）= (a-c) + (b-d)i复数的乘法：（a+bi）*（c+di）= (ac-bd) + (ad+bc)i复数的除法：（a+bi）/（c+di）= [(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i三、共轭复数对于复数z=a+bi，它的共轭复数记作z*=a-bi。

共轭复数的性质如下：（1）复数z与其共轭复数z*的和为实数：z+z*=2a（2）复数z与其共轭复数z*的积为实数：zz* = a²+b²四、欧拉公式欧拉公式是复数和三角函数之间的重要关系，表示为e^(ix) = cos(x) + isin(x)。

其中，e代表自然对数的底数。

五、复数的模和幅角复数z=a+bi的模记作|z|，表示为|z|=√(a²+b²)。

复数z的幅角记作arg(z)，且满足tan(arg(z)) = b/a。

（注意：幅角arg(z)的取值在[-π, π)范围内）六、复数的乘方对于复数z=a+bi，求z的n次方的公式为：z^n = |z|^n * [cos(narg(z)) + isin(narg(z))]七、代数方程的根对于代数方程az^n + bz^(n-1) + ... + c = 0，其中a、b、c为实数，z 为未知数，复数的根共有n个，可以使用根号公式进行求解。

八、复数平方根对于复数z=a+bi，可以求其平方根的公式为：√(z) = ±√((a+|z|)/2) + i*sgn(b)*√((|z|-a)/2)以上就是高考复数公式的一些重要知识点。

高三复数的知识点归纳总结一、复数的概念复数是指由一个实数和一个虚数共同构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。

在复数中，实部为a，虚部为b。

二、复数的表示方法1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：z=r(cosθ + i sinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角3. 指数形式：z=re^(iθ)，其中r为复数的模，e为自然对数的底三、复数的加减乘除1. 加减法：复数相加或相减，实部和虚部分别相加或相减2. 乘法：使用分配律相乘，然后利用i^2=-1进行计算3. 除法：将分母有理化后，再进行乘法的逆运算四、复数的几何意义1. 复数在平面直角坐标系中的表示2. 复数在极坐标系中的表示3. 复平面上的旋转五、共轭复数1. 共轭复数的定义2. 共轭复数的性质3. 共轭复数的几何意义六、模与辐角1. 复数的模的定义2. 复数的模的性质3. 复数的辐角的定义4. 复数的辐角的性质七、欧拉公式1. 欧拉公式的表达式2. 欧拉公式的几何意义3. 欧拉公式的重要性八、复数的方程1. 一元一次复数方程2. 一元二次复数方程3. 复数方程的解法及应用九、复数的应用1. 复数在电学中的应用2. 复数在力学中的应用3. 复数在信号处理中的应用十、复数的常见问题解析1. 关于共轭复数的应用问题2. 关于复数模和辐角的应用问题3. 复数方程的解法与应用十一、复数的图示通过在复数平面上显示几何图形，如复数的绝对值和幅角，显示虚数、复数和实数，这将有助于进一步理解这一主题。

十二、复数的补充知识点1. 复数的讨论2. 复数的等价3. 虚数单位i的应用和推理十三、复数的实际应用举例通过真实问题的应用案例，加深对复数知识点的理解和理论的实际应用。

在高三的数学学习中，复数是一个非常重要的内容。

它不仅是数学知识的一个重要部分，也是物理、工程和其他领域的基础。

掌握复数的知识对于学生继续深入学习数学和其他相关科学领域都有着非常重要的意义。

高考复数知识点总结一、复数的概念1. 定义：在数学中，复数是由一个实数和一个虚数单位i构成的数，表示为a+bi，其中a 和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。

2. 实部和虚部：复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部，其中a和b都是实数。

二、复数的表示形式1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。

3. 指数形式：re^(iθ)，其中e^(iθ)为指数函数。

三、复数的运算1. 加法与减法：实部相加，虚部相加2. 乘法：根据分配律和虚数单位i的性质计算3. 除法：乘以共轭复数，然后根据除法的定义计算4. 幂运算：通过指数形式进行计算四、复数的性质1. 共轭复数：a+bi的共轭复数是a-bi2. 模：复数a+bi的模是√(a²+b²)3. 幅角：复数a+bi的幅角是θ=tan^(-1)(b/a)五、复数的应用1. 代数方程式：一元二次方程的解2. 三角函数：通过复数的幅角形式可以求解三角函数的和差角公式3. 电路学：用复数解决交流电路中的问题六、复数的解析几何1. 复数的几何意义：复平面上的点2. 复数的模和幅角：向量的模和方向3. 复数的乘法和除法：向量的缩放和旋转七、复数的解1. 一元二次方程的解：通过求根公式得到解2. 复数的根：开方运算的应用总结：复数是数学中的一个重要概念，它由一个实部和一个虚部构成，可以通过代数形式、幅角形式和指数形式进行表示。

复数的运算包括加法、减法、乘法、除法和幂运算，通过这些运算可以得到复数的性质如共轭复数、模和幅角。

复数还具有广泛的应用，包括代数方程式、三角函数和电路学等方面。

此外，复数还可以通过解析几何的方式进行理解，它在平面上对应着一个点，并且具有向量的性质。

复数的解可以用于一元二次方程的求解以及复数的根的求解。

通过学习和掌握复数的知识，可以更好地理解数学中的各种概念和问题，并且对于后续的学习和应用具有重要的意义。

高中数学复数知识点总结1. 复数的定义复数是由实数和虚数单位i（i²=-1）组成的数，一般形式为a+bi，其中a和b都是实数。

实数部分a称为复数的实部，虚数部分b称为复数的虚部。

2. 复数的加法复数的加法和实数的加法类似，即把实部相加，虚部相加，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

3. 复数的减法复数的减法也和实数的减法类似，即把实部相减，虚部相减，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

4. 复数的乘法复数的乘法是通过分配律展开计算的，即(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=ac+(ad+bc)i+bd(-1)=ac-bd+(ad+bc)i。

5. 复数的除法复数的除法需要进行有理化处理，即分子和分母都乘以分母的共轭形式，然后进行化简，最终得到结果。

例如，(a+bi)/(c+di)的结果为[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。

6. 复数的模复数z=a+bi的模记为|z|，它表示复数到原点的距离，它的计算公式为|a+bi| = √(a²+b²)。

7. 复数的共轭复数z=a+bi的共轭记为z，它表示实部不变，虚部相反数的复数，即z=a-bi。

8. 复数的极坐标形式复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ=arctan(b/a)。

9. 复数的三角形式复数z=r(cosθ+isinθ)的三角形式表示为z=r∙e^(iθ)，其中e^(iθ)=cosθ+isinθ，称为欧拉公式。

10. 复数的指数形式复数z=r∙e^(iθ)的指数形式表示为z=r∙exp(iθ)，其中exp表示自然底数e的指数函数。

11. 复数的乘方复数的乘方可以通过三角形式或指数形式进行计算，即z^n = |z|^n∙(cos(nθ)+isin(nθ))或z^n = |z|^n∙exp(inθ)。

高二复数数学知识点归纳总结复数是数学中一个重要的概念，由实部和虚部组成，常用形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部。

在高二数学学习中，我们接触到了许多与复数相关的知识点，包括四则运算、共轭复数、复数的乘方等。

本文将对这些知识点进行归纳总结。

一、复数的定义与表示复数是由实数和虚数构成的数，可以用a+bi的形式表示，其中a为实部，bi为虚部。

实部和虚部都是实数。

二、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部相加，虚部相加，得到结果的实部和虚部。

例如：(3+2i) + (4+5i) = (3+4) + (2+5)i = 7 + 7i2. 复数的减法：将实部相减，虚部相减，得到结果的实部和虚部。

例如：(6+4i) - (2+3i) = (6-2) + (4-3)i = 4 + i3. 复数的乘法：使用分配律展开，将实部和虚部分别相乘，再进行合并。

例如：(2+3i) × (4+5i) = 2×4 + 2×5i + 3i×4 + 3i×5i = 8 + 10i + 12i + 15i² = (8-15) + (10+12)i = -7 + 22i4. 复数的除法：将被除数与除数的共轭复数相乘，然后进行合并，得到结果的实部和虚部。

例如：(8+2i) ÷ (3-4i) = (8+2i) × (3+4i) / (3-4i) × (3+4i) =(24+32i+6i+8i²) / (9+12i-12i-16i²) = (24+38i-8) / (9+16) = 16/25 + (38/25)i三、共轭复数1. 定义：两个复数实部相等、虚部互为相反数的复数称为共轭复数。

例如：对于复数a+bi，其共轭复数为a-bi。

2. 性质：- 两个复数的和的共轭等于它们的共轭的和。

- 两个复数的积的共轭等于它们的共轭的积。

- 一个复数与它的共轭的乘积等于它的实部的平方加上虚部的平方。

第11章 复变函数与解析函数11.1 复数及其运算1、(1)133 ， 132- ， i 132133+ ， 1313， 32arctan -(2) 3cos πn ， 3sin πn ， 3sin 3cos ππn i n - ，1 (3) i 1327-- (4))6sin()6cos(ππ-+-i ，i e 6π-(5) i 8-2、(1) B (2) A (3) C (4 )D3、)]43sin()43[cos(2ππ-+-i4、)12sin 12(cos 2261260πππi e w i -==-)127sin 127(cos 22612761πππi e w i +==)45sin 45(cos 2264562πππi e w i +==5、i 31+ 2- i 31-11.2 复数函数1、π<<w arg 02、4122=+v u 3、21-4、除i z ±=外处处连续11.3 解析函数1、(1) 1-n nz (2) 21z-(3) i z 232+ (4) i i ，，0- . 2、(1) D (2) B (3) A(4 ) C3、(1) 仅在21=y 上可导处处不解析(2) 仅在x y 32±=上可导处处不解析 4、3,1,3-==-=n m li z xy x i y x y z f 32323)3()3()(=-+-= i z z f 23)(='11.4 初等函数1、(1) )24(2ln ππk i ++ ⋅⋅⋅±=,1,0k ， 42ln πi+(2) )]2ln 4sin()2ln 4[cos(224-+-+ππππi ek)]2ln 4sin()2ln 4[cos(24-+-πππi e (3) )1(2241i e + (4）21cos 21sin sh i ch + 2、i k z )22(ππ+= ⋅⋅⋅±±=,2,1,0k11.5 总 习 题1、(1) 23-，23 ， i 2323-- ，223 ， 43π (2) )]65sin()65[cos(4ππ-+-i ， i e π654-(3) 3)12(2arctan 615π-+k ie2,1,0=k (4) 8i -(5) 22y xxe + ， 22yx y+-(6) 0,0,1>>=y x xy(7))22(3ln ππ-+k i ⋅⋅⋅±=,1,0k(8))22(ππ+-k e ⋅⋅⋅±=,1,0k2、1=x ，11=y3、k n 4= ⋅⋅⋅±=,1,0k4、i 322-5、i z )22(20-+= i z )22(21++-=6、e ， 3π-7、2 9、仅在0=+x y 上可导处处不解析10、1-=a 1=b 11、处处解析 )1()(z e z f z +='第12章 复变函数的积分 12.1 复数函数积分的概念1、(1) i 3266+ (2) i 3266+ (3) i 3266+2、(1)i 6561+- (2)i 6561+- 3、)1(32i +12.2 基本积分定理1、02、03、04、05、2sin 21π- 6、 22)1(tan 21)(tan 211tan tan -+-i i12.3 基本积分公式1、(1) i π2 (2)17164i ππ+ （3）aiπ （4）1-e π （5）0 （6）ei π（7）i i cos π- （8）12i π 2、(1) 0 (2) 当1>α时等于0 当1<α时等于i ie απ-12.4 解析函数与调和函数的关系1、C x y xy v ++-=222)2()2()(2222C x y xy i xy y x z f ++-+--=C z i ++=2)1(2、 21)(2222++++-=i y x y y x x z f z 121-= 3、C e z f p z +==)(1时 C e z f p z +-=-=-)(1时12.5 总 习 题1、(1) i π2 (2) 0 (3) )21(a e a + (4) 0(5) i π2 (6) 1sin 2i π- (7)2112---ie ie ππ(8)!52iπ-2、当α和-α都在C 的外部时为0，当α和-α都在C 的内部时为i π2，当α和-α一个在C 的外部一个在C 的内部时为i π 3、2=k C x y xy v ++-=22422222)2()4()222()(z i x y xy i xy y x z f +=+-+--= 4、2)211()222(2)(22222+-=-++++-=z i x y xy i xy y x z f第13章 复变函数的级数与留数定理13.1 复变函数项级数1、(1) C (2) D (3) A (4 ) D (5 ) B2、(1)1=R (2)22=R (3)1=R 13.2 泰勒级数1、(1) A (2) D2、(1) ∑+∞=-03)1(n nnz1<z (2) ∑+∞=++-011n n n z1<z3、(1) ∑+∞=++-01)1(31n nn z 31<+z(2) ∑+∞=++---0112)2)(3121()1(n nn n nz 32<-z13.3 洛朗级数1、(1) B (2) B (3) B2、(1) ∑+∞-=+-1)2(n n z n 10<<z(2) ∑+∞-=--2)1()1(n n n z 110<-<z(3) ⋅⋅⋅++-+4321111z z z z +∞<<||1z (4) )842(21432⋅⋅⋅-+-zz z +∞<<||2z13.4 留数与留数定理1、(1) A (2) B (3) C2、 (1) z = 0为三级极点 )2,1(,2⋅⋅⋅±±==k i k z k π为一级极点(2) z = 0为可去奇点3、(1) 21]0),([s Re -=z f 23]2),([s Re =z f(2) i i z f 83]),([s Re -= i i z f 83]),([s Re =-4、i π213.5 总 习 题1、(1)1=R 1<-i z (2) m n -， 极(3) 2 1 (4) 121<<R (5) 42、(1)C (2) B (3) D (4) C (5 ) B (6 ) B(7)C (8) A (9) B (10) A (11) D (12 )C3、∑+∞=++--01)()1()1(n n n ni z i 2<+i z 4、∑+∞=+--=--012)1(341321n n nn zz z +∞<<||3z 5、(1) 0=z 一级极点，i z ±= 二级极点； (2) )2,1(,2,0⋅⋅⋅±±===k k z z k π为可去奇点)2,1,0(,)12(⋅⋅⋅±±=+=k k z k π为一级极点6、(1) 1]0),([Re =z f s(2) ⋅⋅⋅±=+-=++1,0),2()1(]2),([s Re 1k k k z f k ππππ7、(1) i e 24π (2) i π4- (3) )1(i +-π高等数学(下)期中模拟试卷(一)一、1. D 2. C 3. C 4. D 5.C二、1. 21 2. ⎰⎰⎰+33020)(ρπρρρθdz z f d d3. 6π4. {1,1,1}5. p > 0三、1. 当0 ≤≤ e 时绝对收敛，当> e 时发散 2. 条件收敛 四、)12(32- 五、8π六、2)133(32a -π 七、8八、428R π- 九、-4π 十、提示：⎰=-b a ydy a b 222 高等数学(下)期中模拟试卷(二)一、1. B 2. C 3. B 4. C 5.D二、1. 2 2. 29-xy 3. -1 4.}2,2,2{222z xz y yz x xy --- 5. 7三、1. 绝对收敛 2. 条件收敛 四、π)212(ln - 五、π2 六、74π 七、611-八、)32,0,0(R 九. -π 十、提示：γβαθcos cos cos cos z y x n r r ++=⋅=→→ο高等数学(下)期末模拟试卷(一)一、1. A 2. B 3. B 4. C 5. B 二、1. 4πR 32. -18π3. 83π 4. 43π，21-+e e5. 2e 2 三、2πi cos1 四、在直线21=x 上可导但处处不解析五、∑+∞=+022n n nz+∞<<z 2 六、π5512a七、（1） R = 1 (-1,1) （2）)1,1(11ln 21-∈-+x xx八、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<≤-∑+∞=-ππx x nx n n n ,00,sin )1(211九、1. Cx x y +=2 2. 133++=x x y十、x x x e x f x 231)(23+-+=- 高等数学(下)期末模拟试卷(二) 一、1. A 2. D 3. A 4. D 5. C二、1. π 2. -3 3. )(C e x y x +=4. 052=+'+''y y y5. -8i 2π-三、1.i π2 2. 0 四、仅在(0,0)点可导但处处不解析五、∑+∞=+--02)1(2)1(n n n nz +∞<-<12z 六、3π-七、 [-1,1) )1,1[)1ln(-∈--x x ln2八、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<<<≤+∑+∞=h x x h h x nx nh n h n ,21,0,cos sin 21πππ九、x y arcsin = 十、x x x e x x e e x y ----+-=)63(78)(2希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条： 1、常自认为是福薄的人，任何不好的事情发生都合情合理，有这样平常心态，将会战胜很多困难。

高中复数知识点一、复数的定义和表示方法复数是由一个实部和一个虚部组成的数，可表示为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部，i 为虚数单位，满足i^2=-1。

复数包括实数和虚数，实数可表示为z=a+0i，虚数可表示为z=0+bi。

二、复数的基本运算1. 复数的加法：将两个复数的实部和虚部分别相加。

例如：(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i2. 复数的减法：将两个复数的实部和虚部分别相减。

例如：(a1+b1i)-(a2+b2i)=(a1-a2)+(b1-b2)i3. 复数的乘法：使用分配律和虚数单位的平方i^2=-1，将两个复数进行展开相乘，并对实部和虚部分别求和。

例如：(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i4. 复数的除法：将除数与被除数分别乘以共轭复数，得到实数形式的分子和分母，然后进行相除。

例如：(a1+b1i)/(a2+b2i) = [(a1+b1i)(a2-b2i)] / [(a2+b2i)(a2-b2i)]= [(a1a2+b1b2) + (a2b1-a1b2)i] / (a2^2+b2^2)5. 复数的共轭：只改变虚部的符号。

例如：如果z=a+bi，则z的共轭为z*=a-bi三、复数的模和幅角1. 复数的模：表示复数到原点的距离，可以用勾股定理求得。

例如：模为|z| = √(a^2+b^2)2. 复数的幅角：表示复数与正实轴之间的夹角，可以用反三角函数求得。

例如：幅角为θ = arctan(b/a)，其中a不等于0。

四、复数的指数形式复数可以通过欧拉公式表示为指数形式，即z=|z|e^(iθ)。

其中|z|为复数的模，θ为复数的幅角。

五、复数的乘方和开方1. 复数的乘方：使用指数形式展开，并利用欧拉公式和幂函数的性质，可以计算复数的乘方。

例如：z^n = |z|^n * e^(inθ)2. 复数的开方：将复数表示为指数形式，然后利用欧拉公式和开方运算的性质，可以计算复数的开方。

数学复数高考知识点总结数学是高考中的一门重要科目，而复数是其中的一个难点。

在高考中，对于复数的理解和应用是很有考察价值的。

下面，我们将对数学中的复数知识点进行总结和分析。

一、复数的定义和表示复数由实部和虚部组成，可以用a+bi的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

实部和虚部分别是实数，它们通过虚数单位i联系在一起。

二、复数的基本运算1. 复数的加法和减法：实部相加，虚部相加（减）。

2. 复数的乘法：“FOIL”法则，先分别相乘，再合并同类项。

3. 复数的除法：用有理化的方法将分子和分母都乘以共轭复数，再进行分子分母的分配和合并。

三、共轭复数共轭复数是指虚部的符号变相的复数，如果一个复数的虚部为b，那么该复数的共轭复数为a-bi。

共轭复数的性质有：1. 两个复数相乘，则它们的共轭复数相乘。

2. 两个复数相除，则它们的共轭复数相除。

四、复数的模和幅角复数的模反映了复数的大小，可以用勾股定理求得。

如果复数为z=a+bi，则模为|z|=√(a^2+b^2)。

复数的幅角是指复数和实轴正方向的夹角，可以用反三角函数求得。

如果复数为z=a+bi，则幅角为θ=arctan(b/a)。

五、复数的指数形式复数可以用指数形式表示，即z=r*e^(iθ)，其中r为模，θ为幅角。

复数的指数形式有以下性质：1. 两个复数相乘，则它们的指数形式相乘。

2. 两个复数相除，则它们的指数形式相除。

3. 复数的乘方可以用角度的加减表示。

六、复数的根对于一个复数z=a+bi，如果存在某个正整数n，使得z^n=a+bi，则称a+bi为z的n次根。

复数的根有以下性质：1. 一个复数的n次根有n个，可以通过求模、求幅角和运用DeMoivre公式得到。

2. 复数的平方根为±√(z)，复数的三次根为3√(z)，依此类推。

通过对数学中复数的知识点的总结和分析，我们可以看出，复数是数学中一个重要的概念，高考中对复数的理解和应用具有一定的考察价值。

课时作业67 数系的扩充与复数的引入［基础达标]一、选择题1．[2021·黄冈中学，华师附中等八校联考]设i是虚数单位，若复数a＋5i1＋2i(a∈R）是纯虚数，则a＝(）A．－1B．1C．－2D．22．［2021·湖南省长沙市高三调研试题]复数错误!＝（) A.错误!－iB。

错误!－错误!iC．－1D．－i3．[2021·大同市高三学情调研测试试题］设z＝错误!2，则z 的共轭复数为（)A．－1B．1C．iD．－i4．[2021·南昌市高三年级摸底测试卷］复数z满足错误!＝1－i，则｜z｜＝()A．2iB．2C．iD．15．[2021·合肥市高三调研性检测］已知i是虚数单位，复数z＝错误!在复平面内对应的点位于（)A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限6．[2021·安徽省示范高中名校高三联考]已知i为虚数单位，z＝错误!，则z的虚部为（）A．1B．－3C．iD．－3i7．[2021·惠州市高三调研考试试题]已知复数z满足（1－i）z＝2＋i(其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．－错误!－错误!iB.错误!＋错误!iC．－错误!＋错误!iD.错误!－错误!i8．［2021·长沙市四校高三年级模拟考试］已知复数z＝错误!，则下列结论正确的是（)A．z的虚部为iB．|z|＝2C．z的共轭复数错误!＝－1＋iD．z2为纯虚数9．［2021·广东省七校联合体高三第一次联考试题]已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,若z1＝1－2i，则错误!＝(）A.35－错误!iB．－错误!＋错误!iC．－错误!－错误!iD.错误!＋错误!i10．［2021·唐山市高三年级摸底考试］已知p，q∈R,1＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，其中i为虚数单位，则p·q＝()A．－4B．0C．2D．4二、填空题11．[2020·江苏卷］已知i是虚数单位，则复数z＝（1＋i)·（2－i)的实部是________．12．［2021·重庆学业质量抽测］已知复数z1＝1＋2i，z1＋z2＝2＋i，则z1·z2＝________。

高三数学复数知识点总结在高三数学学习中，复数是一个重要的概念。

复数由实部和虚部组成，形式为a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i²=-1。

复数具有很多性质和应用，下面将对高三数学中涉及的复数知识点进行总结。

一、复数的表示形式1. 代数形式：复数由实部和虚部组成，可以表示为a+bi的形式。

2. 拆解形式：将复数拆成实部和虚部的和，a+bi可以拆解为实部a和虚部bi。

二、复数的运算1. 加减法：对应位置实部和虚部分别相加减。

2. 乘法：根据分配律展开运算，然后化简得到结果。

3. 除法：将除法转化为乘法，乘以倒数，然后按照乘法规则进行计算。

三、复数的共轭1. 复数的共轭：将复数的虚部取相反数，得到共轭复数。

2. 共轭复数的性质：复数和它的共轭复数的乘积为实数，即z×z为实数。

四、复数的绝对值与幅角1. 绝对值：表示复数到原点的距离，计算方法为开方运算，公式为|z| = √(a² + b²)。

2. 幅角：表示复数与实轴之间的夹角，计算方法为反三角函数，公式为θ = arctan(b / a)。

五、复数的指数形式1. 欧拉公式：e^(iθ) = cosθ+ isinθ，其中e为自然对数的底，i为虚数单位。

2. 复数的指数形式：复数可以表示为Ae^(iθ)的形式，其中A为模长，θ为幅角。

六、复数的解析式1. 复数在复平面上的表示：复数可以在复平面上用点表示，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。

2. 复数在复平面上的运算：复数的加减法对应向量的平移，复数的乘除法对应向量的伸缩和旋转。

七、复数的应用1. 解方程与方程组：复数可以用于解一元二次方程、二元一次方程组等，扩大了解方程的范围。

2. 向量与复数：复数可以表示平面向量，通过复数运算可以简化向量运算。

3. 电路分析：复数可以用于电路分析中的交流电路计算和研究。

总结：高三数学中复数是一个重要的概念，涉及到复数的表示形式、运算、共轭、绝对值与幅角、指数形式、解析式和应用等知识点。

高考复数知识点及总结高考对学生来说是一次至关重要的考试，而数学作为其中重要的科目之一，复数知识点在高考中也扮演着重要角色。

掌握好复数的概念和运算规则能够为学生在高考中取得更好的成绩提供有力支撑。

本文将对高考中常见的复数知识点进行总结，帮助同学们更好地应对高考数学考试。

1. 复数的概念复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为a+bi，其中a和b为实数，i为虚数单位，满足i^2=-1。

复数包括实数和纯虚数两种情况，实部为0的复数称为纯虚数。

2. 基本运算规则2.1 复数的加法和减法对于两个复数(a+bi)和(c+di)，其加法和减法的运算规则分别如下：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i2.2 复数的乘法对于两个复数(a+bi)和(c+di)，其乘法的运算规则如下：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i2.3 复数的除法对于两个复数(a+bi)和(c+di)，其除法的运算规则如下：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i3. 复数的共轭对于复数a+bi，其共轭复数定义为a-bi。

共轭复数的性质是实部相等，虚部的符号相反，即(a+bi)的共轭复数为(a-bi)。

4. 复数的模和幅角4.1 复数的模对于复数a+bi，其模定义为|a+bi|=√(a^2+b^2)，表示复数到原点的距离。

4.2 复数的幅角对于非零复数a+bi，其幅角定义为arg(a+bi)，表示与正实轴之间的夹角，通常用弧度表示。

5. 复数的指数运算复数的指数运算可以利用欧拉公式来进行计算。

欧拉公式表达为e^(ix)=cosx+isinx，其中e为自然对数的底数。

6. 复数的根对于复数a+bi和正整数n，复数a+bi的n次方根有n个，可以利用公式(a+bi)^(1/n)=r^(1/n)[cos(θ/n)+isin(θ/n)]其中r为复数的模，θ为复数的幅角。

高中三年数学掌握复数的运算方法复数是高中数学中重要的概念之一，它由实数和虚数部分构成。

在高中三年学习数学的过程中，学生需要掌握复数的运算方法。

本文将介绍关于复数的加减乘除四则运算以及共轭复数的求法。

1. 复数的表示形式复数可以表示为 z = a + bi，其中 a 和 b 分别为实数部分和虚数部分，i 是虚数单位，满足 i² = -1。

在复平面上，实数部分对应 x 轴，虚数部分对应 y 轴。

2. 复数的加减运算给定两个复数 z₁ = a₁ + b₁i 和 z₂ = a₂ + b₂i，它们的和可以通过分别相加实部和虚部得到：z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i。

同理，两个复数的差可以通过实部和虚部相减得到：z₁ - z₂ = (a₁- a₂) + (b₁ - b₂)i。

3. 复数的乘法运算两个复数的乘法可以通过使用分配律展开计算：z₁ * z₂ = (a₁ +b₁i)(a₂ + b₂i) = a₁a₂ + a₁b₂i + b₁a₂i + b₁b₂i²。

根据虚数单位的性质 i² = -1，可以简化上述表达式：a₁a₂ + a₁b₂i + b₁a₂i + b₁b₂i² = (a₁a₂ - b₁b₂) + (a₁b₂ + b₁a₂)i。

4. 复数的除法运算两个复数的除法可以通过乘以共轭复数然后进行合并计算得到：z₁/ z₂ = (z₁ * z₂*) / (z₂ * z₂*)，其中 z₂* 表示 z₂的共轭复数。

将上述表达式分别进行展开并合并相同项：(a₁ + b₁i)(a₂ - b₂i) / (a₂ + b₂i)(a₂ - b₂i) = (a₁a₂ + b₁b₂) / (a₂² + b₂²) + (b₁a₂ - a₁b₂)i / (a₂² + b₂²)。

5. 共轭复数的求法一个复数的共轭复数可以通过改变虚部的符号得到：z = a + bi，则它的共轭复数为 z* = a - bi。

复数运算公式知识点总结1. 复数的加减法复数的加减法和实数的加减法类似，只需将实部和虚部分别相加或相减即可。

例如，对于两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的和与差分别为：z1+z2 = (a1+a2) + (b1+b2)iz1-z2 = (a1-a2) + (b1-b2)i2. 复数的乘法复数的乘法可以使用分配律进行计算，即将复数的实部和虚部分别进行乘法运算，然后再相加。

例如，对于两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的乘积为：z1*z2 = (a1*a2 - b1*b2) + (a1*b2 + a2*b1)i3. 复数的除法复数的除法可以通过乘以复数的共轭来实现。

给定两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，其中z2≠0，它们的商为：z1/z2 = (a1*b2 + b1*a2)/(a2²+b2²) + (b1*a2 - a1*b2)/(a2²+b2²)i4. 复数的模复数的模表示复数与原点之间的距离，通常用|z|表示。

对于复数z=a+bi，它的模为：|z| = √(a²+b²)5. 复数的幂运算复数的幂运算可以通过将复数化为指数形式实现。

给定一个复数z=a+bi和一个自然数n，它们的幂为：zⁿ = |z|ⁿ*(cos(n*θ) + i*sin(n*θ))其中，|z|表示复数z的模，θ表示复数z的幅角。

6. 复数的共轭复数的共轭表示将复数的虚部取相反数得到的新复数。

对于复数z=a+bi，它的共轭为：z* = a-bi7. 复数的实部和虚部给定一个复数z=a+bi，它的实部和虚部分别为a和b。

实部用Re(z)表示，虚部用Im(z)表示。

综上所述，复数运算规则包括加减法、乘除法、模和幂运算等内容。

学生在学习复数运算时需要掌握这些规则，并通过练习加深理解，以提高对复数运算的熟练度。

同时，掌握复数的性质和运算规则可以帮助学生更好地理解数学问题和解决实际应用中的计算问题。

高中数学复数知识点归纳总结
复数是高中数学中的重要概念之一。

下面对高中数学中的复数
知识点进行归纳总结：
复数的定义
复数是由实数部分和虚数部分组成的数，通常表示为 a + bi，
其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。

复数的四则运算
复数之间可以进行加减乘除等四则运算。

加法和减法
对于两个复数的加法和减法，实部和虚部分别进行相加或相减。

乘法
两个复数相乘时，可以使用分配律展开计算。

除法
两个复数相除时，可以使用乘以共轭复数的方式进行分母有理化。

复数的求模和辐角
复数的求模是指复数到原点的距离，可以使用勾股定理计算。

复数的辐角是指与实轴正向所成的角度，可以使用反正切函数计算。

复数的共轭
两个复数的共轭是指将其中一个复数的虚部取相反数得到的复数，实部保持不变。

欧拉公式
欧拉公式是复数和三角函数之间的重要关系，表示为e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)。

复数的代数形式和三角形式
复数可以表示为代数形式 a + bi 和三角形式r(cosθ + i sinθ)。

复数的求解
通过复数的运算和属性，可以用来求解一些问题，如方程的根和解析几何中的问题等。

以上是高中数学中复数的基本知识点的归纳总结，希望对你的学习有帮助。

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