(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-1-5
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(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-1-3
答案 D
例2
→ → → 如图所示，O 为△ABC 内一点，OA＝a，OB＝b，OC
＝c，求作 b＋c－a.
剖析
考查向量的三角形法则和平行四边形法则．
解析
→ → 解法 1： 以OB， OC为邻边作▱OBDC， 连接 OD、 AD，
→ → → 则OD＝OB＋OC＝b＋c， → → → ∴b＋c－a＝OD－OA＝AD，如图(1)所示．
(1)
(2)
→ → 解法 2：作CD＝OB＝b，连接 AD， → → → 则AC＝OC－OA＝c－a， → → → ∴b＋c－a＝b＋(c－a)＝CD＋AC＝AD，如图(2)所示．
规律技巧
运用三角形法则，作两个向量和的关键是作平
移，首尾连．作两个向量差的关键是作平移，共起点，两尾连， 指被减．当两向量不共线时，也可采用平行四边形法则．多个 向量相加减时要注意灵活运用运算律．
解析
→ → → → → → → OF－OE＝OF＋EO＝EO＋OF＝EF.
答案 B
4．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( → → A.AB＝DC → → → B.AD＋AB＝AC
)
→ → → → → C.AB－AD＝BD D.AD＋CB＝0
→ → → → 解析 AB－AD＝DB≠BD，故选C.
→ → → → (2)OP－QP－SQ－TS → → → → ＝OP＋PQ＋QS＋ST → ＝OT.
规律技巧
(1)向量的加、减法运算满足交换律、结合
律；(2)将向量的减法运算转化为向量的加法运算，一个向量 减去另一个向量就等于加上这个向量的相反向量．
变式训练1
化简下列各式：
→ → → → → → → ①AB＋BC＋CA；②AB－AC＋BD－CD； → → → → → → → ③OA－OD＋AD；④NQ＋QP＋MN－MP. 结果为零向量的个数是( A．1 B．2 ) C．3 D．4
例2
→ → → 如图所示，O 为△ABC 内一点，OA＝a，OB＝b，OC
＝c，求作 b＋c－a.
剖析
考查向量的三角形法则和平行四边形法则．
解析
→ → 解法 1： 以OB， OC为邻边作▱OBDC， 连接 OD、 AD，
→ → → 则OD＝OB＋OC＝b＋c， → → → ∴b＋c－a＝OD－OA＝AD，如图(1)所示．
(1)
(2)
→ → 解法 2：作CD＝OB＝b，连接 AD， → → → 则AC＝OC－OA＝c－a， → → → ∴b＋c－a＝b＋(c－a)＝CD＋AC＝AD，如图(2)所示．
规律技巧
运用三角形法则，作两个向量和的关键是作平
移，首尾连．作两个向量差的关键是作平移，共起点，两尾连， 指被减．当两向量不共线时，也可采用平行四边形法则．多个 向量相加减时要注意灵活运用运算律．
解析
→ → → → → → → OF－OE＝OF＋EO＝EO＋OF＝EF.
答案 B
4．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( → → A.AB＝DC → → → B.AD＋AB＝AC
)
→ → → → → C.AB－AD＝BD D.AD＋CB＝0
→ → → → 解析 AB－AD＝DB≠BD，故选C.
→ → → → (2)OP－QP－SQ－TS → → → → ＝OP＋PQ＋QS＋ST → ＝OT.
规律技巧
(1)向量的加、减法运算满足交换律、结合
律；(2)将向量的减法运算转化为向量的加法运算，一个向量 减去另一个向量就等于加上这个向量的相反向量．
变式训练1
化简下列各式：
→ → → → → → → ①AB＋BC＋CA；②AB－AC＋BD－CD； → → → → → → → ③OA－OD＋AD；④NQ＋QP＋MN－MP. 结果为零向量的个数是( A．1 B．2 ) C．3 D．4
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-3-1-2
(2)最小正周期的定义 对于一个 周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个最小正数 就叫做它的最小正周期．
2．正弦函数的图象和性质 函数
y＝sinx
图象
定义域 值域
奇偶性 周期
x∈R －1≤y≤1
奇函数 2π
函数
y＝sinx
单调性
在每一个闭区间 －π2＋2kπ，2π＋2kπ (k∈Z)上是 增函数； 在每一个闭区间 π2＋2kπ，32π＋2kπ(k∈Z )上是 减函数
(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω<0)，可先用诱导公式
转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝－Asin(－ωx－φ)的增(减)区
间即为函数y＝Asin(ωx＋φ)的减(增)区间.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1 求下列函数的值域． (1)y＝3－2sin2x(x∈R)； (2)y＝2sin2x＋3π－6π≤x≤π6； (3)y＝2cos2x＋5sinx－43π≤x≤56π. 剖析 利用正弦函数的值域求解．
x＋π2
＝
sinx，因此2π不是sinx的周期．
(2)“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内 的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现 的自变量x的增加值．周期函数的周期不止一个，若T是周期， 则kT(k∈N＋)一定也是周期．
(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最 小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周 期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期．
答Байду номын сангаас C
4．下列大小关系正确的是( ) A．sin23π＜sin43π B．sin1＜sin3 C．sin116π＜sin43π D．sin－193π＜sin－256π
最新高中数学人教B版必修四1.1.2《弧度制和弧度制与角度制的换算》课件ppt.ppt
(1)把下列角化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)
①163π； ②－315°. (2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的正半轴，终 边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．
[解析] (1)①163π＝4π＋43π. ∵0≤43π<2π，∴163π＝4π＋43π. ②－315°＝－315×1π80＝－74π＝－2π＋π4， ∵0≤π4<2π，∴－315°＝－2π＋π4. (2)135°＝135×1π80＝34π，225°可以看成是与－135°终边相 同的角，而－135°＝－34π， ∴阴影部分角的集合为{θ|－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z}．
• [答案] C
D．214π
[解析] －74π＝－2π＋π4，故选 C．
• 4．将－1 500°化为弧度是________．
[答案] －253π [解析] －1 500°＝－1 500×1π80＝－253π.
5．集合 A＝x|kπ＋π4<x<kπ＋π2，k∈Z，集合 B＝{x|6＋x－ x2≥0}，则 A∩B＝________.
(2)∵β1＝35π＝(35×180)°＝108°，与其终边相同的角为 108° ＋k·360°，k∈Z，
∴在－720°～0°范围内与 β1 有相同终边的角是－612°和－ 252°.
同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与 β2 有相同终例讲练
•弧度制的概念问题
去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先 要认识一种新的角度单位——弧度．
1．弧度制的概念 我们把弧长等于_半__径__长___的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的 角，用符号 rad 表示，读作弧度． 用__弧__度____作为单位来度量角的制度叫做弧度制． 用___度_____作为单位来度量角的制度叫做角度制．
①163π； ②－315°. (2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的正半轴，终 边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．
[解析] (1)①163π＝4π＋43π. ∵0≤43π<2π，∴163π＝4π＋43π. ②－315°＝－315×1π80＝－74π＝－2π＋π4， ∵0≤π4<2π，∴－315°＝－2π＋π4. (2)135°＝135×1π80＝34π，225°可以看成是与－135°终边相 同的角，而－135°＝－34π， ∴阴影部分角的集合为{θ|－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z}．
• [答案] C
D．214π
[解析] －74π＝－2π＋π4，故选 C．
• 4．将－1 500°化为弧度是________．
[答案] －253π [解析] －1 500°＝－1 500×1π80＝－253π.
5．集合 A＝x|kπ＋π4<x<kπ＋π2，k∈Z，集合 B＝{x|6＋x－ x2≥0}，则 A∩B＝________.
(2)∵β1＝35π＝(35×180)°＝108°，与其终边相同的角为 108° ＋k·360°，k∈Z，
∴在－720°～0°范围内与 β1 有相同终边的角是－612°和－ 252°.
同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与 β2 有相同终例讲练
•弧度制的概念问题
去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先 要认识一种新的角度单位——弧度．
1．弧度制的概念 我们把弧长等于_半__径__长___的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的 角，用符号 rad 表示，读作弧度． 用__弧__度____作为单位来度量角的制度叫做弧度制． 用___度_____作为单位来度量角的制度叫做角度制．
最新-2021版高中数学人教B版必修四课件：第二单元 233 向量数量积的坐标运算与度量公式 精品
π A.6
√B.π4
π
π
C.3
D.2
解析 ∵|a|＝ 10，|b|＝ 5，a·b＝5，
∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
5 10×
5＝ 22.
又∵a，b的夹角范围为[0，π]，∴a 与 b 的夹角为π4.
12345
解析 答案
2.已知向量B→A＝12， 23，B→C＝ 23，12，则∠ABC 等于
12345
解答
规律与方法
1.平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同 的途径.准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以 优化解题过程.同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形” 转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何 问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.
3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、 记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋ y1y2＝0. 4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹 角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的 概念”和忽视“两向量夹角的范围”，稍不注意就会带来失误与错误.
答案
梳理
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝ a1b1＋a2b2 .即两个向量的数量 积等于相应坐标乘积的和.
知识点二 向量模的坐标表示及两点间距离公式
思考
若a＝(a1，a2)，试将向量的模|a|用坐标表示. 答案 ∵a＝(a1，a2)， ∴|a|2＝a·a＝(a1，a2)·(a1，a2) ＝a21＋a22， ∴|a|＝ a21＋a22.
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-3-1-3
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1．3 三角函数的图象与性质
1．3.1 正弦函数的图象与性质
第三课时
正弦型函数y＝Asin(ω x＋φ )
课前预习目标
课Hale Waihona Puke 互动探究课前预习目标梳理知识 夯实基础
学习目标 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义． 2．会用图象变换法画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
自学导航 1.正弦型函数 2π (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)中，周期T＝ ω ，频率f 1 ω ＝ ＝ . φ 叫做初相． T 2π (2)一般地，函数y＝Asinx的值域为[－|A|，|A|]φ，最大值为
|A| ，最小值为 －|A|， |A| 的大小，反映曲线y＝Asinx波动的大
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1
π 指出将 y＝sinx 的图象变换为 y＝sin(2x＋3)的图象的
两种方法． 剖析 1 π π x→2x→2(x＋ )＝2x＋ . 6 3
解析 1 y＝sinx
y＝sin2x
π π y＝sin 2 x＋6 ＝sin(2x＋3)．
)
A．最小正周期是π π B．直线x＝ 是f(x)图象的一条对称轴 12
π C．函数f(x)图象关于点－6，0对称
π D．f(x)的图象向右平移3个单位，可得到y＝sin2x的图象
π π 解析 f(x)的图象向右平移3个单位，得到函数y＝fx－3＝ π π π sin2 x－3＋3＝sin2x－3.
答案
D
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)
π A＞0，ω＞0，|φ|＜ 2
1．3 三角函数的图象与性质
1．3.1 正弦函数的图象与性质
第三课时
正弦型函数y＝Asin(ω x＋φ )
课前预习目标
课Hale Waihona Puke 互动探究课前预习目标梳理知识 夯实基础
学习目标 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义． 2．会用图象变换法画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
自学导航 1.正弦型函数 2π (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)中，周期T＝ ω ，频率f 1 ω ＝ ＝ . φ 叫做初相． T 2π (2)一般地，函数y＝Asinx的值域为[－|A|，|A|]φ，最大值为
|A| ，最小值为 －|A|， |A| 的大小，反映曲线y＝Asinx波动的大
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1
π 指出将 y＝sinx 的图象变换为 y＝sin(2x＋3)的图象的
两种方法． 剖析 1 π π x→2x→2(x＋ )＝2x＋ . 6 3
解析 1 y＝sinx
y＝sin2x
π π y＝sin 2 x＋6 ＝sin(2x＋3)．
)
A．最小正周期是π π B．直线x＝ 是f(x)图象的一条对称轴 12
π C．函数f(x)图象关于点－6，0对称
π D．f(x)的图象向右平移3个单位，可得到y＝sin2x的图象
π π 解析 f(x)的图象向右平移3个单位，得到函数y＝fx－3＝ π π π sin2 x－3＋3＝sin2x－3.
答案
D
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)
π A＞0，ω＞0，|φ|＜ 2
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-3-2-1
解析 π μ＝x＋ 6 x y＝cosμ 0 π － 6 1 π 2 2 π 6 0 π 5 π 6 －1 3 π 2 8 π 6 0 2π 11 π 6 1
描点作图(如图)．
例2
求下列函数的值域．
π π π (1)y＝3－2cos2x－3，x∈6，2；
(2)y＝－3sin
∴函数的值域为[1,4]． (2)y＝－3sin2x－4cosx＋4＝3cos2x－4cosx＋1.
π 2π 1 1 设t＝cosx，x∈3， 3 ，∴t∈－2，2.
∴y＝3t
2
1 1 －4t＋1在t∈－2，2时单调递减，
1 15 ∴当t＝－2时，ymax＝ 4 ，
π x＋ 2
的图象相同，
π 于是把正弦曲线向左平移 2 个单位就可以得到余弦函数的图 象． (2)余弦函数图象上有五个起关键作用的点，这五个点是
(0,1) 、π，0、 (π，－1) 、3π，0、 (2π，1)． 2 2
2．余弦函数的性质： (1)定义域为R，值域为 [－1,1] ，周期为2π.
)
答案 C
名师点拨 1.正弦曲线与余弦曲线的关系 把y＝sinx的图象向左平移 π 2 个单位就得到y＝cosx的图
象．这说明余弦曲线的形状和正弦曲线相同，只是位置不同而 已．学了余弦曲线以后，应在同一坐标系中，画出[0,2π]上的 正弦曲线和余弦曲线，标出两条曲线与坐标轴的交点坐标并观 察曲线，弄明白它们的相同点和不同点．抓住[0,2π]上这一周 期的曲线的区别，就不会将两条曲线混淆．
自测自评
π 1.下列函数中，在 0，2 上为增函数且以π为周期的函数是
(
) x A．y＝sin 2 C．y＝－cosx B．y＝sin2x D．y＝－cos2x
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：3-1-3
＋tanB)＝2，则 A＋B 等于( π A.4 5π C. 4 3π B. 4
cos15° －sin15° (2) ； cos15° ＋sin15° (3) tan17° ＋tan28° ＋tan17° · tan28° . 剖析 本题主要考查两角和与差的正切公式，重点考查逆
用、变式的能力．
解析 ＝ 3.
tan45° ＋tan15° (1) 原式＝ ＝ tan(45° ＋ 15° ) ＝ tan60° 1－tan45° tan15°
本题从公式逆用、变形思想出发，灵活地运用
了两角和与差的正切公式．
变式训练 1
计算：
(1) tan57° －tan12° －tan57° tan12° ； 1－ 3tan75° (2) ； 3＋tan75° 3－tan105° (3) . 1＋ 3tan105°
解析 (1)解法 1： 原式＝tan(57° －12° )(1＋tan57° tan12° )－tan57° tan12° ＝1＋tan57° tan12° －tan57° tan12° ＝1. tan57° －tan12° 解法 2：∵tan(57° －12° )＝ ， 1＋tan57° · tan12° ∴1＋tan57° · tan12° ＝tan57° －tan12° . ∴tan57° －tan12° －tan57° tan12° ＝1.
tanα－tanβ 2．tan(α－β)＝ 1＋tanαtanβ
.
思 考 探 究 两角和与差的正切公式对任意的 α，β 均成立吗？ 提示 不是的． 在两角和的正切公式中， 使用的条件是： α，
π β，α＋β≠kπ＋2(k∈Z)；使用两角差的正切公式时条件是：α， π β，α－β≠kπ＋2(k∈Z).
高中数学人教B版必修四3.2.1《倍角公式》ppt课件
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
倍角公式与三角函数性质的综合应用
这类问题是求函数的值域、单调区间、周期、对 称轴、对称中心等．求解时先将式子化简为y＝ Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式．
例3 已知函数 f(x)＝－4cos2x＋4 3sinxcosx＋5，x ∈R. (1)求 f(x)的最大值及取最大值时 x 的集合； (2)求 f(x)的单调递增区间．
－π6＋kπ，π3＋kπ(k∈Z)．
【点评】 我们在研究三角函数的性质时，一般 需要将函数表达式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k或 f(x)＝Atan(ωx＋φ)＋k的形式，利用f(x)＝sinx或 f(x)＝tanx的性质进行研究，在变换过程中倍角 公式和两角和与差的三角公式很重要．
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变式训练 3 已知函数 f(x)＝1－2sin2(x＋π8)＋2sin(x＋ π8)cos(x＋π8)． 求：(1)函数 f(x)的最小正周期； (2)函数 f(x)的单调区间．
解：(1)∵f(x)＝cos(2x＋π4)＋sin(2x＋π4) ＝ 2sin(2x＋π4＋π4)＝ 2sin(2x＋π2) ＝ 2cos2x， ∴函数 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
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变式训练 2 已知 sinα＋cosα＝13，且 0＜α＜π，求 sin2α，cos2α，tan2α 的值．
解：∵sinα＋cosα＝13，
∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝19，
∴sin2α＝－89 且 sinαcosα＝－49＜0， ∵0＜α＜π，sinα＞0，∴cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
倍角公式与三角函数性质的综合应用
这类问题是求函数的值域、单调区间、周期、对 称轴、对称中心等．求解时先将式子化简为y＝ Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式．
例3 已知函数 f(x)＝－4cos2x＋4 3sinxcosx＋5，x ∈R. (1)求 f(x)的最大值及取最大值时 x 的集合； (2)求 f(x)的单调递增区间．
－π6＋kπ，π3＋kπ(k∈Z)．
【点评】 我们在研究三角函数的性质时，一般 需要将函数表达式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k或 f(x)＝Atan(ωx＋φ)＋k的形式，利用f(x)＝sinx或 f(x)＝tanx的性质进行研究，在变换过程中倍角 公式和两角和与差的三角公式很重要．
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变式训练 3 已知函数 f(x)＝1－2sin2(x＋π8)＋2sin(x＋ π8)cos(x＋π8)． 求：(1)函数 f(x)的最小正周期； (2)函数 f(x)的单调区间．
解：(1)∵f(x)＝cos(2x＋π4)＋sin(2x＋π4) ＝ 2sin(2x＋π4＋π4)＝ 2sin(2x＋π2) ＝ 2cos2x， ∴函数 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
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变式训练 2 已知 sinα＋cosα＝13，且 0＜α＜π，求 sin2α，cos2α，tan2α 的值．
解：∵sinα＋cosα＝13，
∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝19，
∴sin2α＝－89 且 sinαcosα＝－49＜0， ∵0＜α＜π，sinα＞0，∴cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，
高中数学(人教B版)必修第四册：空间中点、线、面的位置关系【精品课件】
AA₁=2
例 已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
且AB=4，AD=3，AA₁=2.
（3）求平面ADD₁A₁与平面BCC₁B₁
之间的距离.
两平面平行，则平面ADD₁A₁与
平面BCC₁B₁ 之间的距离即为
AB=4.
小 结
点在线上
点与线
共面
两条直线
点不在线上
异面
平行
相交
小 结
点在面上
点与面
相交
1.点与直线
2.两条直线
3.点与平面
4.直线与平面
5.两个平面
空间中的直线可看成这条直线上所有点组成的集合.
位置关系
符号表示
图形表示
位置关系
符号表示
a // l
图形表示
空间中的两条直线既不平行也不相交，则称这
两条直线异面.
两条直线异面，则它们不同
在任何一个平面内.
用平面衬托的方法表示
两直线异面.
α//β, ∀A∈ α, 过A作AB⊥ β于B,
则线段AB的长为与的距离.
例 已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
且AB=4，AD=3，AA₁=2.
（1）求点A到平面BCC₁B₁的距
离；
（2）求直线AB到平面A₁B₁C₁D₁的
距离；
（3）求平面ADD₁A₁与平面BCC₁B₁
之间的距离.
例 已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
反例：
)
例 判断下列命题的正误：
(2)若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直
线都平行.
反例：
(
×
)
例 判断下列命题的正误：
(3)若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直
例 已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
且AB=4，AD=3，AA₁=2.
（3）求平面ADD₁A₁与平面BCC₁B₁
之间的距离.
两平面平行，则平面ADD₁A₁与
平面BCC₁B₁ 之间的距离即为
AB=4.
小 结
点在线上
点与线
共面
两条直线
点不在线上
异面
平行
相交
小 结
点在面上
点与面
相交
1.点与直线
2.两条直线
3.点与平面
4.直线与平面
5.两个平面
空间中的直线可看成这条直线上所有点组成的集合.
位置关系
符号表示
图形表示
位置关系
符号表示
a // l
图形表示
空间中的两条直线既不平行也不相交，则称这
两条直线异面.
两条直线异面，则它们不同
在任何一个平面内.
用平面衬托的方法表示
两直线异面.
α//β, ∀A∈ α, 过A作AB⊥ β于B,
则线段AB的长为与的距离.
例 已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
且AB=4，AD=3，AA₁=2.
（1）求点A到平面BCC₁B₁的距
离；
（2）求直线AB到平面A₁B₁C₁D₁的
距离；
（3）求平面ADD₁A₁与平面BCC₁B₁
之间的距离.
例 已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
反例：
)
例 判断下列命题的正误：
(2)若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直
线都平行.
反例：
(
×
)
例 判断下列命题的正误：
(3)若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：3-1-1
π π 4 已知 cosα＝5，α∈－2，0，求 cosα－4.
先根据条件求出 sinα 的值， 再根据公式求
π cosα－4
解析
π 4 ∵cosα＝5，α∈－2，0.
3 ∴sinα＝－5，
π π π cosα－4＝cosαcos4＋sinαsin4
6＋ 2 π π π π ＝cos3cos4＋sin3sin4＝ 4 .
答案
D
2．cos70° cos335° ＋sin110° sin25° 的值为( A．1 3 C. 2 2 B. 2 1 D. 2
)
解析
原式＝cos70° cos25° ＋sin70° sin25°
2 ＝cos(70° －25° )＝cos45° ＝ . 2
名 师 点 拨 对公式的理解 (1)上述公式中的 α、β 都是任意角． (2)公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子 含有同名弦函数之积的和 (差)式，可用口诀“余余、正正，号 相反”记忆公式． (3)要注意和(差)角的相对性， 掌握角的变化技巧， 如 2α＝(α ＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β 等．
5 3 ∴sin(α＋β)＝ 14 . ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα 11 1 5 3 4 3 1 ＝－ × ＋ × ＝ . 14 7 14 7 2
答案 B
4 5 3．△ABC 中，cosA＝5，cosB＝13，则 cosC 的值为( 33 A．－65 16 C.65 33 B.65 16 D．－65
)
解析
4 5 ∵A、B 是△ABC 的内角，cosA＝5，cosB＝13.
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-1-4
解析
1 2 (1)原方程化为3x＋(3a－15b)＝0
1 2 1 2 ∴3x＝－(3a－15b)，3x＝15b－3a. 2 ∴x＝5b－9a. (2)原方程化为 5x－6a＋12b＝0， 6 12 ∴5x＝6a－12b，x＝5a－ 5 b.
规律技巧
这是一个关于求未知量的向量方程，由于向量
具有许多与数完全相同的运算性质，我们可以按照解关于实数 方程的方法来解．
3a－6b＋7c.
3 1 1 3 3 5 7 5 (2)原式＝4＋2＋2a＋2－2－4b＝4a－4b.
例2
设 x 为未知向量，解关于 x 的方程．
1 2 (1) x＋3a－ b＝0； 3 15 (2)2(x－3a)＋3(x＋4b)＝0. 剖析 求 x 和解关于 x 的一元一次方程类似．
第二章 平面向量
2．1 向量的线性运算
2．1.4 数乘向量
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学 习 目 标 掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义.
自 学 导 航 1.数乘向量的定义 实数 λ 和向量 a 的乘积是一个 向量 ，记作 λa . (1)|λa|＝ |λ||a| . (2)当 λ>0 时，λa 的方向与 a 同方向 ；当 λ<0 时，λa 的方 向与 a 反方向 ；当 λ＝0 时，λa＝0.
变式训练 2
设 x，y 为未知变量 ① ②
1 2x－y＝a 解方程组 x－1y＝b 2
解析
3 ①×2－②得，－2y＝2a－b，
4 2 ∴y＝－3a＋3b. 3 ②×2－①得， x＝－a＋2b， 2 2 4 ∴x＝－ a＋ b. 3 3 2 4 x＝－3a＋3b， ∴原方程组的解为 y＝－4a＋2b. 3 3
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-1-1
(2)共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向相同 且模不等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．这样，也 就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相 等向量，而相等向量一定是共线向量． (3)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向 量是平行向量．
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
思考探究 1.向量就是有向线段，这种说法对吗？ 提示 不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用
有向线段表示向量．
2．“若a∥b，且b∥c，则a∥c”这个说法对吗？ 提示 不对，若b＝0，则a、c均可以是任意向量，所以
a、c不一定平行．平面几何中平行的传递性：a∥b，且b∥c， 则a∥c，在向量的平行中不再适用．解题时我们也要充分考虑 0的特殊性.
→ → →
3．向量的有关概念 零向量 长度等于零的向量，记作0，零向 量的方向不确定
相等的向量 同向且等长的有向线段表示的向量 向量共线 (平行) 基线互相平行或重合的向量，记作 a∥b.共线向量的方向相同或相反 规定：零向量与任意向量平行
任给一定点O和向量a，过点O作有向线段 位置向量 → OA ＝a，则点A相对于点O的位置被向量a所 → 唯一确定，这时向量 OA ，叫做点A相对于点 O的位置向量
答案
B
规律技巧
要准确地对命题进行判断，必须对有关概念有
准确清晰的理解和把握．
变式训练2
下列说法中不正确的是(
)
A．零向量与任意向量共线 B．零向量只能与零向量相等 → → C．若AB＝DC，则ABCD是平行四边形 → → D．平行四边形ABCD中，一定有AB＝DC
解析
→ → AB＝DC，有可能A、B、C、D四点共线，故C错．
第二章 平面向量
人教新课标B版高中数学必修4全册完整课件
函数名不变，符号看象限
2、研究角π/2+α与角α的正、余弦函数值的关系 在单位圆中，画出角α和角 π/2+α的终边，由终边的位置关系可得
Sinα=MP1,cosα=OM Sin(π/2+α)=NP2; cos(π/2+α)=ON
Rt△OP1M≌Rt△P2ON ∴ NP2=OM， ON=-MP1
Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα
=> tan(π/2+α)= -cotα => tan(π/2-α)=cotα
常用的正弦、余弦、正切诱导公式
1、同终边诱导公式 Sin(2kπ+α)=sin α cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tan α
4、二象限诱导公式 Sin(π-α)=sin α α)= - cosα tan(π-α)= - tan α
诱导公式
你记住了吗？
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
弧 度
0
6
43
2
2 3 5
346
3 2
2
0 1 0 1 0 sin
1 23 222
3 2
2 2
1 2
1 0 1 0 1 cos
3
21
2 22
1 2
2 3 22
0 1 tan
视α为锐角，函数名不变，符号看象限
6、锐角互余诱导公式 Sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα tan(π/2-α)=cotα
7、钝角互余诱导公式 Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα tan(π/2+α)= -cotα
2、研究角π/2+α与角α的正、余弦函数值的关系 在单位圆中，画出角α和角 π/2+α的终边，由终边的位置关系可得
Sinα=MP1,cosα=OM Sin(π/2+α)=NP2; cos(π/2+α)=ON
Rt△OP1M≌Rt△P2ON ∴ NP2=OM， ON=-MP1
Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα
=> tan(π/2+α)= -cotα => tan(π/2-α)=cotα
常用的正弦、余弦、正切诱导公式
1、同终边诱导公式 Sin(2kπ+α)=sin α cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tan α
4、二象限诱导公式 Sin(π-α)=sin α α)= - cosα tan(π-α)= - tan α
诱导公式
你记住了吗？
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
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0 1 0 1 0 sin
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2 3 22
0 1 tan
视α为锐角，函数名不变，符号看象限
6、锐角互余诱导公式 Sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα tan(π/2-α)=cotα
7、钝角互余诱导公式 Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα tan(π/2+α)= -cotα
高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.1.2数列的递推公式(选学)
1 自主学习
PART ONE
知识点一 递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第 二 项(或某一项)开始的任一项_a_n_与 它的前一项 an－1 (或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个 公式叫做这个数列的递推公式. 特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有 递推公式. (2)递推公式也是表示数列的一种重要方法，它和通项公式一样，都是关于项数 n的恒等式. (3)递推公式可以通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需 的项.
第二章 §2.1 数 列
2.1.2 数列的递推公式(选学)
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解数列的几种表示方法，能选择适当的方法表示数列. 2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 3.了解用叠加法、叠乘法由递推公式求通项公式.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
12345
课小结
KETANGXIAOJIE
1.{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列 的一种简记情势.而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整 体”的从属关系. 2.数列的表示方法 (1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法. 3.通项公式和递推公式的区分：通项公式直接反应an和n之间的关系，即an 是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公 式则是间接反应数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推 导关系，不能由n直接得出an.
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
高中数学(人教B版)必修第四册：棱柱【精品课件】
（2）写出这个多面体的一条面 对角线和体对角线；
（3）判断直线BE与面ABCD的 位置关系.
例.如图是由长方体截掉一个角得 到的多面体. （1）分别写出这个多面体顶 点，棱和面的个数；
例.如图是由长方体截掉一个角得 到的多面体. （1）分别写出这个多面体顶 点，棱和面的个数；
共有10个顶点，15条棱，7个面
例.如图是一个底面为菱形的直四 棱柱，AB=1，AA'=2. （1）判断直线AB与CC'，直线 AB与A'B'的位置关系； （2）求面对角线AB'的长； （3）求这个四棱柱的侧面积；
例.如图是一个底面为菱形的直四
棱柱，AB=1，AA'=2.
（4）若BAD 60 ，求体对角 线AC'的长.
例.如图是一个底面为菱形的直四 棱柱，AB=1，AA'=2. （1）判断直线AB与CC'，直线 AB与A'B'的位置关系； 直线AB与CC'异面 直线AB与A'B'平行
例.如图是由长方体截掉一个角得 到的多面体. （2）写出这个多面体的一条面 对角线和体对角线；
例.如图是由长方体截掉一个角得 到的多面体. （2）写出这个多面体的一条面 对角线和体对角线；
面对角线：AC，AE，AN等 体对角线：AM，AC'等
例.如图是由长方体截掉一个角得 到的多面体. （3）判断直线BE与面ABCD的 位置关系.
底面是矩形的平行六面体，它的侧棱不一定与底 面垂直，因此侧面只能确定是平行四边形，不一定是 矩形，所以它不是长方体.
正四棱柱的底面为正方形，正方形是特殊的平行四 边形，因此它是平行六面体. 又因为正四棱柱也是直四 棱柱，它的侧棱垂直于底面，因此也是直平行六面体.
（3）判断直线BE与面ABCD的 位置关系.
例.如图是由长方体截掉一个角得 到的多面体. （1）分别写出这个多面体顶 点，棱和面的个数；
例.如图是由长方体截掉一个角得 到的多面体. （1）分别写出这个多面体顶 点，棱和面的个数；
共有10个顶点，15条棱，7个面
例.如图是一个底面为菱形的直四 棱柱，AB=1，AA'=2. （1）判断直线AB与CC'，直线 AB与A'B'的位置关系； （2）求面对角线AB'的长； （3）求这个四棱柱的侧面积；
例.如图是一个底面为菱形的直四
棱柱，AB=1，AA'=2.
（4）若BAD 60 ，求体对角 线AC'的长.
例.如图是一个底面为菱形的直四 棱柱，AB=1，AA'=2. （1）判断直线AB与CC'，直线 AB与A'B'的位置关系； 直线AB与CC'异面 直线AB与A'B'平行
例.如图是由长方体截掉一个角得 到的多面体. （2）写出这个多面体的一条面 对角线和体对角线；
例.如图是由长方体截掉一个角得 到的多面体. （2）写出这个多面体的一条面 对角线和体对角线；
面对角线：AC，AE，AN等 体对角线：AM，AC'等
例.如图是由长方体截掉一个角得 到的多面体. （3）判断直线BE与面ABCD的 位置关系.
底面是矩形的平行六面体，它的侧棱不一定与底 面垂直，因此侧面只能确定是平行四边形，不一定是 矩形，所以它不是长方体.
正四棱柱的底面为正方形，正方形是特殊的平行四 边形，因此它是平行六面体. 又因为正四棱柱也是直四 棱柱，它的侧棱垂直于底面，因此也是直平行六面体.
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的坐标，然后求解或证明．
解析
(1)∵AC＝5，∴x－(－1)＝5，∴x＝4.
→ (2)∵|BD|＝3.∴|y－2|＝3. ∴y－2＝3 或 y－2＝－3，∴y＝5 或 y＝－1. → → (3)∵AC＝－3AD，∴AC＝－3AD. AC＝x＋1，AD＝y＋1，∴x＋1＝－3(y＋1)， ∴x＝－3y－4. CD＝y－x＝y－(－3y－4)＝4y＋4， ∴3CD＝12y＋12.
第二章 平面向量
2．1 向量的线性运算
2．1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学 习 目 标 掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义.
自 学 导 航 1.向量共线的条件 (1)平行向量基本定理： 如果 a＝λb，那么 a∥b；反之，如果 a∥b(b≠0)，那么一 定 存在唯一一个实数 λ ，使 a＝λb.
②已知轴 l，取单位向量 e，使 e 的方向与 l 的方向 相同 ， 对轴上任意向量 a，一定存在唯一实数 x，使 a＝xe，x 叫做 a 在 l 上的坐标(或数量)．向量 e 叫做轴 l 的基向量． ③给定单位向量 e， 能生成与它平行的所有向量的集合{xe|x ∈R}． ④x 的绝对值等于 a 的长，当 a 与 e 同方向 时，x 是正数， 当 a 与 e 反方向 时，x 是负数．
答案
C
→ → → 3．已知向量 a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝ 7a－2b，则一定共线的三点是( A．A、B、D C．B、C、D )
B．A、B、C D．A、C、D
解析
→ → → BD＝BC＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)
→ ＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB. ∴A、B、D 三点共线．
(2)若 b＝λa，则 a 与 b 共线，即可以通过该定理来分析向 量 a 及向量 b 所在直线的情况，为证明线线平行(共线)等问题 提供了有力的依据．
2．实数与轴上向量的关系 (1)轴上向量坐标符号的确定：当 a 与 e 同方向时，x 为正 数；当 a 与 e 反方向时，x 为负数． (2)实数与轴上的向量建立了一一对应的关系，因此可以用 数值表示向量，奠定了向量数量化的基础． (3)轴不同于数轴，当在轴上选定一点 O 作为原点时，轴就 成了数轴．
AC＝x＋1＝－3y－4＋1＝－3y－3. ∴－4AC＝12y＋12. → → ∴3CD＝－4AC，∴3CD＝－4AC.
答案 A
4．向量 a＝m－2n，b＝3m＋n，其中非零向量 m 与 n 共 线，则 a－b 与 c＝3m－n 的关系是( A．不共线 C．相等 B．共线 D．无法确定 )
解析
∵非零向量 m 与 n 共线，
∴存在实数 λ，使得 m＝λn. a－b＝－2m－3n＝(－2λ－3)n， c＝3m－n＝(3λ－1)n， ∴a－b 与 n 共线，c 与 n 共线． ∵n 是非零向量，∴a－b 与 c 共线．
答案 B
名 师 点 拨 1.平行向量基本定理的理解 平行向量基本定理为运用向量判定直线平行或三点共线等 几何问题提供了理论依据．理解时应注意以下几点： (1)定理本身包含了正反两个方面： 若存在一个实数 λ， 使a ＝λb(b≠0)，则 a 与 b 共线；反之，若 a 与 b 共线(a≠0)，则必 存在唯一的实数 λ，使 a＝λb.
(2)向量 a 的单位向量： 给定一个非零向量 a，与 a 同方向 且长度 等于 1 的向量， 叫做向量 a 的单位向量．如果 a 的单位向量记作 a0(如图)，由 a 数乘向量的定义可知：a＝|a|a0 或 a0＝|a|.
2．轴上向量的坐标及其运算 (1)轴上向量的坐标： ①规定了 方向和长度单位 的直线叫做轴(如图)．
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例 1 已知数轴上四点 A，B，C，D 的坐标分别为－1，2，x， y. (1)若 AC＝5，求 x 的值； → (2)若|BD|＝3，求 y 的值； → → → → (3)若AC＝－3AD，求证：3CD＝－4AC. 剖析 首先根据数轴上点的坐标，表示出两点对应的向量
解析
AB＝－2－4＝－6.
答案
C
→ 1→ → → 2．在四边形 ABCD 中，DC＝2AB，且|AD|＝|BC|，则这个 四边形是( ) B．矩形 D．菱形
A．平行四边形 C．等腰梯形
解析
→ 1→ → DC＝2AB，说明 DC 与 AB 平行且不相等．又|AD|
→ ＝|BC|，所以 AD＝BC，故应构成等腰梯形，C 正确．
(2)轴上向量的坐标运算： ①轴上的两个向量相等的法则：轴上两个向量相等的条件 是它们的 坐标相等 ，即设 a＝x1e，b＝x2e，则 a＝b⇔ x1＝x2 . ②轴上两个向量和的法则：轴上两个向量和的坐标等于两 个向量的 坐标的和 ， 即设 a＝x1e， b＝x2e， 则 a＋b＝(x1＋x2)e. → 如果设 e 是轴 l 上的一个基向量，AB的坐标又常用 AB 表示，此 → → 时AB＝ AB e，显然BA＝BAe，AB 与 BA 绝对值 相同 ，符号
相反，即 AB＋BA＝0.一般地，有 AB＋BC＝AC.
③轴上向量的坐标和数轴上两点间的距离公式：轴上向量 的坐标等于向量 终点的坐标减去始点的坐标 如图所示， 在数轴 x 上， 已知点 A 的坐标为 x1， 点 B 的坐标为 x2， 于是得 AB＝AO ＋OB＝－OA＋OB＝x2－x1.所以数轴上两点 A、 B 的距离公式为 |AB|＝|x2－x1|.在应用数轴上向量的坐标公式时，要特别注意是 终点坐标减去始点坐标.
思 考 探 究 1. 平行向量基本定理中的条件“b≠0”能否去掉？为什 么？ 提示 不能去掉．若 b＝0，则 0∥a，但 λ0进而不能说存在唯一一个实数 λ 使 得 a＝λb.
2．一般直线与轴的区别是什么？ 提示 规定了方向与长度单位的直线是轴.
自 测 自 评 → 1.数轴上两点 A、B 的坐标分别为 4，－2，则AB的坐标为 ( ) A．－2 C．－6 B．2 D．6