最新衡水中学校内自用精品高三数学一轮复习： 第2章 第4节 二次函数与幂函数

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题2-4二次函数与幂函数【核心素养分析】1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。

【重点知识梳理】 知识点一 幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 知识点二 二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质【特别提醒】1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.【典型题分析】高频考点一 幂函数的图象与性质例1.(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.【答案】－1【解析】由题意知α可取－1，1，3.又y ＝x α在(0，＋∞)上是减函数， ∴α<0，取α＝－1.【方法技巧】(1)幂函数y ＝x α的形式特点是“幂指数坐在x 的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y 轴左侧的增减性即可．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【变式探究】（2020·山东临沂一中质检）幂函数y ＝x (m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3＜0，即－1＜m ＜3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．高频考点二 求二次函数的解析式例2.（2020·河北衡水中学调研） 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求二次函数f (x )的解析式．【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】法一：(利用二次函数的一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 2-2-3mm法三：(利用二次函数的零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8， 即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，故所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 【方法技巧】求二次函数解析式的策略 （1）已知三点坐标，选用一般式（2）已知顶点坐标、对称轴、最值，选用顶点式 （3）已知与x 轴两点坐标，选用零点式【变式探究】（2020·湖南湘潭二中模拟）已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________.【答案】19x 2＋49x －59【解析】法一：(一般式)设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由已知得⎩⎨⎧－b2a＝－2，4ac －b24a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法二：(顶点式)设所求解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k . 由已知得f (x )＝a (x ＋2)2－1， 将点(1,0)代入，得a ＝19，所以f (x )＝19(x ＋2)2－1，即f (x )＝19x 2＋49x －59.高频考点三 二次函数的图象及应用例3.（2020·吉林长春实验中学模拟）对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()【答案】A【解析】若0<a<1，则y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴在y轴左侧，排除C，D.若a>1，则y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足.【方法技巧】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【变式探究】（2020·河南商丘一中模拟）已知abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()A BC D【答案】D【解析】A项，因为a＜0，－b2a＜0，所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故A错．B项，因为a＜0，－b2a＞0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B错．C项，因为a＞0，－b2a＜0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C错．D项，因为a＞0，－b2a＞0，所以b＜0，因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＜0，故选D。

第4讲幂函数与二次函数[最新考纲]1．了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝的图象，了解它们的变化情况．3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]增增(－∞，0)减，(0，减，[0，＋∞)增＋∞)减定点 (0,0)，(1,1)(1,1)(1)二次函数的定义形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，(m ，n )为顶点坐标；③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)其中x 1，x 2分别是f (x )＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)图象a >0a <0定义域 RR值域 y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞y ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－b2a 顶点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性 b ＝0⇔y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数 递增 区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 递减 区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 最值当x ＝－b2a 时，y 有最小值y min当x ＝－b2a 时，y 有最大＝4ac －b 24a值y max ＝4ac －b 24a辨 析 感 悟1．对幂函数的认识(1)函数f (x )＝x 2与函数f (x )＝2x 2都是幂函数．(×) (2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．(×) (3)幂函数的图象不经过第四象限．(√) 2．对二次函数的理解(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．(×)(5)(教材习题改编)函数f (x )＝12x 2＋4x ＋6，x ∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.(×)(6)(2011·陕西卷改编)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ≤4.(×)学生用书第19页[感悟·提升三个防范 一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域．三是一元二次方程有实根的充要条件为Δ≥0，但还要注意n ∈N *，如(6)．考点一 幂函数的图象与性质的应用【例1】 (1)(2014·济南模拟)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 4f (2)的值为()．A.14B．－14C．2 D．－2(2)函数y＝13x的图象是()．解析(1) 设f(x)＝xα，由图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，22，得⎝⎛⎭⎪⎫12α＝22＝1212⎛⎫⎪⎝⎭⇒α＝12，log4f(2)＝4log122＝14.(2)显然f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0＜x＜1时，x31＞x；当x ＞1时，x31＜x，知只有B选项符合．答案(1)A(2)B规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【训练1】比较下列各组数的大小：⑴121.1，120.9，1；⑵2322⎛⎫- ⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1-.解⑴把1看作121，幂函数y＝12x在(0，＋∞)上是增函数．∵0＜0.9＜1＜1.1，∴120.9＜121＜121.1.即120.9＜1＜121.1.⑵因为2322⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2322⎛⎫⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭＝23710⎛⎫- ⎪⎝⎭＝23710⎛⎫⎪⎝⎭，()431.1-＝()2321.1＝231.21，幂函数y＝23x在(0，＋∞)上是增函数，且710＜22＜1.21.∴23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭＜2322⎛⎫- ⎪⎝⎭＜(－1.1)43.考点二二次函数的图象与性质【例2】(2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是()．A．②④B．①④C．②③D．①③解析因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a ＜0，所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确． 答案 B规律方法 解决二次函数的图象问题有以下两种方法： (1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【训练2】 (2014·广东六校教研协作体联考)已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)，对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．解析 当x 0∈[－1,2]时，由f (x )＝x 2－2x 得f (x 0)∈[－1,3]，又对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，∴当x 1∈[－1,2]时，g (x 1)∈[－1,3]．当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，解得a ≤12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12考点三 二次函数的综合运用【例3】 若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 审题路线 f (0)＝1求c →f (x ＋1)－f (x )＝2x 比较系数求a ，b →构造函数g (x )＝f (x )－2x －m →求g (x )min →由g (x )min ＞0可求m 的范围． 解 (1)由f (0)＝1，得c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1).学生用书第20页规律方法 一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．【训练3】 (2014·江西九校联考)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (c ＞0且为常数)的导函数的图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式(用含c 的式子表示)； (2)令g (x )＝f (x )x ，求y ＝g (x )在[1,2]上的最大值． 解 (1)∵f ′(x )＝2ax ＋b ，由图可知，f ′(x )＝2x ＋1， ∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，b ＝1，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，故所求函数的解析式为f (x )＝x 2＋x ＋c . (2)g (x )＝f (x )x ＝x 2＋x ＋c x ＝x ＋c x ＋1， 则g ′(x )＝1－c x 2＝x 2－c x 2＝(x ＋c )(x －c )x 2.①若c ＜1，即0＜c ＜1时，g ′(x )＞0， ∴g (x )在[1,2]上是增函数，故g (x )max ＝g (2)＝c2＋3.②若1≤ c ≤2，即1≤c ≤4，当1≤x ＜c 时，g ′(x )＜0，当c ＜x ≤2时，g ′(x )＞0，∵g (1)＝c ＋2，g (2)＝c2＋3，∴当1≤c ≤2时，g (1)≤g (2)，g (x )max ＝g (2)＝c2＋3； 当2＜c ≤4时，g (1)＞g (2)，g (x )max ＝g (1)＝c ＋2. ③若c ＞2，即c ＞4时，g ′(x )＜0，∴g (x )在[1,2]上是减函数，故g (x )max ＝g (1)＝c ＋2. 综上所述，当0＜c ≤2时，g (x )max ＝c2＋3；当c ＞2时， g (x )max ＝c ＋2.1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题【典例】 (12分)(经典题)求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．[规范解答] 函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2＜－1，－1≤a 2≤1，a2＞1，即a ＜－2，－2≤a ≤2和a ＞2三种情形讨论． (2分) (1)当a ＜－2时，由图(1)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ； (5分)(2)当－2≤a ≤2时，由图(2)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24；(8分)(3)当a ＞2时，由图(3)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1. (11分)综上可知，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ＜－2，a 24，－2≤a ≤2，a －1，a ＞2.(12分)[反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)部分学生易出现两点错误：①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ＜－2，a24，－2≤a ≤2，a －1，a ＞2.答题模板 第一步：配方，求对称轴．第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论． 第三步：求最值． 第四步：下结论． 【自主体验】已知函数f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a 的值．解 f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ，对称轴为x ＝a 2，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－4a .①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在区间[0,1]上递增． ∴y max ＝f (1)＝－4－a 2.令－4－a 2＝－5， ∴a ＝±1＜2(舍去)．②当0＜a2＜1，即0＜a ＜2时，y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－4a ，令－4a ＝－5，∴a ＝54∈(0,2)． ③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在区间[0,1]上递减， 此时f (x )max ＝f (0)＝－4a －a 2.令－4a －a 2＝－5，即a 2＋4a －5＝0，∴a ＝－5或a ＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或a ＝－5.对应学生用书P233基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( )．A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析 设幂函数y ＝x α，则2α＝14，解得α＝－2，所以y ＝x －2，故函数y ＝x －2的单调递增区间是(－∞，0)． 答案 C2．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )．A ．f (－2)＜f (0)＜f (2)B ．f (0)＜f (－2)＜f (2)C ．f (2)＜f (0)＜f (－2)D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)解析 函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图象的对称轴为x ＝12，又函数图象开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大． 答案 D3．(2014·北京八十中模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x 为增函数，由于f (x )是奇函数，故f (x )在R 上为增函数．由f (2－a 2)＞f (a )得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.故实数a 的取值范围是(－2,1)． 答案 C4．若a ＜0，则0.5a,5a,5－a 的大小关系是( )． A ．5－a ＜5a ＜0.5a B ．5a ＜0.5a ＜5－a C ．0.5a ＜5－a ＜5a D ．5a ＜5－a ＜0.5a解析 5－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15a ，因为a ＜0时，函数y ＝x a 单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a ＜0.5a ＜5－a . 答案 B5．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )．解析 由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0. ∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a ＞0， 知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a ＜0，B 错误． 答案 D 二、填空题6．(2014·上海中学一检)方程x 2－2ax ＋4＝0的一根大于1，一根小于1，则实数a 的取值范围是________．解析 设f (x )＝x 2－2ax ＋4，则f (1)＜0，解得a ＞52. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞7．(2013·南昌检测)已知函数y ＝－x 2＋4ax 在区间[1,3]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析 根据题意，得对称轴x ＝2a ≤1，所以a ≤12. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，128．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，(x －1)3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析 将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点．作出函数f (x )的图象，如图，由图象可知，当0<k <1时，函数f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)． 答案 (0,1) 三、解答题9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且f (x )＞－2x 的解集为{x |1＜x ＜3}，方程f (x )＋6a ＝0有两相等实根，求f (x )的解析式． 解 设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3) (a ＜0)， 则f (x )＝ax 2－4ax ＋3a －2x ，f (x )＋6a ＝ax 2－(4a ＋2)x ＋9a ，Δ＝[－(4a ＋2)]2－36a 2＝0，即(5a ＋1)(a －1)＝0， 解得a ＝－15或a ＝1(舍去)．因此f (x )的解析式为f (x )＝－15x 2－65x －35.10．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ； 当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎨⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·江门、佛山模拟)已知幂函数f (x )＝x α，当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，则α的取值范围是( )．A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)解析 当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，即当x ＞1时，函数f (x )＝x α的图象在y ＝x 的图象的下方，作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图象，由图象可知α＜1时满足题意，故选B. 答案 B2．设函数f (x )＝－2x 2＋4x 在区间[m ，n ]上的值域是[－6,2]，则m ＋n 的取值所组成的集合为( )． A ．[0,3] B ．[0,4] C ．[－1,3] D ．[1,4]解析 由题意得，函数f (x )＝－2x 2＋4x 图象的对称轴为x ＝1，故当x ＝1时，函数取得最大值2.因为函数的值域是[－6,2]，令－2x 2＋4x ＝－6，可得x ＝－1或x ＝3， 所以－1≤m ≤1,1≤n ≤3， 所以0≤m ＋n ≤4. 答案 B 二、填空题3．已知函数f (x )＝12x ，给出下列四个命题： ①若x ＞1，则f (x )＞1；②若0＜x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1； ③若0＜x 1＜x 2，则x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)； ④若0＜x 1＜x 2，则f (x 1)＋f (x 2)2＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 其中，所有正确命题的序号是________． 解析 对于①：∵y ＝12x 在(0，＋∞)上为增函数，∴当x ＞1时，f (x )＞f (1)＝1，①正确；对于②：取x 1＝14，x 2＝4，此时f (x 1)＝12，f (x 2)＝2，但f (x 2)－f (x 1)＜x 2－x 1，②错误；对于③：构造函数g (x )＝f (x )x ＝xx ，则g ′(x )＝x2x －x x 2＝－x2x 2＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上为减函数，当x 2＞x 1＞0时，有f (x 2)x 2＜f (x 1)x 1，即x 1f (x 2)＜x 2f (x 1)，③错误；对于④：画出f (x )＝12x 在(0，＋∞)的图象，可知f (x 1)＋f (x 2)2＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，④正确． 答案 ①④ 三、解答题4．(2014·辽宁五校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值． 解 (1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)， ∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x (x ＞0)，x 2＋2x (x ≤0).(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值．综上，g (x )min ＝⎩⎨⎧1－2a (a ≤0)，－a 2－2a ＋1(0＜a ≤1)，2－4a (a ＞1).学生用书第21页必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。