河海大学,材料力学,课件,力学,第5章,应力状态分析1

2
σ1


y

40
x
40°

40
D
1
E1
e

y

x
a
x
e

d
x


x


x
x
x

x
x

x


x

y

f y
y
x

b

b
z

c
y

y

y
f t
(设ef的面积为dA)
e

—— 平面应力状态下任意斜截面上 的σα和τα计算公式。
x

x



b


y

y
f t
列平衡方程：
n : d A ( x d A cos ) sin ( x d A cos ) cos ( y d A sin ) cos ( y d A sin ) sin 0

y
0 90
0

x
2
y

(

x
2
y
)
2

2

x

x

1

x
0
σ1σ
2


x
2
y


(
x
2
y
)
2
2 x
主单元体
二、图解法


x y
2 x 2
y

x y
2
co s 2 x sin 2 ①
②
sin 2 x co s 2
y
解：1°解析法 σ1σ
2


30
30
30°

x
2
y


(
x
2

y
x
)
2
2 x


y

40
x
40°
1 75 . 2 MPa
3 45 . 2 MPa
tan 2 0 2 x

40

1
69.2
20.8
3

x

y
2 0 180
0
41 . 63
2
y
2 x
2
若以σ为横轴，τ为纵轴，则该圆的圆心在

(
x
2
y
,0 )
处，半径为

(
x
2
y
)
2
2 x
。这样的
圆——Mohr应力圆（莫尔圆）。


x
2
y
2
2

x
2
y
2 x
2
y
应力圆的作法：
2 A2

y

y
E
D
1

2

x

x
2
B
2 0
B
1

x
1

x
0
2
O


CF
y
A1 1

D
y
2

x
作应力圆时，应注意以下三个关系： ①点面对应关系：应力圆上一点，对应于单元 体中某一截面。 ②起始对应关系：在应力圆上选择哪个半径 作起始半径，应根据单元体的α角从哪根轴量。x 轴~CD1半径,y轴~CD2半径。 ③转向、转角对应关系：俩者转向一致；当单 元体为α时，应力圆上自起始半径量2α角。 作应力圆量取线段OB1、OB2、B1D1和B2D2时， 需根据单元体上相应的应力正负，量取正、负坐 标。
图解法：从应力圆上量取：
OF , EF
1 O A1 ,
2 O A2
0
1 2
D 1 C A1
例1：图示单元体上，有σx=-30MPa， σy=60MPa， τx=-40MPa。试用解析法和图解法确定α1=30°和 α2=-40°两截面上的应力,且求主应力和主方向。 解：1°解析法


y

0
y
90

0

——任意两个互相垂直的截 面上的正应力之和 为常数， 切应力服从切应力互等定理。
90



x

x
x
2、主平面、主应力
令
0
0
tan 2 0
2 x
x

y
0

x
2
y

(
x
2
y
y
)
2
2 x

2 x
y
y

x
2
x

2
x
2
y
co s 2 x sin 2
2 2 x
2

2
y
2
x
y
x 2
y
x 2 2
t : d A ( x d A co s ) co s ( x d A co s ) sin ( y d A sin ) sin ( y d A sin ) co s 0
e

—— 平面应力状态下任意斜截面上 的σα和τα计算公式。 对于与ef 垂直的截面上的应力，
0
0 69 . 2
0

例1：图示单元体上，有σx=-30MPa， σy=60MPa， τx=-40MPa。试用解析法和图解法确定α1=30°和 α2=-40°两截面上的应力,且求主应力和主方向。 解： 2°图解法
D
2

y

30
30
30°
E2 σ2
B
1
O

x
80
O
60
C 2α 0
O
B
90 0
x
x

x



b


y

y
f t
2
y

y

x
2
y
Cos 2 x Sin 2
90 0

x
2
Sin 2 x Cos 2
90 o
x

y
常数
y
90 o

y

30
30
30°

30 27 . 14 MPa
0
x

40°
x
40 40
y
30

0
58 . 97 MPa

40
32 . 2 MPa
40 37 . 3 MPa
例1：图示单元体上，有σx=-30MPa， σy=60MPa， τx=-40MPa。试用解析法和图解法确定α1=30°和 α2=-40°两截面上的应力,且求主应力和主方向。
1 2 3
当一个主应力不为零，其余两个主应
力为零——单向应力状态。 当两个主应力不为零，其余一个主应 平面应力状态 复杂应力状态
力为零——二向应力状态。
当三个主应力不为零——三向应力状
态 / 空间应力状态。
§5－2 平面应力状态分析
一、解析法:
1.任意斜面上的应力
y

y

y
y
n
y
2
y
应力圆的作法：
2 A2

y

y
E
D
1


x

x
2

B
1

x
x
B
2
O


CF
y
A1 1

D
y
2

x
应力圆上点 的坐标 和斜截面上的应力有着 一 一对应的关系。


x
2
yБайду номын сангаас
2
2

x
2
y
2 x
应力状态分析
§5－1 应力状态的概念
构件内不同截面上应力不同； 同一截面不同点的应力也不同; 经过一点不同方位截面上的应力情况也不同.
F


F
T

T


x
n





x
x
σ3 σ1
τ
经过一点不同方位截面上的应力情况不同
一点处各方位截面上的应力情况的
集合——该点的应力状态。
为什么要研究一点的应力状态？
•单向应力状态：

[σ ]


• 纯剪切应力状态：


[ ]
•既不是单向应力状 态，也不是纯剪切应
力状态：





单元体—无限小的微体




•各面上的应力均匀分布
• 相互平行的一对面上，应力大小相等、符号 相同