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河海大学,材料力学,课件,力学,第5章,应力状态分析1

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第五章 应力状态和应变状态分析

第五章 应力状态和应变状态分析

2
2
2
2
CE CD
CA2 AD2


x

2
y
2


2 x
E点的横坐标和纵坐标分别等于α 面上的正应力和切应力。
OF OC CEcos(2α0 2 )
OC CEcos2α0cos2α CEsin2α0sin2α OC (CDcos2α0 )cos2α (CDsin2α0 )sin2α OC CAcos2α ADsin2α


x
y
2
x
y
2
c os 2
x sin 2
[80 40 80 40 cos80 (60) sin(80)]MPa
2
2
89.51MPa


x
y
2
sin 2
x
c os 2
[80 40 sin 80 (60) cos80]MPa 2
l+ -
Fab
l+ +
Bx FB
Fa l
第一节 应力状态概念
一、单元体应力状态及其表示法 构件受力后，构件内过某一点的各个截面上的应力情况 的集合称为一点处的应力状态，简称一点的应力状态。 单元体。假定：单元体各个面上的应力都是均匀分布的， 且两个平行面上的应力大小相等。
F
K


K

T
γ
TR
F
y
截面上的正应力和切应力。此圆称为应力圆，也称为莫尔圆。
应力圆的绘制
τ σα E
C
τα
O
σ
(σx+ σy)/2 R

河海大学材料力学课件

河海大学材料力学课件
★构件不满足这些条件都有可能引起结构的破坏。
HOHAI UNIVERSITY
1940年，美国华盛顿州的塔克马新建成了一座索桥，但建成才4个月 就被每秒19米的横风所摧毁。后来弄清桥梁被毁是横风引起的自感应震动 造成的。这一原理弄清以后，带动了索桥技术的飞跃发展。日本明石海峡 大桥能承受每秒80米的狂风，这其中也包含了塔克马索桥的教训。 1952年，德哈维兰· 彗星式喷气式飞机问世后名噪一时，但在其后 不久连续发生坠落事故。后来才知道是当时并不知晓的金属疲劳的原理 在作怪，波音公司汲取了教训，把高空中的金属疲劳知识应用于新飞机 的开发，结果波音公司席卷了世界飞机市场。
FR
Fz
q FR
F1
Mz
Fx、Fy ——剪力 Fy： My： ——轴力
FR Mx Fx My
Fy
Mx、Mz——弯矩
——扭矩
HOHAI UNIVERSITY
第一章 绪论
二、应 力
△F
τ σ B
p
内力的集度
B
△A
σ—正应力 τ—切应力
ΔF — 微小面积△A上的 ΔA
平均应力
p lim
A0
F A
2、扭 转
MT
MT
F M
3、弯 曲
HOHAI UNIVERSITY
第一章 绪论
外力及分类
一、按外力的分布状况分类 1、体积力（体力）
q
q
2、面积力（面力）
（1）集中力 （2）线分布力 非均布力( q =非常量) 均布力（q =常量）
HOHAI UNIVERSITY
第一章 绪论
二、按外力作用时与时间的关系分类
（1）内容的系统性强
（2）有科学的研究方法

河海大学 材料力学 杆件横截面上的应力应变分析

河海大学 材料力学 杆件横截面上的应力应变分析

2
4
= 149 MPa
§3-2 直杆轴向拉压时横截面上的正应力
一、横截面上的应力公式推导 三个问题
(1)应力形式？ (2)应力分布？ (3)应力大小？ 从几何(变形)、物理、静力学三个方面分析
1 、几何(变形)关系 F
F
变形现象
F (1)杆件拉长，纵线、横线
仍为直线。
(2)横线仍垂直于轴线。
FF
s
平截面假设(plane assumption): 变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于 轴线。
例3-1 等直杆，F1=10kN，F2=40kN，F3=50kN，
F4=20kN，截面直径d=16mm。试求杆内的最大应力。
F1
F2
F3
F4
A
B
10kN (+)
CD
20kN (+)
FN图
(–) 30kN
|FN| max=30kN
smax=
|—FN—| m—ax A
=
30×10 3
————
p —
×16
(1)所有纵向纤维伸长都相等，即e =常量。
(2)横截面上各点处只产生正应力，无切应变(切应力)
2、物理关系：s = Hale Waihona Puke e = 常量。 t = Gg= 0
横截面上各点处的正应力相等(s 沿横截面均匀分布)
3、静力学关系
F
FN =
sdA = s A
A
s
s = —F—N
A
s(x) = —FN—(x—)
A(x)
公式应用说明：
(1)适用于横截面为任意形状的直杆。
(2)正应力与轴力具有相同的正负符号。

大学材料力学 应力状态PPT课件

大学材料力学 应力状态PPT课件

x y x - y cos 2 xy sin 2 2 2
x - y sin 2 - xy cos 2 2
29
2


应力状态/平面应力状态分析
01:01:32
因此



即单元体两个相互垂直面上 x 的正应力之和是一个常数。

dA· sin
应力状态/平面应力状态分析
01:01:32
Ft 0
x
dA· cos t
e

n
dA - (dA cos ) sin x - (dA cos ) cos (dA sin ) sin
xy
(dA sin ) cos 0
y
01:01:31
应力的三个重要的概念 1、应力的面的概念 2、应力的点的概念 3、应力状态的概念
8
应力状态/应力状态的概念及其描述
01:01:31
（二）一点应力状态的描述
• 微单元
dx , dy , d z 0
9
应力状态/应力状态的概念及其描述
01:01:31
若单元体各个面上的应力已知，
由平衡即可确定任意方向面上的正
轴向拉压 F


FN 同一横截面上各点应力相等： A
F

同一点在斜截面上时：
4
cos2
sin 2 2
应力状态/应力状态的概念及其描述
01:01:31
此例表明：即使同一点在不同方位截
面上，它的应力也是各不相同的，此
即应力的面的概念。
5
应力状态/应力状态的概念及其描述
xy
x

材料力学——应力分析【可修改】.ppt

材料力学——应力分析【可修改】.ppt

（2）主平面的位置
tg
2α 0
σ
2τ xy
x σ
y
α1 α 2 α1 900
} σ max
σ min
σx σy 2
(σ
x σ 2
y
2
)
τ
2 xy
以1代表max作用面的方位角， 2代表min作用面的方位角。
精选
σ x σ y ,则 α1 450 (α1在 900 范围内取值)
若 σ x σ y ,则 α1 450
x
在坐标系内画出点A( x，
xy)和B(y，yx)
2a C
A(
x
,
a
xy)
AB与a 轴的交点C便是
圆心。
O
以C为圆心，以AC为
B( y ,yx)
半径画圆——应力圆；
精选
y
n 三、单元体与应力圆的对应关系
面上的应力( ， )
a xy x 应力圆上一点( ， )
y
面的法线 应力圆的半径
Oa n D(xa , a)
所在的平面)垂直的
1
斜截面上的应力。
3
精选
2
3
1
2
用截面法，沿求应力的截 面将单元体截为两部分， 取左下部分为研究对象。
2
3
3
1
1
1
3
2
3
2
精选
主应力 3 所在的两平面上是一对
自相平衡的力， 因而该斜面上的
3
应力, 与 3无关, 只由主应力
1
1 , 2 决定。
3 2
与3所在的面垂直的斜截面上的应力可由
精选
应力的点的概念与面的概念

材料力学课件-组合变形-应力状态理论

材料力学课件-组合变形-应力状态理论



A


A
判断: 由叠加原 理, A点安全.
可以这样判断吗?
[ ]
安全
[ ] 安全
问题 : 线弹性小变形条件下,材料力学问题的哪些
量是可以叠加的?
(3) 组合变形危险点

A
复杂应力状态
Complex stress state

危险点
A 点在什么情况下安全 又在什么情况下危险?
z'
z
z'
t
y'
z

x'
y

y
y'
x'
x x
σz
(1) 应力状态矩阵
τzy τxz τzx τyz σy τyx y x
τxy σx
z
x T yx zx
xy y zy
xz yz z
一点应力状态的数学描述
应力状态矩阵 ( stress state matrix )
z y

x
问题: 一点应力状态是一个物理量，
怎样描述它 ？
通常描述一个物理量用数字
温度 ：一个数 ------ 标量 速度 ：三个数 ------矢量
一点应力状态 ：几个数 ？又是什么数学量? 首先,不可能采用将无穷多个平面上的应力罗 列起来的方法来描述一点应力状态 ！
必须另想办法!
In order to analysis the strength of a point 为了分析处于复杂应力状态下的点的强 whose stress state is complex , first we must 度 , 首先要分析该点的应力情况 , 其次 analysis the stresses of this point , next 要建立该点的破坏准则 ,, 然后才可知道 construct its broken criteria then we can 该点是否安全 is safe or not in strength . know the point . 所以本章的主要任务就是: (1) 进行应力状态分析. (2) 建立处于复杂应力状态下的点的强度准则. (3)计算组合变形杆件的强度. 组合变形杆件刚度方面的安全性由于各种基本 变形之间不存在耦合效应 , 因此其刚度条件如前 面几章所述 , 本章不再重复 .

材料力学 应力状态 PPT

离左支座L/4处截面上C点在400斜截面上的应力。
P
h/4
h 解：P L
L/4 L/4 L/2
b
MC242K 5 N m
P
QC 2 50KN
C
CCM IC Zy25 2 100 30 6 10 53 0 0 110 0 31212
1.04 MP （ a压应力）
CQ IC Z CS b Z5 2 0 10 3 0 6 1 00 5 3 2 1 0 0 0 0 9 2 0 22 0 1 5 1 0 0 9 0 312
材料力学 应力状态
1. 直杆受轴向拉（压）时:
m
F
F
m
2.圆轴扭转时:
T
3.剪切弯曲的梁:
N A
T Ip
A
B
M(x) y
QSz
P
Iz
Iz b
FP
S平面
l/2 l/2
max
Mmax Wz
m axQmIazxSbzm ax
5 4
3
2 1 5
4 3 2
1
低碳钢
铸铁
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
2、单元体：围绕受力构件内任意点切取一个微 小正六面体。
F
F
单
元 体
1.单元体各侧面上的应力分布是均匀的。
的 2.两个相互平行侧面上的应力情况是相同的
特 点
3.代表该点三个相互垂直方向上的应力情况
IZb 3 3
QSmax
围绕一个受力点可以有无数多个单元体：
2
2
2
My IZ
2
QS Z IZb
y
y
x
x
x
y
x

材料力学之应力分析与强度理论课件


材料在动载下的行为
冲击韧性
材料在动载下能够吸收能量的能 力称为冲击韧性。冲击韧性是衡 量材料抵抗冲击载荷能力的指标
。
疲劳强度
材料在交变载荷下发生疲劳断裂的 应力称为疲劳强度。疲劳强度是衡 量材料抵抗疲劳载荷能力的指标。
蠕变
材料在恒定载荷下发生的缓慢形变 称为蠕变。蠕变是衡量材料在高温 下抵抗形变的能力。
该理论适用于某些金属材料，这些材 料在拉应力作用下可能发生屈服或塑 性变形。
最大剪切力理论（第三强度理论）
最大剪切力理论认为，材料在 复杂应力状态下失效的主要原 因是最大剪切力达到材料的极 限抗剪强度。
该理论适用于某些复合材料和 橡胶等材料，这些材料在剪切 应力作用下容易发生断裂或屈 服。
该理论考虑了剪切应力和拉应 力的共同作用，因此在实际应 用中比第一和第二强度理论更 为全面。
材料力学的基本假设与单位
基本假设
连续性假设、均匀性假设、各向 同性假设、线性弹性假设。
单位
国际单位制中的基本单位有千克 、米、秒等，但在材料力学中， 常用的单位有牛顿、帕斯卡等。
材料力学的研究内容与任务
研究内容
研究材料的力学性能，包括弹性、塑性、强度、韧性等；研究材料的应力和应 变行为；研究材料的失效和破坏机理。
应力张量
描述三维空间中一点的应力状态，包括剪应力和正应力。
应力莫尔圆与应力图解法
应力莫尔圆
表示在同一切削平面内，不同方向上 的切线应力和其作用面的法线方向间 的关系的圆图。
应力图解法
通过图形方式表示应力的方向、大小 和作用面，常用于解决平面问题。
03
强度理论
强度理论概述
强度理论是材料力学中用于预测 材料在复杂应力状态下失效的准

河海大学 材料力学 应力状态和应变状态分析

ez= [sz–n(sx+sy)]/E
对于各向同性材料，在线弹性范围内，切应力对线 应变无影响，所以当单元体的各面上既有正应力又
有切应力时，沿sx 、sy 、sz方向的线应变ex 、ey 、ez
有类似的关系。
平面应力状态下的广义胡克定律 (sz=0)
t sy sx
t
ex= (sx–nsy)/E ey= (sy–nsx)/E ez= –n (sx+sy)/E gx = tx /G
§5-5 广义胡克定律 单向应力状态s =Ee
三向应力状态下
s1 e1'= s1/E
s2 +
纯剪切应力状态下t =Gg e2'= –ns1/E e3'= –ns1/E
e1''= –ns2/E e2''=s2/E
+
e3''= –ns2/E
e1'''= –ns3/E e2'''= –ns3/E e3'''= s3/E
而不留间隙，且受F=7kN作用， E=200GPa，n=0.3。试
求钢块的三个主应力和tmax及钢块的体积改变量。
F
10 10
10
sy = −70 MPa ex = 0 ez = 0
对称关系
sx = sz
广义胡克定律
tmax = 20 MPa = –0.26×10–3 D= V–00.=26×V0mm3
K
45°
t
t
Mx WP
16T πd3
T
e 45
e1
1 E
[s
1
n (s 2

河海大学-材料力学第5章弯曲应力作业参考解答


IZ
=
2 × ( 1 × 60 ×1403 12
+ 60 ×140 × (70 - (76.82 - 50))2 )
+ 1 × 280 ×503 + 280 ×50 × (76.82 - 50 / 2)2 = 9.9´107 mm4 12
（3）b-b 处切应力
t b-b
=
FS
S
* z
Izb
=
27.5kN ´ (60 ´100 ´ 63.18mm3 ) 9.9 ´107 ´108 mm4 ´ 60mm
解：
A
A
z
z
A
z
y
y
y
5-23 求图所示梁的最大容许荷载 q。梁的容许正应力为 3.5MPa，容许切应力为 0.7MPa，胶 结处的容许切应力为 0.35MPa。
yc
解：（1）求内力
最大剪力为 Fs max
=
0.5ql
= 0.3q ，最大弯矩为 M z max
=
1 8
ql
2
= 0.045q 。
（2）确定形心位置及计算惯性矩
£ 0.7 ´106
解得： q £ 3.97kN / m 。
(5) 粘结处应力强度条件
t max
=
Fs
max
S
* z
Izb
=
0.3q ´ 25´ 25´ 25´10-9 3.32 ´10-6 ´ 25´10-3
£ 0.35´106
解得： q £ 6.2kN / m 。
最后容许荷载为 q £ 3.97kN / m 。
第 5 章作业参考解答
本章主要公式
梁平面纯弯曲时曲率与弯矩和弯曲刚度的关系： 1 = M r EI z
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2
σ1


y

40
x
40°

40
D
1
E1
e

y

x
a
x
e

d
x


x


x
x
x

x
x

x


x

y

f y
y
x

b

b
z

c
y

y

y
f t
(设ef的面积为dA)
e

—— 平面应力状态下任意斜截面上 的σα和τα计算公式。
x

x



b


y

y
f t
列平衡方程：
n : d A ( x d A cos ) sin ( x d A cos ) cos ( y d A sin ) cos ( y d A sin ) sin 0

y
0 90
0

x
2
y

(

x
2
y
)
2

2

x

x

1

x
0
σ1σ
2


x
2
y


(
x
2
y
)
2
2 x
主单元体
二、图解法


x y
2 x 2
y

x y
2
co s 2 x sin 2 ①
②
sin 2 x co s 2
y
解：1°解析法 σ1σ
2


30
30
30°

x
2
y


(
x
2

y
x
)
2
2 x


y

40
x
40°
1 75 . 2 MPa
3 45 . 2 MPa
tan 2 0 2 x

40

1
69.2
20.8
3

x

y
2 0 180
0
41 . 63
2
y
2 x
2
若以σ为横轴，τ为纵轴，则该圆的圆心在

(
x
2
y
,0 )
处，半径为

(
x
2
y
)
2
2 x
。这样的
圆——Mohr应力圆（莫尔圆）。


x
2
y
2
2

x
2
y
2 x
2
y
应力圆的作法：
2 A2

y

y
E
D
1

2

x

x
2
B
2 0
B
1

x
1

x
0
2
O


CF
y
A1 1

D
y
2

x
作应力圆时，应注意以下三个关系： ①点面对应关系：应力圆上一点，对应于单元 体中某一截面。 ②起始对应关系：在应力圆上选择哪个半径 作起始半径，应根据单元体的α角从哪根轴量。x 轴~CD1半径,y轴~CD2半径。 ③转向、转角对应关系：俩者转向一致；当单 元体为α时，应力圆上自起始半径量2α角。 作应力圆量取线段OB1、OB2、B1D1和B2D2时， 需根据单元体上相应的应力正负，量取正、负坐 标。
图解法：从应力圆上量取：
OF , EF
1 O A1 ,
2 O A2
0
1 2
D 1 C A1
例1：图示单元体上，有σx=-30MPa， σy=60MPa， τx=-40MPa。试用解析法和图解法确定α1=30°和 α2=-40°两截面上的应力,且求主应力和主方向。 解：1°解析法


y

0
y
90

0

——任意两个互相垂直的截 面上的正应力之和 为常数， 切应力服从切应力互等定理。
90



x

x
x
2、主平面、主应力
令
0
0
tan 2 0
2 x
x

y
0

x
2
y

(
x
2
y
y
)
2
2 x

2 x
y
y

x
2
x

2
x
2
y
co s 2 x sin 2
2 2 x
2

2
y
2
x
y
x 2
y
x 2 2
t : d A ( x d A co s ) co s ( x d A co s ) sin ( y d A sin ) sin ( y d A sin ) co s 0
e

—— 平面应力状态下任意斜截面上 的σα和τα计算公式。 对于与ef 垂直的截面上的应力，
0
0 69 . 2
0

例1：图示单元体上，有σx=-30MPa， σy=60MPa， τx=-40MPa。试用解析法和图解法确定α1=30°和 α2=-40°两截面上的应力,且求主应力和主方向。 解： 2°图解法
D
2

y

30
30
30°
E2 σ2
B
1
O

x
80
O
60
C 2α 0
O
B
90 0
x
x

x



b


y

y
f t
2
y

y

x
2
y
Cos 2 x Sin 2
90 0

x
2
Sin 2 x Cos 2
90 o
x

y
常数
y
90 o

y

30
30
30°

30 27 . 14 MPa
0
x

40°
x
40 40
y
30

0
58 . 97 MPa

40
32 . 2 MPa
40 37 . 3 MPa
例1：图示单元体上，有σx=-30MPa， σy=60MPa， τx=-40MPa。试用解析法和图解法确定α1=30°和 α2=-40°两截面上的应力,且求主应力和主方向。
1 2 3
当一个主应力不为零，其余两个主应
力为零——单向应力状态。 当两个主应力不为零，其余一个主应 平面应力状态 复杂应力状态
力为零——二向应力状态。
当三个主应力不为零——三向应力状
态 / 空间应力状态。
§5－2 平面应力状态分析
一、解析法:
1.任意斜面上的应力
y

y

y
y
n
y
2
y
应力圆的作法：
2 A2

y

y
E
D
1


x

x
2

B
1

x
x
B
2
O


CF
y
A1 1

D
y
2

x
应力圆上点 的坐标 和斜截面上的应力有着 一 一对应的关系。


x
2
yБайду номын сангаас
2
2

x
2
y
2 x
应力状态分析
§5－1 应力状态的概念
构件内不同截面上应力不同； 同一截面不同点的应力也不同; 经过一点不同方位截面上的应力情况也不同.
F


F
T

T


x
n





x
x
σ3 σ1
τ
经过一点不同方位截面上的应力情况不同
一点处各方位截面上的应力情况的
集合——该点的应力状态。
为什么要研究一点的应力状态？
•单向应力状态：

[σ ]


• 纯剪切应力状态：


[ ]
•既不是单向应力状 态，也不是纯剪切应
力状态：





单元体—无限小的微体




•各面上的应力均匀分布
• 相互平行的一对面上，应力大小相等、符号 相同