2018－～2019学年10月北京海淀区北京理工大学附属在学高一第一学期月考数学试卷一、选择题1.已知集合{}|(1)0A x x x =-=,那么( ). A.1A -∈ B.0A ∈ C.1A ∉ D.0A ∉【参考答案】B 【试题分析】由(1)00x x x -=⇒=或1x =, ∴0A ∈且1A ∈,故选B .2.设全集U =R ,集合{}220A x x x =-<,{}1B x x =>,则()C U A B =I ()A.{}12x x << B.{}12x x ≤<C.{}01x x <<D.{}011x <≤【参考答案】D 【试题分析】先解一元二次不等式,化简集合A,再利用数轴进行集合的补集和交集运算可得. 解一元二次不等式化简集合A,得{|02}A x x =<<, 由{|1}B x x => 得{|1}U C B x x =≤, 所以(){|01}U A C B x x ⋂=<≤. 故选D.本题考查了一元二次不等式的解法,集合的交集和补集运算,用数轴运算补集和交集时,注意空心点和实心点的问题,属基础题.3.已知:2p x >,:1q x >,则p 是q 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【参考答案】A【试题分析】将命题,p q 转化为集合{|2}A x x =>和{|1}B x x =>,再根据集合A 与B 之间的包含关系以及充分必要条件的定义可得.设命题p :2x >对应的集合为{|2}A x x =>, 命题q :1x >对应的集合为{|1}B x x =>, 因为A B,所以命题p 是命题q 的充分不必要条件. 故选A.本题考查了充分必要条件,解题关键是将命题之间的关系转化为集合之间的关系,属基础题.4.函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3,最小值为2, m 的取值范围是( ) A.(,2]-∞ B.[0,2]C.[1,2]D.[1,)+∞【参考答案】C 【试题分析】根据函数解析式,做出函数图像,结合图像分析出m 的取值范围 作出函数f (x )的图象,如图所示,当x ＝1时,y 最小,最小值是2,当x ＝2时,y ＝3,函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0,m ]上上有最大值3,最小值2,则实数m 的取值范围是[1,2].故选：C ..让学生学会利用数形结合的方法,分析参数的取值范围5.已知函数()f x 定义域为R ,“()()12f f <是“()f x 在区间[]1,2上单调递增的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】B 【试题分析】由两个特殊自变量的大小关系及其函数值的大小关系是不能推出函数的单调性的,因为它不满足增函数的定义中的两个自变量在定义域中要具有任意性,因此“()()12f f <”不能推出“()f x 在区间[]1,2上单调递增,根据增函数的性质可得:若()f x 在区间[]1,2上单调递增,则(1(2)f f <是正确的, 故选B.因为1和2是区间[1,2]内的两个指定值,不具有任意性,不满足增函数的定义, 所以由“()()12f f <”不能推出“()f x 在区间[]1,2上单调递增”,反过来,若()f x 在区间[]1,2上单调递增的,根据增函数的性质可以推出()()12f f <, 因此根据充分必要条件的定义可知:“()()12f f <是“()f x 在区间[]1,2上单调递增的必要不充分条件. 故选B.本题考查了增函数的定义和性质,充分必要条件的定义,特别要注意增函数定义中的关键词”任意的”.切记:用指定自变量的函数值的大小关系不能用来肯定函数的单调性,只能用来否定函数的单调性.属于基础题.6.关于函数()2145f x x x =++的说法,正确的是()A.()f x 最小值为1B.()f x 的图象不具备对称性C.()f x 在[]2,-+∞上单调递增D.对x ∀∈R ,()1f x ≤【参考答案】D 【试题分析】将函数()f x 变形为21()(2)1f x x =++,根据2(2)0x +≥可知函数()f x 的最大值为1,所以A 不正确;D 正确;根据()(4)f x f x =--,可知函数图象关于直线2x =-对称,所以B 不正确;因为函数2245(2)1y x x x =++=++ 在[2,)-+∞上是单调递增,且0y >恒成立, 所以函数()f x 在[2,)-+∞上单调递减,所以C 不正确. 因为2245(2)11y x x x =++=++≥, 所以函数2211()145(2)1f x x x x ==≤++++, 所以函数()f x 的最大值为1 因此选项A 不正确;因为2211(4)()(42)1(2)1f x f x x x --===--++++,所以函数()f x 的图象关于直线2x =-对称,所以选项B.不正确;因为函数2245(2)1y x x x =++=++ 在[2,)-+∞上是单调递增,且0y >恒成立,所以函数()f x 在[2,)-+∞上单调递减,所以C 不正确.故选D.本题考查了函数的最值,对称性,单调性和奇偶性,.函数性质的常用结论有:①若()0f x >,则函数()f x 在区间[,]a b 上的单调性与函数1()f x 在[,]a b 上的单调性相反;②若函数(2)()f a x f x -=恒成立,则函数()y f x =的对称轴为22a x xx a -+==对称.本题属于中档题.7.已知()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩,则满足不等式()()f a f a <-的实数a 的取值范围是()A.2a <-B.02a <<C.20a -<<或2a >D.2a <-或02a <<【参考答案】D 【试题分析】显然0a ≠,对a 分类讨论:① 当0a >时,0a -<,利用分段函数的解析式求出()f a 和()f a -代入不等式()()f a f a <-可解得. ② 当0a <时,0a ->, 利用分段函数的解析式求出()f a 和()f a -代入不等式()()f a f a <-可解得,再将两次解得的结果相并即可得到所求a 的范围.. 显然0a ≠,当0a > 时,0a -< ,所以2()2f a a a =-,22()()2()2f a a a a a -=----=-+,将()f a 和()f a -代入()()f a f a <- 得2222a a a a -<-+,即220a a -<,解得02a << ; 当0a < 时,0a ->,所以2()2f a a a =-- ,2()()2()f a a a -=---22a a =+, 将()f a 和()f a -代入()()f a f a <-得2222a a a a --<+,即220a a +>, 解得0a >或2a <-,又0a <,所以2a <-. 综上所述:实数a 的取值范围是2a <-或02a <<. 故选D.本题考查了分段函数求值,分类讨论,一元二次不等式的解法, 解题关键是对a 的范围进行讨论,以便根据分段函数的解析式求得()f a 和()f a -后,再代入()()f a f a <-去解.,本题属于中档题.8.已知函数()2,2,x x af x x x a⎧≥=⎨<⎩,若存在实数k ,使得关于x的方程()f x k =有两个不同的实根,则实数a的取值范围是() A.0a < B.02a <<C.0a <或02a <<D.2a <【参考答案】C 【试题分析】若存在实数k ,使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根,等价于存在实数k,使函数()2,2,x x a f x x x a⎧≥=⎨<⎩与函数y k =的图象有两个不同的交点,然后对a 分四种情况讨论,作出函数()y f x =的图象,根据图象可以得到实数a 的范围.联立22y x y x⎧=⎨=⎩ ,解得(0,0),(2,2)P , 当0a <时,函数()f x 在(,)a -∞上递增,在[,0]a 上递减,在[0,)+∞上递增, 如图:由图可知,存在实数k ,使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根. 当0a =时,函数()f x 在R 上递增, 如图:由图可知,不存在实数k ,使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根. 当02a <<时,函数()f x 在(,)a -∞上递增,在[,)a +∞上也递增,并且22a a ->, 如图:由图可知, 存在实数k ,使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根;当2a ≥时,()f x 在R 上是增函数, 如图:由图可知,不存在实数k ,使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根. 综上所述: 实数a 的取值范围是0a <或02a <<. 故选C.本题考查了函数与方程,正确的对a 分四种情况讨论,作出函数的图象,利用存在实数k,使两个函数的图象有两个不同的交点来求出a 的范围,是解题关键,一般地,方程的根的个数问题通常是转化为两个函数的图象的交点的个数问题来解决.属于较难题.二、填空题9.已知命题：:0p x ∃>,220x x -<,则命题的否定p ⌝为_______. 【参考答案】0x ∀>,都有220x x -≥ 【试题分析】命题的否定就是非P 命题,写非P 命题时,将存在量词改成全称量词,小于改成大于等于即可得到. 因为命题：:0p x ∃>,220x x -<,则命题否定p ⌝为:0x ∀>,都有220x x -≥. 故答案为0x ∀>,都有220x x -≥.本题考查了命题的否定,解题方法:将存在量词改成全称量词,全称量词改成存在量词,再否定结论,属于基础题.10.已知函数(),0x x f x x ⎧≤⎪=>,则()()2f f -=_______；若()2f a =,则实数a =_____.【参考答案】(2).－2或4 【试题分析】先根据2-满足0x <,利用分段函数的第一段解析式,可求得(2)|2|2f -=-=, 再根据2满足0x >,利用分段函数的第二段解析式,可求得(2)f =即((2))f f -=;对a 分两种情况求得()f a ,再将()f a 代入()2f a =可以解得a 即可. 因为(2)|2|2f -=-=,所以((2))(2)f f f -==当0a ≤时,()||2f a a ==,解得2a =-,或2a = (舍去); 当0a >时,()2f a ==,解得4a =.综上2a =- 或4a =.故答案为; 2a =- 或4a =.本题考查了分段函数的求值以及分类讨论思想.求分段函数的函数值时,注意判断自变量的范围,自变量在哪一段的范围内,就选择哪一段的解析式求值,如果自变量不确定在哪一段的范围内,就必须要分类讨论,本题属于中档题.11.已知函数()f x 在区间[]1,2-上递增,在区间[]2,5上递减. ①()()02f f <； ②()()03f f =；③()f x 在区间[]1,5-的最大值是()2f ； ④()f x 在区间[]1,5-的最小值是()5f ； 上述命题中,所有正确的序号有__________. 【参考答案】①③ 【试题分析】①根据函数单调性,可得①正确;②(0)f 和(3)f 的大小不确定,所以②不正确;③()f x 在[1,5]-上的最大值是(2)f 是正确的,所以③正确,()f x 在[1,5]-上的最小值是(1)f - 或者是(5)f ,所以④不正确.故答案为①③.①因为函数()f x 在区间[]1,2-上递增,在区间[]2,5上递减,且0<2,所以(0)(2)f f <,故①正确; ② 0和3不在同一个单调区间上,不能比较大小,所以②不正确;③显然正确; ③()f x 在[1,5]-上的最小值是(1)f - 或者是(5)f ,所以④不正确. 故答案为①③.本题考查了函数的单调性和最值,注意:只有两个自变量在同一个单调区间内,才能利用单调性比较大小,本题属于中档题.12.已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞单调递增,则满足()()211f x f -<的x 的取值范围是__________. 【参考答案】(0,1) 【试题分析】因为21x -不一定也在单调递增区间[0,)+∞内,所以不能利用函数单调性解函数不等式,所以要用偶函数的性质将(21)f x -变成(|21|)f x -,然后再用函数在[0,)+∞上的单调性解函数不等式. 因为函数()f x 为偶函数,所以(21)(|21|)f x f x -=-, 所以不等式()()211f x f -<等价于(|21|)(1)f x f -<,又因为函数()f x 在区间[)0,+∞单调递增,所以|2|11x -< ,解得01x <<, 所以x 的取值范围是(0,1). 故答案为: (0,1).本题考查了函数的奇偶性,单调性以及抽象函数不等式的解法,抽象函数不等式的解法,都是用函数的单调性来解,利用函数的单调性时,一定要保证自变量在同一个单调区间内,不满足这一点的,往往利用偶函数的性质变形后,再用函数的单调性解不等式.本题属于中档题.13.已知函数()22,0,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩,若方程()f x m =有三个不同实根1x 、2x 、3x ,则123x x x ++的取值范围是__________. 【参考答案】(1,2) 【试题分析】将方程()f x m =有三个不同实根转化为函数()y f x =与函数y m =的图象有三个不同的交点后,作出两个函数的图象,利用图象可以得到1x 、2x 、3x 的关系和取值范围,从而可以得到123x x x ++的取值范围. 因为方程()f x m =有三个不同实根1x 、2x 、3x ,所以函数()y f x =与函数y m =的图象有三个不同的交点, 三个交点的横坐标为1x 、2x 、3x , 不妨设123x x x <<,作出函数()y f x =与y m =的图象如下:由图可知:110x -<<,23212x x +=⨯=, 所以12312x x x <++< ,即123x x x ++的取值范围是(1,2). 故答案为: (1,2).本题考查了函数与方程,解题关键是将方程()f x m =有三个不同实根转化为两个函数的图象有三个不同的交点,要抓住23x x +为定值,1x 的范围是(1,0)-.本题是中档题.14.若函数()f x =[)0,+∞,则实数k 的取值范围是__________. 【参考答案】[0,1] 【试题分析】将函数()f x [)0,+∞转化为221(0)y kx x k =-+≥的图象与x 轴有交点,再按照0k =和0k >两种情况讨论可得.当0k =时,函数()f x =1(,]2-∞,值域为[0,)+∞,符合题意;当0k ≠时,△2(2)40,0k k =--≥>,解得:01k <≤, 此时的定义域是不等式2210kx x -+≥的解集. 综上所述: 实数k 的取值范围是[0,1]. 故答案为:[0,1]本题考查了函数的值域,意在考查221(0)y kx x k =-+≥的图象与x 轴的交点个数,解题关键是将函数()f x =[)0,+∞转化为221(0)y kx x k =-+≥的图象与x 轴有交点.本题属于中档题.三、解答题15.已知函数()22f x x x =-.⑴判断()f x 的奇偶性.⑵写出()f x 的单调区间(只需写出结果). ⑶若方程()f x a =有解,求实数a 的取值范围.【参考答案】(1)奇函数;(2) 函数()f x 的单调递减区间为:(,1]-∞-,[0,1];单调递增区间为:[1,0]-,[1,)+∞;(3)[1,)-+∞ 【试题分析】(1)利用奇偶函数的定义()()f x f x -=- 和()()f x f x -=判断可得;(2)先写出0x ≥时函数()f x 的单调区间,再根据函数的奇偶性得到0x <时的单调区间;(3)将方程()f x a =有解转化为函数()y f x = 与函数y a = 的图象有交点,作出图象后,观察图象可得. (1)因为2()2||f x x x =-的定义域为R,,所以22()()2||2||()f x x x x x f x -=---=-=, 所以函数()f x 为偶函数.(2)当0x >时,2()2f x x x =-在[0,1]上递减,在[1,)+∞上递增,又因为函数()f x 为偶函数,所以()f x 在(,1]-∞-上递减,在[1,0]-上递增, 故函数()f x 的单调递减区间为:(,1]-∞-,[0,1];单调递增区间为:[1,0]-,[1,)+∞. (3)因为方程()f x a =有解,所以函数()y f x =与函数y a =的图象有交点, 作出函数的图象如下:由图可知:1a ≥-.所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞.本题考查了函数的奇偶性,单调性,函数与方程,写偶函数的单调区间时,可以先写出0x ≥时的单调区间,再根据对称性写出0x < 时的单调区间.方程有解的问题通常转化为函数图象有交点问题去解决.本题属于中档题.16.解下列关于x 的不等式. ⑴ 2230x x --+>.⑵ ()()210x a x a a -++<∈R .【参考答案】(1) (3,1)-;(2) 当1a <时,原不等式的解集为(,1)a ; 当1a =时,原不等式的解集为空集; 当1a >时,原不等式的解集为(1,)a . 【试题分析】(1)将2230x x --+>化成标准形式2230x x +-<后,令2230x x +-=得到13x =-,或21x =,再根据口诀:大于取两边,小于取中间可得;(2)将()()210x a x a a -++<∈R 化为(1)()0x x a --<,然后对a 分三种情况:①1a < ;②1a = ;③1a >进行讨论可得. (1)由2230x x --+>,得2230x x +-<, 令2230x x +-=,得13x =-,或21x =, 所以,31x -<<,所以原不等式的解集为(3,1)-. (2)因为()()210x a x a a -++<∈R ,所以(1)()0x x a --<, 当1a <时,得1<<a x ; 当1a =时,不等式无解; 当1a >时,得1x a <<.综上所述:当1a <时,原不等式的解集为(,1)a ; 当1a =时,原不等式的解集为空集; 当1a >时,原不等式的解集为(1,)a .本题考查了一元二次不等式的解法,首先要将不等式化为标准形式,然后利用对应的一元二次方程的根来表示不等式的解集,口诀是大于取两边,小于取中间.对于含参的一元二次不等式,注意使用分类讨论思想.本题属于中档题.17.函数()f x 满足如下四个条件： ①定义域为()0,∞+； ②()21f =；③当1x >时,()0f x >；④对任意0x >满足()()()f xy f x f y =+. 根据上述条件,求解下列问题： ⑴求()1f 及12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值. ⑵应用函数单调性的定义判断并证明()f x 的单调性. ⑶求不等式()132f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的解集.【参考答案】(1)0; (2)见解析; (3) (1,)+∞ 【试题分析】(1) 在()()()f xy f x f y =+中,令1x y ==可得:(1)0f =; 在()()()f xy f x f y =+中,令12,2x y ==,可得1()12f =-. (2)()f x 为(0,)+∞ 上的增函数.设120x x >>,利用,()()()f xy f x f y =+, 可得12()()f x f x -=()11222222()()()x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫-=+-=⎪⎝⎭g 12()x f x ,结合1x >时,()0f x >,利用单调性的定义可证.(3)根据(2)1f =,可得2(2)2f =,所以原不等式可化为1(3)()f x f x +>+(2)(2)f f +4()f x=,再利用单调性可解得.(1)在()()()f xy f x f y =+中,令1x y ==,得(1)(1)(1)f f f =+,解得(1)0f =.在()()()f xy f x f y =+中,令12,2x y ==. 得11(2)(2)()22f f f ⨯=+, 得1(1)(2)()2f f f =+, 得101()2f =+, 所以1()12f =-.(2) ()f x 为(0,)+∞ 上的增函数. 证明如下:设120x x >>,则121,x x > 所以12()0xf x >. 因为12()()f x f x -＝1222()()x f x f x x ⋅-＝()112222()()()x xf f x f x f x x +-=0>, 即12()()f x f x >.根据增函数的定义可知, ()f x 为(0,)+∞ 上的增函数. (3)因为()132f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭,所以1(3)()2f x f x+>+, 又因为(2)1f =,所以2(2)2f =,所以1(3)()f x f x +>+(2)(2)f f +, 所以1(3)(2)(2)f x f f x +>⨯+24(2)()f f x x=⨯=,由(2)知函数()f x 在(0,)+∞上单调递增, 所以430x x+>>,解得:1x >. 所以不等式()132f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的解集是(1,)+∞.本题考查了抽象函数求函数值,抽象函数的单调性的判断和证明,抽象函数不等式的解法,解题关键是对已知恒等式()()()f xy f x f y =+中的,x y 合理赋值.,容易漏掉定义域.属中档题18.已知函数()2f x x bx c =++,且函数()1f x -是定义在R 上的偶函数.⑴求实数b 的值.⑵若函数()()[]()2,1g x f x x =∈-的最小值为1,求函数()g x 的最大值. 【参考答案】(1)2;(2)5 【试题分析】(1)根据函数(1)f x -的对称轴以及图象变换可得()f x 的对称轴,从而可得b 的值;(2)由()g x 的最小值为1,可得()1g x ≥在[2,1]x ∈-上恒成立,解得c 的范围为2c ≥或4c ≤-,再分两种情况讨论,可求得()g x 的最大值.(1)因为函数(1)f x - 是定义在R 上的偶函数, 所以(1)f x -的对称轴为0x =,所以()f x 的对称轴为1x =-, 所以12b-=-,解得2b = , (2)由(1)知,2()|()||2|g x f x x x c ==++([2,1]x ∈-),因为()g x 的最小值为1,所以2|2|1x x c ++≥ 在[2,1]x ∈-上恒成立, 即221c x x ≤--- 或221c x x ≥--+ 在[2,1]x ∈-上恒成立,所以2min (21)4c x x ≤---=-或2max (21)2c x x ≥--+=,当4c ≤-时, 22()2(1)1410f x x x c x c c =++=++-≤+-<()|()|()g x f x f x ==-＝2(2)x x c -++2(1)1x c =-+-+,所以()g x ＝|()|f x 的最小值为(1)31f c -=--=,解得4c =-, 此时()g x 的最大值为(1)|(1)|5g f -=-=.当2c ≥时,22()2(1)110f x x x c x c =++=++-≥>,所以()|()|()g x f x f x ==＝22x x c ++2(1)1x c =++-,因为对称轴1[2,1]x =-∈-,所以min ()g x ＝(1)11g c -=-=,解得2c = ,符合. 此时()g x 的最大值为(1)122g =++＝5, 综上所述, 函数()g x 最大值是5.本题考查了二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值的求法以及分类讨论思想,根据最小值为1,即g (x )大于等于1,可以缩小c的范围,可以减少讨论次数是解题关键.属难题.。
