EIw2
Fb 2 3l 2 2 2 (l b 3x2 ) ( x2 a) 6l b
Fbx1 2 EIw1 (l b 2 x12 ) 6l
Fb 2 2 l 2 3 EIw2 ( l b x ) x ( x a ) 2 2 2 6l b
材料力学
第7章 弯曲变形
2015年1月29日
第7章
弯曲变形
§7.1 工程问题中的弯曲变形 挠度和转角 §7.2 挠曲线的近似微分方程 §7.3 用积分法求弯曲变形 §7.4 用叠加法求弯曲变形 §7.5 弯曲应变能 §7.6 简单超静定梁
§7.7 提高弯曲刚度的一些措施
§7.1 工程问题中的弯曲变形 挠度和转角
y
A
a x1 l
F
C
b
B
边界条件xx1 0 x2 lw1 0x2
w2 0 Fb 2 C1 C2 (l b 2 ) 6l
§7.3 用积分法求弯曲变形
转角方程和挠曲线方程分别为 AC：(0 x1 a) CB：(a x2 l )
EI w1 Fb 2 (l b 2 3 x12 ) 6l
弯曲变形计算除用于解决弯曲刚度问题外，还用于 求解超静定系统和振动计算。
§7.2
C’ C
挠曲线的近似微分方程
w
y
A
x
挠曲线：其方程式可以写成 B’ w f ( x) B 称为梁的挠曲线方程。 x 梁弯曲后 F 任一横截面的形心C移至C'。
水平位移可忽略，铅垂位移，称为该截面的挠度w。 横截面绕中性轴转过一角度，这个角度称为该截面 的转角θ。 由于挠曲线是一平坦曲线，故有
y
A
q
B
x FRA
x
l
FRB
解：计算支反力 ql FRA FRB 2 弯矩方程
ql q 2 M ( x) x x 2 2
挠曲线近似微分方程 积分得
ql q 2 EIw M x x 2 2
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
wB wC
而 wB 又可用叠加法求出。 首先，把BD部分看作是在 截面D固定的悬臂梁。
Fl 3 ( F / 2)(l / 4)3 wB1 384EI 3EI
§7.4 用叠加法求弯曲变形
其次，截面D的挠度和转角
( F / 2 )( l / 4 ) 3 ( Fl / 8 )( l / 4 ) 2 wD 3 EI 1 2 EI 1 5 Fl 3 5 Fl 3 768EI 1 1536EI
最大转角： x 0 1
Fb(l 2 b 2 ) Fab(l b) A 6 EIl 6 EIl
x2 l
Fab (l a ) B 6 EIl
当 a>b 时，
Fab (l a ) max B 6 EIl
§7.3 用积分法求弯曲变形
最大挠度：
假设最大挠度在 AC 段内，当 x=x0 时，转角为零，得
工程中对某些受弯杆件除强度要求外，往往还有刚 度要求，即要求它变形不能过大。
例如：车床主轴，若其变形过大，将影响齿轮的啮 合和轴承的配合，造成磨损不均匀，产生噪音，降低寿 命，还会影响加工精度。
§7.1 工程问题中的弯曲变形 挠度和转角
再例如，桥式起重机的大梁，当变形过大时，将使 梁上小车行走困难，出现爬坡现象，还会引起较严重的 振动。
Fb 2 2 (l b 2 3x0 )0 6l
l b a 2ab x0 3 3
2 2 2
当 a>b 时，x0<a，说明转角为零的截面在 AC 段内，将x0 代入，得 Fb wmax w1 x1 x0 (l 2 b 2 )3 9 3EIl
§7.3 用积分法求弯曲变形
3
ql 3 q 4 ql3 EIw x x x 12 24 24
在两端，转角最大
ql3 max A B 24EI
§7.3 用积分法求弯曲变形
例：求梁的转角方程, 挠曲线方程, 最大转角, 最大挠度。 y 解：计算支反力 a F b FRA Fb / l FRB Fa / l B C A x 弯矩方程 x1 Fb x2 FRB x1 AC： M 1 (0 x1 a) FRA
§7.3 用积分法求弯曲变形
边界条件
A
F
B
C
D
F
wA 0
wB 0
F
wC 0
C 0
连续性条件
A B
w1 w2
1 2
§7.3 用积分法求弯曲变形
刚度条件
求得了梁的挠度和转角后，根据需要，限制最大挠
度和最大转角不超过某一规定数值，就得刚度条件：
w max w
max
§7.4 用叠加法求弯曲变形
例：在简支梁的一部分上作用均布载荷。试求跨度中点 的挠度。设 b l / 2 。
解：查表6.1知，跨度中点C由微分载荷 dF qdx 引起的 b 挠度为 q
dF x 2 dwC (3l 4 x 2 ) 48 EI qx (3l 2 4 x 2 )dx 48 EI
所以当梁上同时作用几个载荷时，可分别求出每一 个载荷单独引起的变形，把所得变形叠加即为这些载荷 共同作用时的变形。这就是计算弯曲变形的叠加法。
( F1F2 Fn ) 1 (F1 ) 2 ( F2 ) n (Fn )
w( F1F2 Fn ) w1 ( F1 ) w2 ( F2 ) wn ( Fn )
1 M ( x) ( x) EI
§7.2
1 ( x) w
挠曲线的近似微分方程
M ( x) w EI
M 0
w 0
另外，平面曲线 w = f(x) 的曲率可以写成
1 w
3 2 2
w
y
M 0 w 0
x
O
M ( x) w EI
w
为规定的许可挠度。
为规定的许可转角。
§6.3 用积分法求弯曲变形
例：求梁的转角方程, 挠曲线方程, 最大转角, 最大挠度。
y
A
F
B
解：弯矩方程
x
M ( x) F (l x)
x
l
挠曲线近似微分方程
EIw M F (l x)
F 3 Fl 2 EIw x x Cx D 6 2
dw tan w dx 可见，任一截面的转角等于挠曲线在该截面处的斜率。
§7.2
挠曲线的近似微分方程
挠度 w 和转角θ的符号与所选坐标系有关。图示坐 标系中，向上的挠度为正，逆时针的转角为正，反之均 为负。 在纯弯曲的情况下，有
M EI 1
在横力弯曲的情况下，如梁的跨度远大于截面高度， 剪力FS对弯曲变形的影响可以省略，上式仍然成立，为
D
由叠加法，得
3
( F / 2 )( l / 4 ) 2 ( Fl / 8 )( l / 4 ) 2 EI 1 EI 1 3 Fl 2 3 Fl 2 64 EI 1 128 EI
3 2 3
Fl 5Fl 3Fl l 3Fl l wC w B w B 1 w D D 4 384EI 1536EI 128EI 4 256EI
§7.3 用积分法求弯曲变形
y
A
q
B
边界条件
x
x 0 时 wA 0 所以 D 0 3 ql l x l 时 wB 0 所以 C 24 转角方程和挠曲线方程分别为
ql 2 q 3 ql EIw x x 4 6 24
在跨度中点，挠度最大
f max wx l / 2 5ql 4 384EI
l Fb x2 F ( x2 a ) CB： M 2 l Fb M 1 EI w1 x1 l Fb x12 EIw1 C1 l 2 Fb x13 EIw C1 x1 D1 1 l 6
l
(a x2 l )
挠曲线近似微分方程
Fb M 2 EI w2 x2 F ( x2 a ) l 2 Fb x2 ( x2 a) 2 EIw2 F C2 l 2 2 3 Fb x2 ( x2 a)3 EIw2 F C2 x2 D2 l 6 6
所以，若变形超过允许数值，即使仍然是弹性的， 也被认为是一种失效现象。
§7.1 工程问题中的弯曲变形 挠度和转角
工程中虽然经常是限制弯曲变形，但在另一些情况 下，常常又利用弯曲变形达到某种要求。
例如，叠板弹簧应有较大的变形，才可以更好地起 缓冲减振作用。弹簧板手要有明显的弯曲变形，才可以 使测得的力矩更为准确。
讨论： 1. a b l ，即F作用在中点。 2 Fl 3 Fl 2 wmax wx l / 2 max A B 48EI 16EI 2. 集中力 F 无限接近于B支座。 Fbl2 l wmax x0 0.577l 3 9 3EI Fbl2 wl / 2 跨度中点的挠度为 16EI 如用中点挠度代替最大挠度，其误差为
wmax wl / 2 1 / 9 3 1 / 16 2.57% wmax 1/ 9 3
§7.4 用叠加法求弯曲变形
在弯曲变形很小，且材料服从胡克定律的情况下， 挠曲线的微分方程是线性的。又因在小变形的前提下， 计算弯矩时用变形前的位置，结果弯矩与载荷的关系也 是线性的。这样，对应于几种不同的载荷，弯矩可以叠 加。挠曲线微分方程的解也可以叠加。
