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第六章 弯曲变形

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材料力学 第六章 弯曲变形

材料力学 第六章 弯曲变形

dw EI EI M ( x)dx C dx
再积分一次得挠度：
EIw [ M ( x)dx ]dx Cx D
积分常数：C和D
2、边界条件
用于确定积分常数C和D的梁支承处已知的变形条件，称为边界条件。
x 0, w 0
w x 0 0
dw x 0 dx
x 0
0
w x 0 0 w xl 0
3、连续条件
x a w1 w2 x a w1 w2
以A为原点，取直角坐标系 （1） 求支座反力
RA P, M A Pl
（2）列弯矩方程
M ( x) M A RA x Pl Px
（3）列挠曲线近似微分方程
Px 2 Pl 2 P 3 2 x 6 x 6 EI (3l x)
（教材173页表6-3序2）
（7）求最大转角和最大挠度
Pl 2 B ,即 2 EI
3
max
Pl 2 2 EI
3
Pl Pl wB ,即 w max 3EI 3EI
说明：转角为负，说 明横截面绕中性轴顺 时针转动；挠度为负， 说明B点位移向下。

64
(84 44 ) 188cm4
材料的弹性模量：
E 210GPa 21 106 N/cm2
由表6-1查出，因P1在C处引起的 挠度和在B引起的转角（图c）为：
yCP1
P1a 2 2000 202 (l a ) (40 20) 40.6 104 cm 3 EI 3 21 106 188
将吊车梁简化为如图例 6-12b所示的简支梁。
（1）计算变形

第6章 弯曲变形(土木)

第6章 弯曲变形(土木)

w x 0 0, w x l 0 A, B

M Fs
x 0 x 0 x 0
0,
xபைடு நூலகம்l
0 B, D 0 B, D 0 A, B, C , D
0, M 0, Fs
x l x l
例题 画挠曲线大致形状
依据 1. 约束条件； 2. 荷载情况； 3. 凹凸情况——由w″即M的正负号决定； 4. 光滑连续特性。
~
A
~
A
~
~~
~
A
~
~
~
A
AA
wA = 0
wA 0
A 0
wA
弹簧变形 －
挠曲线必受边界约 束限制。
AA
~ ~
AA
~ ~
光滑连续条件
在挠曲线的任意点处要 保持光滑和连续。
w AL = w AR
w AL = w AR
AL AR
~
A A
A A A
边界条件 A A
A
A
A A
~
~
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解
1）由梁的整体平衡分析可得：
L
F
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
2）写出x 截面的弯矩方程
)
y
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
3）列挠曲线近似微分方程并积分 d 2w EI 2 M ( x) F ( x l ) dx dw 1 积分一次 EI EI F ( x l )2 C dx 2 1 再积分一次 EIw F ( x l )3 Cx D 6

材料力学B第6章弯曲变形

材料力学B第6章弯曲变形

F AA A A A
A A AA A
~ ~ ~ ~
~
第六章 弯曲变形
材料力学
梁的刚度条件
w max w
max
w
许用挠度

许用转角
可从相应的设计规范或手册中查得。
第六章 弯曲变形
材料力学
例 6-1 写出挠度和转角方程，并计算最大挠度wmax.
y O x
M(x)
FQ(x)
tan w wx
这表明挠曲线在某一点的斜率可用该点横截面的转 角表示.
第六章 弯曲变形
材料力学
对于纯弯曲状态，曲率方程为：
M EI z
对于横力弯曲状态 (忽略剪力 FQ ), 曲率方程为:
1
M x 1 x EI Z
经数学推导，可得如下公式：
最后
Fx3 Fax 2 2 Fa3 w2 6 EI 2 EI 3EI
(向下)
(逆时针方向)
7 Fa3 wA w1 x 0 6 EI Fa 2 A 1 x 0 EI
第六章 弯曲变形
材料力学
注意
(1) 如果梁被分成两段，将有4个积分常数，积分 常数的数量是分段数的两倍； (2) 各段之间的连续性条件对于确定积分常数是必须 的；
d w M ( x) 2 dx EI z
d 2w EI 2 M ( x ) dx
2
d 2w M ( x) 2 dx EI z
在我们选定的坐标系中，挠曲轴微分方程的最终形式为
第六章 弯曲变形
材料力学
6.3 用积分法求弯曲变形
对于等截面梁, 微分方程可写为:
d 2w EI 2 M ( x ) dx

材料力学第六章 弯曲变形

材料力学第六章 弯曲变形

4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω

B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq


+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI

材料力学第6章弯曲变形

材料力学第6章弯曲变形
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程




(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2

3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl

工程力学第六章 弯曲变形

工程力学第六章 弯曲变形

荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形
状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，
就应从上述各种因素入手。
一、增大梁的抗弯刚度EI 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式 48EI
作 业
1、2、4（a、e)
§6-3 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个 载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分 别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。
例： 梁AB，横截面为边长为a的正方形，
弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆 形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁 中点的挠度。
例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。
解：
二、梁的刚度计算
刚度条件：
max [ ] max [ ]
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定
q
B
x
l
由边界条件： x 0时， 0 x l时， 0
ql 3 , D0 得： C 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
B
x
l
A qx (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
l 2
x
P AC 解： 段：M ( x ) x 2 y P EI " x 2 A P 2 EI ' x C x 4 l 2 P 3 EI x Cx D 12

第六章 弯曲变形

第六章 弯曲变形

§6-3 积分法求弯曲变形
挠曲线的近似微分方程 积分一次：
d M ( x) ' dx C dx EI z
d 2 M ( x) 2 dx EI z
转角方程
积分二次：
M ( x) ( dx)dx Cx D EI z
挠曲线方程
C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。
1 1 4 qL3 qL4 ( qx x ) EI 24 6 8
29
例2
图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的
均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max 和 wmax
q A l B
q
解:由对称性可知,梁的两 个支反力为
A
x
B
FRA FRB
7
§6-1 工程中的弯曲变形问题
２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。
汽车板簧应有较大的弯曲变形,
才能更好的缓解车辆受到的冲击和振动作用.
目录
8
§6-1 工程中的弯曲变形问题
当今时代汽车工业飞速发展， 道路越来越拥挤， 一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？
目录
9
§6-1 工程中的弯曲变形问题
0
21
梁的边界条件
ω
简支梁：
L
x
x 0:
0
x L:
0
22
连续性条件：
边界条件
ω A
P
B a L C x
x 0: x L:
0
0
连续性条件
x a:
C
左
C 右
C 右
23
C
左

《材料力学》课程讲解课件第六章弯曲变形

《材料力学》课程讲解课件第六章弯曲变形
成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2

工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形

工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形
q
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2

第六章 弯曲变形

第六章 弯曲变形

目录
第六章 弯曲变形\用积分法求挠度和转角
d2w
1
dx 2
(x)
[1

(
dw
)
2
]
3 2
dx
在小变形条件下，转角是一个很小的量，故 (dw)2 << 1,于是
上式可简化为
dx
1 ρ(x)


d2w dx2

d2w dx2

M x
EI
目录
第六章 弯曲变形\用积分法求挠度和转角
现在来选择公式
确定。例如，在固定端处的挠度w=0，转角＝0。在铰支座处的挠
度w=0。这种条件称为边界条件。
当梁的弯矩方程必须分段建立时，挠曲线微分方程也应该分段
建立。在这种情况下，经过积分后，积分常数增多，除利用边界条
件确定积分常数外，还应根据挠曲线为连续光滑这一特征，利用分
段处有相同挠度和相同转角的条件来确定积分常数。这种条件称为
C1

C2

Fb 6EIl
(l 2

b2 )
目录
第六章 弯曲变形\用积分法求挠度和转角
3) 求转角方程和挠曲线方程。将积分常数值代入相应方程，得两 段梁的转角方程和挠曲线方程分别为
AC段：
1


Fb 6EIl
(l 2

3x2

b2 )
w1


Fbx 6EIl
(l 2

x2

b2 )
CB段：
2

试用叠加法计算梁的最大挠度。设弯曲刚度EI为常数。
目录
第六章 弯曲变形\用叠加法求挠度和转角
由前面的例题可以看出，梁的挠度和转角都与梁上的荷载成线 性关系。按照叠加原理，当梁上同时作用几个荷载时，可以先分别 求出每个荷载单独作用下梁的挠度或转角，然后进行叠加(求代数 和)，即得这些荷载共同作用下的挠度或转角。这种求梁变形的方法 称为叠加法。

第六章弯曲变形

第六章弯曲变形

第六章 弯曲变形挠曲线的弯曲微分方程W=f(x)挠度 横截面形心（即轴线上的点）在垂直于x 轴方向的线位移， 转角 横截面对原来位置的角位移，称为该截面的转角可以是挠曲线上的点的切线方向与x 轴的夹角，也是改点的法线与横截面的夹角 【转角就是这一点的切线的斜正值为正的，负值为顺时针】规定转角顺时针为负值，逆时针为正值，而且剪力是顺时针为正值，逆时针为负值注意 用梁的轴线来代替梁弯矩规定下凸为正（叫做凹曲线）左顺右逆【使下侧受压为正】 梁的弯曲变形是很小的，在tan θ=θ值 在数学表达式中有|'1"w |p 1w +=中有二阶无穷小量 最后简化为 在规定的坐标系中, x 轴水平向右为正, w 轴竖直向上为正。

此时，挠度的二阶导数在挠曲线凹（下凸）时为正，反之为负。

【挠度的二阶导数是弯矩，一阶导数是转角正好有弯矩的定义对应起来】梁的挠曲线近似微分方程 在这公式中，只是纯弯曲，忽略了剪力和二阶无穷小量6---3用积分法求弯曲变形在挠曲线的某些点上，挠度和转角有时候是已知的 1()()M x x EIρ=()"M x w EI =1()d EIw M x x C '=+⎰12()d d EIw M x x x C x C =++⎰⎰积分常数的确定1.边界条件简支梁左右胶支座挠度为0；悬臂梁固定端挠度是零，转角也是零2.连续条件（1）挠度连续条件（2）转角连续条件3.感悟弯矩为零处转角取极值；转角为零处，挠度取极值【更加简单的是从挠度曲线上来判读】4.事实上:在简支梁中, 不论集中载荷作用于什么位置, 其最大挠度值一般都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 精确度能够满足工程要求.技巧：（a ）对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的.所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程.只增加了(x-a)的项. 对于见对方对于简支梁的来说；中间作用一个集中力的话，要是判断那一段的挠度和转角的话，1 比较a 和b 的值，谁大挠度最大值就在那一侧；因为转角是在弯矩等于零的地方，所以可以知道转角一定会在 角支座处可能取得2比较集中力作用点的转角值得正负也可以判断6--4用叠加法求弯曲变形载荷叠加法和结构叠加法（逐段钢化法）在简支梁的一段作用的非集中载荷时候；要用积分的方法；取一小段dx 算出这一点的集度，再用第九栏的公式计算0)(a x M -+对于外伸梁一般用逐段钢化法；一般分为简支梁和固定端约束的梁；支点的简化时候有力和力偶两个（弯矩）[刚体作用时候是力可以平移的]剪力直接传递到支座上不引起变形6.5简单超静定梁独立平衡方程的数目的确定n次超静定梁寻求变形协调方程的关键是找到挠度的连接点6.6减小弯曲变形的一些措施改善机构的形式和载荷的作用方式，减小弯矩缩小跨度选择合适的截面形状工字形，等离对称轴较远的面例题中引入的是简支梁的三角形载荷；首先将载荷无限分解特别注意此时叠加的时候是积分2.简支梁部分载荷作用下的（载荷分布点的挠度和两端的转角）方法二的简化简支梁集中力在中间的作用下视为固定端约束3.对于外伸梁的端口的挠度和转角方法是固定的，一般有两种分段求变形（在脚支座的地方简化成力和弯矩，查表得出挠度和转角的表达式。

《材料力学》第六章-弯曲变形

《材料力学》第六章-弯曲变形

当载荷P处于梁中点，即ｂ=l／２时，ｘl=0.5l；
当载荷Ｐ移至支座B,即ｂ→０时
x1
l2 0.577l 3
即使在这种极端的情况下，最大挠度的位置距中 点只有0.077l，也就是说点的位置影响甚小，最大挠 度总是发生在梁跨中点的附近。可以认为在工程中 当有一集中力作用在简支梁上时，梁的最大挠度发 生在梁的中点，其结果误差不超过3％。
§6.1 工程中的弯曲变形问题
工程中有些受弯构件在载荷作用下虽能满足强度 要求，但由于弯曲变形过大，刚度不足，仍不能保证 构件的正常工作，成为弯曲变形问题。
出现“爬坡”现象
使齿轮啮合力沿齿宽分布极 不均匀，加速齿轮的磨损。
一、挠度和转角
构件的弯曲变形通常用截面的挠度和转角度量。
梁在横向力作用下发生弯曲变形， y
§6.3 用积分法求弯曲变形
一、积分法求弯曲变形 w Mx
EI
积分
挠曲线近似微分方程
w E 1IM xd x C
积分
转角方程
w E 1IM xd x CD x 挠曲线方程
式中C和D是待定的积分常数，可根据梁的具体条件来确定。
积分法计算梁的变形的步骤： 1.建立梁截面的弯矩方程式M(x)； 2.代人挠曲线近似微分方程式，并积分； 3.确定积分常数，得到具体的挠度和转角方程式； 4.求梁任一截面的转角和挠度。
令
w1 10 F 2lx b12-F 6lb l2-b2 0
当ａ>ｂ时，x1<a，wmax发生在AC段内。
得： x1
l2 -b2 3
wm若求最大转角，求θA、θB，比较大小，取其大者。
当
x1
l2 -b2 3
wmax-
Fb 9

《材料力学》第六章 弯曲变形

《材料力学》第六章 弯曲变形

第六章 弯曲变形§6—1 概述一、挠曲线：梁变形后的轴线。

性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。

二、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。

用 “w ” 表示。

w =w （x ） ……挠曲线方程。

挠度向上为正；向下为负。

三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。

用“θ” 表示。

θ=θ(x)……转角方程。

由变形前的横截面转到变形后，逆时针为正；顺时针为负。

四、挠度和转角的关系w =w （x ）上任一点处——w x w dxdw tg '='==)(θ w tg '=⇒≈θθθ §6—2 梁的挠曲线近似微分方程 一、曲率与弯矩的关系：EIx M x EI M x )()(1)(1=→=ρρ （1） 二、曲率与挠曲线的关系：[]232)(1)(1w w x '+''±=ρ→w x ''±=)(1ρ （2） 三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得 →w x ''±=EI M )( → )(x w M ±=''EI结论：挠曲线近似微分方程——)(x w M =''EI挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Fs ”、 2)(w '对变形的影响。

使用条件：弹性范围内工作的细长梁。

§6—3 积分法计算梁的变形步骤：（EI 为常量）1、根据荷载分段列出弯矩方程 M （x ）。

2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分)()(x M x w EI =''1)()(C dx x M x w EI +='⎰21))(()(C x C dx dx x M x EIw ++=⎰⎰3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。

（1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。

（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。

材料力学第6章弯曲变形

材料力学第6章弯曲变形

3）刚度条件：
w [f] max
[] max
作业 6－1
6.1
6.4(a) 加均布载荷q，M= -qa2/2
yq l
M 1ql2 2
x
§6.4 用叠加法求弯曲变形
原理： 多个载荷作用，弯矩图可以叠加，
d2w dx2

ME(Ixz )是线性方程，所以w
也可以叠加，
叠加法利用了已有的结果，所以较积分法 简洁，是应用最广泛的方法之一。
x0 13(l2b2)
w ma x9F 3EbI(l2 lb2)3
w l/24F E 8(b 3 Il24b2)
w m aw xl/2133l(3l24b2)
w max
16 (l2b2)3
ma x2.6% 5
讨论： 1）本题BC段的弯矩方程也可列为 M2Pl a(lx2) 但积分常数就不一样。 2）若a=b则要利用对称性，只求解一 半，边界条件变为：
=
F1a
例3：求A端挠度及转角。
w1


Fa3 3EI
A1

Fa2 2EI
w 26 F E 3a IF 4E2 a Ia 1 5F E 23aI
B4 F E 2a I2 F Ea I a 3 4 F E2a I
2EI EI a Ba
F A
F w1
F
w2
Fa
w3
w3Ba34F E3aI
2）双跨梁：
A
FB F C A
a a aa
FB F C FRB
协调方程：w B 2 F [3 (4 4 a a E )2 8 4 a I 2 ] F R 4 ( E 4 B a 8 )3 I 0

材料力学第六章弯曲变形

材料力学第六章弯曲变形

以图示悬臂梁为例： x
A
w
q qy
2.梁的变形可以用以下两个位移度量：
F Bx
B1
① 挠度：梁横截面形心的竖向位移y，向下的挠度为正 ② 转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，顺时针转动为正
简支梁
挠度方程：挠度是轴线坐标x的函数
转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系
=tan =dy =f ´(xd)x
梁在简单荷载作用下的转 角和挠度可从表中查得。
例3 图示悬臂梁，其弯曲刚度EI为常数，求B点转角和挠度。
q
A
C
F
1.在F作用下：
查表： BF
Fl 2 2EI
,
yBF
Fl 3 3EI
B
2.在q作用下：
查表： Cq
q(l / 2)3 6EI
ql3 48 EI
A A
qBF
F
B
q(l / 2)4 ql4
M图 Fl / 4
Wz
M max
35 103 160 106
2.19 10 4 m3
3、梁的刚度条件为：
Fl3 l 48EIz 500
解得
Iz
500 Fl 2 48 E
500 35 103 42 48 200 109
2.92 10 5 m4
由型钢表中查得，22a工字钢的弯曲截面系数Wz＝3.09×l0-4m3 ，惯性矩 Iz=3.40×10-5m4，可见．选择.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。
提高梁刚度的措施：
y ln EI
1.增大梁的弯曲刚度 EI；主要增大截面惯性矩I值，在截面 面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴 较远的地方。例如：工字形、箱形等。

材料力学第六章

材料力学第六章

解 1）将梁上的载荷分解
wC wC1 wC2 wC3
B B1 B2 B3
2）查表得3种情形下C截面的 挠度和B截面的转角。
wC1
5ql 4 384EI
wC 2
ql 4 48EI
ql 4 wC3 16EI
B1
ql 3 24EI
B1
ql 3 16EI
B3
ql 3 3EI
wC1
wC2 wC3
3）进行变形比较，列出变形协调
条件
wB 0
4）叠加法
wB (wB )F (wB )FBy 0
MA A
MFAAy A
FAy A
A
MA A FA y
MA A AA
MA A A
F
B
C
2a (a) B
aF C
2a
Ba C
((ba))
B B (b)
F C
C
(c)
FBy F
B
FF C
BB
(c)
FBy
CC
B12 a
Fa 2l 3EI
w1 wB11 wB12
w2
B2a
Fl 2a 16 EI
w w1 w2
用叠加法求跨度中点挠度
解： wc wc1 wc2
由于 wc wc2
=
故
wc
1 2
wc1
1 5q0l 4 5q0l 4 2 384EI 768EI
-
解： wc wc1 wc2
当 d w 0 时，w为极值
dx
EI1
Fb 2l
x2 1
Fb 6l
(l 2
b2 )
E I 2
Fb 2l
x22
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EIw2
Fb 2 3l 2 2 2 (l b 3x2 ) ( x2 a) 6l b
Fbx1 2 EIw1 (l b 2 x12 ) 6l
Fb 2 2 l 2 3 EIw2 ( l b x ) x ( x a ) 2 2 2 6l b
材料力学
第7章 弯曲变形
2015年1月29日
第7章
弯曲变形
§7.1 工程问题中的弯曲变形 挠度和转角 §7.2 挠曲线的近似微分方程 §7.3 用积分法求弯曲变形 §7.4 用叠加法求弯曲变形 §7.5 弯曲应变能 §7.6 简单超静定梁
§7.7 提高弯曲刚度的一些措施
§7.1 工程问题中的弯曲变形 挠度和转角
y
A
a x1 l
F
C
b
B
边界条件xx1 0 x2 lw1 0x2
w2 0 Fb 2 C1 C2 (l b 2 ) 6l
§7.3 用积分法求弯曲变形
转角方程和挠曲线方程分别为 AC：(0 x1 a) CB：(a x2 l )
EI w1 Fb 2 (l b 2 3 x12 ) 6l
弯曲变形计算除用于解决弯曲刚度问题外，还用于 求解超静定系统和振动计算。
§7.2
C’ C
挠曲线的近似微分方程
w
y
A

x
挠曲线：其方程式可以写成 B’ w f ( x) B 称为梁的挠曲线方程。 x 梁弯曲后 F 任一横截面的形心C移至C'。
水平位移可忽略，铅垂位移，称为该截面的挠度w。 横截面绕中性轴转过一角度，这个角度称为该截面 的转角θ。 由于挠曲线是一平坦曲线，故有
y
A
q
B
x FRA
x
l
FRB
解：计算支反力 ql FRA FRB 2 弯矩方程
ql q 2 M ( x) x x 2 2
挠曲线近似微分方程 积分得
ql q 2 EIw M x x 2 2
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
wB wC
而 wB 又可用叠加法求出。 首先，把BD部分看作是在 截面D固定的悬臂梁。
Fl 3 ( F / 2)(l / 4)3 wB1 384EI 3EI
§7.4 用叠加法求弯曲变形
其次，截面D的挠度和转角
( F / 2 )( l / 4 ) 3 ( Fl / 8 )( l / 4 ) 2 wD 3 EI 1 2 EI 1 5 Fl 3 5 Fl 3 768EI 1 1536EI
最大转角： x 0 1
Fb(l 2 b 2 ) Fab(l b) A 6 EIl 6 EIl
x2 l
Fab (l a ) B 6 EIl
当 a>b 时，
Fab (l a ) max B 6 EIl
§7.3 用积分法求弯曲变形
最大挠度：
假设最大挠度在 AC 段内，当 x=x0 时，转角为零，得
工程中对某些受弯杆件除强度要求外，往往还有刚 度要求，即要求它变形不能过大。
例如：车床主轴，若其变形过大，将影响齿轮的啮 合和轴承的配合，造成磨损不均匀，产生噪音，降低寿 命，还会影响加工精度。
§7.1 工程问题中的弯曲变形 挠度和转角
再例如，桥式起重机的大梁，当变形过大时，将使 梁上小车行走困难，出现爬坡现象，还会引起较严重的 振动。
Fb 2 2 (l b 2 3x0 )0 6l
l b a 2ab x0 3 3
2 2 2
当 a>b 时，x0<a，说明转角为零的截面在 AC 段内，将x0 代入，得 Fb wmax w1 x1 x0 (l 2 b 2 )3 9 3EIl
§7.3 用积分法求弯曲变形
3
ql 3 q 4 ql3 EIw x x x 12 24 24
在两端，转角最大
ql3 max A B 24EI
§7.3 用积分法求弯曲变形
例：求梁的转角方程, 挠曲线方程, 最大转角, 最大挠度。 y 解：计算支反力 a F b FRA Fb / l FRB Fa / l B C A x 弯矩方程 x1 Fb x2 FRB x1 AC： M 1 (0 x1 a) FRA
§7.3 用积分法求弯曲变形
边界条件
A
F
B
C
D
F
wA 0
wB 0
F
wC 0
C 0
连续性条件
A B
w1 w2
1 2
§7.3 用积分法求弯曲变形
刚度条件
求得了梁的挠度和转角后，根据需要，限制最大挠
度和最大转角不超过某一规定数值，就得刚度条件：
w max w
max
§7.4 用叠加法求弯曲变形
例：在简支梁的一部分上作用均布载荷。试求跨度中点 的挠度。设 b l / 2 。
解：查表6.1知，跨度中点C由微分载荷 dF qdx 引起的 b 挠度为 q
dF x 2 dwC (3l 4 x 2 ) 48 EI qx (3l 2 4 x 2 )dx 48 EI
所以当梁上同时作用几个载荷时，可分别求出每一 个载荷单独引起的变形，把所得变形叠加即为这些载荷 共同作用时的变形。这就是计算弯曲变形的叠加法。
( F1F2 Fn ) 1 (F1 ) 2 ( F2 ) n (Fn )
w( F1F2 Fn ) w1 ( F1 ) w2 ( F2 ) wn ( Fn )
1 M ( x) ( x) EI
§7.2
1 ( x) w
挠曲线的近似微分方程
M ( x) w EI
M 0
w 0
另外，平面曲线 w = f(x) 的曲率可以写成
1 w
3 2 2
w
y
M 0 w 0
x
O
M ( x) w EI
w

为规定的许可挠度。
为规定的许可转角。
§6.3 用积分法求弯曲变形
例：求梁的转角方程, 挠曲线方程, 最大转角, 最大挠度。
y
A
F
B
解：弯矩方程
x
M ( x) F (l x)
x
l
挠曲线近似微分方程
EIw M F (l x)
F 3 Fl 2 EIw x x Cx D 6 2
dw tan w dx 可见，任一截面的转角等于挠曲线在该截面处的斜率。
§7.2
挠曲线的近似微分方程
挠度 w 和转角θ的符号与所选坐标系有关。图示坐 标系中，向上的挠度为正，逆时针的转角为正，反之均 为负。 在纯弯曲的情况下，有
M EI 1
在横力弯曲的情况下，如梁的跨度远大于截面高度， 剪力FS对弯曲变形的影响可以省略，上式仍然成立，为
D
由叠加法，得
3
( F / 2 )( l / 4 ) 2 ( Fl / 8 )( l / 4 ) 2 EI 1 EI 1 3 Fl 2 3 Fl 2 64 EI 1 128 EI
3 2 3
Fl 5Fl 3Fl l 3Fl l wC w B w B 1 w D D 4 384EI 1536EI 128EI 4 256EI
§7.3 用积分法求弯曲变形
y
A
q
B
边界条件
x
x 0 时 wA 0 所以 D 0 3 ql l x l 时 wB 0 所以 C 24 转角方程和挠曲线方程分别为
ql 2 q 3 ql EIw x x 4 6 24
在跨度中点，挠度最大
f max wx l / 2 5ql 4 384EI
l Fb x2 F ( x2 a ) CB： M 2 l Fb M 1 EI w1 x1 l Fb x12 EIw1 C1 l 2 Fb x13 EIw C1 x1 D1 1 l 6
l
(a x2 l )
挠曲线近似微分方程
Fb M 2 EI w2 x2 F ( x2 a ) l 2 Fb x2 ( x2 a) 2 EIw2 F C2 l 2 2 3 Fb x2 ( x2 a)3 EIw2 F C2 x2 D2 l 6 6
所以，若变形超过允许数值，即使仍然是弹性的， 也被认为是一种失效现象。
§7.1 工程问题中的弯曲变形 挠度和转角
工程中虽然经常是限制弯曲变形，但在另一些情况 下，常常又利用弯曲变形达到某种要求。
例如，叠板弹簧应有较大的变形，才可以更好地起 缓冲减振作用。弹簧板手要有明显的弯曲变形，才可以 使测得的力矩更为准确。
讨论： 1. a b l ，即F作用在中点。 2 Fl 3 Fl 2 wmax wx l / 2 max A B 48EI 16EI 2. 集中力 F 无限接近于B支座。 Fbl2 l wmax x0 0.577l 3 9 3EI Fbl2 wl / 2 跨度中点的挠度为 16EI 如用中点挠度代替最大挠度，其误差为
wmax wl / 2 1 / 9 3 1 / 16 2.57% wmax 1/ 9 3
§7.4 用叠加法求弯曲变形
在弯曲变形很小，且材料服从胡克定律的情况下， 挠曲线的微分方程是线性的。又因在小变形的前提下， 计算弯矩时用变形前的位置，结果弯矩与载荷的关系也 是线性的。这样，对应于几种不同的载荷，弯矩可以叠 加。挠曲线微分方程的解也可以叠加。