高考数学总复习课件4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数

第01节 任意角和弧度制及任意角的三角函数【考纲解读】考 点 考纲内容5年统计分析预测 1.任意角的概念、弧度制了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.无1.三角函数的定义；2.扇形的面积、弧长及圆心角.3.备考重点： (1) 理解三角函数的定义；(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.2.三角函数的定义 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.无【知识清单】1．象限角及终边相同的角 1．任意角、角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． 2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l r，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l r与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． 对点练习：下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋94π(k ∈Z )C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.kπ＋5π4(k ∈Z )【答案】C.确.2．三角函数的定义1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线对点练习：【河南省林州一中2017-2018上学期开学】已知角α终边经过点3122P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ） A.123312±【答案】B【解析】由于31,2r OP x ===，所以由三角函数的定义可得3cos 2x r α==，应选答案B.3. 扇形的弧长及面积公式弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.对点练习：已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l. (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) 10π3(cm).(2)圆心角为12.(3)l ＝10，α＝2.【解析】(1)α＝60°＝π3 rad ，∴l ＝α·R＝π3×10＝10π3(cm).【考点深度剖析】高考对任意角三角函数定义的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求学生深刻认识利用坐标法定义任意角三角函数的背景和目的．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．【重点难点突破】考点1 象限角及终边相同的角 【1-1】已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；(2)设集合M=18045,,N=18045,24k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫=⨯+∈=⨯+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z o o o o ，判断两集合的关系．【答案】（1）β＝－675°或β＝－315°.(2)M N ⊆. 【解析】(1)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合； 而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而M N ⊆.【1-2】若sin 0θ>且sin 20θ>，则角θ的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【1-3】终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________． 【答案】{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }【解析】终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }．【1-4】若角α是第二象限角，试确定α2，2α的终边所在位置．【答案】角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限.【解析】∵角α是第二象限角，∴ 22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，（1）4242,k k k Z ππαππ+<<+∈，∴ 角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上．综上所述，2的终边在第一象限或第三象限． 【领悟技法】1.对与角α终边相同的角的一般形式α＋k ·360°(k ∈Z )的理解;(1)k ∈Z;(2)α任意角;(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.2.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角3.已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置 【触类旁通】【变式一】如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )【答案】C当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ；当t ＝π4时，d ＝0，排除B.考点2 三角函数的定义【2-1】已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114 B.114 C ．－4 D ．4【答案】C【解析】由题意可知，cos α＝m m 2＋9＝－45， 又m <0，解得m ＝－4.【2-2】已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3B ．± 3 C.33D ．±33【答案】B【解析】由|OP |2＝x 2＋34＝1，得x ＝±12，tan α＝± 3.【2-3】已知角α的终边上有一点P (t ，t 2＋1)(t >0)，则tan α的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.12D. 2【答案】B【解析】根据已知条件得tan α＝t 2＋1t ＝t ＋1t≥2，当且仅当t ＝1时，tan α取得最小值2.【2-4】已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6 【答案】D【领悟技法】1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值． 【触类旁通】【变式一】已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]【答案】A【解析】 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.故选A.【变式二】已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．【答案】0【解析】设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋－3k2＝10|k |.当k >0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k10k＝－310，1cos α＝10 k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k <0时，r ＝－10k ， ∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k＝－10，∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.考点3 扇形的弧长及面积公式【3-1】【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中8月月考】若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ． 【答案】833π 【解析】画出图形，如图所示.设扇形的半径为rcm ，由sin60°=6r，得r=43cm ， ∴l=n πr 180=2π3×43= 833π cm. 【3-2】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ 【答案】 当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大【领悟技法】(1)弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．【触类旁通】【变式一】一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3 C. 3 D. 2 【答案】C【变式二】一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________． 【答案】(7＋43)∶9【解析】设扇形半径为R ，内切圆半径为r .则(R －r )sin 60°＝r ， 即R ＝1＋233r .又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，∴S 扇πr 2＝7＋439. 【易错试题常警惕】易错典例：已知角α的终边过点(,2)m m ,0m ≠,求角α的的正弦值、余弦值. 易错分析：学生在做题时容易遗忘0m <的情况． 正确解析：当0m <时，2555,sin ,cos r m αα=-=-=-； 当0m >时，2555,sin ,cos r m αα=-== 温馨提醒：本题主要考察了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

第1讲任意角和弧度制、三角函数的概念1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.任意角(1)任意角包括正角、负角和零角.(2)象限角：在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在□1第几象限，就说这个角是第几□2象限角；如果角的终边在□3坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝□4{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于□5半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是一个□6正数，负角的弧度数是一个□7负数，零角的弧度数是□80.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝π180rad；1rad＝□9(180π)°弧长公式弧长l＝□10|α|r扇形面积公式S＝□1112lr＝□1212|α|r2扇形的弧长公式、面积公式中角的单位要用弧度，在同一式子中，采用的度量制必须一致.3.任意角的三角函数(1)概念：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝□13y，cosα＝□14x，tan α＝□15y x(x ≠0).(2)概念推广：三角函数坐标法定义中，若取点P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则sin α＝□16y r ，cos α＝□17x r ，tan α＝□18y x(x ≠0).常用结论1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.象限角与不属于任何象限的角(1)(2)(3)3.重要不等关系：若α∈(0，π2)，则sin α<α<tan α.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.()(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2.回源教材(1)67°30′化为弧度是()A.3π8B.38C.673π1800D.6731800解析：A 67°30′＝67.5×π180＝38π.(2)已知α是第一象限角，那么α2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角解析：D 易知2k π＜α＜π2＋2k π，k ∈Z ，故k π＜α2＜π4＋k π，所以α2是第一或第三象限角.(3)已知角θ的终边经过点P (－12，5)，则sin θ＋cos θ＝.解析：由三角函数的定义可得sin θ＋cos θ＝5（－12）2＋52＋－12（－12）2＋52＝513－1213＝－713.答案：－713任意角及其表示例1(1)(多选)若α是第二象限角，则()A.－α是第一象限角B.α2是第一或第三象限角C.3π2＋α是第二象限角D.2α是第三或第四象限角或终边在y 轴负半轴上解析：BD因为α是第二象限角，所以可得π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z .对于A ，－π－2k π<－α<－π2－2k π，k ∈Z ，则－α是第三象限角，所以A 错误.对于B ，可得π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角，所以B 正确.对于C ，2π＋2k π<3π2＋α<5π2＋2k π，k ∈Z ，即2(k ＋1)π<3π2＋α<π2＋2(k ＋1)π，k ∈Z ，所以3π2＋α是第一象限角，所以C 错误.对于D ，π＋4k π<2α<2π＋4k π，k ∈Z ，所以2α的终边位于第三象限或第四象限或y 轴负半轴上，所以D 正确.故选BD.(2)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：C当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样.故选C.反思感悟1.表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}，其中β－α＜360°.(3)最后令起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角的集合.2.象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.(2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角.训练1(1)把－380°表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，则θ的值可以是()A.π9B.－π9C.8π9D.－8π9解析：B∵－380°＝－20°－360°，∴－380°＝(－π9－2π)rad ，故选B.(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为.解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个，即π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个，即－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为{－5π3，－2π3，π3，4π3}.答案：{－5π3，－2π3，π3，4π3}弧度制及其应用例2已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝π3，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.解：(1)因为α＝π3，R＝10cm，所以l＝|α|R＝π3×10＝10π3(cm).(2)由已知，得l＋2R＝20，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以当R＝5cm时，S取得最大值，此时l＝10cm，α＝2.(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝2π3cm，所以S弓形＝12×2π3×2－12×22×sinπ3＝(2π3－3)(cm2).反思感悟应用弧度制解决问题时的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，或用基本不等式解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.训练2如图，图1是杭州2022年第19届亚运会的会徽，名为“潮涌”，整个会徽象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设弧AD 的长度是l 1，弧BC 的长度是l 2，几何图形ABCD 的面积为S 1，扇形BOC 的面积为S 2，若l 1l 2＝2，则S1S 2＝()图1图2A.1B.2C.3D.4解析：C 设∠BOC ＝α，由l 1l 2＝2，得OA ·αOB ·α＝OA OB ＝2，即OA ＝2OB ，∴S1S 2＝12α·OA 2－12α·OB 212α·OB 2＝OA 2－OB 2OB 2＝4OB 2－OB 2OB 2＝3.故选C.三角函数的定义及其应用三角函数的定义例3(1)(2024·哈尔滨期中)已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α－cos α－11＋tan α的值为()A.－65 B.1C.2D.3解析：A由（－3）2＋42＝5，得sin α＝45，cos α＝－35，tan α＝－43，代入原式得45－（－35）－11＋（－43）＝－65.(2)如果点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是()A.(1，3)B.(－1，3)C.(－3，1)D.(－3，－1)解析：B由三角函数定义知，cos 23π＝x P |OP |＝－12，sin 23π＝y P |OP |＝32，所以x P ＝－1，y P ＝3，即P 的坐标是(－1，3).三角函数值的符号例4(1)点P (sin 100°，cos 100°)落在()A.第一象限内B.第二象限内C.第三象限内D.第四象限内解析：D因为sin 100°＝sin(90°＋10°)＝cos 10°＞0，cos 100°＝cos(90°＋10°)＝－sin 10°＜0，所以点P (sin 100°，cos 100°)落在第四象限内.(2)已知sin θ＜0，tan θ＜0，则角θ的终边位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：D 由sin θ＜0，tan θ＜0，根据三角函数的符号与角的象限间的关系，可得角θ的终边位于第四象限.反思感悟1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.训练3(1)(多选)已知角α的终边与单位圆交于点P (35，m5)，则sin α的值可能是()A.45B.35C.－45 D.－35解析：AC由题意可得sin α＝m 5（35）2＋（m 5）2＝m 32＋m 2＝m5，解得m ＝±4.当m ＝4时，sin α＝45；当m ＝－4时，sin α＝－45.故A ，C 正确，B ，D 错误.(2)(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－3)，且θ与α的终边关于x 轴对称，则()A.sin θ＝－217B.α为钝角C.cos α＝－277D.点(tan θ，tan α)在第四象限解析：ACD因为角θ的终边经过点(－2，－3)，所以sin θ＝－37＝－217，故A 正确.因为θ与α的终边关于x 轴对称，所以α的终边经过点(－2，3)，则α为第二象限角，不一定为钝角，且cos α＝－27＝－277，故B 错误，C 正确.因为tanθ＝32>0，tan α＝－32<0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D 正确.故选ACD.限时规范训练(二十四)A级基础落实练1.与－2023°终边相同的最小正角是()A.137°B.133°C.57°D.43°解析：A因为－2023°＝－360°×6＋137°，所以与－2023°终边相同的最小正角是137°.2.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋9π4(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋5π4(k∈Z)解析：C对于A，B，2kπ＋45°(k∈Z)，k·360°＋9π4(k∈Z)中角度和弧度混用，不正确；对于C，因为9π4＝2π＋π4与－315°是终边相同的角，故与角9π4的终边相同的角可表示为k·360°－315°(k∈Z)，C正确；对于D，kπ＋5π4(k∈Z)，不妨取k＝0，则表示的角5π4与9π4终边不相同，D错误.3.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－31010，则y＝()A.3B.－3C.1D.－1解析：B因为sinθ＝－31010＜0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y＜0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010，解得y＝－3(正值舍去).4.(2024·鹰潭期中)点A(sin1240°，cos1240°)在直角坐标平面上位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：D1240°＝3×360°＋160°，160°是第二象限角，所以sin1240°＞0，cos1240°＜0，P点在第四象限.5.(2023·河东一模)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为()A.4B.22C.2D.1解析：C设扇形的半径为R(R＞0)，圆心角为α，则12αR2＝4，所以α＝8R2，则扇形的周长为2R＋αR＝2R＋8R≥22R·8R＝8，当且仅当2R＝8 R，即R＝2时，取等号，此时α＝2，所以周长最小时半径的值为2.6.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ＜0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的序号是()A.②④⑤B.③⑤C.③D.①③⑤解析：C①由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，故第二象限角大于第一象限角不正确，即①不正确；②直角不属于任何一个象限，故三角形的内角是第一象限角或第二象限角错误，即②不正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，即③正确；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，即④不正确；⑤若cosθ＜0，则θ是第二象限角或第三象限角或θ的终边落在x轴的负半轴上，即⑤不正确.其中正确命题的序号是③，故选C.7.(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点P(1，2sinα)，且|α|＜π2，则角α的可能取值为()A.－π3B.0C.π6D.π3解析：ABD因为角α的终边上有一点P(1，2sinα)，所以tanα＝2sinα，所以sinαcosα＝2sinα，①若α＝0，则sinαcosα＝2sinα成立；②若α≠0，则cosα＝12，因为|α|＜π2，所以α＝π3或α＝－π3.8.已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为.解析：因为r＝64m2＋9，所以cosα＝－8m64m2＋9＝－45，所以4m264m2＋9＝125，因为m＞0，解得m＝12.答案：1 29.α为第二象限角，且|cosα2|＝－cosα2，则α2在象限.解析：∵α为第二象限角，∴α2为第一或第三象限角，又|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2＜0，∴α2在第三象限.答案：第三10.若角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x ＜0)的图象重合，则2cos α＋sin α＝.解析：∵角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x ＜0)的图象重合，∴α为第二象限角，且tan α＝－512，即sin α＝－512cos α.∴sin 2α＋cos 2α＝(－512cos α)2＋cos 2α＝1，解得cos α＝－1213.∴sin α＝－512cos α＝－512×(－1213)＝513.∴2cos α＋sin α＝2×(－1213)＋513＝－1913.答案：－191311.用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(含边界)的角θ的集合是.解析：由题图，终边OB 对应角为2k π－π6且k ∈Z ，终边OA 对应角为2k π＋3π4且k ∈Z ，所以阴影部分角θ的集合是[2k π－π6，2k π＋3π4]，k ∈Z .答案：[2k π－π6，2k π＋3π4]，k ∈Z12.已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的周长为.解析：设扇形的半径为R，利用扇形面积计算公式S＝12×23πR2＝3π，可得R＝3，所以该扇形的弧长为l＝23π×3＝2π，所以周长为l＋2R＝6＋2π.答案：6＋2πB级能力提升练13.(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m＞0)，则下列各式的值一定为负的是()A.sinα＋cosαB.sinα－cosαC.sinαcosαD.sinαtanα解析：CD因为角α终边经过点P(－1，m)(m＞0)，所以α在第二象限，所以sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，如果α＝23π，所以sinα＋cosα＝32－12＞0，所以选项A不满足题意；sinα－cosα＞0；sinαcosα＜0；sinαtanα＜0，故CD正确.14.(2023·长治模拟)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强相互作用力(SIM)材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段AB，AC和圆的优弧BC围成，其中AB，AC恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点A到圆弧所在圆的圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为()A.3＋2π3 B.23＋2π3C.23＋π3D.3＋π3解析：A 如图，设圆弧所在圆的圆心为O ，连接OA ，OB ，OC ，依题意得OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，且OB ＝OC ＝1，OA ＝2，则AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝π3，所以∠BOC ＝2π3，所以该封闭图形的面积为2×12×3×1＋12×(2π－2π3)×12＝3＋2π3.15.(2024·牡丹江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (35，45)，将线段OA绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则点B 的横坐标为.解析：易知A (35，45)在单位圆上，记终边在射线OA 上的角为α，如图所示，根据三角函数定义可知，cos α＝35，sin α＝45；OA 绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则终边在射线OB 上的角为α－π3，所以点B 的横坐标为cos(α－π3)＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝3＋4310.答案：3＋431016.若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π)内α的取值范围是.解析：由题意可得α－cos α＞0，α＞0，∈[0，2π），α＞0，∈[0，2π），可得α∈(0，π2)或α∈(π，3π2)，当α∈(0，π2)，即α为第一象限角，则sin α＞0，cos α＞0，∵sin α－cos α＞0，则tan α＞1，∴α∈(π4，π2)；当α∈(π，3π2)，即α为第三象限角，则sin α＜0，cos α＜0，∵sin α－cos α＞0，则0＜tan α＜1，∴α∈(π，5π4)；综上所述，α∈(π4，π2∪(π，5π4).答案：(π4，π2)∪(π，5π4)。

2024年高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝π180rad ，1rad(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．三个三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin αR＋＋－－cos αR＋－－＋tan α{α|α≠k π＋π2，k ∈Z }＋－＋－4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .三角函数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线概念方法微思考1．总结一下三角函数值在各象限的符号规律．提示一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．三角函数坐标法定义中，若取点P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？提示设点P 到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx(x ≠0)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(×)(2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．(√)(3)不相等的角终边一定不相同．(×)(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(√)题组二教材改编2．角－225°＝弧度，这个角在第象限．答案－5π4二3．若角α的终边经过点－22，sin α＝，cos α＝.答案22－224．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为弧度．答案π3题组三易错自纠5|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z(阴影部分)是()答案C解析当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.6．已知点Pθ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.5π6B.2π3C.11π6D.5π3答案C解析因为点P所以根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，又θθ＝11π6.7．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是．答案2π3解析与角－4π3终边相同的角是2k πk ∈Z )，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3.8．(2018·济宁模拟)函数y ＝2cos x －1的定义域为．答案2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )解析∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．题型一角及其表示1．下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案C解析与角9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．2．设集合M |x ＝k2·180°＋45°，k ∈ZN |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z()A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅答案B解析由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.3．(2018·宁夏质检)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为．答案－53π，－23π，π3，43π解析如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为－53，－23π，π3，43π4．若角α是第二象限角，则α2是第象限角．答案一或三解析∵α是第二象限角，∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．综上，α2是第一或第三象限角．思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k (k ∈Z )赋值来求得所需的角．(2)确定kα，αkk ∈N *)的终边位置的方法先写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk的终边所在位置．题型二弧度制及其应用例1已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10cm ，求扇形的面积．解由已知得α＝π3，R ＝10cm ，∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2)．引申探究1．若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．解l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)，S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3＝12·10π3·10－12·102·32＝50π－7533(cm 2)．2．若例题条件改为：“若扇形周长为20cm ”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R (0<R <10)．所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5cm 时，S 取得最大值25cm 2，此时l ＝10cm ，α＝2rad.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．跟踪训练1(1)(2018·湖北七校联考)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A.π6B.π3C ．3D.3答案D解析如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ，∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r ＝3rr＝ 3.(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为．答案518解析设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，由扇形面积等于圆面积的527，可得12α2r 3πr 2＝527，解得α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r 32πr ＝518.题型三三角函数的概念命题点1三角函数定义的应用例2(1)(2018·青岛模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为－12，sin α·tan α等于()A ．－33B ．±33C ．－32D ．±32答案C解析由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时，sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时，sin α·tan α＝－32.所以sin α·tan α＝－32.(2)设θ是第三象限角，且|cosθ2|＝－cos θ2，则θ2是()A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案B解析由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，∵|cos θ2|＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上可知，θ2为第二象限角．命题点2三角函数线例3(1)满足cos α≤－12的角的集合是．答案|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 解析作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z(2)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关系是．答案sin α<cos α<tan α解析如图，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可知sin α<cos α<tan α.思维升华(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．跟踪训练2(1)(2018·济南模拟)已知角α的终边经过点(m ，－2m )，其中m ≠0，则sin α＋cosα等于()A ．－55B ．±55C ．－35D ．±35答案B解析∵角α的终边经过点(m ，－2m )，其中m ≠0，∴m >0时，sin α＝－2m 5m ＝－25cos α＝m 5m ＝15，∴sin α＋cos α＝－55；m <0时，sin α＝－2m －5m ＝25，cos α＝m －5m ＝－15，∴sin α＋cos α＝55；∴sin α＋cos α＝±55，故选B.(2)在(0,2π)内，使得sin x >cos x 成立的x 的取值范围是()答案C解析当x ∈π2，sin x >0，cos x ≤0，显然sin x >cos x 成立；当x ，π4时，如图，OA 为x 的终边，此时sin x ＝|MA |，cos x ＝|OM |，sin x ≤cos x ；当xOB 为x 的终边，此时sin x ＝|NB |，cos x ＝|ON |，sin x >cos x ．同理当x ∈πsin x >cosx ；当x ∈5π4，sin x ≤cos x ，故选C.1．下列说法中正确的是()A ．第一象限角一定不是负角B ．不相等的角，它们的终边必不相同C ．钝角一定是第二象限角D ．终边与始边均相同的两个角一定相等答案C解析因为－330°＝－360°＋30°，所以－330°角是第一象限角，且是负角，所以A 错误；同理－330°角和30°角不相等，但它们终边相同，所以B 错误；因为钝角的取值范围为(90°，180°)，所以C 正确；0°角和360°角的终边与始边均相同，但它们不相等，所以D 错误．2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是()A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4答案C解析设扇形的半径为r ，弧长为l ，＋l ＝6，＝2，＝1，4＝2，2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.3．(2018·石家庄调研)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于()A ．－3B ．3C.163D ．±3答案B 解析sin θ＝m16＋m 2＝35，且m >0，解得m ＝3.4．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为()－12，－32，－－12，－－32，答案A解析点P 旋转的弧度数也为2π3，由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.5．若sin θ·cos θ>0，sin θ＋cos θ<0，则θ在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案C解析∵sin θ·cos θ>0，∴sin θ>0，cos θ>0或sin θ<0，cos θ<0.当sin θ>0，cos θ>0时，θ为第一象限角，当sin θ<0，cos θ<0时，θ为第三象限角．∵sin θ＋cos θ<0，∴θ为第三象限角．故选C.6．sin 2·cos 3·tan 4的值()A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在答案A解析∵sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2·cos 3·tan 4<0.7．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为()A ．－12B ．－32C.12D.32答案C解析由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，解得m ＝±12，又cos α＝－45<0，所以－8m <0，即m >0，所以m ＝12.8．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案A解析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sinπ6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．9．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是．答案2解析设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝.答案2解析由已知tan α＝3，∴n ＝3m ，又m 2＋n 2＝10，∴m 2＝1.又sin α<0，∴m ＝－1，n ＝－3.故m －n ＝2.11．已知角α的终边上一点P 2π3，cos α的最小正值为．答案11π6解析由题意知，点r ＝1，所以点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6.12．函数y ＝sin x －32的定义域为．答案2k π＋π3，2k π＋23π，k ∈Z 解析利用三角函数线(如图)，由sin x ≥32，可知2k π＋π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z .13．已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为．答案α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z 解析∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π∴α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z14．若角α的终边落在直线y ＝3x 上，角β的终边与单位圆交于点12，m，且sin α·cos β<0，则cos α·sin β＝.答案±34解析由角β12，m cos β＝12sin α·cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y ＝3x 上，所以角α只能是第三象限角．记P 为角α的终边与单位圆的交点，设P (x ，y )(x <0，y <0)，则|OP |＝1(O 为坐标原点)，即x 2＋y 2＝1，又由y ＝3x 得x ＝－12，y ＝－32，所以cos α＝x ＝－12，因为点12，m 12＋m 2＝1，解得m ＝±32，所以sin β＝±32，所以cos α·sin β＝±34.15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积＝12×(弦×矢＋矢2)．弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径为3米的弧田，如图2所示．按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是平方米．(结果保留整数，3≈1.73)答案5解析如题图2，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝3，所以在Rt △AOD 中，∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×3＝32，可得CD ＝3－32＝32，由AD ＝AO ·sin π3＝3×32＝332，可得AB ＝2AD ＝2×332＝3 3.所以弧田面积S ＝12(弦×矢＋矢2)＝12×33×32＋＝943＋98≈5(平方米)．16．如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1,0)，∠BOA ＝60°.质点A 以1rad /s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．(1)求经过1s 后，∠BOA 的弧度；(2)求质点A ，B 在单位圆上第一次相遇所用的时间．解(1)经过1s 后，质点A 运动1rad ，质点B 运动2rad ，此时∠BOA 的弧度为π3＋3.(2)设经过t s 后质点A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t (1＋2)＋π3＝2π，解得t ＝5π9，即经过5π9s后质点A ，B 在单位圆上第一次相遇．。

知识点最新考纲任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数了解角、角度制与弧度制的概念,掌握弧度与角度的换算．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质,了解三角函数的周期性.同角三角函数的基本关系式与诱导公式理解同角三角函数的基本关系,掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.两角和与差的正弦、余弦及正切公式掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.简单的三角恒等变换掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义,掌握y＝Asin(ωx ＋φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理及其应用.第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类按旋转方向正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合按终边位置象限角角的终边在第几象限,这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z}．2．弧度制(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式角α的弧度数公式 |α|＝l r角度与弧度的换算1°＝π180rad,1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈57°18′ 弧长公式 l ＝|α|r 扇形面积公式 S ＝12lr ＝12|α|r 23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定 义设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么y 叫做α的正弦,记作sin αx 叫做α的余弦,记作cos αyx 叫做α的正切,记作tan α各象限符号Ⅰ 正 正 正 Ⅱ正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负正负口诀一全正,二正弦,三正切,四余弦三角 函数线有向线段MP 为正弦线,有向线段OM 为余弦线,有向线段AT 为正切线[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角,第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( )(5)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,则ta n α＞sin α.( )(6)若α为第一象限角,则sin α＋cos α＞1.( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√ [教材衍化]1．(必修4P10A 组T7改编)角－225°＝________弧度,这个角在第________象限． 答案：－5π4二2．(必修4P15练习T2改编)设角θ的终边经过点P(4,－3),那么2cos θ－sin θ＝________． 解析：由已知并结合三角函数的定义,得sin θ＝－35,cos θ＝45,所以2cos θ－sin θ＝2×45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝115.答案：1153．(必修4P10A 组T6改编)一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角大小为________弧度． 答案：π3[易错纠偏](1)终边相同的角理解出错； (2)三角函数符号记忆不准；(3)求三角函数值不考虑终边所在象限．1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π－45°(k∈Z)B ．k ·360°＋94π(k∈Z)C ．k ·360°－315°(k∈Z)D ．k π＋5π4(k∈Z)解析：选C.与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有C 正确．故选C.2．若sin α<0,且tan α>0,则α是第____象限角．解析：由sin α<0知α的终边在第三、第四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0知α的终边在第一或第三象限,故α是第三象限角．答案：三3．已知角α的终边在直线y ＝－x 上,且cos α<0,则tan α＝________． 解析：如图,由题意知,角α的终边在第二象限,在其上任取一点P(x,y),则y ＝－x,由三角函数的定义得tan α＝y x ＝－xx＝－1.答案：－1象限角及终边相同的角(1)若角α是第二象限角,则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)若角α的顶点为坐标原点,始边在x 轴的非负半轴上,终边在直线y ＝－3x 上,则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2kπ－π3，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2kπ＋2π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝kπ－2π3，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝kπ－π3，k ∈Z(3)终边在直线y ＝3x 上,且在[－2π,2π)内的角α的集合为________．【解析】 (1)因为α是第二象限角,所以π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ,k ∈Z,所以π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ,k ∈Z.当k 为偶数时,α2是第一象限角；当k 为奇数时,α2是第三象限角．(2)根据题意,角α的终边在直线y ＝－3x 上,α为第二象限角时,α＝2π3＋2kπ＝(2k ＋1)π－π3,k ∈Z ；α为第四象限角时,α＝5π3＋2kπ＝(2k ＋2)π－π3,k ∈Z ；综上,角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝kπ－π3，k ∈Z .故选D.(3)如图,在坐标系中画出直线y ＝3x,可以发现它与x 轴的夹角是π3,在[0,2π)内,终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3,43π；在[－2π,0)内满足条件的角有两个：－23π,－53π,故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.【答案】 (1)C (2)D (3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π(1)表示区间角集合的三个步骤(2)求θn 或nθ(n∈N *)所在象限(位置)的方法①将θ的范围用不等式(含有k)表示． ②两边同除以n 或乘以n.③对k 进行讨论,得到θn或nθ(n∈N *)所在的象限(位置)．1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z), 则令－720°≤45°＋k×360°<0°,得－765°≤k ×360°<－45°,解得－765360≤k<－45360,从而k ＝－2或k ＝－1,代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315° 2．若sin α·tan α<0,且cos αtan α<0,则α是第________象限角． 解析：由sin α·tan α<0可知sin α,tan α异号,从而α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0,可知cos α,tan α异号,从而α为第三或第四象限角．综上,α为第三象限角．答案：三扇形的弧长、面积公式已知扇形的圆心角是α ,半径为R,弧长为l. (1)若α＝60°,R ＝10 cm,求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大？ 【解】 (1)α＝60°＝π3,l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得,l ＋2R ＝20,则l ＝20－2R,所以S ＝12lR ＝12(20－2R)R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25,所以当R ＝5时,S 取得最大值25, 此时l ＝10 cm,α＝2 rad.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式是l ＝|α|r ,扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长,α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． [提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．1．已知扇形的半径是2,面积为8,则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B ．2 C ．8D ．1解析：选A.设扇形的弧长为l,则12l ·2＝8,即l ＝8,所以扇形的圆心角的弧度数为82＝4.2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分,半径等于圆半径的23,面积等于圆面积的527,则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r,则扇形的半径为2r 3,记扇形的圆心角为α,则12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527, 所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·23r2πr ＝518.答案：518三角函数的定义(高频考点)三角函数的定义是高考的常考内容,多以选择题、填空题的形式考查,难度较小．主要命题角度有： (1)利用三角函数定义求值； (2)判断三角函数值的符号； (3)利用三角函数线解三角不等式；(4)三角函数定义中的创新． 角度一 利用三角函数定义求值已知α是第二象限的角,其终边的一点为P(x,5),且cos α＝24x,则tan α＝( ) A.155 B.153 C ．－155D ．－153【解析】 因为α是第二象限的角,其终边上的一点为P(x,5),且cos α＝24x,所以x ＜0,cos α＝xx 2＋5＝24x,解得x ＝－3,所以tan α＝5－3＝－153. 【答案】 D角度二 判断三角函数值的符号若tan α>0,则( ) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin 2α>0D ．cos 2α>0【解析】 因为tan α＞0,所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k∈Z)是第一、三象限角． 所以sin α,cos α都可正、可负,排除A,B. 而2α∈(2kπ,2k π＋π)(k∈Z), 结合正弦函数图象可知,C 正确．取α＝π4,则tan α＝1>0,而cos 2α＝0,故D 不正确．【答案】 C角度三 利用三角函数线解不等式函数y ＝sin x －32的定义域为________． 【解析】 由题意,得sin x ≥32,作直线y ＝32交单位圆于A,B 两点,连接OA,OB,则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x 的终边的范围,故满足条件的角x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π3，2k π＋2π3,k ∈Z 角度四 三角函数定义中的创新(2020·台州质检)如图所示,质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P 0(2,－2),角速度为1,那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )【解析】 因为P 0(2,－2),所以∠P 0Ox ＝－π4.因为角速度为1,所以按逆时针旋转时间t 后,得∠POP 0＝t,所以∠POx＝t －π4.由三角函数定义,知点P 的纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4,因此d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4.令t ＝0,则d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝ 2. 当t ＝π4时,d ＝0,故选C.【答案】 C(1)定义法求三角函数值的三种情况①已知角α终边上一点P 的坐标,可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离,再用三角函数的定义求解．②已知角α的某三角函数值,可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值,可根据定义中的两个量列方程求参数值．③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小,根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．(2)三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin α,cos α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出角终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．[提醒] 若题目中已知角的终边在一条直线上,此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．1．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合,顶点在坐标原点,角α终边上的一点P 到原点的距离为2,若α＝π4,则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(2,2)D ．(1,1)解析：选D.设点P 的坐标为(x,y), 则由三角函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧sin π4＝y 2，cos π4＝x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1.故点P 的坐标为(1,1)．2．已知角α的终边经过点P(－3,m),且sin α＝34m (m≠0),则角α为第________象限角． 解析：依题意,点P 到原点O 的距离为 r ＝ （－3）2＋m 2＝3＋m 2, 所以sin α＝m 3＋m2,又因为sin α＝34m,m ≠0, 所以m 3＋m2＝34m, 所以m 2＝73,所以m ＝±213.所以点P 在第二或第三象限． 答案：二或三[基础题组练]1．已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C.设扇形的半径为r,弧长为l,则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12r 2α＝12r 2×4,求得r ＝1,l＝αr＝4,所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.2．若角α与β的终边相同,则角α－β的终边( ) A ．在x 轴的正半轴上 B ．在x 轴的负半轴上 C ．在y 轴的负半轴上 D ．在y 轴的正半轴上 解析：选A.由于角α与β的终边相同,所以α＝k·360°＋β(k∈Z),从而α－β＝k·360°(k∈Z),此时角α－β的终边在x 轴正半轴上． 3．已知角α的终边过点P(－8m,－6sin 30°),且cos α＝－45,则m 的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：选B.因为r ＝64m 2＋9, 所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45, 所以m ＞0,所以4m 264m 2＋9＝125,因此m ＝12.4．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2n 时,2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n∈Z),此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时,2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n∈Z),此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．故选C.5．已知角α＝2k π－π5(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3解析：选B.由α＝2k π－π5(k∈Z)及终边相同的概念知,角α的终边在第四象限, 又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.故选B.6.已知圆O 与直线l 相切于点A,点P,Q 同时从点A 出发,P 沿直线l 匀速向右,Q沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动,当点Q 运动到如图所示的位置时,点P 也停止运动,连接OQ,OP,则阴影部分的面积S 1,S 2的大小关系是( )A ．S 1≥S 2B ．S 1≤S 2C ．S 1＝S 2D ．先S 1<S 2,再S 1＝S 2,最后S 1>S 2解析：选C.因为圆O 与直线l 相切,所以OA⊥AP ,所以S 扇形AOQ ＝12·AQ ︵·r ＝12·AQ ︵·OA,S △AOP ＝12OA ·AP,因为AQ ︵＝AP, 所以S 扇形AOQ ＝S △AOP ,即S 扇形AOQ －S 扇形AOB ＝S △AOP －S 扇形AOB ,则S 1＝S 2.故选C.7.如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,角α的终边与单位圆交于点A,点A 的纵坐标为45,则cos α＝________． 解析：因为A 点纵坐标y A ＝45,且A 点在第二象限,又因为圆O 为单位圆,所以A 点横坐标x A ＝－35,由三角函数的定义可得cos α＝－35. 答案：－358．已知点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,则角θ是第________象限角．解析：因为点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,所以sin θcos θ<0,2cos θ<0,即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ>0，cos θ<0，所以θ为第二象限角． 答案：二9．函数y ＝2cos x －1的定义域为________．解析：因为2cos x －1≥0,所以cos x ≥12. 由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示)．所以x∈[2kπ－π3,2k π＋π3](k∈Z)． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k∈Z) 10．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32,若α∈(－2π,2π),则所有的α组成的集合为________． 解析：因为角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32,所以角α为第四象限角,且tan α＝－3,即α＝－π3＋2k π,k∈Z ,因此落在(－2π,2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3 11．已知角θ的终边上有一点P(x,－1)(x≠0),且tan θ＝－x,求sin θ＋cos θ的值． 解：因为θ的终边过点(x,－1)(x≠0),所以tan θ＝－1x. 又tan θ＝－x,所以x 2＝1,即x ＝±1. 当x ＝1时,sin θ＝－22,cos θ＝22. 因此sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时,sin θ＝－22,cos θ＝－22, 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.12．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB 的半径为r,弧长为l,圆心角为α,(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6， 所以α＝l r ＝23或α＝l r＝6. (2)因为2r ＋l ＝8,所以S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14(l ＋2r 2)2＝14×(82)2＝4, 当且仅当2r ＝l,即α＝l r＝2时,扇形面积取得最大值4.所以圆心角α＝2,弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.[综合题组练]1．若－3π4＜α＜－π2,从单位圆中的三角函数线观察sin α,cos α,tan α的大小是( ) A ．sin α＜tan α＜cos αB ．cos α＜sin α＜tan αC ．sin α＜cos α＜tan αD ．tan α＜sin α＜cos α解析：选C.如图所示,作出角α的正弦线MP,余弦线OM,正切线AT,观察可得,AT ＞OM ＞MP,故有sin α＜cos α＜tan α.2．已知θ∈[0,π),若对任意的x∈[－1,0],不等式x 2cos θ＋(x ＋1)2sin θ＋x 2＋x>0恒成立,则实数θ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π12，5π12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6 解析：选A.由题意知,令f(x)＝(cos θ＋sin θ＋1)·x 2＋(2sin θ＋1)x ＋sin θ>0,因为cos θ＋sin θ＋1≠0,所以f(x)>0在[－1,0]上恒成立,只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0f （0）>0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin θ＋12（1＋cos θ＋sin θ）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0sin θ>0sin 2θ>12⇒ θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，5π12,故选A. 3．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4,则这两个扇形的周长之比为________．解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α,半径分别为r,R(其中r ＜R),则12αr 212αR 2＝14,所以r∶R＝1∶2,两个扇形的周长之比为2r ＋αr 2R ＋αR＝1∶2. 答案：1∶24．已知x∈R ,则使sin x>cos x 成立的x 的取值范围是________．解析：在[0,2π]区间内,由三角函数线可知,当x∈(π4,5π4)时,sin x>cos x,所以在(－∞,＋∞)上使sin x>cos x 成立的x 的取值范围是(2k π＋π4,2k π＋5π4),k ∈Z. 答案：(2k π＋π4,2k π＋5π4),k ∈Z 5．若角θ的终边过点P(－4a,3a )(a≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a )(a≠0),所以x ＝－4a,y ＝3a,r ＝5|a|,当a ＞0时,r ＝5a,sin θ＋cos θ＝－15. 当a ＜0时,r ＝－5a,sin θ＋cos θ＝15. (2)当a ＞0时,sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2, cos θ＝－45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0, 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＜0； 当a ＜0时,sin θ＝－35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0, cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2, 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·sin 45＞0. 综上,当a ＞0时,cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时,cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．6．设α为锐角,求证：1<sin α＋cos α<π2. 证明：如图,在平面直角坐标系中作出单位圆,设角α的终边为OP,过P 作PQ 垂直x 轴于Q,PR 垂直y 轴于R,则sin α＝QP,cos α＝OQ. 因为α为锐角,在△OPQ 中,QP ＋OQ>OP,所以sin α＋cos α>1.①而S △OPB ＝12OB ·RP ＝12cos α, S △OAP ＝12OA ·QP ＝12sin α, S 扇形OAB ＝12×1×π2＝π4. 又因为四边形OAPB 被扇形OAB 覆盖,所以S △OPB ＋S △OAP <S 扇形OAB ,即sin α＋cos α<π2.② 由①,②得1<sin α＋cos α<π2.。