天津市2019届高三3月九校联考数学(理)试卷+Word版含解析

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

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祝各位考生考试顺利！一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{﹣1，2，3}D．{1，2，3，4} 2．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣4x+y的最大值为（）A．2B．3C．5D．63．（5分）设x∈R，则“x2﹣5x＜0”是“|x﹣1|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．5B．8C．24D．295．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线﹣＝1（a＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．6．（5分）已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x）．若g（x）的最小正周期为2π，且g（）＝，则f（）＝（）A．﹣2B．﹣C．D．28．（5分）已知a∈R．设函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（）A．[0，1]B．[0，2]C．[0，e]D．[1，e]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）i是虚数单位，则||的值为．10．（5分）（2x﹣）8的展开式中的常数项为．11．（5分）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．12．（5分）设a∈R，直线ax﹣y+2＝0和圆（θ为参数）相切，则a的值为．13．（5分）设x＞0，y＞0，x+2y＝5，则的最小值为．14．（5分）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则•＝．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c＝2a，3c sin B ＝4a sin C．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．16．（13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．17．（13分）如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC ＝2．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E﹣BD﹣F的余弦值为，求线段CF的长．18．（13分）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|（O为原点），且OP⊥MN，求直线PB的斜率．19．（14分）设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列．已知a1＝4，b1＝6，b2＝2a2﹣2，b3＝2a3+4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c1＝1，c n＝其中k∈N*．（i）求数列{a（c﹣1）}的通项公式；（ii）求a i c i（n∈N*）．20．（14分）设函数f（x）＝e x cos x，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[，]时，证明f（x）+g（x）（﹣x）≥0；（Ⅲ）设x n为函数u（x）＝f（x）﹣1在区间（2nπ+，2nπ+）内的零点，其中n∈N，证明2nπ+﹣x n＜．2019年天津市高考数学（理科）答案解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】根据集合的基本运算即可求A∩C，再求（A∩C）∪B；【解答】解：设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则A∩C＝{1，2}，∵B＝{2，3，4}，∴（A∩C）∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}；故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（﹣1，1），化目标函数z＝﹣4x+y为y＝4x+z，由图可知，当直线y＝4x+z过A时，z有最大值为5．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．3．【分析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果【解答】解：∵x2﹣5x＜0，∴0＜x＜5，∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，0＜x＜2⇒0＜x＜5，∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要不充分条件，即x2﹣5x＜0是|x﹣1|＜1的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．4．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：i＝1，s＝0；第一次执行第一个判断语句后，S＝1，i＝2，不满足条件；第二次执行第一个判断语句后，j＝1，S＝5，i＝3，不满足条件；第三次执行第一个判断语句后，S＝8，i＝4，满足退出循环的条件；故输出S值为8，故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题5．【分析】推导出F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，|AB|＝，|OF|＝1，从而b＝2a，进而c＝＝，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．∴F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，∵l与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），∴|AB|＝，|OF|＝1，∴，∴b＝2a，∴c＝＝，∴双曲线的离心率为e＝．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．6．【分析】本题先将a、b、c的大小与1作个比较，发现b＞1，a、c都小于1．再对a、c 的表达式进行变形，判断a、c之间的大小．【解答】解：由题意，可知：a＝log52＜1，b＝log0.50.2＝＝＝log25＞log24＝2．c＝0.50.2＜1，∴b最大，a、c都小于1．∵a＝log52＝，c＝0.50.2＝＝＝．而log25＞log24＝2＞，∴＜．∴a＜c，∴a＜c＜b．故选：A．【点评】本题主要考查对数、指数的大小比较，这里尽量借助于整数1作为中间量来比较．本题属基础题．7．【分析】根据条件求出φ和ω的值，结合函数变换关系求出g（x）的解析式，结合条件求出A的值，利用代入法进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ＝0，则f（x）＝A sin（ωx）将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．即g（x）＝A sin（ωx）∵g（x）的最小正周期为2π，∴＝2π，得ω＝2，则g（x）＝A sin x，f（x）＝A sin2x，若g（）＝，则g（）＝A sin＝A＝，即A＝2，则f（x）＝2sin2x，则f（）＝2sin（2×＝2sin＝2×＝，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．8．【分析】分2段代解析式后，分离参数a，再构造函数求最值可得．【解答】解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立；当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+2a≥0⇔2a≥恒成立，令g（x）＝＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣（1﹣x+﹣2）≤﹣（2﹣2）＝0，∴2a≥g（x）max＝0，∴a＞0．当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0⇔a≤恒成立，令h（x）＝，则h′（x）＝＝，当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增，当1＜x＜e时，h′（x）＜0，h（x）递减，∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e，∴a≤h（x）＝e，综上a的取值范围是[0，e]．故选：C．【点评】本题考查了函数恒成立，属中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．【分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算．【解答】解：由题意，可知：＝＝＝2﹣3i，∴||＝|2﹣3i|＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查复数定义及模的概念及基本运算．本题属基础题．10．【分析】本题可根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令x的指数为0即可得到r 的值，代入r的值即可算出常数项．【解答】解：由题意，可知：此二项式的展开式的通项为：T r+1＝（2x）8﹣r＝•28﹣r•（﹣）r•x8﹣r•（）r＝•（﹣1）r28﹣4r•x8﹣4r．∴当8﹣4r＝0，即r＝2时，T r+1为常数项．此时T2+1＝•（﹣1）228﹣4×2＝28．故答案为：28．【点评】本题主要考查二项式的展开式的通项，通过通项中未知数的指数为0可算出常数项．本题属基础题．11．【分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可．【解答】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得：正四棱锥的高为2，由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于；由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1，则该圆柱的体积为：v＝sh＝π（）2×1＝；故答案为：【点评】本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题．12．【分析】推导出圆心（2，1）到直线ax﹣y+2＝0的距离：d＝＝2＝r，由此能求出a的值．【解答】解：∵a∈R，直线ax﹣y+2＝0和圆（θ为参数）相切，∴圆心（2，1）到直线ax﹣y+2＝0的距离：d＝＝2＝r，解得a＝．故答案为：．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与圆相切的性质、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．【分析】利用基本不等式求最值．【解答】解：x＞0，y＞0，x+2y＝5，则＝＝＝2+；由基本不等式有：2+≥2＝4；当且仅当2＝时，即：xy＝3，x+2y＝5时，即：或时；等号成立，故的最小值为4；故答案为：4【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．14．【分析】利用和作为基底表示向量和，然后计算数量积即可．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝＝＝＝﹣12+×5×2×﹣＝﹣1故答案为：﹣1．【点评】本题考查了平面向量基本定理和平面向量的数量积，关键是选好基底，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．【分析】（Ⅰ）根据正余弦定理可得；（Ⅱ）根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC中，由正弦定理＝，得b sin C＝c sin B，又由3c sin B＝4a sin C，得3b sin C＝4a sin C，即3b＝4a．又因为b+c＝2a，得b＝，c＝，由余弦定理可得cos B＝＝＝﹣．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin B＝＝，从而sin2B＝2sin B cos B＝﹣，cos2B＝cos2B﹣sin2B＝﹣，故sin（2B+）＝sin2B cos+cos2B sin＝﹣×﹣×＝﹣．【点评】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．属中档题．16．【分析】（I）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B（），可求分布列及期望；（II）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则Y～B（3，），且M＝{X ＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由题意知{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}与{Y＝1}，{X＝2}与{Y＝0}相互独立，利用相互对立事件的个概率公式可求【解答】解：（I）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B（3，），从而P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3．所以，随机变量X的分布列为：X0123P随机变量X的期望E（X）＝3×＝2．（II）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则Y～B（3，），且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由题意知{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}与{Y＝1}，{X＝2}与{Y＝0}相互独立，由（I）知，P（M）＝P（{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}＝P（{X＝3，Y＝1}+P{X＝2，Y ＝0}＝P（X＝3）P（Y＝1）+P（X＝2）P（Y＝0）＝＝【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与期望，互斥事件与相互独立事件的概率计算公式，考查运算概率公式解决实际问题的能力．17．【分析】（Ⅰ）以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得A，B，C，D，E的坐标，设CF＝h（h＞0），得F（1，2，h）．可得是平面ADE的法向量，再求出，由，且直线BF⊄平面ADE，得BF∥平面ADE；（Ⅱ）求出，再求出平面BDE的法向量，利用数量积求夹角公式得直线CE与平面BDE所成角的余弦值，进一步得到直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）求出平面BDF的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为列式求线段CF的长．【解答】（Ⅰ）证明：以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2）．设CF＝h（h＞0），则F（1，2，h）．则是平面ADE的法向量，又，可得．又∵直线BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE；（Ⅱ）解：依题意，，，．设为平面BDE的法向量，则，令z＝1，得．∴cos＜＞＝．∴直线CE与平面BDE所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：设为平面BDF的法向量，则，取y＝1，可得，由题意，|cos＜＞|＝，解得h＝．经检验，符合题意．∴线段CF的长为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角与二面角的大小，是中档题．18．【分析】（Ⅰ）由题意可得b＝2，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，c，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）B（0，2），设PB的方程为y＝kx+2，联立椭圆方程，求得P的坐标，M的坐标，由OP⊥MN，运用斜率之积为﹣1，解方程即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2b＝4，即b＝2，e＝＝，a2﹣b2＝c2，解得a＝，c＝1，可得椭圆方程为+＝1；（Ⅱ）B（0，2），设PB的方程为y＝kx+2，代入椭圆方程4x2+5y2＝20，可得（4+5k2）x2+20kx＝0，解得x＝﹣或x＝0，即有P（﹣，），y＝kx+2，令y＝0，可得M（﹣，0），又N（0，﹣1），OP⊥MN，可得•＝﹣1，解得k＝±，可得PB的斜率为±．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查化简运算能力，属于中档题．19．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，利用等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，能求出{a n}和{b n}的通项公式．（Ⅱ）（i）由a（c﹣1）＝（b n﹣1），能求出数列{a（c﹣1）}的通项公式．（ii）a i c i＝[a i+a i（c i﹣1）]＝+＝（×3）+，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，依题意有：，解得，∴a n＝4+（n﹣1）×3＝3n+1，b n＝6×2n﹣1＝3×2n．（Ⅱ）（i）∵数列{c n}满足c1＝1，c n＝其中k∈N*．∴a（c﹣1）＝（b n﹣1）＝（3×2n+1）（3×2n﹣1）＝9×4n﹣1，∴数列{a（c﹣1）}的通项公式为：a（c﹣1）＝9×4n﹣1．（ii）a i c i＝[a i+a i（c i﹣1）]＝+＝（×3）+＝（3×22n﹣1+5×2n﹣1）+9×﹣n＝27×22n+1+5×2n﹣1﹣n﹣12．（n∈N*）．【点评】本题考查等差数列、等比数列通项公式及前n项和等基础知识，考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．20．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，可得当x∈（，）（k∈Z）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（，）（k∈Z）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（Ⅱ）记h（x）＝f（x）+g（x）（），依题意及（Ⅰ），得到g（x）＝e x（cos x﹣sin x），由h′（x）＜0，得h（x）在区间[，]上单调递减，有h（x）≥h（）＝f（）＝0，从而得到当x∈[，]时，f（x）+g（x）（﹣x）≥0；（Ⅲ）依题意，u（x n）＝f（x n）﹣1＝0，即，记y n＝x n﹣2nπ，则y n∈（），且f（y n）＝e﹣2nπ（x∈N）．由f（y n）＝e﹣2nπ≤1＝f（y0）及（Ⅰ），得y n≥y0，由（Ⅱ）知，当x∈（，）时，g（x）在[，]上为减函数，有g（y n）≤g（y0）＜g（）＝0，又由（Ⅱ）知，，得＝＜，从而证得2nπ+﹣x n＜．【解答】（Ⅰ）解：由已知，f′（x）＝e x（cos x﹣sin x），因此，当x∈（，）（k∈Z）时，有sin x＞cos x，得f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（，）（k∈Z）时，有sin x＜cos x，得f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴f（x）的单调增区间为[，]（k∈Z），单调减区间为[，]（k∈Z）；（Ⅱ）证明：记h（x）＝f（x）+g（x）（），依题意及（Ⅰ），有g（x）＝e x（cos x﹣sin x），从而h′（x）＝f′（x）+g′（x）•（）+g（x）•（﹣1）＝g′（x）（）＜0．因此，h（x）在区间[，]上单调递减，有h（x）≥h（）＝f（）＝0．∴当x∈[，]时，f（x）+g（x）（﹣x）≥0；（Ⅲ）证明：依题意，u（x n）＝f（x n）﹣1＝0，即．记y n＝x n﹣2nπ，则y n∈（），且f（y n）＝＝e﹣2nπ（x∈N）．由f（y n）＝e﹣2nπ≤1＝f（y0）及（Ⅰ），得y n≥y0，由（Ⅱ）知，当x∈（，）时，g′（x）＜0，∴g（x）在[，]上为减函数，因此，g（y n）≤g（y0）＜g（）＝0，又由（Ⅱ）知，，故＝＜．∴2nπ+﹣x n＜．【点评】本题主要考查导数的运算，不等式的证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和化归与转化思想，考查抽象概括能力、综合分析问题与解决问题的能力，属难题．。

2019届高三3月份校级一模考试试题数学理试题Word版含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数(),2z a i a R z a =+∈=若，则的值为 A ．1 BC ．1±D ．2．己知集合{}{}2=230,2A x x x B x x A B --≤=<⋂=，则A ．(1，3)B ．(]1,3C ．[－1，2)D ．(－1，2)3．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=A ．5-B ．5C ．5-D ．5 4．已知0,1a b c >>>，则下列各式成立的是 A ．sin sin a b > B ．abcc > C ．ccab <D ．11c c b a--<5．数列{}na 是等差数列，11a=，公差d ∈[1，2]，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为A ．72B ．5319C ．2319-D ．12- 6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7．设()b<”的,1,a b∈+∞，则“a b>”是“log1aA．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件8．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行志愿服务活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法A ．32e e + B ．22e e + C ．32e e - D ．22e e -二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密 ★ 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+()()()P AB P A P B =.•圆柱的体积公式V Sh =. •圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积， 其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数734i i（ ）（A ）1i （B ）1i （C ）17312525i （D ）172577i （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ）（A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945FED CBA （4）函数212log 4f x x 的单调递增区间是（）（A ）0, （B ）,0（C ）2,（D ）,2（5）已知双曲线22221x y a b 0,0ab 的一条渐近线平行于直线l ：210y x ，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y （B ）221205x y （C ）2233125100x y （D ）2233110025x yD ，交（6）如图，ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ；②2FB FD FA ；③AE CEBE DE ；④AF BD AB BF .则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ （7）设,a bR ，则|“a b ”是“a a b b ”的（ ）（A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件 （8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC ，DFDC .若1AE AF ，23CE CF，则（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

静海区2018—2019学年度第一学期三校联考试卷高三数学（理）试卷一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先化简集合A，求得后再求．详解：由题意得，∴，∴．故选C．点睛：进行集合间的运算时要注意运算的顺序，若条件中给出的集合需要化简时要先化简．2.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：是奇函数，后面的三个函数都是偶函数，但在有增有减，在为减函数，只有既是偶函数，在是增函数，故选D.考点：函数的性质3.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题意得，，故是必要不充分条件，故选B．考点：1．对数的性质；2．充分必要条件．4.=（）A. 56B. 28C. D. 14【答案】C【解析】【分析】求出被积函数的原函数，分别代入积分上限和积分下限后作差得结论.【详解】，故答案为.【点睛】本题主要考查微积分基本定理的理解与应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.5.已知为锐角，且，则的值( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由正切的诱导公式得，故，由公式得，，因为为锐角，所以，故选B考点：诱导公式正弦余弦正切之间的关系6.已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即.本题选择C选项.【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.7.函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C；当时，，，故，故排除A、D，故选B.考点：函数的图象.8.已知函数，若对任意，存在，使，则实数b的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：函数，若为増函数，若或为减函数，在上有极值，在处取极小值也是最小值，对称轴当时，在处取最小值，当时，在处取最小值，当时，在上是减函数，因为对任意存在,使所以只要的最小值大于等于的最小值即可，当时，解得故无解；当时,无解；当时，解得综上考点：1、利用导数求最值；2、二次函数在闭区间上的最值．【方法点睛】本题主要考查利用导数求最值及二次函数在闭区间上的最值，属于难题．二次函数在区间上的最小值的讨论方法：①当时，②当时，③时，．本题讨论的最小值时就是按这种思路进行的．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9.函数的定义域为__________．【答案】【解析】要使函数有意义，需满足解得：，则函数的定义域为，故答案为.10.已知，则的值为__________．【答案】【解析】11.已知是上的增函数，那么实数a的取值范围是______.【答案】【解析】试题分析：由题意得，当时，为增函数，则，解得，当时，为增函数，则，又由函数是上的增函数，则当时，，解得，综上所述，实数的取值范围是.考点：函数的单调性及其应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性及其应用，其中解答中涉及到分段的解析式，一次函数的单调性、对数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记一次函数和对数函数的单调性，以及分段函数的单调性的判断方法是解答的关键，试题属于中档试题.12.已知，则的值等于______.【答案】【解析】【分析】由与的和为，利用诱导公式把转化成，从而可得结果.【详解】，故答案为.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．13.已知函数的图像在点的处的切线过点，则.【答案】1【解析】试题分析：.考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得.视频14.定义在上的函数的导函数为，.若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】构造函数，对任意都有，可得，函数在单调递减，利用其单调性即可得结果.【详解】构造函数：，对任意都有，，函数在单调递减，由化为，使得成立的的取值范围为，故答案为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.三、解答题（本大题共6个小题，共80分）15.已知集合，集合，集合.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或．【解析】试题分析：（1）根据定义域求得集合A，根据值域求得集合B，再根据数轴求交集（2）先将条件转化为集合包含关系：，再根据空集讨论，最后根据数轴研究两集合包含关系.试题解析：（1），即即（2）当为空集满足条件;当即时,;又综上或．点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.16.已知是定义域为的奇函数，且当时，，设“”.（1）若为真，求实数的取值范围；（2）设集合与集合的交集为，若为假，为真，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知可得，函数为上的奇函数、且为增函数，由命题为真，则，所以，从而解得；（2）由集合，若为真，则，因为“为假，为真”等价于“、一真一假”，因此若真假，则；若假真，则.从而可得，实数的取值范围是.试题解析：∵函数是奇函数，∴，∵当时，，∴函数为上的增函数，∵，，∴，∴，若为真，则，解得（2），若为真，则，∵为假，为真，∴、一真一假，若真假，则；若假真，则综上，实数的取值范围是考点：1.函数性质的应用；2.命题的真假判断及其逻辑运算.17.的内角的对边分别为，且.（1）求角的大小;（2）若，的面积，求的周长.【答案】（I）；（II）．【解析】试题分析：（I）由已知可得；（II）依题意得：的周长为．试题解析：（I）∵，∴．……………………1分∴，………………2分∴，………………4分∴，∴，………………5分∴．………………6分（II）依题意得：，………………8分∴，∴，∴，………………11分∴，∴的周长为．………………12分考点：1、解三角形；2、三角恒等变换．18.已知（1）当时，求函数的单调减区间；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）在递减；（2）.【解析】【分析】（1）时，，可得，令，求得的范围即可得结果；（2）函数在区间上是增函数，等价于在上恒成立，即在上恒成立，整理可得，结合,即可得结果.【详解】（1）时，，∴，令，解得：，∴在递减；（2）∵，令，即，整理得：，因为为正数，所以，因为,∴.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.19.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）求在区间上的最值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】(1)利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（2）当时，，由正弦函数的单调性可得，从而可得结果.【详解】（1）函数；令解得，∴的单调递增区间为；（2）当时，，∴，∴在区间上的最大值为2，最小值为；且时取得最大值2，时取得最小值【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式以及正弦函数的单调性，属于中档题. 函数（）的单调区间的求法：把看作是一个整体，由求得函数的减区间；由求得函数的增区间.20.已知函数（1）求函数的单调区间（2）若对任意，恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）增区间，减区间；（2）.【解析】【分析】（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）对任意，恒成立，等价于恒成立，利用导数研究函数的单调性，由单调性可得，从而可得.【详解】（1）∵，∴，∴有∴函数在上递增，有，∴函数在上递减，（2）∵即，又，∴令，令，解得或（舍）当时，，函数在上递减当时，，函数在上递增，∴.∴，即的最大值为4.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.。

高考数学精品复习资料2019.5绝密 ★ 启用前普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+()()()P AB P A P B =.•圆柱的体积公式V Sh =. •圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积， 其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.E D CBA （1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ）（A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945（4）函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）（A ）()0,+¥ （B ）(),0-¥ （C ）()2,+¥（D ）(),2-?（5）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= （6）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CE BE DE ??；④AF BDAB BF ??.则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ （7）设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（ ） （A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件 （8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =.若1AE AF?，23CE CF?-，则l m +=（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712第Ⅱ卷注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试高三数学（理）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集,,,则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集、并集和补集的运算，即可求解.【详解】由题意，全集，，，则，则，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算问题，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的运算是解答问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为( )A. B. 1 C. -1 D. -3【答案】B【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移，即可求得目标函数的最大值. 【详解】由题意，作出满足的约束条件，对应的平面区域，如图所示，由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，此时直线的截距最大，此时最大，由解得，代入目标函数，得，即目标函数的最大值为，故选B.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中作出约束条件表示的平面区域，利用平移目标函数求解目标函数的最大值是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为( )A. 8B. 4C. -4D. -20【答案】B【解析】【分析】由题意，执行如图所示的程序框图，逐次计算，即可求得输出的结果，得到答案.【详解】由题意，执行如图所示的程序框图，第1次循环，不满足条件；第2次循环，不满足条件；第3次循环，不满足条件；第4次循环，满足条件，此时输出，故选B.【点睛】识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．4.已知，，，则的大小关系为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，分别求得的取值范围，即可得到答案.【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得，根据对数函数的图形与性质，可得，所以的大小关系为，故选C.【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.设，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意，因为“”，则，根据必要不充分条件的判定方法，即可得到答案.【详解】由题意，因为“”，则，所以“”，是“”的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题主要考查了正切函数的性质，以及必要不充分条件的判定问题，其中解答中根据正切函数的性质，正确求解得值是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6.将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，则具有的性质是( )A. 图像关于直线对称且最大值为1B. 图像关于点对称且周期为C. 在区间上单调递增且为偶函数D. 在区间上单调递增且为奇函数【答案】A【解析】【分析】由题意，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数，根据三角函数的性质，逐一判定，即可得到答案.【详解】由题意，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数，则当时，，所以函数关于直线对称，且最大值为1，所以A是正确的；当时，，所以不关于点对称，所以B不正确；当时，则，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以C不正确；又由是偶函数，所以D 不正确，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的判定，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知双曲线的一条渐近线恰好是圆的切线，且双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离为2，则双曲线的方程为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圆心的坐标，然后根据双曲线的一个焦点到渐近线的距离和渐近线与圆相切，列出方程，求得的值，即可求解.【详解】由题意，圆的圆心，半径为，双曲线的一条渐近线方程为，即，因为双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离为，即，所以一条渐近线的方程为又由双曲线的一条渐近线与圆相切，则，解得，所以双曲线的方程为，故选D.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据焦点到其渐近线的距离和渐近线与圆相切，列出方程，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.如图，圆是边长为4的正方形的内切圆，是圆的内接正三角形，若是圆的内接正三角形，若绕着圆心旋转，则的最大值是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别过点作直线，直线，以点为坐标原点，直线、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，写出点、的坐标，设点的坐标为，从而可得出点的坐标，然后将转化为关于的三角函数，可以利用三角和差角公式以及三角函数的有界性得出答案．【详解】解：分别过点作直线，直线，以点为坐标原点，直线、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，则点、，设点，则点，，，所以，，因此，的最大值为，故选：D．【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查平面数量积坐标运算规律，属于中等题．第Ⅱ卷二、填空题（将答案填在答题纸上）9.是虚数单位，复数_____．【答案】【解析】试题分析：.考点：复数的四则运算.10.在的展开式中，的系数为_____．（用数字作答）．【答案】240【解析】【分析】由题意，二项式的展开式的通项为，令，即可求解. 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，令，可得，所以的系数为.【点睛】本题主要考查了二项展开式的指定项的系数问题，其中解答中熟记二项展开式的通项，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为_____．【答案】【解析】【分析】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，求得球的半径为，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，设长方体的外接球的半径为，则，即，所以球的表面积为.【点睛】本题主要考查了球的表面积和球的组合体问题，其中解答中根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12.已知直线：（为参数）与轴交于点，点是圆上的任一点，则的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】由直线的参数为直线的普通方程，求得，再由圆的方程，求得圆心坐标为，半径，利用两点间的距离公式，求得，进而得到的最大值.【详解】由直线，可得直线的普通方程，令，则，即直线与x轴的交点坐标，又由圆的圆心坐标为，半径，则，所以的最大值为.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及点与圆的位置关系的应用，其中解答中把点与圆的最值问题转化为点与圆心之间的距离求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.13.已知，二次函数的值域为，则的最小值____．【答案】1【解析】【分析】由二次函数的值域为，求得，且，，再利用基本不等式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，二次函数的值域为，所以，且，因为，则，所以，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为1,.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中熟练应用二次函数的性质，合理应用基本不等式求最值，解答中保证“一正、二定、三相等”是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.14.已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】利用分段函数，求出的零点，然后在求解时的零点，即可得到答案.【详解】由题意，函数，当时，方程，可得，解得，函数由一个零点，当时，函数只有一个零点，即在上只有一个解，因为函数开口向上，对称的方程为，所以函数在为单调递减函数，所以，即，解得，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了分段函数的零点的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把函数的零点问题转化为二次函数问题，借助二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在中，.（1）求角的大小；（2）求的取值范围。

2019届天津市部分区高三联考一模数学（理）试题一、单选题1．若集合{}21A x x =<，{}02B x x =<<，则A B =（ ）A ．{}01x x << B ．{}10x x -<<C ．{}12x x <<D ．{}12x x -<<【答案】D【解析】先化简集合A ，再利用并集的定义求解即可. 【详解】集合{}{}2111A x x x x =<=-<<,{}02B x x =<<, ∴属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{}12A B x x ⋃=-<<，故选D.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合.2．若()f x ，()g x 均是定义在R 上的函数，则“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用奇偶性的定义证明充分性成立，利用特殊函数证明必要性不成立，从而可得结果. 【详解】若()f x 和()g x 都是偶函数，则()()()() f x f x g x g x -=-=，，()()()() f x g x f x g x -⋅-=⋅，即()()f x g x ⋅是偶函数，充分性成立；当()f x x =,() 2g x x =时，()()f x g x ⋅是偶函数，但是()f x 和()g x 都不是偶函数，必要性不成立，∴“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的充分而不必要条件，故选A. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩， 将2z x y =+变形为2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时， 直线在y 轴上的截距最大， z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 4．如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．7B ．15C ．31D ．63【答案】C【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的S 的值. 【详解】输入1,1n S ==， 第一次循环3,2S n ==； 第二次循环7,3S n ==； 第三次循环15,4S n ==； 第四次循环31,5S n ==， 退出循环，输出31S =,故选C. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π= 【答案】D【解析】先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6x π=代入 3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断D .【详解】()sin f x x x = 23sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 周期22,1T A ππ==正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，25,,,63326x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()f x ∴在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，C 正确； 6x π=时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 6x π=不是3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.6．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．108石 B ．169石C ．237石D ．338石【答案】A【解析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果. 【详解】256粒内夹谷18粒，∴米中含谷的频率为189256128=， 1536∴石中夹谷约为91536129108128⨯=⨯=（石）.故选A. 【点睛】本题主要考查样本估计总体的应用，以及频率估计概率的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题.7．已知离心率为53的双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，若点P 是抛物线212y x =的准线与C 的渐近线的一个交点，且满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程是（ ）A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=【答案】C【解析】分别求出四个选项中双曲线的离心率，判断是否为53，利用排除法可得结果. 【详解】对于A ，221169x y -=的离心率为54e =，不合题意；对于B ，22134x y -=的离心率为3e =，不合题意；对于D ，22143x y -=的离心率为e =，不合题意；对于C ，221916x y -=的离心率为53e =，符合题意.故选C. 【点睛】本题主要考查双曲线的方程与性质，考查了抛物线的方程与性质，考查了选择题的特殊解法，属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.8．已知函数()y f x =的定义域为(),ππ-，且函数()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，当()0,x π∈时，()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中()'f x 是()f x 的导函数），若()log 3a f π=,13log 9b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,13c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】D【解析】求出()'f x ,可得'2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值，能确定()'f x 的解析式，分类讨论可确定()'f x 的符号，可得()f x 在()0,π上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较13log 32ππ、、的大小关系，结合函数()f x 的奇偶性与单调性可得结果.【详解】()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()''cos 2f x f x x ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，'2'cos 2222f f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()'2cos f x x x π=-，当2x π≤<π时，()2cos 0,'0x f x ≤>； 当02x π<<时，()2,2cos 2,'0x f x xπ><∴>， 即()f x 在()0,π上递增，()2y f x =+的图象关于2x =-对称，()2y f x ∴=+向右平移2个单位得到()y f x =的图象关于y 轴对称，即()y f x =为偶函数，()()13log 922b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，0log 1log 3log 1ππππ=<<=， 1103212πππ=<<<，即130log 32πππ<<<<，()()132log 3f f f ππ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭，即b c a >>. 故选D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题. 在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小． .二、填空题 9．i 是虚数单位，若21aii++是纯虚数，则实数a 的值为_________. 【答案】2-【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21aii++，再利用纯虚数的定义求解即可. 【详解】()()()()()2i 1i 22i2i 1i 1i 1i 2a a a a +-++-+==++-， 2i1i a ++是纯虚数， 202a +∴=且202a -≠，2a =-∴.故答案为2-.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 10．在的展开式中，含项的系数为_________.（用数字填写答案）【答案】【解析】试题分析：由题意可得，令，综上所述，的系数为，故答案为.【考点】1、二项展开式的通项公式；2、二项展开式的系数.11．已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________. 【答案】2π【解析】将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的，高为1的圆锥组成的组合体，利用圆锥的体积公式可得结果. 【详解】将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体1，体积为212123ππ⨯⨯⨯=.故答案为2π. 【点睛】本题主要考查圆锥的性质、圆锥的体积公式的应用，考查空间想象能力以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.12．已知直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与圆22430x y x +-+=交于A, B两点，且AB ，则直线l 的斜率为_________.【答案】15±【解析】直线参数方程化为普通方程，圆方程化为标准方程求得圆心与半径，由AB ，利用点到直线距离公式与勾股定理列方程求解即可.【详解】由x tcos y tsin αα=⎧⎨=⎩，得tan y x α=， 设tan k α=，得直线y kx =，由22430x y x +-+=，得()2221x y -+=圆心为()2,0，半径为1，∴圆心到直线y kx =12==，得15k =±.故答案为15±. 【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程、点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式12l x =-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.13．若对任意的x ∈R ，不等式1221x x a --+≤-恒成立，则实数a 的取值范围为________.【答案】(][)12-∞-⋃+∞，， 【解析】利用绝对值三角不等式求得12x x --+的最大值为3，解不等式213a -≥，即可得结果 【详解】()()12123y x x x x =--+≤--+=，∴要使1221x x a --+≤-恒成立，则213a -≥，213a -≥或213a -≤-， 即2a ≥或1a ≤-，∴实数a 的取值范围是(][)12-∞-⋃+∞，，.故答案为(][)12-∞-⋃+∞，，.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.14．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，点,E F 分别在边,AD DC 上，()12BE BA BD =+，13DF DC =，则BE BF ⋅=_________. 【答案】223【解析】连接,AC BD 交于O ，以O 为原点，以,OC OD 为x 轴，y 轴的正半轴建立直角坐标系，求得,BE BF 的坐标，从而可得结果. 【详解】连接,AC BD 交于O ，以O 为原点，以,OC OD 为x 轴，y 轴的正半轴建立直角坐标系， 菱形边长为2，60ABC ∠=，()(()(1,0,0,,1,0,A B C D ∴-，()12BE BA BD =+E ∴为AD 的中点，1,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，11,,333BF DC F ⎛=∴ ⎝⎭， 13315,,23BE BF ⎛⎫⎛∴=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，11522623BE BF ∴⋅=-+=.故答案为223. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量数量积的坐标表示，属于中档题. 平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．三、解答题 15．在中，内角所对的边分别为，.（1）求的值； （2）求的值.【答案】（1）2；（2）.【解析】（1）在中，由，利用余弦定理可得，从而可得结果；（2）先求得，由正弦定理可得，利用二倍角的正弦公式可得，由同角三角函数的关系可得，进而由两角和的正弦公式可得结果.【详解】（1）在中，根据余弦定理，，于是，解得或（舍去），故.（2）在中，，于是.根据正弦定理，得，.又为钝角，为锐角，即.从而，，.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及二倍角的正弦公式，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16．某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从,,,A B C D四所高校中选2所.（1）求甲、乙、丙三名同学都选D高校的概率；（2）若甲必选A，记X为甲、乙、丙三名同学中选D校的人数，求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】（1）18；（2）43.【解析】（1）利用组合知识，由古典概型概率公式可得结果；（2）求出甲同学选中D高校的概率与乙、丙同学选中D高校的概率，判断X所有可能的取值为0,1,2,3，根据互斥事件的概率公式与独立事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】（1）设“甲、乙、丙三名同学都选D 高校”为事件M ，则()11133322244418C C C P M C C C ==. （2）甲同学选中D 高校的概率为：1=3P 甲， 乙、丙同学选中D 高校的概率为：13241=2C P P C ==乙丙， X 所有可能的取值为0,1,2,3，∴，有()2111011326P X ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()22111151112323212P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()11111111112=111=3223223223P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()1111332212P X ==⨯⨯=;∴X 的分布列为∴()1511401236123123E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，2PDA π∠=，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且22AD PD QA ===.（Ⅰ）求证：QB ∥平面PDC ； （Ⅱ）求二面角C PB Q --的大小；（Ⅲ）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB段DH 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）56π；（3）32. 【解析】先利用线面垂直的性质证明直线PD ⊥平面ABCD ，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系，（1）可得()2,0,0AD =-是平面PDC 的一个法向量，求得()0,2,1QB =-，利用0QB AD ⋅=，且直线QB ⊄平面PDC 可得结果；（2）利用向量垂直数量积为0，列方程组分别求出平面PBC 与平面PBQ 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果；（3）设()()0,0,02H h h ≤≤，则()2,0,AH h =-，()2,2,2PB =-，由cos<,15PB AH >==， 解方程可得结果.【详解】 （1）平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ ⋂平面ABCD AD =，PD ADPQ ⊂平面，PD AD ⊥，∴直线PD ⊥平面ABCD .由题意，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：()()()0,0,0,2,2,0,0,2,0D B C ，()()()2,0,0,2,0,1,0,0,2A Q P .依题意，易证：()2,0,0AD =-是平面PDC 的一个法向量， 又()0,2,1QB =-，∴ 0QB AD ⋅=， 又直线QB ⊄平面PDC ，∴ //QB PDC 平面. （2）()()2,2,2,=0,22PB PC =--，.设()1111,,n x y z =为平面PBC 的法向量，则110n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩. 不妨设11z =，可得()10,1,1n =.设()2222,,n x y z =为平面PBQ 的法向量， 又()()2,2,2,2,0,1PB PQ =-=-，则2200n PB n PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩. 不妨设22z =，可得()21,1,2n =，∴ 1212123cos<,n n n n n n ⋅>==⋅ 又二面角C PB Q --为钝二面角，∴二面角C PB Q --的大小为56π. （3）设()()0,0,02H h h ≤≤，则()2,0,AH h =-，又()2,2,2PB =-，又cos<,15PB AH>==，∴ 2625240h h -+=，解得32h =或83h =（舍去）. 故所求线段DH 的长为32.【点睛】本题主要考查利用空间向量证明线面平行、求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n a a +=+（*N n ∈），3412a a +=.数列{}n b 为等比数列，且1223,b a b S ==. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设(1)nn n n c a b =-⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-，3nn b =；（2）()1341388n n n T +-=-⋅-. 【解析】（1）先得到数列{}n a 是以2为公差的等差数列，由3412a a +=求出首项，可得{}n a 的通项公式，由1223,b a b S ==求出等比数列的首项与公比，从而可得{}n b 的通项公式；（2）利用（1）得()()()()()11213213nnnn n n n c a b n n =-⋅=--⋅=-⋅-，结合等比数列的求和公式，利用错位相减法可得结果. 【详解】（1）由已知得：12n n a a +-=，∴数列{}n a 是以2为公差的等差数列.3412a a +=，121012a ∴+=，11a ∴=， 21n a n ∴=-.设等比数列{}n b 的公比为q ，12233,b a b S ===，2339b q S ∴===，3q ∴=， 3n n b ∴=.（2）由题意，得()()()()()11213213nnnn n n n c a b n n =-⋅=--⋅=-⋅-，()()()()()23133353213nn T n ∴=⋅-+⋅-+⋅-+⋯+-⋅-， ()()()()()()23131333233213n n n T n n +∴-=⋅-+⋅-+⋯+-⋅-+-⋅-.上述两式相减，得()()()()()231432333213n n n T n +⎡⎤=-+-+-+⋯+---⋅-⎣⎦()()()()2112313321313n n n -+⎡⎤⋅---⎣⎦=-+--⋅-+()1341322n n +-=-⋅- , ()1341388n n n T +-∴=-⋅- .【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列通项公式基本量运算，以及等比数列的求和公式，错位相减法的应用，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.19．已知椭圆经过点离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过椭圆左焦点的直线(不经过点且不与轴重合)与椭圆交于两点，与直线:交于点，记直线的斜率分别为.则是否存在常数，使得向量共线？若存在求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）根据椭圆经过点，离心率，结合性质，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果；（2）直线的方程为， 代入椭圆方程整理得，求得的坐标为，求出,利用韦达定理化简可得，从而可得结果.【详解】（1）由在椭圆上，.①由已知得，又，.②②代入①解得.椭圆的方程为.（2）假设存在常数，使得向量共线，，即.由题意可设的斜率为，则直线的方程为，③代入椭圆方程并整理，得，设，则有，.④在方程③中令得，的坐标为.从而，，., ⑤④代入⑤得，又，.故存在常数符合题意.【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径. 20．设函数()2ln f x ax x =--(R)a ∈.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，试判断()f x 零点的个数；（Ⅲ）当1a =时，若对(1,)x ∀∈+∞，都有(41ln )()10k x x f x --+-<（Z k ∈）成立，求k 的最大值.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）两个；（3）0. 【解析】（1）求出()'f x ，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数，由()2110f f e ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<，利用零点存在定理可得结果；（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立，()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭，利用导数求出13ln ln 4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围，从而可得结果. 【详解】 （1）()()2ln 0f x ax x x =-->，∴()11'ax f x a x x-=-=. 当0a ≤时，()'0f x <在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+是单减函数.当0a >时，令()'0f x =，解之得1x a=.从而，当x 变化时，()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：由上表中可知，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是单增函数.综上，当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数； 又22110f e e⎛⎫=>⎪⎝⎭，()110f =-<，()2240f e e =->. ∴()2110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<； 故()f x 在()0,∞+有两个零点.（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫⇔--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭.令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，只需()()min 14k F x k Z <∈； 又()()2222131ln 2ln '0f x x x x F x x x x x x---=-+===， 由（2）知，()'0F x =在()1,+∞有且仅有一个实数根0x ，()F x 在()01,x 上单减，在()0,x +∞上单增；∴()()()000min 00ln 3ln *x F x F x x x x ==++ 又()1ln3'309F -=<，()()21ln22ln4'401616F --==>，∴()()'3'40F F ⋅<，∴()03,4x ∈且002ln 0x x --=，即00ln 2x x =-代入()*式，得()()()00000min 00023121,3,4x F x F x x x x x x x -==-++=+-∈. 而0011t x x =+-在()3,4为增函数，∴713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 而()713,0,11216⎛⎫⊂ ⎪⎝⎭，∴()()min 10,14F x ⊂，0,k ∴≤即所求k 的最大值为0.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难题.近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。

理科数学 第 1页（共 10页）2019 年第一次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学·全解全析1．A 【解析】易得 A = {x | x 2≤ 4} = {x | -2 ≤ x ≤ 2}， B = {x |A B = [0,2) ，故选 A ．x - 2≤ 0} = {x | 0 ≤ x < 2}，所以12320192 ⨯(22019 -1) 20205．D 【解析】由图知输出的结果 S = 2 + 2 + 2 + + 2 = 6．D 【2 -1 = 2 - 2 ．故选 D. 4x - ，π π 此时函数 f (x ) 取不到最大值或者最小值，故 x = 不是函数 f (x ) 图象的对称轴；若 x = ，则2 3π π4x - = π ，此时函数 f (x )=0 ，故 f (x ) 的图象关于点( , 0) 对称.逐一观察各选项可知，答案为 D.3 31 n - 3 r 3 7．A 【解析】由题意， (x n 的通项为T = (-1)r C r x 2，当n = r 即 2n = 3r 时，所得项为常数r +1 n 2项，其中 r = m -1，所以 m ， n 应满足2n = 3(m -1) ，故选 A.2π 解析】由已知T = = π ，解得ω= 2 ，故 f (x ) = sin( 4x - π ) ，若 x ∈( π , π) ，则 2ω π ∈( 2π , 5π) ，由正弦 2 函数的图象可知函数 f (x ) 在( π , π 3 ) 上有增有减；若 x 4 2 = π ，则4x - π = 5π 3 3 3 4 2 2 3 3理科数学 第 2页（共 10页）1n⎩ 8．C 【解析】易得圆锥的母线长为13cm ，当蚂蚁距离圆锥顶点不超过5 cm 时，蚂蚁应爬行在底面半径为25cm ，母线长为 5 cm 的小圆锥侧面上，由几何概型可知，蚂蚁距离圆锥顶点超过 5 cm 的概率为 13π⨯ 25 ⨯ 51- 13 = 144，故选 C ．π⨯ 5⨯13 1699．B 【解析】由 a + a + a = 42 ， a + a = 28 ，可得 S = 70 ，由已知得tS = 52 - 12 ⨯ 5 ，得t = - 1，1 3 52 4 5 52故- S n 2= n 2 - 12n ，即S = -2n 2 + 24n = -2(n - 6)2 + 72 ，所以当n = 6 时, S 取得最大值．故选B.11．B 【解析】设抛物线C 的焦点为 F ，则 F ( a,0) ，可得直线l : y = 4x - a 过焦点 F ，设直线l 交抛物4线C 于点 A (x , y ), B (x , y ) ，由抛物线定义可知| AB |= x + x + a，联立直线l 与抛物线C 的方程，1122122消去 y 得16x 2 - 9ax + a 2= 0 ，所以 x + x = 9 a ，则| AB |= 9a + a = 17 ，解得 a = 16 ，则抛物线1 216 16 2C 的方程为 y 2 = 16x . 设与抛物线 C 相切且平行于直线 l 的直线方程为 y = 4x + b ， 联立方程⎧ y 2 = 16x ⎨y = 4x + b，消去 y 得16x 2 + (8b -16)x + b 2 = 0 ，则∆= (8b -16)2 - 4⨯16b 2= 0 ，解得b = 1，故所求直线方程为 4x - y +1 = 0 .故选 B.' 1- m 1 mx 2+ x +1- m (mx - m +1)(x +1)12．C 【解析】由题意，得 f (x ) = m + + = = （ x > 0 ），令 x 2 m -1x x 2x 2 m -1 mx - m +1 = 0 ，由 m > 0 ，得 x = .当0 < m ≤ 1时， m m 1- m≤ 0 ，此时函数 f (x ) 在(0,+∞) 上单调递增，且 x → 0 时， mx → 0 ， - x→ -∞ ， ln x → -∞ ，故 f (x ) → -∞ ，不合题意，舍去；当 m > 1时， m -1 m > 0 ，此时函数 f (x ) 在(0, m -1 m ) 上单调递减，在( m -1m,+∞) 上单调递增，所以n理科数学 第 3页（共 10页）2 3 5f (x )min = f ( m -1 m ) = m -1 + m + ln m -1 m = 2m -1 + ln m -1 m，要使函数 f (x ) > 0 恒成立，只需2m -1 + ln m -1 > 0 ，即 m -1 e 2m -1> 1 .故选 C.m m13． 25π 【解析】由题意作出区域Ω，如图中阴影部分所示，42 - 1 易知tan ∠MON = 2 =3 ，故sin ∠MON = 3 ，又 MN = 3，设△OMN 的外接圆的半径为 R ，1+ 2 ⨯1 4 52 MN 5 25则由正弦定理得 = 2R ，即 R = ，故所求外接圆的面积为π⨯ ( )2 = π .sin ∠MON 2 2 42 15．(1,3 ) 【解析】由题意设双曲线C 的半焦距为c ，则右焦点 F (c ,0) 到渐近线 y = ± b x 的距离均为 3 2a| bc | c b ，圆 F 2 的半径为 2 c ，要使圆 F 2 与双曲线 C 的两渐近线有公共点，需满足 2 > b ，即 c 2> 4(c 2- a2) ，解得 c a 2 < 4，又双曲线的离心率e > 1 ，故双曲线C 的离心率的取值范围为(1, ) . 3 316．19π3【解析】作出图形如图（1）所示，由图可知在四面体 A - CDM 中， MA ⊥ AD ， MA ⊥ AC ， AC AD = A ，故 MA ⊥ 平面 ACD ，将图形旋转得到如图（2）所示的三棱锥 M - ACD ，其中△ACD2理科数学 第 4页（共 10页）2a + c 为等边三角形，过△ACD 的中心O 1 作平面 ACD 的垂线l 1 ，过线段 MC 的中点O 2 作平面 MAC 的垂线l 2 ，易得直线l 1 与l 2 相交，记l 1 l 2 = O ，则O 即为三棱锥 M - ACD 外接球的球心.设外接球的半径为 R ，连接OC 、O C ，可得O C = 2 ,OO = 1,在Rt △OO C 中，OC 2 = OO 2 + O C 2=19= R 2 ， 113 12 1 1 112故外接球的表面积 S = 4πR 2=19π，故答案为19π .33图（1）图（2）17．（本小题满分 12 分）（2）由（1）可知， b =， 22 2 2a 2 + c 2 - (2a + c )22 2在△ABC 中，由余弦定理，知cos B = a+ c - b =2 = 2a + 3c - 2 2ac ≥2ac2ac 8ac理科数学 第 5页（共 10页）1 - cos 2B 6 + 2 6 2 6 2 6ac - 2 2ac =8ac6 - 2 （当且仅当 2a 2 = 3c 2时，等号成立），（8 分）4∴ sin B =≤ = ，（10 分） 4则 BC 边上的高 h = c ⋅ sin B ≤ 4 ⨯4= + ，∴ BC 边上的高的取值范围为(0, + 2] ．（12 分）18．（本小题满分 12 分）∴ PA ⊥ PB ，（4 分）∵ AD ⊥ 平面 PAB ，∴ AD ⊥ PB ，又 PA AD = A ， ∴ PB ⊥ 平面 PAD ， 又 PB ⊂ 平面 PBC ，∴平面 PAD ⊥ 平面 PBC .（6 分）（2）由 PA = PB ，可得 PE ⊥ AB ，故以 E 为原点， EP , EB , EC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图，AD = 1=同（1），设，则 P (1,0,0) ，A (0,-1,0) ，D (0,-1,1) ，C (0,0,1) ，则 PD (-1, -1,1) ，AD = (0, 0,1) ，1 - (6 - 2 )2 4 6 + 2理科数学 第 6页（共 10页）= - 1C 5CD (0, 1, 0) ，（8 分）∴平面 PCD 的一个法向量为 n 2 = (1, 0,1) ，（10 分）∴ cosn , n = n 1 ⋅ n 2 =1 = 1 ，| n 1 || n 2 | ⨯ 2 2π 故平面 PAD 与平面 PCD 所成锐二面角的大小为19．（本小题满分 12 分）．（12 分） 3【解析】（1）由统计表可得 x 1 = 5⨯ (74.31+ 41.08 + 38.37 + 30.55 + 26.46) = 42.154 ，x = 1⨯ (41.82 + 39.08 + 23.43 +18.99 +18.36) = 28.336 . 25可知 x 1 > x 2 .（4 分）（2）由定义，知男性中只有肺癌属于高发率癌种，女性中乳腺癌、肺癌为高发病率癌种，（6 分）设 X 、Y 分别为男、女性前 5 类癌种中抽到的高发病率癌种的类数， 则 X 的可能取值有 0，1，C 2 3 C 1C 1 2 P ( X = 0) = 4 = , P ( X = 1) = 1 4 = . 2 2 5 5故 X 的分布列为2 C 1 25理科数学 第 7页（共 10页）C C 3 3 1 4 5 10 2 ⎩故 E ( X ) = 0 ⨯ 35+ 1⨯ 2 = 2.5 5（8 分）Y 的可能取值有 0，1，2C 2 3 C 1 C 1 3 C 2 1 P (Y = 0) = 3 = , P (Y = 1) = 2 3 = , P (Y = 2) = 2 = . 2 2 2 5 5故Y 的分布列为（10 分）故 E (Y ) = 0 ⨯ +1⨯ + 2 ⨯ = . 10 5 10 5可得 E ( X ) < E (Y ) ，故男性前 5 类癌种中含有高发病率癌种的类数的均值较小.（12 分）20．（本小题满分 12 分）（2）显然过点 F 2 的直线l 不与 x 轴重合，可设直线l 的方程为 x = ty + 1，且 A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ，⎧ x 2⎪ 联立方程⎨ 2y = 1 ，消去 x 得(t 2 + 2) y 2+ 2ty -1 = 0 ， ⎪⎩x = ty +1- 2t -1根据根与系数的关系，得 y 1 + y 2 = t 2 + 2 ， y 1 y 2 = t 2 + 2 ，（6 分）⎧ y = y 1 ⎪ 联立直线 m 与直线 PB 的方程 y，消去 y ，整理得 y = y 2(x - x ) ， ⎨ y = 2 (x - x )1 ty + 1 - x 0⎪ x 2 2 0解得 x = ty 1 y 2 + y 1 - x 0 y1 + x ，将 y y = -1 ， y = - y - 2t 代入， 0 12 2t 2+ 2 12 t 2 + 2 0 C + 5 10 - x y理科数学 第 8页（共 10页）-3t得 x = t 2+ 2 - y 2 + x 0 ( y 2 y 2+ 2t ) t 2 + 2+ x 0-3t + 2t ⋅ x - y + x y t(2x - 3)- y + x y = t 2 + 2 t 2 + 2 0 2 0 2 + x = t 2 + 2 0 2 0 2 + x 10y 0y0 ，（ 分） 2 2若存在点 P (x 0 ,0) 满足直线 PB 与直线m 的交点恒在一条定直线上，t(2x - 3) - y + x y可令 x 0 = 3，则 x =t 2+ 2220 2+ x 0 y 2= 2 ，与t 无关，3故在 x 轴上存在点 P ，使直线 PB 与直线 m 的交点恒在一条定直线上，此时点 P 的坐标为( 2直线的方程为 x = 2 .（12 分）,0) ，定令 2x 2+ (b + 4)x + (2b -1) = 0 （*），则∆= (b + 4)2- 8(2b -1) = (b - 4)2+ 8 > 0 ，∴方程（*）有两个不相等的实根，且 x 1 = - (b + 4) - (b - 4)2 + 8 4 ， x 2 =- (b + 4) + (b - 4)2+ 8, 4若 x 1 > -1，整理得b< 0 ，又b ≥ 1，∴ b< 0 不成立，故 x 1 ≤ -1；理科数学 第 9页（共 10页）3 若 x 2 > -1 ，解不等式> -1，得b < 3，当1 ≤ b < 3 时，函数 g (x ) 在[-1, x 2 ] 上单调递减，在(x 2 ,+∞) 上单调递增，（9 分） ∵ g (-1) = 1 - b ≤ 0 ， g (1) = 1+ b - ln 3 ≥ 2 - ln 3 > 0 ，∴当b = 1时，函数 g (x ) 有 2 个零点，当1 < b < 3 时，函数 g (x ) 有 1 个零点，（10 分）若 x 2 ≤ -1 ，解不等式≤ -1，得b ≥ 3，此时 g'(x ) ≥ 0 ，故函数 g (x ) 在[-1,+∞)上单调递增，∴ g (x ) ≥ g (-1) = 1- b ，∵1- b < 0 ，∴函数 g (x ) 有 1 个零点. 综上，若b ≥ 1，函数 g (x ) 至少有 1 个零点．（12 分）（2）（法一）由（1）知曲线C 是以( 3,1) 为圆心，2 为半径的圆，当曲线C 上至少有 3 个点到直线l 的距离为 1 时， 此时圆心到直线l 的距离不大于 1，（5 分）设直线l 的直角坐标方程为 y = kx ，即 kx - y = 0 ，其中 k = tan α，∴圆心( 3,1) 到直线l 的距离为 d≤ 1，解得0 ≤ k ≤ 3 ，即0 ≤ tan α≤ ，（8 分）π∵α∈[0, π) ，∴α∈[0, ] ．（10 分）3理科数学 第 10页（共 10页）3 3 3 （法二）由题意及（1）知曲线C 是以( 3,1) 为圆心，2 为半径的圆，直线l 与圆C 相交于原点，当曲线C 上至少有 3 个点到直线l 的距离为 1 时，直线l 与圆C 相交的弦长不小于 2 ，将θ=α代入曲线C 的极坐标方程ρ= 4 sin(θ+π) ，得 4 sin(α+ 3 π) ≥ 2 ， 3即sin(α+π) ≥ ，（8 分）3 2π π 4π又α∈[0, π) ，∴α+ ∈[ , ，3 3 3π π 2π π 故α+ ∈[ , ，即α的取值范围是[0, ] ．（10 分）3 3 3 3∴| 3x + 2a | +ax + | x -1|≤ 0 ，即为3x + 2a + ax - x +1 ≤ 0 ， 化简得(2 + a )x + 2a + 1 ≤ 0 ，（8 分）2a ∵ x ∈ (-⎧ ,1) 时， f (x )+ | x -1 |≤ 0 恒成立，3 2a⎪(2 + a )(- ⎪ ) + 2a +1 ≤ 03 3 ∴ ⎨(2 + a ) ⨯1+ 2a +1 ≤ 0 ，解得- < a ≤ -1 ． 2 ⎪ 2a⎪- < 1 ⎩ 33故实数a 的取值范围为(- , -1] .（10 分）2。

天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一）数学（文）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A C B C D B二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．17i 55z =−− 10．e11．4π3 12．(x −2)2+(y −1)2=13 13．2+2√2 14．200三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）∵cos A =63，∴sin A =√1−cos 2A =631=93− ……………2分 ∵B =A +2π，∴sin B =sin (A +2π)=cos A =63 . ………………………4分 由正弦定理，得332sin 33sin 63b A a B ⨯=== ………………………………………6分（Ⅱ）∵B =A +2π，∴cos B =−sinA =33−. ……………………………………8分 ∴sin C =sin (A +B )=sinAcos B +cosAsinB 33661()33333=⨯−+⨯= ………………………11分 ∴cos2C =1−2sin 2C =27199−=. ………………………………………13分 16．解：（Ⅰ）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为56，…2分 所以估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56. ………4分 （Ⅱ）5人中“积极型”有125=230⨯人，这两人分别记为12,A A .……5分5人中“懈怠型”有185=330⨯人，这三人分别记为123,,B B B . ……6分 在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：12{,},A A 11{,},A B 1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B 121323{,},{,},{,}B B B B B B . …10分事件M “抽取的2人来自不同的类型”有以下6中不同的等可能结果：11{,},A B 1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B …………………………12分 易得，其概率为63=105. 所以事件M 发生的概率35. ………………………13分 17．（Ⅰ）证明：∵∠PAD =90°，∴PA ⊥AD . …………1分又∵PA ⊥CD,CD ∩AD =D ， …………………2分∴PA ⊥平面ABCD . …………………………………3分又∵AB ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AB . ………………………………………4分（Ⅱ）证明：取PA 中点N ，连接MN,BN .∵M,N 分别是PA,PD 的中点，∴MN ∥AD 且1=2MN AD ，……………………………………………………5分 又∵BC ∥AD 且1=2BC AD ，∴MN ∥BC 且=MN BC ， …………………6分 ∴四边形MNBC 是平行四边形，∴CM ∥BN ， …………………………7分 又∵CM ⊄平面PAB ，BN ⊂平面PAB ，∴CM //平面PAB . ……………………………………………………………8分 （Ⅲ）解：∵CD ⊥PA,CD ⊥AD,PA ∩AD =A ，∴ CD ⊥平面PAD . ……………………………………………………………9分 ∴∠CMD 为直线CM 与平面PAD 所成的角. …………………………………10分 在Rt PAD ∆ 中，22PA =Q ,2AD = ,23PD ∴= ,3MD ∴=……11分 所以在Rt CMD ∆中，3tan 3CD CMD MD ∠==. …………………………12分 所以，直线CM 与平面PAD 所成的角为6π．……………………………………13分 18．解：（Ⅰ）∵设等差数列{}n a 的公差为d ，134=112,a a a +=，∴2a 1+10=12，∴d =1，∴a n =2n −1. …………………………………4分 设等比数列{b n }的公比为q ，1225,b a b a ==，∴b 1=a 2=3，b 2=9，∴q =3，所以b n =3n . ……………………………6分 （Ⅱ）由题意，得c n =(−1)n ∙a n ∙b n =(−1)n ∙(2n −1)∙3n=(2n −1)∙(−3)n . ……………………………………………………………8分 ∴T n =1∙(−3)+3∙(−3)2+5∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+(2n −1)∙(−3)n ，∴−3T n =1∙(−3)2+3∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+(2n −3)∙(−3)n +(2n −1)∙(−3)n+1. 上述两式相减，得4T n =−3+2∙(−3)2+2∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+2∙(−3)n −(2n −1)∙(−3)n+12112(3)[1(3)]=3(21)(3)13n n n −+⋅−−−−+−−⋅−+ 1341=(3)22n n +−−⋅−. ………………………………………………12分 ∴1341(3)88n n n T +−=−⋅−. ……………………………………………………13分 19．解：(Ⅰ)由题意，知22222222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩……………2分 解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22142x y += …………………………………………………5分 （Ⅱ）易知，椭圆的左顶点(2,0)A −，设直线l 的方程为(2)y k x =+,则(0,2)E k (0,2)H k −. 由22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得2222(21)8840k x k x k +++−=. 设11()A x y ,，22()B x y ,，00()P x y ,，∴422644(21)(84)16k k k ∆=−+−=. 2122821k x x k +=−+，21228421k x x k −⋅=+ …………………………………………7分∴2012214()221k x x x k =+=−+,2002242(2)(2)2121k k y k x k k k =+=−+=++， ∴0012OP y k x k ==−，∴直线EM 的斜率为12EM OPk k k =−= . 所以，直线EM 方程为22y kx k =+ .直线AH 的方程为y =−k(x +2). ∴点42(,)33M k −− …………………………………………………………9分 ∴点M 到直线l:kx −y +2k =0的距离为22424|2|||33311k k k k d k k −++==++ . ∴2222121212241||=1||1()421k AB k x x k x x x x k ++−=++−=+. 22121||=||221k AP AB k +=+. ∴222244||||112133||=2221211APM k k k S AP d k k k ∆+=⋅⨯⋅=+++ ……………………12分 ∵23APM S ∆=，∴24||23213k k =+，解得22k =±. ………………………14分 20．解：（Ⅰ）由题意，得f ′(x )=3x 2+2ax −b 2， …………………………1分由函数f(x)在点(1，f(1))处的切线与y −3=0平行，得(1)0f '= …………2分 即3+2a −b 2=0. ……………………………………………………3分 （Ⅱ）当 b =0时, f ′(x )=3x 2+2ax ，由f ′(x )=0知∆=4a 2≥0. ………………………………………………………4分 ①当a =0时，∆=0，f ′(x )≥0在R 恒成立，所以函数f(x)在R 上单调递增. ……………………………………………6分 ②当a >0时，由f ′(x )>0，解得x >0或23x a <−；由f′(x)<0，解得23a −<x <0. 函数f (x )在(−∞,23a −)和(0,+∞)上单调递增；在(23a −，0)上单调递减. 当a <0时，由f ′(x )>0，解得x >23a −或x <0；由f′(x)<0，解得0<x <23a −. 函数f (x )在(−∞,0)和(23a −,+∞)上单调递增；在(0，23a −)上单调递减. 8分（Ⅲ）当a=0,b=1时, f(x)=x3−x，由f(x)<x(e x+k)，得x3−x<x(e x+k)对任意的x∈(0,+∞)恒成立.∵x>0,∴ x2−1<e x+k，∴ k>x2−1−e x在 x∈(0,+∞)恒成立. ……………………………………9分设 g(x)=x2−1−e x,(x>0).则g′(x)=2x−e x,令h(x)=2x−e x,则h′(x)=2−e x,由h′(x)=0，解得x=ln2. …………10分由h′(x)>0，解得0<x<ln2；由h′(x)<0，解得x>ln2.∴导函数g′(x)在区间(0,ln2)单增；在区间(ln2,+∞)单减，………………12分∴g′(x)≤g′(ln2)=2ln2−2<0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递减，∴g(x)<g(0)=−2，∴k≥−2. ……………………………………………13分故所求实数k的取值范围[−2,+∞). ………………………………………14分天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一）数学（理）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B C D A C D二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．2− 10．20 11．π2 12．1515±13．(,1][2,)−∞−+∞U 14．322 三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）在△ABC 中，根据余弦定理，A bc c b a cos 2222−+=， …………1分 于是014322=−+b b ， ……………………………………………………………3分 解得272−==b b 或（舍去）， 故2=b . …………………………………………5分 （Ⅱ）在△ABC 中，41cos −=A ，于是 415cos 1sin 2=−=A A . ……………6分 根据正弦定理，得B b A a sin sin =，所以815sin =B . …………………………8分 又A 为钝角，所以B 为锐角，即87sin 1cos 2=−=B B . ……………9分 从而32157cos sin 22sin ==B B B ，3217sin cos 2cos 22=−=B B B ， ……11分 所以64175216sin 2cos 6cos 2sin )62sin(+=+=+πππB B B . ……………13分 16．解：（Ⅰ）设“甲、乙、丙三名同学都选D 高校”为事件M ，则1113332224441()8C C C P M C C C ==. ………………………………………………………3分 （Ⅱ）（ⅰ）由已知得：甲同学选中D 高校的概率为：1=3P 甲，…………………4分 乙、丙同学选中D 高校的概率为：1==2P P 乙丙，……………………………5分 所以甲同学选中D 高校且乙、丙都未选中D 高校的概率:1111=1-1-==32212P P P P ⨯⨯⨯⨯甲乙丙（）（）. …………………………………………7分 （ⅱ）易知，X 所有可能的取值为0,1,2,3, ………………………………………………8分所以，有2111(0)(1)326P X ==−−=（1）； 2211115(1)(1)1()2323212P X ==⨯−+−⨯⨯=（）； 1111111111(2)1(1)+(1)3223223223P X ==⨯⨯−+⨯−⨯−⨯⨯=（）； 1111(3)32212P X ==⨯⨯=； …………………………………………………11分 所以，X 的分布列为X 0 1 2 316 512 13 112……………………………………12分因此15114()01236123123E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………………13分 17．（Ⅰ）证明：因为平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ I 平面ABCD AD =，PD ⊂平面ADPQ ，AD PD ⊥，所以直线PD ⊥平面ABCD . ………………1分由题意，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP u u u r u u u r u u u r 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：()0,0,0,(2,2,0),(0,2,0),D B C(2,0,0),(20,1),(0,0,2)A Q P ，. ………………………………………………2分依题意，易证：()2,0,0AD =−u u u r 是平面PDC 的一个法向量，又()0,2,1QB =−u u u r ，所以0QB AD ⋅=u u u r u u u r ，又因为直线QB ⊄平面PDC ，所以//QB PDC 平面. ………………………4分（Ⅱ）解：因为()(2,2,2),0,2,2PB PC =−=−u u u r u u u r .设()1111,,n x y z =u r 为平面PBC 的法向量，P则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，即111112220220x y z y z +−=⎧⎨−=⎩. 不妨设11z =，可得()10,1,1n =u r . ………………………………………………6分设()2222,,n x y z =u u r 为平面PBQ 的法向量，又因为()(2,2,2),2,0,1PB PQ =−=−u u u r u u u r ，则2200n PB n PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r ，即22222202220x z x y z −=⎧⎨+−=⎩. 不妨设22z =，可得()21,1,2n =u u r ， ………………………………………………8分 所以23,cos 212121=⋅⋅>=<n n n n n n ， 又二面角Q PB C −−为钝二面角，故二面角Q PB C −−的大小为65π. ……………………………………………9分 （Ⅲ）解：设),0,0(h H （20≤≤h ），则(2,0,),AH h =−u u u r 又(2,2,2)PB =−u u u r ， 又1537,cos =><AH PB ，即1537432242=+⋅−−hh ， …………………11分 所以0242562=+−h h ，解得32h =或83h =（舍去）. 故所求线段DH 的长为23. ……………………………………………………13分 18．解：（Ⅰ）由已知得：21=−+n n a a ，∴数列{}n a 是以2为公差的等差数列. ………………………………………………2分 ∵1243=+a a ，∴121021=+a ，∴11=a ，……………………………………3分 ∴12−=n a n . …………………………………………………………………………4分 设等比数列{}n b 的公比为q ，∵3221,3S b a b ===,∴2339b q S ===，∴3=q ，………………………………5分 所以n n b 3=. …………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由题意，得n n n n n n n n n b a c )3()12(3)12()1()1(−⋅−=⋅−−=⋅−=， …………8分∴231(3)3(3)5(3)(21)(3)n n T n =⋅−+⋅−+⋅−++−⋅−L ，∴23131(3)3(3)(23)(3)(21)(3)n n n T n n +−=⋅−+⋅−++−⋅−+−⋅−L …9分 上述两式相减，得132)3()12(])3()3()3[(234+−⋅−−−++−+−+−=n n n n T Λ ………………10分112)3()12(31])3(1[)3(23+−−⋅−−+−−−⋅+−=n n n ……………………11分 1)3(21423+−⋅−−=n n ……………………………………………………12分 ∴1)3(81483+−⋅−−=n n n T . ……………………………………………………13分 19．解：（Ⅰ）由6(2,)3P −在椭圆上，所以224213a b+=. ① ……………………1分 由已知6=3e 得63c a =,所以2223c a = ………………………………………2分 又222c a b =− 所以223a b =. ② …………………………………………………4分②代入①解得226,2a b ==. 故椭圆C 的方程为22162x y +=. ……………………………………………………5分 （Ⅱ）假设存在常数λ,使得向量123(,),(,1)m k k n k λ=+=u r r 共线，所以123()10k k k λ+⨯−⨯= 即 123k k k λ+=. ……………………………7分 由题意可设AB 的斜率为k ,则直线AB 的方程为(2)y k x =+， ③代入椭圆方程22360x y +−=并整理,得2222(31)121260k x k x k +++−=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有 2212122212126,3131k k x x x x k k −+=−=++. ④ ………………………………………9分 在方程③中令3x =−得,M 的坐标为(3,)k −−.从而12123126666333,,2213y y k k k k k x x −−−−====+++−. ………………10分 所以12121212116666(2)(2)33332222y y k x k x k k x x x x −−+−+−+=+=+++++12121246232()4x x k x x x x ++=−⨯+++⑤ ……………………………………11分 ④代入⑤得22122222124626631222()1262433343131k k k k k k k k k k k −+++=−⨯=+=+−−+++, 又3603k k =+≠,所以1232k k k +=. ………………………………………13分 故存在常数2λ=符合题意. …………………………………………………14分20．解：（Ⅰ）因为()2ln (0)f x ax x x =−−>，所以11()ax f x a x x−'=−=. ……………………………………………………1分 当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞恒成立，∴()f x 在(0,)+∞是单减函数. …………………………………………………2分 当0a >时，令()0f x '=，解之得1x a=. 从而，当x 变化时，(),f x '()f x 随x 的变化情况如下表：x 1(0,)a1a 1(,)a +∞ ()f x ' -0 + ()f x单调递减 单调递增 由上表中可知，()f x 在1(0,)a 是单减函数，在1(,)a +∞是单增函数. …………3分综上，当0a ≤时， ()f x 的单减区间为(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单减区间为1(0,)a ，单增区间为1(,)a +∞. …4分（Ⅱ）当1a =时，由(Ⅰ)可知，()f x 在(0,1)是单减函数，在(1,)+∞是单增函数；又222211()0,(1)10,()40f f f e e e e=>=−<=−>. ………………………7分 所以221()(1)0,(1)()0f f f f e e ⋅<⋅<； 故()f x 在(0,)+∞有两个零点. …………………………………………………8分 （Ⅲ）当1,a k =为整数，且当1x >时，(41ln )()10k x x f x −−+−<恒成立⇔(41ln )2ln 10k x x x x −−+−−−<⇔13ln (ln ).4x k x x x <++ 令3ln ()ln (1)x F x x x x x =++>，只需min 1()()4k F x k Z <∈； ……………9分 又2222131ln 2ln ()()0x x x f x F x x x x x x−−−'=−+===， 由(Ⅱ)知，()0F x '=在(1,)+∞有且仅有一个实数根0x ，()F x 在0(1,)x 上单减，在0(,)x +∞上单增； 所以0min 0000ln 3()()ln x F x F x x x x ==++ ()* ……………………………10分 又1ln 32ln 42(1ln 2)(3)0,(4)091616F F −−−''=<==>， 所以(3)(4)0F F ''⋅<，所以0(3,4)x ∈且002ln 0x x −−=，即00ln 2x x =−代入(*)式，得 0min 0000000231()()21,(3,4)x F x F x x x x x x x −==−++=+−∈. …………12分 而0011t x x =+−在(3,4)为增函数，所以713(,)34t ∈， 即min 1713()(,)41216F x ∈. 而713(,)(0,1)1216⊂，所以min 1()(0,1)4F x ⊂， 故所求k 的最大值为0. …………………………………………………………14分。

.2.设变量 x,y 满足约束条件 ，则目标函数 z4x y 的最大值为2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共 8 小题。

参考公式：·如果事件 A 、 B 互斥，那么 P (AB ) P (A ) P (B ).·如果事件 A 、 B 相互独立，那么 P (AB ) P (A )P (B ).·圆柱的体积公式 VSh ，其中 S 表示圆柱的底面面积， h 表示圆柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.设集合 A1,1,2,3,5， B2,3,4， C {x R |1 x 3} ，则 (A C) BA. {2}【答案】D【解析】【分析】先求 A B ，再求 (A B. {2，3} C. {-1，2，3}C) B 。

D. {1，2，3，4}【详解】因为 A C {1,2}，所以 (A C) B {1,2,3,4}故选 D 。

【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．x y 2 0,x y 2 0,x… 1, y… 1,A. 2B. 3C. 5D. 6由⎨⎧x-y+2=0,x=-1【答案】D【解析】【分析】画出可行域，用截距模型求最值。

【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。

目标函数的几何意义是直线y=4x+z在y轴上的截距，故目标函数在点A处取得最大值。

⎩，得A(-1,1)，所以z max=-4⨯(-1)+1=5。

故选C。

【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．3.设x∈R，则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知0<x<5推不出x-1<1；由x-1<1能推出0<x<5，故“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要不充分条件，故选B。

静海区2019届高三三校联考试卷数学（理）试卷本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）1.已知全集，集合 ， ，则 （ ）A.B. C.D.2.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ）3..A y x = ..cos B y x = 21..C y x = ..ln D y x = 3.“x ＜0”是“ln（x +1）＜0”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4．⎰-+42 23)30(dx x x =（ ） A ．56 B ．28 C ．356 D ．14 5． 已知α为锐角，且03)tan(=+-απ，则αsin 等于（ ）A ．31B ．10103C ．773D ．5536.已知奇函数f （x ）在R 上是增函数，若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a<b<c B.b<a<c c.c<b<a D.c<a<b7．函数x x x y 2)(3-=的图象大致是（ ）8.已知函数()()213ln 12444f x x x g x x bx x=-+-=-+，，若对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥，则实数b 的取值范围是（ ） A. 1728⎛⎤ ⎥⎝⎦， B. [)1+∞， C. 178⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D. [)2+∞，二.填空题）本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9.函数y =的定义域为 。

天津市2019届高三数学3月九校联考试题理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合均为全集的子集，且,,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】,因为，所以中必有元素，【考点定位】本题考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力.对于，这两个条件，可以判断集合中的元素有三种情形，而指出中必有元素，简化了运算，使结果判断更容易.【此处有视频，请去附件查看】2.【2018年天津卷文】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3.执行如图所示的程序框图，输出的值为( )A. 3B.C. 10D.【答案】C【解析】分析】根据循环结构特征，先判断i为奇数还是偶数，代入不同的处理框，依次算出S的值，同时判断是否继续执行循环，即可求得S的值【详解】由程序框图可知：第一次循环：i=1为奇数，，第二次循环：i=2为偶数，，第三次循环，i=3为奇数，，第四次循环，i=4为偶数，，此时不满足，退出循环，输出，结束，故选C。

【点睛】本题考查循环结构的程序框图，按照要求逐步计算即可，属基础题。

4.设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：因为直线在平面内，直线在平面内，且，若，根据面面垂直的性质定理，一定有；反之，当，若时，不一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B.考点：1、充分条件与必要条件；2、面面垂直的判定与性质.5.设函数，则函数是( )A. 奇函数，其图象关于点对称B. 奇函数，其图象关于直线对称C. 偶函数，其图象关于点对称D. 偶函数，其图象关于直线对称【答案】D【解析】【分析】化简三角函数式可得，据此考查函数的奇偶性和函数的对称性即可.【详解】由题意可得：.故函数为偶函数，且当时，，其图像不关于点对称，且当时，，其图像关于直线对称.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，三角函数的周期性，三角函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.已知函数的定义域是，当,时，若，，，则有的值( )A. 恒等于零B. 恒小于零C. 恒大于零D. 可能小于零，也可能大于零【答案】C【解析】【分析】由题意可得函数为奇函数，利用导函数的解析式可得：在时，函数为增函数，进而可得时，函数为增函数，结合函数的奇偶性和函数的单调性确定的符号即可.【详解】函数的定义域关于原点对称，且满足，故函数为奇函数，又由，在时恒成立，故时，函数为增函数，进而可得时，函数为增函数，若，则，则，，，从而：，，，据此可得：，即的值恒大于零.故选：C【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】双曲线的左顶点为（－a，0），抛物线的焦点为（，0），于是＋a＝4而抛物线的准线为l:x＝－，由l与渐近线的交点为（－2，－1），可知＝2，于是a＝2，又双曲线的渐近线为y＝±x，点（－2，－1）在渐近线上，得，故b＝1于是c＝，故焦距为2c＝2考点：双曲线与抛物线的标准方程及其性质【此处有视频，请去附件查看】8.设，，若函数在内有4个零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，据此可得：，据此可得函数与在内有个交点，结合函数图像可得实数的取值范围.【详解】很明显不是函数的零点，令函数，则，则，令，则函数的图象与在内有个交点，函数的图象如下图所示：由图可得：.故选：D.【点睛】本题主要考查由函数零点个数确定参数的方法，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题（将答案填在答题纸上）9.设复数满足其中为虚数单位，则复数的虚部是_______．【答案】1【解析】【分析】由题意可得：，据此结合复数的运算法则计算确定z的虚部即可.【详解】由题意可得：，即,，则复数的虚部是1.【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.10.若的展开式中的系数为，则实数____________.【答案】1【解析】【分析】由题意结合二项式通项公式可得：，令可得，据此结合题意求解a的值即可.【详解】由题意结合二项式通项公式可得：，令可得，则展开式中的系数为：，故.故答案为：．【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r 的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．11.在极坐标系中，直线被圆所截弦长为，则_______.【答案】2 【解析】 【分析】由题意结合所给方程可得直线与圆的交点为：，结合题中所给的弦长确定的值即可.【详解】很明显，直线与圆均经过极点， 将代入圆的方程可得：， 据此可得直线与圆的交点为：，结合题中所给的弦长可得：.【点睛】本题主要考查极坐标的几何意义及其应用，属于中等题.12.已知三棱锥中，面，，，，则三棱锥的外接球的体积为_______． 【答案】【解析】 【分析】三棱锥可补形为一个长宽高分别为的长方体，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，据此求得外接球的半径，然后确定其体积即可. 【详解】如图所示，三棱锥可补形为一个长宽高分别为的长方体，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同， 设外接球半径为，则：，则， 外接球的体积：.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.13.已知，且，则的最小值为___________. 【答案】【解析】【分析】由题意可得，结合和均值不等式可得的最小值，注意等号成立的条件.【详解】由，且，可得：，结合可得：，当且仅当，即时等号成立.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．14.在直角三角形中，，，，若，动点满足，则的最小值是______．【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，结合向量的坐标运算可得，据此结合三角函数的性质确定的最小值即可.【详解】建立如图所示的直角坐标系，由题意可得：，据此可得：，，，则：，，其中，当时，取到最小值.【点睛】本题主要考查向量的模的计算，向量的坐标运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知的内角的对边分别为，若，角，且.(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由正弦定理结合合分比的性质可得，然后结合余弦定理求解的值即可.(2)由题意可得，利用余弦定理和两角和差正余弦公式可得的值. 【详解】(1)由正弦定理结合合分比的性质有：，则，由余弦定理有：，即，则：，据此可得：.(2)，，，.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．16. 某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设次人对A和B两种饮料没有鉴别能力.（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望.【答案】（1）（2）【解析】解：(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4，＝(i＝0,1,2,3,4)，所以所求的分布列为则P(x＝i)(2)设Y表示该员工的月工资，则Y的所有可能取值为3500，2800,2100，相对的概率分别为，，，所以E(Y)＝3500×＋2800×＋2100×＝2280(元)．所以此员工工资的期望为2280元．【此处有视频，请去附件查看】17.在多面体中，四边形是正方形，平面平面，.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【解析】【分析】(1)由面面垂直的性质定理证明线面垂直即可；(2)在平面DAE内，过D作AD的垂线DH，以点D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用平面FAG的法向量和平面EAD的法向量求二面角的余弦值即可确定线段上是否存在点.【详解】(1)∵平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，正方形中CD⊥AD，∴CD⊥平面ADE.(2)由（1）知平面ABCD⊥平面AED.在平面DAE内，过D作AD的垂线DH，则DH⊥平面ABCD，以点D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，则设平面FAG的一个法向量，则，，即，令可得：，易知平面EAD的一个法向量，由已如得.化简可得：，即.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理，空间向量在立体几何中的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.已知数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项，其前项和为；数列是等差数列，，其前项和满足(为常数，且).(1)求数列的通项公式及的值；(2)设.求证：当时，.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)证明见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意可得，据此可得的通项公式，进一步列方程组可得的值和的通项公式；(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结果可知，裂项求和，将原问题转化为证明，然后分类讨论和证明题中的结论即可.【详解】(Ⅰ)由题意可得，即，解得，故数列的通项公式为..(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结果可知：，则，，，，当n=1时，；当n>1时，.故题中的结论成立.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，裂项求和的方法，不等式的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知椭圆的离心率为，椭圆的左焦点为，椭圆上任意点到的最远距离是，过直线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.(1)求椭圆的方程；(2)求证：、、三点共线；(3)求面积的最大值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ).【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程组，求得a,b的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理证明即可证得题中的结论.(Ⅲ)由题意可得的面积，结合均值不等式的结论确定面积的最大值即可. 【详解】(Ⅰ)由题意可得：，解得：，故椭圆的离心率为：.(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的椭圆方程可得：，故，设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程：可得：.直线与椭圆相交，则：，解得：或.设，，则：,故：将代入上式可得：，故三点共线；(Ⅲ)结合(Ⅱ)中的结论可得：的面积.当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.已知函数.(1)若在上单调递减，求的取值范围；(2)若在处取得极值，判断当时，存在几条切线与直线平行，请说明理由；(3)若有两个极值点，求证：.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意可得恒成立，构造函数，令,由导函数的解析式可知在递增,在递减, 据此计算可得实数a的取值范围.(Ⅱ) 由在处取得极值可得.原问题等价于求解在区间内解的个数，结合导函数的解析式研究函数的单调性和函数在特殊点处的函数值即可确定切线的条数.而事实情况下检验时函数不存在极值点，所以不存在满足题意的实数，也不存在满足题意的切线.(Ⅲ)若函数有两个极值点,不妨设，易知,结合函数的解析式和零点的性质即可证得题中的不等式.【详解】(Ⅰ)由已知,恒成立令,则,,令,解得:,令,解得:,故在递增,在递减,，由恒成立可得.即当在上单调递减时,的取值范围是.(Ⅱ)在处取得极值，则，可得.令，即.设，则.故在上单调递增，在上单调递减，注意到，，则方程在内只有一个实数根，即当时，只有一条斜率为且与函数图像相切的直线.但事实上，若，则，，故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，故函数在区间上恒成立，函数在区间上单调递减，即函数不存在极值点，即不存在满足题意的实数，也不存在满足题意的切线.(Ⅲ)若函数有两个极值点,不妨设，由(Ⅰ)可知,且：①,②,由①-②得:,即 ,由①+②得:,.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。