排课问题的数学表示
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课程表排课公式摘要:一、课程表排课公式简介1.课程表排课公式概念2.排课公式的重要性二、常见的课程表排课公式1.贪心算法2.启发式算法3.遗传算法4.模拟退火算法三、排课公式的应用1.课程表排课2.教室资源分配3.教师排课四、排课公式的发展趋势1.人工智能与排课公式的结合2.更加智能化的排课系统3.排课公式在我国教育领域的应用正文:课程表排课公式是一种通过计算和数学模型来安排课程表的方法。
在我国,教育机构需要合理安排课程表,以保证教学质量和教师的工作量。
排课公式能够有效地解决这一问题,使得课程表的安排更加科学、合理。
本文将对课程表排课公式进行详细介绍。
首先,我们来了解一下课程表排课公式。
排课公式是一种通过计算和数学模型来安排课程表的方法。
通过排课公式,教育机构可以更加高效地安排课程表,以保证教学质量和教师的工作量。
排课公式的重要性不言而喻。
在教育领域,课程表的合理安排对于提高教学效果和教师的工作满意度具有重要作用。
接下来,我们来看一下常见的课程表排课公式。
常见的排课公式包括贪心算法、启发式算法、遗传算法和模拟退火算法等。
贪心算法是一种简单且易于实现的算法,但其求解结果并不一定是最优解。
启发式算法是一种基于经验的算法,能够根据实际情况进行一定程度的调整。
遗传算法和模拟退火算法则是更为复杂的算法,能够在较短时间内找到较优解。
排课公式不仅能够用于课程表的排课,还能够应用于教室资源分配和教师排课等方面。
通过排课公式,教育机构可以更加合理地分配教室资源,避免教室的浪费。
同时,排课公式也可以用于教师排课,保证教师的工作量合理,提高教师的工作满意度。
随着人工智能技术的发展,排课公式也在不断发展和完善。
未来,人工智能与排课公式的结合将会使排课系统更加智能化,能够更好地满足教育机构的需求。
排课问题的数学模型研究
排课问题是在排定学期课程表的过程中面临的一个重要问题,通过分析特定的条件,寻找出最优解来解决该问题是解决之道。
排课问题可视为一种约束优化问题,是应用数学模型来解决的一类复杂问题,其运用约束条件,求解一组变量使得整体成本最小,具有很强的实际意义。
排课问题的数学模型可以根据实际情况和应用需求来制定,一般情况下,可以采用贪心算法、费用流算法、回溯算法、动态规划算法等多种算法来解决。
贪心算法是一种简单但有效的算法,原则就是每一步取当前最优解。
其优点是算法简单,易于实现,缺点是无法保证全局最优解。
费用流算法是一种有效的排课算法,它采用图论中的费用流模型,追求最大流量决策,可以找出满足资源约束条件的最优解,即满足每一节课最少需要的资源。
回溯算法又称为试探法,按照深度优先搜索,遍历全部节点,枚举所有可能的情况,最终找到可行的解决方案。
动态规划算法是一种优化算法,它的基本思想是,对于每个时期的课程安排,给出最优解,在此基础上,不断更新,最终求出最优解。
排课问题是一个复杂而又实用性很强的问题,受到越来越多人的重视。
数学模型是解决该问题的重要手段,历来受到各大学者的关注。
通过贪心算法、费用流算法、回溯算法、动态规划算法等,可以找到满足条件的最优解。
只要模型,算法和数据得到合理的设计与使用,
排课问题的解决方案有可能实现。
总而言之,数学模型是解决排课问题的重要手段。
模型的设计应该以实际情况为准,考虑各种约束条件,寻求出真正能够满足需求的优化解决方案。
只有这样,才能高效、准确地解决排课问题,实现客观有效地排课。
排课问题的数学模型研究排课是指根据学校规定的开课数量以及课程、教师、场地等资源要求,综合考虑这些因素,将所有的课程排列到一张满足学校要求的时间表中的过程。
排课没有完美的解决方案,排课问题是一个复杂的搜索问题,它有着复杂的约束条件,需要进行大量的计算和运算。
基于此,研究者借助数学模型来解决排课问题,以求解最佳的排课结果。
随着计算机技术的发展,“排课问题”的数学模型也发展至今。
排课问题的数学模型可以大致分为三类。
第一类是组合优化模型,例如0-1规划模型、线性规划模型、调度与分配模型等。
这类模型通过优化变量的设置,使解决方案达到最优。
第二类是搜索优化模型,例如多项式搜索模型、模拟退火模型等。
这类模型不仅考虑当前的解决方案,而且还考虑可行解的附加条件,有效地寻找最优解。
第三类是粒子群优化模型,粒子群搜索技术也可以用于排课问题,主要是将粒子群搜索技术应用于排课问题,设计粒子群优化过程,实现最优解的搜索。
在数学模型研究方面,许多学者研究了排课问题的数学模型,他们基于各种类型的模型,研究出了不同的算法来解决排课问题,如回溯法、基因算法、遗传算法等。
通过各种数学模型,可以实现比较有效的排课解决方案。
本文在介绍排课问题的基本要求和约束条件的基础上,介绍了排课问题数学模型的研究,即有关排课的数学模型的研究。
其中,包括组合优化模型、搜索优化模型和粒子群优化模型。
数学模型能够帮助学校更好地安排每学期课程,实现更优化的排课结果。
排课问题虽然是一个复杂的搜索问题,但面对这一复杂的搜索问题,数学模型能够为解决排课问题提供更有效的解决方案。
研究者需要进一步研究具体的算法,并在实际应用中检验如何进一步改进数学模型,以获得更优的排课结果。
排课问题的数学模型研究排课问题是指如何有效地将教室、教师和学生等资源进行有效的安排,使得课程的安排能够满足教学需求,进而提高教学质量,所以排课问题属于一类组合优化问题,它经常用于求解学校中教学计划的安排。
随着计算能力的不断提升和发展,排课问题也在得到广泛的应用,并且其复杂的特征也意味着它的解决非常困难。
在许多排课问题的研究中,数学模型是有效的工具,可以帮助解决排课问题,并提供有效的模型解决思路。
具体而言,数学模型是一种量化方法,将排课问题表达为一个数学模型,使其问题能够明确表达,从而可以帮助解决排课问题。
首先,引入数学模型可以减少排课问题复杂性,并且使求解更加高效。
将排课问题表示为数学模型后,面临的主要问题就是模型的优化,以获得最佳的排课方案。
即以最优的方式将教室、教师和学生等资源安排起来,以满足学校课程的安排需求,从而提高教学质量。
其次,在求解排课问题时,数学模型可以提供改进算法的方法和优化方法。
通过研究优化算法,可以探索如何有效的求解排课问题,并探究应如何使用优化算法解决排课问题。
此外,研究优化问题的方法也可以指导实践,从而可以为求解排课问题提供更加有效的解决方案。
最后,将排课问题表示为数学模型后,可以运用计算机计算,求解排课问题,提供更优质的排课方案。
这是因为,模型可以将排课问题表示为精确的数字形式,可以快速计算出最优的排课方案,提高效率。
总之,排课问题属于一类深度优化问题,在求解排课问题时,数学模型可以提供有效的优化方法。
通过将排课问题表示为数学模型,可以有效的缩小问题的规模,从而求解排课问题,提供最佳的排课方案,满足学校课程的安排需求,有效改善教学质量,从而达到优化教学效果的目的。
高校排课问题的整数规划模型求解摘要课表编排是一个充满冲突的过程,所开课程的上课时间、上课班级、上课地点、任课教师等多方面因素限制教学资源分配。
为了提升高校的办学效率,更好地完成教学任务,本文以教室数目作为目标,建立了以教室数目最少的目标决策模型。
在问题一中,我们以教室数目最少作为目标,对各种情况做了详细定义,巧妙地引入了0-1变量,将问题转换为以教室数目总和最少为目标的整数规划模型:Min Z=∑x i在模型的求解中,我们使用matlab,使用数据库快速插入算法,得到了完整的课程表以及结果:最小教室数目为9个,A类6间,B、C、E类各一间。
在问题二中,我们考虑到必修课的约束条件,增加了对问题一中的约束,利用问题一中类似的方法得出了结果。
对于问题三,为了使教室数目保持不变,我们将问题一、二所使用的目标函数转换为第三问的约束条件,建立了将必修课在4、5时间段出现以及周五4、5时间段出现的课时作为目标函数的模型:MIN Z=∑x s,c,l,r,t+∑x s,c,l,r,tD={5}∩Q={4,5}Q={4,5}∩LB={1}对于问题四,我们从教室(包括机房)的利用率、开课对象的上课强度、问题3的不满足率这三个方面来对问题三的结果进行了评价,并提出了一定的建议。
关键词:整数规划;目标函数;约束条件;Matlab.一、问题重述在国家对高等教育大力发展政策的激励下,高等教育事业得到了迅速发展,由于在校学生人数急剧增加,教学硬件设施增长缓慢、教师资源短缺,如何利用有限的资源,以最优形式满足教学需求成为目前急需解决的问题。
课表编排是一个充满冲突的过程,所开课程的上课时间、上课班级、上课地点、任课教师等多方面因素限制教学资源分配。
为了提升高校的办学效率,更好地完成教学任务,如何应用现代信息化技术在时间上和空间上合理分配教学资源成为亟待解决的问题。
本问题假定在某一学期18教学周内安排教学任务,每个教学周星期一至星期五安排课程,每天分为上午2个时间段(时间段1和时间段2),下午2个时间段(时间段3和时间段4),晚上1个时间段(时间段5),每个时间段2学时安排同一门课程,同一班级的不同课程不考虑课程内容之间的前后逻辑关系。
排课问题的数学模型研究随着社会的发展和教育水平的提高,越来越多的学生进入高等学校。
学校要面对各类课程的排课问题,势必要考虑如何尽可能地满足学生的教学需求,而且要保证排课的合理性、灵活性和可行性。
因此,排课问题已经成为现代最重要的教育问题之一。
排课问题是一种典型的优化问题。
实际上,它是在自然科学和社会科学领域中的一类比较复杂的约束条件下的优化设计问题,其目标是在给定的一定条件下实现最佳的排课效果。
因此,研究排课问题的最佳数学模型就显得尤为重要。
首先,要确定排课问题的决策变量,包括课程的内容、教室的容量、上课的时间和日期、以及教师的有效期限等等。
其次,要确定排课问题的目标函数。
排课问题的目标函数可以是最小化总课程时间或最小化总优化成本,也可以是最大化总满意度,还可以是最小化总不满意度。
确定目标函数之后,下一步就是定义求解模型。
求解排课问题的数学模型有很多种,根据不同的排课目标,求解排课问题的数学模型可以分为五类:标量函数优化模型、统一考虑模型、单项满足约束模型、多项满足约束模型和模糊排课模型。
其中,最常用的是标量函数优化模型,即以满足所有限制条件下最优解为约束条件,设计一个目标函数,以最优解使得目标函数最优值最小。
随着计算机技术和软件技术的发展,求解排课问题的优化软件也得到了改进和完善。
使用计算机计算技术和软件,可以有效地求出满足所有限制条件下排课最优解,从而实现高效、准确地求解排课问题。
总的来说,求解排课问题的数学模型是一个复杂的优化设计问题,涉及到许多学科,包括数学、经济学、管理学等,而且它也是当今教育改革中很重要的问题。
所以,要有效地求解排课问题,必须对排课问题的数学模型进行全面的研究,并借助计算机技术和软件,以达到尽可能地满足学生的教学需求,提高课程安排的效率和质量。
综上所述,排课问题的数学模型研究是排课系统的基础,它不仅涉及到诸多学科,而且还可以利用计算机技术和软件达到更好的优化排课效果。
高二数学学科中的排列组合问题解析在数学学科中,排列组合是一个广泛而重要的概念,它涉及到对象的选择、排序和组合的不同方式。
在高二阶段,学生开始接触更复杂的排列组合问题,需要掌握基本的概念和解题技巧。
本文将对高二数学学科中的排列组合问题进行详细解析。
一、排列问题的解析排列是指从给定的一组对象中选取若干个对象按一定的顺序排列。
在高二数学学科中,我们会遇到多种排列问题,例如字母的排列、数字的排列等。
例子1:从字母A、B、C、D、E中,任选3个字母排成一列,有多少种不同的排列方式?解析:这是一个典型的排列问题。
根据排列的定义,首先我们需要确定选择的对象个数和排列的长度。
在本例中,选择的对象个数是3,排列的长度也是3。
接下来,我们可以使用数学的思想进行解题。
假设排列的第一个字母是A,那么第二个字母有4种选择(B、C、D、E),第三个字母有3种选择;同理,如果第一个字母是B,那么第二个字母有3种选择,第三个字母有2种选择,依次类推。
因此,根据乘法原理,总的排列方式等于3×4×3=36种。
例子2:由字母A、B、C、D再加上一个字母E,从中任选3个字母排成一列,有多少种不同的排列方式?解析:这个例子与例子1相似,但是多了一个选项。
在这种情况下,我们需要考虑两种情况,即选择的3个字母中是否包含字母E。
如果包含字母E,那么排列的方式与例子1相同,有36种。
如果不含字母E,那么字母E只能排在第四个位置上,前三个位置的选择方式与例子1相同,有18种。
因此,总的排列方式等于36 + 18 = 54种。
二、组合问题的解析组合是指从给定的一组对象中选取若干个对象,不考虑其排列顺序。
在高二数学学科中,我们经常会遇到选择某些对象的组合方式的问题。
例子3:从字母A、B、C、D、E中,任选3个字母,有多少种不同的组合方式?解析:这是一个典型的组合问题。
根据组合的定义,我们需要确定选择的对象个数和组合的长度。
在本例中,选择的对象个数是3,组合的长度也是3。
小学排列组合的基本概念在小学数学教育中,排列组合是一个重要的概念,它涉及到物体的排列和选择方式。
本文将介绍排列和组合的基本概念,以及它们在数学中的应用。
**排列(Permutation)**排列是指将一组物体按照一定的顺序排列的方式。
在排列中,物体的顺序是重要的,不同的排列顺序会产生不同的结果。
在小学数学中,排列通常表示为P。
例如,假设有3个不同的字母A、B、C,我们可以用排列来表示它们的不同排列方式:- ABC- ACB- BAC- BCA- CAB- CBA上面的每一种排列都代表了不同的字母顺序,因此,这里有6种不同的排列方式。
通常,计算排列的数量可以使用以下公式:$$nPn = n!$$其中,n代表物体的数量,n!代表n的阶乘。
阶乘是一个自然数的连乘,例如3! = 3 x 2 x 1 = 6。
**组合(Combination)**组合是指从一组物体中选择若干个,而不考虑它们的顺序。
在组合中,物体的顺序不重要,相同的物体组合在一起会产生相同的结果。
在小学数学中,组合通常表示为C。
例如,假设有3个不同的水果苹果、香蕉和橙子,我们可以使用组合来表示从中选择2个水果的不同组合方式:- {苹果, 香蕉}- {苹果, 橙子}- {香蕉, 橙子}这里有3种不同的组合方式。
通常,计算组合的数量可以使用以下公式:$$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$其中,n代表物体的总数,k代表要选择的物体数量。
**排列和组合的应用**排列和组合的概念在数学和现实生活中有广泛的应用。
以下是一些示例:1. **密码学**:在密码学中,排列和组合的概念用于创建安全的密码和加密算法。
2. **概率**:在概率理论中,排列和组合用于计算事件的可能性,以及抽样和随机实验的分析。
3. **统计学**:统计学中的抽样和排列组合技术用于制定样本调查和数据分析。
4. **排课**:在学校排课系统中,排列和组合的原理用于制定学生课程的时间表。
排课逻辑算法
排课问题是一个经典的组合优化问题,其中涉及到多个因素和约束条件。
在排课逻辑算法中,有几种常见的算法:
1. 遗传算法:遗传算法是由美国Michigan大学的J.Holland教授在1975年首先提出,是借鉴生物界的进化规律(适者生存,优胜劣汰遗传机制)演化而来的随机化搜索方法。
它的主要特点是直接对结构对象进行操作,不存在求导和函数连续性的限定;具有内在的隐并行性和更好的全局寻优能力;采用概率化的寻优方法,能自动获取和指导优化的搜索空间,自适应地调整搜索方向,不需要确定的规则。
2. 回溯算法:回溯算法也叫试探法,它是一种系统地搜索问题的解的方法。
回溯算法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。
它在包含问题的所有解的解空间树中,按照深度优先的策略,从根结点出发搜索解空间树。
3. 分布式算法:如广州宏途教育就联合国内外众多专家研发出分布式算法,将排课表问题中的分组优化,基于资源极限利用的一种排课方法,让学校在现有资源情况下不增加一名教师、一间教室情况下实现极限排课,极大满足了学校的实际需求。
这些算法都有各自的优缺点和适用范围,在实际应用中,需要根据
具体情况选择合适的算法。
排课表问题假如要给某个学校的八个大一班级排课,其中班级1-4住在东边公寓,班级5-8住在西边公寓。
有两栋教学楼,其中东边教学楼有3间教室可以学习,西边教学楼有3间教室可供学习,每间教室每次只能容纳一个班级上课。
住东边公寓的学生到东边教学楼上课需5分钟,到西边教学楼上课需25分钟;住西边公寓的学生到西边教学楼上课需5分钟,到东边教学楼上课需25分钟。
八个班级所上的课程是一样的,每个班每门课程只由一个老师教。
课程与老师的情况如下:表格1:课程情况表(假设大学体育也在教学楼上课)课程名称近代史纲要基础英语微积分大学体育工程制图学时32 64 64 32 48任课教师 A B D F E G H I课程名称高等代数军事理论毛泽东思想大学物理计算机基础学时48 16 64 48 24任课教师J K A C B C M N L 老师到每一栋教学楼所需时间为:表格2:每门教师到东西两栋教学楼所需时间教师 A B C D E F G东(min) 10 5 30 32 28 14 2西(min) 30 28 8 9 3 18 20 教师H I J K L M N东(min) 5 16 40 7 24 16 3西(min) 25 12 9 34 5 3 19 一个学期共19周,其中最后一周为考试周,不可排课。
上午和下午可上两节课,晚上可上一节课。
每节课两个学时。
排课表需要满足一些硬性约束和软性约束,硬性约束例如一间教室在某一个时间只能供一个班级上课,每个班级一次只能上一堂课等等。
软性约束例如尽量不要在晚上和周末开课等等。
请为这八个班级排课,需确定每个班每门课的授课老师以及每天的上课内容,上课时间与上课教室等。
并使得教师和学生的满意度尽量高。
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排课问题的数学模型研究排课问题是一个普遍存在于学校、企业等机构安排日程安排方面的常见问题,它将给安排者带来极大的挑战。
近年来,随着数学模型及相关算法的发展,由于其引入了可衡量指标,测量和优化效率,排课问题得到了深入研究,根据相关技术来求解优化问题。
首先,排课问题是极为复杂的,因为它需要在当前条件下对多个变量进行排查,并在时间和空间上进行规划。
确定一个问题的变量非常复杂,它可能包括但不限于:课时、上课时间、老师数量、考试时间、课程安排等。
因此,利用数学模型建立统一的表达式来表示排课问题是非常必要的。
其次,对于排课问题,必须明确影响它的优化准则,即求解排课问题所需满足的条件。
这些条件可以分为硬约束和软约束。
硬约束指的是必须满足的条件,而软约束则是可以调整的条件。
例如,硬约束包括课时、老师数量、考试时间等,而软约束则包括上课时间等可调整的因素。
此外,排课问题还涉及各种算法。
在实际求解中,根据约束条件,需要设计合适的算法求解优化问题,这些算法可以大致分为两类。
一类是基于优化的算法,例如蚁群算法、遗传算法等,另一类是基于搜索的算法,其中最常用的是分支定界算法。
这些算法在排课问题中都可以得到应用,它们都可以设计出更优解,以满足相关约束条件,从而更好地解决排课问题。
最后,排课问题也可以利用智能算法来求解优化问题。
智能技术可以帮助求解排课问题,并可以提供一种有效的数据可视化方式,这有助于解决排课问题的复杂性。
例如,计算机视觉技术可以自动分析排课问题中出现的各种场景,帮助安排者实现效率最大化。
综上所述,排课问题在现代社会中是一个普遍存在的问题,而且解决这一问题需要考虑多变量和约束条件,这一过程非常复杂。
为了更好地解决排课问题,可以采用数学模型的方式来表达排课问题,并利用优化算法和智能技术来求解。
只有采用系统的数学模型和科学的搜索算法来研究排课问题,才能在有限的资源条件下安排较为合理的排课方案,从而满足相关需求。
初二数学中常见的排列组合问题在初二数学学习中,常常会遇到排列组合的问题。
排列组合是数学中的一个重要概念,它描述了不同元素之间的选择、排列和组合方式。
本文将介绍一些常见的初二数学排列组合问题,帮助读者更好地理解和解决这些问题。
一、排列问题排列问题是指从一组元素中按照一定的顺序选择若干个元素的问题。
在初二数学中,常见的排列问题有:1. 从n个元素中选取r个元素进行排列的问题。
解答这类问题时,通常使用排列的定义和公式:P(n,r) = n! / (n-r)!2. 循环排列问题。
指将n个元素排成一个环形,求不同循环排列的个数。
解答这类问题时,可以使用排列的性质和循环排列的定义。
举例说明:1. 从5个不同的数字中选取3个数字进行排列,共有多少种排列方式?解答:根据排列的定义,可以得到P(5,3) = 5! / (5-3)! = 60 种排列方式。
2. 将3个相同的球和2个相同的盒子排列成一排,共有多少种排列方式?解答:根据循环排列的定义,可以得到3! / (2!*1!) = 3 种排列方式。
二、组合问题组合问题是指从一组元素中选择若干个元素的问题,不考虑元素的顺序。
在初二数学中,常见的组合问题有:1. 从n个元素中选取r个元素进行组合的问题。
解答这类问题时,通常使用组合的定义和公式:C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)2. 组合恒等式问题。
指证明组合恒等式的正确性,例如:C(n,0) +C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n) = 2^n。
举例说明:1. 从6个不同的球中选取4个球进行组合,共有多少种组合方式?解答:根据组合的定义,可以得到C(6,4) = 6! / (4!(6-4)!) = 15 种组合方式。
2. 证明组合恒等式 C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n) = 2^n。
解答:可以利用组合的性质和数学归纳法证明。
三、排列组合问题的应用排列组合问题在实际生活中具有广泛的应用,特别是在概率统计和计算概率的问题中常常需要运用排列组合的知识。
生活中应用到数对原理的有数对原理简介数对原理,又称鸽巢原理,是组合数学中的基本原理之一。
它的基本思想是:如果有n个鸽子被放到n个巢中,如果n大于巢的个数,那么至少有一个巢会放入两只或以上的鸽子。
这个原理在现实生活中有很多应用。
应用一:选课排课在学校的课程选取和排课过程中,常常需要应用数对原理。
假设有n个学生需要选择课程,每个学生可以选择m门课程。
如果n大于m,至少会有一个课程会有两个或更多的学生选择。
这个原理在帮助学校合理安排课程和排课时间上起到重要作用。
在选课过程中,学生根据自己的兴趣和需求选择课程。
而学校需要根据学生的选课情况来制定课程的开设计划和时间安排。
如果没有数对原理的指导,很容易出现选课冲突和时间冲突的情况,给学生和学校带来不必要的麻烦。
因此,在选课排课过程中充分利用数对原理,可以有效地解决课程选择和时间安排的问题。
应用二:交通规划数对原理在交通规划中也有重要应用。
在城市的道路系统中,每个交叉口可以看作一个巢,而车辆则可以看作鸽子。
如果有n辆车需要经过n个交叉口,如果n大于交叉口的数量,那么就会存在至少一个交叉口会有两辆或更多的车辆经过。
根据数对原理,交通规划者可以利用这一原理来设计交叉口的位置和道路的布局,以确保车辆的流动和交通的顺畅。
在城市交通规划中,充分应用数对原理,能够合理配置交通资源,提高道路的通行能力,减少交通拥堵的发生。
应用三:配对问题在人际关系中,配对问题是一个常见的应用场景。
例如,在舞会上,如果有n 个男生和n个女生,如果n大于男生或女生的数量,那么至少会有一对男女无法找到匹配。
根据数对原理,可以通过合理的配对方式来解决这个问题。
例如,可以采用轮流配对的方式,每次从一个队列中选取一个人,与另一个队列中的人配对。
通过这种方式,可以确保每个人都能找到自己的伴侣,有效地解决了配对问题。
应用四:数据分析数对原理在数据分析中也有重要应用。
在数据收集和处理过程中,经常会出现数据的缺失和重复的情况。
魅力数模美丽力建力建学院第六届数学建模竞赛自信坚强团结创新论文题目课表编排0-1规划模型参赛编号 2008tj0804 监制:力建学院团委数学建模协会(2010年11月)力建学院第六届数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了第六届建工数学建模竟赛的竞赛规则。
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与本队以外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们愿意承担由此引起的一切后果。
我们的参赛编号为:2008tj0804参赛队员(签名) :队员1:叶庆队员2:靳小龙队员3:胡传鹏课表编排问题第一部分摘要:本文根据制定课表时需考虑的问题,建立了冲突最少的0-1规划模型;求解得课表,并根据所得结果对教师聘用,教室的配置,来做出合理的建议。
考虑目标函数时,分析课表编排要符合的条件为:课程要求、教师课程编排尽量分散、同课程编排尽量分散、教师超出工作量尽量少。
则我们目标函数冲突最少分解为:各门课程各自不符合程度总和最少、各教师各自课程编排分散程度总和最大、各门课程编排分散程度总和最大、各教师超出工作量程度总和最少。
考虑约束条件时,分析附录中的相关数据,得到课程编排的影响因素有,时间,教室,课程等,则可以根据此来约束目标函数。
根据以上考虑因素建立系统递阶图,使目标更清晰。
建立空间向量,已知数据与空间向量一一对应。
根据课程要求与实际编排差距最少原理,建立目标函数。
加上课表编的约束条件,进行优化,用Matlab求解课表.再根据求解得课表与相关系数指标为教师聘用,教室的配置,来做出合理建议.关键词:课表编排系统递阶图空间向量第二部分一、问题重述某高校现有课程40门,编号为C01~C40;教师共有25名,编号为T01~T25;教室18间,编号为R01~R18。
2 目前流行的几种排课算法的介绍2.1. 自动排课算法1 .问题的描述我们讨论的自动排课问题的简化描述如下:设要安排的课程为{ C1 , C2 , ., Cn} ,课程总数为n , 而各门课程每周安排次数(每次为连续的2 学时> 为{ N1 , N2 , ., Nn} 。
每周教案日共5 天,即星期一~星期五。
每个教案日最多安排4 次课程教案,即1 ~ 2 节、3 ~ 4 节、5 ~ 6 节和7 ~ 8 节(以下分别称第1 、2 、3 、4 时间段> . 在这种假设下,显然每周的教案总时间段数为5 ×4 = 20 ,并存在以下约束关系:b5E2RGbCAPn ≤20 , (1>N = 6n, i =1, Ni ≤20. (2>自动排课问题是:设计适当的数据结构和算法, 以确定{ C1 , C2 , ., Cn } 中每个课程的教案应占据的时间段,并且保证任何一个时间段仅由一门课程占据.p1EanqFDPw2 .主要数据结构对于每一门课程,分配2 个字节的“时间段分配字”(无符号整数> :{ T1 , T2 , ., Tn} . 其中任何一个时间段分配字(假设为Ti > 都具有如下格式:DXDiTa9E3dTi 的数据类型C 语言格式定义为:unsigned int . Ti 的最高位是该课程目前是否是有效的标志,0 表示有效,1 表示无效(如停课等> 。
其它各位称为课程分配位, 每个课程分配位占连续的3 个位(bit> ,表示某教案日(星期一~星期五> 安排该课程的时间段的值,0 表示当日未安排,1 ~ 4 表示所安排的相应的时间段(超过4 的值无效> .RTCrpUDGiT在这种设计下, 有效的时间段分配字的值应小于32 768 (十六进制8000> , 而大于等于32768 的时间段分配字对应于那些当前无效的课程(既使课程分配位已设置好也如此> , 因此很容易实现停课/ 开课处理.5PCzVD7HxA3 .排课算法在上述假设下,自动排课算法的目标就是确定{ C1 , C2 , ., Cn} 所对应的{ T1 , T2 , .,Tn} .jLBHrnAILg从安排的可能性上看,共有20 !/ (20 - N> !种排法( N 的含义见(2> 式> . 如果有4 门课,每门课一周上2 次,则N = 8 ,这8 次课可能的安排方法就会有20 !/ (20 - 8> ! = 5 079 110 400 ,即50 多亿种. 如果毫无原则地在其中选择一种方案,将会耗费巨大量的时间. 所以排课的前提是必须有一个确定的排课原则. 我们采用轮转分配法作为排课原则:从星期一第1 时间段开始按{ C1 , C2 , ., Cn} 中所列顺序安排完各门课程之后(每门课安排1 次> ,再按该顺序继续向后面的时间段进行安排,直到所有课程的开课次数符合{ N1 , N2 , ., Nn} 中给定的值为止. 在算法描述中将用{ C[1 ] , C[2 ] , ., C[ n ]} 表示{ C1 , C2 , ., Cn} , 对{ N1 , N2 , .,Nn}xHAQX74J0X和{ T1 , T2 , ., Tn} 也采用同样的表示法.算法1 排课算法输入{ C1 , C2 , ., Cn} 、{ N1 , N2 , ., Nn} .输出{ T1 , T2 , ., Tn} .①初始化:星期值week = 1时间段值segment = 1{ T [1 ] , T [2 ] , ., T [ n ]} 中各时间段分配字清零②新一轮扫描课程:置继续处理标志flag = 0对课程索引值c-index = 1 ,2 , ., n 进行以下操作:如果N[c-index ] > 0 ,则做以下操作:把segment 的值写入T[c-index ]的第(week - 1> 3 3~week 3 3 - 1 位中N[c-index ]的值减1LDAYtRyKfE如果N[c-index ] > 0 ,则置flag = 1如果week = 5 并且segment = 4则:置flag = 1 并转③否则:如果segment = 4则:置segment = 1 且week 增1否则:segment 增1检测是否已全部安排完毕:如果flag = 1则:转②否则:转③③检测是否成功:如果flag = 1则:开课次数过多否则:课程安排成功④算法结束显然,本算法的时间复杂度为O ( N> ( N 为每周总开课次数, 见(2> 式> , 而存储时间段分配字所用空间为2 n 个字节( n 为课程门数> .Zzz6ZB2Ltk4 .冲突检测算法有时在自动排课完毕后,需要人工调整某些课程的安排时间,如把第i 门课程在人工干预下改成星期数为week 、时间段为segment 的位置,则根据上述数据结构需做如下运算:dvzfvkwMI1T [ i ] = T [ i ] &(~ (7 << (week - 1> * 3> > + (segment << (week -1>*3> ,rqyn14ZNXI其中&、~和n 分别为按位与、按位取反和按位左移运算符(下同> .问题是如何判断是否已有其它课程安排在同一个时间段上. 设人工调整的时间段分配字为T[1 ] ,则该问题描述为:判断时间段分配字T [1 ] 与{ T[2 ] , T [3 ] , ., T [ n ]} 中的某个分配字是否存在相同课程分配位上的相等的非零时间段值, 或者说{ T [2 ] , T [3 ] , .,T[ n ]} 中是否存在与T [1 ] 冲突的时间段分配字. 为简化起见,在以下算法描述中假设所有时间段分配字的最高位为0.EmxvxOtOco算法2 冲突检测算法输入T1 和{ T2 , ., Tn} .输出与T1 冲突的{ T2 , ., Tn} 中的时间段分配字.①对c-index = 2 ,3 , ., n 做以下操作:初始化屏蔽字mask = 7对星期值week = 1 ,2 ,3 ,4 ,5 做以下操作:如果T[1] & mask 等于T[c-index] & mask ,而且二者不等于0则: T[ 1 ]与T[c-index ]相冲突,转①mask 左移3 位(或乘8>②算法结束本算法时间复杂度为O ( n> ( n 为课程门数>5.算法分析此算法以课程为中心,进行搜索匹配,取最先匹配的值;具有占有空间少,运算速度快的特点。
排课问题的一种近似算法于 标(扬州职业大学,江苏 扬州225002)摘要:本文对程序排课问题的近似算法进行了探讨,提出了一种实用的近似算法,可使程序排课问题得到相当程度的解决。
关键词:边着色;近似算法;NP 类问题;程序排课 中图分类号:TP 301.6文献标识码:A 文章编号:100823693(2001)0120030205The Approximate Solution to Problem of Schedule 2MakingYu Biao(Yangzhou Polytechnic College ,Yangzhou 225002,Jiangsu ,China )Abstract :This paper explores the approximate solution to the problem of programmed sched 2ule 2making ,and presents a practical approximate solution ,which to a great extent can solve the problem of programmed schedule 2making.K ey w ords :edge coloring ;approximate solution ;NP class problem ;programmed schedule 2making1 问题的背景排课表问题可以用边着色理论来描述:学校有m 个教师x 1,x 2,…,x m ,n 个班级y 1,y 2,…,y n ,x i 教师为y i 班每天上课p ij 学时,试安排一个合理的授课表,使学校上课的时间最少。
构作二分图G (V ,E ),V =X ∪Y ,X ={x 1,x 2,…,x m },Y ={y 1,y 2,…,y n }。
顶x i和y j 之间有p ij 条边相联,现在就是求G (V ,E )的边色数X ’(G ),又二分图的边色数是Δ(G ),Δ(G )是图G 的最大度数,若没有授课多于Δ(G )节的教师,也没有授课多于Δ(G )节的班级,则可以排出每天至多Δ(G )节课的课表。
一.问题重述每学期的开学初,总有许多老师对课程安排进行抱怨,还有许多老师要求调课,教务处对这一问题很是头疼。
假设你是一名刚刚毕业的大学生,被分配到了教务处,领导安排你负责排出课表,请你们根据实际情况,用数学建模的方法解决这一问题,既要让老师满意,又要让同学和学校满意。
让老师满意,就是要让每位老师在一周内前往上课的乘车次数内尽可能少,同时还要使每位老师在逗留的时间尽可能少,比如安排尽量少出现像同一天同一位老师上1-2节,7-8节;让同学们满意,可从以下几方面考虑,比如,同一专业同一门课程,至少应间隔一天上一次,另外对学生感到比较难学的课程尽量安排在最好的时段;让学校满意,就是要节约支出,每周车次尽可能的少。
请你们从实际情况出发(自己收集相关数据),用数学建模的方法解决以下问题:1)建立排课表的数学模型,并研制出排课表的软件包;2)利用你的模型及软件对本学期校区的课表进行重排,并与现有的课表进行比较;3)给出评价指标评价你的模型,特别要指出你的模型的优点与不足之处;4)对学校教务处排课表问题给出你的建议。
二.基本假设1、课程对于教室的要求都一样,不存在特定课程对应特定教室的现象;2、老师与工作人员的满意度与到校区的次数有关,与课程安排的教室位置无关;3、教室足够多,不存在教室不够用的情况;4、周一至周五每天上四节课;5、对于任一专业,某门课程一周内的授课时间数(节数)是固定的,即不考虑单双周情况;6、教室足够大,相同专业在一起上课,共用一个课表;7、每辆校车最多乘坐50人;8、校车每天开四次,即每次上完课都有校车发车;9、校车在规定时间到达乘车点后,所有人员应在该点上车的乘客均上车,校车为满员状态,不考虑校车单独去接个别人员的情况。
三.符号约定四.问题分析1、让老师满意让老师满意,就是要让每位老师在一周内前往上课的乘车次数内尽可能少,同时还要使每位老师在教学时间尽可能的集中,比如安排尽量少出现同一天同一位老师上1-2节,7-8节。
把学校机房的课时按每小时或者按几个小时为单位编成一个数据结构。
这个具体看学校怎么安排上机课,如果最小单位为2小时,当然以2小时为单位,如果有班级只上半小时的上机课当然以半小时为单位。
比如一周5天每天10小时我们可以把它编成50个单位的一个数据结构。
可以为数组,可以为链表,当然也可以为更复杂的结构,看你的需要。
简单的机房上机课时结构基本子元素为:起止时间、已安排班级(若未安排则为空)、已安排老师
把班级和老师也储存在一个数据结构里。
然后确定班级排上机课的原则。
比如是平均分配机时,那么将每个班级增加一个计数器。
那么班级的数据结构每个元素至少要有这么几个子元素:班级标识、班级计数器、班级空闲时间表。
排上机课的时候,首先取出机房上机课时的数据结构,取出第一个元素,然后遍历存储班级信息的数据结构,优先取出班级计数器最小的班级,查看这个班级这时是否有课,无课则插入到上机课时的数据结构中,同时将班级计数器加一,有课则选择下一个计数器数字最小的元素。
(计数器只是表示班级安排了多少上机课,也可以用一个数字代替,仅仅表示权重,比如计算机系的班级权重就可以调高。
建议将整个链表中计数器数字的最小值保存在这个链表的某处,使得访问者一开始就能得到而不用访问所有元素)。
重复上述过程,直到所有上机课时都被分配。
老师的分配过程和上述班级分配类似。
课表,是教学运行的基础。
课表是课程、班级、教师、教室、时间五大教学要素的组合。
我们可以把它看成是一个五维空间,排课问题的复杂性由此可见一斑。
编排课表,首先是一个数学问题,其次是计算机处理问题。
课表问题是离散量的关系问题,离散量的关系运算及其优化算法,对解决课表问题具有重要指导意义。
1课表要素定义1.1
课程
课程单体:是在一个学期内完成的知识单元。
用ki表
示,其中:
i=1,2,3,......x;x为正整数
(对于某些特定课程,可能具有某些特性,如特定学生,特定教室,特定时间)
课程:是课程单体的集合。
记为:K=
{k1,k2,k3,......ki}
1.2班级
班级单体:是由学生个体组成的群体。
用bi表示,其中
i=1,2,3,......y;y为正整数
合班:是由一个或多个班级单体组成的集合。
记为:HBi={bl,b2,......bi}
班级:由合班组成的集合。
记为:
B=
{HB1,HB2,
HB3,......HBi}
1.3教师
教师:即教师个体的集合。
记为:
S=
{s1,s2,s3,......si}其中i=1,2,3......z;z为正整数1.4教室
教室单体:教室是能够接纳师生从事某类教学活动的场
所。
教室可以从属于某个教区,容纳人数是教室的重要指标。
用ri表示。
其中i=1,2,3,......m;m为正整数
教室:由所有教室单体组成的集合。
记为:R=
{r1,r2,r3......ri}其中i=1,2,3......m;m为正整数1.5时间
时间:这时所指的时间,是时间单元(即时段)的集合。
时间,是一维矢量。
为了任务安排的需要,将某段连续的时间向量,划分为“周次、星期、节次”三个层次。
节次单体:是最小的连续教学时段,并且是计量教学时间的基本单位。
节次用ji表示。
其中i=1,2,3,......q;q为正整数节次:节次是节次单体,按时间序排列的集合。
划分确定后,节次是一个可枚举集合。
记为:
J=
{{j1,j2},{j3,j4},{j5,j6},{j7,j8},{j9,j0}}星期:星期是星期天至星期六的枚举集合。
记为:
W={Sun,Mon,Tues,Wed,Thu,Fri,Sat}
周次:在一个学期当中,周次是可枚举集合。
编26周(半年)是为了长周期实习需要。
记为:
Z={z1,z2,z3.……z26}
时间:由上,可以将时间集合记为:T=
(t1,t2,t3,......ti)=Z×W×J2课表表达及教学管理过程2.1
课表模型
・课表是课程、班级、教师、教室、时间五种教学要素的组
合。
记为:
Schedule=K×B×S×R×T
组合的结果,仍然是一个集合。
2.2教学管理过程
2.1.1
教学管理数据量测算
以一个有1000门课,300个班,300个教师,300间教室
的某个学期的课表为例,测算Schedule集合的理论最大值。
学期节次数:
收稿日期:2007—12—25作者简介:韩
晶(1975—
),女,山西长治人,实验员,主要从事实验管理方面的工作。
排课问题的数学表示
韩
晶
(长治学院数学系,山西长治
046011)
摘
要:文章对涉及课程表的五种教学要素进行了数学定义,并以此为基础,给出了课表数学模型,最后从实际应用角
度对课表质量提出了性能指标。
关健词:课表;集合;时间单元中图分类号:G473.4
文献标识码:B
文章编号:1673-2014(2008)02-0039-02
2008年4月长治学院学报
Apr.,2008第25卷第2期
JournalofChangzhiUniversity
Vol.25,No.2
・39・
长治学院学报
26×7×10=1820(节次)
因此,课表集合理论最大值:
1000×300×300×300×1820=4914×1010≈5×1013——
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—1014
一年以365天计,共有:
365×24×3600=3.1536×107(秒)
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—107假如我们以每秒能完成107次排列的高速计算机来完成此运算,需要
0.5×1014/(3.1536×107×107)≈0.2(年)
这里忽略了教学要素组合时需要进行的可行性判断,而是纯组合数的概算。
可见,求解课表的运算量是巨大的。
好在实际的教学管理过程中,并非将大量数据繁杂无序地提交计算机进行运算。
而是经过制订计划、任务分排等管理工作,数据的有序性更加完善。
反向考虑,虽然课表组合的理论数巨大,然而具有指导意义的集合数有限。
不超过104。
通常介于102-103之间。
这个数量级的运算,对普通计算机而言,具有再行性和实际意义。
2.2.2课表的存贮与表示
存贮与表示,需要兼顾。
按前面的假设,每学期的节次数有1820。
这个数量级,存贮是可行的,对于屏幕和书面表示是不可行的,更不便于记忆。
我们常用的“横星期竖节次”的课表,是单元时间的“卡片式”表示,将时间单元进行了有规则的“折叠”,变成了
7×10=70(单元)
2.2.3教学管理的数学意义
对于某个学期的教学课表安排而言,教学管理工作的数学意义可以描述为:
・教学计划
教学计划的任务是将专业与课程对应,当然也实现了班级与课程的对应。
记为:
Plan=K×B
・学期教学任务分排
学期教学任务分排后,完成了课程、班级、教师的组合问题。
这个集合记为:
Arrange==K×B×S
・实际排课
经过前期管理工作,排课可以表述为:
Schedule=[[K×B]×S]×R×T
=[Plan×S]×R×T
=Arrange×R×T
可以测算出这个集合运算的次数:以1000项分排好的任务,300个教室,70个时间单元计,运算次数为:
1000×300×70=2.1x107
3课表的性能指标
离散量关系的求解,往往不是单解。
课表算法的好坏,软件的性能,课表本身的优劣,应当是可衡量的。
在此根据应用需要,对排课软件(含算法)的性能提出如下七项指标:3.1排课软件性能
・机排时间。
机排时间一般不应超过10分钟。
机排开始后,软件应根据运算量的预测,提示待机时间,并显示时间进度条。
超过30分钟的机排时间是不能接受的。
・漏课率。
以集合Arrange计,漏排比率不应超过1%;否则手工调整的工作量较大,造成计算机辅助排课不理想的感觉。
・出错情况。
出错是不能允许的,但市售软件往往不能根绝。
出错包括以集合Arrange计,不应超过1%;而且,对最终课表中隐含的出错情况,应当提供相应的检查工具。
否则会使用户对课表安全性失去信心。
3.2课表性能指标对于普通高校而言,有如下几项值得考虑:
・学生的周学时负担
多的不超过36,少的不低于18,安排在24至28左右为宜;
学生同一门课的连续上课时间不宜超过4学时,除一些特殊课程外(如艺术类课程),一般不少于2学时;平均为2学时;
学生连续上课时间,一般不超过8学时,不少于2学时,平均为4学时。
・教师的周学时负担
连续上课时间:一般不超过6学时,不少于2学时,平均为3学时;
教师个人要求满足率:
・课间隙:
同一门课程的课间隙不超过5天,不少于1天,平均间隔2一3天;
・教室均衡。
教室不仅满足座数需要,而且要满足功能需要,符合均衡负担原则;每天都应有课程上课。
同班、同类课程所使用的教室相对固定,便于记忆并减少跑堂距离。
4总结
解决课表问题,重在算法,其次是软件实现。
通过开发者和使用者双方的共同努力,市售的排课软件的健壮性、适应性以及运行效率将会有大提高。
参考文献:
[1]卢开澄.计算机算法导引[M].北京:清华大学出版社,2000.4.[2]耿素云,屈婉玲.离教数学[M].上海:高等教育出版社,2002.5.
(责任编辑赵巨涛)
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