自动控制原理控制系统的根轨迹和频域特性分析.1
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自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
CATALOGUE
根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
CATALOGUE
根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
CATALOGUE
根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
自动控制原理第5章频域分析法
确定方法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
《自动控制原理》实验指导书
《自动控制原理》实验指导书梅雪罗益民袁启昌许必熙南京工业大学自动化学院目录实验一典型环节的模拟研究--------------------------1 实验二典型系统时域响应和稳定性-------------------10 实验三应用MATLAB进行控制系统根轨迹分析----------15 实验四应用MATLAB进行控制系统频域分析------------17 实验五控制系统校正装置设计与仿真-----------------19 实验六线性系统校正-------------------------------22 实验七线性系统的频率响应分析---------------------26 附录：TDN—ACP自动控制原理教学实验箱简介----------31实验一 典型环节的模拟研究一． 实验目的1．熟悉并掌握TD-ACC +设备的使用方法及各典型环节模拟电路的构成方法。
2．熟悉各种典型环节的理想阶跃响应曲线和实际阶跃响应曲线。
对比差异、分析原因。
3．了解参数变化对典型环节动态特性的影响。
二．实验内容下面列出各典型环节的方框图、传递函数、模拟电路图、阶跃响应，实验前应熟悉了解。
1．比例环节 (P)A 方框图：如图1.1-1所示。
图1.1-1B 传递函数：K S Ui S Uo =)()( C 阶跃响应：)0()(≥=t Kt U O 其中 01/R R K =D 模拟电路图：如图1.1-2所示。
图1.1-2注意：图中运算放大器的正相输入端已经对地接了100K 的电阻，实验中不需要再接。
以后的实验中用到的运放也如此。
E 理想与实际阶跃响应对照曲线：① 取R0 = 200K ；R1 = 100K 。
② 取R0 = 200K ；R1 = 200K 。
2．积分环节(I)A ．方框图：如右图1.1-3所示。
图1.1-3B ．传递函数：TSS Ui S Uo 1)()(=C ．阶跃响应： )0(1)(≥=t t Tt Uo 其中 C R T 0=D ．模拟电路图：如图1.1-4所示。
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
自动控制原理第五章频域分析法
mn 122
谐振峰值
Am(m) 2
1
12
振荡环节的对数频率特性
L ()2l0 oG g (j) 2l0 o(g 1 n 2 2)24 2 n 2 2
n L()0低频渐近线是零分贝线。
n L ( ) 4 0lo g (/ n) 4 0lo g (T ) n 1 /T
高频段是一条斜率为- 40/dB的直线，和零分
幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：
G(ju)
1
(1u2)242u2
d G d (j) u u 0 ,u r 1 22 ( 1 /2 0 .7)0
r n12 2 ( 1/ 20 .7) 0
幅频特性的谐振角频率和谐振峰值：
rn1 22, M r G (jr) 1 /21 2
谐振频率
1 / T , L () 2l0 o1 g2 T 2 2l0 o 1 0 g ( d)B
在频率很低时，对数幅频曲线可用0分贝线近似。
1 / T , L ( ) 2l0 o1 g 2 T 2 2l0 o T g
当频率很高时，对数幅频曲线可用一条直线近似，直
线斜率为-20dB/dec，与零分贝线相交的角频率为 1/T 。
( )
0 0.1 1 10
0 o 0.1 1 10
45o
20
90o
对数坐标刻度图
注意：
➢纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横 ➢ 坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值， ➢ 是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。 ➢在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十 ➢ 倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频 程 ➢ 的长度都是相等的。 ➢为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， ➢ 即横坐标每变化十倍频程〔即变化〕所对应的纵 坐
谐振峰值
Am(m) 2
1
12
振荡环节的对数频率特性
L ()2l0 oG g (j) 2l0 o(g 1 n 2 2)24 2 n 2 2
n L()0低频渐近线是零分贝线。
n L ( ) 4 0lo g (/ n) 4 0lo g (T ) n 1 /T
高频段是一条斜率为- 40/dB的直线，和零分
幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：
G(ju)
1
(1u2)242u2
d G d (j) u u 0 ,u r 1 22 ( 1 /2 0 .7)0
r n12 2 ( 1/ 20 .7) 0
幅频特性的谐振角频率和谐振峰值：
rn1 22, M r G (jr) 1 /21 2
谐振频率
1 / T , L () 2l0 o1 g2 T 2 2l0 o 1 0 g ( d)B
在频率很低时，对数幅频曲线可用0分贝线近似。
1 / T , L ( ) 2l0 o1 g 2 T 2 2l0 o T g
当频率很高时，对数幅频曲线可用一条直线近似，直
线斜率为-20dB/dec，与零分贝线相交的角频率为 1/T 。
( )
0 0.1 1 10
0 o 0.1 1 10
45o
20
90o
对数坐标刻度图
注意：
➢纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横 ➢ 坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值， ➢ 是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。 ➢在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十 ➢ 倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频 程 ➢ 的长度都是相等的。 ➢为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， ➢ 即横坐标每变化十倍频程〔即变化〕所对应的纵 坐
自动控制原理第四章根轨迹法
i 1
j 1
开环极点到此被测零点 (终点)的矢量相角
8. 根轨迹的平衡性(根之和） （ n-m 2）
特征方程 Qs KPs 0
sn an1sn1 a1s a0 K sm bm1sm1 b1s b0 0
n
Qs KPs s p j sn cn1sn1 c1s c0 0 j 1
i 1
j1
k 0,1,2,
s zoi i 开环有限零点到s的矢量的相角
s poj j 开环极点到s的矢量的相角
矢量的相角以逆时针方向为正。
幅值条件：
s
m
m
s zoi
li
A s
i 1 n
i 1 n
s poj
Lj
j 1
j1
li αi
-zoi
Lj βj
×
-poj
开 环 有 限 零 点 到s的 矢 量 长 度 之 积 开环极点到s的矢量长度之积
， 2 2
c 2k 11800 2
由此可推理得到出射角：
其余开环极点到被测极 点(起点)的矢量相角
n1
m
c 2k 1180o j i
j 1
i 1
有限零点到被测极点
(起点)的矢量相角
同理入射角：
其余开环有限零点到被测 零点(终点)的矢量相角
m1
n
r 2k 1180o i j
1 GsHs 0
m
GsHs
KPs Qs
K
i 1
n
s
s
zoi
poj
j 1
P s sm bm1sm1 b1s b0
Q s sn an1sn1 a1s a0
于是，特征方程
自动控制原理2011第4章
=0
s1, 2 j3.74
K = 60
10+K
14
补充规则
规则八：闭环极点之和
系统满足n-m≥2时,系统闭环极点之和等于
开环极点之和
规则九：闭环极点之积
系统的n-m≥２且有开环零点位于原点时,系
统闭环极点之积就等于开环极点之积
15
返回
2 p 3 s180 [ 0.s 3) * s ( s 3K * j ) ( s 0 ) ( s 6)] 65 .6 ( 212 K (0 5 6 1 j1 1 j1) 5 3) ( ⑤分离点 .6 * 90* 141 11.4 ) 43.8 2.5 180 (26 K 135.163 K 3940 1 105 1a 0 j 1 1 1 s1 K * 0 41 0 * 65.6 0.212 K * K ds 0 3K * d d 5渐近线与实轴的夹角为 1 j d 6 0 d①根轨迹有5支 1 j d * 3 1 34 K * 3 (2k .2 1) ③实轴上的根 0 5 4 ，0 * .6 * 0.212 66 d 65135d K 0 142 s* 123 s 0 51,26， .0 s K 0 极点 45,，0,3 ,k K 0 K a 2 轨迹位于0-3 -1 0 j K 1 j 3940 105 K * 0.163 K *05 1 1 ，* 35.6 0 -3 -6 -5 用试探法求得分离点为45 及-5-6之间 a1 1.34 , 零点 45 , * * -5.53 0 a 2 3，无穷远 K K * 2 d 5.53 0 135 , 135 * (65.6 0.212 K ) S 33K 0 a 4 a * * K K 将 K * 35.6 代入辅助方程， 解得 S j1.34
自动控制原理根轨迹法知识点总结
自动控制原理根轨迹法知识点总结自动控制原理中的根轨迹法是一种常用的分析和设计控制系统的方法。
它通过在复平面上绘制系统的根轨迹，并结合数学分析的方法，可以帮助我们了解系统的稳定性及动态特性，并设计出合适的控制器来实现所需的性能要求。
本文将对根轨迹法的原理和关键知识点进行总结。
一、根轨迹法的基本原理根轨迹法是通过分析系统的开环传递函数来确定系统的极点和零点在复平面上的分布情况。
根轨迹是由系统的特征方程的解所决定的，即特征方程的根随参数的变化而移动，形成了一条曲线，这条曲线即为根轨迹。
根轨迹的形状和分布反映了系统的稳定性、动态响应及频率特性。
根轨迹法的基本步骤如下：1. 给定系统的开环传递函数：G(s)H(s)，其中G(s)为系统的传递函数，H(s)为控制器的传递函数。
2. 将开环传递函数表示为极点-零点的形式：G(s)H(s) = K·(s-z1)(s-z2)...(s-zn) / (s-p1)(s-p2)...(s-pm)，其中K为传递函数的增益，zi和pi为传递函数的零点和极点。
3. 根据传递函数的特征方程：1+G(s)H(s)=0，得到特征方程：1+K·(s-z1)(s-z2)...(s-zn) / (s-p1)(s-p2)...(s-pm) = 0。
4. 以复平面为基准，根据特征方程的根（极点和零点），画出根轨迹。
5. 根据根轨迹的形状和分布，分析系统的稳定性和动态响应，设计合适的控制器参数。
二、根轨迹法的关键知识点1. 极点和零点：极点和零点是传递函数的根，它们对系统的稳定性和动态响应有着重要影响。
极点是使得特征方程为零的点，零点是使得传递函数的分子为零的点。
2. 稳定性判据：系统的稳定性和根轨迹的位置有直接关系。
当系统的极点全部位于左半平面时，系统是稳定的；若存在极点位于右半平面，则系统是不稳定的。
3. 根轨迹与动态响应：根轨迹的形状和分布反映了系统的动态响应。
根轨迹与阻尼比、自然频率等参数有关，可以通过观察根轨迹的形状来判断系统的超调量、振荡频率等动态性能指标。
自动控制原理第四章
K
*
s p sz
j 1 i 1 m
n
i
j
绘制根轨迹时，只需要使用相角条件。 当需要确定根轨迹上各点的值时，才使用模值条件。
• 知道了根轨迹上的点满足的基本条件， 仍实际上还是不能绘制出根轨迹。
• 要比较快捷的绘制根轨迹，需要找 出根轨迹的一些基本规律。
§4.2 绘制根轨迹的基本规则
渐近线包括两个内容：
渐近线与实轴的夹角和渐近线与实轴的交点。
规则4：渐近线与实轴的交点为
sa
pi z j
i 1 j1
n
m
nm
渐近线与实轴的夹角为
180 0 90 (2k 1)180 a nm 180 ,60 45 ,135 n m 1 nm 2 nm 3 nm 4
第四章 系统的根轨迹法
系统的性能
稳定性
动态性能
闭 环即 特闭 征环 方极 程点 的 根
开环放大倍数 开环积分环节个数
稳态误差
困
难!
困难1：系统闭环特征方程的根如何求取！
困难2：讨论或预测当系统中的某一参数发生
变化时系统闭环特征方程的根如何变 化!
参数改变，系统性能如何改变！
开环传递函数(开环零极点+开环增益)
根轨迹法的任务就是由已知的开环零极点的分布及 根轨迹增益，通过图解法找出闭环极点。 根轨迹是系统所有闭环极点的集合。
闭环极点与开环零、极点之间的关系
闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点
闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关
开环零极点和根轨迹增益
根轨迹图
闭环极点
分析系统
4、根轨迹方程
自动控制原理-线性系统的根轨迹法1
16
规则4：实轴上的根轨迹 规则 若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边 （开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。 这个结论可以用相角条件证明。 由相角条件
∑ ∠(s − z ) −∑ ∠(s − p ) = (2k +1)π
j =1 j i =1 i
m
n
jω
× × × ×
σ
17
规则5：根轨迹渐近线 规则 当 n>m 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。 这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和 交点来确定。 与实轴夹角
jω
K →∞
K = 2.5
2
稳态性能 开环传递函数在坐标原点有
一个极点，系统为1型系统，根轨迹上 的K值就是静态速度误差系数。如果给 定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图 可以确定闭环极点位置的容许位置。 由开环传递函数绘制根轨迹，通常 采用根轨迹增益 根轨迹增益，根轨迹增益与开环增 根轨迹增益 益之间有一个转换关系。
o o
与实轴交点
σa =
i =1
∑ pi − ∑ z j
j =1
n
m
n−m
( 0 − 4 − 1 + j − 1 − j ) − ( − 1) = = − 1 .67 4 −1
23
24
规则6：根轨迹分离点和会合点 规则 两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即 分开的点称为分离点（会合点）。 分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定：
K =1
1
K =0
−2
−1
0
σ
K = 0.5
−1
−2
动态性能
由K值变化所对应的闭环极 点分布来估计。
控制系统的根轨迹分析——自动控制原理
欠阻尼时共轭特征根为 s1,2 n j 1 2n
j 1 2n
闭环极点的张角 为：
n
cos
n
, cos1
( 1 2n )2 ( n )2
称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。而根据二阶系统性
能，在等阻尼线上，系统的超调量、衰减率也是相等的。
根轨迹图分析
根据根轨迹图定量估算系统动态性能
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Real Axis
开环零极点对根轨迹的影响
❖ 增加开环极点：
增加的极点将对原根轨迹产生排斥作用，使原根 轨迹向背离所增极点的方向变形。
Root Locus 5
4
3
2
Imaginary Axis
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
Real Axis
1
s(s 4)(s 6) s1.2 j2.1
解得：kg 44
由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点 为： p3 7.6
闭环单位阶跃响应
Amplitude
Step Response 1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time (sec)
根轨迹图分析
根据根轨迹图分析系统的稳定性 ✓ 闭环特征根在左半平面则稳定； ✓ 闭环特征根在右半平面则不稳定； ✓ 闭环特征根在虚轴上则临界振荡（无阻尼）； ✓ 一组闭环特征根如果有在右半平面的不稳定值，
自动控制原理-胡寿松-第四章-线性系统的根轨迹法.详解
系统的信号流图见图4-28，从信号流图中看出，系统中含有一个积分环节， 因此为1型系统，因此系统对阶跃输入信号的稳态误差为0。
K m 变化时系统的根轨迹， 2）为了绘制电动机传递系数（含放大器附加增益） 可将有关参数代入传递函数中，并将系统的特征方程进行整理，等价根轨迹增 益方程为：
1 K* P( s ) ( s 6.93 j 6.93)( s 6.93 j 6.93) 1 K * Q( s ) s 2 ( s 13.86)
当所有根轨迹分支都在左半平面时，系统稳定。 2) 稳态性能：
回忆：稳态性能主要取决于系统的开环增益和积分环节个数。
由根轨迹图不仅可以方便的确定开环增益和积分环节个数，而且可以根据给定系统 的稳态误差要求, 确定闭环极点位置的容许范围。
3)动态性能： 回忆：动态性能形态主要取决于系统的——闭环极点。 从根轨迹图上，可以直观地看到特征根随着参数的变化情况，从而，可以方便地 确定动态性能随着参数的变化情况。
K * lim
s
j 1 i 1 m
n
s pi s zj
lim s
s
nm
, 0 ,
nm nm
（无穷零点）
（无穷极点）
(n m 1)
（续）
且均为实数开环零、极点。
（续）
（续）
小结论： 由两个极点（实数极点或者复数极点）和一个有限零点组成的开环系 统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当 K * 从零变化到无穷时， 闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到重根点的距 离为半径的一个圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。
例如，在上列程序之后增加语句： [k,p]=rlocfind(num,den)
《自动控制原理》第4章_根轨迹分析法
一般有两个解，从中
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母
自动控制原理
目录分析
1.1自动控制原理概 述
1.2基本控制方式
1.3自动控制系统的 分类
1.4自动控制系统的 性能要求
本章小结
习题1
2.2拉普拉斯变换
2.1控制系统的时 域数学模型
2.3控制系统的复 数域数学模型
2.4框图及其等效变 换
2.5 MATLAB在控制 系统建模中的应用
本章小结 习题2
3.2控制系统的时 域分析法
自动控制原理
读书笔记模板
01 思维导图
03 目录分析 05 读书笔记
目录
02 内容摘要 04 作者介绍 06 精彩摘录
思维导图
关键字分析思维导图
专业
时域
控制
概念
分析
系统
数学
自动控 制
系统
工程
控制
模型
原理
小结
轨迹
习题
函数
第章
根
内容摘要
《自动控制原理》系统地介绍了经典控制理论的基本内容，着重于基于概念、基本原理和基本方法的阐述。 全书共8章，内容包括绪论、控制系统的数学模型、控制系统的时域分析、根轨迹法、控制系统的频域分析、线性 控制系统的校正与综合、离散控制系统以及非线性系统分析。为了帮助读者深入理解经典控制理论的重要概念和 分析方法，每章都精选了一定数量的例题；通过应用实例的讲解使得读者容易掌握MATLAB在控制系统实践中的应 用。《自动控制原理》可作为普通高等院校自动化、电气工程及其自动化、通信工程、电子信息工程、电子科学 与技术、物联工程、能源与动力工程、机械设计制造及其自动化等相关专业的本科生教材，也可供高职高专院校 的相关专业选用，同时适合从事自动控制类的各专业工程技术人员自学和参考。
自动控制原理_第4章_线性系统的根轨迹法
4.2 绘制根轨迹的依据--根轨迹方程
R(s)
G ( s) H ( s)
C(s)
一、闭环零极点与开环零极点的关系
* KG
* KH d
G( s)
Π ( s z j )
j 1
a
( s pi ) Π i 1
* a
b
* KG A( s)
B( s)
c
H ( s)
Π ( s zl )
K* G( s) s( s 1)(s 2)
试绘制系统的概略根轨迹。 解：开环极点 p1=0， p2=-1， p3=-2，无开环零点。
实轴上的根轨迹 (-∞，-2]， [-1，0]。 渐进线 n=3，m=0，有三条渐进线。
0 1 2 1 交点 a nm 3
i 1
pi
1/4<K<∞时，s1,s2为一对共轭复根； K=1/2时，s1,2=－1/2±j0.5。
注意：一组根对应同一个K；K 一变，一组根变；K一停， 一组根停；
K=0.5 K=0 -1
jω
j0.5 0
σ
-j0.5 根轨迹：简称根迹，它是指系统中某一 K=0.1875 K=0.25
参数在可能的取值范围内连续变化时， 闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹。
a
pi z j
i 1 j 1
n
m
nm
a
(2k 1) nm
k 0,1,2,, 直到获得(n m)个夹角为止 .
开环传递函数
G ( s) H (s) K * Π ( s z j )
j 1 m
( s pi ) Π i 1
n
K*
自动控制原理基础知识点总结
自动控制原理基础知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统的基本原理和方法的一门学科，其核心思想是通过输入-输出关系来实现对系统的控制和调节。
以下是自动控制原理的一些基础知识点总结：1. 控制系统的组成：自动控制系统主要由输入信号、控制器、执行器和被控对象组成。
其中输入信号是控制系统的指令，控制器是根据输入信号和输出信号之间的差异来生成控制信号，执行器将控制信号转换为作用于被控对象的物理量。
2. 反馈控制和前馈控制：反馈控制是指将系统输出信号通过传感器反馈到控制器中，并与输入信号进行比较来生成控制信号；前馈控制是指将输入信号直接作用于控制器，不考虑系统输出信号的影响。
反馈控制可以有效地补偿系统的不确定性和扰动，提高系统的稳定性和鲁棒性。
3. 系统的数学模型：自动控制系统的设计和分析通常需要建立系统的数学模型，常见的数学模型包括差分方程、微分方程和状态空间方程。
通过对系统的数学模型进行分析，可以获得系统的稳定性、响应速度、稳态误差等性能指标，并用于控制器的设计和参数调节。
4. 控制器的类型：常见的控制器类型包括比例控制器、积分控制器和微分控制器，它们分别根据输出信号与误差信号的线性关系、积分关系和导数关系对系统进行控制。
此外，还可以通过组合和级联这些控制器来设计更复杂的控制系统。
5. 根轨迹和频率响应：根轨迹图可以用来分析系统的稳定性和动态特性，通过观察根轨迹的形状和分布可以确定系统的稳定性和阻尼特性。
频率响应则是通过输入信号在不同频率下的响应来分析系统的频域特性和频率补偿。
6. 系统的稳定性：系统的稳定性是指在某种条件下，系统输出能够在有界的范围内保持稳定。
常见的稳定性分析方法包括稳定性判据、稳定裕度和相角裕度分析。
7. 系统的性能指标：常见的性能指标包括系统的超调量、调整时间、静态误差和稳态误差，这些指标用于评估系统的控制性能和稳定性。
8. 控制系统的校正和调节：通过对系统控制器参数的调整和优化，可以改善系统的控制性能和稳定性。
自动控制原理根轨迹分析知识点总结
自动控制原理根轨迹分析知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统的基本理论和方法的学科，而根轨迹分析是自动控制原理中的一项重要内容。
本文将对根轨迹分析的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和运用这一分析方法。
一、根轨迹分析的基本概念根轨迹是描述控制系统传递函数的极点随参数变化而在复平面上运动的轨迹。
通过绘制根轨迹图，可以直观地了解系统的稳定性、动态响应和频率特性等重要信息。
二、根轨迹的性质1. 根轨迹图是在复平面上绘制的闭合曲线，其中包含了系统的所有极点。
2. 根轨迹出发点（即开环传递函数极点）的数量等于根轨迹终止点（即闭环传递函数极点）的数量。
3. 根轨迹关于实轴对称，即系统的实部极点只存在于实轴的左半平面或右半平面上。
4. 根轨迹通过传递函数零点的个数和位置来确定。
三、根轨迹的画法1. 确定系统的开环传递函数。
2. 根据传递函数的表达式，求得系统的特征方程。
3. 计算特征方程的根，即极点的位置。
4. 绘制根轨迹图，显示系统极点随参数变化的轨迹。
四、根轨迹的稳定性分析1. 若根轨迹通过左半平面（实部为负）的点的个数为奇数，则系统是不稳定的。
2. 若根轨迹通过左半平面的点的个数为偶数，则系统是稳定的。
五、根轨迹的频率特性分析1. 根轨迹的形状和分布可以判断系统的阻尼比、振荡频率和衰减时间等性能指标。
2. 根轨迹与系统的频率响应曲线之间存在一一对应的关系。
六、根轨迹的应用1. 根据根轨迹可以设计和优化控制系统的参数，使系统具有所需的动态性能。
2. 利用根轨迹可以直观地观察到系统的稳定性和动态响应，便于故障诊断和故障排除。
七、根轨迹分析的注意事项1. 在绘制根轨迹图时，应注意传递函数的极点和零点的位置，以及参数的范围。
2. 在分析根轨迹时，应考虑系统的稳定性、动态响应和频率特性等综合因素。
以上就是自动控制原理根轨迹分析的知识点总结。
根轨迹分析作为自动控制原理中的一项重要内容，对于理解和设计控制系统具有重要意义。
自动控制原理课后答案第4章
5
的不同，系统的稳定性和动态性能不一定能同时得到满足。因此，只有当附加开环零点的位 置选配得当，才有可能使系统的稳态性能和动态性能同时得到显著改善。 ② 增加开环极点 增加开环极点后，系统阶次升高，渐近线数量增加，使得渐近线与实轴的夹角变小，从 而导致根轨迹向右弯曲，致使系统不稳定成分增加。同时，实轴上的分离点也向右移动。系 统响应减缓，过渡过程延长，调节时间增加，系统的稳定性降低。当增加的极点在[-1,0]范 围内时，越靠近虚轴的极点，其产生的阶跃响应振荡越剧烈，稳定性越差；而当增加的极点 在(-∞, -1)范围内时，越远离虚轴的极点，对根轨迹的影响越小，从而对系统的动态性能影 响越小。
式中，A(s)为开环传递函数的分母多项式，B(s)为开环传递函数的分子多项式。则分离点或 会合点坐标可用下式确定，即 A( s) B '( s ) A '( s ) B ( s ) 0 3）极值法
dK 0 ds
规则 7：根轨迹的出射角和入射角 根轨迹的出射角是指根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，如图 4-2 中的角 p1 ； 而根轨迹的入射角是指根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角， 如图 4-2 中的角 z1 。
n n
n l
m
s
l 1
n
(1) n pi (1) m K z j
i 1
n
j 1
( 1)
n
s
l 1
l
(1)
nLeabharlann pi 1i
K （系统无开环零点时）
5、根轨迹与系统性能之间的关系 根轨迹可以直观地反映闭环系统特征根在[s]平面上的位置以及变化情况，所以利用根轨 迹可以很容易了解系统的稳定性和动态性能。除此之外，由于根轨迹上的任意一点都有与之对 应的开环增益值，而开环增益又与系统稳态误差有一一对应的关系，因此通过根轨迹也可以 确定出系统的稳态误差，或者根据给定系统的稳态误差要求，来确定闭环极点位置的容许范 围。由此可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
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太原理工大学现代科技学院自动控制原理课程实验报告
专业班级信息13-1
学号2013
姓名
指导教师乔学工
实验四 控制系统的根轨迹和频域特性分析
一、实验目的
二、实验设备
三、实验内容
（1）已知某反馈系统的开环传递函数为：
)
2)(1()()(++=
s s s k
s H s G
试绘制该系统根轨迹，并利用根轨迹分析系统稳定的k 值范围。
num=1;
den=conv([1,0],conv([1,1],[1,2])); rlocus(num,den);
[k,poles]=rlocfind(num,den)
…………………………………装……………………………………订………………………………………线……………………………………………
-6
-5-4-3-2-1012
Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
（2）已知某正反馈系统的开环传递函数：
)
2)(1()()(++=
s s s k
s H s G
试绘制系统根轨迹，并计算根轨迹上点-2.3±j2.02处的根轨迹增益和此时系统的稳定性。
由此可见，点-2.3±j2.02确实为根轨迹上的，且该点处的增益为15.0166，而由于另一个闭环极点位于正实轴上的1.6021点处，故此时系统不稳定。
实际上由于系统的一条根轨迹一直位于正实轴上，因此该系统在所有的正值增益k 值下均不稳定。
-5-4-3-2-1012
345Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
2. 基于MATLAB 的控制系统频域分析 1）利用MATLAB 绘制系统的Bode 图
（1）已知二阶系统的开环传递函数为
2
n
n 2
2n
2)()(ωζωω++=s s s H s G 绘制出当ωn =3和ζ=0.3时系统的Bode 图。
>> clear
>> wn=3;zeta=0.3; w=logspace(-1,2); num=wn.^2;
den=[1 2*zeta*wn wn.^2]; bode(num,den,w);grid;
-80-60-40-200
20M a g n i t u d e (d B )
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10
-1
10
10
1
10
2
-180
-135-90-45
0P h a s e (d e g )
2）利用MATLAB 绘制系统的Nyquist 图
例3-4 已知系统的开环传递函数为5
.025.0)()(2
3+++=s s s s H s G 绘制Nyquist 图，并判断系统的稳定性。
>> clear
>> num=0.5;den=[1 2 1 0.5]; nyquist(num,den)
-1
-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81
Nyquist Diagram
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s。