空间向量的数量积运算完整版课件

O→M、O→N、B→C，最后证O→G·B→C＝0 即可． [规范解答]连结 ON，
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
2分
又O→G＝12(O→M＋O→N)＝12[12O→A＋12(O→B＋O→C)]
＝14(a＋b＋c)，
B→C＝c－b. ∴O→G·B→C＝14(a＋b＋c)·(c－b)
数量 特别地：a·a＝|a|2或|a|＝ a·a
积的 性质
(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
a·b |a||b|
.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
想一想：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？ 提示 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|·cos θ的乘积．
名师点睛
所以O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B
＝|O→A||A→C|cos〈O→A，A→C〉－|O→A||A→B|cos〈O→A，A→B〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝－16 2＋24.
所以 cos〈O→A，B→C〉＝O|→O→AA·||B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
1．空间向量夹角的理解 (1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围 同两平面向量夹角范围一样，即[0，π]； (2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但空间两异面直线夹角
π 在(0， 2 ]内，利用向量求两异面直线夹角时注意转化，两
异面直线的夹角余弦值一定为非负数．
2．平面向量与空间向量数量积的关系 由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间 两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义 和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等 都与平面向量相同．
·
→
BC
＋
2
→
AB
·
→
CD
＋
2
→
BC
·
→
CD
＝
12
＋
2(2·2·cos 90°＋2·2·cos 120°＋2·2·cos 90°)＝8，∴|A→D|＝2 2，
即 A，D 两点间的距离为 2 2.
题型三 利用数量积证明垂直关系
【例3】 (12分)已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝ ∠AOC，且OA＝OB＝OC，M、N分别是OA、BC的中点， G是MN的中点．求证：OG⊥BC. 审题指导 先由O→G＝12(O→M＋O→N)，然后用O→A，O→B，O→C表示
＝14(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝14(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0. ∴O→G⊥B→C，即 OG⊥BC.
4分 6分
8分 10 分 12 分
【题后反思】 (1)证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向
量垂直，即证两向量数量积为零．本例证法是利用已知条件把O→G、 B→C用同一组已知向量O→A、O→B、O→C表示出来，证明其数量积为 0，
所以〈A→B，A→D〉＝90°，〈A→B，A→A1〉＝〈A→D，A→A1〉＝60° 所以A→C12＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为A→C12＝|A→C1|2， 所以|A→C1|2＝23，|A→C1|＝ 23，即 AC1＝ 23.
规律方法 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向 量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将 此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量 的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝ a·a求解即可．
－3 123＝－23. 2 ·2
所以，异面直线 SM 与 BN 所成角的余弦值为23.
题型二 利用数量积求两点间的距离
【例2】 如图所示，平行六面体ABCD－ A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝ 3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1 ＝60°，求AC1的长． [思路探索] 利用|A→C1|2＝A→C12＝(A→B＋A→D＋A→A1)2 求解． 解 因为A→C1＝A→B＋A→D＋A→A1， 所以A→C12＝(A→B＋A→D＋A→A1)2 ＝A→B2＋A→D2＋A→A12＋2(A→B·A→D＋A→B·A→A1＋A→D·A→A1)． 因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
c 三个向量两两夹角均为 60°，
∴a·b＝b·c＝a·c＝12.
∵S→M·B→N＝12(S→A＋S→B)·(S→N－S→B)
a·b＋12b·c－b2)
＝12(12×12－12＋12×12－1)＝－12.
∴cos〈S→M，B→N〉＝|SS→→MM|· ·B|→B→NN|＝
＝|P→A|2＋|A→D|2＋|D→C|2＋2P→A·A→D＋2A→D·D→C＋2D→C·P→A ＝62＋42＋32＋2|A→D||D→C|cos 120°
＝61－12＝49.
∴|P→C|＝7 即 PC＝7. 方法点评 把线段的长转化为向量的模是解决该类问题常 用的解 题方法．用已知向量表示目标向量是解决该类问 题的关键．
【变式2】 如图，已知线段AB⊥平面α， BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且 ∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB ＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．
解 ∵A→D＝A→B＋B→C＋C→D，∴|A→D|2＝(A→B＋B→C＋C→D)2＝|AB|2
＋
|
→
BC
|2
＋
|
→
CD
|2
＋
2
→
AB
＝12a2＋a2cos 120°＋12a2cos 60°－12a2cos 60°＝0， 所以 MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD.
方法技巧 转化与化归思想在立体几何中的应用
把空间向量转化为平面向量，把立体几何问题转化 为向量问题来解决是转化与化归思想在本节中的应用． 【示例】如图所示，在▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝ 60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长． [思路分析] 把求线段 PC 的长转化为求|P→C|，再用已知向量 P→A、A→D、D→C表示P→C即可． 解 ∵P→C＝P→A＋A→D＋D→C， ∴|P→C|2＝(P→A＋A→D＋D→C)2
2 .
即 OA 与 BC 所成角的余弦值为3－52
2 .
规律方法 在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成 角的问题可转化为两向量的夹角问题．需注意的是：转化 前后的两个角的关系可能相等也可能互补．
【变式1】 如图所示，已知S是边长为1的正三 角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝ SC＝1，M、N分别是AB、SC的中点，求 异面直线SM与BN所成角的余弦值． 解 设S→A＝a，S→B＝b，S→C＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，且 a，b，
3．空间向量数量积的应用 由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以立体 几何中的许多问题，如距离、夹角、垂直等问题的求解， 都可借助于向量的数量积运算解决．
(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，则 cos〈a，b〉＝a|a·||bb|，可用来求两个 向量的夹角．
(2)a⊥b⇔a·b＝0，用于判断两个向量的垂直．
数乘向量与向量 数量积的结合律
交换律 分配律
(λa)·b＝_λ_(a_·_b_)_
a·b＝_b_·_a_ a·(b＋c)＝_a_·b_＋__a_·_c_
(3)数量积的性质
(1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.
两个 (2)若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；
向量 若反向，则a·b＝－|a|·|b|.
(3)|a|2＝a·a，用于对向量模的计算，求两点间的距离或线 段的长度．
注意：①数量积运算不满足消去律 若a，b，c(b≠0)为实数，则ab＝bc⇒a＝c；但对于向量就 不正确，即a·b＝b·c(b≠0)⇒/ a＝c. ②数量积运算不满足结合律 数量积的运算只适合交换律，分配律及数乘结合律，但不 适合乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是由于 (a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线 的向量，而c与a不一定共线．
从而使问题得证．
(2)向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断 a⊥b 时，一定要
指明 a，b 为非零向量．
【变式3】 如图所示，正四面体ABCD的每 条棱长都等于a，点M，N分别是AB， CD的中点，求证：MN⊥AB， MN⊥CD.
证明 M→N·A→B＝(M→B＋B→C＋C→N)·A→B＝(M→B＋B→C＋12C→D)·A→B ＝(M→B＋B→C＋12A→D－12A→C)·A→B
题型一 利用数量积求夹角
【例1】 如图，在空间四边形OABC中，OA＝ 8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝ 45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角 的余弦值． [思路探索] 可先求向量O→A与B→C的夹角，再根据异面直线的
夹角与向量的夹角之间的关系得出最后结果．
解 因B→C＝A→C－A→B，
自学导引
1．空间向量的夹角
定义
已知两个非零向量 a，b，在空间中任取一点 O，作O→A ＝a，O→B＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角
记法 范围
〈_a_，__b_〉_
[_0_，__π_]．当〈a，b〉＝
π 2
时，_a_⊥__b_
想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉 呢？ 提示 〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a，b〉． 2．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a， b的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律