【数学】上海市浦东新区2014届高三模拟考试(理)

2014年上海市浦东新区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题共有13题，满分52分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）＝．2．（4分）不等式的解是．3．（4分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n﹣1+3，（n≥2，n∈N*），则a n＝．4．（4分）已知tanα、tanβ是方程x2+6x+7＝0的两根，则tan（α+β）＝．5．（4分）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是．6．（4分）已知函数的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（12）＝．7．（4分）已知复数z1＝2+i，z2＝a+3i（a∈R），z1•z2是实数，则|z1+z2|＝．8．（4分）二项式的展开式中，含x3的项的系数是．9．（4分）在锐角△ABC中，AC＝4，BC＝3，三角形的面积等于，则AB 的长为．10．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于．11．（4分）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ（结果用最简分数表示）．12．（4分）用|S|表示集合S中的元素的个数，设A、B、C为集合，称（A，B，C）为有序三元组．如果集合A、B、C满足|A∩B|＝|B∩C|＝|C∩A|＝1，且A ∩B∩C＝∅，则称有序三元组（A，B，C）为最小相交．由集合{1，2，3，4}的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为．13．（4分）已知函数y＝f（x），x∈N*，y∈N*，对任意n∈N*都有f[f（n）]＝3n，且f（x）是增函数，则f（3）＝．二、选择题（本大题共有4题，满分24分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.14．（6分）设a，b∈R，a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．a2＞ab D．2a＞2b 15．（6分）方程log5x＝|sin x|的解的个数为（）A．1B．3C．4D．516．（6分）已知函数，则＝（）A．2010B．2011C．2012D．2013 17．（6分）如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点，若，则（）A．0＜m+n＜1B．m+n＞1C．m+n＜﹣1D．﹣1＜m+n＜0三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝2（1）求证：AC⊥SB；（2）求二面角C﹣SA﹣D的大小．19．（14分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D（分贝）由公式D＝algI+b（a、b为非零常数）给出，其中I（W/cm2）为声音能量．（1）当声音强度D1，D2，D3满足D1+2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为10﹣13W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10﹣12W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．20．（14分）如图，设是单位圆上一点，一个动点从点A出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B，t秒时动点到达点P．设P（x，y），其纵坐标满足．（1）求点B的坐标，并求f（t）；（2）若0≤t≤6，求的取值范围．21．（16分）已知实数a＞0，函数．（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；（2）当a＝1时，判断f（x）的单调性，并说明理由；（3）求实数a的范围，使得对于区间上的任意三个实数r、s、t，都存在以f（r）、f（s）、f（t）为边长的三角形．22．（18分）设项数均为k（k≥2，k∈N*）的数列{a n}、{b n}、{c n}前n项的和分别为S n、T n、U n．已知集合{a1，a2，…，a k，b1，b2，…，b k}＝{2，4，6，…，4k﹣2，4k}．（1）已知，求数列{c n}的通项公式；（2）若（1≤n≤k，n∈N*），试研究k＝4和k≥6时是否存在符合条件的数列对（{a n}，{b n}），并说明理由；（3）若，对于固定的k，求证：符合条件的数列对（{a n}，{b n}）有偶数对．2014年上海市浦东新区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有13题，满分52分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）＝．【解答】解：∵，∴原式＝＝．故答案为：．2．（4分）不等式的解是0＜x＜1（或（0，1））．【解答】解：∵，∴或，解得0＜x＜1，∴不等式的解是0＜x＜1（或（0，1））．故答案为：0＜x＜1（或（0，1））．3．（4分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n﹣1+3，（n≥2，n∈N*），则a n＝3n﹣2．【解答】解：在数列{a n}中，由，得，∴数列{a n}是以3为公差的等差数列，又a1＝1，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．故答案为：3n﹣2．4．（4分）已知tanα、tanβ是方程x2+6x+7＝0的两根，则tan（α+β）＝1．【解答】解：∵tanα、tanβ是方程x2+6x+7＝0的两根，∴由一元二次方程根与系数的关系，得tanα+tanβ＝﹣6，tanα•tanβ＝7．由此可得tan（α+β）＝＝＝1．故答案为：15．（4分）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是30．【解答】解：∵甲校，乙校，丙校的学生的人数之比为：3600：5400：1800＝2：3：1，∴抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数为：，故答案为：30．6．（4分）已知函数的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（12）＝log23．【解答】解：＝1×4x﹣（﹣1）×2x＝4x+2x，令f（x）＝12，即4x+2x＝12，即（2x﹣3）（2x+4）＝0，解得：2x＝3即x＝log23，根据f（a）＝b，则f﹣1（b）＝a，可知f﹣1（12）＝log23．故答案为：log23．7．（4分）已知复数z1＝2+i，z2＝a+3i（a∈R），z1•z2是实数，则|z1+z2|＝．【解答】解：z1•z2＝（2+i）（a+3i）＝2a﹣3+（6+a）i是实数，∴6+a＝0，解得a＝﹣6．∴z2＝﹣6+3i．∴z1+z2＝（2+i）+（﹣6+3i）＝﹣4+4i．∴|z1+z2|＝|﹣4+4i|＝＝．故答案为：．8．（4分）二项式的展开式中，含x3的项的系数是﹣126．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝•x18﹣2r•（﹣1）r•x ﹣r＝（﹣1）r••x18﹣3r，令18﹣3r＝3，求得r＝5，故含x3的项的系数是﹣＝﹣126，故答案为：﹣126．9．（4分）在锐角△ABC中，AC＝4，BC＝3，三角形的面积等于，则AB的长为．【解答】解：∵在锐角△ABC中，AC＝b＝4，BC＝a＝3，三角形的面积等于3，∴ab sin C＝3，即sin C＝，∵C为锐角，∴cos C＝＝，由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝16+9﹣12＝13，解得：AB＝c＝．故答案为：10．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于15π．【解答】解：设圆锥的高为h，底面半径为r，∵圆锥的底面半径为3，体积是12π，∴，即h＝4，∴圆锥的母线长l＝，∴圆锥的侧面积S＝πrl＝3×5π＝15π，故答案为：15π．11．（4分）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ（结果用最简分数表示）．【解答】解：用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，当ξ＝0时，表示没有选到女生；当ξ＝1时，表示选到一个女生；当ξ＝2时，表示选到2个女生，∴P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，∴Eξ＝0×＝．故答案为：12．（4分）用|S|表示集合S中的元素的个数，设A、B、C为集合，称（A，B，C）为有序三元组．如果集合A、B、C满足|A∩B|＝|B∩C|＝|C∩A|＝1，且A ∩B∩C＝∅，则称有序三元组（A，B，C）为最小相交．由集合{1，2，3，4}的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为96．【解答】解：∵|A∩B|＝|B∩C|＝|C∩A|＝1，∴设A∩B＝{x}，B∩C＝{y}，C∩A＝{z}，∵A∩B∩C＝∅，且x，y，z∈{1，2，3，4}，∴①集合{1，2，3，4}中的子集含有4个元素时，∴从1，2，3，4四个元素选3个有＝4种方法，将3个元素进行全排列有＝3×2＝6种，剩余的一个元素可以分别放入集合A，B，C，有3种，∴此时共有3×4×6＝72种．②集合{1，2，3，4}中的子集含有3个元素时，满足集合A，B，C中都只有一个元素．∴从1，2，3，4四个元素选3个有＝4种方法，将3个元素进行全排列有＝3×2＝6种，∴此时共有4×6＝24种．综上共有72+24＝96个．故答案为：96．13．（4分）已知函数y＝f（x），x∈N*，y∈N*，对任意n∈N*都有f[f（n）]＝3n，且f（x）是增函数，则f（3）＝6．【解答】解：令f（1）＝a，∵对任意n∈N*都有f[f（n）]＝3n，故有a≠1，否则，可得f[f（1）]＝f（1）＝1，这与f[f（1）]＝3×1＝3矛盾．从而a＞1，而由f（f（1））＝3，即得f（a）＝3．∵f（x）是增函数，∴f（a）＞f（1）＝a，即a＜3，于是得到1＜a＜3．又a∈N*，从而a＝2，即f（1）＝2．而由f（a）＝3知，f（2）＝3．于是f（3）＝f（f（2））＝3×2＝6，故答案为：6．二、选择题（本大题共有4题，满分24分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.14．（6分）设a，b∈R，a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．a2＞ab D．2a＞2b【解答】解：考察指数函数y＝2x在R上单调递增，∵a＞b，∴2a＞2b．故选：D．15．（6分）方程log5x＝|sin x|的解的个数为（）A．1B．3C．4D．5【解答】解：∵log5x＝|sin x|，∴设函数y＝log5x和y＝|sin x|，在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：∵当log5x＝|sin x|＝1，∴x＝5，∴由图象可知两个函数的交点个数为3个．故方程根的个数为3．故选：B．16．（6分）已知函数，则＝（）A．2010B．2011C．2012D．2013【解答】解：∵已知函数，∴f（）＝＝，∴f（x）+f（）＝1．则＝f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）+…+[f（2014）+f（）]＝+1+1+…+1＝+2013×1＝2013，故选：D．17．（6分）如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点，若，则（）A．0＜m+n＜1B．m+n＞1C．m+n＜﹣1D．﹣1＜m+n＜0【解答】解：∵点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点，∴不妨取∠AOB＝120°，∠AOC＝∠BOC＝60°，此时四边形AOBC为菱形，则＝+，又∵，∴m＝n＝1，则m+n＝2，从而可排除A，C，D选项，故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝2（1）求证：AC⊥SB；（2）求二面角C﹣SA﹣D的大小．【解答】（1）证明：连接BD，∵SD⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD∴AC⊥SD…（4分）又四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD∴AC⊥平面SBD∴AC⊥SB．…（6分）（2）解：设SA的中点为E，连接DE、CE，∵SD＝AD，CS＝CA，∴DE⊥SA，CE⊥SA．∴∠CED是二面角C﹣SA﹣D的平面角．…（9分）∵SD＝AD＝2，∴DE＝，CE＝，CD＝2，∴CD⊥DE，∴，∴∴所求二面角的大小为．…（12分）19．（14分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D（分贝）由公式D＝algI+b（a、b为非零常数）给出，其中I（W/cm2）为声音能量．（1）当声音强度D1，D2，D3满足D1+2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为10﹣13W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10﹣12W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．【解答】解：（1）∵D1+2D2＝3D3，∴algI1+b+2（algI2+b）＝3（algI3+b），∴lgI1+2lgI2＝3lgI3，∴I1•＝；（2）由题意得，解得：，∴100＜10lgI+160＜120，解得：10﹣6＜I＜10﹣4，答：当声音能量I∈（10﹣6，10﹣4）时，人会暂时性失聪．20．（14分）如图，设是单位圆上一点，一个动点从点A出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B，t秒时动点到达点P．设P（x，y），其纵坐标满足．（1）求点B的坐标，并求f（t）；（2）若0≤t≤6，求的取值范围．【解答】解：（1）当t＝2时，，∴∴，点B的坐标是（0，1）…（2分）又t秒时，…（4分）∴．…（6分）（2）由，B（0，1），得，又，∴，…（8分）∴＝＝…（10分）∵0≤t≤6，∴，∴…（12分）∴，的取值范围是…（14分）21．（16分）已知实数a＞0，函数．（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；（2）当a＝1时，判断f（x）的单调性，并说明理由；（3）求实数a的范围，使得对于区间上的任意三个实数r、s、t，都存在以f（r）、f（s）、f（t）为边长的三角形．【解答】解：由题意，f（x）的定义域为（﹣1，1），且f（x）为偶函数．（1）a＝1时，…（2分）∴x＝0时，最小值为2．…（4分）（2）a＝1时，∴x∈[0，1）时，f（x）递增；x∈（﹣1，0]时，f（x）递减；…（6分）由于f（x）为偶函数，∴只对x∈[0，1）时，说明f（x）递增．设0≤x1＜x2＜1，∴，得∴x∈[0，1）时，f（x）递增；…（10分）（3）设，则∵，∴，∴从而原问题等价于求实数a的范围，使得在区间上，恒有2y min＞y max．…（11分）①当时，在上单调递增，∴，由2y min＞y max得，从而；…（12分）②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴，由2y min＞y max得，从而；…（13分）③当时，在上单调递减，在上单调递增，∴y min＝2，y max＝a+1，由2y min＞y max得，从而；…（14分）④当a≥1时，在上单调递减，∴，由2y min＞y max得，从而；…（15分）综上，．…（16分）22．（18分）设项数均为k （k ≥2，k ∈N *）的数列{a n }、{b n }、{c n }前n 项的和分别为S n 、T n 、U n ．已知集合{a 1，a 2，…，a k ，b 1，b 2，…，b k }＝{2，4，6，…，4k ﹣2，4k }． （1）已知，求数列{c n }的通项公式；（2）若（1≤n ≤k ，n ∈N *），试研究k ＝4和k ≥6时是否存在符合条件的数列对（{a n }，{b n }），并说明理由； （3）若，对于固定的k ，求证：符合条件的数列对（{a n }，{b n }）有偶数对． 【解答】解：（1）已知，当n ＝1时，c 1＝U 1＝4． 当n ≥2时，，经验证c 1＝4不适合上式， 故；（2），当n ＝1时，a 1﹣b 1＝S 1﹣T 1＝4，当n ≥2时，a n ﹣b n ＝（S n ﹣S n ﹣1）﹣（T n ﹣T n ﹣1）＝（S n ﹣T n ）﹣（S n ﹣1﹣T n ﹣1）＝2n +2n ﹣2（n ﹣1）﹣2n ﹣1＝2+2n ﹣1， 当k ＝4时，a 1﹣b 1＝4，a 2﹣b 2＝4，a 3﹣b 3＝6，a 4﹣b 4＝10， {a 1，a 2，a 3，a 4，b 1，b 2，b 3，b 4}＝{2，4，6，8，10，12，14，16} 数列{a n }、{b n }可以为（不唯一）： ①6，12，16，14；2，8，10，4； ②16，10，8，14；12，6，2，4． 当k ≥6时，＝＝（k﹣1）（k﹣4）+4k＞4k此时a k不存在．故数列对（{a n}，{b n}）不存在；（3）令d n﹣e n＝（4k+2﹣b n）﹣（4k+2﹣a n）＝a n﹣b n＝2n，又{a1，a2，…，a k，b1，b2，…，b k}＝{2，4，6，…，4k}，得{4k+2﹣a1，4k+2﹣a2，…，4k+2﹣a k，4k+2﹣b1，4k+2﹣b2，…，4k+2﹣b k}＝{2，4，6，…，4k}，∴数列对（{a n}，{b n}）与（{d n}，{e n}）成对出现．假设数列{a n}与{d n}相同，则由d2＝4k+2﹣b2＝a2及a2﹣b2＝4，得a2＝2k+3，b2＝2k﹣1，均为奇数，矛盾．故符合条件的数列对（{a n}，{b n}）有偶数对．。

2014届上海市高三年级检测试卷（二模模拟）数学（理）一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.若2sin 2cos 2θθ+=-，则cos θ= 2.若bi ia-=-11，其中b a ,都是实数，i 是虚数单位，则bi a += 3.现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为4.抛物线22y x =的焦点为F ，点00(,)M x y 在此抛物线上，且52MF =，则0x =______ 5.某市连续5天测得空气中PM2.5（）的数据（单位：3/g m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为6.平行四边形ABCD 中，AB =（1，0），AC =（2，2），则AD BD ⋅等于7.已知关于x 的二项式nxa x )(3+展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为 8.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒，则b = 9.用半径为210cm ，面积为π2100cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是10.已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）右顶点与右焦点的距离为31-，短轴长为22，椭圆方程为11.设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++若“对于任意[)+∞∈,0x ，()1f x a <+”是假命题，则a 的取值范围为12.已知,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，等比数列{}n a 中，11a =，343tan 39a =，数列{}n a 的前2014项的和为0，则的值为13.][x 表示不超过x 的最大整数，若函数a xx x f -=][)(，当0>x 时，)(x f 有且仅有3个零点，则a 的取值范围为 .14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅=．若PQ PM PN =+，则PQ 的最小值为二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是yx DBA OC正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分． 15.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是 A ．A B. B C ．C D ．D16.“lim ,lim n n n n a A b B →∞→∞==”是“lim n n nab →∞存在”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件.C.充分条件.D.既不充分也不必要条件.17.已知函数()sin 2xf x x =∈R ，，将函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐不变），得到函数()g x 的图象，则关于()()f x g x ⋅有下列命题，其中真命题的个数是 ①函数()()y f x g x =⋅是奇函数； ②函数()()y f x g x =⋅不是周期函数；③函数()()y f x g x =⋅的图像关于点(π，0)中心对称；④函数()()y f x g x =⋅的最大值为33A.1B.2C.3D.418.如图，E 、F 分别为棱长为1的正方体的棱11A B 、11B C 的中点，点G 、H 分别为面对角线AC 和棱1DD 上的动点（包括端点），则下列关于四面体E FGH -的体积正确的是 A 此四面体体积既存在最大值，也存在最小值； B 此四面体的体积为定值；C 此四面体体积只存在最小值；D 此四面体体积只存在最大值。

上海市浦东新区2014年高考预测（二模）数学（理）试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 已知全集{}U=1,2,3,4,5，若集合{}A=2,3，则U A ð=__{}1,4,5___2. 双曲线221916x y -=的渐近线方程为 43y x =± . 3.函数()31cos 4sin xx x f =的最大值为__5_____4.已知直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈，若12l l ⊥，则a =13. 5.函数()y f x =的反函数为()1y fx -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()11y f x -=+的图像一定过点___(2,3)-___.6. 已知数列{}n a 为等差数列，若134a a +=，2410a a +=，则{}n a 的前n 项的和n S =__23522n n -___.7.π，则球的体积为 __323π__ ． 8.(理) 一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为0.9、0.8，则一小时内有机床需要维护的概率为_____0.989.设a R ∈，8(1)ax -的二项展开式中含3x 项的系数为7，则2lim()nn a a a →∞+++=L __13-__． 10.(理)在平面直角坐标系xoy 中,若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆3cos C:2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点,则常数a =_3__.11.(理)已知随机变量ξ的分布列如右表，若3E ξ=，则D ξ=__1 ．12.在ABC ∆中, 角B 所对的边长6b =,ABC ∆的面积为15,外接圆半径R 5=，则AB C ∆的周长为_____6+13．抛物线24(0)y mx m =>的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，又点A(,0)m -，则PF PA的最小值为2. 14.(理)已知函数()f x 的定义域为{}1,2,3，值域为集合{}1,2,3,4的非空真子集，设点()A 1,(1)f ，()B 2,(2)f ，()C 3,(3)f ，ABC ∆的外接圆圆心为M ，且MA MC MB()R λλ+=∈u u u r u u u r u u u r，则满足条件的函数()f x 有＿12＿个．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. “1x >”是“11x<”的( A ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 16. （理）已知z x yi =+，,x y R ∈， i 是虚数单位.若复数+1zi i+是实数，则z 的最小值为( D )（A ）0 （B ）52（C ） 5 （D 17.能够把椭圆2214x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是．．椭圆的“可分函数”为（ D ） （A ）3()4f x x x =+（B ）5()ln5x f x x -=+（C ）()arctan 4x f x =（D ）()x xf x e e -=+ 18. （理）方程27lg(100)(||200)(||202)2x x x -=---的解的个数为（ B ） （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.（理）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11AA AB AC ===，4ABC π∠=，D 、M 、N 分别是1CC 、11A B 、BC 的中点.（1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小；（2）求点M 到平面ADN 之间的距离.解：（1）设AB 的中点为E ，连接EN ，则//EN AC ，且12EN AC =，所以MNE ∠或其补角即为异面直线MN 与AC 所成的角。

上海市2014届高考模拟数学(理)试卷考生注意：1．每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、学号等相关信息在答题纸上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题满分4分） 1复数212iz i=-+的共轭复数的虚部为2.幂函数()x f 的图象过点()2,2，则()41-f的值_________3. 一支游泳队有男运动员32人，女运动员24人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为14的样本，则抽取男运动员的人数为4.若直线m my x m y mx 21=++=+与平行，则m =_____5. 己知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，－x +2，x ＞0，则不等式2)(x x f ≥的解集为6．已知数列12463579{}1(),18,log ()n n n a a a n N a a a a a a ++=+∈++=++满足且则等于 7. 在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程的极坐标方程是8.已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A 具有性质P :当a A ∈时,必有6a A -∈.则具有性质P 的集合A 的个数是9. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，四面体11D ACB 的体积为10. 在ABC △中，3AB =，2AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC ⋅=11.设点A 为圆228x y +=上动点，点B （2，0），点O 为原点，那么OAB ∠的最大值为12. 己知A 、B 两盒中都有红球、白球，且球的形状、大小都相同，盒子A 中有m 个红球与10-m 个白球，盒子B 中有10-m 个红球与m 个白球(0<m <10). 分别从A 、B 中各取一个球，ξ表示红球的个数，下图表示的是随机变量ξ100则当m 为 时， D (ξ)取到最小值13. 右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行 第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则______(3)mn a m =≥.14. 已知函数()f x 的图像在[a ，b ]上连续不断，定义：1()min{()/}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，2()max{()/}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，其中min{()/}f x x D ∈表示函数)(x f 在D 上的最小值，max{()/}f x x D ∈表示函数)(x f 在D 上的最大值，若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数)(x f 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”．已知函数2(),[1,4],f x x x =∈-为[-1，4]上的“k 阶收缩函数”，则k 的值为 二、选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题满分5分） 15. 对于直线m ,n 和平面α,β,使m ⊥α成立的一个充分条件是A ．m n ⊥,n ∥αB ．m ∥β,⊥βαC ．m n ⊥,n ⊥β,⊥βαD ． m ⊥β,n ⊥β,n ⊥α 16.若函数()xxf x ka a -=-(a >0且1a ≠)在(-∞，+∞)上既是奇函数又是增函数，则函数()log ()a g x x k =+的图象是A B C D17. 若在直线上存在不同的三个点C B A ，，，使得关于实数x 的方程20x OA xOB BC ++=有解（点O 不在上），则此方程的解集为A.}1{- B ．∅ C ．D ．{}1,0-18.已知函数()y f x =的周期为2,当[0,2]x ∈时,2()(1)f x x =-,如果()()g x f x =-5log 1x -，则函数()y g x =的所有零点之和为A ．2B ．4C ．6D ．8 三、解答题（本大题满分74分，共5小题） 19.(本题满分12分）第（1）小题8分，第（2）小题4分.如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，（1）在证明出PA ⊥平面ABCD 后，建立空间直角坐标系求二面角E AC D --的余弦值 （2）证明：在线段BC 上存在点F ， 使PF ∥平面EAC ，并求BF 的长.20.(本题满分14分）第（1）小题7分，第（2）小题7分.在一个六角形体育馆的一角 MAN 内，用长为a 的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知120A =∠，B 是墙角线AM 上的一点，C 是墙角线AN 上的一点．(1) 若BC =a =20, 求储存区域面积的最大值；(2) 若AB =AC =10,在折线MBCN 内选一点D ，使20=+DC BD ，求四边形储存区域DBAC 的最大面积.21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 已知α为锐角，且12tan -=α，函数)42sin(2tan 2)(παα++=x x f ，数列{n a }的首项)(,111n n a f a a ==+.（1）求函数)(x f 的表达式； （2）求数列｝｛n na 的前n 项和n S .22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分给定椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O ，的圆是椭圆C 的“伴随圆”． 若椭圆C 的一个焦点为20)F ，其短轴上的一个端点到2F （1）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）若过点(0,)(0)P m m <的直线与椭圆C 只有一个公共点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为m 的值；（3）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，试判断直线12,l l 的斜率之积是否为定值,并说明理由.23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 已知数列{}n a 满足2*12()n a a a n n +++=∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意给定的*k ∈N ，是否存在*p r ∈N ，（k p r <<）使111k p r a a a ，，成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组）；若不存在，请说明理由； （3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为123,,n n n a a a ．参考答案一、填空题（本题满分56分，共14小题，每小题满分4分） 152. 163. 84. -15. ]1,1[- 6．37. 3cos 2=ρθ 8.7 9. 31 10. 52-11. 45° 12. 1或9 13.14. 4三、选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题满分5分） 15. D 16. C 17. A 18. D三、解答题（本大题满分74分，共5小题）19.(本题满分12分）第（1）小题8分，第（2）小题4分. （1）证明：2PA AB ==，PB =∴222PA AB PB +=∴PA AB ⊥，同理PA AD ⊥又AB AD A =，∴PA ⊥平面ABCD .以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则24(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,,)33A B C D P E 平面ACD 的法向量为(0,0,2)AP =，设平面EAC 的法向量为(,,)n x y z =24(2,2,0),(0,,)33AC AE ==，由0n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取221x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴(2,2,1)n =-， 设二面角E AC D --的平面角为θ1cos 3||||n AP n AP θ⋅==⋅，∴二面角E AC D --的余弦值为13.（2）假设存在点F BC ∈，使PF ∥平面EAC ， 令(2,,0)F a ，(02)a ≤≤∴(2,,2)PF a =- 由PF ∥平面EAC ，∴0PF n ⋅=，解得1a =∴存在点(2,1,0)F 为BC 的中点，即1BF =20.(本题满分14分）第（1）小题7分，第（2）小题7分. (1)设,,0,0.AB x AC y x y ==>>由222202cos12022cos120x y xy xy xy =+-≥-，得222202022cos1204sin60xy≤=-.2222112020cos6020 sin1202sin60cos60224sin604sin604tan60S xy∴=≤⋅⋅===即y四边形DBAC x=时取到．(2) 由20=+DCDB，知点D在以B，C为焦点的椭圆上，∵32523101021=⨯⨯⨯=∆ABCS，∴要使四边形DBAC面积最大，只需DBC∆的面积最大，此时点D到BC的距离最大, 即D必为椭圆短轴顶点．由BC=，得短半轴长5,BCDb S∆=面积的最大值为152⨯=因此，四边形ACDB面积的最大值为．21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：⑴1)12(1)12(2tan1tan22tan22=---=-=ααα又∵α为锐角∴42πα=∴1)42sin(=+πα12)(+=xxf（2）∵121+=+nnaa，∴)1(211+=++nnaa∵11=a∴数列{}1+n a是以2为首项，2为公比的等比数列。

上海市浦东新区2014年高考三模冲刺数学试卷 一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）1．函数()2x x x f -=的定义域为 .2．如果sin α=，α为第三象限角，则3sin()2πα+=．3．设等差数列{}n a 的前n 项之和n S 满足10520S S -=，那么 8a = ．4．设复数i z 511+=，i m z +=32，i n z z 821+=+),(R n m ∈，则=21z z __________. 5．正方体-ABCD 1111D C B A 中，Q P N M ,,,分别是棱BC A D D C C B ,,,111111的中点，则异面直线MN 与PQ 所成的角等于__________.6．在△ABC 中，C B A 、、的对边分别是c b a ,,，且B b cos 是A c C a cos ,cos 的等差中项，则角B = .7．若①9≤≤b a ,②9>+b a ,则同时满足①②的正整数b a ,有 组.8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为 _________米． 9．（文）如图为某几何体的三视图，则其侧面积为 2cm ．（理）已知圆的方程是1)1(22=-+y x ，若以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则该圆的极坐标方程可写为 ．10．已知数列}{n a 中,11=a ,)1 *,(271>∈=--n n aa n n nN ，则当n a 取得 最小值时n 的值是 ．11．设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是棱AB 上的任意一点，且P 到面BCD ACD ,的距离分别为21,d d ，则=+21d d .12．定义在R 上的函数)(x f 同时满足性质：①对任何R x ∈，均有33)]([)(x f x f =成立；②对任何R x x ∈21,，当且仅当21x x =时，有)()(21x f x f =.则)1()0()1(f f f ++-的值为 .13．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式:2213=+ 23135=++ 241357=+++ 3235=+ 337911=++ 3413151719=+++根据上述分解规律,则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73,则m 的值为 .14．定义：对于各项均为整数的数列{}n a ，如果i a i +(i =1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{}n a具有“P 性质”；不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在数列{}n b 与{}n a 不是同一数列，且{}n b 满足下面两个条件：（1）123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；（2）数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”．给出下面三个数列：①数列{}n a 的前n 项和2(1)3n n S n =-；②数列}{n b ：1，2，3，4，5；③数列}{n c ：1，2，3，4，5，6.具有“P 性质”的为 ；具有“变换P 性质”的为 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分)15．非零向量b a ,，m a =||，n b =||，若向量b a c 21λλ+=，则||c 的最大值为……（ ） A ．n m 21λλ+ B ．n m ||||21λλ+ C ．||21n m λλ+ D ．以上均不对16．已知数列}{n a 的通项公式为*1()(1)n a n N n n =∈+,其前n 项和910n S =,则双曲线2211x y n n -=+的渐近线方程为 …………………………………………………………（ ）A．y x = B．y = C．y x = D．y x =17．已知ABC △中，AC =2BC =，则角A 的取值范围是…… ………………（ ）A ．,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.B ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. C ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 18．在平面斜坐标系xoy 中045=∠xoy ,点P 的斜坐标定义为:“若2010e y e x OP +=(其中21,e e 分别为与斜坐标系的x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点P 的坐标为),(00y x ”.若),0,1(),0,1(21F F -且动点),(y x M 满MF MF =则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为……………… （ ）A B C D 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）已知函数()sin f x m x x = ()0m >的最大值为2． （1）求函数()f x 在[]0π，上的值域；（2）已知ABC ∆外接圆半径3=R ，ππ()()sin 44f A f B A B-+-=，角A ，B 所对的边分别是a ，b ，求b a 11+的值．20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|2|24--⋅--=x x a a y 的图像关于点)2,1(A 对称．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的方程m x f =)(有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围．21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图1，OA ，OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD 和曲线段EF 分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与OA ，OB 平行的栈桥MG 、MK ，且以MG 、MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK .建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD 的方程是220(020)x y x +=≤≤，曲线段EF的方程是200(5x y x =≤≤，设点M 的坐标为(,)s t ，记z s t =⋅.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）（1）求z 的取值范围；（2）试写出三角形观光平台MGK 面积MGK S ∆关于z 的函数解析式，并求出该面积的最小值22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点，椭圆C 左右焦点分别为21,F F ，上顶点为E ，21F EF ∆为等边三角形.定义椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x y N a b .（1）求椭圆C 的方程； （2）求MON ∠tan 的最大值；（3）直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、B的“伴随点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O.椭圆C的右顶点为D，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系,并证明.23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）已知数列{}na，{}nb满足：()1*n n nb a a n N+=-∈．（1）若11,na b n==，求数列{}n a的通项公式；（2）若()112n n nb b b n+-=≥，且121,2b b==．①记()611n nc a n-=≥，求证：数列{}nc为等差数列；②若数列nan⎧⎫⎨⎬⎩⎭中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项1a应满足的条件．上海市浦东新区2014年高考三模冲刺数学试卷 参考答案及评分细则一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．]1,0[； 2．13； 3．4； 4．i 1812+-； 5．060； 6．3π； 7．25； 8．8；9．（文）4π；（理）2sin ρθ=；10．6或7； 11．a36； 12．0 ； 13．9； 14．①、②二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．B ； 16．C ； 17．C ； 18．D ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）解：（1）由题意，()f x．………………………2分而0m >，于是m =π()2sin()4f x x =+．…………………………………4分 在]4,0[π上递增．在 ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减， 所以函数()f x 在[]0π，上的值域为]2,2[-；…………………………………5分（2）化简ππ()()sin 44f A f B A B-+-=得s i ns i n 6s i n s i n A B A B +=．……………………………………………………7分由正弦定理，得()2R a b +=，……………………………………………9分因为△ABC 的外接圆半径为3=R．a b +．…………………………11分所以 211=+b a …………………………………………………………………12分20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）设点),(y x P 是函数)(x f 图像上任意一点，P 关于点A 对称的点为),(y x P '''，则12='+x x ，22='+y y ，于是x x -='2，y y -='4，………………2分因为),(y x P '''在函数)(x g 的图像上，所以2|2|24-'-'⋅--='x x a a y ，…4分即x x a ay --⋅--=-244||，x x a a y -⋅+=2||，所以x x a a x f -⋅+=2)(||．……………………………………………………6分 （2）令t a x=，因为1>a ，0>x ，所以1>t ，所以方程m x f =)(可化为m t t =+2，…………………………………………8分即关于t 的方程022=+-mt t 有大于1的相异两实数解．作2)(2+-=mt t t h ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>08120)1(2m m h ，………………………………………12分 解得322<<m ；所以m 的取值范围是)3,22(．………………………14分21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，得(,)M s t 在线段CD ：220(020)x y x +=≤≤上，即220s t +=， 又因为过点M 要分别修建与OA 、OB 平行的栈桥MG 、MK ，所以510s ≤≤；.…………………………………………………………………2分.211(10)(10)50,51022z s t s s s s =⋅=-=--+≤≤；………………………4分 所以z 的取值范围是75502z ≤≤..………………………………………………6分（2）由题意，得200200(,),(,)K s G t s t ，..…………………………………………8分所以11200200140000()()(400)222MGK S MG MK s t st t s st ∆=⋅⋅=--=+-则14000075(400),,5022MGK S z z z ∆⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦，..……………………………10分 因为函数140000(400)2MGK S z z ∆=+-在75,502z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，..………12分 所以当50z =时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米. ..………14分22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）解：（1）由已知22222331412a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得224,3a b == ,方程为22143x y +=.·······················4分（2）当000=y x 时，显然0tan =∠MON ，由椭圆对称性，只研究0,000>>y x 即可，设k x y k OM ==00（0>k ），于是32kk ON =···························································5分=-≤+-=+-=∠32232233232132tan 2k k k kkMON（当且仅当232=k 时取等号）··············································································8分（3） 设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,22x x P Q ⎛⎛ ⎝⎝;1)当直线l 的斜率存在时,设方程为y kx m =+,由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得:222(34)84(3)0k x kmx m +++-=；有22122212248(34)08344(3)34k m km x x k m x x k ⎧⎪∆=+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩ ①···································································10分由以PQ 为直径的圆经过坐标原点O 可得:1212340x x y y +=；整理得:221212(34)4()40k x x mk x x m ++++= ② 将①式代入②式得: 22342k m +=, ································································· 12分048,0,043222>=∆>∴>+m m k又点O 到直线y kx m =+的距离d =2222222221223414334143433411m m kk m kk m k k x x k AB ⋅+=+⋅+=+-++=-+=所以12OAB S AB d ∆==············································································14分2) 当直线l 的斜率不存在时,设方程为(22)x m m =-<<联立椭圆方程得: 223(4)4m y -=；代入1212340x x y y +=得223(4)304m m --=；552±=m ,5152±=y 3212121=-==∆y y m d AB S OAB综上: OAB ∆又ODE ∆所以二者相等. ·························································16分 23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）解：（1）当2n ≥时，有 ()()()21213211121122n n n n n na a a a a a a a ab b b --=+-+-++-=++++=-+．又11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2122n n na =-+．…………4分（2）①因为对任意的*n N ∈，有5164321n n n nn n n b b b b b b b ++++++====，所以，1656161661626364111221722n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++=+++++=， 所以，数列{}n c为等差数列．……………………………………………………8分②设()6*n n i c a n N +=∈（其中i 为常数且{}1,2,3,4,5,6i ∈，所以，1666661626364657n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b +++++++++++++++-=-=+++++=， 即数列{}6n i a +均为以7为公差的等差数列．…………………………………… 10分设()677767766666666i i k i i k i k a i a i a a k f k i i k i k i k +++--+====+++++． （其中6,0,n k i k i =+≥为{}1,2,3,4,5,6中一个常数）当76i a i =时，对任意的6n k i =+，有76n a n =；……………………………… 12分 当76i a i ≠时，()()()17776666166616i i k k i a i a if f a i k i k i k i k i +---⎛⎫-=-=- ⎪++++++⎡⎤⎝⎭⎣⎦． （Ⅰ）若76i a i>，则对任意的k N ∈有1k k f f +<，所以数列66k i a k i +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递减数列； （Ⅱ）若76i a i<，则对任意的k N ∈有1k k f f +>，所以数列66k i a k i +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递增数列．三模 第 11 页 2014-5-20综上所述，集合74111174111,,,,63236263236B ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．当1a B ∈时，数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中必有某数重复出现无数次；当1a B ∉时，数列()61,2,3,4,5,66k i a i k i +⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．………………………………………………………………………………… 18分。

2014年上海市浦东新区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题共有13题，满分52分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）=．2．（4分）不等式的解是．3．（4分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+3，（n≥2，n∈N*），则a n=．4．（4分）已知tanα、tanβ是方程x2+6x+7=0的两根，则tan（α+β）=．5．（4分）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是．6．（4分）已知函数的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（12）=．7．（4分）已知复数z1=2+i，z2=a+3i（a∈R），z1•z2是实数，则|z1+z2|=．8．（4分）二项式的展开式中，含x3的项的系数是．9．（4分）在锐角△ABC中，AC=4，BC=3，三角形的面积等于，则AB的长为．10．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于．11．（4分）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ（结果用最简分数表示）．12．（4分）用|S|表示集合S中的元素的个数，设A、B、C为集合，称（A，B，C）为有序三元组．如果集合A、B、C满足|A∩B|=|B∩C|=|C∩A|=1，且A ∩B∩C=∅，则称有序三元组（A，B，C）为最小相交．由集合{1，2，3，4}的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为．13．（4分）已知函数y=f（x），x∈N*，y∈N*，对任意n∈N*都有f[f（n）]=3n，且f（x）是增函数，则f（3）=．二、选择题（本大题共有4题，满分24分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.14．（6分）设a，b∈R，a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．a2＞ab D．2a＞2b 15．（6分）方程log5x=|sinx|的解的个数为（）A．1B．3C．4D．516．（6分）已知函数，则=（）A．2010B．2011C．2012D．201317．（6分）如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点，若，则（）A．0＜m+n＜1B．m+n＞1C．m+n＜﹣1D．﹣1＜m+n＜0三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2（1）求证：AC⊥SB；（2）求二面角C﹣SA﹣D的大小．19．（14分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D（分贝）由公式D=algI+b（a、b为非零常数）给出，其中I（W/cm2）为声音能量．（1）当声音强度D1，D2，D3满足D1+2D2=3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为10﹣13W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10﹣12W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．20．（14分）如图，设是单位圆上一点，一个动点从点A出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B，t秒时动点到达点P．设P（x，y），其纵坐标满足．（1）求点B的坐标，并求f（t）；（2）若0≤t≤6，求的取值范围．21．（16分）已知实数a＞0，函数．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）当a=1时，判断f（x）的单调性，并说明理由；（3）求实数a的范围，使得对于区间上的任意三个实数r、s、t，都存在以f（r）、f（s）、f（t）为边长的三角形．22．（18分）设项数均为k（k≥2，k∈N*）的数列{a n}、{b n}、{c n}前n项的和分别为S n、T n、U n．已知集合{a1，a2，…，a k，b1，b2，…，b k}={2，4，6，…，4k﹣2，4k}．（1）已知，求数列{c n}的通项公式；（2）若（1≤n≤k，n∈N*），试研究k=4和k≥6时是否存在符合条件的数列对（{a n}，{b n}），并说明理由；（3）若，对于固定的k，求证：符合条件的数列对（{a n}，{b n}）有偶数对．2014年上海市浦东新区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有13题，满分52分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）=．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题．【分析】利用数列极限的运算法则即可得出．【解答】解：∵，∴原式==．故答案为：．【点评】本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题．2．（4分）不等式的解是0＜x＜1（或（0，1））．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】解分式不等式，一般是“移项，通分”，将分式不等式转化为各个因式的正负问题，建立关系，解之即可．【解答】解：∵，∴或，解得0＜x＜1，∴不等式的解是0＜x＜1（或（0，1））．故答案为：0＜x＜1（或（0，1））．【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，对于分式不等式，一般是“移项，通分”，将分式不等式转化为各个因式的正负问题．属于基础题．3．（4分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+3，（n≥2，n∈N*），则a n=3n﹣2．【考点】8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由题目给出的递推式得到数列为等差数列，结合已知给出的首项，代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在数列{a n}中，由，得，∴数列{a n}是以3为公差的等差数列，又a1=1，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+3（n﹣1）=3n﹣2．故答案为：3n﹣2．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，是中低档题．4．（4分）已知tanα、tanβ是方程x2+6x+7=0的两根，则tan（α+β）=1．【考点】&R：根与系数的关系；GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题；56：三角函数的求值．【分析】由一元二次方程根与系数的关系，可得tanα+tanβ=﹣6且tanα•tanβ=7．由此利用两角和的正切公式加以计算，可得tan（α+β）的值．【解答】解：∵tanα、tanβ是方程x2+6x+7=0的两根，∴由一元二次方程根与系数的关系，得tanα+tanβ=﹣6，tanα•tanβ=7．由此可得tan（α+β）===1．故答案为：1【点评】本题给出一元二次方程的两根恰好是α、β的正切之值，求tan（α+β）．着重考查了两角和的正切公式、一元二次方程根与系数的关系等知识，属于基础题．5．（4分）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是30．【考点】B3：分层抽样方法．【专题】5I：概率与统计．【分析】根据分层抽样的定义，即可确定甲校抽取的人数．【解答】解：∵甲校，乙校，丙校的学生的人数之比为：3600：5400：1800=2：3：1，∴抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数为：，故答案为：30．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和应用，根据分层抽样的定义确定对应的抽取比例是解决本题的关键，比较基础．6．（4分）已知函数的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（12）=log23．【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】先根据二阶行列式的运算法则化简函数，然后欲求f﹣1（12）的值，只须从条件中函数式f（x）=12中反解出x，即得f﹣1（12）的值．【解答】解：=1×4x﹣（﹣1）×2x=4x+2x，令f（x）=12，即4x+2x=12，即（2x﹣3）（2x+4）=0，解得：2x=3即x=log23，根据f（a）=b，则f﹣1（b）=a，可知f﹣1（12）=log23．故答案为：log23．【点评】本小题主要考查二阶行列式以及反函数、反函数的应用等基础知识，考查运算求解能力、转化思想．属于基础题．7．（4分）已知复数z1=2+i，z2=a+3i（a∈R），z1•z2是实数，则|z1+z2|=．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【专题】11：计算题．【分析】利用复数的运算法则和复数模的计算公式即可得出．【解答】解：z1•z2=（2+i）（a+3i）=2a﹣3+（6+a）i是实数，∴6+a=0，解得a=﹣6．∴z2=﹣6+3i．∴z1+z2=（2+i）+（﹣6+3i）=﹣4+4i．∴|z1+z2|=|﹣4+4i|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则和复数模的计算公式，属于基础题．8．（4分）二项式的展开式中，含x3的项的系数是﹣126．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的含x3项的系数．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r=•x18﹣2r•（﹣1）r•x+1﹣r=（﹣1）r••x18﹣3r，令18﹣3r=3，求得r=5，故含x3的项的系数是﹣=﹣126，故答案为：﹣126．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9．（4分）在锐角△ABC中，AC=4，BC=3，三角形的面积等于，则AB的长为．【考点】%H：三角形的面积公式；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将AC与BC，以及已知面积代入求出sinC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosC的值代入即可求出AB的长．【解答】解：∵在锐角△ABC中，AC=b=4，BC=a=3，三角形的面积等于3，∴absinC=3，即sinC=，∵C为锐角，∴cosC==，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=16+9﹣12=13，解得：AB=c=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．10．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于15π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】根据圆锥的体积计算出圆锥的高，以及圆锥的母线，进而求出圆锥的侧面积．【解答】解：设圆锥的高为h，底面半径为r，∵圆锥的底面半径为3，体积是12π，∴，即h=4，∴圆锥的母线长l=，∴圆锥的侧面积S=πrl=3×5π=15π，故答案为：15π．【点评】本题主要考查圆锥的体积和侧面积的计算，要求熟练掌握圆锥的体积和侧面积公式．11．（4分）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ（结果用最简分数表示）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，结合变量对应的事件写出分布列当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，求出期望．【解答】解：用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，∴Eξ=0×=．故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这是近几年经常出现的一个问题，可以作为解答题出现，考查的内容通常是以分布列和期望为载体，有时要考查其他的知识点．12．（4分）用|S|表示集合S中的元素的个数，设A、B、C为集合，称（A，B，C）为有序三元组．如果集合A、B、C满足|A∩B|=|B∩C|=|C∩A|=1，且A ∩B∩C=∅，则称有序三元组（A，B，C）为最小相交．由集合{1，2，3，4}的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为96．【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【专题】11：计算题；23：新定义．【分析】根据定义，确定满足条件的集合A，B，C的元素情况即可求出结果．要对集合{1，2，3，4}的子集进行讨论．【解答】解：∵|A∩B|=|B∩C|=|C∩A|=1，∴设A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}，∵A∩B∩C=∅，且x，y，z∈{1，2，3，4}，∴①集合{1，2，3，4}中的子集含有4个元素时，∴从1，2，3，4四个元素选3个有=4种方法，将3个元素进行全排列有=3×2=6种，剩余的一个元素可以分别放入集合A，B，C，有3种，∴此时共有3×4×6=72种．②集合{1，2，3，4}中的子集含有3个元素时，满足集合A，B，C中都只有一个元素．∴从1，2，3，4四个元素选3个有=4种方法，将3个元素进行全排列有=3×2=6种，∴此时共有4×6=24种．综上共有72+24=96个．故答案为：96．【点评】本题主要考查集合的关系的应用，正确理解新定义是解决本题关键，利用排列组合的知识是解决本题的突破点．注意要讨论集合为4元素集和3元素集时的取值情况．13．（4分）已知函数y=f（x），x∈N*，y∈N*，对任意n∈N*都有f[f（n）]=3n，且f（x）是增函数，则f（3）=6．【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】令f（1）=a，由条件求得而a=2，即f（1）=2．而由f（a）=3知，f（2）=3，于是得到f（3）=f（f（2））=3×2．【解答】解：令f（1）=a，∵对任意n∈N*都有f[f（n）]=3n，故有a≠1，否则，可得f[f（1）]=f（1）=1，这与f[f（1）]=3×1=3矛盾．从而a＞1，而由f（f（1））=3，即得f（a）=3．∵f（x）是增函数，∴f（a）＞f（1）=a，即a＜3，于是得到1＜a＜3．又a∈N*，从而a=2，即f（1）=2．而由f（a）=3知，f（2）=3．于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，故答案为：6．【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，求出a=2，是解题的关键，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分24分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.14．（6分）设a，b∈R，a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．a2＞ab D．2a＞2b【考点】72：不等式比较大小．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】考察指数函数y=2x在R上单调递增，利用已知a＞b即可得出．【解答】解：考察指数函数y=2x在R上单调递增，∵a＞b，∴2a＞2b．故选：D．【点评】本题考查了指数函数的单调性，属于基础题．15．（6分）方程log5x=|sinx|的解的个数为（）A．1B．3C．4D．5【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】设函数y=log5x和y=|sinx|，在坐标系中分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数确定方程根的个数．【解答】解：∵log5x=|sinx|，∴设函数y=log5x和y=|sinx|，在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：∵当log5x=|sinx|=1，∴x=5，∴由图象可知两个函数的交点个数为3个．故方程根的个数为3．故选：B．【点评】本题主要考查方程根的个数的判断，利用方程和函数之间的关系，利用数形结合是解决此类问题的关键．16．（6分）已知函数，则=（）A．2010B．2011C．2012D．2013【考点】3M：奇偶函数图象的对称性；3T：函数的值．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由函数的解析式可得f（x）+f（）=1，则要求的式子即f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）+…+[f（2014）+f（）]，从而求得结果．【解答】解：∵已知函数，∴f（）==，∴f（x）+f（）=1．则=f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）+…+[f（2014）+f（）]=+1+1+…+1=+2013×1=2013，故选：D．【点评】本题主要考查求函数的值，得到f（x）+f（）=1，是解题的关键，属于中档题．17．（6分）如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点，若，则（）A．0＜m+n＜1B．m+n＞1C．m+n＜﹣1D．﹣1＜m+n＜0【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】不妨取∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC=60°，此时四边形AOBC为菱形，可得=+，求出m，n，从而可得到选项．【解答】解：∵点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点，∴不妨取∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC=60°，此时四边形AOBC为菱形，则=+，又∵，∴m=n=1，则m+n=2，从而可排除A，C，D选项，故选：B．【点评】本题主要考查了平面向量的几何意义，平面向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，排除法解选择题，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2（1）求证：AC⊥SB；（2）求二面角C﹣SA﹣D的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）连接BD，证明AC⊥平面SBD，即可证明AC⊥SB；（2）设SA的中点为E，连接DE、CE，证明∠CED是二面角C﹣SA﹣D的平面角，即可求二面角C﹣SA﹣D的大小．【解答】（1）证明：连接BD，∵SD⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD∴AC⊥SD …（4分）又四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD∴AC⊥平面SBD∴AC⊥SB．…（6分）（2）解：设SA的中点为E，连接DE、CE，∵SD=AD，CS=CA，∴DE⊥SA，CE⊥SA．∴∠CED是二面角C﹣SA﹣D的平面角．…（9分）∵SD=AD=2，∴DE=，CE=，CD=2，∴CD⊥DE，∴，∴∴所求二面角的大小为．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．19．（14分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D（分贝）由公式D=algI+b（a、b为非零常数）给出，其中I （W/cm2）为声音能量．（1）当声音强度D1，D2，D3满足D1+2D2=3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为10﹣13W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10﹣12W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．【考点】4H：对数的运算性质；5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】12：应用题．【分析】（1）将对应的声音能量I1，I2，I3代入公式D=algI+b，根据满足D1+2D2=3D3建立等量关系，最后根据指数的运算性质可求出所求；（2）根据声音能量为10﹣13W/cm2时，声音强度为30分贝，声音能量为10﹣12W/cm2时，声音强度为40分贝，建立关于a，b的方程组，解之即可求出公式D=algI+b的解析式，最后根据一般人在100分贝～120分贝的空间内建立不等式，解之即可．【解答】解：（1）∵D1+2D2=3D3，∴algI1+b+2（algI2+b）=3（algI3+b），∴lgI1+2lgI2=3lgI3，∴I1•=；（2）由题意得，解得：，∴100＜10lgI+160＜120，解得：10﹣6＜I＜10﹣4，答：当声音能量I∈（10﹣6，10﹣4）时，人会暂时性失聪．【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．20．（14分）如图，设是单位圆上一点，一个动点从点A出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B，t秒时动点到达点P．设P（x，y），其纵坐标满足．（1）求点B的坐标，并求f（t）；（2）若0≤t≤6，求的取值范围．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）根据三角函数定义求出函数f（x）的表达式，然后求点B的坐标，并求f（t）；（2）若0≤t≤6，利用向量数量积的定义即可求的取值范围．【解答】解：（1）当t=2时，，∴∴，点B的坐标是（0，1）…（2分）又t秒时，…（4分）∴．…（6分）（2）由，B（0，1），得，又，∴，…（8分）∴==…（10分）∵0≤t≤6，∴，∴…（12分）∴，的取值范围是…（14分）【点评】本题主要考查三角函数的定义和性质，以及平面向量的数量积运算，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，考查学生的运算能力．21．（16分）已知实数a＞0，函数．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）当a=1时，判断f（x）的单调性，并说明理由；（3）求实数a的范围，使得对于区间上的任意三个实数r、s、t，都存在以f（r）、f（s）、f（t）为边长的三角形．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3H：函数的最值及其几何意义；3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）判断f（x）的定义域为（﹣1，1），且f（x）为偶函数，a=1时，化简函数，即可求f（x）的最小值；（2）先化简函数，得出函数的单调性，再利用定义进行证明；（3）换元，原问题等价于求实数a的范围，使得在区间上，恒有2y min ＞y max．【解答】解：由题意，f（x）的定义域为（﹣1，1），且f（x）为偶函数．（1）a=1时，…（2分）∴x=0时，最小值为2．…（4分）（2）a=1时，∴x∈[0，1）时，f（x）递增；x∈（﹣1，0]时，f（x）递减；…（6分）由于f（x）为偶函数，∴只对x∈[0，1）时，说明f（x）递增．设0≤x1＜x2＜1，∴，得∴x∈[0，1）时，f（x）递增；…（10分）（3）设，则∵，∴，∴从而原问题等价于求实数a的范围，使得在区间上，恒有2y min＞y max．…（11分）①当时，在上单调递增，∴，由2y min＞y max得，从而；…（12分）②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴，由2y min＞y max得，从而；…（13分）③当时，在上单调递减，在上单调递增，∴y min=2，y max=a+1，由2y min＞y max得，从而；…（14分）④当a≥1时，在上单调递减，∴，由2y min＞y max得，从而；…（15分）综上，．…（16分）【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查学生分析转化问题的能力，属于难题．22．（18分）设项数均为k（k≥2，k∈N*）的数列{a n}、{b n}、{c n}前n项的和分别为S n、T n、U n．已知集合{a1，a2，…，a k，b1，b2，…，b k}={2，4，6，…，4k﹣2，4k}．（1）已知，求数列{c n}的通项公式；（2）若（1≤n≤k，n∈N*），试研究k=4和k≥6时是否存在符合条件的数列对（{a n}，{b n}），并说明理由；（3）若，对于固定的k，求证：符合条件的数列对（{a n}，{b n}）有偶数对．【考点】8H：数列递推式．【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由，分别求出n=1时c1的值和n≥2时数列{c n}的通项，验证c1后写出数列{c n}的通项公式；（2）由，取n=1时得到a1﹣b1=S1﹣T1=4，写出n≥2时的a n﹣b n，然后验证n=4时存在符合条件的数列对，当n≥6时，借助于不等式放缩及二项式定理可说明不存在符合条件的数列对；（3）令d n=4k+2﹣b n，e n=4k+2﹣a n（1≤n≤k，n∈N*），易验证a n，b n与d n，c n 分别成对满足条件，当a n与d n交换时得到矛盾式子，说明符合条件的数列对（{a n}，{b n}）有偶数对．【解答】解：（1）已知，当n=1时，c1=U1=4．当n≥2时，，经验证c1=4不适合上式，故；（2），当n=1时，a1﹣b1=S1﹣T1=4，当n≥2时，a n﹣b n=（S n﹣S n﹣1）﹣（T n﹣T n﹣1）=（S n﹣T n）﹣（S n﹣1﹣T n﹣1）=2n+2n﹣2（n﹣1）﹣2n﹣1=2+2n﹣1，当k=4时，a1﹣b1=4，a2﹣b2=4，a3﹣b3=6，a4﹣b4=10，{a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4}={2，4，6，8，10，12，14，16}数列{a n}、{b n}可以为（不唯一）：①6，12，16，14；2，8，10，4；②16，10，8，14；12，6，2，4．当k≥6时，==（k﹣1）（k﹣4）+4k＞4k此时a k不存在．故数列对（{a n}，{b n}）不存在；（3）令d n﹣e n=（4k+2﹣b n）﹣（4k+2﹣a n）=a n﹣b n=2n，又{a1，a2，…，a k，b1，b2，…，b k}={2，4，6，…，4k}，得{4k+2﹣a1，4k+2﹣a2，…，4k+2﹣a k，4k+2﹣b1，4k+2﹣b2，…，4k+2﹣b k}={2，4，6，…，4k}，∴数列对（{a n}，{b n}）与（{d n}，{e n}）成对出现．假设数列{a n}与{d n}相同，则由d2=4k+2﹣b2=a2及a2﹣b2=4，得a2=2k+3，b2=2k﹣1，均为奇数，矛盾．故符合条件的数列对（{a n}，{b n}）有偶数对．【点评】本题考查了数列递推式，是性定义题，解答的关键是对题意的理解，属有一定难度题目．。

2014届上海市高三年级检测试卷（3月）数学（理）一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.设复数121,2z i z bi =+=+，若12z z 为纯虚数，则实数b = 2.函数21(0)y x x =-<的反函数为 3.设函数()[)()⎩⎨⎧∞-∈-+∞∈-=1,,2,1,222x x x x x x f ，则函数)(x f y =的零点是4.圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为 2cm 5.双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r =6.若(54)nx +展开式中各项二项式系数之和为n a，2(3n x +展开式中各项系数之和为n b ，则2lim34n nn n na b a b →∞-+=7.设0,0),0,(),1,(),2,1(>>-=-=-=b a b a ，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值是8.以极坐标系中的点 1 , 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆的极坐标方程是9.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中{},1,2,3,4,5,6a b ∈，若1a b -≤，就称甲乙“心有灵犀”. 现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为10.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()221a b c bc-+=-，且4AC AB ⋅=-，则ABC ∆的面积等于11.已知函数f (x )=1522-+x x ，定义域是),](,[Z b a b a ∈，值域是[]0,15-，则满足条件的整数对),(b a 有对12.已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++= 13.如图都是由边长为1的正方体叠成的图形例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位．依此规律，则第n 个图形的表面积是__________个平方单位．14.设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，，． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]510-，内公共点的个数为 二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分． 15.设函数()f x =，集合{}{}(),()A x y f x B y y f x ====，则右图中阴影部分表示的集合为A ．[0,3]B ．(0,3)C ．(5,0][3,4)-D ．[5,0)(3,4]- 16.若ABC ∆为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是A.0sin cos log cos >B A CB.0cos cos log cos >B A CC.0sin sin log sin >B A CD.0cos sin log sin >BAC 17.把函数)6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．4π=x18. 三位同学合作学习，对问题“已知不等式222xy ax y ≤+对于[][]1,2,2,3x y ∈∈恒成立,求a 的取值范围”提出了各自的解题思路.甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”. 乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析”. 丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”.参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a 的取值范围是.A []1,6- .B [1,4)- .C ),1[+∞- .D [1,)+∞三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19.（本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）半径为1的球面上有A,B,C 三点，其中A 和B 的球面距离，A 和C的球面距离是3π （1）求球心O 到平面ABC 的距离(2）求二面角B —AC —O 的大小20.(本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)已知ABC △的面积为，且满足20≤⋅<→→AC AB ，设→AB 和→AC 的夹角为θ． （1）求θ的取值范围； （2）求函数2()2sin cos(2)46f πθθθ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭π的最大值及取得最大值时的θ值．21.（本题满分14分；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ）我们用},,,min{21n s s s 和},,,max{21n s s s 分别表示实数n s s s ,,,21 中的最小者和最大者． （1）设}cos ,min{sin )(x x x f =，}cos ,max{sin )(x x x g =，]2,0[π∈x ，函数)(x f 的值域为A ，函数)(x g 的值域为B ，求B A ；（2）数学课上老师提出了下面的问题：设1a ，2a ，…，n a 为实数，R x ∈，求函数||||||)(2211n n x x a x x a x x a x f -++-+-= （R x x x n ∈<<< 21）的最小值或最大值．为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则，老师让学生先解决两个特例：求函数|1||1|3|2|)(--+++=x x x x f 和|2|2|1|4|1|)(-+--+=x x x x g 的最值． 学生甲得出的结论是：)}1(),1(),2(min{)]([min f f f x f --=，且)(x f 无最大值． 学生乙得出的结论是：)}2(),1(),1(max{)]([max g g g x g -=，且)(x g 无最小值．请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由；22.（本题满分16分；第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）如图，设点F 是椭圆22221,(0)x y a b a b+=>>的左焦点，MN 为椭圆的长轴,过x 轴上一定点P （当直线AB 垂直于x 轴时除外）做椭圆的割线PAB ，依次交于点B A 、，已知8MN =,FO MF =,MF PM 2=(1) 求椭圆的标准方程(2) 求证：对于任意的割线PAB ，恒有AFM BFN ∠=∠ (3) 求三角形△ABF 面积的最大值．23.（本题满分18分；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分） 已知数列{}n a 满足2*12()n a a a n n +++=∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意给定的*k ∈N ，是否存在*p r ∈N ，（k p r <<）使111k p r a a a ，，成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组）；若不存在，请说明理由； （3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为123,,n n n a a a ．一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.2-2.1)y x =>-3.1,0==x x4.100π5.36.12-7.8 8.2cos 6πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 9.49 10.3211.7 12.100- 13.n n 332+ 14.15二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．15. D 16. A 17.A 18. C三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19.（本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分） （1）由题意知：∠AOC=2π,∠AOB=2π,∠BOC=3π，∴AO ⊥面BOC∵OA=OB=OC=1, ∴，BC=1.∵1||3A OBC OBC V S AO -∆==又13A OBC ABC V S h -∆=⋅（h 为O 到平面ABC 的距离）∵ABC S ∆=∴h =∴球心O 到平面ABC (2）过B 作BE ⊥OC ，∵△BOC 为等边三角形，∴则垂足为OC 的中点。

浦东新区2014年高考预测 数学（文、理）试卷一、填空题（本大题小水满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =，若集合{}2,3A =，则U A ð=_____2. 双曲线221916x y -=的渐近线方程为 . 3.函数()31cos 4sin xx x f =的最大值为_______4.已知直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈，若12l l ⊥，则a =___.5.函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()11y fx -=+的图像一定过点______.6. 已知数列{}n a 为等差数列，若134a a +=，2410a a +=，则{}n a 的前n 项的和n S =_____.7.π，则球的体积为 ____ ． 8.(理) 一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为0.9、0.8，则一小时内有机床需要维护的概率为_____(文) 把3本不同的语文书、7本不同的数学书随机的排在书架上，则语文书排在一起的概率是____小水制作9.设a R ∈，8(1)ax -的二项展开式中含3x 项的系数为7，则2lim()nn a a a →∞+++=L ____．10.(理)在平面直角坐标系xoy 中,若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆3cos C:2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点,则常数a =___.(文) 一个用若干块大小相同的立方块搭成的立体图形，主视图和俯视图是同一图形(如图)，那么搭成这样一个立体图形最少需要 个小立方块． P.F. Productions 后期制作11.(理)已知随机变量ξ的分布列如右表，若3E ξ=，则D ξ=__ ．(文) 已知数据3,4,,,11x y 的均值为6，方差为8，则x y -=____ _.12.在ABC ∆中, 角B 所对的边长6b =,ABC ∆的面积为15,外接圆半径5R =，则ABC ∆的周长为_______第10题13．抛物线24(0)y mx m =>的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，又点(,0)A m -，则PF PA的最小值为 .14.(理)已知函数()f x 的定义域为{}1,2,3，值域为集合{}1,2,3,4的非空真子集，设点()1,(1)A f ，()2,(2)B f ，()3,(3)C f ，ABC ∆的外接圆圆心为M ，且()MA MC MB R +=∈λλu u u r u u u r u u u r，则满足条件的函数()f x 有＿＿个．(文) 已知函数()f x 的定义域为{}1,2,3，值域为集合{}1,2,3,4的非空真子集，设点()A 1,(1)f ，()B 2,(2)f ，()C 3,(3)f ，且()0B A B C A C +⋅=u u r u u u r u u u r ，则满足条件的函数()f x 有＿＿个．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. “1x >”是“11x<”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件16. （理）已知z x yi =+，,x y R ∈， i 是虚数单位.若复数+1zi i+是实数，则z 的最小值为( ) 小水制作（A ）0（B ）52（C ） 5（D （文）设x 、y 均是实数，i 是虚数单位，复数(2)(52)i x y x y -+--的实部大于0，虚部不小于0，则复数z x yi ＝＋在复平面上的点集用阴影表示为下图中的（ ）17.能够把椭圆2214x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是．．椭圆的“可分函数”为（ ）P.F. Productions 后期制作 （A ）3()4f x x x =+（B ）5()ln5x f x x -=+（C ）()arctan 4x f x =（D ）()x xf x e e -=+ 18. （理）方程27lg(100)(||200)(||202)2x x x -=---的解的个数为（ ） （A ）2（B ）4（C ）6（D ）8（文）方程2lg 4(||200)(||202)x x x =---的解的个数为（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.（理）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11AA AB AC ===，4ABC π∠=，D 、M 、N 分别是1CC 、11A B 、BC 的中点.（1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小； （2）求点M 到平面ADN 之间的距离.（文）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11AA AB AC ===，4ABC π∠=，D 是1CC 的中点，点M 在P.F. Productions 后期制作线段11A B 上.（1）当M 为11A B 中点时，求异面直线DM 与AB 所成角的大小.（2）指出直线1CC 与平面MAB 的位置关系（不用证明），并求三棱锥D MAB -的体积. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.如图，ABCD 是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A 处同时出发，沿直线AP 、AQ 向前联合搜索，且4PAQ π∠=（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），搜索区域为平面四边形APCQ 围成的海平面.设PAB θ∠=，搜索区域的面积为S . （1）试建立S 与tan θ的关系式，并指出θ的取值范围； （2）求S 的最大值，并求此时θ的值.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. （理）已知定义在小水R 上的函数)(x f ，对任意实数21,x x 都有1212()1()()f x x f x f x +=++，且(1)1f =.（1）若对任意正整数n ，有112n n a f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求1a 、2a 的值，并证明{}n a 为等比数列； （2）设对任意正整数n ，有1()n b f n =．若不等式P.F. Productions 后期制作 12226log (1)35n n n b b b x +++++>+ 对任意不小于2的正整数n 都成立，求实数x 的取值范围．（文）已知定义在*N 上的函数)(x f ，对任意正整数1n 、2n ，都有BCAQP1212()1()()f n n f n f n +=++，且(1)1f =.（1）若对任意正整数n ，有(2)1n n a f =+，求1a 、2a 的值，并证明{}n a 为等比数列； （2）若对任意正整数n ，()f n 使得不等式2()3log (1)28n f n x <+恒成立，求实数x 的取值范围．22.（本题满分16分）本题学科网真没用共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.（理）已知中心在原点O ，左焦点为1(1,0)F -的椭圆1C 的左顶点为A ，上顶点为B ，1F 到直线AB的距离为||7OB . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 过点(3,0)P 作直线l ，使其交椭圆1C 于R 、S 两点，交直线1x =于Q 点. 问：是否存在这样的直线l ，使||PQ 是||PR 、||PS 的等比中项？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.(3) 若椭圆1C 方程为：22221x y m n+=（0m n >>），椭圆2C 方程为：2222x y m n λ+=（0λ>，且1λ≠），则称椭圆2C 是椭圆1C 的λ倍相似椭圆.已知2C 是椭圆1C 的3倍相似椭圆，若直线y kx b =+与两椭圆1C 、2C 交于四点(依次为P 、Q 、R 、S )，且2PS RS QS +=，试研究动点(,)E k b P.F. Productions 后期制作的轨迹方程.（文）定义区间),(d c ，),[d c ，],(d c ，],[d c 的长度均为c d -，其中c d >．（1）已知函数21xy =-的定义域为[],a b ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，写出区间[],a b 长度的最大值与最小值.（2）已知函数()2sin f x x =，将函数()y f x =的图像的每点横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移8π个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]ab（,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有2014个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求区间[,]a b 长度的最小值．（3）已知函数()M f x 的定义域为实数集[2,2]D =-,满足(),,M x x Mf x x x M ∈⎧=⎨-∉⎩(M 是D 的非空真子集) . 集合[]1,2A =,[]2,1B =-- ,求()()()()3A B A B f x F x f x f x =++ 的值域所在区间长度的总和．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.（理）定义区间),(d c ，),[d c ，],(d c ，],[d c 的长度均为c d -，其中c d >．（1）已知函数21xy =-的定义域为[],a b ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，写出区间[],a b 长度的最大值与最小值.（2）已知小水制作函数()M f x 的定义域为实数集[2,2]D =-,满足(),,M x x Mf x x x M ∈⎧=⎨-∉⎩(M 是D 的非空真子集) . 集合[]1,2A =,[]2,1B =-- ,求()()()()3A B A B f x F x f x f x =++ 的值域所在区间长度的总和．（3）定义函数1234()11234f x x x x x =+++-----，判断函数()f x 在区间(2,3)上是否有零点，并求不等式()0f x >解集区间的长度总和．（文）已知中心在原点O ，左焦点为1(1,0)F -的椭圆C 的左顶点为A ，上顶点为B ，1F 到直线AB的距离为||7OB . (1) 求椭圆C 的方程；(2) 过(3,0)P 的直线l 交椭圆C 于R 、S 两点，交直线1x =于Q 点，若||PQ 是||PR 、||PS 的等比中项，求直线l 的方程；小水 (3) 圆D 以椭圆C 的两焦点为直径，圆D 的任意一条切线m 交椭圆C 于两点M 、N ，试求弦长||MN 的取值范围.参考答案（供参考）一、填空题 1. {}1,4,5 2. 43y x =± 3. 5 4.135. (2,3)-6. 23522n n - 7.323π8. (理) 0.98 (文) 1159. 13- 10. (理) 3 (文) 511. (理) 1 (文) 212. 6+13.14. (理) 12 (文) 20二、选择题 15. A16. (理) D (文) A17. D18. (理) B (文) C三、简答题19. 解：（1）设AB 的中点为E ，连接EN ，则//EN AC ，且12EN AC =，所以MNE ∠或其补角即为异面直线MN 与AC 所成的角。

上海市各区2014届高三数学（理科）一模试题分类汇编函数 2014.01.23（浦东新区2014届高三1月一模，理）6.已知函数的反函数为，则11()24x x f x -=1()f x -___________.1(12)f -=（ 6. 2log 3（杨浦区2014届高三1月一模，理）6．若函数的反函数为，则 ．()23-=x x f ()x f 1-()=-11f 6. 1 ； （（嘉定区2014届高三1月一模，理）1．函数的定义域是_____________．)2(log 2-=x y 1． ),2(∞+（徐汇区2014届高三1月一模，理）7. 若函数()f x 的图像经过(0,1)点，则函数()3f x +的反函数的图像必经过点.长宁区2014届高三1月一模，理）1、设是上的奇函数，当时，，则 ()x f R 0≤x ()x x x f -=22()=1f 1、 3-（浦东新区2014届高三1月一模，理）17.已知函数则,1)(22+=x x x f （ ）()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L (A) 2010 (B) 2011 (C) 2012 (D) 2013 21212121 17. D （普陀区2014届高三1月一模，理）6. 函数)1(log )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数 .=-)(1x f 6. （不标明定义域不给分）； =-)(1x f )0(21≤+x x（嘉定区2014届高三1月一模，理）13．已知函数是偶函数，直线⎪⎧≥++=,0,12)(2x x ax x f 与函数的图像自左t y =)(x f至右依次交于四个不同点、、、，若，则实数的值为________．A B C D ||||BC AB =t 13． 47（嘉定区2014届高三1月一模，理）3．已知函数存在反函数，若函数的)(x f y =)(1x f y -=)1(-=x f y 图像经过点，)1,3(则的值是___________．)1(1-f 3． 2（杨浦区2014届高三1月一模，理）8. 已知函数，若，则 ()lg f x x =()1f ab =22()()f a f b +=_________.8. 2；（浦东新区2014届高三1月一模，理）14. 已知函数，对任意都有**(),,y f x x y =∈∈N N *n ∈N ，且是增函数，则 [()]3f f n n =()f x (3)f =14.6（长宁区2014届高三1月一模，理）3、已知函数的图像关于直线对称，则5()2x f x x m -=+y x =m =3、 1-（普陀区2014届高三1月一模，理）14.已知函数，若方程有且仅有两⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x 0)(=+x x f 个解，则实数的取值范围是 .a 14.；2<a （徐汇区2014届高三1月一模，理）14. 定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->.已知实数(),a b a b >.则满足111x a x b +≥--的x 构成的区间的长度之和为 .14. 2（杨浦区2014届高三1月一模，理）18．定义一种新运算：，已知函数,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，若函数24()(1log f x x x =+⊗ 恰有两个零点，则的取值范围为 ………（ ）.()()g x f x k =-k ． ． ． ． )(A (]1,2)(B (1,2))(C (0,2))(D (0,1)18.理B ；（嘉定区2014届高三1月一模，理）18．设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数)(x f D D b a ⊆],[满足：①)(x f )(x f 在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函],[b a )(x f ],[b a ]2,2[b a ],[b a 数的“和谐区间”．下列结论错误的是………………………………………（ ）)(x f A ．函数（）存在“和谐区间”2)(x x f =0≥x B ．函数（）不存在“和谐区间”x e x f =)(R ∈x C ．函数）存在“和谐区间”14)(2+=x x x f (0≥x D ．函数（，）不存在“和谐区间”⎪⎭⎫ ⎝⎛-=81log )(x a a x f 0>a 1≠a 18．D （长宁区2014届高三1月一模，理）18、函数的定义域为，值域为，变动时，方程表示的图形可2x y =[,]a b [1,16]a ()b g a =以是 （）A ．B ．C ．D ．18、B （普陀区2014届高三1月一模，理）23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.定义在上的函数，如果对任意，恒有（，）成()0,+∞()f x ()0,x ∈+∞()()f kx kf x =2k ≥*k N ∈立，则称为阶缩放函数.()f x k （1）已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求的值；()f x (]1,2x ∈()121log f x x=+(f （2）已知函数为二阶缩放函数，且当时，()f x (]1,2x ∈()f x =在上无零点；()y f x x =-()1,+∞（3）已知函数为阶缩放函数，且当时，的取值范围是，求在()f x k (]1,x k ∈()f x [)0,1()f x （）上的取值范围.(10,n k +⎤⎦n N ∈23. （本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.解：（1）由得，………………2分]2,1(2∈212log 1)2(21=+=f 由题中条件得……………………4分1212)2(2)22(=⨯==f f （2）当（）时，，依题意可得：]2,2(1+∈i i x i N ∈(]1,22i x ∈分()222222222i i x x x f x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 方程或，与均不属于……8分0)(=-x x f ⇔x =⇔0x =2i x =0i 2]2,2(1+i i 当（）时，方程无实数解。

上海市浦东新区2014年高考预测（二模）数学（理）试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 已知全集{}U=1,2,3,4,5，若集合{}A=2,3，则U A ð={}1,4,52. 双曲线221916x y -=的渐近线方程为43y x =±. 3.函数()31cos 4sin xx x f =的最大值为54.已知直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈，若12l l ⊥，则a =13. 5.函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()11y f x -=+的图像一定过点(2,3)-.6. 已知数列{}n a 为等差数列，若134a a +=，2410a a +=，则{}n a 的前n 项的和n S =23522n n -. 7.π，则球的体积为323π． 8.(理) 一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为0.9、0.8，则一小时内有机床需要维护的概率为0.989.设a R ∈，8(1)ax -的二项展开式中含3x 项的系数为7，则2lim()n n a a a →∞+++=L 13-． 10.(理)在平面直角坐标系xoy 中,若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆3cos C:2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点,则常数a =_3__.11.(理)已知随机变量ξ的分布列如右表，若3E ξ=，则D ξ=__1 ．12.在ABC ∆中, 角B 所对的边长6b =,ABC ∆的面积为15,外接圆半径R 5=，则ABC ∆的周长为6+13．抛物线24(0)y mx m =>的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，又点A(,0)m -，则PF PA的最小值为2. 14.(理)已知函数()f x 的定义域为{}1,2,3，值域为集合{}1,2,3,4的非空真子集，设点()A 1,(1)f ，()B 2,(2)f ，()C 3,(3)f ，ABC ∆的外接圆圆心为M ，且MA MC MB()R λλ+=∈u u u r u u u r u u u r，则满足条件的函数()f x 有＿12＿个．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. “1x >”是“11x<”的( A ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 16. （理）已知z x yi =+，,x y R ∈， i 是虚数单位.若复数+1zi i+是实数，则z 的最小值为( D )（A ）0 （B ）52（C ） 5 （D17.能够把椭圆2214x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是．．椭圆的“可分函数”为（ D ） （A ）3()4f x x x =+（B ）5()ln 5x f x x -=+（C ）()arctan 4xf x =（D ）()x x f x e e -=+ 18. （理）方程27lg(100)(||200)(||202)2x x x -=---的解的个数为（ B ） （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分. （理）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11AA AB AC ===，4ABC π∠=，D 、M 、N 分别是1CC 、11A B 、BC 的中点.（1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小；（2）求点M 到平面ADN 之间的距离. 解：（1）设AB 的中点为E ，连接EN ，则//EN AC ，且E12EN AC =，所以MNE ∠或其补角即为异面直线MN 与AC 所成的角。