高等数学极限习题集500道
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高数极限基础练习题一、选择题(每题3分,共15分)1. 极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x}\) 的值为:A. 0B. 1C. 2D. 无穷2. 函数 \( f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x}) \) 在 \( x = 0 \) 处的极限为:A. 0B. 1C. 无定义D. \( \frac{\pi}{2} \)3. 函数 \( g(x) = \frac{\sin x}{x} \) 在 \( x = \pi \) 处的极限为:A. 0B. 1C. \(\frac{1}{\pi}\)D. \(-1\)4. 极限 \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{n^2}{e^n}\) 的值为:A. 0B. 1C. 无穷D. \(\frac{1}{2}\)5. 函数 \( h(x) = \frac{1}{1+x^2} \) 在 \( x = 2 \) 处的极限为:A. \(\frac{1}{5}\)B. \(\frac{1}{4}\)C. \(\frac{1}{3}\)D. \(\frac{1}{2}\)二、填空题(每空2分,共20分)6. 极限 \(\lim_{{x \to 1}} (x^2 - 1)\) 等于______。
7. 函数 \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) 在 \( x = e \) 处的极限为______。
8. 极限 \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{\sin x}{x}\) 存在,其值为______。
9. 函数 \( g(x) = x - \tan^{-1}(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的极限为______。
10. 极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{e^x - 1}{x}\) 的值为______。
三、计算题(每题10分,共30分)11. 计算极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\ln(1+x)}{x}\)。
极限练习题含答案极限是数学分析中的一个重要概念,它描述了当自变量趋近于某个值时,函数值的行为。
下面是一些极限练习题及其答案,供同学们学习和练习。
练习题1:求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]答案1:根据洛必达法则或者直接使用三角函数的性质,我们可以知道:\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]练习题2:求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 - 3x + 2} \]答案2:分子和分母同时除以\( x^2 \),得到:\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} +\frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = 3 \]练习题3:求极限\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} \]答案3:这是e的极限定义,即:\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e \]练习题4:求极限\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \]答案4:这是一个无穷小量的倒数,当\( x \)趋近于1时,\( x - 1 \)趋近于0,所以:\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \text{ 不存在} \]练习题5:求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} \]答案5:分子分母同时除以\( \sin x \),得到:\[ \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1 =\frac{2}{3} \]练习题6:求极限\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x \]答案6:使用洛必达法则或者直接利用三角函数的性质,我们可以得到:\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \]练习题7:求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \]答案7:当\( x \)趋近于无穷大时,\( \sin x \)的值在-1和1之间波动,但相对于\( x \)来说,它趋近于0,所以:\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \]练习题8:求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \]答案8:这是e的导数的极限定义,即:\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]以上练习题和答案可以帮助同学们更好地理解和掌握极限的概念和求解方法。
极限简单练习题(打印版)一、选择题(每题10分,共50分)1. 函数f(x) = x^2在x=0处的极限是:A. 0B. 1C. 2D. 不存在2. 以下哪个函数在x趋向于无穷大时的极限是无穷大?A. f(x) = 1/xB. f(x) = x^2C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^(-x)3. 函数f(x) = (x^3 - 3x^2 + 2) / (x^2 - 1)的极限,当x趋向于1时,其值是:A. 0B. 1C. 2D. 不存在4. 若函数f(x)在x=a处连续,则:A. f(a)存在B. lim(x→a) f(x)存在C. f(a) = lim(x→a) f(x)D. 以上都正确5. 函数f(x) = sin(x)在x=0处的导数是:A. 0B. 1C. -1D. 不存在二、填空题(每题10分,共30分)1. 函数f(x) = x^2在x=1处的导数是______。
2. 若函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1,其在x=0处的极限是______。
3. 函数f(x) = 1/x在x趋向于0时的极限是______。
三、解答题(每题20分,共20分)1. 求函数f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2)在x趋向于2时的极限,并说明理由。
答案:一、选择题1. A2. B3. C4. D5. B二、填空题1. 22. 13. ∞三、解答题函数f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2)在x趋向于2时的极限为2。
这是因为我们可以将函数简化为f(x) = (x+2)(x-2) / (x-2),当x不等于2时,分子和分母中的(x-2)可以相互抵消,得到f(x) = x + 2。
因此,当x趋向于2时,极限为2 + 2 = 4。
【最新整理,下载后即可编辑】.求证:存在,且,=时,设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim )()(11110x x x x x x o o x x 答( ) .. . . .是等价无穷小,则与时,若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x( ) 答 阶的是时,下述无穷小中最高当xx D x C x B x A x sin 11cos 1022----→[]之值.求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n .求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n .求极限)11ln()21(lim nn n ++∞→ _____________sin 1lim 3202=--→的值xx x e x x.及求证:,,设有数列n n n n n n n nn n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221.及,求记:, .,设n n n n nn n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=>>==lim lim 112)0(111221求极限之值.lim ()cos sin x x x xx→+-0212设,;且试证明:.lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x Bu x A A v x Bu x A →→→=>==0[] 答( ) . . . .2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答( ) . . . .21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xxx =+→[]的结果.之值,并讨论及求:设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f xx x u x x u_____________69lim 223的值等于---→x x x x.不存在 . . .D C B A e e e e xx xx x 1231234lim =++--∞→答:( )lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在答:( )____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x x x e e x -→- .求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值.lim ()x x xx x →+--+03416125已知:,问?为什么?lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0关于极限结论是: 不存在 答( )limx xeA B C D →+015353054答( ) ,则极限式成立的是,设 )(lim .)()(lim .)()(lim .0)()(lim.)(lim )(lim )(0000∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f是不是无穷大量.时,,问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→= 答( ) 不存在 2.2...0.1arctantan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答( ) 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x 答( ) 不存在 .2.2.2.312lim2D C B A x x x ±-=++∞→___________)0(23)(1=-+=f e x f x,则设 答( ) 不存在 2....0.1cotarc lim 0ππ=→D C B A xxlim cos ln ....x a x xa A B C D →--==0100123,则其中 答( )π____________cos 13lim 20的值等于xxe e x x x ----→lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在 答:()设,其中、为常数.问:、各取何值时,; 、各取何值时,; 、各取何值时,.f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限.lim ()()()()x n nn n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限.lim ()()x x x →∞++32232332[]之值.、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim2241=--+-+-+→之值.,,,试确定常数.,,满足已知d c b a x f x f x x dcx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2)(1223==-++++=→∞→ 之值.,,试确定已知b a x x bx b a x 4313)(lim 1=+-+++→为什么?"上述说法是否正确?,则"若∞=α=α→→)(1lim 0)(lim 00x x x x x x当时,是无穷大,且,证明:当时,也为无穷大.x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()().用无穷大定义证明:+∞=-+→112lim 1x x x .用无穷大定义证明:-∞=+→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明: .用无穷大定义证明:+∞=-+→11lim 01x x"当时,是无穷小"是""的:充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件,亦非必要条件 答( )x x f x A f x A A B C D x x →-=→00()lim ()()()()()若,,但.证明:的充分必要条件是 .lim ()lim ()()lim()()lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-⋅=0000000.其中,:用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a nn . :用数列极限的定义证明)10(1lim 1<<=∞→a a nn .:用数列极限的定义证明2152)2(lim 2=++∞→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→[]之值.求极限3sin 01)(cos limx x xx -→设,试证明:对任意给定的,必存在正数,使得对适含不等式;的一切、,都有成立。
高数极限基础练习题一、数列极限1. 计算下列数列的极限:(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+3}$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 1}{n^2 + 1}$(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + n}}{n + 1}$ 2. 判断下列数列极限是否存在,若存在,求出其极限值:(1) $\lim_{n \to \infty} (1)^n$(2) $\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi)$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$二、函数极限1. 计算下列函数的极限:(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 1}{x 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x 1}{x}$2. 判断下列函数极限是否存在,若存在,求出其极限值:(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$三、无穷小与无穷大1. 判断下列表达式是否为无穷小:(1) $\frac{1}{x^2}$ 当 $x \to \infty$(2) $\sin \frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$(3) $e^{x}$ 当 $x \to \infty$2. 判断下列表达式是否为无穷大:(1) $x^3$ 当 $x \to \infty$(2) $\ln x$ 当 $x \to \infty$(3) $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 当 $x \to 0^+$四、极限运算法则1. 利用极限运算法则计算下列极限:(1) $\lim_{x \to 0} (3x^2 + 2x 1)$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 3x^2 + 2x}{x^2 2x + 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} (x^3 2x^2 + 3)$2. 利用极限的性质,计算下列极限:(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{1}{\cos x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x e^{x}}{2x}$五、复合函数极限1. 计算下列复合函数的极限:(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sqrt{x^2 + 1})}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} 1}{x^2}$2. 判断下列复合函数极限是否存在,若存在,求出其极限值:(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e^x + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 \cos(\sqrt{x})}{x}$六、极限的应用1. 计算下列极限问题:(1) 设 $f(x)2. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$,求 $\lim_{x \to 1} f(x)$。
答( ) .. . . .是等价无穷小,则与时,若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x[]之值.求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n_____________sin 1lim3202=--→的值x x xex x求极限之值.lim ()cos sin x xx xx→+-0212[] 答( ) . . . .2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答( ) . . . .21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xxx =+→_____________69lim 223的值等于---→x x x x.不存在 . . .D C B A e e e e xx xx x 1231234lim =++--∞→答:( )lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在答:( )____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x____________lim 0的值等于xx x e e x-→-.求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值.lim ()x x xx x →+--+03416125关于极限结论是: 不存在 答( )limx xeA B C D →+015353054 答( ) 不存在 2.2...0.1arctantan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答( ) 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x 答( ) 不存在 .2.2.2.312lim2D C B A x x x ±-=++∞→___________)0(23)(1=-+=f e x f x,则设 答( ) 不存在 2....0.1cotarc lim 0ππ=→D C B A xx____________cos 13lim 20的值等于xx e e x x x ----→lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在 答:()设,其中、为常数.问:、各取何值时,; 、各取何值时,; 、各取何值时,.f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限.lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211求极限.lim ()()x x x →∞++32232332之值.,,试确定已知b a x x bx b a x 4313)(lim 1=+-+++→___________)1ln(2)cos(sin 1lim2的值等于x x x +-→ .求极限应用等阶无穷小性质,xx x x )1arctan()1arctan(lim--+→求极限.limx x xx x →+--+0215132limsin ()()()()x x xA B C D →∞=∞10 不存在但不是无穷大 答( )lim sin ()()()()x x xA B C D →∞===∞110之值 不存在但不是无穷大 答( )已知 其中、、、是非常数则它们之间的关系为 答( )limtan (cos )ln()()()()()()()x x A x B x C x D eA B C D A B D B B D C A C C A C →-+--+-===-==-011211022222计算极限lim x x x x x x →-+---23223322计算极限lim ln()cos x x x x e ex x →-⋅+021求.lim x x xx xe e e e →∞---+234.____________)31(lim sin 20=+→xx x计算极限limcos x x xe x →---02112_____________________4sin 3553lim 2=⋅++∞→xx x x ) 答( 穷大的是时,下列变量中,为无当x D x C x B xx A x 1cotarc )(1arctan )(ln )(sin )(0+→答( ) 不存在,但不是无穷大为无穷大 等于 等于 .)( ;)(;2)( ; 0)(2coslim 2D C B A x x x +→ 答( ) , ,, ,,则必有设. 104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(14lim 231=-=-==-=====-+--→A a D A a C A a B A a A A x x ax x x) 答( 不存在但不是无穷大 为等于 等于的极限时,当. )( ; )(;0)( ; 2)(11)(1112D C B A ex x x f x x ∞--=→-求,使a b x x ax b x lim()→∞++-+=32112之值。
数二极限练习题一、基础题(1) lim(x→0) (sin x / x)(2) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(3) lim(x→0) (e^x 1) / x(1) lim(x→0) (1 cos x) / x^2 = 1/2(2) lim(x→π) (sin x / (x π)) = 1二、函数极限题(1) lim(x→+∞) (x √(x^2 + 1))(2) lim(x→∞) (x^3 / e^x)(3) lim(x→0) (x^2 / sin^2 x)(1) lim(x→0) (x^2 sin(1/x))(2) lim(x→1) (x^α 1) / (x 1),其中α为实数三、复合函数极限题(1) lim(x→0) (sin^2 x / x^2)(2) lim(x→0) (tan x x) / x^3(3) lim(x→π/4) (tan(x π/4) / (x π/4))(1) lim(x→0) (sin x x cos x) / x^3(2) lim(x→1) [(x^2 1) / (x 1)]^2 / ln x四、无穷小比较题(1) sin x^2(2) x sin x(3) arctan x x(1) x sin x ≈ x^3/6(2) tan x x ≈ x^3/3(3) e^x 1 x ≈ x^2/2五、极限应用题1. 利用极限求下列函数的导数:(1) f(x) = x^2 sin x(2) f(x) = e^x / (1 + x)2. 讨论函数f(x) = x^α sin(1/x)(α为实数)在x=0处的连续性。
六、极限综合题1. 已知极限lim(x→0) (sin ax / x) = 1,求常数a的值。
2. 设函数f(x)在x=0处可导,且lim(x→0) (f(x) / x) = 1,求f'(0)的值。
3. 已知极限lim(x→0) (e^x ax 1) / x^2 = 0,求常数a的值。
.求证:存在,且,=时,设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim)()(11110x x x x x x o o x x 答( ) .. . . .是等价无穷小,则与时,若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x( ) 答 阶的是时,下述无穷小中最高当x x D x C x B x A x sin 11cos 1022----→[]之值.求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n .求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n .求极限)11ln()21(lim nn n ++∞→ _____________sin 1lim 3202=--→的值xx x e x x .及求证:,,设有数列n n n n n n n n n n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221.及,求记:, .,设n n n n nn n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=>>==lim lim 112)0(111221 求极限之值.lim ()cos sin x x x x x→+-0212设,;且试证明:.lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x B u x A A v x B u x A →→→=>==0000[] 答( ) . . . .2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答( ) . . . .21)21(lim 2sin 0D e C e B A x x x x =+→[]的结果.之值,并讨论及求:设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f x x x u x x u_____________69lim 223的值等于---→x x x x.不存在 . . .D C B A e e e e x x x x x 1231234lim =++--∞→ 答:( )lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在 答:( )____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x x x e e x -→- .求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值.lim ()x x x x x →+--+03416125 已知:,问?为什么?lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0000关于极限结论是: 不存在 答( )lim x x e A B C D →+015353054答( ) ,则极限式成立的是,设 )(lim .)()(lim .)()(lim .0)()(lim .)(lim )(lim )(000000∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f是不是无穷大量.时,,问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→= 答( ) 不存在 2.2...0.1arctan tan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答( ) 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x 答( ) 不存在 .2.2.2.312lim 2D C B A x x x ±-=++∞→___________)0(23)(1=-+=f e x f x ,则设 答( ) 不存在 2....0.1cot arc lim 0ππ=→D C B A xx lim cos ln ....x a x xa A B C D →--==0100123,则其中 答( )π____________cos 13lim 20的值等于x x e e x x x ----→lim (cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在 答:( )设,其中、为常数.问:、各取何值时,; 、各取何值时,; 、各取何值时,.f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限.lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限.lim ()()x x x →∞++32232332[]之值.、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim 2241=--+-+-+→之值.,,,试确定常数.,,满足已知d c b a x f x f x x d cx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2)(1223==-++++=→∞→ 之值.,,试确定已知b a x x bx b a x 4313)(lim 1=+-+++→为什么?"上述说法是否正确?,则"若∞=α=α→→)(1lim 0)(lim 00x x x x x x当时,是无穷大,且,证明:当时,也为无穷大.x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()().用无穷大定义证明:+∞=-+→112lim 1x x x .用无穷大定义证明:-∞=+→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明: .用无穷大定义证明:+∞=-+→11lim 01x x"当时,是无穷小"是""的:充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件,亦非必要条件 答( )x x f x A f x A A B C D x x →-=→00()lim ()()()()()若,,但.证明:的充分必要条件是 .lim ()lim ()()lim ()()lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-⋅=00000000 .其中,:用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a n n . :用数列极限的定义证明)10(1lim 1<<=∞→a a nn .:用数列极限的定义证明2152)2(lim 2=++∞→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→[]之值.求极限3sin 01)(cos lim x x x x -→设,试证明:对任意给定的,必存在正数,使得对适含不等式;的一切、,都有成立。
.求证:存在,且,=时,设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim)()(11110x x x x x x o o x x 答( ) .. . . .是等价无穷小,则与时,若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x( ) 答 阶的是时,下述无穷小中最高当xx D x C x B x A x sin 11cos 1022----→[]之值.求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n .求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n .求极限)11ln()1(lim n n ++∞→_____________sin 1lim 3202=--→的值xx x e x x.及求证:,,设有数列n n n n n n n nn n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221.及,求记:, .,设n n n n nn n n n n n n x y x x y x x x a b b x a x ∞→∞→++++-==>>==lim lim 112)0(111221求极限之值.lim ()cos sin x x x xx →+-0212设,;且试证明:.lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x Bu x A A v x Bu x A →→→=>==0[] 答( ) . . . .2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答( ) . . . .21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xx x =+→[]的结果.之值,并讨论及求:设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f xx x u x x u_____________69lim 223的值等于---→x x x x.不存在 . . .D C B A e e e e xx xx x 1231234lim =++--∞→答:( )lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在答:( )____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x x x e e x -→- .求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值.lim ()x x x x x →+--+03416125已知:,问?为什么?lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0关于极限结论是: 不存在 答( )limx xeA B C D →+015353054答( ) ,则极限式成立的是,设 )(lim .)()(lim .)()(lim .0)()(lim.)(lim )(lim )(0000∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f是不是无穷大量.时,,问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→= 答( ) 不存在 2.2...0.1arctantan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答( ) 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x___________)0(23)(1=-+=f e x f ,则设 答( ) 不存在 2....0.1cotarc lim 0ππ=→D C B A xxlim cos ln ....x a x xa A B C D →--==0100123,则其中 答( )π____________cos 13lim 20的值等于xx e e x x x ----→lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在 答:()设,其中、为常数.问:、各取何值时,; 、各取何值时,; 、各取何值时,.f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限.lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限.lim ()()x x x →∞++32232332[]之值.、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim2241=--+-+-+→之值.,,,试确定常数.,,满足已知d c b a x f x f x x dcx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2)(1223==-++++=→∞→ 之值.,,试确定已知b a x x bx b a x 4313)(lim 1=+-+++→为什么?"上述说法是否正确?,则"若∞=α=α→→)(1lim 0)(lim 00x x x x x x当时,是无穷大,且,证明:当时,也为无穷大.x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()().用无穷大定义证明:+∞=-+→112lim 1x x x .用无穷大定义证明:-∞=+→x x ln lim 0+∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明: .用无穷大定义证明:+∞=-+→11lim 01x x .用无穷大定义证明:+∞=-+∞→)4(lim 3x x x .其中用无穷大定义证明:)10( log lim <<-∞=+∞→a x a x[]若当时,、都是无穷小,则当时,下列表示式哪一个不一定是无穷小 答( )x x x x x x A x x B x x C x x D x x →→+++⋅002221αβαβαβαβαβ()().()()()()()()()ln ()()()()()"当,是无穷小量"是"当时,是无穷小量"的充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件,亦非必要条件 答( )x x x x x x A B C D →→00αα()()()()()()"当时,是无穷小"是""的:充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件,亦非必要条件 答( )x x f x A f x A A B C D x x →-=→00()lim ()()()()()若,,但.证明:的充分必要条件是 .lim ()lim ()()lim()()lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-⋅=0000000.其中,:用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a n n . :用数列极限的定义证明)10(1lim 1<<=∞→a ann .:用数列极限的定义证明2152)2(lim2=++∞→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→ []之值.求极限3sin 01)(cos lim xx x x -→[]求极限之值.lim(sin )x xx x x→+-0311____________1)sin (cos lim 220=-+→xx x xx_____________1)21(lim 230=-+→x x x x __________1)sin 1(lim 0=-+→x x x x ______________1)(cos lim 3sin 20=-→xx x x 求极限之值.lim ()x x x x x →∞+--⎡⎣⎢⎤⎦⎥21111.时 试证明:当.时,,且当的某去心邻域内设在)(~)()(~)()()()(0000x u x x x x x x x x x u x x α→βα→β≤≤α<[].求证:存在.,,时,设当A x u x x A x u x x x x x o x x x x x x x x =β-α≠=β-αααα=β→α→→→)()()(lim )0()()()(lim)(~)()()(0)(11000求之值.lim ()()()x x x x →+-+--05721312211[][]设当,,,,均为无穷小,且;,如果试证明:.x x x x x x x x x x x x Ax x x x x x x x x x →=+=+→→→0111111100111ααββααββαβααββ()()()()()~()()~()lim ()()lim ()lim ()()()[]设当,,都是无穷小,且,试证明:.x x x x x x x x x x →≠≠+0001αβαβααββ()()()()()~()()()[][])()(1)(1lim)(1)(1lim)()(lim )(~)()()(11100是正常数式中.试证明:;如果均为无穷小,且与时,设当a x x x x A x x x x x x x x a x x a x x x x β-α+=β-α+=βααααα→→→→.用数列极限的定义证明0!1lim=∞→n n成立.时恒有 存在,使当试证必有正整数.,且设22lim CA x AB N n NC A B A x n n n +<<+><<=∞→{}{}设有两个数列,满足; 为定数.试证明:.x y x y M M x y n n n n n n n n ()lim ()()lim()1020→∞→∞=≤⋅=设,求证:.lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==00求极限lim sinsin x x x x →021[]求极限lim cosln()cosln x x x →+∞+-1 求极限.lim sin x x x →+011求极限.lim arctan x x x x →∞+2112 求极限lim ()x x x e →∞+11 求极限limarctan arcsin x x x →∞⋅1 求极限.lim x x x→-+012122 )sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限[]Ax f Au f u x u x x x u u x x =ϕ=≠ϕ=ϕ→→→)(lim )(lim )()(lim 000试证:,又,且设设试确定实数,之值,使得:当时,为无穷小;当时,为无穷大。
第二章极限与连续一、判断题1. 若)(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→=,则)(x f 必在0x 点连续;()2. 当0x →时,2sin x x +与x 相比是高阶无穷小;()3. 设)(x f 在点0x 处连续,则)(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→=;() 4. 函数21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =点连续;()5. 1=x 是函数122--=x x y 的间断点;()6. ()sin f x x =是一个无穷小量;()7. 当0→x 时,x 与)1ln(2x +是等价的无穷小量;()8. 若)(lim 0x f x x →存在,则)(x f 在0x 处有定义;()9. 若x 与y 是同一过程下两个无穷大量,则x y -在该过程下是无穷小量;()10. 21sin lim 0=+→x x xx ;()11. 01lim sin 1x x x →=;()12. 22lim(1)xx e x -→∞+=;()13. 11,0,,0,,0,481数列收敛2;()14. 当0x +→时,x ;()15. 函数1()cos f x x x =,当x →∞时为无穷大;()16. sin lim 1x xx →∞=;()17. 无穷大量与无穷小量的乘积是无穷小量;()18. ln(1)x +~x ;()19. 1lim sin 1x x x→∞=;() 20. 0tan lim 1x x x→=.() 二、单项选择题1、=+-+-→45127lim 224x x x x x ()A .1B .0 C .∞D .31 2、hx h x 220h )(lim -+→=()。
A.2xB.hC.0D.不存在 3、=+--+∞→2332lim 22x x x x x ()A .∞B .32C .0D .1 4、=+-+++∞→2113lim 2433n n n n n ()A .∞B .43C .0D .1 5、设232,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩,则0lim ()x f x +→=() (A)2(B)0(C)1-(D)2-6、=⎩⎨⎧>+≤-=→)(lim ,0101)(02x f x x x e x f x x 则,,设() (A)1(B)0(C)1-(D)不存在7、=⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=→)(lim ,01020)(02x f x x x x x x f x 则,,,设() (A)2(B)0(C)1(D)不存在8、=--=→)(lim ,11)(1x f x x x f x 则设()A .0B .1 C .1-D .不存在 9、1lim cos x x x→∞=()A.0 B.1C.∞ D.不存在 10、1lim sin x x x→∞=()A.0B.1C.∞D.不存在 11、下列极限正确的是() A.11sin lim =∞→x x x B.11sin lim 0=→x x x ;C.1sin lim =∞→xx x ;D.12sin lim 0=→x x x ; 12、x mx x sin lim 0→(m 为常数)等于()A.0B.1 C.m1D.m3 / 713、n n n x 2sin 2lim ∞→等于()A.0B.1 C.x1D.x 14、=+→)2(2sin lim 0x x x x ( )A.1 B.0 C.∞ D.x 15、=→2x tan3x lim 0x ()A.∞ B.23C.0 D.116、=+∞→x x x )21(lim ( )A.e -2B.e -1 C.e 2D.e17、已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪=-⎨11001x x x ≤--<<≤<,则1lim ()x f x →-和0lim ()x f x →() (A)都存在(B)都不存在(C)第一个存在,第二个不存在(D)第一个不存在,第二个存在18、当n →∞时,1sin n n是() (A)无穷小量(B)无穷大量(C)无界变量(D)有界变量19、1x +→时,下列变量中为无穷大量的是() (A)113-x (B)112--x x (C)x 1(D)112--x x 20、函数()12x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩11x x ≠=的连续区间是() (A)(,1)-∞(B)(1,)+∞(C)(,1)(1,)-∞⋃+∞(D)(,)-∞+∞21、的连续区间为,,,⎪⎩⎪⎨⎧>=<+=00001)(2x x x x x x f ()(A)),(∞+∞-(B)),(),(∞+⋃∞-00(C)]0,(∞-(D)),(∞+022、函数1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩,在0x =处()(A)左连续(B)右连续(C)连续(D)左、右皆不连续23、()f x 在点0x x =处有定义,是()f x 在0x x =处连续的()(A)必要条件(B)充分条件(C)充分必要条件(D)无关条件24、设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+0x ,a 0x ,)x 1(x 1要使f(x)在x=0处连续,则a=( )A.0B.1C.e 1D.e 25、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00sin )(x a x x x x f 在x=0处连续,则常数a=( )A.0B.1 C.2D.326、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=0011)(x k x x x x x f , ,在0=x 点处连续,则k 等于() A.0;B.1;C.21;D.2; 27、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0024)(x k x x x x f , ,在点0=x 处连续,则k 等于() A.0B.41C.21D.2 28、若函数1,13,1x x y x x -≤⎧=⎨->⎩在1x =处是()A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.非无穷型的第二类间断点29、则下列说法中正确的是,,设,0001)(2⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=x x x e x f x ()(A)个间断点有1)(x f (B)个间断点有2)(x f(C)个间断点有3)(x f (D)无间断点)(x f30、的间断点个数是设434)(2---=x x x x f () A.0B.1 C.2D.3二、填空题1、0lim h h →=___________;2、711lim 1x x x →-=-______; 3、1253lim 22-+∞→n n n n =_______;4、sin lim x x x→∞=_______;5 / 75、=-∞→xx x x sin lim ____________.6、=--→)sin()(lim x a a x a x 7、=→x x x 3sin lim 0.8、2lim(1)x x x→∞-=________; 9、=-++∞→]ln )2[ln(lim x x x x _________10、0ln(13)lim sin 3x x x →+=_________; 11、,14lim 231存在-+--→x ax x x x 则a =______; 12、当0x →时,1cos x -是比x ______阶的无穷小量;13、当0x →时,若sin 2x 与ax 是等价无穷小量,则a =______;14、当0x →23是______(同阶、等价)无穷小量.15、函数922-+=x x y 在_______处间断; 16、11设21,0()0,0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩在0x =处________(是、否)连续; 17、设sin 2,0(),0x x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩连续,则a =_________;18、设,0()ln(1),0a x x f x x x +<⎧=⎨+≥⎩在0x =连续,则常数a =。
精品文档00若当x 0时,(x) (1 ax ) 31与(x ) cosx 1疋等价无穷小,则 a A . 1 B . 3C . 1D . 3 2 22 2答()求 lim n In(2n1) ln (2 n 1)之值X?彳 2 lim e 3 1 X 的值 x 0x sinxsin x求极限lim (12x)2 沁之值.x 071l]m 〔 ln(1 x) (x 1)2 A ・B.1C .0D ・ln 2答()sin xlim (1 2x)kx 0A .B ・ e 2C ・ eD .2答()lim x 9 的值等于 _______________________ x 3x x 6的值等于 _____________xe 4e xlimx3e x2e xA . 1B .2C .D .不存在3答:(2 x)3(3 x)5limx(6 x)8A. 1B.1C.D.不存在精品文档00答:((1 2x)10(1 3x)20(1 6x2)15lim x求极限limx 1 x3 3x 2x2 x 1求limx 0 31 6x 41 2xx(x 5)之值.答()设f (x) 一3-r ,则 f( 0) __________2 e xx叫arccotA.0B.C.不存在.D.—2 答()2x xlim -—e —厘的值等于 X 0 1 cosx<2(1 cos2x)limx 0xA. 2B. 2C.不存在.D. 0答:()关于极限 5 limr x 01结论是:3 e x55A5B 0C -D 不存在 34答 ()lim tan x arcta n —x 0xA.0B.不存在.C.2D. 2答()arcta n(x 2)limxx A.0B.C.1D.——2答()limxA.2B. 2C. 2D.不存在 2x 12设f(x)兰雪卫,其中P 、q 为常数.x 5问:(1)p 、q 各取何值时,lim f (x) 1;x(2) p 、q 各取何值时,lim f (x)0 ;x(3) p 、q 各取何值时,lim f (x) 1x 5# 2n2 z 2 n2求极限 lim (x n 2)2一耸22^•x (x n 1)2 (x n 1)223求极限lim (一^-——)一.x(2x 3 3)2啊册肾的值等于—— 应用等阶无穷小性质,求极限lim arctan1 x) arcta n (1 x).x 0 x 求极限lim J 5x匚空.x 0x 2x答()已知 Atanx B(1 cosx)2!(其中A B 、C 、D 是非0常数)x 0Cln(1 2x)D(1 e x )则它们之间的关系为答()已知xm Z 考4,试确定a , b 之值.limxsin x(A)1 (B)(C)0(D)不存在但不是无穷大lim xsin -之值 (A) 1 (B) 0 (C)(D)不存在但不是无穷大答()(A)B 2D (B)B2D (C)A 2C (C)A 2C当x0时,下列变量中,为无 穷大的是答(答()3 2设lim -一axA ,则必有 X 1 x 1答()x 2 1 丄当x 1时,f(x) — ^e x1的极限x 1 (A)等于2 ; (B)等于0;(C)为;(D)不存在但不是无穷大.答( )3x 2求a , b 使 lim( 3- -ax b) 1xx 1 设 lim ( 3x 2 4x7 ax b)0,试确定 a , b 之值x计算极限 limx 2x 3 3x 2 3x x 2 x 2计算极限 x xcosx .. e elim 厂x 0x ln(1 x )求limx x2e 3e x 4e lim(1 x 0 计算极限lim x 0 1 .1 x 2x 2e cosx lim x 3x 2 55x 3.4sinx(A)sin x(B)ln x(C)arctan (D) arc cot (A)等于0 ; (C)为无穷大(B)等于、2 ;(D)不存在,但不是无穷大(A) a 2, A 5; (B) a 4, A 10; (C) a 4, A 6 ;(D) a 4, A 10.2 2x精品文档1计算极限 计算极限计算极限 计算极限lim 1 xsinx cos2xx 0 xta nxlimx 0lim x 0 i4 tan xtanxe.4 sin xsin x ecosx e2xxim(17 x 21极限 lim(cos x),x 0A • 0 ;B •C . 1;答()x x极限lim -- ---- 的值为()x 0x(1 x 2)A . 0;B . 1;C . 2 ;D . 3. 答()极限lim 1 cos3x 的值为() x 0 xsin3x123 A.0; B.~6 ; Cp ; D -"2 .答(2 2极限刖x x)畀1 x x) A . 0 ; B . 1;C . 2 ;D . 3.精品文档1答()1极限 lim(cos x)xx 0A . 0 ;B . e 2 ;答()1;精品文档3x当x 1时,无穷小量 —_—是无穷小量.x 1的1 2xA .等价无穷小量;B .同阶但非等价无穷小 量;C .高阶无穷小量;D .低阶无穷小量.答( )已知lim (1 kx ) x e ,则k 的值为x 01A . 1;B .1; C . —; D . 2.2答()答(1极限lim (1 2x 疗x 01 2 2A . e ;B .— ;C . e ;D . e .e答() 极限lim (・」)x4的值为()xx 1A . e 2 ;B . e 2 ;C . e 4 ;D . e 4.答()2x 1极限lim 红」 的值是x2x 11A . 1 ;B . e ;C . e 2 ;D . e 2答()答(极限lim ( 1 丄说的值为 2xA . e ;C . e 4 ;1e z极限lim x 0tanx sinx的值为精品文档A . 1 ;B . 0 ;C .1 ; D .答()极限lim 二 6^_8的值为x 2x 8x 12 A . 0; B . 1; C .12 ; D . 2.答()数列极限 lim (、n 2n1n n )的值为 A . 0 ; B ・一;C . 1;D ・不存在.2答()已知x^J3汁1,则C 的值为极限limxsin xA .1;B . 1; 2已知limax 61 1 x A .7; B . 7C .2C • 2;D • 3.答()5,则a 的值为 D . 2.答()a cosx1已知limx 0xsin x 2A . 0 ;B . 1;C . 已知lim sin kx 3, x 0x (x 2)3A .B . —>2则a 的值为2 ; D .1.答()则k 的值为C . 6 ;D . 6.答()oc\)z为 值精品文档x e 设函数f(x) 1, x 2, cosx . 00,则 lim f (x) x 00 A . 1; B.1; C.O ;D .不存在. 答( ) 设f (x) x A.1; B .2; tan kxx 3,xC .3;且lim f (x )存在,则k 的值为 x 0当 x 0时,2si nx (1 A .冈阶但不等价无穷小; C .高阶无穷小; D .4. 答() cos x )与X 2比较是() B .等价无穷小; D .低阶无穷小. 答()设函数f (x ) xcos 丄,贝V 当x x 时,f (x )是 A .有界变量; C .无穷小量; 设函数f (x ) xsin A .无界变量;C .有界,但非无穷小量 B .无界,但非无穷大量;D .无穷大量. 答( ) ,则当x 0时,f (x )为 B .无穷大量;D .无穷小量.答( )。
.求证:存在,且,=时,设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim )()(11110x x x x x x o o x x 答( ) .. . . .是等价无穷小,则与时,若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x( ) 答 阶的是时,下述无穷小中最高当xx D x C x B x A x sin 11cos 1022----→[]之值.求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n .求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n .求极限)11ln()21(lim nn n ++∞→ _____________sin 1lim 3202=--→的值xx x e x x.及求证:,,设有数列n n n n n n n nn n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221.及,求记:, .,设n n n n nn n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=>>==lim lim 112)0(111221求极限之值.lim ()cos sin x x x xx→+-0212设,;且试证明:.lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x Bu x A A v x Bu x A →→→=>==0[] 答( ) . . . .2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答( ) . . . .21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xx x =+→[]的结果.之值,并讨论及求:设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f xx x u x x u_____________69lim 223的值等于---→x x x x.不存在 . . .D C B A e e e e xx xx x 1231234lim =++--∞→答:( )lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在答:( )____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x x x e e x -→- .求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值.lim ()x x xx x →+--+03416125已知:,问?为什么?lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0关于极限结论是: 不存在 答( )limx xeA B C D →+015353054答( ) ,则极限式成立的是,设 )(lim .)()(lim .)()(lim .0)()(lim.)(lim )(lim )(0000∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f是不是无穷大量.时,,问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→= 答( ) 不存在 2.2...0.1arctantan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答( ) 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x 答( ) 不存在 .2.2.2.312lim2D C B A x x x ±-=++∞→___________)0(23)(1=-+=f ex f x,则设 答( ) 不存在 2....0.1cotarc lim 0ππ=→D C B A xxlimcos ln ....x a xxa A B C D →--==0100123,则其中 答( )π____________cos 13lim 20的值等于xxe e x x x ----→lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在 答:()设,其中、为常数.问:、各取何值时,; 、各取何值时,; 、各取何值时,.f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限.lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限.lim ()()x x x →∞++32232332[]之值.、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim2241=--+-+-+→之值.,,,试确定常数.,,满足已知d c b a x f x f x x dcx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2)(1223==-++++=→∞→ 之值.,,试确定已知b a x x b x b a x 4313)(lim1=+-+++→为什么?"上述说法是否正确?,则"若∞=α=α→→)(1lim0)(lim 0x x x x x x当时,是无穷大,且,证明:当时,也为无穷大.x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()().用无穷大定义证明:+∞=-+→112lim1x x x .用无穷大定义证明:-∞=+→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明: .用无穷大定义证明:+∞=-+→11lim1x x"当时,是无穷小"是""的:充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件,亦非必要条件 答( )x x f x A f x A A B C D x x →-=→00()lim ()()()()()若,,但.证明:的充分必要条件是 .lim ()lim ()()lim()()lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-⋅=0000000.其中,:用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a nn . :用数列极限的定义证明)10(1lim 1<<=∞→a a nn .:用数列极限的定义证明2152)2(lim 2=++∞→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→[]之值.求极限3sin 01)(cos limx x xx -→设,试证明:对任意给定的,必存在正数,使得对适含不等式;的一切、,都有成立。
lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<000010201221εδδδε.,试用极限定义证明:已知:A x f A x f x x x x =>=→→)(lim0)(lim 0{}{}{}是否也必发散?同发散,试问数列与若数列n n n n y x y x + 求的表达式f x x xx n n n ()lim =-+→∞+2121设 其中、为常数,,求的表达式;确定,之值,使,.f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()limsincos()()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121121021211ππ.求极限应用等阶无穷小性质,x x x x )1arctan()1arctan(lim--+→ 求极限.lim x x x x x→+--+0215132 求极限.lim()()x x x x →--+012131416 求极限 为自然数..lim ()()x nax xn a →+-≠0111求极限.lim()x x x x →-+--3135223设当时,与是等价无穷小,且,,证明:.x x x x f x x a f x x g x A f x x g x A x x x x x x →=≠-=-=→→→00001αβααβ()()lim ()()lim ()()()lim ()()()设当时,,是无穷小且证明:.x x x x x x e e x x x x →-≠--00αβαβαβαβ()()()()~()()()()若当时,与是等价无穷小,是比高阶的无穷小.则当时,与是否也是等价无穷小?为什么?x x x x x x x x x x x x →→--0101ααβααβαβ()()()()()()()()[][]设当时,、是无穷小,且证明: 与是等价无穷小.x x x x x x x x x x →-≠+-+-0011αβαβαβαβ()()()().ln ()ln ()()()设当时,是比高阶的无穷小.证明:当时,与是等价无穷小.x x f x g x x x f x g x g x →→+00()()()()()吗?为什么?也是等价无穷小与无穷小。
试判定:等价是同阶无穷小,但不是与是等价无穷小,与时,若)()()()()()()()(110x x x x x x x x x x β-αβ-αβααα→limsin ()()()()x xxA B C D →∞=∞10 不存在但不是无穷大 答( )lim sin ()()()()x x xA B C D →∞===∞110之值 不存在但不是无穷大 答( )已知 其中、、、是非常数则它们之间的关系为 答( )limtan (cos )ln()()()()()()()x x A x B x C x D eA B C D A B D B B D C A C C A C →-+--+-===-==-011211022222)1()1)(1)(1(lim 1242nx x x x x n ++++<∞→ 计算极限设 设及存在,试证明:.lim lim n n n n nx x x a a →∞→∞+==≤011求lim(sin cos )x x x x→∞+2212计算极限 lim ()()x a x a x a x a a →-++-≠322210 计算极限lim x x x x x x →-+---23223322 计算极限lim ln()cos x x x x e e x x →-⋅+021 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→→)2cos 2cos 2(cos lim lim 20n n x x x x 计算极限 {}.,试证明及满足设有数列0lim )10( lim01=<≤=>∞→+∞→n n nn n n n a r r a a a a{},试按极限定义证明:,且满足设有数列)10( lim 0<≤=>∞→r r a a a n n n n n .0lim =∞→n n a.语言证明,试用 设A x f A A x f x x x x =δ-ε>=→→)(lim"")0()(lim 0试问:当时,,是不是无穷小?x x x x→=012α()sin的某去心邻域,使得试证明:必存在,且,设0,)(lim )(lim 0x B A B x g A x f x x x x >==→→.在该邻域为)()(x g x f >设,试研究极限f x x x f x x ()sin lim ()=→110 计算极限.lim ln()arcsin()x x x x →+---232312344[] 答( ) 大无界变量,但不是无穷小有界变量,但不是无穷无穷小量无穷大量是时,则当,设数列的通项为)()()()()1(12D C B A x n nn n x n n n ∞→--+=以下极限式正确的是 答( )()lim()()lim()()lim()()lim()A x e B xe C x e D xx x x x x x x x →+→+-→∞-→∞-+=-=-=+=001111111111设, ,,,求.x x x n x n n n n 1110612==+=+→∞()limab A a D a A b a C b A b a B A b a A A b a Ax f x b x x e x f x ax ======⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=→可取任意实数且可取任意实数,,可取任意实数,,可取任意实数,,之间的关系为,,则,且, 当,当设)()()(1)()(lim 001)(0答:( )aA A b a D Ab a a C b A b a B a A b a A A b a A x f x b x xax d x f x ln )()()()()(lim 0 0)1ln()(0======⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=→仅取可取任意实数,而,可取任意实数且可取任意实数,,可取任意实数,,之间的关系为,,则,,且当 , ,当设答:() 答( ) 可取任意实数可取任意实数可取任意实数,可取任意实数,间正确的关系是,,则,且当, ,当设2)(2)(2)(2)()(lim 0 0cos 1)(222a Ab a D aA b a C a A b aB aA b a A A b a A x f x b x x ax x f x =======⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=→[][]设有,,且在的某去心邻域内复合函数有意义。