2019-2020人教A版数学选修4-4 课时分层作业9 渐开线与摆线

课时分层作业(九)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧
x ＝cos θ＋θsin θ，
y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开
线对应的基圆的周长是( )
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
[解析] 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B.
[答案] B
2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是惟一的交点．
其中正确的说法有( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③
D ．①③④
[解析] ①错，②正确，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，故③正确，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．故④错误，故选C.
[答案] C
3．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎨⎧
x ＝6(cos φ＋φsin φ)
y ＝6(sin φ－φcos φ)上的点是( )
A ．(6,0)
B ．(6,6π)
C ．(6，－12π)
D ．(－π，12π)
[解析] 当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程．
∴x ＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6， y ＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π. [答案] C
4．已知一个圆的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝3cos θ，
y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的摆线方程
中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2，2之间的距离为( )
A.π
2－1 B. 2 C.10
D.
3π2－1
[解析] 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，
即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－3，3，
∴|AB |＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π
2－3－3π22＋(3－2)2＝10. [答案] C
5．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12k π(φ－sin φ)
y ＝1
2k π(1－cos φ) B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1k π(φ－sin φ)
y ＝1
k π(1－cos φ)
C.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12k π(φ－sin φ)y ＝1
2k π(1＋cos φ)
D.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1k π(φ－sin φ)y ＝1
k π(1＋cos φ)
[解析] 圆的摆线的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝r (φ－sin φ)
y ＝r (1－cos φ)
令r (1－cos φ)＝0，
得：φ＝2k π，代入x ＝r (φ－sin φ) 得：x ＝r (2k π－sin 2k π)，又过(1,0)．
∴r (2k π－sin 2k π)＝1，∴r ＝1
2k π. 又r ＞0，∴k ∈N ＋. [答案] A 二、填空题
6．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π
2，则点P 的坐标为________．
[解析] 由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2(cos φ＋φsin φ)y ＝2(sin φ－φcos φ)
(φ为参数)． 当φ＝π
2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2)．
[答案] (π，2)
7．已知平摆线的方程为⎩⎨⎧
x ＝α－sin α，
y ＝1－cos α(α为参数)，则该平摆线的拱高是
________，周期是________．
[解析] 由已知方程可化为 ⎩⎨⎧
x ＝1·(α－sin α)，y ＝1·
(1－cos α)，
知基圆半径为r ＝1， ∴拱高为2r ＝2，周期为2π. [答案] 2 2π
8．渐开线⎩⎨⎧
x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆
的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．
[解析] 根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x 2＋y 2
＝36，整理可得x 2144＋y 2
36＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆．c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．
[答案] (63，0)和(－63，0) 三、解答题
9．已知圆C 的参数方程是⎩⎨⎧
x ＝1＋6cos α，
y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通
方程是x －y －62＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么位置关系？ (2)写出平移后圆的渐开线方程．
[解] (1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝62
2
＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的． (2)由于圆的半径是6，所以可得渐开线方程是⎩⎨⎧
x ＝6cos φ＋6φsin φ，
y ＝6sin φ－6φcos φ(φ为
参数)．
10．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm ，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．
[解] 因为基圆的直径为22 mm ，所以基圆的半径为11 mm ，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为
⎩⎨⎧
x ＝11(cos φ＋φsin φ)，y ＝11(sin φ－φcos φ)
(φ为参数)． [能力提升练]
1．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )
A ．3π
B ．4π
C ．5π
D ．6π
[解析] 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π
2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的1
4圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的1
4圆周长，长度为2π，所以曲线AEFGH 的长是5π.
[答案] C
2．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩
⎨⎧
x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________． [解析] 关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．
[答案] ⎩⎨⎧
x ＝r (1－cos φ)，y ＝r (φ－sin φ)
(φ为参数)
3．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧
x ＝cos φ＋φsin φ，
y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐
开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π
4时对应的曲线上的点的坐标为________．
[解析] 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π
4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
22
＋
2π8，22－2π8. [答案] 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫
22
＋2π8，22－
2π8 4．如图，若点Q 在半径AP 上(或在半径AP 的延长线上)，当车轮滚动时，点Q 的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ |＝r 2或|AQ |＝3r
2，请推出Q 的轨迹的参数方程．
[解] 设Q (x ，y )、P (x 0，y 0)，若A (rθ，r )， 则⎩⎨⎧
x 0＝r (θ－sin θ)，y 0＝r (1－cos θ).当|AQ |＝r 2时， 有⎩⎨⎧ x 0＝2x －rθ，y 0＝2y －r ，代入⎩⎨⎧
x 0＝r (θ－sin θ)，y 0
＝r (1－cos θ)， ∴点Q 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－12sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12cos θ
(θ为参数)．
当AQ ＝3r
2时，有⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝rθ＋2x
3，y 0＝r ＋2y
3，
代入⎩⎨⎧
x 0＝r (θ－sin θ)，
y 0＝r (1－cos θ)，
∴点Q 的轨迹方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－32sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32cos θ(θ为参数)．。