2022届高考数学一轮复习专题提能透视数列高考热点探求应对策略学案理含解析北师大版202107072

透视数列高考热点，探求应对策略
授课提示：对应学生用书第116页
数列是一种特殊的函数，其考查的重点是数列的通项、数列的前n 项和、参数的取值X 围的探求、数列不等式的证明等，研究的数列主要是等比数列与等差数列．数列的最值、周期性、单调性的探究，以及递推数列的相关综合题目，也是历年高考考查的热点． （一）数列单调性及应用
1．与等差数列的单调性有关的问题
[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 1＝1，a n ＞0，a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1（n ∈N ＋），若不等式4n 2－8n ＋3＜（5－m ）2n ·a n 对任意的n ∈N ＋恒成立，则整数m 的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
[解析] 当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1，a 2n ＝4S n －1＋4（n －1）＋1，
两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋4，即a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝（a n ＋2）2，又a n ＞0，所以a n ＋1＝a n
＋2（n ≥2）．
对a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1，令n ＝1，可得a 22＝4a 1＋4＋1＝9，所以a 2＝3，则a 2－a 1＝2，
所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故a n ＝2n －1．
因为4n 2－8n ＋3＝（2n －1）（2n －3），n ∈N ＋，2n －1＞0，所以不等式4n 2－8n ＋3＜（5－m ）
2n ·a n 等价于5－m ＞2n －32n ．记b n ＝2n －32n ，则b n ＋1b n ＝2n －1
2n ＋12n －32n
＝2n －14n －6
，当n ≥3时，b n ＋1
b n ＜1，又
b 1＝－12，b 2＝14，b 3＝38，所以（b n ）max ＝b 3＝38．故5－m ＞38，得m ＜37
8，所以整数m 的最大
值为4． [答案] B
将a n 的表达式代入不等式4n 2－8n ＋3＜（5－m ）·2n ·a n ，约去公因式，从而简化了运算．在求
解b n ＝2n －3
2n 的最大值时，通过作商与“1”比较大小判断数列的单调性，从而求得最大值．
2．与等比数列的单调性有关的问题
[例2] 已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n
a n ＋2（n ∈N ＋），若
b n ＋1＝（n －λ）⎝⎛⎭⎫1a n ＋1，b 1＝－λ，且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值X 围是（ ） A ．（2，＋∞） B ．（3，＋∞） C ．（－∞，2）
D ．（－∞，3）
[解析] 由a n ＋1＝a n a n ＋2知，1a n ＋1＝2a n ＋1，即1a n ＋1＋1＝2⎝⎛⎭⎫1a n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是首项为1
a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，所以1
a n ＋1＝2n ，所以
b n ＋1＝（n －λ）·2n ，因为数列{b n }是递增
数列，所以b n ＋1－b n ＝（n －λ）2n －（n －1－λ）2n －1＝（n ＋1－λ）2n －1＞0对一切正整数n 恒成立，所以λ＜n ＋1，因为n ∈N ＋，所以λ＜2． [答案] C
判断数列的单调性的方法
函数法：构造函数，通过判断所构造函数的单调性，即可得出相应数列的单调性． 定义法：利用单调函数的定义判断数列的单调性．
作差法：对于数列中任意相邻的两项a n ＋1，a n ，通过作差a n ＋1－a n ，判断其与0的大小，即可判断数列的单调性．
作商法：数列的各项非零且同号（同正或同负），对于数列中任意相邻的两项a n ＋1，a n ，通过作商a n ＋1a n
，判断其与1的大小，即可判断数列的单调性．
[题组突破]
1．已知数列{a n }的首项为a 1，{b n }是公比为2
3的等比数列，且b n ＝a n －2a n －1（n ∈N ＋），若不等式
a n ＞a n ＋1对任意的n ∈N ＋恒成立，则a 1的取值X 围是（ ） A ．（－2，2）
B ．（－2，0）
C ．（0，2）
D ．（2，＋∞）
解析：∵b n ＝
a n －2a n －1
（n ∈N
＋
），∴a n ＝
b n －2b n －1
，∴a n
＋1
－a n ＝
b n ＋1－2b n ＋1－1
－
b n －2b n －1
＝
b n ＋1－b n
（1－b n ＋1）（1－b n ）＝
－13
b n
⎝⎛⎭
⎫1－23b n （1－b n ）
＜0，解得b n ＞32或0＜b n ＜1．若b n ＞32
，则b 1⎝⎛⎭⎫23n －1＞32对任意的n ∈N ＋恒成立，显然不可能；若0＜b n ＜1，则0＜b 1⎝⎛⎭⎫23n －1＜1对任意的n ∈N ＋
恒成立，只需0＜b 1＜1，即0＜a 1－2
a 1－1＜1，解得a 1＞2．
答案：D
2．已知在等差数列{a n }中，a 1＝120，公差d ＝－4，若S n ≤a n （n ≥2），其中S n 为该数列的前n 项和，则n 的最小值为（ ） A ．60 B ．62 C ．70
D ．72
解析：由题意得a n ＝120－4（n －1）＝124－4n ，S n ＝120n ＋n （n －1）2×（－4）＝122n －2n 2．由
S n ≤a n ，得122n －2n 2≤124－4n ，即n 2－63n ＋62≥0，解得n ≥62或n ≤1（舍去）．所以n 的最小值为62． 答案：B
3．（2021·某某高三监测）在数列{a n }中，a 1＋a 22＋a 33＋…＋a n n ＝2n －1（n ∈N ＋），且a 1＝1，若
存在n ∈N ＋使得a n ≤n （n ＋1）λ成立，即实数λ的最小值为________．
解析：依题意得，数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n 的前n 项和为2n －1，当n ≥2时，a n
n ＝（2n －1）－（2n －1－1）＝
2n －1，且a 11＝21－1＝1＝21－1，因此a n n ＝2n －1（n ∈N ＋），a n
n （n ＋1）＝2n －1n ＋1．记b n ＝2n －1n ＋1，则
b n ＞0，b n ＋1b n
＝2（n ＋1）n ＋2＝（n ＋2）＋n n ＋2＞n ＋2
n ＋2＝1，b n ＋1＞b n ，数列{b n }是递增数列，数列{b n }
的最小项是b 1＝12．依题意得，存在n ∈N ＋使得λ≥a n n （n ＋1）＝b n 成立，即有λ≥b 1＝1
2，λ的
最小值是1
2
．
答案：12
（二）数列中的新情境问题
[例3] 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝3，a 3－a 2＝2，等差数列{b n }的前n 项和为S n ，且b 3＝5，S 4＝16． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；
（2）如图，在平面直角坐标系中，有点P 1（a 1，0），P 2（a 2，0），…，P n （a n ，0），P n ＋1（a n
＋1
，0），Q 1（a 1，b 1），Q 2（a 2，b 2），…，Q n （a n ，b n ），若记△P n Q n P n ＋1的面积为，求数列{}
的前n 项和T n ．
[解析] （1）设数列{a n }的公比为q ，
因为a 1＋a 2＝3，a 3－a 2＝2，所以⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝3，a 1q 2
－a 1q ＝2，
得3q 2－5q －2＝0，又q ＞0， 所以q ＝2，a 1＝1，则a n ＝2n －1． 设数列{b n }的公差为d ，
因为b 3＝5，S 4＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝5，
4b 1＋6d ＝16，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧b 1＝1，
d ＝2，则b n ＝2n －1．
（2）由（1）得P n P n ＋1＝a n ＋1－a n ＝2n －2n －1＝2n －1， P n Q n ＝b n ＝2n －1，
故＝S △P n Q n P n ＋1＝2n －1（2n －1）2＝（2n －1）2n －2，
则T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋
＝1
2
×1＋1×3＋2×5＋…＋（2n －1）2n －2， ①
2T n ＝1×1＋2×3＋4×5＋…＋（2n －1）2n －1， ②
由①－②得，－T n ＝12＋2（1＋2＋…＋2n －2）－（2n －1）·2n －1＝1
2＋2（1－2n －1）1－2－（2n －1）
2n －1
＝（3－2n ）2n －1－32，故T n ＝（2n －3）2n －1＋3
2
（n ∈N ＋）．
数列中新情境问题的求解关键：一是观察新情境的特征，如本题中的各个直角三角形的两直角边长的特征；二是会转化，如本题，把数列{}的通项公式的探求转化为直角三角形的两直角边长的探求；三是活用数列求和的方法，如本题，活用错位相减法，即可得数列{}的前n 项和． [例4] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n
S 2n
为常数，则称数列{a n }为“幸福数列”．
（1）等差数列{b n }的首项为1，公差不为零，若{b n }为“幸福数列”，求{b n }的通项公式；
（2）数列{}的各项都是正数，其前n 项和为S n ，若c 31＋c 32＋c 33＋…＋c 3n ＝S 2
n 对任意的n ∈N ＋都
成立，试推断数列{}是否为“幸福数列”？并说明理由．
[解析] （1）设等差数列{b n }的公差为d （d ≠0），前n 项和为T n ，则T n
T 2n
＝k ，因为b 1＝1， 所以n ＋12n （n －1）d ＝k [2n ＋12·2n （2n －1）d ]，
即2＋（n －1）d ＝4k ＋2k （2n －1）d ， 整理得（4k －1）dn ＋（2k －1）（2－d ）＝0． 因为对任意正整数n 上式恒成立，
则⎩⎪⎨⎪⎧d （4k －1）＝0，
（2k －1）（2－d ）＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，k ＝14.
故数列{b n }的通项公式是b n ＝2n －1． （2）数列{}不是“幸福数列”．理由如下：
由已知，当n ＝1时，c 31＝S 21＝c 21．
因为c 1＞0，所以c 1＝1．
当n ≥2时，c 31＋c 32＋c 33＋…＋c 3n ＝S 2n ，c 31＋c 32＋c 33＋…＋c 3n －1＝S 2n －1． 两式相减，得c 3n ＝S 2n －S 2n －1＝（S n －S n －1）（S n ＋S n －1）＝·（S n ＋S n －1）． 因为＞0，所以c 2
n ＝S n ＋S n －1＝2S n －．
显然c 1＝1适合上式，所以当n ≥2时，c 2n －1＝2S n －1－－1．
于是c 2n －c 2n －1＝2（S n －S n －1）－＋－1＝2－＋－1＝＋－1．
因为＋－1＞0，所以－－1＝1，所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，所以＝n ，S n ＝n （n ＋1）
2
． 所以S n
S 2n ＝n （n ＋1）2n （2n ＋1）＝n ＋14n ＋2
不为常数，故数列{}不是“幸福数列”．
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
[对点训练]
“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光．”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述．假设一条螺旋线是用以下方法画成（如图）：△ABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1，A 1A 2，A 2A 3分别是以A ，B ，C 为圆心，AC ，BA 1，CA 2为半径画的弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线，再以A 为圆心，AA 3为半径画弧……如此画下去，则所得弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A 28A 29，A 29A 30的总长度为（ ）
A ．310π
B ．110
3π
C ．58π
D ．110π
解析：根据弧长公式知，弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －2A n －1，A n －1A n 的长度分别为23π，2×
2
3
π，3×23π，…，（n －1）×23π，n ×23π，该数列是首项为23π，公差为23π的等差数列，所以该数
列的前n 项和S n ＝π
3n （n ＋1），所以所得弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A 28A 29，A 29A 30的总长度为
S 30＝π
3×30×（30＋1）＝310π．
答案：A
（三）数列与其他知识交汇应用
数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，数列常与函数、向量、三角函数、解析几何、充分必要条件等知识相交汇，考查数列的基本运算与应用．
[例5]（2021·某某月考）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 2 020OC →
，且A ，B ，C 三点共线（该直线不过点O ），则S 2 020等于（ ） A ．1 008
B ．1 010
C ．2 017
D ．2 019
[解析] ∵A ，B ，C 三点共线，∴a 1＋a 2 020＝1， ∴S 2 020＝2 020（a 1＋a 2 020）2＝1 010．
[答案] B
本题巧妙地将三点共线条件（P A →＝xPB →＋yPC →
且A ，B ，C 三点共线⇔x ＋y ＝1）与等差数列的求和公式结合，解决的关键是抓住整体思想求值．
[题组突破]
1．等差数列{a n }中的a 4，a 2 016是函数f （x ）＝x 3－6x 2＋4x －1的极值点，则log 14a 1 010＝（ ）
A ．12
B ．2
C ．－2
D ．－12
解析：因为f ′（x ）＝3x 2－12x ＋4，而a 4和a 2 016为函数f （x ）＝x 3－6x 2＋4x －1的极值点，所以a 4和a 2 016为3x 2－12x ＋4＝0的根，所以a 4＋a 2 016＝4，又a 4，a 1 010，a 2 016成等差数列，所以2a 1 010＝a 4＋a 2 016，即a 1 010＝2，所以log 14
a 1 010＝－1
2
．
答案：D
2．已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，且满足a 2 016＋a 2 017＝π，b 20b 21＝4，则tan a 1＋a 4 032
2＋b 19b 22＝（ ）
A ．
33
B ． 3
C ．1
D ．－1
解析：依题意得a 1＋a 4 032＝a 2 016＋a 2 017＝π，b 19b 22＝b 20b 21＝4，所以tan a 1＋a 4 0322＋b 19b 22＝tan π6＝3
3．
答案：A
3．（2021·某某一中月考）已知函数f （x ）＝a x ＋b （a ＞0，a ≠1）的图像经过点P （1，3），Q （2，5）．当n ∈N ＋时，a n ＝f （n ）－1f （n ）·f （n ＋1）
，记数列{a n }的前n 项和为S n ，当S n ＝10
33时n 的
值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6
D ．7
解析：∵f （x ）的图像过点P （1，3），Q （2，5），∴易知f （x ）＝2x
＋1，∴a n ＝2n
（2n
＋1）（2n ＋1＋1）＝（2n ＋1＋1）－（2n ＋1）（2n ＋1）（2n ＋1＋1）＝12n ＋1－12n ＋1＋1，∴S n ＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n ＋1－
1
2n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1，∴13－12n ＋1＋1＝1033，∴12n ＋1＋1＝1
33，解得n ＝4． 答案：A
4．（2021·某某一中月考）已知点A （1，0），B （0，1）和互不相同的点P 1，P 2，P 3，…，P n ，…满足OP n →＝a n OA →＋b n OB →
（n ∈N ＋），其中{a n }，{b n }分别为等差数列和等比数列，O 为坐标原点，若AP 1→＝2P 1B →． （1）求P 1的坐标；
（2）试判断点P 1，P 2，P 3，…，P n ，…能否共线？并证明你的结论． 解析：（1）设P 1（x ，y ），则AP 1→＝（x －1，y ），P 1B →
＝（－x ，1－y ）， 由AP 1→＝2P 1B →
得x －1＝－2x ，y ＝2－2y ，得x ＝13，y ＝23
，所以P 1⎝⎛⎭⎫13，23． （2）由OP n →＝a n OA →＋b n OB →，得OP n →
＝（a n ，b n ）．设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由题意知d ＝0，q ＝1不会同时成立．
若d ＝0且q ≠1，则a n ＝a 1＝13，则P 1，P 2，P 3，…，P n ，…都在直线x ＝1
3上；
若q ＝1且d ≠0，则b n ＝b 1＝23，则P 1，P 2，P 3，…，P n ，…都在直线y ＝2
3上；
若d ≠0且q ≠1，假设P 1，P 2，P 3，…，P n ，…共线． 则＝（a n －a n －1，b n －b n －1）与
＝（a n ＋1－a n ，b n ＋1－b n ）共线（n ＞1，n ∈N
＋）
， 即⎩⎪⎨⎪⎧a n －a n －1＝λ（a n ＋1－a n ），
b n －b n －1＝λ（b n ＋1－b n ）
（λ∈R ），则b n ＋1－b n ＝b n －b n －1，得q ＝1，与q ≠1矛盾， 故当d ≠0且q ≠1时，P 1，P 2，P 3，…，P n ，…不共线．。