古堡朝圣问题的思考
- 格式：docx
- 大小：314.64 KB
- 文档页数：2
当前位置：文档之家 › 古堡朝圣问题的思考
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
提取建立模型即：
求圆上一点P同圆外两点A，B所成线段长度和的最小值。
可以发现基本就是上课给出的例题。下面先给出结论。
当圆上点P满足OP延长线平分∠APB（即右图中α等于βห้องสมุดไป่ตู้时，|AP|+|PB|最小。
以下给出两种证明：
1.（初中做法）如左图。
在圆上另任取一点P'，关于过P的切线作A的对称点A'，则α=β=γ，则A'PB共线，|AP'|+|BP'|=|A'F|+|FP'|+|P'B|>|A'P|+|PB|=|AP|+|PB|得证。
古堡朝圣问题的思考
by开哥（2020.2.19）
【从一道网课例题讲起】
已知点B（4，0），动点C在x2+y2=4上，动点Q在x2=8(y-2)上，Q在x轴上的射影为E，求：
（1）1/2|BC|+|CQ|+|QE|的最小值
（2）|BC|+|CQ|+|QE|的最小值
首先很自然地由抛物线定义把|QE|转化为|QF|，第一问是典型的的阿氏圆问题（作业和上课例题大多都是，本文不详细展开），由|OC|2=|OD|·|OB|找到点D（1，0），此时恰有|CD|=1/2|BC|，两点之间线段最短，则|DF|即为最小值 。
2.（高中做法）
同例题，考虑以A、B为焦点的椭圆与圆相切时椭圆最小，长轴长最小，两线段和最小。如右图。
结合椭圆的光学性质（从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线汇聚于椭圆的另一个焦点上），用数学语言表述为：椭圆上任一点切线的法线平分该点与两焦点所成角。故可得此时α=β。
【背景探源】
这题的背景是著名的问题——古堡朝圣。大意如下：
“传说从前有一个虔诚的信徒，他是集市上的一个小贩．每天他都要从家所在的点A出发，到集市点B，但是，到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像．古堡是座圣城，阿波罗像供奉在古堡的圆心点O，而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图．这个信徒想，我怎样选择朝拜点，才能使从家到朝拜点，然后再到集市的路程最短呢？”
下面重点讨论第二问：
先由主元思想，两个点都在动不好考虑，先固定一个点，假如C点确定，则|CB|确定，则只要|QF|+|CQ|最小，显然Q在CF线段上时|QF|+|CQ|最小为|CF|，那么就把问题转化为：
圆x2+y2=4上点C，求C到B（4，0），F（0，4）距离和最小值。
想到这里不妨问自己一个问题：距离和让你想到了什么？
没错，椭圆！|CF|+|BF|就是椭圆以B,C为焦点的椭圆的长轴长。要长轴长最短怎么办？椭圆最小。椭圆最小怎么办，又与圆要有交点？相切！对于本题切点容易找吗？太容易了，整个图关于y=x对称，切点肯定在y=x上即（ ， ），该点到与B、F两点距离和即为|BC|+|CQ|+|QE|的最小值
看到这儿可能有人会问，图形恰好对称才让你找了出来，不对称怎么办？不要急，接着看。
求圆上一点P同圆外两点A，B所成线段长度和的最小值。
可以发现基本就是上课给出的例题。下面先给出结论。
当圆上点P满足OP延长线平分∠APB（即右图中α等于βห้องสมุดไป่ตู้时，|AP|+|PB|最小。
以下给出两种证明：
1.（初中做法）如左图。
在圆上另任取一点P'，关于过P的切线作A的对称点A'，则α=β=γ，则A'PB共线，|AP'|+|BP'|=|A'F|+|FP'|+|P'B|>|A'P|+|PB|=|AP|+|PB|得证。
古堡朝圣问题的思考
by开哥（2020.2.19）
【从一道网课例题讲起】
已知点B（4，0），动点C在x2+y2=4上，动点Q在x2=8(y-2)上，Q在x轴上的射影为E，求：
（1）1/2|BC|+|CQ|+|QE|的最小值
（2）|BC|+|CQ|+|QE|的最小值
首先很自然地由抛物线定义把|QE|转化为|QF|，第一问是典型的的阿氏圆问题（作业和上课例题大多都是，本文不详细展开），由|OC|2=|OD|·|OB|找到点D（1，0），此时恰有|CD|=1/2|BC|，两点之间线段最短，则|DF|即为最小值 。
2.（高中做法）
同例题，考虑以A、B为焦点的椭圆与圆相切时椭圆最小，长轴长最小，两线段和最小。如右图。
结合椭圆的光学性质（从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线汇聚于椭圆的另一个焦点上），用数学语言表述为：椭圆上任一点切线的法线平分该点与两焦点所成角。故可得此时α=β。
【背景探源】
这题的背景是著名的问题——古堡朝圣。大意如下：
“传说从前有一个虔诚的信徒，他是集市上的一个小贩．每天他都要从家所在的点A出发，到集市点B，但是，到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像．古堡是座圣城，阿波罗像供奉在古堡的圆心点O，而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图．这个信徒想，我怎样选择朝拜点，才能使从家到朝拜点，然后再到集市的路程最短呢？”
下面重点讨论第二问：
先由主元思想，两个点都在动不好考虑，先固定一个点，假如C点确定，则|CB|确定，则只要|QF|+|CQ|最小，显然Q在CF线段上时|QF|+|CQ|最小为|CF|，那么就把问题转化为：
圆x2+y2=4上点C，求C到B（4，0），F（0，4）距离和最小值。
想到这里不妨问自己一个问题：距离和让你想到了什么？
没错，椭圆！|CF|+|BF|就是椭圆以B,C为焦点的椭圆的长轴长。要长轴长最短怎么办？椭圆最小。椭圆最小怎么办，又与圆要有交点？相切！对于本题切点容易找吗？太容易了，整个图关于y=x对称，切点肯定在y=x上即（ ， ），该点到与B、F两点距离和即为|BC|+|CQ|+|QE|的最小值
看到这儿可能有人会问，图形恰好对称才让你找了出来，不对称怎么办？不要急，接着看。