高等数学-第二章 第4节 隐函数及参数方程求导

a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t
3a cos2 t( sin t) tan t
dt
d2y dx 2
d dx
(dy ) dx
Байду номын сангаас
d ( tan t) d ( tan t) dt
dx
dt
dx
d dt
( tant)
1 dx
所以 y [ 1(x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
dy
即
dy dx
dt dx
dt
dt
11
若函数
x y
(t )二阶可导, (t )
d 2 y d dy
dx 2
() dx dx
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
3
例2 设曲线C的方程为x3 y3 3xy,求过C上
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点.
解 方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
y (3,3) 22
y x2 y2 x
1.
33 (,)
x sin x (cos x ln x sin x ) x
8
例7
y ( 2 x )x xxx , x2 1
求 dy . dx
解 ：令
y1
(
2 x
x2
) 1
x
,
对数求导得：
dy1 dx
(
2 x
x
2
) 1
x
[ln
2 x x2 1
x 4x2 x3
(2
x)(
x2
] 1)
令 y2 xxx , ln y2 x x ln x e xln x ln x
对数求导得：dy2 x xx [ x x (ln x 1) ln x x x1] dx
所以 dy dy1 dy2 dx dx dx
一般地 f (x) u(x)v(x) 可用对数求导法。 9
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t )确定 (t)
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
多个函数相乘和幂指函数u( x)v( x)的情形.
6
例5 设 y ( x 1) 3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
22
所求切线方程为 y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点.
2
2
4
例3
已知
y
1
xe y ,求
d2y dx2
解 ： 两边对x求导 y e y xe y y
y
1
ey xe
y
ey 2 y
y
e
y
y(2 y) e (2 y)2
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
15
例11 一汽球 从离开观 察员500米处离 地面铅直
上升,其速率 为140米 / 秒.当气球 高度为500米时, 观察员 视线的仰 角增加率是多 少?
解 设气球上升t秒后, 其高度为h, 观察员视线
的仰角为 , 则
500米
tan h
所以
y
(x 1) 3 x 1 (x 4)2 ex
[
1 x 1
1 3(x 1)
x
2
4
1]
7
例6 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
所以 y y(cosx ln x sin x 1 ) x
17
习题2 4 P111
1(1,3,4),2,3(2,4),4(2,4),5(2)
7(2),8(2,4),9(2),11,12
18
思考题
设
x y
(t (t
) )
，由
y
x
(t) (t)
可知
yx
(t ) ，对吗？ (t )
( (t ) 0)
19
思考题解答
不对．
yx
d dx
yx
dyx dt
dt dx
(t) 1 (t) t (t)
20
d ( (t)) dx (t)
d ( (t)) dt dt (t) dx
d ( (t)) 1 (t)(t) (t)(t) 1
dt (t) dx
2(t)
(t )
dt
即
d2y dx 2
(t
)
(t) (t) 3(t)
(t
)
.
12
例8
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cost)
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x )2 x2
所以y 1 x
24
2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
x 3(t et )
如
y
5(t 2
cost)
如何求 dy ? dx
10
在方程
x y
(t )中, (t )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
在t
2
处的切线方程
.
dy
解
dy dx
dt dx
a
a sin t a cost
sin t 1 cost
所以
dt
dy dx
t 2
sin
1
2
cos
1.
当 t 时,
x a(
1),
2 y a.
2
所求切线方程为
2
ya
x a(
1)
2
即
y x a(2 )
13
2
例9
求由方程
x y
第四节 隐函数及参数方程求导
一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、参数方程求导 四、相关变化率 五、小结及作业
1
一、隐函数的导数
定义: y f ( x) 形式称为显函数. F( x, y) 0 y f ( x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
如 e y xy2 sin x
如何求 dy ? dx
隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 2
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
. x0
解 方程两边对x求导,
y x dy e x e y dy 0
dx
dx
解得
dy dx
ex y xey
,
由原方程知 x 0, y 0,
y
(
y)
e y e y (2 y) e y( e y )
y
2 y (2 y)2
2 y
e2 y (3 y) (2 y)3
5
二、对数求导法
观察函数
y
(
x 1)3 x ( x 4)2 e x
1
,
方法:
y x sin x .
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法 适用范围:
( tan t) (a cos3 t )
sec2 t 3a cos2 t sin
t
sec4 t 3a sin t
dt 14
四、相关变化率
设 x x(t)及 y y(t)都是可导函数, 而变量 x与 y之间存在某种关系, 从而它们的变化率 dx 与
dt dy 之间也存在一定关系, 这样两个相互依赖的 dt 变化率称为相关变化率.
500
上式两边对 t求导得 sec2 d 1 dh 500米
dt 500 dt
因为 dh 140米 / 秒, 当 h 500 米时, sec2 2
dt
所以
d 0.14(弧度/ 分)
dt
仰角增加率
16
五、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链 式求导法求解.