新高考数学一轮复习课件 平面向量基本定理及坐标表示

第五章 平面向量及其应用、复数
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
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1．平面向量基本定理 (1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对 于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1 ＋λ2e2. (2)基底：若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．
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[跟进训练] 1．(多选)(2021·惠州调研)设 a 是已知的平面向量且 a≠0，关于向量 a 的分解，有如下四个命题(向量 b，c 和 a 在同一平面内且两两不共线)，则 真命题是( ) A．给定向量 b，总存在向量 c，使 a＝b＋c B．给定向量 b 和 c，总存在实数 λ 和 μ，使 a＝λb＋μc C．给定单位向量 b 和正数 μ，总存在单位向量 c 和实数 λ，使 a＝λb ＋μc D．给定正数 λ 和 μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c，使 a＝λb＋μc
(1)用 a 和 b 表示向量O→C，D→C； (2)若O→E＝λO→A，求实数 λ 的值．
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[解] (1)由题意知，A 是 BC 的中点，且O→D＝23O→B，由平行四边 形法则，
得O→B＋O→C＝2O→A， 所以O→C＝2O→A－O→B＝2a－b， D→C＝O→C－O→D＝(2a－b)－23b＝2a－53b.
形边长为 1，可得 a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
∴－ －13＝ ＝－ λ＋λ＋ 2μ6，μ，
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因为 λ 和 μ 为正数，所以 λb 和 μc 代表与原向量同向的且有固定 长度的向量，
这就使得向量 a 不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不 一定能使 a＝λb＋μc 成立，故 D 错误．故选 AB．]
＝yy12.
()
(4)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
()
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二、教材习题衍生
1．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
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AB [∵向量 b，c 和 a 在同一平面内且两两不共线，∴b≠0，
c≠0，
给定向量 a 和 b，只需求得其向量差 a－b，
即为所求的向量 c，
故总存在向量 c，使 a＝b＋c，故 A 正确； 当向量 b，c 和 a 在同一平面内且两两不共线时，向量 b，c 可作
A．①② C．②③
B．①③ D．②④
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B [由向量共线的充要条件可得：当点 P 在直线 AB 上时，存在 唯一的一对有序实数 u，v，使得O→P＝uO→A＋vO→B成立，且 u＋v＝1.
可以证明当点 P 位于阴影区域内的充要条件是：满足O→P＝uO→A＋ vO→B，且 u＞0，v＞0，u＋v＞1.
(2)已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设A→B＝a，B→C＝b， C→A＝c，且C→M＝3c，C→N＝－2b.
①求 3a＋b－3c； ②求 M，N 的坐标及向量M→N的坐标．
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(1)D [以 O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方
A．(－2，－1)
B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
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D [∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)， ∴12a＝12，12，32b＝32，－32， ∴12a－32b＝12－23，12＋32＝(－1,2)， 故选 D．]
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一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．
()
(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．
()
(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可以表示成xx12
基底，
由平面向量基本定理可知结论成立，故 B 正确；
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取 a＝(4,4)，μ＝2，b＝(1,0)， 无论 λ 取何值，向量 λb 都平行于 x 轴，而向量 μc 的模恒等于 2， 要使 a＝λb＋μc 成立，根据平行四边形法则，向量 μc 的纵坐标 一定为 4， 故找不到这样的单位向量 c 使等式成立，故 C 错误；
的取值范围是( ) A．0，12 C．－12，0
B．0，13 D．－13，0
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D [法一：依题意，设B→O＝λB→C，其中 1＜λ＜43，则有A→O＝A→B＋ B→O＝A→B＋λB→C＝A→B＋λ(A→C－A→B)＝(1－λ)A→B＋λA→C.又A→O＝xA→B＋(1 －x)A→C，且A→B，A→C不共线，于是有 x＝1－λ∈－13，0，即 x 的取值 范围是－13，0，故选 D．
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2.如图，A，B 分别是射线 OM，ON 上的点，给出下列向量：①O→A
＋2O→B；②12O→A＋13O→B；③34O→A＋13O→B；④34O→A＋15O→B，若这些向量均
以 O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的是( )
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法二：∵A→O＝xA→B＋A→C－xA→C，∴A→O－A→C＝x(A→B－A→C)，即C→O ＝xC→B＝－3xC→D，∵O 在线段 CD(不含 C，D 两点)上，∴0＜－3x＜ 1，∴－13＜x＜0.]
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123ຫໍສະໝຸດ 走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝ (x2－x1，y2－y1) ＝ x2－x12＋y2－y12 .
，|A→B|
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4．如图，O→A，O→B不共线，且A→P＝tA→B(t∈R)，用O→A，O→B表示O→P ＝________.
(1－t)O→A＋tO→B [∵A→P＝tA→B， ∴O→P＝O→A＋A→P＝O→A＋tA→B ＝O→A＋t(O→B－O→A)＝O→A＋tO→B－tO→A ＝(1－t)O→A＋tO→B.]
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2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a ＋ b ＝ (x1＋x2，y1＋y2) ， a － b ＝ (x1－x2，y1－y2) ， λa ＝ (λx1，λy1) ，|a|＝ x21＋y21 .
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2．若 P1(1,3)，P2(4,0)且 P 是线段 P1P2 的一个三等分点，则点 P
的坐标为( )
A．(2,2)
B．(3，－1)
C．(2,2)或(3，－1)
D．(2,2)或(3,1)
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考点二 平面向量的坐标运算 [典例 2] (1)向量 a，b，c 在正方形网格中，如图所示，若 c＝λa ＋μb(λ，μ∈R)，则μλ＝( )
A．1 C．3
B．2 D．4
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D [由题意可知P→1P2＝(3，－3)． 若P→1P＝13P→1P2，则 P 点坐标为(2,2)； 若P→1P＝23P→1P2，则 P 点坐标为(3,1)， 故选 D．]
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02
细研考点·突破题型
考点一 考点二 考点三
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考点一 平面向量基本定理的应用 [典例 1] 如图，已知在△OCB 中，A 是 CB 的中点，D 是将O→B 分成 2∶1 的一个内分点，DC 和 OA 交于点 E，设O→A＝a，O→B＝b.
∵1＋2＞1，∴点 P 位于阴影区域内，故①正确；同理③正确； 而②④错误．故选 B．]
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3．在△ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且B→C＝3C→D，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)，若A→O＝xA→B＋(1－x)A→C，则 x
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3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
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[常用结论] 1．若 a 与 b 不共线，且 λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝0. 2．已知 P 为线段 AB 的中点，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 P 点 坐标为x1＋2 x2，y1＋2 y2. 3．已知△ABC 的重心为 G，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 则 Gx1＋x32＋x3，y1＋y32＋y3.
3．已知 ABCD 的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶 点 D 的坐标为________．
(1,5) [设 D(x，y)，则由A→B＝D→C，得(4,1)＝(5－x,6－y)， 即41＝ ＝56－ －xy， ， 解得xy＝ ＝15， . ]
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(2)由题意知，E→C∥D→C，故设E→C＝xD→C. 因为E→C＝O→C－O→E＝(2a－b)－λa ＝(2－λ)a－b，D→C＝2a－53b. 所以(2－λ)a－b＝x2a－35b.
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因为 a 与 b 不共线，由平面向量基本定理，
2－λ＝2x， 得－1＝－53x，
解得x＝35， λ＝45.
故 λ＝45.
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平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的 形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方 便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．