(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(包含答案解析)(1)

一、选择题
1．给出以下命题： （1）若()0h
a
f x dx >⎰
，则()0f x >；
（2）
20
|sin |4x dx π
=⎰
；
（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：
()()a
a T
T
f x dx f x dx +=⎰
⎰
其中正确命题的个数为（ ）． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．若2
(sin cos )2x a x dx π
-=⎰
，则实数a 等于（ ）
A ．1-
B ．1
C ．3-
D ．3
3．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）
A ．1
B ．
23
C ．
43
D ．2
4．三棱锥D ABC -及其正视图和侧视图如图所示，且顶点,,,A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）
A ．32π
B ．36π
C ．128π
D ．144π
5．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k =（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1
6．222
2
123111
1,,,x
S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（ ）
A ．s 1＜s 2＜s 3
B ．s 2＜s 1＜s 3
C ．s 2＜s 3＜s 1
D ．s 3＜s 2＜s 1
7．
定积分2
]x dx ⎰的值为（ ）
A ．
2
4
π- B ．2π- C ．22π- D ．48π-
8．曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线1
2
y =围成的封闭图形的面积是 A
B
．2C ．π23
-
D
π3
9．设曲线e x
y x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组11
02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩
所确
定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为
A ．2e 2e 14e
--
B ．2e 2e 4e
-
C ．2e e 14e
--
D ．2e 14e
-
10．由直线0,,2y x e y x ===及曲线2
y x
=所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．3 B ．32ln 2+
C ．223e -
D ．e
11．已知3
20
n x dx =
⎰
，且21001210(2)(23)n x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则
12310
01210
2310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为（ ）
A ．
823
B ．
845 C ．965
-
D ．
877
12．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′π()6
，则f π()3-与f π
()3
的大小关系是( ) A ．f π()3-
＝f π
()3
B ．f π()3-
＞f π
()3 C ．f π()3-
＜f π
()3
D ．不确定
二、填空题
13．质点运动的速度()
2
183/v t t m s =-，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是
______.
14．曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______．
15．在直线0x =，1x =，0y =，1y e =+围成的区域内撒一粒豆子，则落入0x =，
1y e =+，e 1x y =+围成的区域内的概率为__________．
16．定积分2
1
1
(2)x dx x
+⎰
的值为_____ ．
17．定积分
()1
2x
x e dx +=⎰__________．
18．
()
1
20
21x x dx +
-=⎰________
19．由直线0x =， 23
x π
=，0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于________． 20．曲线2y x 和曲线y x =围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是
________．
三、解答题
21．已知二次函数()f x 满足(0)0f =，且对任意x 恒有(1)()22f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；
（2）设函数()()'()g x f x f x λ=-，其中
'()f x 为()f x 的导函数.若对任意[0,1]x ∈，函
数()y g x =的图象恒在x 轴上方，求实数λ的取值范围. 22．已知函数2
1()ln (1)12
f x x ax a x =-
+-+． （1）当1a =时，）求函数()f x 在2x =处的切线方程； （2）求函数()f x 在[]
1,2x ∈时的最大值．
23．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数给出：
3221362936,69844159{,910
84
366345,1012
t t t t y t t t t t --+-≤<=+≤≤-+-<≤ 求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻． 24．计算下列定积分. （1）1
2
1
1
e dx x +-⎰
； （2）
3
4
2x dx -+⎰
.
25．现有一个以OA 、OB 为半径的扇形池塘，在OA 、OB 上分别取点C 、D ，作
DE OA 、CF OB 分别交弧AB 于点E 、F ，且BD AC =，现用渔网沿着DE 、
EO 、OF 、FC 将池塘分成如图所示的养殖区域.已知1km OA =，2
AOB π
∠=，
EOF θ∠=（02
π
θ<<
）.
（1）若区域Ⅱ的总面积为
21
km 4
，求θ的值； （2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？
26．为了净化广州水系，拟在小清河建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外壁建造单价为400元/m 2，中间两条隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．
(1)写出总造价y (元)与x 的函数关系式，并指出定义域；
(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低，并求最低造价．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
(1)根据微积分基本定理,得出
()()()0h
a
f x dx F h F a =->⎰
,可以看到与()f x 正负无关.
(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为
220
|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx π
ππ
π
=+⎰
⎰⎰求解判断即可.
(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】
(1)由()()()0h
a
f x dx F h F a =->⎰
,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.
(2)
()2220
0|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx π
π
π
ππ
ππ
=+=+-⎰
⎰⎰⎰⎰
()()20cos |cos |11114x x ππ
π=-+=--+--=,(2)正确.
(3)()()0()0a
f x dx F a F =-⎰,()()()()()0a T
T
f x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰
；
故
()()a
a T T
f x dx f x dx +=⎰
⎰
；(3)正确.
所以正确命题的个数为2, 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.
2．A
解析：A 【解析】
试题分析：解：因为
()()()2
200
sin cos cos sin |cos
sin
cos0sin 02
2
x a x dx x a x a a π
π
π
π
-=--=-----⎰
＝()010a ----＝1a -，所以12a -=，所以， 1.a =-故选A. 考点：定积分.
3．D
解析：D 【解析】
由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是
1
2
2
20
1
(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰
313201
11281()|()|2133333
x x x x -+-=+--+ 4．A
解析：A 【解析】
由三视图可得：DC ⊥平面ABC 且底面ABC 为正三角形，
如图所示，
取AC 中点F ，连BF ，则BF AC ⊥，在Rt BCF 中，2BF =，2CF =，4BC =， 在Rt BCD 中，4CD =，所以42BD =ABC 的距离为d ，因为
DC ⊥平面ABC ，且底面ABC 为正三角形，所以2d =，因为ABC 的外接圆的半
径为2，所以由勾股定理可得22228R d =+=，则该三棱锥外接球的半径22R =以三棱锥外接球的表面积是2432R ππ=，故选A ．
点睛：本题考查几何体的三视图，线面垂直的定义，以及几何体外接球问题，由三视图正确还原几何体、以及判断几何体位置关系是解题关键；由三视图画出几何体的直观图，由三视图判断出DC ⊥平面ABC 、求出ABC 的外接圆的半径，列出方程求出三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式求出答案.
5．B
解析：B
【解析】因为1
y k x
'=+
,所以10,1k k +==- ,选B. 点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.
(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
6．B
解析：B 【解析】
3221321322217ln |ln 2||,.1113
3x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B. 考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.
7．B
解析：B 【解析】
试题分析：由定积分的几何意义有20
4(2)x dx --⎰
表示的是以(2,0)为圆心，半径为2
的圆的
1
4
部分，而20xdx ⎰表示的是直线y x =，0,2,x x x ==轴所围成的面积，故
2
20
[4(2)]x x dx ---⎰表示的图形如下图的阴影部分，面积为221122242
ππ⨯-⨯=-.故选B.
考点：1.定积分的几何意义；2.方程的化简.
8．D
解析：D 【解析】
曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =
的两个交点坐标分别为(π6,12),(
5π6,1
2
), 则封闭图形的面积为5π5π6
6ππ66
11πsin cos |3223x dx x x ⎛⎫⎛
⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎰
本题选择D 选项.
点睛：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加． (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则
()()0a
a
f x dx a ->⎰ ＝0.
9．D
解析：D 【详解】
曲线e x y x =-及直线0y =所围成封闭图形的面积
(
)
1
21
1112x
x S e x dx e x -⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎰
阴影=1
e e --;而不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩
所确定区域的面积
22 4.S =⨯=所以该点落在区域D 内的概率1S 4S e e P --==
阴影=2e 1
4e
-.故选D. 【方法点睛】本题题主要考查定积分的几何意义及“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.
10．A
解析：A 【解析】
如图所示，
曲边四边形OABC 的面积为11
121212ln 12(ln ln1)1232e
e
dx x e x ⨯⨯+=+=+-=+=⎰.
故选A.
点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．
11．A
解析：A 【分析】
利用微积分基本定理，可计算得3
2
9n x dx ==⎰
，又
210998012101210()2...10(23)27(2)(23)a a x a x a x a a x a x x x x '+++⋅⋅⋅+=+++=--+-
利用赋值法，令1x =，可得解 【详解】
由题意3
32
32
00
|3093x n x dx ===-=⎰ 令1x =有：9
01210(21)(23)3a a a a +++⋅⋅⋅+=+-=-
210998012101210()2...10(23)27(2)(23)a a x a x a x a a x a x x x x '+++⋅⋅⋅+=+++=--+-
令1x =有：9
8
12102...10(23)27(21)(23)82a a a +++=--+-=-
故
1231001210231082
3
a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+
故选：A 【点睛】
本题考查了导数、定积分和二项式定理综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
12．C
解析：C 【解析】
依题意得f′(x)＝－sin x ＋2f′π
()6 ，所以f′π()6＝－sin π()6＋2f′π()6，f′π()6
＝，f′(x)＝－sin x ＋1，因为当x ∈ππ(,)22-时，f′(x)＞0，所以f(x)＝cos x ＋x 在ππ
(,)22
-上是增函数，所以f π3⎛⎫-
⎪⎝⎭＜f π3⎛⎫
⎪⎝⎭
,选C. 二、填空题
13．108m 【分析】令速度为0求出t 的值0和6求出速度函数在上的定积分即可【详解】由得或当时质点运动的路程为故答案为：108m 【点睛】本题主要考查了定积分定积分在物理中的应用属于中档题
解析：108m. 【分析】
令速度为0求出t 的值 0和6，求出速度函数在[0,6]上的定积分即可. 【详解】
由21830t t -=，得0t =或6t =，
当[0,6]t ∈时，质点运动的路程为()()
6
6223
320
1839696108S t t dt t t
=-=-=-+⨯=⎰，
故答案为：108m 【点睛】
本题主要考查了定积分，定积分在物理中的应用，属于中档题.
14．【分析】首先求得两个函数交点的坐标然后利用定积分求得封闭图形的面积【详解】根据解得画出图像如下图所示封闭图像的面积为【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积考查运算求解能力属于基础题解题过程
解析：1
6
【分析】
首先求得两个函数交点的坐标，然后利用定积分求得封闭图形的面积.
【详解】
根据2
y x y x ⎧=⎨=⎩
解得()()0,01,1,.画出图像如下图所示，封闭图像的面积为
(
)
1
2
x x dx -⎰23
10111|23236x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积，考查运算求解能力，属于基础题.解题过程中首先求得两个函数图像的交点坐标，然后画出图像，判断出所要求面积的区域，然后利用微积分基本定理求得封闭图形的面积.
15．【解析】由题意直线所围成的区域为一个长为高为的矩形所以其的面积为又由解得所以由所围成的区域的面积为所以概率为 解析：
1
1
e + 【解析】
由题意，直线0,1,0,1x x y y e ====+所围成的区域为一个长为1，高为1e +的矩形，所以其的面积为1(1)1S e e =⨯+=+，
又由11x
y e y e =+⎧⎨=+⎩，解得11x y e =⎧⎨=+⎩
， 所以由0,1,1x x y e y e ==+=+所围成的区域的面积为
1
11
1000
(11)()()|1x x x S e e dx e e dx ex e =+--=-=-=⎰⎰， 所以概率为111
S P S e ==+. 16．【解析】
17．e 【解析】点睛：1求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围从而确定积分的上下限；
(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和即各积分
解析：e
【解析】
121212000(2)()|(1)(0)x x x e dx x e e e e +=+=+-+=⎰.
点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤
(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．
2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．
18．【详解】因而应填答案 解析：14π+
【详解】
因11
000(2(2)x dx x dx +=+
⎰⎰，而1220
(2)101x dx =-=⎰
，22220000111cos (1cos 2)sin 2|22224dx tdt t dt t ππ
πππ==+=⨯+=⎰⎰，应填答案14π+． 19．【解析】试题分析：由定积分的几何意义可知所求面积为考点：定积分的几何意义
解析：3
【解析】 试题分析：由定积分的几何意义可知所求面积为
223
3002sin 2cos |
123S xdx x π
π==-=+=⎰．
考点：定积分的几何意义．
20．【分析】先求出两个曲线的交点坐标得所求阴影部分应该是曲线从0到1
的一段投影到x 轴的面积减去曲线从0到1的一段投影到x 轴的面积最后根据定积分的几何意义用积分计算公式可以算出阴影部分面积【详解】设阴影部 解析：13
【分析】
先求出两个曲线的交点坐标(1,1)C
，得所求阴影部分应该是曲线y =
0到1的一段投影到x 轴的面积减去曲线2y x 从0到1的一段投影到x 轴的面积，最后根据定积分的几何意义，用积分计算公式可以算出阴影部分面积. 【详解】
设阴影部分面积为S ，由题意得两个图象的交点为(1,1)C ，
)
132320
121033S x dx x x ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭⎰33332221211110033333⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:13
. 【点睛】
本题着重考查了定积分的几何意义和积分的计算公式等知识点，属于中档题. 三、解答题
21．（1）()2
f x x x =+；（2）{|0}λλ< 【解析】
分析：（1）设2()f x ax bx c =++，代入已知，由恒等式知识可求得,,a b c ； （2）由（1）得()g x ，题意说明()0<g x 在[0,1]x ∈上恒成立，由分离参数法得
221x x x λ+<+，问题转化为求22([0,1])21
x x x x +∈+的最小值． 详解：（1）设()()2
0f x ax bx c a =++≠，()00f =，0c ∴=. 于是()()()()22111f x f x a x b x ax bx +-=+++--
222ax a b x =++=+.
解得1a =，1b =.
所以()2
f x x x =+. （2）由已知得()()221
g x x x x λ=+-+ 0>在[]
0,1x ∈上恒成立. 即221
x x x λ+<+在[]0,1x ∈上恒成立. 令()221
x x h x x +=+，[]0,1x ∈
可得()()()()()2
2222212221'02121x x x x x h x x x +-+++==>++. ∴函数()h x 在[]0,1单调递增，∴ ()()min 00h x h ==.
∴ λ的取值范围是{|0}λλ<.
点睛：本题考查用导数研究不等式恒成立问题，不等式恒成立问题通常伴随着考查转化与化归思想，例如常用分离参数法化为()()g h x λ≤，这样只要求得()h x 的最小值min ()h x ，然后再解min ()()g h x λ≤，即得λ范围．
22．（1）32ln 22y x =-++（2）max 143ln 2,211()ln ,12232,12a a f x a a a a a ⎧-++≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩
【解析】
试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为()2f '，再根据点斜式可得切线方程；（2）先研究导函数符号变化规律：当12a ≤时，为正；当112
a <<时，先正后负；当1a ≥时，为负，对应确定单调性，进而确定函数最值
试题
解：（1）当1a =时，()21ln 12f x x x =-
+ ∴()1f x x x
'=- ∴()322f '=-，即32
k 切=- 已知切点为()2,1ln2-+
∴切线的方程为：32ln22y x =-
++ （2）∵()()()211
12ax a x f x x x -+-+≤'=≤
当0a ≤时，()0f x '>在[]1,2x ∈恒成立
∴()f x 在[]1,2x ∈单调递增
∴()()max 243ln2f x f a ==-++ 当102a <≤
时，()f x 在[]1,2x ∈单调递增 ∴()()max 243ln2f x f a ==-++
当112a <<时，()f x 在11,x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，在1,2x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
单调递减 ∴()max 11ln 2f x f a a a
⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 当1a ≥时，()f x 在[]1,2x ∈单调递减
∴()()max 3122
f x f ==-+ 综上所述()max 1432,211,12232,12a ln a f x lna a a a a ⎧-++≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩
23．上午8点
【解析】
试题分析：分别求三段对应函数最大值，最后取三个最大值的最大值.三段分别对应三次函数、一次函数、二次函数，对应求最值方法为导数法，单调性法以及对称轴与定义区间位置关系数形结合法.
试题
解：①当6≤t ＜9时，
y′＝－t 2－t ＋36＝－ (t ＋12)(t －8)．
令y′＝0，得t ＝－12(舍去)或t ＝8.
当6≤t ＜8时，y′>0，当8<t<9时，y′<0，
故t ＝8时，y 有最大值，y max ＝18.75.
②当9≤t≤10时，y ＝t ＋是增函数，
故t ＝10时，y max ＝16.
③当10＜t≤12时，y ＝－3(t －11)2＋18，
故t ＝11时，y max ＝18.
综上可知，通过该路段用时最多的时刻为上午8点．
24．（1）1；（2）
292 【分析】
（1）直接根据微积分基本定理，即可得到本题答案；
（2）由题，得323442
|2|(2)(2)x dx x dx x dx ----+=--++⎰⎰⎰，再根据微积分基本定理，即可得到本题答案.
【详解】
（1）
11221ln(1)ln ln111e e dx x e x ++=-=-=-⎰； （2）323
442|2|(2)(2)x dx x dx x dx ----+=--++⎰⎰⎰
222112242
232x x x x -⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪-⎝⎝⎭-⎭ 2529222
=+
=. 【点睛】 本题主要考查利用微积分基本定理求定积分.
25．（1）3πθ=
（2）6πθ= 【解析】
试题分析：（1）本问考查解三角函数的实际应用，由OB OA =及BD AC =可知OD OC =，根据条件易证Rt Rt ODE OCF ≌，所以DOE COF ∠=∠=
122πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，由cos OC OF COF =⋅∠可以求出12COF S OC OF =⋅⋅⋅ 1sin cos 4COF θ∠=，所以区域Ⅱ的总面积为11cos 24θ=，则1cos 2
θ=，可以求出θ的值；（2）本问考查函数的最值问题，区域Ⅰ的面积可以根据扇形面积公式求得，区域Ⅱ的面积第（1）问中已经求出，区域Ⅲ的面积可以用1/4圆的面积减去区域Ⅰ、Ⅱ的面积，于是得到年收入函数，利用导数求函数的最大值即可得出年收入的最大值.
试题
（1）因为BD AC =，OB OA =，所以OD OC =. 因为2AOB π
∠=，DE OA ，CF OB ，
所以DE OB ⊥，CF OA ⊥.
又因为OE OF =，所以Rt Rt ODE OCF ≌.
所以DOE COF ∠=∠=
122πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又cos OC OF COF =⋅∠ 所以12COF S OC OF =⋅⋅⋅ 1sin cos 4
COF θ∠= 所以1cos 2S 区域Ⅱθ=（02πθ<<）. 由11cos 24θ=得1cos 2θ=，02πθ<<，3
πθ∴=. （2）因为12S θ=
区域Ⅰ，所以S S S S =--=区域Ⅲ总区域Ⅰ区域Ⅱ 11cos 422πθθ--.
记年总收入为y 万元， 则113040cos 22y θθ=⨯+⨯ 120(42πθ+⨯- 1cos )2
θ- 5510cos πθθ=++（02π
θ<<）， 所以()512sin y θ=-'，令0y '=，则6πθ=
. 当06πθ<<
时，0y '>；当62ππθ<<时，0y '<. 故当6π
θ=时，y 有最大值，即年总收入最大.
考点：1.三角函数的实际应用；2.利用导数研究函数的最值.
26．(1) y ＝800x ＋259200x ＋16 000，252
≤x ≤16. (2) 当长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价y 最低，为45 000元．
【解析】
试题分析：（1）先求面积，再乘以对应价格，求和得总造价，根据长、宽都不能超过16 m 要求确定定义域（2）利用导数可得函数为定义域上单调减函数，再根据单调性求最小值
试题
解：(1)矩形平面图的两边长分别为x m ，
m ， 根据题意，得
解得≤x ≤16.
y ＝
×400＋×248＋16 000 ＝800x ＋
＋16 000，≤x ≤16. (2)y ′＝800－，
当≤x ≤16时，y ′＜0，函数在
上为减函数， 所以当长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价y 最低，为45 000元．。