连续体04

R,1,1
K,1,0,0,0 K,2,1,0,0 K,3,1,1,0 K,4,0,1,0
! 设定实常数No.1，厚度
!生成几何点No.1 !生成几何点No.2 !生成几何点No.3 !生成几何点No.4
DK,1,ALL
DK,4,ALL FK,2,FX,-1
! 对几何点1施加固定的位移约束
! 对几何点4施加固定的位移约束 ! 对几何点2施加外力FX=–1
• 材料及控制方程一致时，应力状态完全由边界条件决定。
连续体问题求解的虚功原理
• 对于一般弹性问题 (以2D问题为例)，在几何域Ω 中，受 有体积力 力 为 • 虚应变能为 • 而外力虚功为 ，在外力边界 上，受有施加的分布 ， 。设有满足位移边界条件的位移场
——试函数(其中有一些待定的系数)——则它的虚位移
位移边界条件BC(u ) :
Fini
/clear
/PREP7 !进入前处理 !设定为静态分析 ANTYPE,STATIC
A,1,2,3,4
面No.1 MAT,1 TYPE,1 REAL,1
!由几何点连成几何
! 设定为材料No.1 ! 设定单元No.1 ! 设定实常数No.1
MP,EX,1,1
量 MP,PRXY,1,0.25 比 ET,1,PLANE42 KEYOPT,1,3,3 问题
NB
NB_UX=UX(NB) NB_UY=UY(NB) ALLSEL,ALL !获取节点号NB处的位移UX，赋值给NB_UX !获取节点号NB处的位移UY，赋值给NB_UY ! 选择所有的对象 ! 获取几何位置为(1,1,0) (C点)所对应的节点号码，赋值给
NC=NODE(1,1,0) NC NC_UX=UX(NC) NC_UY=UY(NC)
• 外力功
• 系统总势能
• 比较：
• 用三角形单元计算时，由于形函数是完全一次式，因而其 应变场和应力场在单元内均为常数 • 四边形单元其形函数带有二次式，计算得到的应变场和应
力场都是坐标的一次函数，但不是完全的一次函数，对提
高计算精度有一定作用 • 根据最小势能原理，势能越小，则整体计算精度越高 • 相同的节点自由度情况下，矩形单元的计算精度要比三角 形单元高
a3 x1 y2 x2 y1 0 b3 y1 y2 0 c3 x2 x1 1
N 2 ( x, y) x
u2 1.718
u ( x, y) 1.718x
N3 ( x, y) y
v2 0.9375 , v3 0.7813
v( x, y) 0.9375x 0.7813y
! 获取节点号NC处的位移UX，赋值给NC_UX !获取节点号NC处的位移UY，赋值给NC_UY
STR_ENGY= 0.5*(NB_UX*(-1)+ NC_UX*(1)) !计算结构系统的应变能 POTE_ENGY=-0.5*(NB_UX*(-1)+ NC_UX*(1)) ! 计算结构系统的势能
*status,parm
• 其中6个待定系数，可根据3个节点的位移求解出
x2 y3 x3 y2
y2 y3
x3 x2
• 单元应变场的表达
• 算子矩阵(operator matrix):
• 几何矩阵
• 单元应力场的表达
• 平面应力问题的弹性系数矩阵D为
• 单元的势能表达式
•
B为常系数矩 阵
• 平面应变问题：
1 /( 1 ) 0 E (1 ) /(1 ) D 1 0 (1 )(1 2 ) ( 1 2 ) 0 0 2(1 )
• Pe为单元节点等效载荷
• 单元的势能对节点位移取一阶导数，可得到单元的刚度方 程
4节点矩形单元描述
• 平面应变或平面 应力问题，不是 板壳问题 • 每个节点2个自 由度，无转角自 由度 • -1≤x ≤1 • -1≤h ≤1
• 位移列阵:
• 节点力列阵：
• 单元承受分布外载时，将其等效到节点
• 单元的位移场模式 （多项式）
• 完全一次项的非完全二次项 • 双线性：当x或y不变时，沿y或x方向位移函数呈线性变化 • 将上式改写为以节点位移为未知量的表达式：
，虚应变为
dU=dW
最小势能原理
• 对于2D问题，设有满足位移边界条件的位移场为 即试函数(其中有一些待定的系数)，确定其中待定系数的 方法，就是使得该系统的势能取极小值
平面问题的3节点三角形单元
• 每个单元3个节点 • 每个节点2个自由度 • 节点位移列阵 • 节点力列阵
• 简单性、完备性、连续性及待定系数的唯一确定性原则 • 假定单元中各个方向的位移模式为
FK,3,FX,1
FINISH /SOLU SOLVE FINISH
! 对几何点3施加外力FX=1
!结束前处理 !进入求解模块 !求解 !结束求解
/POST1
PLDISP,1
!进入后处理
!计算的变形位移显示(变形前与后的对照) !获取几何位置为(1,0,0) (B点)所对应的节点号码，赋值给
NB=NODE(1,0,0)
• 前式中形函数为：
• 统一写为：
•
(i=1，2，3，4 )
• 几何矩阵
•
(i=1，2，3，4)
• 单元应力场
• 应力函数矩阵 • 单元势能
• 单元刚度方程
• 单元的位移在x，y方向呈线性变化, 称为双线性位移模式 • 单元的边界 x=±a和y=±b上，位移是按线性变化的，且 相邻单元公共节点上，有共同的节点位移值，可保证两个 相邻单元在其公共边界上位移连续，这种单元的位移模式
• 方案1的有限元分析列式 • 单元1的刚度矩阵
• K(2) 的数值与K(1)相同 • 所对应的节点位移为 • 总刚度矩阵为
• • 其余为节点力
为节点1和节点4处的支反力。
• 求解：
q 0 0 1.718 0.9375 1.718 1.718 0 0.7813
u( x, y) N1u1 N2u2 N3u3 v( x, y) N1v1 N2v2 N3v3
!显示所有的参数
• 三角形单元网格划分计算得到的该系统的势能为
• 矩形单元网格划分计算得到的该系统的势能为
• 位移坐标变换问题
– 单元的节点位移是以整体坐标系中的x方向位移u和y方向方
向位移v来定义的Βιβλιοθήκη 不存在坐标变换问题• 三角形单元的常系数应变和应力
– 位移场为线性关系式，单元内任意一点的应变和应力都为常 数，因此，3节点三角形单元称为常应变(应力)CST单元 (constant strain triangle) – 单元划分应适当加密
是完备(completeness)和协调(compatibility)的。
• 应变和应力为一次线性变化
三角形单元与矩形单元计算精度的 比较
• 平面矩形结构, • E=1,t=1,=0.25 • 假设约束和外载 • 位移边界条件
• 力边界条件
• • • • •
求该系统的位移场、应变场、应力场 各个节点上的支反力、系统的应变能、外力功、总势能 比较这种建模方案的计算精度 1：使用两个CST三角形单元 2：使用一个4节点矩形单元
• 该系统的应变能（三角形单元CST）
• 外力功
• 系统总势能
• 方案2（四边形单元）
• 单元刚度矩阵
• 也就是总刚度矩阵
• 系统的节点位移列阵
• 可求出节点位移和支反力为
• 单元位移场为
• 应变场为
• 应力场为
• 位移场、应变场及应力场的分布
• 该系统的应变能（三角形单元CST）
连续体分析有限元法
• 从几何形态看
– 杆，1D构件 – 梁，1D构件
• 从受力特点看
– 杆，1D受力
– 梁，2D受力
• 连续体
– 几何形态2D或3D，受力2D或3D
连续体的基本力学变量
• 三大类基本变量
边界条件
• 一般的力学问题，还有两类边界条件： • 位移边界条件BC(u)
• 力边界条件BC(p)
!定义1号材料的弹性模
!设定1号材料的泊松 ! 选取单元类型1 !设置为带厚度的平面
!------设置单元划分 LSEL,ALL 划分成10段 MSHAPE,1,2D !设置三角形 !设置四边形单元 !设置映射划分 !对面No.1进行网格 !选择所有的对象 !MSHAPE,0,2D MSHKEY,1 AMESH,1 划分 ALLSEL,ALL !选择所有的线 LESIZE,all, , ,10, , , , ,1 !将所选择的线
对单元1，u1=u3=v1=0，于是
u( x, y) N 2u2
v( x, y) N2v2 N3v3
N 2 ( x, y) a2 b2 x c2 y /(2 A)
对单元1
x1 0, y1 0 x2 1, y2 0 x3 0, y3 1
a1 1 0 1 a2 x3 y1 x1 y3 0 b2 y3 y1 1 b1 1 c1 1 c2 x1 x3 0
三角形单元与矩形单元的精细网格 的计算比较
• 平面矩形结构，取 • 假设约束和外载为
力边界条件BC( p) :
E 1, t 1, 0.25
PBx 1, PBy 0, PCx 1, PCy 0, PDy 0 u A 0, vA 0, uD 0